Μονοτονία – Ακρότατα

Ερώτηση 1: Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα (α, β);Απάντηση: Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα (α, β), αν για οποιουσδήποτε δύο αριθμούς x1 και x2 στο (α, β) ισχύει ότι f(x1) < f(x2), εφόσον x1

< x2.

Ερώτηση 2: Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα (α, β);Απάντηση: Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα (α, β), αν για οποιουσδήποτε δύο αριθμούς x1 και x2 στο (α, β) ισχύει ότι f(x1) > f(x2), εφόσον x1

< x2.

Παρατήρηση: Η μονοτονία μιας συνάρτησης εκφράζει αύξηση ή μείωση στις τιμές της, καθώς αυξάνει η ανεξάρτητη μεταβλητή x.

Θεώρημα: Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (α, β)→ℜ.(i) Αν f΄(x) > 0, για κάθε x∈(α, β), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β).(ii) Αν f΄(x) < 0, για κάθε x∈(α, β), τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α, β).

Παρατήρηση: Δεν ισχύει το αντίστροφο του προηγούμενου θεωρήματος. (Δηλαδή αν f είναι γνησίως αύξουσα τότε δεν είναι υποχρεωτικά f΄(x) > 0)

Παρατήρηση: Είναι φανερό ότι αν f΄(x) = 0 τότε η f είναι σταθερά.

Παρατήρηση: Αν η παράγωγος μια συνάρτηση μηδενίζεται σε μερικά σημεία, τότε η συνάρτηση δεν είναι υποχρεωτικά σταθερή.

Ερώτηση 3: Πότε μια συνάρτηση f έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο x = x0;Απάντηση: Μια συνάρτηση f έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο x = x0, αν υπάρχει ανοιχτό διάστημα (α, β) που περιέχει το x0, τέτοιο ώστε f(x)≤f(x0), για κάθε x∈(α, β).

Ερώτηση 4: Πότε μια συνάρτηση f έχει τοπικό ελάχιστο στο σημείο x = x0;Απάντηση: Μια συνάρτηση f έχει τοπικό ελάχιστο στο σημείο x = x0, αν υπάρχει ανοιχτό διάστημα (α, β) που περιέχει το x0, τέτοιο ώστε f(x)≥f(x0), για κάθε x∈(α, β).

Θεώρημα ( Fermat ): Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο x0 του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε f΄(x0) = 0.

Παρατήρηση: Δεν ισχύει το αντίστροφο του προηγούμενου θεωρήματος. (Δηλαδή αν f΄(x0) = 0 τότε δεν είναι υποχρεωτικά το σημείο x0 τοπικό ακρότατο)

Ερώτηση 5: Να διατυπώσετε το Θεώρημα Fermat.Απάντηση: Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο x0 του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε f΄(x0) = 0.

Πιθανές Θέσεις Τοπικών Ακρότατων ΣυνάρτησηςΥπάρχουν τρεις κατηγορίες σημείων για μια συνεχή συνάρτηση f, που μπορεί να θεωρηθούν ως πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων:(i) Τα άκρα διαστημάτων που αποτελούν το πεδίο ορισμού της f.

133

(ii) Τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της f στα οποία δεν υπάρχει η παράγωγος της f. Τα σημεία αυτά καλούνται γωνιακά σημεία της f.(iii) Τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της f στα οποία υπάρχουν η παράγωγος της f και είναι ίση με μηδέν. Τα σημεία αυτά καλούνται στάσιμα σημεία της f.

Ερώτηση 6: Ποια σημεία λέγονται στάσιμα;Απάντηση: Τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της f στα οποία υπάρχουν η παράγωγος της f και είναι ίση με μηδέν.

Ερώτηση 7: Ποια σημεία λέγονται κρίσιμα;Απάντηση: Τα γωνιακά και στάσιμα σημεία λέγονται κρίσιμα σημεία της f.

Κριτήριο 1 ης Παραγώγου: Έστω συνεχής συνάρτηση f: (α, β)→ℜ και x0 ένα κρίσιμο σημείο της.(i) Αν f΄(x) > 0 στο (α, x0) και f΄(x) < 0 στο (x0, β), τότε το f(x0) είναι τοπικό μέγιστο της f.(ii) Αν f΄(x) < 0 στο (α, x0) και f΄(x) > 0 στο (x0, β), τότε το f(x0) είναι τοπικό ελάχιστο της f.(iii) Αν η f΄(x) διατηρεί σταθερό πρόσημο στα διαστήματα (α, x0) και (x0, β), τότε το f(x0) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α, β).

Παρατήρηση: Το κριτήριο της 1ης Παραγώγου μας καλύπτει για τη μελέτη ακροτάτων στα άκρα ενός διαστήματος.

