Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝΕργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Κατευθυνόμενοι Γράφοι

Θεωρία ΓράφωνΘεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-

Εφαρμογές

Κεφάλαιο 7: Κατευθυνόμενοι Γράφοι



Εισαγωγή (1)

• Κατευθυνόμενος γράφος (directed graph, digraph) ή προσανατολισμένος (oriented) ονομάζεται ένας γράφος D(V, A) που αποτελείται από ένα μη κενό σύνολο κορυφών V και ένα σύνολο A από διατεταγμένα ζεύγη κορυφών που ονομάζονται τόξα (arcs).

• Σε ένα τόξο (v, w) οι κορυφές v και w ονομάζονται ουρά (tail) και κεφαλή (head) ή ακόμη πηγή (source) και νεροχύτης (sink) αντίστοιχα.




• Έσω γειτονιά μιας κορυφής v είναι το σύνολο των κορυφών u που ορίζονται από τη σχέση N(v)={u V | (u, v) A}.

• Έξω γειτονιά μιας κορυφής v είναι το σύνολο των κορυφών u που ορίζονται από τη σχέση N+(v)={u V | (v, u) A}.

• Έσω βαθμός μιας κορυφής v, d(v), ονομάζεται ο αριθμός των τόξων με κεφαλή την κορυφή v.

• Έξω βαθμός μιας κορυφής v, d+(v), ονομάζεται ο αριθμός των τόξων με ουρά την κορυφή v.




• Να γραφούν οι ακολουθίες έσω και έξω βαθμών των κορυφών για τους παρακάτω γράφους.

(a) (b)

• (a) Ακολουθία έξω βαθμών: (0,1,1,1,1,1,1,1,1) Ακολουθία έσω βαθμών: (0,0,0,0,0,0,1,3,4)(b) Ακολουθία έξω βαθμών: (1,2,2,2,3) Ακολουθία έσω βαθμών: (1,2,2,2,3)




• Ισχύουν οι σχέσεις d(v)=|N(v)| και d+(v)=|N+(v)|.

• Ο ελάχιστος και ο μέγιστος έσω βαθμός ενός γράφου συμβολίζονται με d(G) και D(G) αντίστοιχα ενώ ο ελάχιστος και ο μέγιστος έξω βαθμός ενός γράφου συμβολίζονται με d+(G) και D+(G).

• Ένας κατευθυνόμενος γράφος λέγεται ισορροπημένος (balanced) ή ψευδοσυμμετρικός (pseudosymmetric) ή ισογράφος (isograph), αν για κάθε κορυφή v ισχύει:d(v)=d+(v).




• Λήμμα 7.1(Το δί-λλημα της χειραψίας): Για κάθε κατευθυνόμενο γράφο ισχύει η σχέση:

• Δηλαδή το άθροισμα των έσω βαθμών όλων των κορυφών ισούται με το άθροισμα των έξω βαθμών τους

1 1

( ) ( )n n

i i

i i

d v d v




• Στο Σχήμα (a) ο γράφος είναι ένας κατευθυνόμενος απλός γράφος (δεν έχει βρόχους και 2 κορυφές του ενώνονται με ένα τόξο το πολύ).

• Αν σε ένα κατευθυνόμενο γράφο επιτρέπεται να υπάρχουν βρόχοι, αλλά δεν επιτρέπεται 2 κορυφές να ενώνονται με περισσότερα από ένα τόξο, τότε ο γράφος αυτός λέγεται ασυμμετρικός (asymmetric) ή αντισυμμετρικός (antisymmetric).

(a)Απλός

ασυμμετρικός




• Συμμετρικός (symmetric) λέγεται ένας κατευθυνόμενος γράφος που για κάθε τόξο (u, w) υπάρχει και το τόξο (w, u). Σχήμα (b)

• Αν D είναι ένας κατευθυνόμενος γράφος τότε ο γράφος που προκύπτει από τον D αντικαθιστώντας τα τόξα με ακμές ονομάζεται υποκείμενος (underlying)

(b)Συμμετρικός

(c)Υποκείμενος

του (a)




• Ο αντίστροφος (converse) ενός κατευθυνόμενου γράφου λαμβάνεται αντιστρέφοντας την κατεύθυνση των τόξων του.

