ΠΕΡΙ ΑΠΛΟΥ ΤΟΚΟΥ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΟΚΚΑΚΗΣ

4. ΠΕΡΙ ΑΠΛΟΥ ΤΟΚΟΥ

Στον απλό τόκο τα ποσά του κεφαλαίου και του τόκου σε όλη τη διάρκεια της

παραγωγικής διαδικασίας παραμένουν σταθερά. Ο απλός τόκος εφαρμόζεται στις

βραχυπρόθεσμες οικονομικές πράξεις, συνήθως μέχρι τριών μηνών ή το πολύ μέχρι ενός

έτους.

Στα προβλήματα του απλού τόκου εμφανίζονται τα παρακάτω τέσσερα ποσά:

κεφάλαιο, τόκος, επιτόκιο και χρόνος.

4.1. Υπολογισμός του απλού τόκου όταν ο χρόνος εκφράζεται σε έτη, εξάμηνα, τρίμηνα.

Σύμφωνα με τον ορισμό του επιτοκίου, όταν ο χρόνος εκφράζεται σε έτη θα

έχουμε την παρακάτω θεμελιώδη εξίσωση του τόκου:

Κεφάλαιο 1 νομισματικής μονάδας σε 1 έτος και με επιτόκιο i δίνει τόκο 1 i

Κεφάλαιο 1 νομισματικής μονάδας σε 2 έτη και με επιτόκιο i δίνει τόκο 2 i

Κεφάλαιο 1 νομισματικής μονάδας σε 3 έτη και με επιτόκιο i δίνει τόκο 3 i

.

.

.Κεφάλαιο 1 νομισματικής μονάδας σε n έτος και με επιτόκιο i δίνει τόκο n i

Επομένως, αν έχουμε κεφάλαιο Κ νομισματικών μονάδων, που τοκίζεται επί n

έτη με απλό τόκο, με ετήσιο επιτόκιο i, θα έχουμε τη παρακάτω εξίσωση του τόκου όταν

ο χρόνος εκφράζεται σε έτη: Ι = Κ n i

Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι ο απλός τόκος είναι ποσότητα ευθέως

ανάλογη του κεφαλαίου, του χρόνου και του επιτοκίου. Αν ένα από τα ποσά του

δεύτερου μέλους της σχέσης διπλασιασθεί, τριπλασιασθεί κτλ, τότε και ο τόκος

διπλασιάζεται, τριπλασιάζεται κ.ο.κ.

Η εξίσωση αυτή λύνει όλα τα προβλήματα του απλού τόκου, όταν δίνονται τα

τρία ποσά και ζητείται το τέταρτο.

Στην εφαρμογή του τύπου Ι = Κ n i θα πρέπει ο χρόνος n και το επιτόκιο i να

αναφέρονται στην ίδια μονάδα. Αν δηλαδή το επιτόκιο είναι ετήσιο, ο χρόνος θα πρέπει

1


να εκφράζεται σε έτη, αν το επιτόκιο είναι εξαμηνιαίο, ο χρόνος θα εκφράζεται σε

εξάμηνα κτλ.

Το άθροισμα Κ + Ι, που προκύπτει από την πρόσθεση του τόκου στο κεφάλαιο,

λέγεται τελική αξία του κεφαλαίου. Στην περίπτωση του απλού τόκου η τελική ή

μέλλουσα αξία του κεφαλαίου θα είναι: Κn = Κ + Κni = K (1 + ni)

Παράδειγμα

Κεφάλαιο 2.000.000 €, τοκίζεται με απλό τόκο για 5 έτη με επιτόκιο 7%. Πόσος

είναι ο τόκος που θα παραχθεί και ποια η τελική αξία του κεφαλαίου;

Κ = 2.000.000, n = 5, i = 0,07, I = ; , K = ;

Επειδή ο χρόνος εκφράζεται σε έτη, για τον υπολογισμό του τόκου εφαρμόζουμε

τη σχέση: Ι = Κ n i

Έχουμε: Ι = 2.000.000 5 0,07 = 700.000 €

Η τελική αξία του κεφαλαίου είναι: Κn = Κ + Κni = K (1 + ni)

Οπότε, έχουμε: Κ5 = 2.000.000 (1 + 50,07) = 2.700.000 €

Παράδειγμα 2

Να βρεθεί ο τόκος ενός κεφαλαίου 800.000 €, που τοκίσθηκε με απλό τόκο και

με εξαμηνιαίο επιτόκιο 5%, για χρονικό διάστημα 2 ετών.