Παρατήρηση: Αν η f ξεκινά από αριστερό άκρο διαστήματος του πεδίου ορισμού της και

είναι γνησίως φθίνουσα, τότε στο άκρο αυτό παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Αν η f καταλήγει σε δεξιό άκρο διαστήματος του πεδίου ορισμού της και είναι

γνησίως αύξουσα, τότε παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Αν η f ξεκινά από αριστερό άκρο διαστήματος του πεδίου ορισμού της και

είναι γνησίως αύξουσα, τότε στο άκρο αυτό παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. Αν η f καταλήγει σε δεξιό άκρο διαστήματος του πεδίου ορισμού της και είναι

γνησίως φθίνουσα, τότε παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

Κριτήριο 2 ης Παραγώγου: Έστω συνεχής συνάρτηση f: Α→ℜ και x0 ένα στάσιμο σημείο της f. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο x0, τότε παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x0 αν f΄΄(x0) < 0, ενώ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x0 αν f΄΄(x0) > 0.

Παρατήρηση: Το δεύτερο κριτήριο μελέτης τοπικών ακροτάτων είναι περισσότερο εύχρηστο και χρησιμοποιείται για συναρτήσεις που είναι τουλάχιστον δύο φορές παραγωγίσιμες. Συνεπώς, με το κριτήριο αυτό μπορούμε να μελετήσουμε μόνο αν τα στάσιμα σημεία μιας συνάρτησης είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων.

Ερώτηση 8: Να διατυπώσετε το κριτήριο ή τα κριτήρια με τα οποία εξασφαλίζουμε ότι είναι ακρότατα:α) τα άκρα διαστήματος.β) τα γωνιακά σημεία.γ) τα στάσιμα σημεία.

134

Μονοτονία - Ακρότατα1. Να εξετάσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις.

i. f(x) = 3x + 5 ii. f(x) = -3x + β iii. f(x) = 2x2 – 4x + 2iv. f(x) = -3x2 – 5x + ln2 v. f(x) = 3x2 – 1 vi. f(x) = - x2 + 6x + 8vii. f(x) = - 4(x2 + 1) + 16x – 9

2. Να εξετάσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις.i. f(x) = -2x3 + 6x + 2 ii. f(x) = 4x3 – 12x + 2006

iii. f(x) = + 8x – 5 iv. f(x) = x3 + 5x – 1

v. f(x) = 1 – 2x – x3 vi. f(x) = -x3 + 3x2 + 1

vii. f(x) = 2x3 + 3x2 – 5 viii. f(x) = – + ln2

ix. f(x) = -x3 – 6x2 + 4 x. f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1

xi. f(x) = + x2 + 3x – 1 xii. f(x) = 2x3 3x2+12x +

xiii. f(x) = + 8x2 + + 5 xiv. f(x) = -2x3 + 1

xv. f(x) = + 2x2 + 4x + 1 xvi. f(x) = -3x3 + 3x2 – x + 2

xvii. f(x) = x3 – x2 + x – 5 xviii. f(x) = -x3 + x2 – 2x + 5

3. Να εξετάσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις.

i. f(x) = + – + 18x – 1 ii. f(x) = + 4x3 + 9x2 – 1

iii. f(x) = x4 – 8x3 + 22x2 – 24x +10 iv. f(x) = - 2x3 – 6x2 + 1

v. f(x) = + + – x – 2 vi. f(x) = x4 – 6x2 – 8x + 4

vii. f(x) = x4 + 4x – 2 viii. f(x) = -3x4 + 12x + 5ix. f(x) = x5 + 4x3 + 9x x. f(x) = 2x3 +5x + 1xi. f(x) = x5 – 5x4 + 5x3 + 10x2 – 20x – 5 xii. f(x) = 3x5 – 1

4. Να εξετάσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις

i. ii. iii.

iv. v.

5. Να εξετάσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις

135

i. ii. iii.

iv. v. vi.

vii. viii.

ix. x.

xi. xii.

6. Να εξετάσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσειςi. f(x) = e2x ii. f(x) = e-3x iii. f(x) = 2x

iv. f(x) = e5x v. f(x) = e-6x vi. f(x) =

vii. f(x) = x – e-3x viii. f(x) = e2x + x – 1 ix. f(x) = x3 + 4x + 2ex

x. f(x) = xex xi. f(x) = xex – 2ex xii. f(x) = (x + 3)ex

xiii. f(x) = (x2 – 8)ex xiv. f(x) = ex(x2 – 6x + 9) xv. f(x) = (2x – x2)ex

xvi. f(x) = x2e-x xvii. f(x) = e-x(x2 + 2x + 2) xviii. f(x) = 4x2e-2x

xix. f(x) = xx. f(x) = xxi. f(x) =

xxii. f(x) = ex – x + 1 xxiii. f(x) = ex – 3x + 1 xiv. f(x) = xe1/x

xv. f(x) = 2xe-x + (x – 1)2

7. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x2 – 3)ex, x∈ℜ.α) Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f.β) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.γ) Για ποιες τιμές του x η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα; Να προσδιορίσετε το είδος τους και να υπολογίσετε τις τιμές τους.

8. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: , με x∈ℜ.

α) Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f.β) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.

