Ένθετο στη : Συνέχεια συνάρτησης ( Μαθηματικά Γενικής Γ Λυκείου)
Κεφάλαιο 1 Θεωρία-Ασκήσεις Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης -...
-
Upload
science-physics-4-all -
Category
Documents
-
view
69 -
download
1
description
Transcript of Κεφάλαιο 1 Θεωρία-Ασκήσεις Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης -...
1 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
OΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
2) Μη πεπερασμένο όριο συνάρτησης στο Rxo
2.1) Εισαγωγή
α) Θεωρούμε τη συνάρτηση 2
1)(
xxf , ),2()2,( x .
Προφανώς έχουμε: 2,
2,
2
12
1
)(
x
x
x
xxf
Στο παρακάτω σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f .
Παρατηρούμε ότι όσο πιο κοντά στο 2 είναι το x , τόσο μεγαλύτερο είναι το )(xf .
Μάλιστα το )(xf μπορεί να γίνει όσο μεγάλο θέλουμε, αρκεί να επιλέξουμε
κατάλληλα το x (κοντά στο 2).
Επομένως αν Μ είναι ένας οποιοσδήποτε θετικός αριθμός (όσο μεγάλος και αν είναι
αυτός), μπορούμε να επιλέξουμε κατάλληλα ένα x (προφανώς το x θα είναι κοντά
στο 2) τέτοιο ώστε )(xf . Τότε θα λέμε ότι η f έχει όριο το όταν το x
τείνει στο ox ή ότι η f έχει στο ox όριο το και θα συμβολίζουμε:
)(lim xfoxx
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση 2
1)(
xxg , ),2()2,( x .
Προφανώς έχουμε: 2,
2,
2
12
1
)(
x
x
x
xxg
2 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Στο παρακάτω σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g .
Παρατηρούμε ότι όσο πιο κοντά στο 2 είναι το x , τόσο μικρότερο είναι το )(xg . Το
)(xg μπορεί να γίνει όσο μικρό θέλουμε, αρκεί να επιλέξουμε κατάλληλα το x .
Επομένως αν Μ είναι ένας οποιοσδήποτε θετικός αριθμός (όσο μεγάλος και αν είναι
αυτός), μπορούμε να επιλέξουμε κατάλληλα ένα x (κοντά στο 2) τέτοιο ώστε
)(xg . Τότε θα λέμε ότι η g έχει όριο το όταν το x τείνει στο ox ή ότι η
g έχει στο ox όριο το και θα συμβολίζουμε:
)(lim xfoxx
2.2*) Ορισμός μη πεπερασμένου ορίου συνάρτησης στο Rxo
Θα διατυπώσουμε τώρα τον ορισμό του μη πεπερασμένου ορίου στο Rxo σε
μαθηματική γλώσσα.
Θεωρούμε μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ),(),( oo xxa .
Παρατηρούμε ότι η f έχει στο ox όριο το όταν για κάθε θετικό αριθμό Μ (όσο
μεγάλος και αν ληφθεί) υπάρχει τουλάχιστον ένας θετικός αριθμός τέτοιος ώστε
για κάθε ),(),( oo xxax με ),(),( oooo xxxxx να ισχύει )(xf .
(βλέπε σχήμα 1)
Αλλά ooooo xxxxxxx 0),(),(
Επομένως έχουμε τον παρακάτω ορισμό.
Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ),(),( oo xxa .
3 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Θα λέμε ότι η f έχει στο ox όριο το και θα συμβολίζουμε
)(lim xfoxx
,
όταν για κάθε 0 υπάρχει ένα 0 τέτοιο ώστε για κάθε ),(),( oo xxax
με oxx0 να ισχύει )(xf .
Σχήμα 1
Επίσης με παρόμοιο τρόπο σκεπτόμενοι , διατυπώνουμε τον παρακάτω ορισμό.
Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ),(),( oo xxa .
Θα λέμε ότι η f έχει στο ox όριο το και θα συμβολίζουμε
)(lim xfoxx
,
όταν για κάθε 0 υπάρχει ένα 0 τέτοιο ώστε για κάθε ),(),( oo xxax
με oxx0 να ισχύει )(xf .
Σχήμα 2
*Ο μαθηματικός ορισμός του πεπερασμένου ορίου μιας συνάρτησης f στο ox είναι
εκτός ύλης.
