Τοπολογία (Μια μικρή εισαγωγή)

ΦΙΟΡΔΝΣΙΝΟ ΓΙΑΝΝΗ

ΣΟΠΟΛΟΓΙΑ

ΜΕΡΙΚΕ ΕΙΑΓΩΓΙΚΕ

ΕΝΝΟΙΕ

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ MSc. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΑΘΗΝΑ

ΜΑΗ 2011


ΣΟΠΟΛΟΓΙΑ. ΔΙΑΓΩΓΙΚΔ ΔΝΝΟΙΔ

Η ηοπολογία (ηόπνο + ιόγνο=κειέηε) απνηειεί έλα κεγάιν θαη ζπνπδαίν θιάδν

ησλ καζεκαηηθώλ πνπ αζρνιείηαη κε ηηο «ρσξηθέο» ηδηόηεηεο ησλ αληηθεηκέλσλ, νη

νπνίεο παξακέλνπλ αλαιινίσηεο θάησ από ζπλερείο παξακνξθώζεηο (ζπλερείο

κεηαζρεκαηηζκνύο), όπσο γηα παξάδεηγκα παξακνξθώζεηο πνπ αθνξνύλ ην ηέλησκα

ή ηε ζπζηξνθή κηαο επηθάλεηαο, ρσξίο λα επηηξέπεηαη ην ζρίζηκν ή ε ζπγθόιιεζε ή

ην γέκηζκα (θιείζηκν) νπώλ.

Γηα ηελ αλάπηπμή ηεο ε ηνπνινγία απαηηεί έλλνηεο από ηε ζεσξία ησλ ζπλόισλ

θαη από ηε γεσκεηξία, έλλνηεο όπσο πρ απηή ηνπ ρώξνπ, ηεο δηάζηαζεο θαη ηνπ

κεηαζρεκαηηζκνύ. Μπνξνύκε λα πνύκε επίζεο όηη ε ηνπνινγία είλαη ε κειέηε ησλ

ζπλόισλ, ζηα νπνία κπνξεί λα νξηζζεί κηα έλλνηα «θιεηζηόηεηαο» έηζη ώζηε λα

δηαθξίλεηαη ε ζπλέρεηα γηα νηαδήπνηε ζπλάξηεζε πνπ νξίδεηαη ζ’ απηά. Θεκειηώδεηο

έλλνηεο όπσο: ζύγκλιζη, όριο, ζυνέχεια, ζυνεκηικόηηηα, ζυμπάγεια, ζπλαληνύλ

ζηελ ηνπνινγία ηελ θαιύηεξε κνξθνπνίεζή ηνπο.

Η ηνπνινγία βαζίδεηαη νπζηαζηηθά ζηηο έλλνηεο ηνπ ηοπολογικού χώρου θαη

ηνπ ομοιομορθιζμού (πνπ ζα νξίζνπκε ζηε ζπλέρεηα). Με ηνλ όξν ηνπνινγία

ελλννύκε επίζεο ηελ ζπιινγή αλνηθηώλ ζπλόισλ πνπ νξίδνπλ έλα ηνπνινγηθό ρώξν.

Λέκε όηη ζηελ ηνπνινγία έλαο θύβνο θαη κία ζθαίξα είλαη νκνηόκνξθα αληηθείκελα κε

ηελ έλλνηα όηη κπνξνύκε λα παξακνξθώζνπκε (κεηαζρεκαηίζνπκε) έλα θύβν ζε κηα

ζθαίξα ρσξίο λα θνιιήζνπκε ή λα θόςνπκε νηηδήπνηε. Γελ είλαη όκσο δπλαηό λα

παξακνξθώζνπκε κε ηνλ ίδην ηξόπν κηα ζθαίξα ζε θύθιν πεηδή ε δηάζηαζε ελόο

αληηθεηκέλνπ είλαη κηα ηνπνινγηθή ηδηόηεηα πνπ πξέπεη λα δηαηεξείηαη από ηνπο ελ

ιόγσ ζπλερείο κεηαζρεκαηηζκνύο. Ούηε κπνξνύκε λα κεηακνξθώζνπκε κηα ζθαίξα

ζε ηόξν, αθνύ νηόξνο έρεη «ηξύπα» πνπ δελ ππάξρεη ζηε ζθαίξα. Αληίζεηα κπνξνύκε

λα κεηαζρεκαηίζνπκε κε ζπλερή ηξόπν έλα ηόξν ζε κηα θνύπα ηζαγηνύ, όπσο

θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα:


Λέκε ινηπόλ όηη ε ζθαίξα θαη ν θύβνο, όπσο θαη ν ηόξνο κε ηελ θνύπα

είλαη ηοπολογικά ιζοδύναμα αληηθείκελα. Τπάξρεη θαη ην ζρεηηθό αλέθδνην:

Σνπνιόγνο είλαη απηόο πνπ δελ κπνξεί λα μερσξίζεη κηα ζακπξέια από έλα θιηηδάλη

ηζαγηνύ…

…ΙΣΟΡΙΑ

Πξνάγγεινο ηεο ηνπνινγίαο ζεσξείηαη ην άξζξν ηνπ δηάζεκνπ Διβεηνύ

καζεκαηηθνύ Leonard Euler ζηα 1736 κε ηνλ ηίηιν: « Seven bridges of Konigsberg»,

ζην νπνίν ν Euler απέδεημε όηη είλαη αδύλαην λα βξεη θαλείο κηα δηαδξνκή ζηελ πόιε

ηνπ Konigsberg (ζεκεξηλό Kaliningrad) πνπ λα πεξλάεη αθξηβώο κηα θαη κόλν θνξά

από θάζε κηα απ’ ηηο επηά γέθπξεο


ηελ κειέηε ηνπ απηή ν Euler απέδεημε όηη ην αδύλαην ηεο εύξεζεο ιύζεο

δελ εμαξηάηαη από ηα κήθε ησλ γεθπξώλ ή ηηο κεηαμύ ηνπο απνζηάζεηο αιιά από ηελ

«ηνπνινγία» ηνπ πξνβιήκαηνο. Μηιώληαο βέβαηα πην εηδηθά πξέπεη λα πνύκε όηη ην ελ

ιόγσ paper άλνημε ην δξόκν γηα ηνλ θιάδν ησλ καζεκαηηθώλ πνπ ζήκεξα είλαη

γλσζηόο ζαλ ζεσξία γξαθεκάησλ ή γξάθσλ (graph theory).

Ο όξνο «Topologie» εηζήρζε ζηε Γεξκαληθή ην 1847 από ηνλ Johan Benedict

Listing, θαη γηα πξώηε θνξά ν Αγγιηθόο όξνο «Topology» εκθαλίζζεθε ζηα 1883

ζην πεξηνδηθό Nature. Η ζύγρξνλε ηνπνινγία ζηεξίδεηαη ζηηο ηδέεο ηεο

ζπλνινζεσξίαο πνπ αλέπηπμε ν Georg Cantor (κεηαμύ ησλ εηώλ 1874-1884). Ο Henri

Poincare εμέδσζε ην έξγν «Analysis situs» (Αλάιπζε ζέζεο) ζηα 1895 όπνπ εηζήγαγε

ηηο έλλνηεο ηεο νκνηνπίαο (homotopy) θαη νκνινγίαο (homology) πνπ ζήκεξα

απνηεινύλ θιάδν ηεο ιεγόκελεο αιγεβξηθήο ηνπνινγίαο (algebraic topology).

Η έλλνηα ηνπ δηαλπζκαηηθνύ ρώξνπ εηζήρζε ζηα 1906 από ηνλ Maurice Frechet .

H νλνκαζία «κεηξηθόο ρώξνο» νθείιεηαη ζηνλ Felix Hausdorff, o νπνίνο επίζεο ζηα

1914 επηλόεζε ηνλ όξν «ηνπνινγηθόο ρώξνο» θαη έδσζε ηνλ νξηζκό απηνύ πνπ

ζήκεξα νλνκάδεηαη ρώξνο Hausdorff, ελώ αξγόηεξα ν ελ ιόγσ νξηζκόο γεληθεύηεθε

ζηα 1922 από ηνλ Kazimierz Kuratowski.

ΜΔΡΙΚΟΙ ΥΡΗΙΜΟΙ ΟΡΙΜΟΙ

Στα επόμενα με τον όρο «Ευκλείδειος χώρος Ε» εννοούμε τον 1 (ευθεία), τον 2

(επίπεδο) ή τον 3 (τρισδιάστατος Ευκλείδειος χώρος).


ΑΝΟΙΚΣΟ ΤΝΟΛΟ

ην δηπιαλό ζρήκα παξαηεξνύκε όηη

θάζε ζεκείν πνπ βξίζθεηαη ζην εζσηεξηθό ελόο

θύθινπ κπνξεί λα θιεηζηεί ζε κηα ζθαηξηθή

πεξηνρή, πνπ πεξηέρεηαη νιόθιεξε ζην

εζσηεξηθό ηνπ θύθινπ. Έλα ζύλνιν πνπ έρεη ηελ

ηδηόηεηα απηή ιέγεηαη αλνηθηό. Γειαδή έλα

ζύλνιν S ηνπ Δπθιείδεηνπ ρώξνπ Δ είλαη

αλνηθηό, αλ γηα θάζε ζεκείν Ρ ηνπ S ππάξρεη κηα ζθαηξηθή πεξηνρή S(P) ηνπ Ρ πνπ

πεξηέρεηαη ζην S.

ηε κνλνδηάζηαηε πεξίπησζε ( 1 ) αλνηθηό ζύλνιν είλαη ην αλνηθηό δηάζηεκα, ζηε

δηζδηάζηαηε ( 2 ) ν δίζθνο θαη ζηελ ηξηζδηάζηαηε ( 3 ) ε κπάια (κπάια= αλνηθηή

ζθαίξα, ην εζσηεξηθό δειαδή κηαο ζθαίξαο).

ΚΛΔΙΣΟ ΤΝΟΛΟ

Έλα ππνζύλνιν S ηνπ Δ ιέγεηαη θιεηζηό ζύλνιν , αλ ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ πνπ

δελ αλήθνπλ ζην Δ, είλαη αλνηθηό, δειαδή αλ ην ζπκπιήξσκά ηνπ, δειαδή ην CS , είλαη

αλνηθηό.