• Πλήρης κατευθυνόμενος γράφος είναι ο γράφος στον οποίο κάθε ζεύγος κορυφών ενώνεται με ένα μοναδικό τόξο

• Ένας πλήρης ασυμμετρικός γράφος χωρίς βρόχους ονομάζεται γράφος τουρνουά (tournament)

(d)Αντίστροφος

του (a)

Γράφος τουρνουά




• Ένας κατευθυνόμενος γράφος D είναι αδύναμα συνδεδεμένος (weakly connected) αν ο αντίστοιχος υποκείμενος γράφος είναι συνδεδεμένος.

• Άλλος ορισμός: ένας κατευθυνόμενος γράφος D είναι αδύναμα συνδεδεμένος (weakly connected) αν μπορούμε να φτάσουμε κάποια κορυφή ξεκινώντας από οποιαδήποτε άλλη κορυφή διασχίζοντας τα τόξα προς κάποια κατεύθυνση (όχι αναγκαστικά προς την κατεύθυνσή τους). Με άλλα λόγια αν μεταξύ 2 οποιωνδήποτε κορυφών v και w υπάρχει ένα μονοπάτι όχι απαραίτητα προσανατολισμένο. Μπορούμε π.χ. να πάμε από την κορυφή 1 στην κορυφή 2 ακόμη και αν δεν υπάρχει το τόξο (1, 2) αλλά το (2, 1).




• Μονόπλευρα συνδεδεμένος (unilaterally connected) κατευθυνόμενος γράφος είναι ο γράφος όπου 2 οποιεσδήποτε κορυφές v και w ενώνονται είτε με ένα κατευθυνόμενο μονοπάτι (προσανατολισμένο) από την v προς την w είτε με ένα κατευθυνόμενο μονοπάτι από την w προς την v.

• Ισχυρά συνδεδεμένος (strongly connected) κατευθυνόμενος γράφος είναι ο γράφος όπου 2 οποιεσδήποτε κορυφές του v και w ενώνονται με ένα κατευθυνόμενο μονοπάτι (προσανατολισμένο) από την v προς την w και με ένα κατευθυνόμενο μονοπάτι (προσανατολισμένο) από την w προς την v).




• Ο κατευθυνόμενος γράφος του Σχήματος (a) είναι αδύναμα συνδεδεμένος του Σχήματος (b) μονόπλευρα συνδεδεμένος ενώ αυτός του Σχήματος (c) ισχυρά συνδεδεμένος

(b) (c)(a)




• Να εξεταστεί αν οι παρακάτω γράφοι είναι αδύναμα συνδεδεμένοι ή ισχυρά συνδεδεμένοι .

a b c

a) Αδύναμα συνδεδεμένος, επειδή η κεντρική κορυφή δεν έχει πρόσβαση στις άλλες.

b) Ισχυρά συνδεδεμένος.

c) Αδύναμα συνδεδεμένος, επειδή η πάνω δεξιά κορυφή δεν έχει πρόσβαση στις άλλες.




• Ένας συνδεδεμένος (μη κατευθυνόμενος) γράφος G ονομάζεται προσανατολίσιμος (orientable) αν οι ακμές του μπορούν να προσανατολιστούν (δηλαδή να αποκτήσουν κατεύθυνση) με τέτοιο τρόπο ώστε ο αντίστοιχος κατευθυνόμενος γράφος να είναι ισχυρά συνδεδεμένος.

• Θεώρημα 7.1: ένας συνδεδεμένος (μη κατευθυνόμενος) γράφος G είναι προσανατολίσιμος αν και μόνο αν κάθε ακμή του περιέχεται σε τουλάχιστον έναν κύκλο.




Υπενθυμίσεις εννοιών κεφαλαίου 1.• Ακολουθία βαθμών (degree sequence) ενός γράφου είναι

μια μη αύξουσα ακολουθία ακεραίων που αντιστοιχεί στις τιμές των βαθμών των κορυφών του γράφου.

• Μια τυχούσα ακολουθία βαθμών S λέγεται γραφική (graphic) αν πράγματι αντιστοιχεί σε κάποιον γράφο G.

• Ο γράφος G που αντιστοιχεί σε δεδομένη ακολουθία S ονομάζεται πραγματοποίηση (realization) της ακολουθίας.

• Μια ακολουθία λέγεται απλή (simple) αν είναι γραφική και υπάρχει μόνο μία πραγματοποίησή της.




