Κεφάλαιο 1 Θεωρία-Ασκήσεις Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης -...

18
1 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/ Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com OΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2) Μη πεπερασμένο όριο συνάρτησης στο R x o 2.1) Εισαγωγή α) Θεωρούμε τη συνάρτηση 2 1 ) ( x x f , ) , 2 ( ) 2 , ( x . Προφανώς έχουμε: 2 , 2 , 2 1 2 1 ) ( x x x x x f Στο παρακάτω σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f . Παρατηρούμε ότι όσο πιο κοντά στο 2 είναι το x , τόσο μεγαλύτερο είναι το ) ( x f . Μάλιστα το ) ( x f μπορεί να γίνει όσο μεγάλο θέλουμε, αρκεί να επιλέξουμε κατάλληλα το x (κοντά στο 2). Επομένως αν Μ είναι ένας οποιοσδήποτε θετικός αριθμός (όσο μεγάλος και αν είναι αυτός), μπορούμε να επιλέξουμε κατάλληλα ένα x (προφανώς το x θα είναι κοντά στο 2) τέτοιο ώστε ) ( x f . Τότε θα λέμε ότι η f έχει όριο το όταν το x τείνει στο o x ή ότι η f έχει στο o x όριο το και θα συμβολίζουμε: ) ( lim x f o x x β) Θεωρούμε τη συνάρτηση 2 1 ) ( x x g , ) , 2 ( ) 2 , ( x . Προφανώς έχουμε: 2 , 2 , 2 1 2 1 ) ( x x x x x g

description

Θεωρία και Ασκήσεις για το Μέρος Β Ανάλυση Κεφάλαιο 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης - Μη πεπερασμένο όριο στο xoεR Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου

Transcript of Κεφάλαιο 1 Θεωρία-Ασκήσεις Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης -...

1 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

OΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2) Μη πεπερασμένο όριο συνάρτησης στο Rxo

2.1) Εισαγωγή

α) Θεωρούμε τη συνάρτηση 2

1)(

xxf , ),2()2,( x .

Προφανώς έχουμε: 2,

2,

2

12

1

)(

x

x

x

xxf

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f .

Παρατηρούμε ότι όσο πιο κοντά στο 2 είναι το x , τόσο μεγαλύτερο είναι το )(xf .

Μάλιστα το )(xf μπορεί να γίνει όσο μεγάλο θέλουμε, αρκεί να επιλέξουμε

κατάλληλα το x (κοντά στο 2).

Επομένως αν Μ είναι ένας οποιοσδήποτε θετικός αριθμός (όσο μεγάλος και αν είναι

αυτός), μπορούμε να επιλέξουμε κατάλληλα ένα x (προφανώς το x θα είναι κοντά

στο 2) τέτοιο ώστε )(xf . Τότε θα λέμε ότι η f έχει όριο το όταν το x

τείνει στο ox ή ότι η f έχει στο ox όριο το και θα συμβολίζουμε:

)(lim xfoxx

β) Θεωρούμε τη συνάρτηση 2

1)(

xxg , ),2()2,( x .

Προφανώς έχουμε: 2,

2,

2

12

1

)(

x

x

x

xxg

2 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g .

Παρατηρούμε ότι όσο πιο κοντά στο 2 είναι το x , τόσο μικρότερο είναι το )(xg . Το

)(xg μπορεί να γίνει όσο μικρό θέλουμε, αρκεί να επιλέξουμε κατάλληλα το x .

Επομένως αν Μ είναι ένας οποιοσδήποτε θετικός αριθμός (όσο μεγάλος και αν είναι

αυτός), μπορούμε να επιλέξουμε κατάλληλα ένα x (κοντά στο 2) τέτοιο ώστε

)(xg . Τότε θα λέμε ότι η g έχει όριο το όταν το x τείνει στο ox ή ότι η

g έχει στο ox όριο το και θα συμβολίζουμε:

)(lim xfoxx

2.2*) Ορισμός μη πεπερασμένου ορίου συνάρτησης στο Rxo

Θα διατυπώσουμε τώρα τον ορισμό του μη πεπερασμένου ορίου στο Rxo σε

μαθηματική γλώσσα.