4 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Με παρόμοιο τρόπο σκεπτόμενοι μπορούμε να ορίσουμε τα όρια:
)(lim xfoxx
,
)(lim xfoxx
,
)(lim xfoxx
,
)(lim xfoxx
Και εδώ η f ορίζεται σε ένα σύνολο της μορφής ),(),( oo xxa .
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Θεωρούμε τη συνάρτηση 2
1)(
xxf ορισμένη στο σύνολο ),2()2,( . Στο
παρακάτω σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της f .
Παρατηρούμε ότι
)(lim2
xfx
και
)(lim2
xfx
Επειδή )(lim)(lim22
xfxfxx
δεν υπάρχει το όριο της )(xf όταν 2x .
Έστω τώρα μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ),(),( oo xxa
. Τότε προφανώς ισχύουν οι ισοδυναμίες:
)(lim)(lim)(lim xfxfxfooo xxxxxx
)(lim)(lim)(lim xfxfxfooo xxxxxx
2.3) Ιδιότητες Ορίου
Αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
i) Aν
)(lim xfoxx
, τότε 0)( xf κοντά στο ox .
5 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Aν
)(lim xfoxx
, τότε 0)( xf κοντά στο ox .
ii) Αν
)(lim xfoxx
, τότε
))((lim xfoxx
.
Αν
)(lim xfoxx
, τότε
))((lim xfoxx
.
iii) Αν
)(lim xfoxx
, τότε 0)(
1lim xfoxx
.
Αν
)(lim xfoxx
, τότε 0)(
1lim xfoxx
iv) Αν 0)( xf κοντά στο ox και αν 0)(lim
xfoxx
, τότε )(
1lim
xfoxx.
Αν 0)( xf κοντά στο ox και αν 0)(lim
xfoxx
, τότε )(
1lim
xfoxx.
v) Αν
)(lim xfoxx
ή αν
)(lim xfoxx
, τότε
)(lim xfoxx
.
vi) Αν
)(lim xfoxx
, τότε
k
xxxf
o
)(lim
Εφαρμογές:
Προφανώς ισχύουν τα παρακάτω όρια:
α)
i. vx x20
1lim , *Nv
ii. v
oxx xxo
2)(
1lim , *Nv
iii. v
oxx xxo
1lim , *Nv
β)
i.
120
1lim
vx x
, *Nv
ii.
120
1lim
vx x
, *Nv
iii.
12)(
1lim
v
oxx xxo
, *Nv
iv.
12)(
1lim
v
oxx xxo
, *Nv
6 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα που αναφέρονται στο όριο του
αθροίσματος και του γινομένου δύο συναρτήσεων.
ΘΕΩΡΗΜΑ 1 (Όριο Αθροίσματος)
Αν στο Rxo
το όριο της f
είναι:
Ra Ra
και το όριο της g
είναι:
τότε το όριο της
gf είναι:
; ;
ΘΕΩΡΗΜΑ 2 (Όριο Γινομένου)
Αν στο
Rxo
το όριο της
f είναι:
0a 0a 0a 0a 0 0
και το όριο
της g
είναι:
τότε το
όριο της
gf
είναι:
; ;
Στα παραπάνω θεωρήματα 1 και 2, εκεί που υπάρχει το ερωτηματικό, σημαίνει ότι
το όριο, αν υπάρχει, εξαρτάται από τις συναρτήσεις που έχουμε πάρει. Τότε λέμε
ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή.
Επομένως, οι απροσδιόριστες μορφές για τα όρια του αθροίσματος, της διαφοράς,
του γινομένου και του πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι:
7 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
)()( , )()( , )(0 , )(0 , 0
0,
,
,
,
.