γ) Να αποδείξετε ότι για x = 3 η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο ίσο με .

9. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = , x∈ℜ.

α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία.

β) Δίνεται η συνάρτηση h(x) = , x∈ℜ. Να λυθεί η εξίσωση

f(x)=h(x).

136

10. Να εξετάσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσειςi. f(x) = lnx + x – 1 ii. f(x) = 6(2 + lnx) + 12x iii. f(x) = x – 1 – lnx

iv. f(x) = lnx – + 1 v. f(x) = lnx – x + 2 vi. f(x) = x2 + 1 – 8lnx

vii. f(x) = 12lnx + x2 – 10x viii. f(x) = 2lnx + ix. f(x) = xlnx

x. f(x) = 2xlnx + x xi. f(x) = xlnx – x xii.

xiii. f(x) = x2lnx xiv. f(x) = 3x2 xv. f(x) = ln2x + 2lnx

xv. f(x) = xln2x xvi. f(x) = (x2 – 6x)lnx –

xvii. f(x) = (x2 – x)lnx +

11. Να εξετάσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις

i. f(x) = x2 + xσυνx – ημx ii. f(x) =

iii. f(x) = iv. f(x) =

v. f(x) = vi. f(x) = (5x – 1)(x – 2)5

vii. f(x) = (x2 + 2x)7 viii. f(x) = ln(x2 + 1)ix. f(x) = ln(x2 – 6x + 5) x. f(x) = ln(5x2 -12x + 9)xi. f(x) = ln(6 – 5x – x2)

12. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τις θέσεις, το είδος των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f μεα) f΄(x) = (x – 1)3(x – 2)2(x – 3) β) f΄(x) = (x – 1)5(x – 2)4(x – 3)

13. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g:(0, + ∞)→ℜ με f(x) = και g(x) = x – xlnx.

α) Να αποδείξετε ότι παρουσιάζουν μέγιστο σε σημείο με την ίδια τετμημένη.β) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση h(x) = f(x) + g(x).

14. Δίνεται η συνάρτηση f: ℜ→ℜ με τύπο:

f(x) = x2 + αx + 5, όπου α =

α) Να υπολογίσετε την τιμή του πραγματικού αριθμού α.β) Αν α = -4, να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.γ) Αν α = -4, να αποδείξετε ότι f(x) > 0 για κάθε x∈ℜ.

137

15. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 – 3x – 1, με x∈[-3, 2]. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

16. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 – 12x + 1, με x∈[-3, 3]. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

17. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τις θέσεις, το είδος των τοπικών

ακροτάτων της συνάρτησης f: [0, 5]→ℜ με f΄(x) = (x – 1)3(x – 2)2(x – 3).Ανισότητες

18. α) Αν f(x) = x3 – x2 – x + 1, x∈ℜ να μελετήσετε τη μονοτονία και να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f.β) Να συγκρίνετε τις τιμές f(2011) και f(2012) και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

19. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: , όπου x > 1.

α) Να δείξετε ότι

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (1, +∞). Κατόπιν να συγκρίνετε τις τιμές f(2010) και f(2011).

20. Δίνεται η συνάρτηση f: (0, +∞)→ℜ με .

α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.β) Να συγκριθούν οι τιμές f(π) και f(e).γ) Να συγκριθούν οι αριθμοί eπ και πe.δ) Να συγκριθούν οι τιμές f(1) και f(e).

21. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = lnx – x – 1.α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.β) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f.γ) Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία.δ) Να αποδείξετε ότι: ln2008 – 2009 > ln2009 – 2010

22. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = – 2x2 + 3x + 2008, όπου x∈ℜ.

α) Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος f΄ της f.β) Να εξεταστεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.γ) Να δειχθεί ότι f(x) ≥ 2008 για κάθε πραγματικό αριθμό x, όπου x∈[1, +∞).

23. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = 10lnx – 5x2, x > 0.α) Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος f΄ της f.β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.

138

γ) Για ποια τιμή του x η f παρουσιάζει ακρότατο. Να προσδιορίσετε το είδος του ακροτάτου και να το υπολογίσετε.δ) Να δείξετε ότι f(x) ≤ -5, για κάθε x > 0.

24. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (3x – 1)(x – 1)3.α) Να βρείτε τα ακρότατα της f.

β) Να αποδείξετε ότι , για κάθε x∈ℜ.25. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ν3x + , x∈(0, 1) και όπου ν ακέραιος με ν > 2.

α) Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία.β) Να βρείτε τα ακρότατα της f και να δείξετε ότι f(x) ≥ 3ν2 για κάθε x∈(0, 1).

26. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex – x – 1.α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και ακρότατα.β) Να αποδείξετε ότι ex ≥ x + 1 για κάθε x∈ℜ.

27. Δίνεται η συνάρτηση .

α) Να βρείτε τα ακρότατα της f.β) Να αποδείξετε ότι xe ≤ ex, για κάθε x > 0.

Εύρεση Παραμέτρων28. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = αx2 + 2x – 3, x∈ℜ.