Θεωρούμε μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ),(),( oo xxa .

Παρατηρούμε ότι η f έχει στο ox όριο το όταν για κάθε θετικό αριθμό Μ (όσο

μεγάλος και αν ληφθεί) υπάρχει τουλάχιστον ένας θετικός αριθμός τέτοιος ώστε

για κάθε ),(),( oo xxax με ),(),( oooo xxxxx να ισχύει )(xf .

(βλέπε σχήμα 1)

Αλλά ooooo xxxxxxx 0),(),(

Επομένως έχουμε τον παρακάτω ορισμό.

Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ),(),( oo xxa .

3 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Θα λέμε ότι η f έχει στο ox όριο το και θα συμβολίζουμε

)(lim xfoxx

,

όταν για κάθε 0 υπάρχει ένα 0 τέτοιο ώστε για κάθε ),(),( oo xxax

με oxx0 να ισχύει )(xf .

Σχήμα 1

Επίσης με παρόμοιο τρόπο σκεπτόμενοι , διατυπώνουμε τον παρακάτω ορισμό.

Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ),(),( oo xxa .

Θα λέμε ότι η f έχει στο ox όριο το και θα συμβολίζουμε

)(lim xfoxx

,

όταν για κάθε 0 υπάρχει ένα 0 τέτοιο ώστε για κάθε ),(),( oo xxax

με oxx0 να ισχύει )(xf .

Σχήμα 2

*Ο μαθηματικός ορισμός του πεπερασμένου ορίου μιας συνάρτησης f στο ox είναι

εκτός ύλης.

4 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Με παρόμοιο τρόπο σκεπτόμενοι μπορούμε να ορίσουμε τα όρια:

)(lim xfoxx

,

)(lim xfoxx

,

)(lim xfoxx

,

)(lim xfoxx

Και εδώ η f ορίζεται σε ένα σύνολο της μορφής ),(),( oo xxa .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Θεωρούμε τη συνάρτηση 2

1)(

xxf ορισμένη στο σύνολο ),2()2,( . Στο

παρακάτω σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της f .

Παρατηρούμε ότι

)(lim2

xfx

και

)(lim2

xfx

Επειδή )(lim)(lim22

xfxfxx

δεν υπάρχει το όριο της )(xf όταν 2x .

Έστω τώρα μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ),(),( oo xxa

. Τότε προφανώς ισχύουν οι ισοδυναμίες:

)(lim)(lim)(lim xfxfxfooo xxxxxx

)(lim)(lim)(lim xfxfxfooo xxxxxx

2.3) Ιδιότητες Ορίου

Αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

i) Aν

)(lim xfoxx

, τότε 0)( xf κοντά στο ox .

5 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

)(lim xfoxx

, τότε 0)( xf κοντά στο ox .

ii) Αν

)(lim xfoxx

, τότε

))((lim xfoxx

.

Αν

)(lim xfoxx

, τότε

))((lim xfoxx

.

iii) Αν

)(lim xfoxx

, τότε 0)(

1lim xfoxx

.

Αν

)(lim xfoxx

, τότε 0)(

1lim xfoxx

iv) Αν 0)( xf κοντά στο ox και αν 0)(lim

xfoxx

, τότε )(

1lim

xfoxx.

Αν 0)( xf κοντά στο ox και αν 0)(lim

xfoxx

, τότε )(

1lim

xfoxx.

v) Αν

)(lim xfoxx

ή αν

)(lim xfoxx

, τότε

)(lim xfoxx

.

vi) Αν

)(lim xfoxx

, τότε

k

xxxf

o

)(lim

Εφαρμογές:

Προφανώς ισχύουν τα παρακάτω όρια:

α)

i. vx x20

1lim , *Nv

ii. v

oxx xxo

2)(

1lim , *Nv

iii. v

oxx xxo

1lim , *Nv

β)

i.