• Θεώρημα 7.2. Μια ακολουθία διατεταγμένων ζευγών μη αρνητικών ακεραίων S: (d−

1, d+1), (d−

2, d+2),…, (d−

n, d+n),

όπου d−1 ≥d−

2 ≥ ... ≥ d−n, είναι γραφική και αντιστοιχεί σε

κατευθυνόμενο γράφο αν και μόνο αν για κάθε ακέραιο k ισχύουν οι σχέσεις d−

k≤ n -1, d+k≤ n -1 και

ενώ για 1 ≤j<n ισχύει:1 1

n n

i ii i

d d

1 1 1min( 1, min( ,

jn n

k k kk k k j

d j d j d



DFS (1) Αλγόριθμος: DFS αναδρομικός (μη κατευθυνόμενους γράφους)Είσοδος: Ένας απλός γράφος G(V,E) με επιγραφέςΈξοδος: Ένα σύνολο Τ δεντρικών κορυφών και μια

αρίθμηση dfi(v)

1

2

3

1

2

3

4

Θέτουμε i 1 και T .

για όλες τις κορυφές vV θέτουμε dfi(v) 0 τέλοςγια

για όλες τις κορυφές v με dfi(v)=0 κλήση της DFS(v)τέλοςγια

Διαδικασία DFS(v)

Θέτουμε dfi(v) i και i i + 1.

για όλες τις κορυφές uN(v) ( (v,u) ∈ E )

αν dfi(u)=0 τότε { T T {e} (e=(v, u)), DFS(u) } τέλοςαν

τέλοςγια



DFS (2) • Ο αλγόριθμος παράγει 2 σύνολα ακμών:

– Το σύνολο Τ των ακμών που περιέχονται στα δέντρα του δάσους και ονομάζονται δεντρικές ακμές (tree edges).

– To σύνολο B=E-T των υπόλοιπων ακμών που ονομάζονται οπίσθιες ακμές (back edges)



DFS (3) v4

v3

v7

v1

v8

v5

v2

v6

v9

v10

v11

v12v13

v1

v2 v3

v4 v7v5 v6 v8

v9

v10

v11

v12

v13

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

dfi(vi) 1 2 6 7 3 4 8 5 9 10 11 12 13



DFS (4) • Ο αλγόριθμος DFS για κατευθυνόμενους γράφους είναι

παρόμοιος με τη διαφορά ότι οι ακμές που παράγονται κατατάσσονται σε 4 σύνολα:– Το σύνολο Τ των ακμών που περιέχονται στα δέντρα του

δάσους και ονομάζονται δεντρικές ακμές (tree edges).– To σύνολο B των ακμών που ονομάζονται οπίσθιες

ακμές (back edges) και ενώνουν κορυφές απογόνους προς κορυφές προγόνους.

– To σύνολο F των ακμών που ονομάζονται εμπρόσθιες ακμές (forward edges) και ενώνουν κορυφές προγόνους προς κορυφές απογόνους.

– To σύνολο C των ακμών που ονομάζονται διασταυρωνόμενες ακμές (cross edges) και δεν έχουν σχέση απογόνου προγόνου.



DFS (5)

v4v3

v7v1

v8

v5

v2v6 v9

v1 v7

v8 v9v3 v5

v4v2 v6

Οπίσθια ακμή

Εμπρόσθια ακμή

Διασταυρωνόμενη ακμή

Δενδρική ακμή

1

2

3

4

5

6

7

89

Σειρά επίσκεψης κορυφών



DFS (6)

1 2 3

4 5 6

7 8

• Να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος DFS στον παρακάτω κατευθυνόμενο γράφο.

1

2

6

3

4

5 7

8







DFS (7)

5

2 1

3 4 67

8 9

• Να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος DFS στον παρακάτω κατευθυνόμενο γράφο.

1

2

7

6

5 9

3

4

8







DFS (8) • Ένα κατευθυνόμενο γράφημα είναι άκυκλο αν δεν έχει

προσανατολισμένους (κατευθυνόμενους) κύκλους. • Μπορούμε να ελέγξουμε αν ένα γράφημα είναι άκυκλο

με μια διάσχιση του γραφήματος κατά βάθος. • Αν ένα δέντρο διάσχισης εμφανίσει ένα οπίσθιο τόξο,

συμπεραίνουμε αμέσως ότι το γράφημα έχει κύκλο. Αντίστροφα, αν δεν υπάρχει οπίσθιο τόξο, το γράφημα είναι άκυκλο.



DFS (9)

B

C

A

D

E

F

G

H

• Να δειχθεί ότι ο παρακάτω γράφος είναι άκυκλος με την εφαρμογή του DFS και τη μη ύπαρξη οπίσθιων τόξων.




