1

ΘΕΜΑ Α

Α1. Έστω f συνάρτηση στο Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ να δείξετε ότι:

α. όλες οι συναρτήσεις της μορφής ( ) F(x) , R G x είναι παράγουσες της f. (Μονάδες 3)

β. κάθε άλλη παράγουσα της f στο Δ παίρνει την μορφή: G(x) F(x) , R (Μονάδες 4)

Α2. Θεωρείστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο σύνολο

,0 0, . Αν η f είναι συνεχής στο και '( ) 0f x για κάθε εσωτερικό του σημείου

,x A τότε η f είναι σταθερή σε όλο το R ».

α. Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό σας Α αν είναι αληθής και Ψ αν είναι ψευδής. (Μονάδα 1)

β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α) (Μονάδες 3)

Α3. Να διατυπώσετε τον ορισμό της πλάγιας ασύμπτωτης (Μονάδες 4)

Α4. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις.

α. Αν f συνεχής στο , και ( ) 0 f x dx

τότε ( ) 0f x για κάθε ,x a

β. Τα θεωρήματα De L’ Hospital ισχύουν και για πλευρικά όρια

γ. Αν συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα κάτω στο R τότε η οποιαδήποτε εφαπτόμενη στο γράφημα της

βρίσκεται κάτω από αυτό.

δ. Το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα συνάρτησης f είναι το ολικό της ελάχιστο

ε. Μια αρχική συνάρτηση της 2

1( ) , 0, f x x

x

είναι η 2019 F x x (Μονάδες 10)

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 1 f x x x , x R

17/03/2019

Μαθηματικά Ο.Π. Γ΄Λυκείου-Θερινά

Παπαναγιώτου Παναγιώτης

2

Β1. Να αποδείξετε ότι οι ασύμπτωτες της f στο και το είναι 1

1( ) :

2 y x και 2

1( ) :

2 y x

αντίστοιχα. (Μονάδες 7)

B2. Nα μελετήσετε την μονοτονία της συνάρτησης f και να βρείτε τα ακρότατά της. (Μονάδες 6)

Β3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι Κυρτή στο R (Μονάδες 6)

B4. Να κάνετε πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης f . (Μονάδες 6)

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : f R R με (0) 0f και με την ιδιότητα:

2

( ) ( ) f x f y x y x y για κάθε , x y R

Γ1. Να αποδείξετε ότι ( ) , f x x x R (Μονάδες 6)

Γ2. Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα την συνάρτηση ( ) ( ) '( ) g x f x f x στο

0, (Μονάδες 6)

Γ3. Να υπολογίσετε το :

4

2 ( )lim

ln (2 )

x

g x

f x (Μονάδες 5)

Γ4. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα 2

2

0'( ) ( ) I f x f x dx

και 2

3

1

( ) J dx

f x

(Μονάδες 3+5)

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η κυρτή συνάρτηση f με 2 1

( ) 2

x

xf x e για κάθε x R

Δ1 α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας (ε) στο (0, f(0)) (Μονάδες 3+4)

β. Να αποδείξετε ότι 1

02 ( ) 7 f x dx

Δ2. Αν F μια παράγουσα της f να αποδείξετε οτι: (Μονάδες 6)

( 1) ( ) 2 2 1 ( ) 2 1 , f x f x F x F x F x f x f x x R

Δ3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο σε σημείο 0 0x (Μονάδες 6)

Δ4. Αν συνάρτηση 0: ,0 g x R παραγωγίσιμη στο 0 ,0x με ( ) x '(x) g'(x) g x f να αποδείξετε ότι η

συνάρτηση g είναι σταθερή.

(Μονάδες 6)

Σας ευχόμαστε επιτυχία!