Σν δηάζεκα πρ a x b ηνπ 1 είλαη θιεηζηό ζύλνιν. Ο αλνηθηόο δίζθνο

ζηνλ 2 καδί κε ην ζύλνξό ηνπ είλαη θιεηζηό ζύλνιν (θιεηζηόο δίζθνο). Η κπάια

(αλνηθηή ζθαίξα) ζηνλ 3 καδί κε ην ζύλνξό ηεο είλαη θιεηζηό ζύλνιν θαη ιέγεηαη

θιεηζηή ζθαίξα. Η επηθάλεηα ηεο ζθαίξαο ζηνλ 3 είλαη θιεηζηό ζύλνιν, αθνύ ην

ζπκπιήξσκά ηεο είλαη αλνηθηό ζύλνιν (σο έλσζε ηνπ αλνηθηνύ εζσηεξηθνύ θαη ηνπ

αλνηθηνύ εμσηεξηθνύ ηεο ζθαίξαο). Ο ηόξνο ζηνλ 3 είλαη θιεηζηό ζύλνιν. Έλα

ππνζύλνιν ηνπ Δ πνπ απνηειείηαη από έλα κόλν ζεκείν είλαη θιεηζηό θαζώο θαη όπνην

πεξηέρεη πεπεξαζκέλν αξηζκό ζεκείσλ. Τπάξρεη πεξίπησζε έλα ζύλνιν λα κελ είλαη

νύηε αλνηθηό νύηε θιεηζηό, πρ ην δηάζηεκα a x b .

Μπνξνύκε λα νξίζνπκε ην θιεηζηό ζύλνιν θαη ρσξίο ηε βνήζεηα ηνπ αλνηθηνύ

ζπλόινπ. Γηα ην ζθνπό απηό ρξεηαδόκαζηε ηελ έλλνηα ηνπ νξηαθνύ ζεκείνπ: Έλα

ζεκείν Ρ νλνκάδεηαη ζεκείν ζπζζσξεύζεσο ή νξηαθό ζεκείν ελόο ζπλόινπ S ηνπ Δ, αλ

θάζεπεξηνξηνζκέλε πεξηνρή S(P) ηνπ Ρ, πεξηέρεη έλα ηνπιάρηζηνλ αθόκε ζεκείν εθηόο

ηνπ Ρ.

Απνδεηθλύεηαη ινηπόλ ην παξαθάησ ζεώξεκα:

Θεώξεκα 1: Έλα ζύλνιν είλαη θιεηζηό, εάλ θαη κόλν εάλ πεξηέρεη ηα νξηαθά ηνπ ζεκεία.

ΚΑΛΤΜΜΑ ΤΝΟΛΟΤ

Σν θάιπκκα ελόο ζπλόινπ S ηνπ Δ, ην νπνίν ζπκβνιίδεηαη κε S είλαη ην ζύλνιν

πνπ απνηειείηαη από ην S θαη από ην ζύλνιν πνπ απνηεινύλ ηα νξηαθά ζεκεία ηνπ S.

Δίλαη δειαδή ην κηθξόηεξν δπλαηό θιεηζηό ζύλνιν πνπ εκπεξηέρεη ην S


ΦΡΑΓΜΔΝΟ ΤΝΟΛΟ

Έλα ζύλνιν S πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ νλνκάδεηαη θξαγκέλν πξνο ηα πάλσ, αλ

ππάξρεη πξαγκαηηθόο αξηζκόο k ηέηνηνο ώζηε λα ηζρύεη: k s , s S . Ο αξηζκόο k

ιέγεηαη ηόηε πάλσ θξάγκα ηνπ S. Με παξόκνην ηξόπν νξίδεηαη ην θάησ θξάγκα θαη ην

θξαγκέλν πξνο ηα θάησ ζύλνιν. Σώξα αλ έλα ζύλνιν είλαη θξαγκέλν θαη πξνο ηα πάλσ

θαη πξνο ηα θάησ, νλνκάδεηαη θξαγκέλν.

Έηζη έλα ζύλνιν πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ είλαη θξαγκέλν αλ πεξηέρεηαη ζ’ έλα

πεπεξαζκέλν δηάζηεκα. Γεληθόηεξα έλα ζύλνιν S ηνπ Δ ιέγεηαη θξαγκέλν, αλ

πεξηέρεηαη ζε θάπνηα ζθαηξηθή πεξηνρή ελόο ζεκείνπ ηνπ. ην επίπεδν έλα ζύλνιν είλαη

θξαγκέλν εάλ θαη κόλν εάλ πεξηέρεηαη ζ’ έλα αλνηθηό δίζθν, ελώ έλα ζύλνιν ζην ρώξν

είλαη θξαγκέλν εάλ θαη κόλν εάλ πεξηέρεηαη ζε κηα αλνηθηή ζθαίξα.

ΤΝΔΚΣΙΚΟ ΤΝΟΛΟ

Έλα ζύλνιν είλαη ζπλεθηηθό (connected), όηαλ δελ κπνξεί λα εθθξαζζεί ζαλ

έλσζε δύν μέλσλ θαη αλνηθηώλ κέζα ζ’ απηό ππνζπλόισλ ηνπ. Απηό ρνλδξηθά

ζεκαίλεη όηη απνηειείηαη από έλα

«θνκκάηη» κε δηαθνπηόκελν

Μεηαμύ ησλ ζπλεθηηθώλ ζπλόισλ

ππάξρνπλ θαη νξηζκέλα πνπ δελ είλαη

ηνπνινγηθά ηζνδύλακα όπσο ζηα ζρή- (α) (β)

καηα (α) θαη (β).

Σν (α) απνηειείηαη από όια ηα ζεκεία ζην

εζσηεξηθό ηνπ θύθινπ, ελώ ην (β) απνηειείηαη από ηα ζεκεία πνπ πεξηέρνληαη κεηαμύ δύν

νκόθεληξσλ θύθισλ. Κάζε θιεηζηή θακπύιε πνπ βξίζθεηαη κέζα ζηνλ ηόπν (α) κπνξεί λα

ζπξξηθλσζεί ζε έλα κόλν ζεκείν ζηνλ (α).Έλαο ηόπνο κ’ απηή ηελ ηδηόηεηα νλνκάδεηαη


απιά ζπλεθηηθόο. Αληίζεηα ην ρσξίν (β) δελ είλαη απιά

ζπλεθηηθό γηαηί πρ κηα θιεηζηή θακπύιε δελ κπνξεί λα

ζπξξηθλσζεί ζ’ έλα ζεκείν ρσξίο λα πεξάζεη από ην

θέληξν ησλ νκόθεληξσλθύθισλ πνπ δελ αλήθεη –

πξνθαλώο- ζην (β). Έλαο ζπλεθηηθόο ρώξνο πνπ δελ

είλαη απιά ζπλεθηηθόο νλνκάδεηαη πνιιαπιά

ζπλεθηηθόο. Αλ ν πνιιαπιά ζπλεθηηθόο ρώξνο «θνπεί»

θαηά κήθνο κηαο αθηίλαο, όπσο ζην δηπιαλό ζρήκα (γ), (γ)

ηόηε απηό ζα πξνθύςεη είλαη έλαο απιά ζπλεθηηθόο ρώξνο.

Γεληθά κπνξνύκε λα θαηαζθεπάζνπκε

ηόπνπο κε 2,3 ή πεξηζζόηεξεο νπέο. ην ζρήκα(δ)

γηα λα κεηαηξαπεί ν εηθνληδόκελνο ρώξνο ζε απιά

ζπλεθηηθό, είλαη αλαγθαίεο δύν ηνκέο. Αλ γηα λα

κεηαηξαπεί έλαο δνζκέλνο πνιιαπιά ζπλεθηηθόο

ηόπνο ζε απιά ζπλεθηηθό απαηηνύληαη n-1 κε (δ)

ηεκλόκελεο ηνκέο από δηαρσξηζηηθή ζε δηαρσξηζηηθή γξακκή, ηόηε νλνκάδεηαη n-απλά

ζπλεθηηθόο. Ο βαζκόο ζπλεθηηθόηεηαο ελόο ηόπνπ ζην επίπεδν είλαη κηα πνιύ

ζπνπδαία ηνπνινγηθή ηδηόηεηα, πνπ δηαηεξείηαη αλαιινίσηε θαηά ηνπο

κεηαζρεκαηηζκνύο.

Έλα αλνηθηό θαη ζπλεθηηθό ζύλνιν ηνπ Δ νλνκάδεηαη ηόπνο.

Έλα κε θελό ζύλνιν S ηνπ Δ νλνκάδεηαη θαηά ηόμν ζπλεθηηθό (arcwise

connected), αλ θάζε δεύγνο ζεκείσλ ηνπ S κπνξεί λα ελσζεί κε έλα ζπλερέο ηόμν, ην

νπνίν λα πεξηέρεηαη ζην S. Μηιώληαο πην απζηεξά ην ζύλνιν S είλαη θαηά ηόμν

ζπλεθηηθό, αλ: γηα θάζε δεύγνο 1 2,x x πνπ αλήθνπλ ζην S ππάξρεη κηα ζπλερήο

ζπλάξηεζε ( )x t κε πεδίν νξηζκνύ ην [0,1], έηζη ώζηε:


α) ην ( )x t λα πεξηέρεηαη ζην S, [0,1]t

β) λα είλαη: 1(0)x x θαη 2(1)x x .

Γηα ηα θαηά ηόμν ζπλεθηηθά ζύλνια ηζρύνπλ ηα παξαθάησ:

Θεώξεκα 2: Αλ έλα ζύλνιν είλαη θαηά ηόμν ζπλεθηηθό, ηόηε ζα είλαη θαη ζπλεθηηθό.

Θεώξεκα 3: Έλαο ηόπνο (αλνηθηό θαη ζπλεθηηθό ζύλνιν) είλαη θαηά ηόμν ζπλεθηηθό

ζύλνιν.