Δενδρική ακμήA

E

H

F

G

B C

D



DFS(10) • Θεώρημα 7.13. Αν κατά την αναζήτηση ενός

κατευθυνόμενου γράφου με προτεραιότητα βάθους προκύψει μια διασταυρωνόμενη ακμή (u, v) τότε ισχύει η σχέση: dfi(u) > dfi(v).

• Απόδειξη: Με απαγωγή σε άτοπο. Ας υποθέσουμε ότι dfi(u) < dfi(v), δηλαδή ας υποθέσουμε ότι επισκεπτόμαστε την κορυφή u πριν την κορυφή v. Αν δίνουμε τιμή στην dfi(v) όταν ακολουθούμε την ακμή (u, v), τότε η ακμή (u, v) είναι δενδρική. Αλλιώς επισκεπτόμασε την κορυφή v ως απόγονο της u, αλλά όχι ως γιο της u. Άρα δεν μπορεί η ακμή (u, v) σε καμιά περίπτωση να είναι διασταυρωνόμενη και επομένως οδηγούμαστε σε άτοπο.



BFS (1) Αλγόριθμος: BFS (κατευθυνόμενος ή μη γράφος)Είσοδος: Ένας απλός γράφος G(V,E) με επιγραφέςΈξοδος: Ένα δέντρο διάσχισης Τ , η αρίθμηση bfi(v)

1

2

3

1

2

3

4

5

i 0 και T .

για όλες τις κορυφές v V bfi(v) 0 τέλοςγια

για όλες τις κορυφές v V με bfi(v)=0 κλήση BFS(v) τέλοςγια

Διαδικασία BFS(v)

i i + 1 και bfi(v) i .

Q = {v} //αρχικοποίηση της ουράς Q μόνο με την κορυφή v

όσο (Q ≠ )

u := dequeue(Q) //αφαίρεση κορυφής από την αρχή της ουράς

για όλες τις ακμές (u, w) E



BFS (2) Αλγόριθμος: BFS (κατευθυνόμενος ή μη γράφος)Είσοδος: Ένας απλός γράφος G(V,E) με επιγραφέςΈξοδος: Ένα δέντρο διάσχισης Τ , η αρίθμηση bfi(v)

5

6

7

8

9

10

11

12

αν bfi(w)=0

i i + 1

bfi(w) i

T T {e} ( όπου e=(u, w) )

enqueue(Q, w) // προσθήκη κορυφής w στο τέλος της ουράς

τέλοςαν

τέλοςγια

Τέλοςόσο



BFS (3) • Ο αλγόριθμος BFS χρησιμοποιεί ουρά ενώ ο DFS στοίβα

(λόγω αναδρομής).• Ο αλγόριθμος BFS επισκέπτεται τις κορυφές ανά επίπεδο:

δηλαδή πρώτα επισκέπτεται τις κορυφές που απέχουν απόσταση 1(ένα τόξο) από την αρχική κορυφή, έπειτα τις κορυφές που απέχουν 2 κ.ο.κ.

• Ο αλγόριθμος BFS για μη κατευθυνόμενους γράφους παράγει 2 σύνολα ακμών:– Το σύνολο Τ των ακμών που περιέχονται στα δέντρα

του δάσους και ονομάζονται δεντρικές ακμές (tree edges).




BFS (4)

b a c

d e f g

v a b c d e f g

bfi(v) 1 2 3 4 5 6 7

a

b c d e

f g

1

2 3 4 5

6 7

•Να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος BFS στον παρακάτω μη κατευθυνόμενο γράφο.



BFS (5)

v a b c d e f

bfi(v) 1 2 3 4 5 6

•Να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος BFS στον παρακάτω μη κατευθυνόμενο γράφο.

b

a

c d

e f

b

a

c d

e f

1

2 3 4

5 6



BFS (6) • Ο αλγόριθμος BFS για κατευθυνόμενους γράφους είναι

παρόμοιος με τη διαφορά ότι οι ακμές που παράγονται κατατάσσονται σε 3 σύνολα:– Το σύνολο Τ των ακμών που περιέχονται στα δέντρα του

δάσους και ονομάζονται δεντρικές ακμές (tree edges).– To σύνολο B των ακμών που ονομάζονται οπίσθιες

ακμές (back edges) και ενώνουν κορυφές απογόνους προς κορυφές προγόνους.


• Να σημειωθεί ότι δεν υπάρχουν εμπρόσθιες ακμές (forward edges).