Υπενθυμίζουμε ότι η διαφορά και το πηλίκο δύο συναρτήσεων ορίζονται ως εξής:
i. )( gfgf και
ii. g
fg
f 1
Παραδείγματα
1)
i. Δίνονται οι συναρτήσεις: 4
3)(
xxf και
4
3)(
xxg . Τότε :
40400
1lim3
3lim)(lim
xxxf
xxx και
40400
1lim3
3lim)(lim
xxxg
xxx ενώ:
00lim33
lim)()(lim04400
xxx xxxgxf
ii. Δίνονται οι συναρτήσεις: 23
)(4
xxf και
4
3)(
xxg . Τότε :
2lim
1lim32
3lim)(lim
040400 xxxx xxxf και
40400
1lim3
3lim)(lim
xxxg
xxx ενώ:
22lim3
23
lim)()(lim04400
xxx xxxgxf
iii. Δίνονται οι συναρτήσεις: 24
13)(
xxxf και
4
3)(
xxg . Τότε :
)()(
1lim
3lim
13lim)(lim
20402400 xxxxxf
xxxx και
40400
1lim3
3lim)(lim
xxxg
xxx ενώ:
2042400
1lim
313lim)()(lim
xxxxxgxf
xxx
8 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
2)
i. Δίνονται οι συναρτήσεις: 4)( xxf και 4
1)(
xxg . Τότε :
0lim)(lim 4
00
xxf
xx και
400
1lim)(lim
xxg
xx ενώ:
11lim1
lim)()(lim04
4
00
xxx xxxgxf
ii. Δίνονται οι συναρτήσεις: 4)( xxf και 2
1)(
xxg . Τότε :
0lim)(lim 4
00
xxf
xx και
200
1lim)(lim
xxg
xx ενώ:
0lim1
lim)()(lim 2
02
4
00
x
xxxgxf
xxx
iii. Δίνονται οι συναρτήσεις: 2)( xxf και 4
1)(
xxg . Τότε :
0lim)(lim 2
00
xxf
xx και
400
1lim)(lim
xxg
xx ενώ:
204
2
00
1lim
1lim)()(lim
xxxxgxf
xxx
9 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1) Αν
)(
23lim
2
2 xf
xx
x, να βρεθεί το )(lim
2xf
x.
Λύση:
Θέτουμε )(
23)(
2
xf
xxxg
οπότε
)(lim
2xg
x.
(Επειδή
)(lim2
xgx
θα έχουμε 0)( xg κοντά στο 2).
Επίσης )(
23)(
2
xg
xxxf
οπότε:
00)2232()(
1lim)23(lim
)(
23lim)(lim 2
2
2
2
2
22
xgxx
xg
xxxf
xxxx
2)Αν
)]()15[(lim 3
3xfxx
x, να βρεθεί το )(lim
3xf
x.
Λύση:
Θέτουμε )()15()( 3 xfxxxg οπότε 15
)()(
3
xx
xgxf .
Προφανώς ισχύει 0153 xx κοντά στο 3.
Επειδή
)(lim3
xgx
και 41)15(lim 3
3
xx
x έχουμε:
15
1lim)(lim
15
)(lim)(lim
333333 xxxg
xx
xgxf
xxxx
3) Δίνεται η συνάρτηση 2
75)(
23
x
xxxf . Να βρεθεί το )(lim
2xf
x.
Λύση:
Προφανώς η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),2()2,( .
10 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Έχουμε 217252)75(lim 2323
2
xx
x και 02 x κοντά στο 2.
Επειδή 02lim2
xx
έχουμε: 2
1lim
2 xx.
Άρα
2
1lim)75(lim
2
75lim)(lim
2
23
2
23
22 xxx
x
xxxf
xxxx
4) Δίνεται η συνάρτηση
5
4 53)(
xxxf . Να βρεθεί, αν υπάρχει, το )(lim
0xf
x.
Λύση:
Η f έχει πεδίο ορισμού το *R .
Έχουμε x
xxf
x
xxxf
53)(
53)(
5
5
54
.
Αν 0x έχουμε 5)53(lim 5
0
x
x και
xx
1lim
0
Οπότε
x
xx
xxf
xxxx
1lim)53(lim
53lim)(lim
0
5
0
5
00.
Αν 0x έχουμε 5)53(lim 5
0
x
x και
xx
1lim
0
Οπότε
x
xx
xxf
xxxx
1lim)53(lim
53lim)(lim
0
5
0
5
00
Άρα δεν υπάρχει στο 0ox το όριο της f .
5) Δίνεται η συνάρτηση 3)3(
14)(
2
xx
xxxf . Να βρεθεί, αν υπάρχει, το )(lim
3xf
x.
Λύση:
Η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),3()3,( .
11 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Έχουμε: 3,
3,
)3(
14
)3(
14
)(
2
2
2
2
x
x
x
xx
x
xx
xf
Αν 3x έχουμε 2)14(lim 2
3
xx
xκαι
2
3 )3(
1lim
xx(διότι 0)3( 2 x )
Οπότε
2
3
2
32
2
33 )3(
1lim)14(lim
)3(
14lim)(lim
xxx
x
xxxf
xxxx.
Αν 3x έχουμε 2)14(lim 2
3
xx
xκαι
2
3 )3(
1lim
xx(διότι 0)3( 2 x )
Οπότε
2
3
2
32
2
33 )3(
1lim)14(lim
)3(
14lim)(lim
xxx
x
xxxf
xxxx.
