Αξιοσημείωτες ταυτότητες

Τετράγωνο αθροίσματος και τετράγωνο διαφοράς

Τι είναι μια ταυτότητα στα Μαθηματικά;

• Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι ταυτότητες;

(β) 3 ( α + 4 ) =

Η εξίσωση επαληθεύεται για κάθε τιμή του α

(α) 3 ( χ + 4 ) =30

Η εξίσωση επαληθεύεται για μια μόνο τιμή του χ. Όταν το χ είναι 6

3 α + 12

4χ −3χ –χ = 2 - 2

0χ =0

Επαληθεύεται για όλες τις τιμές του χ

Τα παραδείγματα (β) και ( γ ) λέγονται αόριστες εξισώσεις ή ταυτότητες

(γ) 4χ + 2 = 3χ + 2 + χ

Ορισμός της ταυτότητας:

Ταυτότητα είναι μια ισότητα που περιέχει

μεταβλητές και επαληθεύεται για

όλες τις τιμές των μεταβλητών

Τετράγωνο αθροίσματος

( α +β ) 2 = ( α + β ) ( α + β )

= α2+ α β+ α β+ β2

(α + β )2 = α2 + 2 α β + β2

Ανάπτυγμα ταυτότητας

Το τετράγωνο του

αθροίσματος

δυο μονώνυμων

ισούται με το άθροισμα

των τετραγώνων τους

συν το διπλάσιο

γινόμενο τους.

Άσκηση 1:

• Να βρείτε το ανάπτυγμα του ( ψ + 4 ) 2 .

( α + β ) 2 = α 2 + 2 α β + β2

( ψ + 4 ) 2 = Ψ 2 + 2 ·ψ·4 + 4 2

= ψ 2 + 8 ψ + 16

Άσκηση 2 :

• Να βρεθεί το ανάπτυγμα του ( 2χ + 3ψ)2

( α + β ) 2 = α 2 + 2 α β + β2

( 2χ + 3ψ)2 =(2χ)2 + 2·2χ·3ψ + (3ψ)2

= 4χ2 + 12 χ ψ + 9 ψ2

Γεωμετρική ερμηνεία

• Η ταυτότητα

• ( α+β ) 2 = α 2 +2 α β +β 2

Μπορεί ερμηνευτεί και γεωμετρικά

• Το τετράγωνο έχει πλευρά α+β

α

βα

β

Ε1 Ε2

Ε3Ε4

Ε = ( α + β ) 2

Ε1=α2

Ε2=α β

Ε4=α β

Ε3=β2

Ε=Ε1+Ε2+Ε3+Ε4

( α + β )2=α2 +αβ+βα+β2

(α +β )2 =α2 +2αβ+β2

• Τετράγωνο αθροίσματος

α2 αβ αβ β2

α2 αβ

αβ β2

(α +β ) 2 =α2 +2 α β +β 2

Εργασία για το σπίτι

• Διαβάστε τα παραδείγματα 1, 2, 5, 6 , 7 ,10 (α,γ,δ)

στις σελίδες 38 – 41• Να λύσετε τις ασκήσεις 47 / 1 , 5,

6, 16 , 18 – 22

Τετράγωνο διαφοράς

( α – β ) 2 = ( α – β ) ( α – β )

= α2– α β – α β + β2

(α – β )2 = α2 – 2 α β + β2

Ανάπτυγμα ταυτότητας

Το τετράγωνο της

διαφοράς

δυο μονώνυμων

ισούται με το άθροισμα

των τετραγώνων τους

πλην το διπλάσιο

γινόμενο τους.

Άσκηση 1:

• Να βρείτε το ανάπτυγμα του ( ψ – 4 ) 2 .

( α – β ) 2 = α 2 – 2 α β + β2

( ψ – 4 ) 2 = Ψ 2 – 2 ·ψ·4 + 4 2

= ψ 2 – 8 ψ + 16

Άσκηση 2 :

• Να βρεθεί το ανάπτυγμα του ( 2χ – 3ψ)2

( α – β ) 2 = α 2 – 2 α β + β2

( 2χ – 3ψ)2 =(2χ)2 – 2·2χ·3ψ + (3ψ)2

= 4χ2 – 12 χ ψ + 9 ψ2

Γεωμετρική ερμηνεία • Και το τετράγωνο της διαφοράς

• ( α – β ) 2 = α 2 – 2 α β + β 2

• μπορεί να ερμηνευθεί και γεωμετρικά

Αυτή όμως είναι η εργασία που θα έχετε για το σπίτι μαζί με τις

ασκήσεις 2,3,4,8,9,10,15,17,23

Στη σελίδα 47