BFS (7)

v4v3

v7v1

v8

v5

v2v6 v9

•Να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος BFS στον παρακάτω κατευθυνόμενο γράφο.

v1 v7

v8 v9v3 v5

v4v2

v6 Οπίσθια ακμή



1

2 3 4

5 6

7

8 9

Σειρά επίσκεψης κορυφών



BFS (8)

1 2 3

4 5 6

7 8

• Να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος BFS στον παρακάτω κατευθυνόμενο γράφο.

1

2

6

3

4

5 7 8




1

2 3

4 5 6 7

8



BFS (9)

5

2 1

3 4 67

8 9

• Να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος BFS στον παρακάτω κατευθυνόμενο γράφο.

1

2

7

6

5 9

3

4 8 Οπίσθια ακμή



1

2 3

4 5 6

7

8 9



Έλεγχος συνεκτικότητας (1) • Ερώτηση: πως μπορούμε να ελέγξουμε αν ένας γράφος

(κατευθυνόμενος ή μη) είναι αδύναμα (απλά) συνδεδεμένος (συνεκτικός) εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο BFS ή τον DFS;

• Απάντηση: Για να εξετάσουμε την απλή συνεκτικότητα ενός κατευθυνόμενου γραφήματος αρκεί να εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο BFS ή τον DFS (μόνο τις διαδικασίες BFS ή DFS χωρίς τον εξωτερικό βρόχο για) μια φορά ξεκινώντας από έναν οποιονδήποτε κόμβο. Πρέπει όμως κατά την εξέταση των γειτονικών αμαρκάριστων κόμβων ενός κόμβου v να εξετάζουμε τους κόμβους στους οποίους μπορούμε να πάμε από τον v ακολουθώντας είτε ένα εξερχόμενο είτε ένα εισερχόμενο τόξο του. Στο τέλος του αλγορίθμου αρκεί να εξετάσουμε αν επισκεφθήκαμε όλες τις κορυφές του γραφήματος.



Έλεγχος συνεκτικότητας (2) • Για να εξετάσουμε την απλή συνεκτικότητα ενός μη

κατευθυνόμενου γραφήματος αρκεί να εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο BFS ή τον DFS (μόνο τις διαδικασίες BFS ή DFS χωρίς τον εξωτερικό βρόχο για) μια φορά ξεκινώντας από έναν οποιονδήποτε κόμβο. Στο τέλος του αλγορίθμου αρκεί να εξετάσουμε αν επισκεφθήκαμε όλες τις κορυφές του γραφήματος.



Έλεγχος συνεκτικότητας (3) • Ερώτηση: πως μπορούμε να ελέγξουμε αν ένας

κατευθυνόμενος γράφος είναι ισχυρά συνδεδεμένος (συνεκτικός) εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο BFS ή τον DFS;

• Απάντηση: Για να εξετάσουμε την ισχυρή συνεκτικότητα ενός κατευθυνόμενου γραφήματος αρκεί να εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο BFS ή τον DFS (μόνο τις διαδικασίες BFS ή DFS χωρίς τον εξωτερικό βρόχο για) 2 φορές ξεκινώντας από έναν οποιονδήποτε κόμβο. Την πρώτη φορά πρέπει για κάθε κόμβο v να εξετάζουμε τους γειτονικούς αμαρκάριστους κόμβους στους οποίους μπορούμε να πάμε από τον v μέσω μόνο εξερχόμενων τόξων.



Έλεγχος συνεκτικότητας (4) • Την δεύτερη φορά πρέπει για κάθε κόμβο v να

εξετάζουμε τους γειτονικούς αμαρκάριστους κόμβους στους οποίους μπορούμε να πάμε από τον v μέσω μόνο εισερχόμενων τόξων.

• Για να είναι ο γράφος ισχυρά συνεκτικός πρέπει και στην πρώτη και στη δεύτερη εφαρμογή του αλγορίθμου να επισκεφτούμε όλους τους κόμβους του γραφήματος.



Τοπολογική Διάταξη (1) • Έστω G = (V, Α) ένας κατευθυνόμενος

(προσανατολισμένος) γράφος n κορυφών (1,2,...,n) χωρίς προσανατολισμένους κύκλους. Ένας τέτοιος γράφος λέγεται ΠΑΓ (Προσανατολισμένος Άκυκλος Γράφος). Στα αγγλικά DAG (Directed Acyclic Graph).

• Τοπολογική διάταξη (topological order ή topological sorting) ενός ΠΑΓ είναι μια διάταξη των κορυφών του έτσι ώστε αν ο γράφος G περιέχει το τόξο (v,w) τότε η κορυφή v εμφανίζεται πριν από την κορυφή w στην τοπολογική διάταξη.