Επειδή η περίοδος αναφέρεται σε εξάμηνο μετατρέπουμε το χρόνο σε εξάμηνα

και έχουμε: Κ = 800.000, i = 0,05, n = 22 = 4 εξάμηνα. Επομένως, ο ζητούμενος τόκος

θα είναι: Ι = Κ n i = 800.000 4 0,05 = 160.000 €.


Κεφάλαιο 1.000.000 € τοκίζεται με απλό τόκο για 3 έτη και 6 μήνες, με επιτόκιο

3% το τρίμηνο. Ποιος είναι ο τόκος που θα παραχθεί;

Επειδή η περίοδος αναφέρεται σε τρίμηνο, μετατρέπουμε το χρόνο σε τρίμηνα

και έχουμε: Κ = 1.000.000, i = 0.03 και n = 34 + 2 = 14 τρίμηνα.

Έχουμε: Ι = Κ n i = 1.000.000 14 0,03 = 420.000 €

2


4.2. Υπολογισμός του απλού τόκου όταν ο χρόνος εκφράζεται σε μήνες.

Αν το επιτόκιο είναι ετήσιο και ο χρόνος εκφράζεται σε μήνες, θέτουμε n = μ/12

και ο τύπος Ι = Κ n i γίνεται Ι = (Κμi) / 12

όπου μ συμβολίζει τον αριθμό των μηνών που έχει τοκισθεί το κεφάλαιο. Ο

παραπάνω τύπος συνδέει τα τέσσερα ποσά και κατά συνέπεια μπορούμε να

υπολογίζουμε το ένα από αυτά, όταν γνωρίζουμε τα άλλα τρία.


Ο κ. Ανδρέου αγοράζει ένα οικόπεδο αντί 80.000 € και καταβάλλει αμέσως στον

πωλητή του 30.000 €. Το υπόλοιπο ποσό θα το καταβάλλει μετά από 7 μήνες, με ετήσιο

επιτόκιο 8 % και απλό τόκο. Πόσο κόστισε συνολικά το οικόπεδο;

Αφού ο αγοραστής κατέβαλλε με την υπογραφή του συμβολαίου 30.000 € στον

πωλητή, οφείλει ακόμη 80.000 - 30.000 = 50.000 €. Τα 50.000 € θα τα δώσει μετά από 7

μήνες, μαζί με τον τόκο των 50.000 €, με επιτόκιο 8% και για το χρονικό διάστημα των

7 μηνών. Επειδή ο χρόνος εκφράζεται σε μήνες, ο τόκος θα είναι:

Ι = (Κμi) / 12 = (50.000 7 0,08) / 12 = 2.333,33 €.

Άρα, το οικόπεδο στοίχισε συνολικά: 80.000 + 2.333,33 = 82.333,33 €

4.3. Υπολογισμός του απλού τόκου όταν ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες.

Στις βραχυπρόθεσμες οικονομικές πράξεις, που έχουν συνήθως διάρκεια μέχρι 90

ημέρες και σπάνια ένα έτος, ο χρόνος μετριέται σε ημέρες. Στην περίπτωση αυτή κάθε

ημέρα είναι το 1/365 ή 1/360 του έτους και κατά συνέπεια ο γενικός τύπος του απλού

τόκου Ι = Κ n i , εφόσον το επιτόκιο αναφέρεται σε έτος, θα πάρει τη μορφή:

Ι = (Κνi) / 365

αν το έτος είναι πολιτικό. Αν το έτος είναι μικτό ή εμπορικό, η εξίσωση γίνεται:

Ι = (Κνi) / 360

Στο πολιτικό έτος δεχόμαστε ότι κάθε μήνας περιλαμβάνει τον πραγματικό

αριθμό των ημερών του (31,30,29,28) και ότι το έτος αποτελείται από 365 ημέρες (ή

3


366, όταν το έτος είναι δίσεκτο). Το πολιτικό έτος εφαρμόζεται στη Μεγάλη Βρετανία,

τη Βόρεια Αμερική, την Πορτογαλία και τις Αγγλοσαξονικές χώρες.

Στο μικτό έτος δεχόμαστε ότι το έτος έχει 360 ημέρες και κάθε μήνας

λαμβάνεται με τις πραγματικές του ημέρες (31,30,29,28). Το μικτό έτος εφαρμόζεται

στην Αυστρία, το Βέλγιο, τη Γαλλία, την Ελλάδα, την Ιταλία, την Ισπανία, την Ολλανδία

και τη Γενεύη.