ΤΜΠΑΓΔ ΤΝΟΛΟ

Έλα ππνζύλνιν S ηνπ Δ, ή γεληθόηεξα ελόο ηνπνινγηθνύ ρώξνπ Υ, είλαη

ζπκπαγέο (compact), αλ γηα θάζε αλνηθηή θάιπςε (open covering) ηνπ S ππάξρεη κηα

πεπεξαζκέλε ππνθάιπςε (finite covering)ηνπ S.

Αλνηθηή θάιπςε ελόο ζπλόινπ S ηνπ Δ, ή γεληθόηεξα ελόο ηνπνινγηθνύ ρώξνπ

Υ, είλαη κηα νηθνγέλεηα αλνηθηώλ ζπλόισλ ηνπ Δ, ε έλσζε ησλ νπνίσλ εκπεξηέρεη ην

S. Τπνθάιπςε είλαη έλα ππνζύλνιν κηαο αλνηθηήο θάιπςεο κε ηελ ίδηα όπσο θαη πξηλ

ηδηόηεηα.

Πεπεξαζκέλε θάιπςε είλαη κηα αλνηθηή θάιπςε πνπ πεξηέρεη πεπεξαζκέλν

αξηζκό ζπλόισλ. Απνδεηθλύεηαη όηη έλα ζπκπαγέο ζύλνιν S ηνπ Δ, είλαη θιεηζηό θαη

θξαγκέλν. Ιζρύεη επίζεο θαη ην αληίζηξνθν (ζεώξεκα Heine-Borel).

Έρνπκε ινηπόλ:

Θεώξεκα 4 : Έλα ζύλνιν είλαη ζπκπαγέο εάλ θαη κόλν εάλ είλαη θιεηζηό θαη

θξαγκέλν.


ΤΝΔΥΗ ΑΠΔΙΚΟΝΙΗ

Αο ζεσξήζνπκε δύν

Δπθιείδεηνπο ρώξνπο Δ θαη

F θαη έλα ππνζύλνιν S ηνπ

Δ. Θεσξνύκε επίζεο ηελ

απεηθόληζε f ηνπ Δ ζην F, ε

νπνία ζε θάζε ζεκείν P πνπ

αλήθεη ζην S, αληηζηνηρεί

έλαζεκείν ( )f P πνπ αλήθεη ζην F. Η απεηθόληζε (mapping) f νλνκάδεηαη ζπλερήο

ζην ζεκείν P, αλ γηα θάζε αλνηθηό ζύλνιν ( )f PV , πνπ πεξηέρεη ην ( )f P , ππάξρεη έλα

αλνηθηό ζύλνιν PU πνπ πεξηέρεη ην P , ηέηνην ώζηε λα ηζρύεη: ( )( )P f Pf U V . Αλ ε

απεηθόληζε f είλαη ζπλερήο ζε θάζε ζεκείν ηνπ S, ηόηε νλνκάδεηαη ζπλερήο ζην S ή

απιάζπλερήο. Γηα ηηο ζπλερείο απεηθνλίζεηο ηζρύνπλ ηα παξαθάησ ζεσξήκαηα:

Θεώξεκα 4 : ε κηα ζπλερή απεηθόληζε, ε εηθόλα θάζε ζπλεθηηθνύ ζπλόινπ είλαη

επίζεο ζπλεθηηθό ζύλνιν.

Θεώξεκα 5 : ε κηα ζπλερή απεηθόληζε, ε εηθόλα θάζε ζπκπαγνύο ζπλόινπ είλαη

επίζεο ζπκπαγέο ζύλνιν

Θεώξεκα 6 : Η ζύλζεζε δύν ζπλερώλ απεηθνλίζεσλ είλαη επίζεο ζπλερήο απεηθόληζε.

Θεώξεκα 7 : Μηα ζπλερήο πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζ’ έλα ζπκπαγέο

ζύλνιν,παίξλεη ην απόιπην κέγηζην θαη ην απόιπην ειάρηζην ζην ζύλνιν απηό.

Θεώξεκα 8 : Μηα ζπλερήο ζπλάξηεζε :f R R νξηζκέλε ζην δηάζηεκα [α,β], παίξλεη

νπνηαδήπνηε ηηκή αλάκεζα ζην ( )f a θαη ζην ( )f . (Θεώξεκα ηεο ελδηάκεζεο ηηκήο

ηνπ Weirstrass)


ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΙΜΟΙ

ηελ ηνπνινγία έλαο νκνηνκνξθηζκόο (homeomorphism), είλαη κηα ζπλάξηεζε

f πνπ απεηθνλίδεη έλαλ ηνπνινγηθό ρώξν ζε θάπνηνλ άιιν θαη έρεη ηελ ηδηόηεηα λα

είλαη ακθηκνλνζήκαληε θαη ηέηνηα ώζηε ηόζν ε f όζν θαη ε αληίζηξνθή ηεο 1f λα

είλαη ζπλερείο. Έλαο νκνηνκνξθηζκόο παξαπέκπεη ζε δύν ηνπνινγηθνύο ρώξνπο πνπ

είλαη «γεσκεηξηθά» όκνηνη,κε ηελ έλλνηα όηη ζεκεία πνπ είλαη γεηηνληθά ζηνλ έλα ρώξν

απεηθνλίδνληαη ζε ζεκεία πνπ επίζεο είλαη γεηηνληθά ζηνλ άιιν ρώξν. ηε δηαθνξηθή

γεσκεηξία απηό ζεκαίλεη όηη ν έλαο ηνπνινγηθόο ρώξνο κπνξεί λα κεηαζρεκαηηζζεί

ζηνλ άιιν κε «ηέλησκα» ή «ζπζηξνθή».

Έλαο πην ηππηθόο νξηζκόο είλαη ν αθόινπζνο:

Αο είλαη ( , )TX X θαη ( , )TY Y δύν ηνπνινγηθνί ρώξνη. Μία ζπλάξηεζε

: ( , ) ( , )T Tf X X Y Y είλαη έλαο νκνηνκνξθηζκόο κεηαμύ ησλ ( , )TX X θαη ( , )TY Y αλ

δηαζέηεη ηηο παξαθάησ ηδηόηεηεο:

1. Η f είλαη ακθηκνλνζήκαληε ζπλάξηεζε (1πξνο 1 θαη επί)

2. Η f είλαη ζπλερήο

3. Η αληίζηξνθε ζπλάξηεζε 1 : ( , ) ( , )T Tf Y Y X X είλαη επίζεο ζπλερήο ζπλάξηεζε.

Αλ κεηαμύ δύν ρώξσλ πθίζηαηαη νκνηνκνξθηζκόο ηόηε νη ρώξνη απηνί θαινύληαη

νκνηνκνξθηθνί. Γύν νκνηνκνξθηθνί ρώξνη ζεσξνύληαη ηνπνινγηθά ηζνδύλακνη. Οη

ηδηόηεηεο πνπ δηαηεξνύληαη θάησ από νκνηνκνξθηζκνύο νλνκάδνληαη ηνπνινγηθέο

ηδηόηεηεο. Γηα παξάδεηγκα ε ζπκπάγεηα θαη ε ζπλεθηηθόηεηα απνηεινύλ ηνπνινγηθέο

ηδηόηεηεο θαη άξα παξακέλνπλ αλαιινίσηεο θάησ από νκνηνκνξθηζκνύο.


ΣΟΠΟΛΟΓΙΚΟ ΥΩΡΟ

Έλαο ηνπνινγηθόο ρώξνο είλαη έλα ζύλνιν Υ καδί κε κηα ζπιινγή αλνηθηώλ

ππνζπλόισλ Σ πνπ ηθαλνπνηεί ηηο παξαθάησ ηέζζεξεηο πξνϋπνζέζεηο:

α) Σν θελό ζύλνιν αλήθεη ζην Σ ( T ).

β) Σν Υ αλήθεη ζην Σ

γ) Η ηνκή ελόο πεπεξαζκέλνπ αξηζκνύ ζπλόισλ ηνπ Σ, αλήθεη επίζεο ζην Σ

δ) Η έλσζε νηνπδήπνηε απζαίξεηνπ αξηζκνύ ζπλόισλ ηνπ Σ, αλήθεη επίζεο ζην Σ.

Σα παξαπάλσ εηζάγνληαη κε γλώκνλα ην όηη νη παξαδνζηαθνί νξηζκνί ησλ αλνηθηώλ

θαη θιεηζηώλ δηαζηεκάησλ ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ πξέπεη λα εμαθνινπζνύλ λα ηζρύνπλ.

Έηζη ν πεξηνξηζκόο (πεπεξαζκέλνο αξηζκόο ζπλόισλ) ζην γ) θαίλεηαη αλαγθαίνο αλ αλαιν-

γηζζνύκε όηη:

1

1 1( , ) 0n

n n (285)

ε ηνκή δειαδή ελόο άπεηξνπ πιήζνπο αλνηθηώλ δηαζηεκάησλ είλαη θιεηζηό ζύλνιν.


Η ΘΔΩΡΙΑ ΣΟΤ MORSE (MORSE THEORY)

Στην παρακάτω ανάλυση ακολουθούμε τη συλλογιστική του βιβλίου: Morse theory by J. Milnor,

based on lecture notes by M. Spivac and R. Wells, Princeton University Press,1973

ΔΙΑΓΩΓΗ

ύκθσλα κε ηελ ζεσξία ηνπ Morse κπνξνύκε λα εμεξεπλήζνπκε ηελ ηνπνινγία

κηαο επηθάλεηαο κειεηώληαο ηα «θξίζηκα» ζεκεία κηαο πξαγκαηηθήο ζπλάξηεζεο

νξηζκέλεο πάλσ ζηελ επηθάλεηα απηή.

Δπηιέγνπκε ινηπόλ λα κειεηήζνπκε έλα

ηόξν Μ θαη ζαλ θαηάιιειε ζπλάξηεζε ζεσξνύκε

ηνύςνο ηνπ πάλσ απόην επίπεδνV, πνπ εθά-

πηεηαη ζην θάησ άθξν ηνπ ηόξνπ (ζεκείν p).