α) Αν f΄(2) = -2, να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό α.β) Για α = -1, να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

29. Δίνεται η συνάρτηση f: ℜ→ℜ με f(x) = 2x3 – 9x2 + αx + β με α, β∈ℜ.α) Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης f.β) Αν f΄(1) = 0 και f(2) = 5, να βρείτε τα α και β.γ) Για τις τιμές των α και β που βρήκατε στο ερώτημα (β), να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.

30. Δίνεται η συνάρτηση f: ℜ→ℜ με τύπο f(x) = 4x3 – 6x2 + α +2008, όπου α πραγματικός αριθμός.α) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f.β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.γ) Να δείξετε ότι η έχει ένα τοπικό ελάχιστο, το οποίο να υπολογίσετε συναρτήσει του α.δ) Να υπολογίσετε το α αν το τοπικό ελάχιστο είναι ίσο με 2009.

139

31. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x3 – 3x2 + α + 2011, α∈ℜ.α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία.β) Να δείξετε ότι η f έχει ένα τοπικό ελάχιστο, το οποίο και να βρείτε.γ) Να βρείτε το α, αν το τοπικό ελάχιστο της είναι 2012.

32. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x3 – 6x + μ. Να βρείτε το μ∈ℜ αν το μέγιστο της συνάρτησης f είναι 9.

33. Δίνεται η συνάρτηση f: ℜ→ℜ με τύπο f(x) = – x + α + , με α∈ℜ.

α) Να βρείτε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της f.

β) Να υπολογίσετε το όριο

γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να προσδιορίσετε τις τιμές του x, για τις οποίες η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα.δ) Εάν το τοπικό μέγιστο της f είναι τριπλάσιο από το τοπικό της ελάχιστο, να βρείτε τον αριθμό α.

34. Δίνεται η συνάρτηση , x ≠ -4 και λ∈ℜ. Να βρεθεί η τιμή

της παραμέτρου λ, αν γνωρίζουμε ότι το τοπικό ελάχιστο της f είναι πενταπλάσιο από το τοπικό της μέγιστο.

35. Δίνεται η συνάρτηση f: ℜ→ℜ με f΄(x) = x2 + λx – 6 όπου λ∈ℜ.α) Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο x0 = 3, να δείξετε ότι λ = -1.β) Αν λ = -1, να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το είδος των ακροτάτων.

γ) Αν λ = -1, να υπολογίσετε το όριο .

36. Δίνεται η συνάρτηση f: ℜ→ℜ με τύπο f(x) = x2 + αx + 5, όπου α πραγματικός αριθμός.α) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f.β) Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει στο x0 = -1 τοπικό ακρότατο, να αποδείξετε ότι α = 2.γ) Για α = 2, να εξετάσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.

37. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = x2 + (α + 6)x – 11, όπου α πραγματικός αριθμός. Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο x0 = -5.α) Να αποδείξετε ότι α = 4.

140

γ) Να βρείτε το είδος του ακρότατου και την τιμή του.

38. Δίνεται η συνάρτηση f: ℜ→ℜ με f(x) = x2 + κx + λ, όπου κ, λ∈ℜ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 = 1 και το σημείο Α(1, 0) ανήκει στη γραφική της παράσταση,α) να δείξετε ότι κ = -2 και λ = 1.β) να υπολογίσετε τη δεύτερη παράγωγο f΄΄ της f.γ) να δείξετε ότι για κάθε x∈ℜ ισχύει: f(x) + f΄(x) + f΄΄(x) > 0.

39. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = – + αx + β, με α, β∈ℜ. Αν η f

παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο x0 = 2 και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(0, 1), τότε:α) Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών α και β.β) Για α = 6 και β = 1, να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.γ) Για α = 6 και β = 1, να βρείτε τις θέσεις, το είδος και τις τιμές των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f.

40. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = – κx2 + λx – 2 – λ, με κ, λ∈ℜ. Αν η γραφική

παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Μ(0, -5) και η συνάρτηση f για x = 1 παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, τότε:α) Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών κ και λ.β) Για κ = 2 και λ = 3, να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.γ) Για κ = 2 και λ = 3, να βρείτε την τιμή και το είδος των ακροτάτων της f.

41. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx2 + βx – 4, α,β∈ℜ. Αν η f έχει στο x = 1 ακρότατο ίσο με 2, να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων α, β καθώς και το είδος του ακρότατου.

42. Αν η συνάρτηση f(x) = -x2 + αx – β, α,β∈ℜ, παρουσιάζει στο x0 = 4 τοπικό ακρότατο με τιμή 0, να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων α, β καθώς και το είδος του ακρότατου.

43. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 – αx2 + βx + α + β, α,β∈ℜ. Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στις θέσεις x1 = -1 και x2 = -2 , να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων α, β καθώς και το είδος των ακρότατων.

44. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αx3 + βx2 + 12x + 1, α,β∈ℜ. Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στις θέσεις x1 = 1 και x2 = 2 , να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων α, β καθώς και το είδος των ακρότατων.