Στο εμπορικό έτος δεχόμαστε ότι όλοι οι μήνες έχουν 30 ημέρες και το έτος

αποτελείται από 360 ημέρες (3012=360). Το εμπορικό έτος εφαρμόζεται στη Γερμανία,

τη Ρωσία, τις Σκανδιναβικές χώρες και την Ελβετία πλην της Γενεύης.

Από τα παραπάνω τρία έτη ακρίβεια παρουσιάζει μόνο το πολιτικό έτος, γιατί στο

έτος αυτό λαμβάνεται υπόψη τόσο ο πραγματικός αριθμός των ημερών που έχει το έτος,

όσο και ο πραγματικός αριθμός των τοκοφόρων ημερών που έχει κάθε μήνας. Η βασική

αιτία που εφαρμόζονται το μικτό και το εμπορικό έτος είναι η ευκολία στους

υπολογισμούς.

Το μικτό έτος δίνει μεγαλύτερο τόκο από το πολιτικό, γι’ αυτό και το προτιμούν

οι δανειστές. Μεταξύ τόκων μικτού και πολιτικού έτους υπάρχει η σχέση:

Ιπ = Ιμ - Ιμ/73

Για τον υπολογισμό των τοκοφόρων ημερών πρέπει να έχουμε υπόψη μας τα

εξής:

α) Η ημέρα κατάθεσης χρημάτων σε μια τράπεζα δεν είναι τοκοφόρος, ενώ η

ημέρα της ανάληψης είναι τοκοφόρος.

β) Κάθε ποσό που χορηγείται από τράπεζα δίνει τόκο από την ημέρα που έχει

χορηγηθεί το δάνειο.

Σε περίπτωση που ο χρόνος δίνεται σε ημέρες, η τελική αξία δίνεται από τις

σχέσεις:

Κν = Κ (1 +( νi) / 365) για πολιτικό έτος και:

Κν = Κ (1 +( νi) / 360) για μικτό και εμπορικό έτος.


Ένα άτομο καταθέτει σε μια τράπεζα με απλό τόκο κεφάλαιο 600.000 δρχ, για το

χρονικό διάστημα από 26 Μαρτίου μέχρι 18 Ιουνίου του 1997, με ετήσιο επιτόκιο 9 %.

Να υπολογιστεί ο τόκος, αν το έτος είναι πολιτικό, μικτό και εμπορικό.

4


Αν λάβουμε υπόψη μας ότι η ημέρα κατάθεσης χρημάτων σε μια τράπεζα δεν

είναι τοκοφόρος, ενώ η ημέρα της ανάληψης είναι τοκοφόρος, τότε για το πολιτικό και

μικτό έτος οι τοκοφόρες ημέρες υπολογίζονται ως εξής:

Χρον. Διάστημα Ημέρες

26/3 - 31/3 5

1/4 - 30/4 30

1/5 - 31/5 31

1/6 - 18/6 18

Σύνολο ν = 84

Για το εμπορικό έτος, στο οποίο θεωρούμε ότι κάθε μήνας έχει τριάντα ημέρες, οι

τοκοφόρες ημέρες υπολογίζονται ως εξής:

Χρον. Διάστημα Ημέρες

26/3 - 31/3 4

1/4 - 30/4 30

1/5 - 31/5 30

1/6 - 18/6 18

Σύνολο ν = 82

Με βάση τα παραπάνω στοιχεία, υπολογίζουμε τον τόκο για κάθε έτος ξεχωριστά

ως εξής:

1. Πολιτικό έτος

Κ = 600.000, i = 0.09, ν = 84, Ι = ;

Επειδή το έτος είναι πολιτικό, ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες και το επιτόκιο

είναι ετήσιο, για τον υπολογισμό του τόκου εφαρμόζουμε τη σχέση:

Ι = (Κνi) / 365

Έχουμε: Ι = 600.000 84 0,09 /365 = 12.427 δρχ

5


2. Μικτό έτος

Κ = 600.000, i = 0.09, ν = 84, Ι = ;

Για τον υπολογισμό του τόκου, επειδή το έτος είναι μικτό, εφαρμόζουμε τη

σχέση: Ι = (Κνi) / 360

Έχουμε: Ι = 600.000 84 0,09 /360 = 12.600 δρχ

3. Εμπορικό έτος

Κ = 600.000, i = 0.09, ν = 82, Ι = ;

Εφαρμόζουμε τη σχέση: Ι = (Κνi) / 360

Έχουμε: Ι = 600.000 82 0,09 /360 = 12.300 δρχ

4.4. Υπολογισμός του απλού τόκου με τη μέθοδο του σταθερού διαιρέτη και τον τοκάριθμο