Έρνπκε ινηπόλ ηελζπλάξηεζε :f M R (κε R

ζπκβνιίδνπκε ην ζύλνιν ησλ πξαγκαηηθώλ

αξηζκώλ) θαη έζησ όηη aM είλαηην ζύλνιν όισλ

ησλ ζεκείσλ x M ,γηα ηα νπνία ηζρύεη όηη ( )f x a . Σα επόκελα ινηπόλ ζα αιεζεύνπλ:

α) Αλ 0( ( ))a f p , ηόηε ην ζύλνιν aM είλαη θελό.

β) Αλ ( ) ( )f p a f q , ηόηε ην aM είλαη νκνηνκνξθηθό κε έλα 2-cell.

γ) Αλ ( ) ( )f q a f r , ηόηε ην aM είλαη νκνηνκνξθηθό κε έλα θύιηλδξν.

δ) Αλ ( ) ( )f r a f s , ηόηε ην aM είλαη νκνηνκνξθηθό κε κηα ζπκπαγή πνιιαπιόηεηα

γέλνπο 1, πνπ έρεη έλα θύθιν ζαλ ζύλνξν. ( ηα επόκελα ζα δώζνπκε ηνλ νξηζκό ηνπ 2-cell

θαη γεληθόηεξα ηνπ n-cell θαζώο θαη ηνλ νξηζκό ηνπ γέλνπο –genus- κηαο πνιιαπιόηεηαο).

ε) Αλ ( )f s a , ηόηε ην aM είλαη ν πιήξεο ηόξνο.


Μπνξνύκε λα δνύκε ηα παξαπάλσ πην παξαζηαηηθά αλ ζεσξήζνπκε έλα «θνπινύξη»

πνπ ην βπζίδνπκε ζε κηα θνύπα κε θαθέ θαη ελδηαθεξόκαζηε γηα ηελ αιιαγή ζηελ ηνπνιν-

γία ηνπ θνκκαηηνύ ηνπ θνπινπξηνύ πνπ έρεη βπζηζζεί ζηνλ θαθέ.

Αξρίδνπκε ινηπόλ λα βπζίδνπκε ην

θνπινύξη…

Αξρηθά δελ έρνπκε θαζόινπ θνπινύξη βπζη-

ζκέλν ζηνλ θαθέ.

ηε ζπλέρεηα βπζίδνληαο ην θάησ άθξν (πξώην

θξίζηκν ζεκείν p θαη πξνηνύ θζάζνπκε ζην q)

ην βπζηζκέλν θνκκάηη έρεη ηελ ηνπνινγία ελόο

δίζθνπ.

Καηόπηλ πεξλώληαο από ην δεύηεξν θξί-

ζηκν ζεκείν ην θνκκάηη αιιάδεη ηελ ηνπνιν-

γία ηνπ από δίζθν…..

…ζε έλα θύιηλδξν.

Πεξλώληαο ην ηξίην θξίζηκν ζεκείν

ε ηνπνινγία αιιάδεη από έλα θύιηλδξν….


ζε έλα «κπαισκέλν» ηόξν.

πλερίδνληαο θαη αθνύ πεξάζνπκε θαη από ην ηέηαξην θξίζηκν ζεκείν έρνπκε πιένλ

νιόθιεξν ην θνπινύξη κε ηελ ηνπνινγία ηόξνπ.

n-cell

Έλα ζύλνιν πνπ είλαη νκνηνκνξθηθό ζε έλα ζύλνιν ζεκείσλ ηνπ n-δηάζηαηνπ

Δπθιείδεηνπ ρώξνπ (n=1,2,3,…), ηνπ νπνίνπ ε απόζηαζε από ηελ αξρή είλαη κηθξόηεξε

(θαη θαη’ άιινλ νξηζκό, όπσο ζηνλ J. Milnor, κηθξόηεξε ή ίζε ) πξνο ηελ κνλάδα.

Έηζη ινηπόλ ην n-cell νξίδεηαη σο: { : 1}n ne x R x , ελώ ην ζύλνξό ηνπ νξίδεηαη

κέζσ ηεο :

{ : 1}n ne x R x

Γηα n=0, ην αληίζηνηρν 0-cell είλαη έλα ζεκείν.

Γηα n=1, ην αληίζηνηρν 1-cell είλαη έλα επζύγξακκν ηκήκα.

Γηα n=2, ην αληίζηνηρν 2-cell είλαη έλαο θπθιηθόο δίζθνο.

Γηα n=3, ην αληίζηνηρν 3-cell είλαη κία ζθαίξα θ.ιπ.


ΓΔΝΟ ΔΠΙΦΑΝΔΙΑ(GENUS)

Σν γέλνο κηαο ζπλεθηηθήο θαη πξνζαλαηνιίζηκεο επηθάλεηαο νξίδεηαη σο ν

κεγαιύηεξνο δπλαηόο αξηζκόο από απιέο θιεηζηέο θαη κε ηεκλόκελεο θακπύιεο πνπ

κπνξνύλ λα ζρεδηαζζνύλ ζηελ επηθάλεηα ρσξίο λα ηελ δηαρσξίζνπλ. Ή κηιώληαο

ιηγόηεξν απζηεξά, ην γέλνο είλαη ν αξηζκόο ησλ νπώλ ηεο επηθάλεηαο. Σν γέλνο

απνηειεί κηα ηνπνινγηθή θαη άξα αλαιινίσηε ηδηόηεηα. Ολνκάδεηαη επίζεο θαη

γεσκεηξηθό γέλνο θαη ζπλδέεηαη κε ηελ ραξαθηεξηζηηθή ηνπ Euler. Γηα κηα

πξνζαλαηνιίζηκε επηθάλεηα έρνπκε:

2 2g ,

όπνπ είλαη ε ραξαθηεξηζηηθή ηνπ Euler θαη g είλαη ην γέλνο ηεο επηθάλεηαο.

Γηα ηε ζθαίξα έρνπκε γέλνο κεδέλ, ( 0)g , νπόηε 2 .

Γηα ηνλ ηόξν έρνπκε γέλνο έλα, ( 1)g , νπόηε 0

g=0 g=1 g=2 g=3

Σν γέλνο απνηειεί κία από ηηο παιαηόηεξν γλσζηέο ηνπνινγηθέο ηδηόηεηεο θαη ζηελ

πξαγκαηηθόηεηα «πνιύ» ηνπνινγία αλαπηύρζεθε ζηελ πξνζπάζεηα γελίθεπζεο ηεο

έλλνηαο ηνπ γέλνπο ζε πην γεληθέο πεξηπηώζεηο απ’ όηη ε ηνπνινγία επηθαλεηώλ. Δπίζεο

απνηειεί έλα πιήξεο αλαιινίσην κε ηελ έλλνηα όηη αλ δύν πξνζαλαηνιίζηκεο θιεηζηέο

επηθάλεηεο έρνπλ ην ίδην γέλνο ζα είλαη ηνπνινγηθά ηζνδύλακεο.


Αλ ε επηθάλεηα έρεη γέλνο g θαη h «ζύλνξα», ηόηε ε ραξαθηεξηζηηθή Euler είλαη:

2 2g h

Γηα κηα κε-πξνζαλαηνιίζηκε (non-orientable) επηθάλεηα , ε αληίζηνηρε ζρέζε είλαη:

2 g

Έηζη ε θηάιε ηνπ Klein (Klein bottle) ,

έρεη γέλνο g=2, νπόηε γηα ηελ επηθάλεηα απηή

έρνπκε: 2 0g

Έλαο αθόκε νξηζκόο ηνπ γέλνπο είλαη θαη ν

αθόινπζνο:

Μηα επηθάλεηα έρεη γέλνο g αλ είλαη νκνηνκνξθηθή κε κηα ζθαίξα κε g ιαβέο (ρεξνύιηα).

ΠΡΟΑΝΑΣΙΛΙΙΜΔ ΚΑΙ ΜΗ ΔΠΙΦΑΝΔΙΔ (ORIENTABILITY)

Η ηδέα ηεο πξνζαλαηνιηζηκόηεηαο (orientability) είλαη κηα ζεκειηώδεο έλλνηα ζηε

κειέηε ησλ επηθαλεηώλ. Γηα λα ηελ εμεξεπλήζνπκε αο ζεσξήζνπκε δύν γλσζηέο

επηθάλεηεο, ηνλ θύιηλδξν θαη ηελ ηαηλία ηνπ Möbius.


Μπνξνύκε λα δηαθξίλνπκε ηνλ θύιηλδξν από ηελ ηαηλία ηνπ Möbius (Möbius strip)

αλ ζθεθηνύκε όηη θάζε θύιηλδξνο έρεη κηα ¨εζσηεξηθή» θαη κηα «εμσηεξηθή» επηθάλεηα

ηηο νπνίεο κπνξνύκε λα βάςνπκε πρ ηελ κία πξάζηλε θαη ηελ άιιε θόθθηλε. Αλ όκσο

πξνζπαζήζνπκε λα βάςνπκε κε δύν δηαθνξεηηθά ρξώκαηα ηελ ηαηλία, θαηαιήγνπκε ζε

απνηπρία. Η ηαηλία ηνπ Möbius έρεη κία κόλν όςε. Ιζνδύλακα έλα κπξκήγθη πνπ

ζέξλεηαη ζ ηελ ηαηλία κπνξεί λα επηζθεθζεί όια ηα ζεκεία ηεο επηθάλεηαο ρσξίο λα

ππνρξεσζεί λα δηαζρίζεη θάπνην «ζύλνξν», ελώ αληίζεηα έλα κπξκήγθη πνπ βξίζθεηαη

πάλσ ζηνλ θύιηλδξν κπνξεί λα επηζθε-θζεί κόλν ην εζσηεξηθό ή ην εμσηεξηθό αλ δελ

απνθαζίζεη λα δηαζρίζεη ην ζύλνξν ζηηο «άθξεο» ηνπ θπιίλδξνπ.

Δπηθάλεηεο ινηπόλ πνπ δηαζέηνπλ δύν όςεηο όπσο ν θύιηλδξνο είλαη παξαδείγκαηα ησλ

ιεγόκελσλ πξνζαλαηνιίζηκσλ επηθαλεηώλ (orientable surfaces), ελώ επηθάλεηεο κηαο όςεσο,

όπσο πρ ε ηαηλία ηνπ Möbius, είλαη παξαδείγκαηα ησλ ιεγόκελσλ κε - πξνζαλαηνιίζηκσλ

επηθαλεηώλ (non-orientable surfaces).