141

45. Δινεται η συνάρτηση f(x) = – + 6x, με x∈ℜ. Δινεται επίσης η

συνάρτηση g(x) = αlnx + x2 – βx, x > 0 με α,β∈ℜ.α) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα η f.β) Να προσδιορίσετε τις τιμές των α,β∈ℜ, ώστε η συνάρτηση g να παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στις ίδιες θέσεις με την συνάρτηση f.γ) Για α = 12 και β = 10, να μελετήσετε την συνάρτηση g ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

δ) Για α = 12 και β = 10, να υπολογίσετε το .

46. Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της παραμέτρου κ∈ℜ για την οποία ισχύει: ex ≥ κx2 για κάθε x > 0.

47. Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της παραμέτρου λ > 0 για την οποία ισχύει: ex ≥

λx για κάθε x∈ℜ.

48. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x – λ)eλx, x∈ℜ και λ > 0. Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου λ, ώστε το ελάχιστο της f να γίνεται μέγιστο.

49. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε το ελάχιστο της f(x) = x2 – 2λx +2λ + 2012 να γίνεται μέγιστο.

50. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 – κx2 + 4x + 2. Να βρείτε τις τιμές της

παραμέτρου κ∈ℜ ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα στο ℜ.

51. Αν 0,2 ≤ α ≤ 0,7 να αποδείξετε ότι η f(x) = x3 – x2 + αx δεν έχει ακρότατα.

52. Δίνται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ℜ, για την οποία ισχύει:

f3(x) + 2f(x) = x2009 + 3x, για κάθε x∈ℜΝα αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℜ.

Κριτήριο 2 ης Παραγώγου 53. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = 2συνx + x παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο

σημείο x0 = .

142

54. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = συν2x + 1 παρουσιάζει τοπικό ακρότατο

στο x0 = και να βρείτε το είδος του.

55. Η συνάρτηση f(x) = xlnx + αx – x, x > 0, παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0

= 1.α) Να υπολογίσετε τις f΄ και f΄΄.β) Να βρείτε τα f΄(1) και f΄΄(1).γ) Να υπολογίσετε το α.δ) Τι είδους ακρότατο έχουμε στο 1; Να υπολογίσετε την τιμή του.

56. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ℜ, με f΄(x) = (x – 1)(ex – 1).α) Να λύσετε την εξίσωση f΄(x) = 0.β) Να βρείτε τον τύπο της f΄΄.γ) Να βρείτε τις θέσεις και το είδος των τοπικών ακροτάτων της f.

57. Η συνάρτηση f έχει παράγωγο f΄(x) = .

α) Να λύσετε την εξίσωση f΄(x) = 0.β) Να βρείτε τον τύπο της f΄΄.γ) Να βρείτε τις θέσεις και το είδος των τοπικών ακροτάτων της f.

58. Η συνάρτηση f έχει παράγωγο f΄(x) = lnx(1 – ex-2).α) Να λύσετε την εξίσωση f΄(x) = 0.β) Να βρείτε τον τύπο της f΄΄.γ) Να βρείτε τις θέσεις και το είδος των τοπικών ακροτάτων της f.

Προβλήματα59. Έστω ότι μια μεταβλητή ενός πληθυσμού x παίρνει τις τιμές x1, x2, …, xν. Να

αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων της μέτρησης:(x – x1)2 + (x – x2)2 + … + (x – xν)2

γίνεται ελάχιστο στη μέση τιμή, δηλαδή όταν x = .

60. Το άθροισμα δύο αριθμών είναι ίσο με 10. Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το γινόμενο τους.

61. Να βρείτε όλα τα ζεύγη των αριθμών, που έχουν σταθερό άθροισμα c και δίνουν μέγιστο γινόμενο.

62. Να προσδιοριστούν δύο θετικοί αριθμοί με τις εξής ιδιότητες: Το άθροισμα τους να είναι 10 και το άθροισμα των τετραγώνων τους να είναι ελάχιστο.

143

63. Να βρείτε τα ζεύγη των θετικών αριθμών που έχουν σταθερό άθροισμα c και μέγιστο γινόμενο της τρίτης δύναμης του ενός και της δεύτερης του άλλου.

64. Η χωρητικότητα σε λίτρα των πνευμόνων ενός ανθρώπου ηλικίας x ετών

δίνεται από τη συνάρτηση , 10 x 35. Σε

ποια ηλικία οι πνεύμονες του ανθρώπου έχουν τη μέγιστη χωρητικότητα;

65. Η κατανάλωση ενός κινητήρα σε λίτρα ανά 100 χιλιόμετρα, όταν αυτός λειτουργεί με x χιλιάδες στροφές ανά λεπτό, δίνεται από τη συνάρτηση:

f(x) = x3 – x2 – x + 10, όπου 1 ≤ x ≤ 5

α) Πότε η κατανάλωση αυξάνεται και πότε μειώνεται.β) Η τιμή του x για την οποία έχουμε τη μικρότερη κατανάλωση, καθώς επίσης και πόση είναι η κατανάλωση αυτή.