120

1lim

vx x

, *Nv

ii.

120

1lim

vx x

, *Nv

iii.

12)(

1lim

v

oxx xxo

, *Nv

iv.

12)(

1lim

v

oxx xxo

, *Nv

6 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα που αναφέρονται στο όριο του

αθροίσματος και του γινομένου δύο συναρτήσεων.

ΘΕΩΡΗΜΑ 1 (Όριο Αθροίσματος)

Αν στο Rxo

το όριο της f

είναι:

Ra Ra

και το όριο της g

είναι:

τότε το όριο της

gf είναι:

; ;

ΘΕΩΡΗΜΑ 2 (Όριο Γινομένου)

Αν στο

Rxo

το όριο της

f είναι:

0a 0a 0a 0a 0 0

και το όριο

της g

είναι:

τότε το

όριο της

gf

είναι:

; ;

Στα παραπάνω θεωρήματα 1 και 2, εκεί που υπάρχει το ερωτηματικό, σημαίνει ότι

το όριο, αν υπάρχει, εξαρτάται από τις συναρτήσεις που έχουμε πάρει. Τότε λέμε

ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή.

Επομένως, οι απροσδιόριστες μορφές για τα όρια του αθροίσματος, της διαφοράς,

του γινομένου και του πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι:

7 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

)()( , )()( , )(0 , )(0 , 0

0,

,

,

,

.

Υπενθυμίζουμε ότι η διαφορά και το πηλίκο δύο συναρτήσεων ορίζονται ως εξής:

i. )( gfgf και

ii. g

fg

f 1

Παραδείγματα

1)

i. Δίνονται οι συναρτήσεις: 4

3)(

xxf και

4

3)(

xxg . Τότε :

40400

1lim3

3lim)(lim

xxxf

xxx και

40400

1lim3

3lim)(lim

xxxg

xxx ενώ:

00lim33

lim)()(lim04400

xxx xxxgxf

ii. Δίνονται οι συναρτήσεις: 23

)(4

xxf και

4

3)(

xxg . Τότε :

2lim

1lim32

3lim)(lim

040400 xxxx xxxf και

40400

1lim3

3lim)(lim

xxxg

xxx ενώ:

22lim3

23

lim)()(lim04400

xxx xxxgxf

iii. Δίνονται οι συναρτήσεις: 24

13)(

xxxf και

4

3)(

xxg . Τότε :

)()(

1lim

3lim

13lim)(lim

20402400 xxxxxf

xxxx και

40400

1lim3

3lim)(lim

xxxg

xxx ενώ:

2042400

1lim

313lim)()(lim

xxxxxgxf

xxx

8 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

2)

i. Δίνονται οι συναρτήσεις: 4)( xxf και 4

1)(

xxg . Τότε :

0lim)(lim 4

00

xxf

xx και

400

1lim)(lim

xxg

xx ενώ:

11lim1

lim)()(lim04

4

00

xxx xxxgxf

ii. Δίνονται οι συναρτήσεις: 4)( xxf και 2

1)(

xxg . Τότε :

0lim)(lim 4

00

xxf

xx και

200

1lim)(lim

xxg

xx ενώ:

0lim1

lim)()(lim 2

02

4

00

x

xxxgxf

xxx

iii. Δίνονται οι συναρτήσεις: 2)( xxf και 4

1)(

xxg . Τότε :

0lim)(lim 2

00

xxf

xx και

400

1lim)(lim

xxg

xx ενώ:

204

2

00

1lim

1lim)()(lim

xxxxgxf

xxx

9 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1) Αν

)(

23lim

2

2 xf

xx

x, να βρεθεί το )(lim

2xf

x.

Λύση:

Θέτουμε )(

23)(

2

xf

xxxg

οπότε

)(lim

2xg

x.

(Επειδή

)(lim2

xgx

θα έχουμε 0)( xg κοντά στο 2).