Γνωρίζουμε ότι, όταν ο χρόνος ορίζεται σε ημέρες, ο απλός τόκος δίνεται από τις

σχέσεις:

Ι = (Κνi) / 365

ή

Ι = (Κνi) / 360

Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους του δεύτερου μέλους των παραπάνω

σχέσεων με το επιτόκιο i θα έχουμε:

Ι = (Κνi)/ i / 365 / i = Κν / 365/ i

ή

Ι = (Κνi)/ i / 360 / i = Κν / 360/ i

Το γινόμενο Κν καλείται τοκάριθμος και συμβολίζεται με το γράμμα Ν, ενώ το

πηλίκο 365/ i (πολιτικό έτος) ή 360/ i (μικτό και εμπορικό έτος) ονομάζεται σταθερός

διαιρέτης και συμβολίζεται με το γράμμα Δ.

Με βάση τα παραπάνω θα έχουμε:

Ι = Κν / Δ = τοκάριθμος / σταθερός διαιρέτης = Ν / Δ

Επομένως, για τον υπολογισμό του τόκου όταν ο χρόνος δίνεται σε ημέρες,

διαιρούμε τον τοκάριθμο με το σταθερό διαιρέτη.

6


Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι σταθεροί διαιρέτες για εμπορικό, μικτό και πολιτικό έτος, για

συνηθισμένα επιτόκια με τα οποία η διαίρεση του 365 ή του 360 δίνει ακέραιο αριθμό.

Σταθερός διαιρέτης (Δ)Επιτόκιο Έτος εμπορικό ή μικτό

(Δ = 360:i)Έτος πολιτικό (Δ

= 365:i)

2% 18000 182502,50% 14400 14600

3% 12000 121674% 9000 91255% 7200 73006% 6000 6083

6,25% 5760 58407,50% 4800 4867

8% 4500 45639% 4000 405610% 3600 365012% 3000 304220% 1440 1460


Να βρεθεί ο τόκος ενός κεφαλαίου 2.000.000 δρχ, το οποίο έχει τοκισθεί σε μια

τράπεζα με απλό τόκο και με επιτόκιο 10%, από 1ης Ιανουαρίου μέχρι 28ης Φεβρουαρίου

του 1998. Έτος μικτό, εμπορικό και πολιτικό. Να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος του

σταθερού διαιρέτη.

Κ = 2.000.000, i = 0.10

Μικτό έτος

Ο σταθερός διαιρέτης είναι: Δ = 360 / i = 360 / 0,10 = 3.600

Οι τοκοφόρες ημέρες είναι: ν = 58 (η ημέρα κατάθεσης δεν υπολογίζεται ως

τοκοφόρα ημέρα). Έχουμε Ν = Κν = 2.000.000 58 = 116.000.000

Άρα, ο ζητούμενος τόκος για το μικτό έτος θα είναι:

Ι = Ν / Δ = 116.000.000 / 3.600 = 32.222 δρχ

Εμπορικό έτος

Ο σταθερός διαιρέτης είναι και πάλι 3.600

7


Οι τοκοφόρες ημέρες είναι ν = 59, οπότε ο τοκάριθμος θα είναι:

Ν = 2.000.000 59 = 118.000.000

Άρα, ο τόκος θα είναι: Ι = 118.000.000 / 3.600 = 32.778 δρχ

Πολιτικό έτος

Ο σταθερός διαιρέτης είναι Δ = 365 / 0,10 = 3.650

Οι τοκοφόρες ημέρες είναι ν = 58, οπότε Ν = 2.000.000 58 = 116.000.000

Άρα, ο τόκος για το πολιτικό έτος θα είναι:

Ι = 116.000.000 / 3.650 = 31.781 δρχ

4.5. Υπολογισμός του απλού τόκου με τη μέθοδο των σταθερών πολλαπλασιαστών

Οι παρακάτω γνωστοί τύποι του απλού τόκου:

Ι = (Κνi) / 365 και Ι = (Κνi) / 360

μπορούν να γραφούν και ως εξής:

Ι = Κν(i / 365) και Ι = Κν(i / 360)

Θέτουμε Π = i / 365 ή Π = i / 360 και έχουμε:

Ι = ΚνΠ = ΝΠ

Το Π ονομάζεται σταθερός πολλαπλασιαστής και έχει τιμή Π = i / 360 για μικτό

ή εμπορικό έτος και Π = i / 365 για πολιτικό έτος.