Μηα επηθάλεηα είλαη πξνζαλαηνιίζηκε αλ θαλέλα ππνζύλνιό ηεο δελ είλαη νκνηνκνξθηθό

πξνο ηελ ηαηλία ηνπ Möbius.


Παξαδείγκαηα:

Πξνζαλαηνιίζηκεο επηθάλεηεο: θύιηλδξνο, ζθαίξα, ηόξνο, πνιιαπιόο ηόξνο

Με πξνζαλαηνιίζηκεο επηθάλεηεο: ηαηλία ηνπ Möbius, θηάιε ηνπ Klein, πξνβνιηθό επίπεδν.

ε κηα πξνζαλαηνιίζηκε επηθάλεηα κπνξεί θαλείο λα

νξίζεη κε ζπλεπή ηξόπν έλα πξνζαλαηνιηζκό γηα όιε ηελ

επηθάλεηα. ε κηα κε πξνζαλαηνιηζκέλε επηθάλεηα απηό

είλαη αδύλαην. ε κηα ηέηνηα επηθάλεηα είλαη αδύλαην λα

νξίζνπκε κε ζπλέπεηα ηηο έλλνηεο «δεμηά» θαη «αξηζηεξά»,

θαη θάηη πνπ θηλείηαη ζηελ επηθάλεηα απηνύ ηνπ ηύπνπ ζα

επηζηξέςεη ζηελ αθεηεξία ηνπ ζαλ θαηνπηξηθή εηθόλα.

ΟΜΟΣΟΠΙΑ (HOMOTOPY)

Λέκε όηη δύν αληηθείκελα είλαη νκνηνπηθά (homotopic) όηαλ έρνπλ ηνλ ίδην

αξηζκό «ζπζηαηηθώλ» θαη ηνλ ίδην αξηζκό νπώλ. Έηζη ε νκνηνπία δελ είλαη απαξαίηεηα

ίδηα κε ηνλ νκνηνκνξθηζκό, θαζ’ όζνλ δύν αληηθείκελα κπνξεί λα είλαη νκνηνπηθά

αθόκε θαη αλ έρνπλ δηαθνξεηηθή δηάζηαζε. Αληίζεηα ν νκνηνκνξθηζκόο δηαηεξεί ηε

δηάζηαζε, ε νπνία απνηειεί ηνπνινγηθή ηδηόηεηα ηνπ ππό κειέηε αληηθεηκέλνπ. Έηζη

γηα παξάδεηγκα ην ζεκείν είλαη νκνηνπηθό κε ηελ ζηεξεή ζθαίξα ( από έλα

ζπζηαηηθό ην θαζέλα θαη θακία ηξύπα). Μπνξνύκε λα πνύκε όηη δύν αληηθείκελα είλαη

νκνηνπηθά αλ πξνέξρνληαη από ηελ «ζπκπίεζε» ελόο κεγαιύηεξνπ αληηθεηκέλνπ.


Δπίζεο ην «ζύκβνιν» γηα ηνλ άλδξα θαη ην αληίζηνηρν γηα ηε γπλαίθα είλαη νκνηνπηθά

(από έλα ζπζηαηηθό θαη κηα ηξύπα ην θαζέλα).

Πξνθεηκέλνπ λα αληηιεθζνύκε πεξηζζόηεξν ηελ έλλνηα ηεο νκνηνπίαο θαη ηε ζρέζε

ηεο κε ηελ έλλνηαηεο νκνηνκνξθίαο αο πξνζπαζήζνπκε λα θαηαηάμνπκε ηα γξάκκαηα ηνπ

Αγγιηθνύ αιθάβεηνπ ζε ηάμεηο νκννπίαο θαη νκνηνκνξθηζκνύ. Θα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηε

γξακκαηνζεηξά Calibri. Έρνπκε ινηπόλ:

ΣΑΞΔΙ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΙΜΟΤ

Μία νπή δύν «νπξέο» A,R Γύν νπέο θακία νπξά B Καζόινπ νπέο C,G,I,J,L,M,N,S,U,V,W,Z Μία νπή, θακία νπξά D,O Καζόινπ νπέο, ηξεηο νπξέο E,F,T,Y Μπάξα κε ηέζζεξεηο νπξέο H,K Μία νπή κηα νπξά P,Q Καζόινπ νπέο, ηέζζεξεηο νπξέο X

ΣΑΞΔΙ ΟΜΟΣΟΠΙΑ

Μία νπή Α,R,D,O,P,Q Γύν νπέο B Καζόινπ νπέο C,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,S,T,U,V,W,X,Y,Z

Παξαηεξνύκε ινηπόλ όηη νη ηάμεηο νκνηνπίαο είλαη ιηγόηεξεο θαη κεγαιύηεξεο θαζ’

όζνλ νη «νπξέο» ησλ γξακκάησλ κπνξνύλ λα «ζπκπηεζζνύλ» ζε έλα ζεκείν.


ΤΣΑΛΣΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΗ (DEFORMATION RETRACTION)

ηελ ηνπνινγία ν όξνο retraction (ζπζηνιή , ζύκπηπμε , ζπξξίθλσοε ,

ζπκκάδεκα) ζεκαίλεη ηελ ζύκπηπμε ελόο ρώξνπ ζε θάπνηνλ ππόρσξό ηνπ. Μία

ζπζηαιηηθή παξακόξθσζε (deformation retract) είλαη κηα ζπλερήο απεηθόληζε πνπ

ζπξξηθλώλεη έλα ρώξν ζε θάπνηνλ ππόρσξό ηνπ. Πξόθεηηαη γηα κηα ζπλερή «δηάβξσζε»

ηνπ αληηθεηκέλνπ έηζη ώζηε απηό πνπ απνκέλεη θάζε θνξά λα είλαη έλα ππνζύλνιν ηνπ

αξρηθνύ. Γηα παξάδεηγκα έλαο ζηεξεόο ηόξνο κπνξεί λα δηαβξσζεί ζε έλαλ επίπεδν

δαθηύιην θαη απηόο κε ηε ζεηξά ηνπ ζε κηα

πεξηθέξεηα θύθινπ.

Η πεξηθέξεηα όκσο δελ

κπνξεί παξαπέξα λα

ζπξξηθλσζεί ζ’ έλα

ζεκείν ζην θέληξν

ηνπ θύθινπ, θαζ’ όζνλ

απηό δελ απνηειεί ππνζύλνιν ηνπ αξρηθνύ ζπλόινπ. Ούηε κπνξνύκε λα «θόςνπκε» ηελ

πεξηθέξεηα θαη λα ηελ ζπκπηέζνπκε ζ’ έλα ζεκείν θαζ’ όζνλ κηα ηέηνηα ελέξγεηα δελ ζα

ήηαλ ζπλερήο κεηαζρεκαηηζκόο. Από ηελ άιιε κεξηά ηα ζύκβνια , είλαη δπλαηόλ

κε «ζπκπίεζε» ησλ νπξώλ ηνπο θαη λα κεηαηξαπνύλ ζε πεξηθέξεηα. Όια ινηπόλ

απηά ηα ζρήκαηα είλαη νκνηνπηθά αθνύ κπνξνύλ όια λα κεηαζρεκαηηζζνύλ ζε πεξηθέξεηα.

ΣΟ ΒΤΘΙΜΑ ΣΟΤ ΚΟΤΛΟΤΡΙΟΤ ΑΠΟ ΣΗΝ ΠΛΔΤΡΑ ΣΗ ΟΜΟΣΟΠΙΑ

Πξνεγνπκέλσο ζηε ζειίδα 93 πεξηγξάςακε ηελ αιιαγή ηεο ηνπνινγίαο ηνπ θνπινπ-

ξηνύ πνπ βπζίδεηαη ζηνλ θαθέ, ζεσξώληαο ηα δηαδνρηθά βήκαηα α, β, γ, δ, ε θαη βαζηδόκε-

λνη ζηελ έλλνηα ηνπ νκνηνκνξθηζκνύ.


Σώξα, έρνληαο δεη έζησ θαη πεξηγξαθηθά κεξηθέο έλλνηεο ηεο αιγεβξηθήο ηνπνινγίαο, κπν-

Ρνύκε λα πεξηγξάςνπκε ηελ αιιαγή ηεο ηνπνινγίαο ηνπ βπζηζκέλνπ θνπινπξηνύ, θαζώο

απηό πεξλάεη από ηα ζεκεία f(p), f(q), f(r) θαη f(s) ρξεζηκνπνηώληαο ηελ έλλνηα ηεο νκν-

ηνπίαο αληί ηνπ νκνηνκνξθηζκνύ. Έηζη ινηπόλ κε όξνπο νκνηνπίαο έρνπκε:

(α) (β): Ιζνδπλακεί κε ηελ πξνζζήθε ελόο

0-cell. Από πιεπξάο νκνηνπίαο ν ρώξνο aM κε

( ) ( )f p a f q δελ κπνξεί λα δηαθξηζεί από έλα

0-cell

(β) (γ): Δίλαη δηαδηθαζία πξνζζήθεο ελόο 1-cell.

(γ) (δ): Καη εδώ πξόθεηηαη γηα δηαδηθαζία

πξνζζήθεο ελόο 1-cell.

(δ) (ε): Ιζνδπλακεί κε ηελ πξνζζήθε ελόο 2-cell.

Ο νξηζκόο ηεο πξνζζήθεο ελόο n-cell κπνξεί λα δνζεί σο αθνινύζσο:

Έζησ Τ έλαο ηνπνινγηθόο ρώξνο θαη έζησ όηη:

{ : 1}n ne x R x ,

είλαη ην n-cell, απνηεινύκελν απ’ όια ηα δηαλύζκαηα ζηνλ Δπθιείδεην ρώξν nR , κε κήθνο

1.

Σν ζύλνξό ηνπ είλαη:

{ : 1}n ne x R x

θαη ζηε ζπλέρεηα ζα ην ζπκβνιίδνπκε κε 1nS .