Επίσης )(

23)(

2

xg

xxxf

οπότε:

00)2232()(

1lim)23(lim

)(

23lim)(lim 2

2

2

2

2

22

xgxx

xg

xxxf

xxxx

2)Αν

)]()15[(lim 3

3xfxx

x, να βρεθεί το )(lim

3xf

x.

Λύση:

Θέτουμε )()15()( 3 xfxxxg οπότε 15

)()(

3

xx

xgxf .

Προφανώς ισχύει 0153 xx κοντά στο 3.

Επειδή

)(lim3

xgx

και 41)15(lim 3

3

xx

x έχουμε:

15

1lim)(lim

15

)(lim)(lim

333333 xxxg

xx

xgxf

xxxx

3) Δίνεται η συνάρτηση 2

75)(

23

x

xxxf . Να βρεθεί το )(lim

2xf

x.

Λύση:

Προφανώς η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),2()2,( .

10 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Έχουμε 217252)75(lim 2323

2

xx

x και 02 x κοντά στο 2.

Επειδή 02lim2

xx

έχουμε: 2

1lim

2 xx.

Άρα

2

1lim)75(lim

2

75lim)(lim

2

23

2

23

22 xxx

x

xxxf

xxxx

4) Δίνεται η συνάρτηση

5

4 53)(

xxxf . Να βρεθεί, αν υπάρχει, το )(lim

0xf

x.

Λύση:

Η f έχει πεδίο ορισμού το *R .

Έχουμε x

xxf

x

xxxf

53)(

53)(

5

5

54

.

Αν 0x έχουμε 5)53(lim 5

0

x

x και

xx

1lim

0

Οπότε

x

xx

xxf

xxxx

1lim)53(lim

53lim)(lim

0

5

0

5

00.

Αν 0x έχουμε 5)53(lim 5

0

x

x και

xx

1lim

0

Οπότε

x

xx

xxf

xxxx

1lim)53(lim

53lim)(lim

0

5

0

5

00

Άρα δεν υπάρχει στο 0ox το όριο της f .

5) Δίνεται η συνάρτηση 3)3(

14)(

2

xx

xxxf . Να βρεθεί, αν υπάρχει, το )(lim

3xf

x.

Λύση:

Η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),3()3,( .

11 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Έχουμε: 3,

3,

)3(

14

)3(

14

)(

2

2

2

2

x

x

x

xx

x

xx

xf

Αν 3x έχουμε 2)14(lim 2

3

xx

xκαι

2

3 )3(

1lim

xx(διότι 0)3( 2 x )

Οπότε

2

3

2

32

2

33 )3(

1lim)14(lim

)3(

14lim)(lim

xxx

x

xxxf

xxxx.

Αν 3x έχουμε 2)14(lim 2

3

xx

xκαι

2

3 )3(

1lim

xx(διότι 0)3( 2 x )

Οπότε

2

3

2

32

2

33 )3(

1lim)14(lim

)3(

14lim)(lim

xxx

x

xxxf

xxxx.

Άρα δεν υπάρχει στο 3ox το όριο της f .

6) Δίνεται η συνάρτηση 4

23)2()(

2

2

x

xxxf

. Να βρεθεί για ποιες τιμές του

R υπάρχει στο R το )(lim2

xfx

.

Λύση:

Η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),2()2,2()2,( .

Έχουμε:

)1(44426842232)2(]23)2[(lim 22

2

xx

x και

0)4(lim 2

2

x

x,

οπότε 4

1lim

22 xx

και 4

1lim

22 xx

Αν 101 , τότε έχουμε:

4

1]23)2[(lim)(lim

2

2

22 xxxxf

xx και

4

1]23)2[(lim)(lim

2

2

22 xxxxf

xx

12 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Επομένως δεν υπάρχει στο 2ox το όριο της f .

Αν 101 , τότε έχουμε:

4

1]23)2[(lim)(lim

2

2

22 xxxxf

xx και

4

1]23)2[(lim)(lim

2

2

22 xxxxf

xx

Επομένως δεν υπάρχει στο 2ox το όριο της f .