Να υπολογισθεί με τη μέθοδο του σταθερού πολλαπλασιαστή ο τόκος ενός

κεφαλαίου 800.000 €, για χρονικό διάστημα 60 ημερών, με επιτόκιο 9% και έτος μικτό.

Κ = 800.000, ν = 60, i = 0,09, Π = i / 360 =0,00025

Εφαρμόζουμε τη σχέση της μεθόδου του σταθερού πολλαπλασιαστεί και έχουμε:

Ι = ΚνΠ = 800.000 60 0,00025 = 12.000 €

4.6. Υπολογισμός του απλού τόκου με τη μέθοδο ανάλυσης του κεφαλαίου, του χρόνου και του επιτοκίου σε μέρη ανάλογα.

8


Μπορούμε να υπολογίσουμε τον απλό τόκο όταν ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες,

χωρίς να εφαρμόσουμε τους σχετικούς τύπους, αρκεί να σκεφτούμε ότι ο τόκος είναι

ανάλογος του κεφαλαίου, του χρόνου και του επιτοκίου.

Με ανάλυση του κεφαλαίου

Από τον τύπο Ι = Κν / Δ προκύπτει ότι, αν Κ=Δ, τότε ο τόκος ισούται με τον

αριθμό των ημερών, Ι = ν. Δηλαδή κεφάλαιο ίσο προς σταθερό διαιρέτη μας δίνει τόκο

ίσο με τον αριθμό των ημερών.

Εάν ΚΔ, προσπαθούμε να αναλύσουμε το Κ σε μέρη ανάλογα προς το σταθερό

διαιρέτη Δ.


Να υπολογισθεί ο τόκος 36000 € για 90 ημέρες με επιτόκιο 4%, με ανάλυση του

κεφαλαίου σε μέρη ανάλογα του σταθερού διαιρέτη. Έτος μικτό.

Κ= 36.000, Δ= 360/i=360/0,04=9.000, ν=90, i= 0,04

Εάν το κεφάλαιο ήταν 9.000 €, ο τόκος θα ήταν 90 €

Σε κεφάλαιο 3πλάσιο, 27.000 €, ο τόκος θα ήταν 270 €

Για σύνολο κεφαλαίου 36.000 €, ο τόκος θα είναι 360 €

Δηλαδή παίρνουμε στην αρχή κεφάλαιο ίσο με το σταθερό διαιρέτη, που στην

περίπτωσή μας είναι Δ = 9.000 €, οπότε ο τόκος είναι 90 € (Ι=ν). Στη συνέχεια

αναλύουμε το κεφάλαιο σε μέρη ανάλογα του Δ = 9.000.

Εάν είχαμε εφαρμόσει το γνωστό τύπο: Ι = Κν / Δ

θα είχαμε Ι = 36.000 90 / 9.000 = 360 €.

Με ανάλυση του χρόνου

Εάν ο αριθμός των ημερών ισούται με το 1/100 του σταθερού διαιρέτη, τότε και

ο τόκος ισούται με το 1/100 του κεφαλαίου, δηλαδή:

Ι = Κν / Δ = (ΚΔ/100) / Δ = κ/100

Εάν νΔ/100, προσπαθούμε να αναλύσουμε το ν σε μέρη ανάλογα του Δ/100.


9


Ποιος είναι ο τόκος ενός κεφαλαίου 80.000 €, που τοκίζεται με απλό τόκο επί

105 ημέρες με επιτόκιο 12%, ανάλογα των απλών μερών του χρόνου; Έτος εμπορικό.

Ο σταθερός διαιρέτης είναι : Δ = 360/0,12 = 3.000

Αν οι μέρες ήταν 30, τότε ο τόκος θα ήταν 800 €

Αν οι μέρες ήταν 60, τότε ο τόκος θα ήταν 1.600 €

Αν οι μέρες ήταν 15, τότε ο τόκος θα ήταν 400 €

Άρα, για 105 ημέρες ο τόκος θα είναι 2.800 €

Με ανάλυση του επιτοκίου

Εάν το επιτόκιο είναι τέτοιο ώστε να μη μας διευκολύνει στις πράξεις, πχ αν δεν

δίνει σταθερό διαιρέτη ακέραιο αριθμό, τότε εκλέγουμε ένα βοηθητικό επιτόκιο, το

οποίο μας διευκολύνει στις πράξεις και έπειτα με τη μέθοδο των ανάλογων μερών

βρίσκουμε και τον τόκο με το ζητούμενο επιτόκιο.


Να βρεθεί ο τόκος ενός κεφαλαίου 24.000 €, το οποίο τοκίζεται για 70 ημέρες με

τη μέθοδο της ανάλυσης του επιτοκίου. Έτος μικτό.