Άρα δεν υπάρχει στο 3ox το όριο της f .
6) Δίνεται η συνάρτηση 4
23)2()(
2
2
x
xxxf
. Να βρεθεί για ποιες τιμές του
R υπάρχει στο R το )(lim2
xfx
.
Λύση:
Η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),2()2,2()2,( .
Έχουμε:
)1(44426842232)2(]23)2[(lim 22
2
xx
x και
0)4(lim 2
2
x
x,
οπότε 4
1lim
22 xx
και 4
1lim
22 xx
Αν 101 , τότε έχουμε:
4
1]23)2[(lim)(lim
2
2
22 xxxxf
xx και
4
1]23)2[(lim)(lim
2
2
22 xxxxf
xx
12 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Επομένως δεν υπάρχει στο 2ox το όριο της f .
Αν 101 , τότε έχουμε:
4
1]23)2[(lim)(lim
2
2
22 xxxxf
xx και
4
1]23)2[(lim)(lim
2
2
22 xxxxf
xx
Επομένως δεν υπάρχει στο 2ox το όριο της f .
Αν 101 , τότε η συνάρτηση f γράφεται:
)2(
)1(
)2)(2(
)2)(1(
4
23
4
23)(
2
2
2
2
x
x
xx
xx
x
xx
x
xxxf οπότε:
4
1
)2(
)1(lim)(lim
22
x
xxf
xx
Άρα το )(lim2
xfx
υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός αν 1 .
7) Α) Δίνονται οι συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύει )()( xgxf κοντά στο
ox .
i. Αν
)(lim xfoxx
, τότε
)(lim xgoxx
ii. Αν
)(lim xgoxx
, τότε
)(lim xfoxx
Β) Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα ),0( .
i. Ανx
xf3
)( για κάθε 0x , να βρεθεί το )(lim0
xfx
ii. Αν 04)(3 2 xfx για κάθε 0x , να βρεθεί το )(lim0
xfx
Λύση:
Α) i) Έχουμε
)(lim xfoxx
οπότε 0)( xf κοντά στο ox .
Επειδή )()( xgxf κοντά στο ox , θα έχουμε 0)( xg ( κοντά στο ox ) οπότε
)()(0 xgxf .
13 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Επομένως 0)(
1
)(
1
xgxf και επειδή 0
)(
1lim xfoxx
από κριτήριο παρεμβολής
έχουμε 0)(
1lim xgoxx
.
Άρα
)(lim xgoxx
(διότι 0)( xg κοντά στο ox ).
ii) Αποδεικνύεται ομοίως.
Β) i) Ισχύει )(3
xfx για κάθε 0x και
xx
3lim
0 οπότε
)(lim
0xf
x (από Αi)
ii) Για κάθε 0x ισχύει 2
2
3
4)(04)(3
xxfxfx .
Αλλά
20 3
4lim
xx οπότε
)(lim
0xf
x (από Αii)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1) Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύει
5)(3lim3
xfxx
. Να βρεθούν: i) )(lim3
xfx
, ii) 4)(3
2)(5)(3)(lim
4
23
3
xf
xfxfxf
x.
Λύση:
i) Θέτουμε )(3)( xfxxg οπότε 5)(lim3
xgx
και 3
)()(
x
xgxf , 3x .
Επειδή 3
1lim
3 xx έχουμε
3
1)(lim)(lim
33 xxgxf
xx
ii) Επίσης :
14 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
)(
43
)(
2
)(
5
)(
31
)(
1
)(
43)(
)(
2
)(
5
)(
31)(
4)(3
2)(5)(3)(
4
32
4
4
32
3
4
23
xf
xfxfxf
xf
xfxf
xfxfxfxf
xf
xfxfxf
Οπότε έχουμε:
003
00010
)(
43
)(
2
)(
5
)(
31
)(
1lim
4)(3
2)(5)(3)(lim
4
32
34
23
3
xf
xfxfxf
xfxf
xfxfxf
xx
(Επειδή
)(lim3
xfx
θα έχουμε 0)(
1lim
3
xfx).
2) Δίνεται η συνάρτηση 1
2)1(3)(
2
2
x
xxxf
. Να βρεθεί για ποιες τιμές του
R υπάρχει στο R το )(lim1
xfx
.