Έζησ επίζεο όηη g είλαη κηα ζπλερήο απεηθόληζε από ην 1nS ζην Τ. Σόηε ν λένο

ρώξνο πνπ πξνθύπηεη από ηελ πξνζζήθε κέζσ ηεο g ελόο n-cell ζηνλ Τ, δειαδή ην:


n

gY e , βξίζθεηαη αλ πάξνπκε αξρηθά ην ηνπνινγηθό άζξνηζκα (disjoint union) ηνπ Τ θαη

ηνπ ne θαη ζηε ζπλέρεηα αληηζηνηρήζνπκε θάζε 1nx S κε ην ( )g x Y .

Γηα λα κελ έρνπκε πξόβιεκα θαη ζηελ πεξίπησζε όπνπ 0n , ζεσξνύκε όηη ην 0-cell

(δειαδή ην 0e ) είλαη έλα ζεκείν κε ζύλνξν 0 1e S ην θελό ζύλνιν θαη έηζη ε πξνζζήθε

ζην Τ ελόο 0-cell ζεκαίλεη απιά ηελ έλσζε ηνπ Τ κε έλα μέλν (disjoint) ζεκείν.

Από ηα παξαπάλσ παξαηεξνύκε όηη ηα ζεκεία p, q, r θαη s, ζηα νπνία κεηαβάιιεηαη ε

νκνηνπία ηνπ aM έρνπλ έλα θνηλό ραξαθηεξηζηηθό. Δίλαη όια «θξίζηκα» ζεκεία ηεο ζπλάξ-

ηεζεο f . Παξαθάησ ζα δνύκε πεξηζζόηεξα ηόζν γηα ηελ f , ηελ νπνία ιέκε ζπλάξηεζε

Morse, όζν θαη γηα ηα θξίζηκα ζεκεία. Δδώ λα πνύκε όηη αλ επηιέμνπκε νπνηνδήπνηε

ύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ( , )x y πιεζίνλ ησλ ζεκείσλ απηώλ, ηόηε νη παξάγσγνηf

x θαη

f

y είλαη θαη νη δύν κεδέλ.

ηα ζεκεία p, q, r θαη s, κπνξνύκε λα επηιέμνπκε έλα ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ( , )x y ,

έηζη ώζηε λα κπνξνύκε λα γξάςνπκε ηελ f κε ηελ κνξθή:

εκείν p: 2 2f x y

εκείν q: 2 2f ά x y

εκείν r: 2 2f ά x y

εκείν ζ: 2 2f ά x y

Βιέπνπκε ινηπόλ όηη ν αξηζκόο ησλ αξλεηηθώλ πξνζήκσλ ζηελ έθθξαζε γηα ηελ f

καο παξέρεη ηε λδηάζηαζε ηνπ n-cell πνπ πξέπεη λα πξνζζέζνπκε γηα λα πάκε από ην

ζην , κε ( int)f po .

ην παξάξηεκα (Θεσξία ηνπ Morse, νξηζκνί, ζεσξήκαηα, πνξίζκαηα) πεξηγξάθνπκε

πην ηππηθά ηα θύξηα ζεκεία ηεο ζεσξίαο ηνπ Morse.


ΤΝΑΡΣΗΗ MORSE

Σν ύςνο δελ είλαη ε κόλε ζπλάξηεζε πνπ κπνξεί λα ρξεζηκνπνηήζεη θαλείο (θαη κάιη-

ζηα πνιιέο θνξέο δελ είλαη θαη ε πιένλ θαηάιιειε). Οπνηαδήπνηε ζπλάξηεζε Morse

κπνξεί επίζεο λα ρξεζηκνπνηεζεί.

Μηα ζπλάξηεζε f ραξαθηεξίδεηαη ζαλ ζπλάξηεζε Morse ζηελ πνιιαπιόηεηα Μ αλ

ηζρύνπλ ηα παξαθάησ:

1) Η f είλαη «ιεία», όπνπ κε ηνλ όξν ιεία ελλννύκε όηη είλαη δηαθνξίζηκε ηάμεο C

2) Όια ηα «θξίζηκα» ζεκεία είλαη απνκνλσκέλα

3) Όια ηα θξίζηκα ζεκεία είλαη κε-εθθπιηζκέλα (non-degenerate), δειαδή ηζρύεη:

det( ( )) 0Hessian p

όπνπ:

2 2

2

2 2

2

( ) ( )

( )( ) ( )

f p f p

x x yHessian p

f p f p

y x y

Έηζη έλα θξίζηκν ζεκείν p νλνκάδεηαη κε-εθθπιηζκέλν αλ θαη κόλν αλ ν πίλαθαο

2 ( )

i i

f p

x y δελ είλαηηδηόκνξθνο (singular). Καη απηή ε ηδηόηεηα ηνπ, όηαλ πθίζηαηαη, απν-

δεηθλύεηαη όηη είλαη αλεμάξηεηε από ηελ επηινγή ηνπ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ.

ΚΡΙΙΜΑ ΗΜΔΙΑ

Έζησ f κηα ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε κηα πνιιαπιόηεηα Μ. Ολνκάδνπκε θξίζηκν

ζεκείν (critical point) ηεο f ην ζεκείν ζην νπνίν ε βαζκίδα (gradient) ηεο f


κεδελίδεηαη. Γειαδή ην p είλαη θξίζηκν ζεκείν ηεο f αλ ηζρύεη: ( ) 0f p

θάηη πνπ κε

ηε ζεηξά ηνπ ζπλεπάγεηαη ην κεδεληζκό όισλ ησλ κεξηθώλ παξαγώγσλ ηεο f ζην ζεκείν

p, δειαδή:

( ) ( )

... 0f p f p

x y

Δπίζεο όκσο θξίζηκν ζεκείν κηαο ζπλάξηεζεο ( )f x ζεσξείηαη θαη tν ζεκείν 0x ζην

oπνίν ε ( )f x δελ είλαη δηαθνξίζηκε. Μηα ζπλάξηεζε ( , )f x y έρεη θξίζηκν ζεκείν ην

ζεκείν ζην νπνίν ε κεξηθή παξάγσγνο f

x είηε ε

f

y δελ νξίδνληαη θιπ.

ΓΔΙΚΣΗ (INDEX)

Ο δείθηεο (index) ελόο κε-εθθπιηζκέλνπ θξίζηκνπ ζεκείνπ p ηεο f νξίδεηαη

σο εδηάζηαζε ηνπ κεγαιύηεξνπ ππόρσξνπ ηνπ εθαπηόκελνπ ρώξνπ (tangent space)

ηεο πνιιαπιόηεηαο Μ ζην ζεκείν p, ζηνλ νπνίν ε Δζζηαλή (Hessian) είλαη αξλεηηθή.

Απηό δηαηζζεηηθά ζεκαίλεη όηη ν δείθηεο ηζνύηαη κε ηνλ αξηζκό ησλ αλεμάξηεησλ

θαηεπζύλζεσλ ζηηονπνίεο ε f κεηώλεηαη. Ο εθθπιηζκόο ή κε θαη ν δείθηεο ελόο

θξίζηκνπ ζεκείνπλείλαη αλεμάξηεηα από ηελ επηινγή ηνπ ηνπηθνύ ζπζηήκαηνο

ζπληεηαγκέλσλ (όπσο απνδεηθλύεηαη κε ηε βνήζεηα ηνπ λόκνπ ηνπ Sylvester).


Δθαπηόκελνο ρώξνο (Tangent space): Ολνκάδεηαη ην

ζύλνιν ( )pT M όισλ ησλ δηαλπζκάησλ πνπ είλαη

εθαπηόκελα ζε κηα δηαθνξίζηκε πνιιαπιόηεηα Μ ζε

θάπνην ζεκείν ηεο p. Γηα κηα επηθάλεηα απηό αληη-

ζηνηρεί ζην εθαπηόκελν επίπεδν. Σα ζηνηρεία η νπ

εθαπηόκελνπ ρώξνπ νλνκάδνληαη εθαπηόκελα δηα-

λύζκαηα ζην ζεκείν p. Οη εθαπηόκελνη ρώξνη έρνπλ ηελ ίδηα δηάζηαζε κε ηε δηάζηαζε ηεο

πνιιαπιόηεηαο.

ΥΑΡΑΚΣΗΡΙΣΙΚΗ EULER (EULER CHARACTERISTIC)

Η ραξαθηεξηζηηθή Euler αξρηθά νξίζζεθε από ηνλ κεγάιν καζεκαηηθό L. Euler

γηα ηηο επηθάλεηεοησλ πνιύεδξσλ θαη είρε ηε κνξθή:

V E F ,

όπνπ V ν αξηζκόο ησλ θνξπθώλ (vertices), E ν αξηζκόο ησλ αθκώλ (edges) θαη F ν αξηζ-

κόο ησλ εδξώλ (faces) ηνπ πνιύεδξνπ. Οπνηνδήπνηε θπξηό πνιύεδξν έρεη ραξαθηεξηζηηθή:

2V E F

Σν απνηέιεζκα απηό είλαη γλσζηό ζαλ ηύπνο ηνπ Euler.

Έηζη γηα κεξηθά ραξαθηεξηζηηθά πνιύεδξα έρνπκε:


Σώξα γηα κηα θιεηζηή επηθάλεηα γέλνπο g , ε ραξαθηεξηζηηθή ηνπ Euler γηα ηα θπξηά

πνιύεδξα γεληθεύεηαη ζηε ιεγόκελε ραξαθηεξηζηηθή Euler-Poincare πνπ δίλεηαη από ηε

ζρέζε:

( )g V E F , κε ( ) 2 2g g ,

νπόηε ε ραξαθηεξηζηηθή Euler αληηζηνηρεί ζηελ εηδηθή πεξίπησζε όπνπ 0g

Έρνπκε ινηπόλ ηνλ αθόινπζν πίλαθα:

ΔΠΙΦΑΝΔΙΑ

Κύιηλδξνο 0

Σόξνο 0

Γηπιόο ηόξνο -2

Φηάιε Klein 0

Σαηλία Möbius 0

Πξνβνιηθό επίπεδν 1

θαίξα 2

(Από ην βηβιίν Combinatorial Topology, ηνπ P. S. Alexandroff, εθδόζεηο Dover 1988).