66. Το πλήθος των επισκεπτών σε μια παραλία του Σαρωνικού την εβδομάδα που μας πέρασε δίνεται από τη συνάρτηση:

P(x) = x3 + 7x2 + 30x + 300

όπου x η θερμοκρασία σε βαθμούς Κελσίου με 20 ≤ x ≤ 35. Να βρείτε:α) Για ποια θερμοκρασία είχαμε το μέγιστο πλήθος επισκεπτών.β) Το μέγιστο πλήθος επισκεπτών.

67. Το πλήθος των εγκλημάτων τα τελευταία 10 χρόνια σε μία πόλη (1989 –

1999) δίνεται κατά προσέγγιση από τη συνάρτηση: f(t) = 0,03t3 +

δεκάδες εγκλήματα, 0 < t ≤ 10. Να εξετάσετε ποια χρονιά είχαμε την ελάχιστη εγκληματικότητα.

68. Η πιθανότητα P να βρεθεί ένα ηλεκτρόνιο σε απόσταση r από τον πυρήνα ενός ατόμου υδρογόνου δίνεται από την εξίσωση:

P = , όπου α0 σταθερά.

Αφού βρείτε την παράγωγο P ως προς r, υπολογίστε την τιμή του r όταν η πιθανότητα είναι μέγιστη, δηλαδή την πιο πιθανή τιμή του r.

69. Το ύψος (σε m) που βρίσκεται ένα τηλεκατευθυνόμενο μοντέλο αεροπλάνου, μετά από χρόνο πτήσης t (sec) δίνεται από τη συνάρτηση:

f(t) =-3t2 + 30t, όπου 0 t 10α)Σε ποιο ύψος βρίσκεται το αεροπλάνο τη χρονική στιγμή t=0;β)Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του ύψους του αεροπλάνου μετά από χρόνο t.γ)Να βρείτε το χρονικό διάστημα κατά το οποίο το αεροπλάνο ανεβαίνει, καθώς και το χρονικό διάστημα κατά το οποίο κατεβαίνει.δ)Να βρείτε τη χρονική στιγμή t κατά την οποία το αεροπλάνο βρίσκεται στο μέγιστο ύψος, καθώς και το ύψος αυτό.

144

70. Το ύψος (σε m) που βρίσκεται ένας πύραυλος, μετά από χρόνο πτήσης t (sec) δίνεται από τη συνάρτηση:

f(t) = t3 + 8t2 + t + 5, όπου t ≥ 0

α)Σε ποιο ύψος βρίσκεται ο πύραυλος τη χρονική στιγμή t=0;β)Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του ύψους του πυραύλου μετά από χρόνο t.γ)Να βρείτε το χρονικό διάστημα κατά το οποίο ο πύραυλος ανεβαίνει, καθώς και το χρονικό διάστημα κατά το οποίο κατεβαίνει.δ)Να βρείτε τη χρονική στιγμή t κατά την οποία ο πύραυλος βρίσκεται στο μέγιστο ύψος, καθώς και το ύψος αυτό.

71. Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 14 να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.

72. Από όλα τα ορθογώνια με εμβαδόν 400m2, να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.

73. Το άθροισμα του μήκους και του πλάτους ενός οικοπέδου, σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου, είναι 200 μέτρα. Αν το μήκος του είναι x μέτρα:α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του οικοπέδου ως συνάρτηση του x δίνεται από τον τύπο E(x) = -x2 + 200x.β) Για ποια τιμή του x το εμβαδόν του οικοπέδου γίνεται μέγιστο;γ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του εμβαδού του οικοπέδου.

74. Έχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους 200 m μια ορθογώνια περιοχή από τις τρεις πλευρές της (Σχήμα 1). Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος. Έστω ότι το μήκος του τοίχου που θα χρησιμοποιηθεί είναι x.

α. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της περιοχής που περιφράξαμε δίνεται από

τον τύπο f(x) = 100x – .

β. Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια που θα μπορούσαμε να περιφράξουμε με το συρματόπλεγμα των 200 m.

75. Έχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους 600 m μια ορθογώνια περιοχή από τις τρεις πλευρές της (Σχήμα 1). Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος. Έστω ότι το μήκος του τοίχου που θα χρησιμοποιηθεί είναι x.

145

α. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της περιοχής που περιφράξαμε δίνεται από τον τύπο f(x) = -2x2 + 600x.β. Να βρείτε το x ώστε το E(x) να γίνει μέγιστο.γ. Να υπολογιστεί η μέγιστη τιμή του εμβαδού.