Παίρνουμε το βοηθητικό επιτόκιο 6% και έχουμε:

Δ = 360/0,06 = 6.000

Επίσης για κεφάλαιο 6.000 € ο τόκος είναι Ι = ν = 70 €, οπότε για κεφάλαιο

24.000 € ο τόκος είναι 280 €. Έτσι,

Με επιτόκιο 6% έχουμε τόκο 280 €

Με επιτόκιο 1,5% έχουμε τόκο 70 €

Για επιτόκιο 7,5% θα έχουμε τόκο 350 €.

10


4.7. Υπολογισμός του κεφαλαίου, του χρόνου και του επιτοκίου στον απλό τόκο.

Με τους βασικούς τύπους:

Ι = Κ n i, Ι = (Κμi) / 12, Ι = (Κνi) / 365, Ι = (Κνi) / 360

δεν λύνονται μόνο προβλήματα στα οποία ζητείται ο τόκος ενός κεφαλαίου, αλλά

και προβλήματα στα οποία ζητούνται και τα άλλα ποσά, δηλαδή το κεφάλαιο, ο χρόνος

και το επιτόκιο. Επομένως, αν θέλουμε να βρούμε το Κ ή το ν ή το i τότε λύνουμε τους

πιο πάνω τύπους ως προς το άγνωστο κάθε φορά ποσό.

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

1) Όταν ο χρόνος δίνεται σε έτη:

α) Το κεφάλαιο βρίσκεται από τον τύπο: Κ = Ι / ni

β) Ο χρόνος βρίσκεται από τον τύπο: n = Ι / Ki

γ) Το επιτόκιο βρίσκεται από τον τύπο: i = Ι / Kn

2) Όταν ο χρόνος δίνεται σε μήνες:

α) Το κεφάλαιο βρίσκεται από τον τύπο: Κ = 12Ι / μi

β) Ο χρόνος βρίσκεται από τον τύπο: μ = 12Ι / Ki

γ) Το επιτόκιο βρίσκεται από τον τύπο: i = 12Ι / Kμ

3) Όταν ο χρόνος δίνεται σε ημέρες:

α) Το κεφάλαιο βρίσκεται από τον τύπο: Κ = 360Ι / νi ή Κ = 365Ι / νi

β) Ο χρόνος βρίσκεται από τον τύπο: ν = 360Ι / Κi ή ν = 365Ι / Κi

γ) Το επιτόκιο βρίσκεται από τον τύπο: i = 360Ι / Κν ή i = 365Ι / Κν

4.8. Υπολογισμός του συνολικού απλού τόκου πολλών κεφαλαίων με το ίδιο επιτόκιο.

Έστω ότι έχουμε τα κεφάλαια Κ1, Κ2, Κ3... Κμ, τα οποία τοκίζονται αντίστοιχα επί

ν1, ν2, ν3... νμ ημέρες, με το ίδιο επιτόκιο i. Ο συνολικός τόκος των παραπάνω κεφαλαίων

θα ισούται με το άθροισμα των επιμέρους τόκων τους, δηλαδή:

11


Ι = Ι1 + Ι2 + Ι3 + ... Ιμ

Εάν το επιτόκιο που δίνεται παρουσιάζει εύχρηστο σταθερό διαιρέτη, τότε

χρησιμοποιείται ο τύπος:

Ι = (Κ1 ν1+ Κ2 ν2 + Κ3 ν3 ... + Κμ νμ )/ Δ =

= (Ν1 + Ν2 + Ν3 + ... Νμ )/ Δ

όπου Ν1 , Ν2 , Ν3 , ... Νμ οι αντίστοιχοι τοκάριθμοι και Δ ο σταθερός διαιρέτης.

Δηλαδή ο συνολικός τόκος πολλών κεφαλαίων που τοκίζονται σε διάφορες

χρονικές στιγμές, με το ίδιο όμως επιτόκιο, ισούται με το άθροισμα των επιμέρους

τοκαρίθμων, διαιρούμενο με το σταθερό διαιρέτη Δ.


Ένα άτομο καταθέτει σε μια τράπεζα μέσα στο 1998 τα εξής ποσά: την 15η

Αυγούστου 100.000 δραχμές, την 25η Αυγούστου 120.000 δραχμές, την 30η Αυγούστου

300.000 δραχμές και την 15η Σεπτεμβρίου 450.000 δραχμές. Πόσο τόκο θα πάρει την

30η Νοεμβρίου 1998, όταν το επιτόκιο είναι 9% και το έτος μικτό;

Αν λάβουμε υπόψη μας ότι η ημέρα κατάθεσης δεν υπολογίζεται ως τοκοφόρα,

ενώ η ημέρα ανάληψης υπολογίζεται ως τοκοφόρα, τότε το πρώτο κεφάλαιο θα τοκιστεί

για 107 ημέρες, το δεύτερο για 97 ημέρες, το τρίτο για 92 ημέρες και το τέταρτο για 76

ημέρες. Επίσης: Δ = 360 / i =360 / 0,09 = 4.000

Επομένως, ο συνολικός τόκος με τη μέθοδο του σταθερού διαιρέτη θα είναι:

Ι = Κ1 ν1+ Κ2 ν2 + Κ3 ν3 + Κ4 ν4 / Δ =

= 100.000 107 + 120.000 97 + 300.000 92 + 450.000 76 / 4.000 = 21.035 δρχ

4.9. Εύρεση του αρχικού κεφαλαίου σε συνάρτηση με την τελική αξία του.

Στον απλό τόκο καλούμε τελική αξία ενός κεφαλαίου το άθροισμα του αρχικού

κεφαλαίου και του τόκου που έχει παραχθεί στο τέλος μιας χρονικής περιόδου. Με άλλα

λόγια, τελική αξία είναι το ποσό που σχηματίζεται όταν στο αρχικό κεφάλαιο Κ0

προστεθεί ο τόκος για ορισμένο χρονικό διάστημα.

12


Αν συμβολίσουμε με Κ0 την αρχική αξία ενός κεφαλαίου και με Κn την τελική

του αξία μετά από n έτη, τότε, με βάση τον ορισμό του απλού τόκου και της τελικής

αξίας του κεφαλαίου, θα έχουμε:

Κn = Κ0 + Κ0 n i = Κ0 ( 1 + n i )

Αν λύσουμε την παραπάνω σχέση ως προς Κ0 , υπολογίζουμε την αρχική αξία

(παρούσα αξία) ενός κεφαλαίου σε συνάρτηση με την τελική αξία, εφόσον ο χρόνος

εκφράζεται σε έτη: Κ0 = Κn / (1 + n i)

Ομοίως, όταν ο χρόνος εκφράζεται σε μήνες θα έχουμε:

Κμ = Κ0 + Κ0 μ i / 12 = Κ0 ( 12 + μ i ) / 12

και

Κ0 = 12 Κμ / (12 + μ i)

Όταν ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες θα έχουμε:

Κν = Κ0 + Κ0 νi / 360 = Κ0 ( 360 + ν i ) / 360

και

Κ0 = 360 Κν / (360 + ν i ) για μικτό και εμπορικό έτος.

Για πολιτικό έτος η σχέση θα είναι:

Κ0 = 365 Κν / (365 + ν i)

Με τη μέθοδο του σταθερού διαιρέτη, η τελική αξία ενός κεφαλαίου μετά από ν

ημέρες θα δίνεται από τη σχέση:

Κν = Κ0 + Κ0 ν / Δ = Κ0 ( Δ + ν ) / Δ

Αν λύσουμε την παραπάνω σχέση ως προς Κ0, θα έχουμε:

Κ0 = Κν Δ / (Δ + ν)


Ποιο κεφάλαιο, το οποίο τοκίστηκε με επιτόκιο 9% και με απλό τόκο για 4 έτη,

έγινε μαζί με τους τόκους 90.900 €;

Κn = 90.900, n = 4, i = 0,09, Κ0 = ;

Επειδή ο χρόνος εκφράζεται σε έτη, για τον υπολογισμό της αρχικής αξίας ενός

κεφαλαίου σε συνάρτηση με την τελική αξία αυτού εφαρμόζουμε τη σχέση:

Κ0 = Κn / (1 + n i)

Επομένως, η αρχική αξία θα είναι:

Κ0 = 90.900 / (1 + 4 0,09) = 66.838 €

13



Ένα άτομο δανείστηκε ένα ποσό για 100 ημέρες, με επιτόκιο 10%. Αν για την

εξόφληση του χρέους του πληρώσει 800.000 €, ποιο ποσό δανείστηκε και πόσο τόκο

πλήρωσε; Έτος μικτό.

Επειδή ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες και το έτος είναι μικτό, θα εφαρμόσουμε

τη σχέση:

Κ0 = 360 Κν / (360 + ν i)

και θα έχουμε:

Κ0 = 360 800.000 / (360 + 100 0,10) = 778.378 €

Ο τόκος θα είναι Ι = 800.000 - 778.378 = 21.622 €


Ποιο κεφάλαιο τοκίζεται με επιτόκιο 8 % για 72 ημέρες και γίνεται 66.040

δραχμές; Έτος εμπορικό.

