ΕΛΑΣΗΡΙΟ ΜΕ ΔΤΟ ΜΑΖΕ. ΑΝΗΓΜΕΝΗ ΜΑΖΑ

το παρακάτω σχήμα 1, στα άκρα Α και Β ελατηρίου με σταθερά k, είναι

στερεωμένα δύο σώματα με μάζες m1 και m2, αντίστοιχα. Σο ελατήριο

θεωρείται χωρίς μάζα ενώ το σύστημα μάζες-ελατήριο μπορεί να ταλαντώνεται

ελεύθερα (χωρίς τριβές) στο λείο οριζόντιο επίπεδο, στο οποίο στηρίζεται.

Αρχικά τεντώνουμε το ελατήριο και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο. Να

περιγραφεί η ταλάντωση του συστήματος.

χήμα 1

Ας είναι 1( )x t και

2( )x t , οι θέσεις των άκρων Α και Β του

ελατηρίου, από το σημείο Ο (σχήμα 1). Ας υποθέσουμε επίσης ότι

το ελατήριο έχει φυσικό μήκος ίσο με l . Ας ονομάσουμε τέλος ( )x t

την παράσταση:

1 2( ) [ ( ) ( )]x t x t x t l (1)

τα επόμενα, χάριν ευκολίας θα αναφερόμαστε στα 1( )x t ,

2( )x t

και ( )x t , γράφοντας αντίστοιχα 1x ,

2x και x . Έτσι λοιπόν μπορούμε

να γράψουμε:

1 2( )x x x l (2)

Σώρα στη σχέση (2) παρατηρούμε ότι:

Για 0x , δηλαδή 1 2( )x x l , το ελατήριο επιμηκύνεται

Για 0x , δηλαδή 1 2( )x x l , το ελατήριο έχει το φυσικό του

μήκος

Για 0x , δηλαδή 1 2( )x x l , το ελατήριο είναι συσπειρωμένο.

(Σο ( )x t ή (απλούστερα το x ) μας δίνει λοιπόν τη μεταβολή του

μήκους (επιμήκυνση ή συσπείρωση)του ελατηρίου σε κάθε χρονική

στιγμή. ύμφωνα με την εκφώνιση: (0) 0x ).

Ας ονομάσουμε F

τη δύναμη που δέχεται από το ελατήριο η

μάζα 2m , οπότε F

θα είναι η δύναμη πάνω στη μάζα

1m . (χήμα 2).

χήμα (2)

Εφαρμόζοντας το νόμο του Newton για κάθε μάζα χωριστά,

έχουμε:

Μάζα 1m :

2

11 2

d xm kx

dt (3)

Μάζα 2m :

2

22 2

d xm kx

dt (4)

Πολαπλασιάζοντας την (3) επί 2m , παίρνουμε:

2

11 2 22

d xm m m kx

dt (5)

Πολαπλασιάζοντας την (4) επί 1m , έχουμε:

2

21 2 12

d xm m m kx

dt (6)

Αφαιρώντας από την (5) την (6), παίρνουμε:

2 2

1 21 2 1 2 2 12 2

d x d xm m m m m kx m kx

dt dt , ή

2

1 2 1 2 1 22( ) ( )

dm m x x m m kx

dt , ή

2

1 21 22

1 2

( )( )

m m dx x kx

m m dt , (7)

τη σχέση τωρα (7) παρατηρούμε ότι:

α) Η ποσότητα 1 2

1 2( )

m m

m m, έχει διαστάσεις μάζας και στα επόμενα θα

τη συμβολίζουμε με το μ και θα την ονομάζουμε «ανηγμένη» μάζα

(του συστήματος).

Θα είναι δηλαδή:

1 2

1 2( )

m m

m m , (8),

ή

1 2

1 1 1

m m , (9)

(Μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι η ανηγμένη μάζα μ είναι πιο

μικρή και από τη μικρότερη των 1m και

2m . Πράγματι αν πχ η 1m είνα

η μικρότερη των δυο μαζών, θα έχουμε διαδοχικά:

1

1 2 1

1 1 1 1 1m

m m m ).

β) Από τη (2) βλέπουμε ότι:

1 2x x x l ,

οπότε ( l =σταθερό):

1 2( )d dx

x xdt dt

και επίσης: 2 2

1 22 2( )

d d xx x

dt dt (10)

Έτσι λοιπόν η (7) μπορεί να πάρει τη μορφή:

2

20

d x kx

dt (11)

Η εξίσωση (11) έχει τη μορφή της διαφορικής που περιγράφει την

ταλάντωση συστήματος που αποτελείται από ελατήριο σταθεράς k

που το ένα άκρο του είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο και στο

άλλο άκρο του υπάρχει σώμα μάζας m . Έχουμε λοιπόν:

2

20

d x kx

dt , ή

22

20

d xx

dt , ή

22

2

d xx

dt, (12),

όπου θέσαμε:

k

(13)

Εύκολα μπορεί να επαληθεύσει κανείς ότι η διαφορική εξίσωση (12),

δέχεται τη γενική λύση:

sin( )x A t a (14).

(Η (14) έχοντας δύο αυθαίρετες σταθερές, το πλάτος Α και την

αρχική φάση α, αποτελεί πράγματι γενική λύση της διαφορικής (12)).

Σόσο το πλάτος Α, όσο και η αρχική φάση α, μπορούν να

προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος. (την

περίπτωσή μας το πλάτος Α είναι το (0)x και η αρχική ταύτητα είναι

ίση με μηδέν).

Η περίοδος της ταλάντωσης θα είναι:

2

2Tk

(15)

την εξίσωση (12) , το x είναι η σχετική απομάκρυνση των δύο

σωμάτων από τις θέσεις ισορροπίας τους.

Έτσι οι σχέσεις:

sin( )x A t a ,

cos( )dx

A t adt

,

2 sin( )d

a A t adt

,

αναφέρονται στη σχετική απομάκρυνση, σχετική ταχύτητα και

σχετική επιτάχυνση των δύο σωμάτων (1 2( )x x x l ,

1 2 και

1 2a a a ).

την περίπτωση που θεωρήσουμε ότι 2m , εύκολα φαίνεται

ότι 1m . (Θα είναι διαδοχικά: 1 2

1 2( )

m m

m m , ή 1

1

2

1

m

m

m

, οπότε με

1

2

0m

m, έχουμε:

1m ).

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΥΙΑ

1) D. Halliday, R. Resnick, Φυσική μέρος Α, εκδόσεις

Πνευματικού, Αθήνα 1976

2) M Alonso, E. Finn, Physics, Addison-Wesley 1992

3) R. Serway, J. Jewett, Physics for Scientists and Engineers,

sixth edition, Thomson 2004

4) H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Classical Mechanics, third

edition Adisson-Wesley 2002

Σα σχήματα της άσκησης προέρχονται από το αρχείο που

διέθεσε στο δίκτυο ο συνάδελφος Διονύσης Μάργαρης, τον οποίο

και ευχαριστώ!

ΥΙΟΡΕΝΣΙΝΟ ΓΙΑΝΝΗ