76. Μια εταιρεία διαθέτει 1.200€ για την περίφραξη τριών πλευρών οικοπέδου σχήματος ορθογωνίου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Οι πλευρές μήκους x, θα κατασκευαστούν από υλικό που κοστίζει 2€ το μέτρο, ενώ η πλευρά μήκους y από υλικό που κοστίζει 3€ το μέτρο.

y

x

α) Να αποδείξετε ότι 4x + 3y = 1.200β) Αν ονομάσουμε Ε(x) το εμβαδόν του οικοπέδου, να αποδείξετε ότι

Ε(x) = (300x – x2).

γ) Να βρείτε τις διαστάσεις x, y του οικοπέδου, ώστε το εμβαδόν του να γίνει μέγιστο.

77. Μια βιοτεχνία, μεταξύ άλλων, κατασκευάζει κεραμικά πλακίδια σε σχήμα τριγώνου. Σε κάθε πλακίδιο το άθροισμα της βάσης x και του ύψους που αντιστοιχεί στη βάση αυτή είναι σταθερό και ισούται με 50 cm.α) Να δείξετε ότι το εμβαδό Ε της επιφάνειας κάθε τριγωνικού πλακιδίου

δίνεται συναρτήσει του x από τον τύπο E(x) = x(50 – x), 0 < x < 50.

β) Για ποια τιμή του x το εμβαδό E(x) γίνεται μέγιστο.γ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του E(x).

78. Να προσδιορισθούν οι διαστάσεις ορθογωνίου μέγιστου εμβαδού, το οποίο είναι εγγεγραμμένο σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 1cm, αν μια πλευρά του ορθογωνίου περιέχεται σε μια πλευρά του τριγώνου.

146

79. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = , x∈(0, +∞). Από τυχαίο σημείο

Μ(x, y) της γραφικής παράστασης της f φέρνουμε παράλληλες ευθείες προς τους άξονες x΄x και y΄y, οι οποίες σχηματίζουν με τους ημάξονες Οx, Οy ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Μ, ώστε η περίμετρος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου να είναι ελάχιστη.

80. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = , x > 0

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.β) Έστω Μ(x, f(x)), x > 0 σημείο της γραφικής παράστασης της f. Η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα y΄y τέμνει τον ημιάξονα Οx στο σημείο Κ(x, 0) και η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα x΄x τέμνει τον ημιάξονα Οy στο σημείο Λ(0, f(x)). Αν Ο είναι η αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΟΚΜΛ γίνεται ελάχιστο, όταν αυτό γίνει τετράγωνο.

81. Χαρτοκιβώτιο σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με βάση τετράγωνο έχει όγκο 8 m3. Να βρεθεί πότε ο όγκος του γίνεται μέγιστος.

82. Χαρτοκιβώτιο σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με βάση τετράγωνο έχει ολικό εμβαδόν 24 m2. Να βρεθεί πότε το ολικό εμβαδόν γίνεται ελάχιστο.

83. Από ένα φύλλο λαμαρίνας σχήματος τετραγώνου πλευράς 6 μέτρων κατασκευάζεται μια δεξαμενή σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, ανοικτή από πάνω. Από τις γωνίες του φύλλου λαμαρίνας κόβονται τέσσερα ίσα τετράγωνα πλευράς x μέτρων, 0 < x < 3 και στη συνέχεια οι πλευρές της διπλώνονται προς τα επάνω, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

147

α) Να αποδείξετε ότι ο όγκος της δεξαμενής ως συνάρτηση του x είναιf(x) = 4x(3 – x)2, 0 < x < 3

(Δίνεται ότι ο όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων α, β, γ είναι V = αβγ).β) Να βρείτε για ποια τιμή του x η δεξαμενή έχει μέγιστο όγκο.

γ) Να βρείτε το όριο

84. Από ένα κομμάτι χαρτόνι ορθογωνίου σχήματος, με πλευρές 6 cm και 8 cm, να κατασκευασθεί ένα κουτί ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, ανοχτό στο πάνω μέρος, έτσι ώστε να έχει το μέγιστο δυνατό όγκο.

85. Σε δοσμένη σφαίρα:α) Να εγγραφεί κύλινδρος με μέγιστο όγκο.β) Να εγγραφεί ορθός κώνος με μέγιστο όγκο.

86. Δίνεται ένας κυκλικός χάρτινος δίσκος και θλουμε να κατασκευάσουμε ένα φίλτρο καφέ σε σχήμα κώνου, έτσι ώστε να έχει μέγιστο όγκο.

