Σελίδα 1 από 4

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Κυριακή 24/11/2013

Ημερομηνία

ΘΕΜΑ Α

Α.1 Ορισμός σελ.41 σχολικού βιβλίου.

Α .2 Απόδειξη σελ.43 σχολικού βιβλίου.

Α .3 α . Λάθος

β . Λάθος

γ . Σωστό

δ . Λάθος

ε . Λάθος

ΘΕΜΑ Β

Β .1 α = (λ , 2) και β = (3 , 1) , λR

α. λ 2

α // β det(α , β) = 0 λ-6=0 .

6 1

λ=03

β. α β α β = 0 λ= -3λ+2 . 02

3

γ. α-2β = (λ , 2) - 2(3 , 1) = (λ , 2) - (6 , 2) = (λ - 6 , 0).

α - 2β // y΄y λ – 6 = 0 λ = 6 .

δ.

π α β λ+2 α , β = , άρα συν α , β =

4 α β λ 2

2 3

2 4 10

λ+4>0 λ>-

λ λ+4 20λ λ λ+16

26

32 2 22 4 10 6 80 36 48

5λ λ λ+4 4λ +12λ - 16 = 0 2 2 220 9 12

λ + 3λ - 4 = 0 λ = - 4(απορρίπτετ ή λαι 1) = 2

Διαγώνισμα Μαθηματικά Κατ.

Εξεταζόμενο μάθημα

Β΄ Λυκείου Τάξη

Ζαχαριάδης Γιώργος Μάγκος Μιχάλης Μπούρας Θάνος

Πλουμάκης Κώστας Καθηγητές

Σελίδα 2 από 4

Β.2 α =1, β =2, γ = 2 , με α - β + 2γ = 0 ,

2 2 2 11

α = β - 2γ , άρα α β 4β γ + 4γ 1 4 4β γ +8 β γ =4

2 2 2 5

β = α + 2γ , άρα β α 4α γ + 4γ 4 1 4α γ +8 α γ = - 4

2 2 2 3

2γ = β - α , άρα 4γ β 2α β + α 8 4 2α β +1 α β = - 2

Α=3 11 5

2 2 4

33

44 .

ΘΕΜΑ Γ

Γ.1 , 23

a a

και 2 2 a a .

α . 2

, άρα συνα α + 2β 1 α 2α β

2 α 2 αα α + 2β, 2 , 2

3

a a a a

2 22 α 2α 4α β α β = 0. Άρα α β .

β . α β=02 22 2 22 2 3

4 α 4α β + 4β 4 4 β 32

2 2 2

aa a a a a a .

γ . 2 2 2 2 2 22 2 4α γ - α 4β γ 4α γ - α 3α γ· 4 4 a a

2 22 24α 4α γ γ 0 2α - γ 0 2α - γ 0 2α - γ 0 2α - γ = 0 γ =2α .

Άρα: a .

Γ.2 α = - 2i 3 j = ( - 2 , 3) , β = 3i 5 j = (3 , -5) .

α. γ = 2α + β = 2 (-2 , 3) + (3 , - 5) = ( - 4 , 6) + (3 , - 5) = (-1 , 1).

Σελίδα 3 από 4

Άρα 2 2γ 1 1 2

β. 2 2 2α = 2 +3 =13.

α β = 2 3 3 5 = - 21.

α γ = 2 1 3 1= 5.

Άρα: 2Α = α + α β + 3α γ = 13 - 21 +15 7 = .

γ. γ

1λ 1.

1

Άρα για τη γωνία ω που σχηματίζει το διάνυσμα γ με τον άξονα x΄x θα

ισχύει εφω=-1 και επειδή το γ βρίσκεται στο 2 ο τεταρτημόριο θα είναι:

ω = 1350 .

δ. β γ 3 5 8 8 4

συν β , γ9 25 2 34 2 17 2 2 17β γ

.

ΘΕΜΑ Δ

ΑΒ = 2α+β , ΑΓ = - 3β , α β 1 και 2π

α,β =3

.

α. π

α β = α β συν = - 2

3

1

2.

2

4β+2α β α β + 4α2 216 16 16 8 4 12

α-β α -β α α β + β22

2 22 1 1 1 3 . Άρα: α -β 3 .

β.

i .

AB ΑΓ 2α + β -3β α - 2β

αΜ -Α β2

2 2 2.

ΒΓ = ΑΓ - ΑΒ = -3 -β - 2α 2α -- β = 4β .

ii . ΑΜ ΒΓ = α - β α - 4β α α β + 2α β + 4β ...2 22 2 4 3 .

AM α β 3

BΓ = -2α - 4β 2α + 4β 12

Άρα: AM ΒΓ 3 1

συν AM , ΒΓ23 12AM ΒΓ

.

Άρα η ζητούμενη γωνία AM , ΒΓ

είναι 600 .

Σελίδα 4 από 4

i i i .

ΑΔ ΑΒ + ΒΔ = ΑΒ + ΑΓ = 2α + β - 3β = 2α - 2 ΑΔ 2α β. Άρα 2 .- β

BΓ=ΑΓ - ΑΒ = - 3β - 2α - β = - 2α - 4β BΓ - 2α. Άρα . - 4β

iv. ΑΜ α - β 3

2 22

2 2AB 2α + β 2α + β 4α 4α β + β 3 . Άρα : AB 3 .

2 2 2 2 1 3AB AM 2α + β α - β 2α 2α β + α β - β 2α α β - β 2 1 .

2 2

Άρα:

3AB ΑΜ 12συν AB , ΑΜ

23 3AB ΑΜ

.

Άρα η ζητούμενη γωνία ΒΑΜ είναι 600 .

(Παρατηρήστε ότ ι 2AB ΑΓ 6 β 3 3 0 2α+β - 3β α β-3 , δηλαδή το τρίγωνο

ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και επίσης το παρ/μο ΑΒΔΓ είναι ορθογώνιο !

Θα μπορούσατε λοιπόν να δουλέψετε και με τη βοήθεια της Γεωμετρίας! )

Επιμέλεια:

Α Β

Δ Γ

Μ