Αν 101 , τότε η συνάρτηση f γράφεται:

)2(

)1(

)2)(2(

)2)(1(

4

23

4

23)(

2

2

2

2

x

x

xx

xx

x

xx

x

xxxf οπότε:

4

1

)2(

)1(lim)(lim

22

x

xxf

xx

Άρα το )(lim2

xfx

υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός αν 1 .

7) Α) Δίνονται οι συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύει )()( xgxf κοντά στο

ox .

i. Αν

)(lim xfoxx

, τότε

)(lim xgoxx

ii. Αν

)(lim xgoxx

, τότε

)(lim xfoxx

Β) Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα ),0( .

i. Ανx

xf3

)( για κάθε 0x , να βρεθεί το )(lim0

xfx

ii. Αν 04)(3 2 xfx για κάθε 0x , να βρεθεί το )(lim0

xfx

Λύση:

Α) i) Έχουμε

)(lim xfoxx

οπότε 0)( xf κοντά στο ox .

Επειδή )()( xgxf κοντά στο ox , θα έχουμε 0)( xg ( κοντά στο ox ) οπότε

)()(0 xgxf .

13 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Επομένως 0)(

1

)(

1

xgxf και επειδή 0

)(

1lim xfoxx

από κριτήριο παρεμβολής

έχουμε 0)(

1lim xgoxx

.

Άρα

)(lim xgoxx

(διότι 0)( xg κοντά στο ox ).

ii) Αποδεικνύεται ομοίως.

Β) i) Ισχύει )(3

xfx για κάθε 0x και

xx

3lim

0 οπότε

)(lim

0xf

x (από Αi)

ii) Για κάθε 0x ισχύει 2

2

3

4)(04)(3

xxfxfx .

Αλλά

20 3

4lim

xx οπότε

)(lim

0xf

x (από Αii)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύει

5)(3lim3

xfxx

. Να βρεθούν: i) )(lim3

xfx

, ii) 4)(3

2)(5)(3)(lim

4

23

3

xf

xfxfxf

x.

Λύση:

i) Θέτουμε )(3)( xfxxg οπότε 5)(lim3

xgx

και 3

)()(

x

xgxf , 3x .

Επειδή 3

1lim

3 xx έχουμε

3

1)(lim)(lim

33 xxgxf

xx

ii) Επίσης :

14 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

)(

43

)(

2

)(

5

)(

31

)(

1

)(

43)(

)(

2

)(

5

)(

31)(

4)(3

2)(5)(3)(

4

32

4

4

32

3

4

23

xf

xfxfxf

xf

xfxf

xfxfxfxf

xf

xfxfxf

Οπότε έχουμε:

003

00010

)(

43

)(

2

)(

5

)(

31

)(

1lim

4)(3

2)(5)(3)(lim

4

32

34

23

3

xf

xfxfxf

xfxf

xfxfxf

xx

(Επειδή

)(lim3

xfx

θα έχουμε 0)(

1lim

3

xfx).

2) Δίνεται η συνάρτηση 1

2)1(3)(

2

2

x

xxxf

. Να βρεθεί για ποιες τιμές του

R υπάρχει στο R το )(lim1

xfx

.

Λύση:

Η f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο ),1()1,1()1,( . Έχουμε:

22)1(3)2)1(3(lim 2

1

xx

x και

0)1(lim 2

1

x

x οπότε

1

1lim

21 xx

και

1

1lim

21 xx

Αν 202 έχουμε:

1

1)2)1(3(lim)(lim

2

2

11 xxxxf

xx και

1

1)2)1(3(lim)(lim

2

2

11 xxxxf

xx

15 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Επομένως αν 2 δεν υπάρχει στο 1ox το όριο της f .