• Με άλλα λόγια κάθε κορυφή στην τοπολογική διάταξη βρίσκεται πριν από όλες τις κορυφές προς τις οποίες έχει εξερχόμενα τόξα.



Τοπολογική Διάταξη (2) • Ένας πιο τυπικός ορισμός δίνεται παρακάτω. Έστω G

ένας κατευθυνόμενος γράφος n κορυφών. Μια τοπολογική διάταξη του G είναι μια διάτξη των κορυφών του (v1, v2,…,vn) τέτοια ώστε για κάθε τόξο (vi, vj) ∈G , i<j (το i να εμφανίζεται πριν το j στην διάταξη).

• Ένας ΠΑΓ μπορεί να έχει παραπάνω από μία τοπολογικές διατάξεις.



Τοπολογική Διάταξη (3)

BA

F

CD

G

E

H

I

12

3

45

6

7

9

8

•Μια τοπολογική διάταξη του παρακάτω γράφου είναι: A,B,C,D,F,E,H,G,I. •Μια ακόμη τοπολογική διάταξη του ίδιου γράφου είναι: A,C,E,B,D,F,G,H,I.

BA

F

CD

G

E

H

I

14

2

56

3

8

9

7




A B C

D E

1

2 3

5 4

• Ένας κατευθυνόμενος γράφος που έχει τοπολογική διάταξη μπορεί να σχεδιαστεί ως εξής: οι κορυφές του μπορούν να τοποθετηθούν σε μια ευθεία γραμμή και τα τόξα που συνδέουν τις κορυφές να κατευθύνονται όλα από αριστερά προς τα δεξιά.

C DE B A



Τοπολογική Διάταξη (5) #1• Θεώρημα: ένας κατευθυνόμενος γράφος έχει

τοπολογική διάταξη αν και μόνο αν δεν έχει προσανατολισμένους κύκλους (είναι δηλαδή ΠΑΓ).

• Απόδειξη: Έστω ότι ο G έχει τοπολογική διάταξη. Θα δείξουμε ότι είναι ΠΑΓ. Έστω ότι δεν είναι ΠΑΓ και ότι έχει έναν προσανατολισμένο κύκλο v1, v2,…,vk, v1

. Λόγω της ύπαρξης τοπολογικής διάταξης έστω ότι ξεκινάμε με την κορυφή v1. Η v2 πρέπει να ακολουθεί την v1 στην τοπολογική διάταξη. Η v3 πρέπει να ακολουθεί την v2 κ.ο.κ. Αλλά η v1 δεν μπορεί να ακολουθεί την vk. Συνεπώς ο G είναι ΠΑΓ.



Τοπολογική Διάταξη (5) #2• Θεώρημα: ένας κατευθυνόμενος γράφος έχει τοπολογική

διάταξη αν και μόνο αν δεν έχει προσανατολισμένους κύκλους (είναι δηλαδή ΠΑΓ).

• Απόδειξη: Αντίστροφα. Έστω ότι ο G είναι ΠΑΓ. Θα περιγράψουμε έναν αλγόριθμο για την κατασκευή μιας τοπολογικής διάταξης. Επειδή ο G είναι ΠΑΓ πρέπει να έχει τουλάχιστον μια κορυφή v1 με έσω βαθμό 0 (d(v1)=0) . Αυτό συμβαίνει διότι αν όλες οι κορυφές έχουν έσω βαθμό >0 τότε ξεκινώντας από μια τυχαία κορυφή i και ακολουθώντας ένα έσω τόξο (i, j) πηγαίνουμε στην j. Από την j ακολουθώντας ένα έσω τόξο (j, k) πηγαίνουμε στην k. Οπότε κάποτε θα συναντήσουμε πάλι την i και συνεπώς θα έχουμε ακολουθήσει έναν προσανατολισμένο κύκλο (άτοπο λόγω του ότι ο G είναι ΠΑΓ).



Τοπολογική Διάταξη (5) #3• Θεώρημα: ένας κατευθυνόμενος γράφος έχει τοπολογική

διάταξη αν και μόνο αν δεν έχει προσανατολισμένους κύκλους (είναι δηλαδή ΠΑΓ).