Η ραξαθηεξηζηηθή ηνπ Euler κεξηθέο θνξέο νλνκάδεηαη θαη αξηζκόο Euler θαη

κπνξεί επίζεο λα εθθξαζζεί κέζσ ηεο ζρέζεο:

0 1 2P P P

όπνπ nP ( 0,1,2n ) ν n-νζηόο αξηζκόο Betti (Betti number) ηνπ ρώξνπ ζηνλ νπνίν αλαθέ-

ξεηαη.

ΑΡΙΘΜΟΙ BETTI (BETTI NUMBERS)

Μηα ζπνπδαία ηνπνινγηθή ηδηόηεηα κηαο επηθάλεηαο απνηεινύλ θαη νη ιεγόκελνη αξηζ-

κνί Betti (Betti numbers), από ην όλνκα ηνπ Ιηαινύ καζεκαηηθνύ Enrico Betti (1823-1892).

Γηαηζζεηηθά ν πξώηνο αξηζκόοBetti εθθξάδεη ην κέγηζην αξηζκό ηνκώλ πνπ κπνξνύλ λα γί-

λνπλ ζηελ επηθάλεηα, ρσξίο λα ηελ ρσξίζνπλ ζε δύν μερσξηζηά θνκκάηηα. Αλ ε επηθάλεηα

έρεη αθκέο, θάζε κηα ηέηνηα ηνκή πξέπεη λα πεγαίλεη από θάπνην ζεκείν κηαο έδξαο ζε θά-

πνην κηαο άιιεο έδξαο. Αλ ε επηθάλεηα είλαη θιεηζηή, όπσο πρ κηα ζθαίξα, ε νπνία δελ έρεη

θαζόινπ αθκέο, θάζε ηέηνηα ηνκή πξέπεη λα είλαη έλαο θιεηζηόο βξόρνο, κηα ηνκή δειαδή

κε ηε κνξθή απιήο θιεηζηήο θακπύιεο. Ο αξηζκόο Betti πρ ελόο ηεηξαγώλνπ είλαη 0, αθνύ

νηαδήπνηε ηνκή από ηε κηα πιεπξά ζηελ άιιε ζα ην δηαρσξίζεη ζε δύν θνκκάηηα. Οκνίσο

γηα ηε ζθαίξα, ν αξηζκόο Betti είλαη 0. Γηα ηνλ ηόξν όκσο είλαη 2.

Πξώηνο ν Poincare απέδεημε όηη νη αξηζκνί Betti απνηεινύλ ηνπνινγηθά αληηθείκελα

πνπ παξακέλνπλ αλαιινίσηα θαη ηνπο ρξεζηκνπνίεζε γηα λα επεθηείλεη ηνλ ηύπν πνπ ηζρύεη

γηα ηα πνιύεδξα (Euler) ζε ρώξνπο κεγαιύηεξσλ δηαζηάζεσλ.

Πην ηππηθά κηιώληαο, ν n-νζηόο αξηζκόο Betti είλαη ε ηάμε (rank) ηεο n-νζηήο νκνιν-

γηαθήο νκάδαο (homology group) ελόο ηνπνινγηθνύ ρώξνπ. ηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί

δίλνληαη νη αξηζκνί Betti νξηζκέλσλ γλσζηώλ επηθαλεηώλ:


ΔΠΙΦΑΝΔΙΑ ΑΡΙΘΜΟ

BETTI

Κύιηλδξνο 1

Φηάιε Klein 2

Σαηλία Möbius 1

Πξνβνιηθό επίπεδν 1

θαίξα 0

Σόξνο 2

Έζησ ηώξα rP ε group rank ηεο νκνινγηαθήο νκάδα ο (homology group) Η, ελόο

ηνπνινγηθνύ ρώξνπ Κ.

Γηα κηα θιεηζηή, πξνζαλαηνιηζκέλε επηθάλεηα γέλνπο g, νη αξηζκνί Betti είλαη:

0 1P , 1 2P g , 2 1P .

ΑΝΙΟΣΗΣΔ ΣΟΤ MORSE (MORSE INEQUALITIES).

Όηαλ ν Morse δηαηύπσλε ηελ ζεσξία ηνπ, ην ζεώξεκα 3 (ζειίδα 35) δελ ήηαλ

γλσζηό. Η ζρέζε ινηπόλ αλάκεζα ζηελ ηνπνινγία κηαο πνιιαπιόηεηαο M θαη ζηα

θξίζηκα ζεκεία κηαο πξαγκαηηθήο ζπλάξηεζεο νξηζκέλεο πάλσ ζηε Μ κπνξνύζε λα

πεξηγξαθεί κε κηα ζεηξά από αληζόηεηεο (ηηο αληζόηεηεο Morse). Απηέο ζα

παξνπζηάζνπκε ζηε ζπλέρεηα, αθνινπζώληαο ηε ζπιινγηζηηθή ηνπ βηβιίνπ ηνπ John

Milnor.


ΟΡΙΜΟ

Έζησ όηη έρνπκε κηα ζπλάξηεζε S γηα ηελ νπνία όηαλ έρνπκε: X Y Z , ηζρύεη:

( , ) ( , ) ( , )S X Z S X Y S Y Z

Μηα ηέηνηα ζπλάξηεζε νλνκάδεηαη ππνπξνζζεηηθή (subadditive). Αλ ηζρύεη ε ηζόηεηα ,

ηόηε ε S νλνκάδεηαη πξνζζεηηθή (additive). Γηα παξάδεηγκα ε ραξαθηεξηζηηθή ηνπ

Euler είλαη πξνζζεηηθή , όπνπ:

( , ) ( 1) ( , )x y R x y

κε ( , )R x y λα είλαη ν ι-νζηόο αξηζκόο Betti ηνπ (x,y).

Έλα απιό θαη γλσζηό παξάδεηγκα ππνπξνζζεηηθήο ζπλάξηεζεο είλαη ε ζπλάξηεζε

ηεο ηεηξαγσληθήο ξίδαο πνπ νξίδεηαη ζηνπο κε αξλεηηθνύο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο θαη

γηα ηελνπνία ηζρύεη:

x y x y , , 0x y

ΛΗΜΜΑ 1

Έζησ S κηα ππνπξνζζεηηθή ζπλάξηεζε θαη έζησ επίζεο όηη: 0 1 2 ... nX X X X .

Σόηε ηζρύεη:

0 1

1

( , ) ( , )n

n i i

i

S X X S X X

όπνπ θαη πάιηλ αλ ηζρύεη ε ηζόηεηα, ε ζπλάξηεζε S είλαη πξνζζεηηθή.

ΘΔΩΡΗΜΑ 1 (ΑΘΔΝΔΙ ΑΝΙΟΣΗΣΔ ΣΟΤ MORSE-WEAK MORSE INEQUALITIES).

Αλ κε C ζπκβνιίζνπκε ην αξηζκό ησλ θξίζηκσλ ζεκείσλ κε δείθηε ι, ζηελ ζπκπαγή


πνιιαπιόηεηα M, ηόηε ηζρύνπλ νη ζρέζεηο:

R C ,

( 1) ( ) ( 1)R M C

Μπνξνύκε λα έρνπκε θάπνηα πην «ηζρπξή» δηα ηύπσζε ησλ αληζνηήησλ Morse, θάλνληαο

ρξήζε ηνπ ιήκκαηνο πνπ αθνινπζεί:

ΛΗΜΜΑ 2

Οξίδνληαο ηελ ζπλάξηεζε S , κέζσ ηεο ζρέζεο:

1 2 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ... ( , )S X Y R X Y R X Y R X Y R X Y

ηόηε ε ελ ιόγσ ζπλάξηεζε είλαη ππνπξνζζεηηθή.

Θεσξώληαο ινηπόλ ηελ ππνπξνζζεηηθή ζπλάξηεζε S ζηνπο ρώξνπο:

1 2 ... kaa a

M M M

παίξλνπκε ηηο αληζόηεηεο Morse:

1

1 0

1

( ) ( , ) ...i i

ka a

i

S M S M M C C C (α)

ή

1 2 0 1 2 0( ) ( ) ( ) ... ( ) ...R M R M R M R M C C C C (β)

αλ εθαξκνγή ησλ αληζνηήησλ ηνπ Morse αο ππνζέζνπκε όηη είλαη: 1 0C .

Σόηε ζα είλαη ππνρξεσηηθά:

1 0R . Η αληζόηεηα ινηπόλ (β) είλαη:

1 2 0 1 2 0( ) ( ) ( ) ... ( ) ...R M R M R M R M C C C C (γ)


Δλώ γηα 1 , γξάθεηαη:

1 1 0 1 1 0( ) ( ) ( ) ... ( ) ...R M R M R M R M C C C C (δ)

νπόηε (αθνύ 1 1 0R C ), νη (γ) θαη (δ) δίλνπλ:

1 2 0 1 2 0... ...R R R R C C C C (ε)

ηε ζπλέρεηα αο ππνζέζνπκε όηη επίζεο είλαη: 1 0C . Σόηε θαη πάιη ππνρξεσηηθά ζα

έρνπκε όηη: 1 0R θαη δνπιεύνληαο όπσο πξνεγνπκέλσο βξίζθνπκε όηη:

2 3 0 2 3 0... ...R R R C C C (ζη)

Αθαηξώληαο ινηπόλ ηελ (ζη) από ηελ (ε) βξίζθνπκε όηη: R C .

Έρνπκε ινηπόλ ην αθόινπζν πόξηζκα:

ΠΟΡΙΜΑ

Αλ 1 1 0C C , ηόηε: 1 1 0R R θαη R C .


ΘΔΩΡΙΑ ΣΟΤ MORSE, ΟΡΙΜΟΙ, ΘΔΩΡΗΜΑΣΑ, ΠΟΡΙΜΑΣΑ

Σν ιήκκα ηνπ Morse καο δείρλεη όηη ε ζπκπεξηθνξά ηεο ζπλάξηεζεο f ζην

θξίζηκν ζεκείν p, κπνξεί πιήξσο λα πεξηγξαθεί κε ηελ βνήζεηα ηνπ δείθηε (index) ι

ηνπ θξίζηκνπ ζεκείνπ p. Πξηλ από ην ελ ιόγσ ιήκκα (ιήκκα 2) , αλαθέξνπκε έλα

«πξνθαηαξθηηθό» ιήκκα, ην ιήκκα 1. Έρνπκε ινηπόλ:

Λήκκα 1:

Έζησ όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη δηαθνξίζηκε ηάμεο C θαη νξηζκέλε ζε κηα

θπξηή πεξηνρή V γύξσ από ην 0, ζηνλ ρώξν nR , κε (0) 0f . Σόηε:

1 2 1 2

1

( , ,..., ) ( , ,..., )n

n i i n

i

f x x x x g x x x ,

γηα θάπνηεο θαηάιιειεο C ζπλαξηήζεηο ig πνπ νξίδνληαη ζηελ πεξηνρή V, κέζσ ηεο:

(0)(0)i

i

fg

x.