Λύση:
Η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),1()1,1()1,( . Έχουμε:
22)1(3)2)1(3(lim 2
1
xx
x και
0)1(lim 2
1
x
x οπότε
1
1lim
21 xx
και
1
1lim
21 xx
Αν 202 έχουμε:
1
1)2)1(3(lim)(lim
2
2
11 xxxxf
xx και
1
1)2)1(3(lim)(lim
2
2
11 xxxxf
xx
15 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
Επομένως αν 2 δεν υπάρχει στο 1ox το όριο της f .
Αν 202 έχουμε:
1
1)2)1(3(lim)(lim
2
2
11 xxxxf
xx και
1
1)2)1(3(lim)(lim
2
2
11 xxxxf
xx
Επομένως αν 2 δεν υπάρχει στο 1ox το όριο της f .
Αν 202 η συνάρτηση f γράφεται:
1
43
)1)(1(
)43)(1(
1
43)(
2
2
x
x
xx
xx
x
xxxf οπότε:
2
7
1
43lim)(lim
11
x
xxf
xx
Άρα το )(lim1
xfx
υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός αν 2 .
3) Δίνεται η συνάρτηση RRf : για την οποία ισχύει )(2)()( 23 yfxxyyfxf
για κάθε Ryx , . Να βρεθεί το 40
)(lim
x
xf
x.
Λύση:
Για κάθε Ryx , ισχύει )(2)()( 23 yfxxyyfxf οπότε για xy παίρνουμε
22224223 )(0)(0)(2)()(2)()( xxfxxfxfxxxfxfxxxxfxf
Άρα για κάθε *Rx έχουμε:
24
2
4
1)(
xx
x
x
xf οπότε:
2040
1lim
)(lim
xx
xf
xx
16 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
4) Δίνεται η συνάρτηση RRf : για την οποία ισχύει
2)(5
3)(2lim
2 xf
xf
x. Να
βρεθεί το )(lim2
xfx
.
Λύση:
Θέτουμε
3)(2)())(52(3)(2)2)(5)((
3)(2)(2)()(53)(2)()2)(5(2)(5
3)(2)(
xgxfxgxgxgxf
xfxgxgxfxfxgxfxf
xfxg
Αλλά
)(lim2
xgx
οπότε
))(52(lim2
xgx
.
Επομένως 0)(52 xg κοντά στο 2, οπότε:
5)(
2
)(
32
)(52
3)(2)(
xg
xg
xg
xgxf (προφανώς 0)( xg κοντά στο 2)
Επειδή 0)(
3lim
2
xgx και 0
)(
2lim
2
xgx έχουμε:
5
2
5)(
2
)(
32
lim)(lim22
xg
xgxf
xx
5) Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει: 39
3)(lim
0 x
xxf
x
. Να βρεθεί το
)(lim0
xfx
.
Λύση:
Θέτουμε 39
3)()(
x
xxfxg
, 0x . Επομένως έχουμε
)(lim
0xg
x και
xxfxgx 3)()(39 .
Επειδή 03 x για κάθε )3
,0()0,3
(
x έχουμε:
17 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
x
xxxg
x
xxxg
xx
xxg
xx
xgxx
x
xgxxf
3
33
1
39
1)(
3
1
39
1)(
339
)(
339
)(3939
3
)(39)(
Επομένως:
1
1
3
1
6
1
3
3lim
1
3
1
39
1lim)(lim)(lim
0
000
x
xxxgxf
x
xxx
6) Αν 1)(lim 4
0
xfx
x , να βρεθούν τα όρια:
i) )(lim0
xfx
ii)
)(
5)(lim
0 xfxf
x
Λύση:
i) Θέτουμε )()( 4 xfxxg , )2
,0()0,2
(
x οπότε 1)(lim0
xgx
και
4
444
4
44
11)(
)()()(
x
xxxg
x
x
x
xg
x
xgxf
κοντά στο 0ox .
Άρα :
1
1)(1
1lim
1lim)(lim
11)(lim)(lim
0400
4
4400
u
uxxg
x
xxxgxf
uxxxx
(Θέσαμε ux 4 )
ii) Θέτουμε
)(
5
)(
5
5)(
5)()(
xf
xf
xfxfxh
.
Αλλά
)(lim0
xfx
οπότε 0)(
1lim5
)(
5lim
00
xfxf xx
Επομένως:
18 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/
Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com
515lim5
)(
5
)(
5
lim5)(lim000
u
u
xf
xfxh
uxx
(Θέσαμε uxf
)(
5)