• Απόδειξη: Έστω λοιπόν v1 μια κορυφή με έσω βαθμό 0 (d(v1)=0). Αφαιρούμε από τον G την v1 και όλα τα εξερχόμενα τόξα της οπότε ο παραγόμενος γράφος είναι πάλι ΠΑΓ. Επομένως έχει τουλάχιστον μια κορυφή έστω v2,με έσω βαθμό 0. Αφαιρούμε πάλι από τον G την v2 και όλα τα εξερχόμενα τόξα της οπότε ο παραγόμενος γράφος είναι πάλι ΠΑΓ. Ακολουθώντας την παραπάνω διαδικασία μέχρις ότου ο G να γίνει κενός παίρνουμε την διάταξη v1, v2,…,vn των κορυφών του G. Λόγω της κατασκευής της παραπάνω διάταξης αν (vi, vj) είναι ένα τόξο του G, η κορυφή vi διαγράφεται πριν την κορυφή vj και συνεπώς i<j. Άρα η παραπάνω διάταξη είναι τοπολογική διάταξη.



Τοπολογική Διάταξη (6) • Ο επόμενος αλγόριθμος παράγει την τοπολογική

διάταξη ενός γραφήματος την οποία αποθηκεύει στο διάνυσμα σειρά. Σειρά(i) είναι η σειρά με την οποία επισκεπτόμαστε την κορυφή i.

• Αν δεν υπάρχει τοπολογική διάταξη ο αλγόριθμος επιστρέφει ένδειξη ότι υπάρχει προσανατολισμένος κύκλος.

• Αντί ουράς μπορεί να χρησιμοποιηθεί στοίβα.



Τοπολογική Διάταξη (7) Αλγόριθμος: Τοπολογική ΔιάταξηΕίσοδος: Ένας κατευθυνόμενος γράφος G(V, Α)Έξοδος: Διάνυσμα τοπολογικής διάταξης σειρά ή ένδειξη κύκλου

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Υπολόγισε τους έσω βαθμούς d−(j), ∀ j Α

k = 1

Q = {j Α : d−(j) = 0} // Βάλε στην ουρά Q κόμβους με d−(j) = 0

όσο Q

i = dequeue(Q) // Βγάλε τον 1ο κόμβο από την αρχή της ουράς

σειρά(i) = k , k = k + 1

για όλα τα τόξα (i, j) Α

d−(j)= d−(j) - 1

αν d−(j) = 0 τότε enqueue(Q, j) τέλοςαν

τέλοςγια

τέλοςόσο



Τοπολογική Διάταξη (8) Αλγόριθμος: Τοπολογική ΔιάταξηΕίσοδος: Ένας κατευθυνόμενος γράφος G(V, Α)Έξοδος: Διάνυσμα τοπολογικής διάταξης σειρά ή ένδειξη κύκλου

12

13

14

αν (k <= n ) τότε //οι κορυφές δεν πήραν όλες σειρά

“Υπάρχει προσανατολισμένος κύκλος”

τέλοςαν



Τοπολογική Διάταξη (9) • Να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος της τοπολογικής διάταξης

στο παρακάτω γράφημα.

2

1

3

4

5



Τοπολογική Διάταξη (10) • Να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος της τοπολογικής διάταξης

στο παρακάτω γράφημα.

2

1

3

4

5

1

2

1

3

4

5

1

2

2

1

3

4

5

1

2

3

2

1

3

4

5

1

2 4

3

2

1

3

4

5

1

2 4

3 5




A B C

D E

1

• Να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος της τοπολογικής διάταξης στο παρακάτω γράφημα.

A B C

D E

1

2

A B C

D E

•Ο αλγόριθμος παράγει ένδειξη ότι το γράφημα έχει προσανατολισμένους κύκλους



Γράφοι τουρνουά (1)

• Πλήρης κατευθυνόμενος γράφος είναι ο γράφος στον οποίο κάθε ζεύγος κορυφών του ενώνεται με ένα και μοναδικό τόξο.

• Ένας πλήρης ασυμμετρικός γράφος χωρίς βρόχους ονομάζεται γράφος τουρνουά (tournament).

• Η ονομασία τουρνουά οφείλεται στο ότι ο γράφος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απεικόνιση των αποτελεσμάτων αγώνων (τένις, μπάσκετ, κ.λ.π.) τύπου round-robin (δηλαδή, κάθε παίχτης/ομάδα παίζει εναντίον όλων), στους οποίους δεν επιτρέπεται να υπάρχει ισοπαλία.




• Το σκορ μιας κορυφής ενός γράφου-τουρνουά ισούται με τον έξω βαθμό της. Είναι ευνόητο ότι οι κορυφές του γράφου κατατάσσονται με βάση το σκορ για να αναδειχθεί η νικήτρια.