87. Ένα μικρό ναυπηγείο έχει τη δυνατότητα να κατασκευάζει κατά έτος μέχρι και είκοσι (20) σκάφη ενός συγκεκριμένου τύπου. Το κόστος κατασκευής (σε χιλιάδες €) x σκαφών εκφράζεται με τη συνάρτηση K(x) = 4x2 + 30 και τα

148

έσοδα από τις πωλήσεις τους (σε χιλιάδες €) με τη συνάρτηση E(x) = 3x2 + 20x.α) Να βρεθεί το κόστος κατασκευής πέντε (5) σκαφών.β) Να βρεθεί ο τύπος P(x) της συνάρτησης του κέρδους του ναυπηγείου.γ) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους.δ) Πόσα σκάφη πρέπει να κατασκευάζει το ναυπηγείο κατά έτος για να έχει μέγιστο κέρδος;

88. Ένα εργοστάσιο αεροναυπηγίας έχει τη δυνατότητα να κατασκευάζει κατά έτος μέχρι και 20 αεροσκάφη ενός συγκεκριμένου τύπου. Τα έσοδα από την πώληση ενός αεροσκάφους (σε χιλιάδες ευρώ) εκφράζονται με τη συνάρτηση E(x) = 3x + 20, ενώ το κέρδος από την πώληση x αεροσκαφών με τη συνάρτηση K(x) = -x2 + 20x – 30.α) Να βρεθεί ο τύπος P(x) της συνάρτησης κόστους κατασκευής x αεροσκαφών.β) Πόσα σκάφη πρέπει να κατασκευάζει το αεροναυπηγείο ώστε να έχει το μέγιστο κέρδος;

89. Μια τουριστική επιχείρηση οργανώνει εκδρομές με λεωφορεία. Κάθε τουριστικό λεωφορείο έχει 50 θέσεις. Όταν οι επιβάτες του λεωφορείου είναι ακριβώς 30, τότε η εταιρεία ζητά 3€ κατά άτομο. Για να αυξήσει τους επιβάτες, η εταιρεία κάνει την εξής προσφορά: «Κάθε επιπλέον επιβάτης θα μειώνει κατά 0,30€ τη χρέωση κάθε άλλου επιβάτη». Να βρεθεί το πλήθος των επιπλέον επιβατών που πρέπει να έχει κάθε λεωφορείο, ώστε η επιχείρηση να έχει μεγιστοποιήσει τα έσοδα της.

90. Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση κέρδους P, η οποία, όπως είδαμε, δίνεται ως η διαφορά της συνάρτησης εσόδων Ε και της συνάρτησης κόστους Κ, δηλαδή:

P(x) = E(x) – K(x), x ≥ 0όπου x είναι η ποσότητα προϊόντος που παράγεται και πωλείται.α) Ποια θα είναι η μονοτονία της συνάρτησης κέρδους όταν:i) Η Ε είναι γνησίως φθίνουσα και η Κ γνησίως αύξουσα.ii) Η Ε είναι γνησίως αύξουσα και η Κ γνησίως φθίνουσα.β) Εξάγονται συμπεράσματα για τη μονοτονία της συνάρτησης κέρδους, αν οι συναρτήσεις Ε και Κ έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας;γ) Εξηγήστε με οικονομικούς όρους τα (α) και (β).

91. Έστω η συνάρτηση κόστους K(x), κατασκευής x μονάδων προϊόντος και η

συνάρτηση μέσου κόστους: Κμ(x) = , x > 0

α) Να αποδείξετε ότι , x > 0

β) Να αποδείξετε ότι η Κμ είναι γνησίως φθίνουσα για όλες τις τιμές του x για

τις οποίες ισχύει Κ΄(x) < Kμ(x).γ) Εξηγήστε με οικονομικούς όρους το αποτέλεσμα του (β).

92. Να βρείτε το σημείο της ευθείας με εξίσωση y = 3x – 2 που είναι πλησιέστερο στην αρχή των αξόνων.

149

93. Να βρείτε το σημείο Μ της καμπύλης της συνάρτησης f(x) = πουείναι πλησιέστερο στο σημείο Α(2, 0).

94. Υποθέτουμε ότι οι θερμοκρασίες (σε Co) σε μια περιοχή κατά τη διάρκεια ενός 24ώρου προσεγγίζονται από τις τιμές της συνάρτησης θ(t) = t – 4 + α, όπου α∈ℜ και t∈(0,24] ο χρόνος σε ώρες.α) Να αποδείξετε ότι για t∈(0,4] η θερμοκρασία μειώνεται και για t∈(4,24] η θερμοκρασία αυξάνεται.β) Να υπολογίσετε την τιμή του α, αν γνωρίζετε ότι η ελάχιστη θερμοκρασία της περιοχής εντός του 24ώρου είναι -1Co.γ) Για α = 3 να βρείτε τις ώρες που η θερμοκρασία της περιοχής είναι 0Co.

δ) Να υπολογίσετε το .

95. Η θερμοκρασία μιας περιοχής σε βαθμούς κελσίου, ως συνάρτηση του

χρόνου t σε ώρες δίνεται από την σχέση θ(t) = -t3 + 9t2 – 10t + c, 0 ≤ t ≤ 8.α) Να προσδιορίσετε την τιμή της σταθεράς c, αν γνωρίζετε οτι την χρονική στιγμή t = 0 η θερμοκρασία ήταν 16C°β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της θερμοκρασίας στο τέλος της τέταρτης ώραςγ) Να βρείτε την ώρα με το μέγιστο ρυθμό μεταβολής.

96. Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = x3 – 3x2 – 6x + 2. Να βρεθεί πότε ο ρυθμός μεταβολής γίνεται ελάχιστος.

150