ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Επιμέλεια : Βασίλης Λιβανός

ΘΕΜΑ 1ο

Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy δίνονται οι ημιευθείες (δ1):

x2y και (δ2): x2y με 0x .

Μεταβλητή ευθεία (ε) τέμνει τις (δ1) , (δ2) στα σημεία Α και Β

αντίστοιχα και Μ(κ,λ) είναι το μέσο του ΑΒ.

i) Δείξτε ότι οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β είναι αντίστοιχα

k2,

2kA και

k2,

2kB

ii) Δείξτε ότι το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ είναι 2

k2OAB2

2

iii) Aν (ΟΑΒ)=2 δείξτε ότι το γινόμενο των αποστάσεων του Μ από τις

(δ1) , (δ2) είναι στaθερό και ίσο με 5

4.

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνεται η εξίσωση 09x6yx 22 .

i) Να αποδείξετε ότι παριστάνει δύο ευθείες ε1 και ε2

ii) Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω ευθείες είναι κάθετες

iii) Να βρεθεί σημείο Μ(κ,λ) με κ>0 και λ>0 , ώστε το διάνυσμα

),3( να είναι παράλληλο προς μία από τις δύο ευθείες και το

διάνυσμα )4,16( να είναι παράλληλο προς την άλλη

iv) Aν Α το σημείο τομής των ε1 και ε2 και Σ τυχαίο σημείο της ευθείας

(ε) 3x-4y –11=0 να βρεθεί η ελάχιστη τιμή που μπορεί να παρει το

μήκος του τμήματος ΑΣ

ΘΕΜΑ 3ο

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της απόστασης του σημείου Α(2,3) από το

σημείο Μ(2α+1,3α+4) , α.

ΘΕΜΑ 4ο

Αν η ευθεία 2 2

x y 4 . , α, 0 σχηματίζει με τους άξονες

τρίγωνο με εμβαδό 8 , να δείξετε ότι //

ΘΕΜΑ 5ο

Να βρείτε τις τιμές των λ,μ για τις οποίες οι ευθείες :

1 : x y 1 0 και 2 : 2 x 2y 0

είναι παράλληλες και η αποστασή τους είναι ίση με 2 2 .



ΘΕΜΑ 6ο

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 2 2x y 4 y 2 x 3 0 , λIR

παριστάνει δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους. Στη συνέχεια να βρεθεί ο

γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής των ευθειών αυτών.

ΘΕΜΑ 7

ο

Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών και τις συντεταγμένες των

κορυφών ενός τριγώνου ΑΒΓ του οποίου μια κορυφή έχει συντεταγμένες

(2,-1) ενώ οι εξισώσεις μιας διχοτόμου και ενός ύψους που άγονται από

διαφορετική κορυφή είναι x 2y 5 0 και 3x 4y 27 0 αντίστοιχα.

ΘΕΜΑ 8

ο

Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών και τις συντεταγμένες των

κορυφών ενός τριγώνου ΑΒΓ του οποίου μια κορυφή έχει συντεταγμένες

(-2,-1) ενώ οι εξισώσεις μιας διχοτόμου και μιας διαμέσου που άγονται

από την ίδια κορυφή είναι 2x y 0 και 3x y 5 0 αντίστοιχα.

ΘΕΜΑ 9

ο

Να δειχθεί ότι η εξίσωση 2 2 21 x 3 2 1 y 5 4 1 0

παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του μ, εκτός από μία η οποία και να

βρεθεί. Δείξτε ότι οι παραπάνω ευθείες διέρχονται όλες από σταθερό

σημείο.

ΘΕΜΑ 10

ο

Δίνεται ένα τρίγωνο με κορυφές Α(2λ –1, 3λ+2), Β(1,2) και Γ(2,3)

όπου λIR με λ≠–2.

i) Να αποδείξετε ότι το σημείο Α κινείται σε ευθεία, καθώς το λ

μεταβάλλεται στο IR .

ii) Εάν η ευθεία AB είναι παράλληλη στον άξονα ψ΄ψ, να βρείτε το

εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

ΘΕΜΑ 11

ο

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα , και η εξίσωση

2 2 2 22 2 2 2 0x y x y (1)

Δ1.Δείξτε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο ακτίνας 2

Δ2. Για 1, 1 και 1

( , )4

, να αποδείξετε ότι ο παραπάνω κύκλος (1)

παίρνει τη μορφή 2 2: ( 2) ( 2) 6C x y

Δ3.Nα εξετάσετε αν η εστία της παραβολής 2 8y x βρίσκεται στο εσωτερικό του

κύκλου C του προηγούμενου ερωτήματος Δ2.