• Για παράδειγμα στον γράφο του παρακάτω σχήματος η ομάδα z νίκησε την ομάδα w, αλλά νικήθηκε από την ομάδα v. Πρωταθλήτρια είναι η ομάδα v αφού έχει σκορ 5.

z v

w




• Επειδή ένας πλήρης γράφος έχει m = n*(n-1)/2 ακμές, το ίδιο ισχύει και για έναν γράφο τουρνουά.

• Επίσης για έναν τέτοιο γράφο ισχύει η σχέση:

( ) ( )v V v V

m d v d v



Γράφοι τουρνουά (4) (#1)

• Θεώρημα 7.3. Έστω v μια κορυφή με μέγιστο έξω-βαθμό σε ένα γράφο-τουρνουά. Η απόσταση από την κορυφή αυτή προς κάθε άλλη κορυφή είναι 1 η 2.

• Απόδειξη: Έστω ότι η κορυφή v έχει μέγιστο έξω βαθμό d+(v)=k και ας υποθέσουμε ότι είναι γειτονική προς τις κορυφές v1,v2,…,vk. Συνεπώς η απόσταση της v προς τις κορυφές αυτές είναι dist(v,vi)=1, ∀ 1≤ i≤ k. Επιπλέον η v είναι γειτονική από τις υπόλοιπες n-k-1 κορυφές που τις συμβολίζουμε με u1,u2,…,un-k-

1.Πρέπει να δειχθεί ότι dist(v,ui)=2, ∀ 1≤ i≤n-k-1. Αν κάθε ui (1≤ i≤n-k-1) είναι γειτονική (dist(vj,ui)=1) από κάποια vj (1≤ j≤k) τότε το ζητούμενο ισχύει.





• Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι κάποια κορυφή ul (1≤l≤n-k-1) δεν είναι γειτονική από καμία κορυφή vi. Τότε η ul είναι γειτονική προς όλες τις κορυφές v1,v2,…,vk και επίσης είναι γειτονική προς την v. Αλλά τότε θα ίσχυε d+(ul)=k+1 που είναι άτοπο διότι τότε η ul θα είχε μεγαλύτερο έξω βαθμό από την v. Επομένως κάθε κορυφή ul είναι γειτονική από κάποια κορυφή vi.





• Απόδειξη: v1

v2

vk

vu1

u2

ul

un-k-1

…...

…...



Γράφοι τουρνουά (5) • Ένας γράφος τουρνουά λέγεται μεταβατικός

(transitive) αν δοθέντων των τόξων (x, y) και (y, z) υπάρχει και το τόξο (x, z).

• Στο άνω μέρος του παρακάτω σχήματος παρουσιάζονται οι γράφοι τουρνουά τάξης 3. Ο 1ος λέγεται μεταβατική τριπλέτα ενώ ο 2ος κυκλική τριπλέτα. Στο κάτω μέρος δείχνονται οι γράφοι τουρνουά τάξης 4 (μόνο ο 1ος εξ’αυτώνείναι μεταβατικός).




• Θεώρημα 7.4. Ένας γράφος-τουρνουά είναι μεταβατικός αν και μόνο αν είναι άκυκλος.

• Απόδειξη: Έστω Τ ένας μεταβατικός γράφος τουρνουά n κορυφών. Έστω ότι ο Τ περιέχει τον κύκλο C={x1,x2,…,xr,x1} όπου (r≥3). Εφόσον υπάρχουν τα τόξα (x1,x2) και (x2,x3) λόγω της μεταβατικότητας υπάρχει και το (x1,x3). Με παρόμοιο σκεπτικό προκύπτει ότι υπάρχουν και τα τόξα (x1,x4),..., (x1,xr). Αυτό όμως είναι αντίφαση (λόγω ασυμμετρικότητας) στο γεγονός ότι υπάρχει το τόξο (xr,x1). Άρα ο Τ πρέπει να είναι άκυκλος. Κατά την αντίθετη φορά ας υποθέσουμε ότι ο Τ είναι άκυκλος γράφος τουρνουά και ότι υπάρχουν τα τόξα (x1,x2) και (x2,x3). Εφόσον ο Τ είναι άκυκλος έπεται ότι δεν υπάρχει το τόξο (x3,x1), άρα υπάρχει το τόξο (x1,x3), διότι μεταξύ 2 κορυφών υπάρχει ακριβώς ένα τόξο Συνεπώς ο Τ είναι μεταβατικός.

Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

Documents

Transcript of Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές