§ Εισαγωγή στα διανύσματα Σωστό - Λάθος 1. Για κάθε διάνυσμα ισχύει : aa −= 2. Είναι : aa − ↑↓ 3. Αν β−↑↑a , τότε : β↑↑− a 4. Αν β↑↑a και γβ −↑↑ , τότε : γ↑↓a

5. Αν →→

Γ= A , τότε τα Β , Γ συμπίπτουν . AB

6. Για μη-μηδενικά διανύσματα a , β ισχύει : ( ) (∧∧

−−= ββ ),, aa

§ Πρόσθεση - Αφαίρεση διανυσμάτων Σωστό - Λάθος

1. Αν →→

Γ= BAB , τότε τα Α , Γ ταυτίζονται .

2. Ισχύει : →→→

Λ=Λ− KAAK .

3. Αν για τα διαφορετικά σημεία Α , Β , Γ , Δ ισχύει η σχέση : →→

, τότε το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο .

→

Γ=ΓΔ+ AAB

4. Για τα διαφορετικά σημεία Α , Β , Γ ισχύει : →→→

Γ<Γ+ ABAB .

5. Αν τα a , β είναι μη συγγραμμικά , τότε : aa −=− ββ και )a . ( ) (a −↑↓− ββ

6. Αν 0=+ βa , τότε β−=a .

7. Αν β=a και τα a , β δεν είναι παράλληλα , τότε 0=a και 0=β .

8. Αν ( ) φβ ˆ, = , τότε . ∧

a ( ) φπβ ˆ, −=−∧

a

§ Ασκήσεις στην πρόσθεση - αφαίρεση διανυσμάτων 1] Να σχεδιάσετε δύο διανύσματα με κοινή αρχή τέτοια , ώστε . Στην συνέχεια να σχηματίσετε το παραλληλόγραμμο που ορίζουν τα διανύσματα αυτά και να σημειώσετε τα διανύσματα και . β+a β−aΠοιο από τα παρακάτω είναι (Σ) και ποια (Λ) ;

1. Το σχήμα είναι ρόμβος .

2. ββ +<− aa 3. )()( ββ +⊥− aa 2] Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ΓΕ // ΒΔ . Ποιο από τα παρακάτω είναι (Σ) και ποια (Λ) ;

1. →→→→

Γ+Δ=Δ+ BABAB Α Δ Ε

2. →→→→→

Γ+=ΓΔ+Γ+ EABBAB Β Γ

3. →→→

=Γ+Δ BAEA

4. →→→→→→

Γ+Γ+Δ=Δ+Γ+Γ BEBBBA

3] Με την βοήθεια του σχήματος να συμπληρώσετε τις ισότητες και να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας . Γ Δ Ε

Β Α Ζ

1. 2. →→→

=Δ+ ...BEBA→→→

=+ ...AAEAB

3. ΓΔ 4. →→→

=Δ+ ...BB→→→

=−Δ ...BZEB

5. ZB 6. →→→

=+ ...ZZE ...=−Γ→→

ABA

7. 8. Γ ...=Γ−Δ−Δ→→→

ZAB ...=Δ−Δ+→→→

ZBZ

4] Έστω τρίγωνο ΑΒΓ . α) Να σημειώσετε τα σημεία Δ , Ε , Ζ για τα οποία ισχύει :

→→

Γ=Δ BA , →→→

Γ+= BBABE , →→→

Γ−= BBAAZ . β) Να δείξετε ότι το ΔΖΕΓ είναι παραλληλόγραμμο . 5] Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Ρ τυχαίο σημείο της ΒΓ . Ορίζουμε σημείο Μ τέτοιο , ώστε :

→→→→

Γ++= PPBAPPM Να δείξετε ότι το ΑΒΜΓ είναι παραλληλόγραμμο .

§ Πολλαπλασιασμός διανύσματος επί αριθμού

Σωστό - Λάθος

1. Αν ΚΛ = 2ΛΜ , τότε →→

Λ=Λ MK 2 .

2. Αν Κ , Λ , Μ είναι συνευθειακά και ΚΛ = 2ΛΜ , τότε →→

Λ=Λ MK 2 .

3. Αν Κ , Λ , Μ είναι συνευθειακά και ΚΛ = 2ΛΜ , τότε →→

Λ=Λ MK 2 ή →→

Λ−=Λ MK 2 . 4. Αν βkak = , τότε β=a , ℜ∈∀k . 5. Αν βλ=ak και τα β,a είναι μη- συγγραμμικά , τότε 0== λk . 6. Αν 0=a , τότε 0=a . 7. Αν β , τότε β)4( 2 += ka ↑↑a . 8. Αν β5−=a , τότε β5−=a .

9. Αν 0≠a , τότε το διάνυσμα aa⋅−

1 έχει μέτρο -1 .

10. Το διάνυσμα aaa ⋅− έχει αντίθετη φορά από το a

a⋅−

1 .