ΘΕΜΑ 12ο

Δίνεται η εξίσωση 2 24x 4xy y 25 (1)

Α. Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει δύο παράλληλες μεταξύ τους ευθείες 1( ) και

2 .

Β. Να υπολογίσετε την απόσταση των 1( ) και 2

Γ. Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαράλληλης (ε) των 1( ) και 2

Δ. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου (C)που έχει κέντρο το σημείο τομής της (ε) με

τον άξονα των τεταγμένων και εφάπτεται στις 1( ) και 2 .

Ε. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου (C)που διέρχονται από το

σημείο Μ(-5,0).

ΘΕΜΑ 13ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2 2 4x y 2 x 4 y 5 1 με .

Γ1] Να αποδείξετε ότι για κάθε η εξίσωση παριστάνει κύκλο.

Γ2] Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε

σταθερή

ευθεία της οποίας να βρεθεί η εξίσωση.

Γ3] Να υπολογίσετε την ακέραια τιμή του λ έτσι ώστε η ευθεία x y 1 0

να είναι εφαπτομένη του παραπάνω κύκλου.

Γ4] Για 1 να αποδείξετε ότι για κάθε σημείο Μ του παραπάνω κύκλου

ισχύει : 5 2 5 2

ΘΕΜΑ 14ο

Δίνεται η παραβολή με εξίσωση 2

1c : y x πουδιέρχεται από το σημείο

Α(-4,4) .

Δ1] Να αποδείξετε ότι 4 και να βρείτε την απόσταση της εστίας

της παραβολής από την διευθετούσα της .

Δ2] Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής στο Α

είναι η ευθεία ε με εξίσωση 1

y x 22

: .

Δ3] Αν η εφαπτομένη (ε) της παραβολής στο σημείο Α τέμνει τον

άξονα χ΄χ στο Β και Β΄ είναι η προβολή του Α στον άξονα χ΄χ να

αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για

τα οποία ισχύει : 2 2

MB MB 100 2 είναι έλλειψη με

εξίσωση 2 2

21

25 9

x yc : .



Δ4] Να βρεθεί η μέγιστη απόσταση ενός σημείου της έλλειψης 2c από

την διευθετούσα της παραβολής 1c . Ποιο είναι το σημείο της

έλλειψης που απέχει την μέγιστη απόσταση από την διευθετούσα της

παραβολής ;

ΘΕΜΑ 15ο

Δίνονται τα διανύσματα , και για τα οποία ισχύουν :

=2 , =2 2 , ( )=4

και 2 .

Β1] Nα αποδείξετε ότι . 4 .

Β2] Να αποδείξετε ότι .

Β3] Να υπολογίσετε την γωνία των διανυσμάτων και .

Β4] Να υπολογίσετε την τιμή του έτσι ώστε να ισχύει :

2 3

ΘΕΜΑ 16ο

Δίνεται η έλλειψη C: 125

yx 2

2

2

)0( η οποία διέρχεται από το

σημείο Β(4,0).

Α. Να βρείτε την τιμή του β.

Β. Για β = 4 να βρείτε τις εστίες Ε΄ , Ε και το σταθερό άθροισμα της έλλειψης

Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση του κύκλου C΄ που έχει κέντρο την εστία Ε και

ακτίνα ίση με το μισό του μικρού άξονα (β = 4) της έλλειψης, είναι η :

07y6yx 22

Δ. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου C΄ στα σημεία στα οποία

ο κύκλος τέμνει τον άξονα y΄y.

ΘΕΜΑ 17ο



ΘΕΜΑ 18ο

ΘΕΜΑ 19ο

Δίνεται η εξίσωση 2 2 22 2 2 25 0, (1)x y x y

A) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

B) Δίνεται επιπλέον η παραβολή με εξίσωση 2 4y x με εστία το σημείο Ε.

i. Να βρείτε ποιος από τους παραπάνω κύκλους που περιγράφονται από την εξίσωση (1) έχει το κέντρο του στην εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο της Α(1,2).

ii. Η παράλληλη από τυχαίο σημείο Μ (διαφορετικό του Ο(0,0)) της παραβολής προς τον άξονα x΄x, τέμνει τη διευθετούσα στο σημείο Β. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη (ε) της παραβολής στο σημείο Μ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΒΕ.