Λήκκα 2 (Λήκκα ηνπ Morse):

Έζησ όηη ην p είλαη έλα κε - εθθπιηζκέλν θξίζηκν ζεκείν ηεο ζπλάξηεζεο f.

Τπάξρεη ηόηε έλα ηνπηθό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ 1 2( , ,..., )ny y y ζε κηα πεξηνρή (γεηην-

ληά) U ηνπ p, κε ( ) 0iy p , γηα όια ηα i θαη γηα ην νπνίν (ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ) ε

ζρέζε:

1 2 2 2 2 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( )nf f p y y y y y

ηζρύεη ζε όιε ηελ πεξηνρή U, κε ην ι λα είλαη ν δείθηεο (index) ηεο f ζην θξίζηκν (θαη κε-

εθθπιηζκέλν) ζεκείν p.


Πόξηζκα 3 :

Σα κε-εθθπιηζκέλα θξίζηκα ζεκεία ηεο f είλαη απνκνλσκέλα.

ηε ζπλέρεηα παξαζέηνπκε νξηζκέλα ζεσξήκαηα πνπ αθνξνύλ ζηε αιιαγή ηεο

νκνηνπίαο ζηα θξίζηκα ζεκεία (πάληα ζύκθσλα κε ην βηβιίν: Morse theory by J. Milnor,

based on lecture notes by M. Spivac and R. Wells, Princeton University Press,1973.)

ηα επόκελα, ε f είλαη κηα πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε κηα πνιιαπιόηεηα

M θαη ζεσξνύκε:

1( , ] { : ( ) }aM f a p M f p a

ΘΔΩΡΗΜΑ 1 :

Έζησ f κηα ιεία θαη πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζε κηα πνιιαπιόηεηα M.

Έζησ επίζεο όηη a b θαη αο ππνζέζνπκε όηη ην ζύλνιν 1[ , ]f a b , πνπ απνηειείηαη απ’

όια ηα p M , κε ( )a f p b , είλαη ζπκπαγέο θαη δελ πεξηέρεη θαλέλα θξίζηκν ζε-

κείν η εο f. Σόηε ην aM είλαη δηθνξνκνξθηθό (diffeomorfic) ηνπ bM . Παξαπέξα ην

aM είλαη ζπζηαιηηθή παξακόξθσζε (deformation retract) ηνπ bM , έηζη ώζηε ε απεη-

θόληζε a bM M απνηειεί νκνηνπηθό ηζνδύλακν.

ΘΔΩΡΗΜΑ 2 :

Έζησ όηη ε ζπλάξηεζε :f M R είλαη κηα ιεία ζπλάξηεζε θαη έζησ όηη ην p

είλαη έλα κε-εθθπιηζκέλν θξίζηκν ζεκείν ηεο κε δείθηε . Αο ζέζνπκε όηη ( )f p c ,

θαη αο ππνζέζνπκε όηη ην ζύλνιν 1[ , ]f c c είλαη ζπκπαγέο θαη δελ πεξηέρεη άιιν

θξίζηκν ζεκείν ηεο f εθηόο ηνπ p, γηα θάπνην 0 . Σόηε γηα θάζε ηθαλνπνηεηηθά κηθξό


ην ζύλνιν cM έρεη ηνλ ίδην ηύπν νκνηνπίαο κε ην cM , κε ηελ πξνζζήθε ελόο ι-

cell.

Παξαζηαηηθά ην ζεώξεκα:

ΘΔΩΡΗΜΑ 3 :

Αλ ε f είλαη κηα δηαθνξίζηκε ζπλάξηεζε ζε κηα πνιιαπιόηεηα M ρσξίο θαζόινπ

εθθπιηζκέλα θξίζηκα ζεκεία θαη εάλ θάζε ζύλνιν aM είλαη ζπκπαγέο, ηόηε ε M έρεη

ηνλ ηύπν νκνηνπίαο ελόο CW-complex καδί κε έλα cell δηάζηαζεο ι γηα θάζε θξίζηκν

ζεκείν κε δείθηε ι.

CW-complex : ηελ αιγεβξηθή ηνπνινγία έλα CW - complex είλαη έλαο ηύπνο

ηνπνινγηθνύ ρώξνπ , πνπ εηζήρζε από ηνλ J. H. C Whitehead γηα ηηο αλάγθεο ηεο

νκνηνπηθήο ζεσξίαο (homotopy theory) . Πεξηγξαθηθά κηιώληαο έλα CW-complex

θηηάρλεηαη κε ηε ζπλέλσζε δηάθνξσλ n-cells. Σν C είλαη γηα ην “closure finite”

(closure = θάιπκκα) θαη ην W γηα ην weak (=αζζελήο) topology. Έλα CW-complex είλαη έλαο ρώξνο Υ, ν νπνίνο κπνξεί λα θηηζζεί αξρίδνληαο κε έλα ζύλνιν δηάθξηησλ

ζεκείσλ, πνπ ην νλνκάδνπκε 0X , πξνζζέηνληαο θαηόπηλ 1-cells ζην 0X θαηά κήθνο


ησλ ζπλόξσλ ηνπο 0S θαη νλνκάδνληαο ην ζύλνιν πνπ πξνθύπηεη 1X , ζηε ζπλέρεηα

πξνζαξκόδνληαο 2-cells ζην 1X θαηά κήθνο ησλ ζπλόξσλ ηνπο 1S θαη νλνκάδνληαο

ην λέν ρώξν 2X θιπ παίξλνληαο θαη’ απηό ηνλ ηξόπν ηνπ αληίζηνηρνπο ρώξνπο nX

γηα θάζε ηηκή ηνπ n. Δίλαη απαξαίηεην λα αθνινπζήζεη θαλείο ηελ «ηεξαξρία». Γειαδή

δελ επηηξέπεηαη λα πξνζζέζεη θαλείο k-cells πξηλ από h-cells αλ k>h.


ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΑΝΑΦΟΡΔ

1. Άξζξν ζηε Wikipedia γηα ηελ Θεσξία Morse,

http://en.wikipedia.org/wiki/Morse_theory

2. Άξζξν ζηo Wolfram Math World γηα ηελ Θεσξία Morse,

http://mathworld.wolfram.com/MorseTheory.html

3. Άξζξν ζηo Knowledgerush.com γηα ηελ Θεσξία Morse

http://www.knowledgerush.com/kr/encyclopedia/Morse_theory/

4. Haibao Duan, Morse functions and cohomology of homogeneous

spaces, http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0408/0408012v2.pdf

5. Takuya Kitagawa, The idea of Morse theory,

http://www.people.fas.harvard.edu/~tkitagaw/expositional_paper/Morse_Theory_Taku

ya.pdf

6. Raoul Bott, Morse theory indomitable, Publications mathematiques de

l’ I.H.E.S. , tome 68 (1988) , p. 99-114. http://archive.numdam.org/ARCHIVE/PMIHES/PMIHES_1988__68_/PMIHES_1988

__68__99_0/PMIHES_1988__68__99_0.pdf

7.Yanfeng Chen, A Brief History of Morse Homology,

http://math.berkeley.edu/~alanw/240papers03/chen.pdf

8. Edward Witten, Supersymmetry and Morse Theory,

http://www.rlmiller.org/superseminar/witten.pdf

9. Gabriel Lugo, Differential Geometry in Physics (e-book),

http://people.uncw.edu/lugo/COURSES/DiffGeom/dg1.pdf

10. A. Cayley, On Contour and Slope Lines, Philosophical Magazine

October 1859,

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/cayley.pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Morse_theory

http://mathworld.wolfram.com/MorseTheory.html

http://www.knowledgerush.com/kr/encyclopedia/Morse_theory/

http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0408/0408012v2.pdf

http://www.people.fas.harvard.edu/~tkitagaw/expositional_paper/Morse_Theory_Takuya.pdf

http://www.people.fas.harvard.edu/~tkitagaw/expositional_paper/Morse_Theory_Takuya.pdf

http://archive.numdam.org/ARCHIVE/PMIHES/PMIHES_1988__68_/PMIHES_1988__68__99_0/PMIHES_1988__68__99_0.pdf



http://math.berkeley.edu/~alanw/240papers03/chen.pdf

http://www.rlmiller.org/superseminar/witten.pdf

http://people.uncw.edu/lugo/COURSES/DiffGeom/dg1.pdf

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/cayley.pdf


11. James Clerk Maxwell, On Hills and Dales ,Philosophical Magazine

December 1870,

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/hilldale.pdf

12. Raul Bott, Lectures on Morse Theory Old and New,

http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&ha

ndle=euclid.bams/1183549637

13. Martin A Guest, Morse Theory in the 1990’s,


14. Toni A. Watson, Introduction to Hodge Star Operator: Differential

Forms Special Presentation, http://www-users.math.umd.edu/~toni/hodge.pdf

15. Υ. Αλαγλσζηόπνπινπ , Ι. Κισληά , .Μειέθνπ , Κ. Οηθνλόκνπ ,

Κ. Σδαλάθε, Δηζαγσγή ζηε γεληθή ηδέα ηεο ηνπνινγίαο, άξζξν ζην ηεύρνο

4 ηνπ 1976 ηνπ πεξηνδηθνύ Μαζεκαηηθή Δπηζεώξεζε.

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/hilldale.pdf

http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183549637

http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183549637


http://www-users.math.umd.edu/~toni/hodge.pdf

Τοπολογία (Μια μικρή εισαγωγή)

Documents

Transcript of Τοπολογία (Μια μικρή εισαγωγή)