Κν = 66.040, ν = 72, i = 0,08, Κ0 = ; Δ = 360 / I = 360 / 0,08 = 4.500

Κ0 = Κν Δ / (Δ + ν) = 66.040 4.500 / (4.500 + 72) = 65.000 €

4.10. Προβλήματα στα οποία δίνεται το ελαττωμένο κατά τον τόκο κεφάλαιο

Συμβαίνει πολλές φορές στις βραχυπρόθεσμες οικονομικές συναλλαγές ο

δανειστής (πιστωτής) να κρατήσει προκαταβολικά τον τόκο του κεφαλαίου που δάνεισε,

οπότε ο δανειζόμενος (οφειλέτης) θα λάβει το δάνειο ελαττωμένο κατά τον τόκο του.

Επομένως, ελαττωμένο κατά τον τόκο κεφάλαιο είναι το ποσό που μένει, αν από κάποιο

κεφάλαιο αφαιρεθεί ο τόκος του για ορισμένο χρονικό διάστημα.

14


Συμβολίζουμε με Κ0 το αρχικό κεφάλαιο το οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε σε

συνάρτηση του ελαττωμένου κεφαλαίου. Στην περίπτωση αυτή το ελαττωμένο κατά τον

τόκο κεφάλαιο Κ δίνεται από τις σχέσεις:

Κ = Κ0 - Κ0 ν / Δ, Κ = Κ0 - Κ0 ν i / 360, Κ = Κ0 - Κ0 ν i / 365

Αν λύσουμε τις παραπάνω σχέσεις ως προς Κ0 , λαμβάνουμε το αρχικό κεφάλαιο:

Κ0= Κ Δ / (Δ - ν), Κ0= Κ 360 / (360 - ν i), Κ0= Κ 365 / (365 - ν i)


Μια επιχείρηση δανείστηκε με απλό τόκο από μία τράπεζα ένα χρηματικό ποσό,

για 100 ημέρες, με ετήσιο επιτόκιο 18%. Η τράπεζα κράτησε προκαταβολικά τον τόκο

του δανεισθέντος ποσού και η επιχείρηση έλαβε τελικά 900.000 €. Ποιο είναι το ποσό το

οποίο δανείστηκε η επιχείρηση; Έτος μικτό.

ν = 100, i = 0,18, Κ = 900.000, Δ = 360/0,18 = 2.000, Κ0= ;

Εφαρμόζουμε τη σχέση: Κ0= Κ Δ / (Δ - ν)

και έχουμε: Κ0= 900.000 2.000 / (2.000 - 100 )= 947.368 €

4.11. Εύρεση του μέσου επιτοκίου

Μέσο επιτόκιο λέγεται το επιτόκιο εκείνο με το οποίο πρέπει να τοκίσουμε

διάφορα κεφάλαια, για διάφορους χρόνους, ώστε να πάρουμε τον ίδιο συνολικά τόκο

που θα εισπράτταμε, αν τοκίζαμε τα ίδια κεφάλαια, στους ίδιους χρόνους με διαφορετικά

επιτόκια.

Ο θεμελιώδης τύπος υπολογισμού του επιτοκίου είναι ο εξής:

ī = (Κ1ν1 i1 + Κ2ν2 i2 +... + Κμνμ iμ ) / (Κ1ν1+ Κ2ν2+... + Κμνμ)

15



Έστω ότι κεφάλαια 70.000, 90.000 και 120.000 € τοκίστηκαν προς 6%, 7% και

9% για 40, 55 και 63 ημέρες το καθένα, αντίστοιχα. Να βρεθεί με ποιο μέσο επιτόκιο

τοκίστηκαν τα παραπάνω κεφάλαια. Έτος μικτό.

Εφαρμόζουμε τη σχέση:

ī= (Κ1ν1 i1 + Κ2ν2 i2 + Κ3ν3 i3 ) / (Κ1ν1+ Κ2ν2+ Κ3ν3)

και έχουμε:

ī= (70.000400,06+90.000550,07+120.000630,09)/(70.00040+90.00055+120.00063) =

= 0,078 = 7,8%

16

ΠΕΡΙ ΑΠΛΟΥ ΤΟΚΟΥ

Documents

Transcript of ΠΕΡΙ ΑΠΛΟΥ ΤΟΚΟΥ