ΘΕΜΑ 20ο

Δίνεται η υπερβολή 2 2

2 2

x yC : 1

και το σημείο Κ(0,β) . Μια ευθεία (ε) που

διέρχεται από το Κ και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ>0 τέμνει τις εφαπτομένες της

υπερβολής στις κορυφές της Α΄και Α , στα σημεία Μ΄και Μ αντίστοιχα.

Α. Δείξτε ότι ο κύκλος διαμέτρου Μ΄Μ έχει εξίσωση 22 2 2x y 1

(10 μονάδες)

Β. Να βρείτε το λ ώστε η ακτίνα του παραπάνω κύκλου να είναι ίση με την απόσταση

των κορυφών της υπερβολής.

(7 μονάδες)

Γ. Αν ε η εκκεντρότητα της υπερβολής δείξτε ότι ο κύκλος διαμέτρου Μ΄Μ διέρχεται

από τις εστίες της υπερβολής αν και μόνο αν 22 2 .

(8 μονάδες)



ΘΕΜΑ 21ο

Δίνεται ο κύκλος 2 2C: x (y 2) 4

Α. Να δείξετε ότι ο κύκλος C εφάπτεται στον άξονα χ΄χ.

(3 μονάδες)

Β. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C στο σημείο του Μ(-2,-2).

( 6 μονάδες)

Γ. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής 1(C ) που έχει κορυφή την αρχή των

αξόνων και εστία το κέντρο του κύκλου C .

(6 μονάδες)

Δ. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων , μια

εστία της είναι το σημείο τομής της διευθετούσας της παραβολής 1(C ) με τον άξονα

ψ΄ψ και μήκος μεγάλου άξονα διπλάσιο από τη διάμετρο του κύκλου C .

(10 μονάδες)

ΘΕΜΑ 22ο

Α. Δίνεται η εξίσωση χ2+ψ

2+6μχ+8λψ=0 , όπου μ και λ πραγματικοί

αριθμοί διάφοροι του μηδενός. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή των λ και

μ η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή

των αξόνων.

Β. Έστω ότι για τους λ και μ ισχύει: 3μ+2λ=0.

Ι) Να αποδείξετε ότι όλοι οι παραπάνω κύκλοι έχουν τα κέντρα τους

σε σταθερή ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων

ΙΙ) Να βρείτε τα λ και μ ώστε ,αν Α και Β τα σημεία τομής του

αντίστοιχου κύκλου με την ευθεία χ+ψ-2=0, να ισχύει 0.

OBOA

ΙΙΙ) Για τις τιμές των λ,μ του ερωτήματος ΙΙ να υπολογίσετε το εμβαδό

του τριγώνου ΟΑΒ.

ΘΕΜΑ 23ο

Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση x2+y

2-2λx-2λy=0

παριστάνει κύκλο. Δείξτε ότι οι παραπάνω κύκλοι διέρχονται από σταθερό

σημείο. Στη συνέχεια να βρεθεί ο λ έτσι ώστε η ευθεία 2χ-ψ+3=0 να

ορίζει πάνω στον κύκλο χορδή που να φαίνεται από την αρχή των αξόνων

υπό ορθή γωνία.

ΘΕΜΑ 24ο

Δίνονται δύο κωνικές τομές: η παραβολή y2 = 2px,

και η έλλειψη 4x2+2y

2=3p

2, p>0.

α] Να αποδείξετε ότι οι εστίες Ε και Ε΄ της έλλειψης είναι τα σημεία

Ε

2

p3,0 και Ε΄

2

p3,0 .

β] Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής Κ και Λ των δύο κωνικών

τομών είναι τα σημεία Κ

p,

2

p και Λ

p,

2

p .



γ] Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των δύο κωνικών τομών στο

σημείο Κ

p,

2

p είναι κάθετες.

ΘΕΜΑ 25ο

Α] Δίνονται τα σταθερά σημεία Α,Β του επιπέδου και έστω , οι

διανυσματικές τους ακτίνες ως προς ένα σημείο αναφοράς Ο. Αν

ισχύει 2

218..

όπου η διανυσματική ακτίνα του μέσου του ΑΒ , δείξτε ότι

362

Β] Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy δίνονται τα σημεία

Α(-1,0) και Β(1,0). Αν για τα σημεία Μ(x,y) ισχύει:

2

MO218MB.MAMB.MA

B1] Δείξτε ότι το Μ ανήκει σε σταθερή καμπύλη της οποίας να

βρείτε την εξίσωση.

Β2] Αν (ΜΑ)=1 να βρεθεί η απόσταση (ΜΒ).

ΘΕΜΑ 26ο

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Documents

Transcript of ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