Αν 202 έχουμε:

1

1)2)1(3(lim)(lim

2

2

11 xxxxf

xx και

1

1)2)1(3(lim)(lim

2

2

11 xxxxf

xx

Επομένως αν 2 δεν υπάρχει στο 1ox το όριο της f .

Αν 202 η συνάρτηση f γράφεται:

1

43

)1)(1(

)43)(1(

1

43)(

2

2

x

x

xx

xx

x

xxxf οπότε:

2

7

1

43lim)(lim

11

x

xxf

xx

Άρα το )(lim1

xfx

υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός αν 2 .

3) Δίνεται η συνάρτηση RRf : για την οποία ισχύει )(2)()( 23 yfxxyyfxf

για κάθε Ryx , . Να βρεθεί το 40

)(lim

x

xf

x.

Λύση:

Για κάθε Ryx , ισχύει )(2)()( 23 yfxxyyfxf οπότε για xy παίρνουμε

22224223 )(0)(0)(2)()(2)()( xxfxxfxfxxxfxfxxxxfxf

Άρα για κάθε *Rx έχουμε:

24

2

4

1)(

xx

x

x

xf οπότε:

2040

1lim

)(lim

xx

xf

xx

16 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

4) Δίνεται η συνάρτηση RRf : για την οποία ισχύει

2)(5

3)(2lim

2 xf

xf

x. Να

βρεθεί το )(lim2

xfx

.

Λύση:

Θέτουμε

3)(2)())(52(3)(2)2)(5)((

3)(2)(2)()(53)(2)()2)(5(2)(5

3)(2)(

xgxfxgxgxgxf

xfxgxgxfxfxgxfxf

xfxg

Αλλά

)(lim2

xgx

οπότε

))(52(lim2

xgx

.

Επομένως 0)(52 xg κοντά στο 2, οπότε:

5)(

2

)(

32

)(52

3)(2)(

xg

xg

xg

xgxf (προφανώς 0)( xg κοντά στο 2)

Επειδή 0)(

3lim

2

xgx και 0

)(

2lim

2

xgx έχουμε:

5

2

5)(

2

)(

32

lim)(lim22

xg

xgxf

xx

5) Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει: 39

3)(lim

0 x

xxf

x

. Να βρεθεί το

)(lim0

xfx

.

Λύση:

Θέτουμε 39

3)()(

x

xxfxg

, 0x . Επομένως έχουμε

)(lim

0xg

x και

xxfxgx 3)()(39 .

Επειδή 03 x για κάθε )3

,0()0,3

(

x έχουμε:

17 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

x

xxxg

x

xxxg

xx

xxg

xx

xgxx

x

xgxxf

3

33

1

39

1)(

3

1

39

1)(

339

)(

339

)(3939

3

)(39)(

Επομένως:

1

1

3

1

6

1

3

3lim

1

3

1

39

1lim)(lim)(lim

0

000

x

xxxgxf

x

xxx

6) Αν 1)(lim 4

0

xfx

x , να βρεθούν τα όρια:

i) )(lim0

xfx

ii)

)(

5)(lim

0 xfxf

x

Λύση:

i) Θέτουμε )()( 4 xfxxg , )2

,0()0,2

(

x οπότε 1)(lim0

xgx

και

4

444

4

44

11)(

)()()(

x

xxxg

x

x

x

xg

x

xgxf

κοντά στο 0ox .

Άρα :

1

1)(1

1lim

1lim)(lim

11)(lim)(lim

0400

4

4400

u

uxxg

x

xxxgxf

uxxxx

(Θέσαμε ux 4 )

ii) Θέτουμε

)(

5

)(

5

5)(

5)()(

xf

xf

xfxfxh

.

Αλλά

)(lim0

xfx

οπότε 0)(

1lim5

)(

5lim

00

xfxf xx

Επομένως:

18 Επιμέλεια: Κοντομάρης Επαμεινώνδας - http://sciencephysics4all.weebly.com/

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

515lim5

)(

5

)(

5

lim5)(lim000

u

u

xf

xfxh

uxx

(Θέσαμε uxf

)(

5)