Ασκήσεις στον πολλαπλασιασμό διανύσματος επί αριθμού

1] Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με uA =Δ→

, v=ΔΓ→

και vuB 3+=Δ→

. Να δείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο με βάσεις τις πλευρές ΑΒ και ΓΔ . 2] Δίνονται τα σημεία του επιπέδου Α , Β , Γ , Δ και έστω Κ , Λ , Μ , Ν τα μέσα των ΑΒ , ΓΔ , ΑΓ , ΒΔ αντίστοιχα . α) Να δείξετε ότι :

→→→

Γ+Δ=Λ BAK2 και →→→

ΓΔ+= ABMN2 β) Να βρεθεί η σχέση που έχουν τα διανύσματα , όταν είναι :

i) →

→

= MNAB

ii) 0= →

MN 3] Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω σημείο Μ του επιπέδου τέτοιο , ώστε :

→→→

Δ+= AABAM 3

α) Να σχηματίσετε το διάνυσμα →

AM β) Να δείξετε ότι τα σημεία Δ , Γ , Μ είναι συνευθειακά . 4] Δίνονται τα σημεία του επιπέδου Α , Β ,Γ . Να δείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το

διάνυσμα →→→

Γ−+ MMBMA 2 είναι σταθερό . 5] Στην πλευρά ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε ένα σημείο Μ τέτοιο , ώστε :

→→

Γ= MBM 32 Να δείξετε ότι :

→→→

Γ+= AABAM 325 6] Αν για τα διανύσματα γβ ,,a ισχύουν :

γβ 1243 ==a και 0=++ γβa

να δείξετε ότι : // a β // γ

7] Αν για τα διανύσματα γβ ,,a ισχύουν :

532γβ

==a

και 0=++ γβa

να δείξετε ότι : 1. β↑↑a 2. γβ ↑↓ 8] Δίνονται τα σημεία Α , Β , Γ του επιπέδου και έστω Ο σημείο αναφοράς .

Αν , ∀ →→→→

−+Γ=+ OBOOBOA )1(2 λλ *ℜ∈λ Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . 9] Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ . Να βρεθεί σημείο Ρ τέτοιο ώστε να είναι :

→→→→

Δ=Γ++ PPPBPA 10] Έστω τα σημεία Α, Β, Γ του επιπέδου, τέτοια ώστε :

β53 +=→

aOA , βλ −=→

aOB και βkaO +=Γ→

4 όπου Ο σημείο αναφοράς , β,a μη- συγγραμμικά και ℜ∈λ,k , με 3=− kλ . Αν τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά , να βρείτε τις τιμές των λ,k . 11] Δίνονται τα σταθερά σημειά του επιπέδου Α , Β, Γ, Δ και το μεταβλητό σημείο Μ .

Να δείξετε ότι το διάνυσμα →→→→

Γ−+Δ+= MMBMMAa 42 είναι σταθερό . Γεωμετρικοί Τόποι 1] Αν Α , Β , Γ , Δ είναι σταθερά σημεία του επιπέδου , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ , για τα οποία ισχύει :

→→→→

Δ+Γ=+ MMMBMA

2] Έστω Α , Β , Γ σταθερά μη - συνευθειακά σημεία του επιπέδου , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ , για τα οποία ισχύει :

→→→→→→

−Γ+=+Γ+ MAMMBMAMMB 22

§ Συντεταγμένες στο επίπεδο

Σωστό - Λάθος 1. Είναι : ( ) 0,det =aa λ 2. Είναι : ( ) 1,det =ji 3. Κάθε διάνυσμα παράλληλο στον άξονα x'x έχει τετμημένη μηδέν . 4. Αν jia += , τότε η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x'x είναι 045=ϕ . 5. Αν jia 33 += , τότε 030=ϕ . 6. Αν 0≠a με συντελεστή διέυθυνσης λ , τότε το a− έχει συντελεστή διέυθυνσης -λ .

7. Αν 32

=aλ , τότε ( )2,3=a .

Ασκήσεις στο εσωτερικό γινόμενο

3. Αν→→

≠⋅ 0β και 21

→→

με →→

β//1a , →→

⊥β2a , να δείξετε ότι →

+= aaa

→

→

→→→

⋅⋅

= ββ

β21

aa και →

→

→→→→

⋅⋅

−= ββ

β22

aaa .

4. Αν →→→

≠ 0,βa και ισχύει 1=−++→→→→

ββ aa , τότε : →

→

≤⋅41βa

Αν επιπλέον 4122

=+→→

βa , τότε : →→

⊥βa

3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με )2,0(A , )2,2(B , )33,33( ++Γ να υπολογιστούν οι γωνίες

του .

4. Αν για τα β,a ισχύουν →→ →→ →→→

= βa2 και =+ aa β , να δείξετε ότι τα β,a είναι

αντίρροπα .

→→

5. Αν Α(1 ,1) , Β( 3, 2) , Γ( 2 ,3 προσδιορίσετε το Δ , ώστε το ΑΒΓΔ να είναι ) , να

παραλληλόγραμμο .

2=→

a , 2=→

β 6. Έστω και . Να βρείτε την γωνία των διανυσμάτων

, .

045, =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ →→

βa

→→

− βa→

β

2===→→→

γβa7. Έστω και . Να το μέτρο του →→→→

=++ 0γβa υπολογίσετε

.

8. Έστω

→→→

++ γβ32 a

2=→

a , 5=→

β και 3

2, πβ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ →→

a . Αν , να υπολογιστεί το μέτρο

του .

→→→

−= βγ 45 a

→

γ