ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Πτυχιακή ΕργασίαΠτυχιακή ΕργασίαΚαλαποθαράκος Β. ΙωάννηςΚαλαποθαράκος Β. ΙωάννηςΚατεύθυνση: ΕκπαίδευσηΚατεύθυνση: Εκπαίδευση

Α.Μ.: 200200337Α.Μ.: 200200337

Σπουδαίοι Γάλλοι μαθηματικοί και η προσφοράΣπουδαίοι Γάλλοι μαθηματικοί και η προσφορά τους στην φυσική. Από τον Αάγκ Ζύλ στον Κωσύ τους στην φυσική. Από τον Αάγκ Ζύλ στον Κωσύ

Επιβλέπων: Σ. Θεοδοσίου, Αν. Καθηγητής

ΠεριεχόμεναΠεριεχόμενα

0. ΠΕΡΙΕΧΌΜΕΝΑ……………………………………………………..2

1. ΕΙΣΑΓΩΓΉ……………………………………………………………3

2. ΓΆΛΛΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ

1

Αάγκ Ζυλ (Haag) 1882-1953………………………………………12Ανταμάρ Ζακ-Σάλομον (Hadamard Jacques-Salomon) 1865-1963.14Βάιλ Αντρέ (Weil Andre) 1906-1998……………………………...20Βερνιέ Πιέρ (Vernier Pierre) 1580-1637…………………………..25Βεσιό Ερνέστιος (Vessiot Ernest) 1865-1952……………………...29Γκαλουά Εβαρίστ (Galois Evariste) 1811-1831…………………....31Γκαρνιέ Ρενιέ (Garnier Rene) 1887-1984………………………….37Γκιυς Πωλ (Guieysse Paul) 1841-1914…………………………….38Γκουρσά Εντουάρ (Goursat Edouart) 1858-1936………………….39Ερμίτ Σαρλ (Hermitte Charles) 1822-1901………………………...43Ζερμαίν Σοφί (Germain Sophie) 1776-1831……………………….47Ζιράλ Αλμπέρ (Girard Albert) 1595-1632…………………………51Ζουγκέ Εμίλ (Jouguet Emile) 1871-1943………………………….55Καρτάν Ανρί-Πωλ (Cartan Henri-Paul)1904-2008 ………………..58Κλαιρώ Αλέξις (Clairaut Alexis) 1713-1765………………………62Κουζέν Πιέρ (Cousin Pierre) 1867-1933…………………………..67Κουρνό Αντουάν Ωγκυστέν 1800-1877……………………………68Κουτυρά Λουί (Couturat Louis) 1868-1914……………………….71Κωσύ Ωγκυστέν Λουί (Cauchy Augustin-Louis) 1789-1857……...75

3. ΕΠΊΛΟΓΟΣ…………………………………………………………..79

4. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΊΑ……………………………………………………..81

ΕισαγωγήΕισαγωγή

Η αναγέννηση

Η Αναγέννηση είναι μια εποχή της Ιστορίας του πολιτισμού με νέες αντιλήψεις, νέους στόχους και διαφορετική νοοτροπία από όλες τις προηγούμενες και, κυρίως, από την αμέσως προηγούμενη εποχή του Μεσαίωνα. Καταρχάς πρέπει να διευκρινιστεί ότι το όριο μεταξύ Μεσαίωνα και Αναγέννησης, το οποίο είναι έτσι κι αλλιώς συμβατικό, τοποθετείται διαφορετικά, ανάλογα με την ειδικότερη οπτική γωνία των Ιστορικών, αλλά και με τη χώρα στην οποία αναφερόμαστε. Το

2

απλούστερο θα ήταν να τεθεί αυτό το όριο στο στρογγυλό έτος 1500. Mια τέτοια ουδέτερη επιλογή δείχνει αντικειμενική, δεν δίνει όμως την αναγκαία έμφαση στα αποφασιστικής σημασίας ιστορικά γεγονότα. Με τα κριτήρια των ανθρώπων του Μεσαίωνα η εποχή από το 15ο στο 16ο αιώνα ήταν χαοτική. Θεμελιωμένες πεποιθήσεις κατέρρεαν και νέες αντιλήψεις αναδύονταν. Το κύρος των αριστοκρατών είχε μειωθεί και η εξουσία είχε περάσει από τις πόλεις στο κεντρικό κράτος. Οι λίγοι φιλόσοφοι, ερευνητές και επιστήμονες της εποχής, όσοι έμειναν μακριά από τη διαφθορά της κοσμικής και εκκλησιαστικής εξουσίας, ασφυκτιούν σ' αυτό τον κόσμο και αναζητούν «νέες αξίες», εκμεταλλευόμενοι τις διαφοροποιήσεις ηγεμόνων μεταξύ τους και από τον εκκλησιαστικό μηχανισμό. Τα αγάλματα, τα κτήρια, τα συγγράμματα των αρχαίων ποιητών και επιστημόνων ήρθαν πάλι στο προσκήνιο και διαδόθηκαν πολύ γρήγορα, κυρίως λόγω της εξαπλωμένης τυπογραφίας. Όλη αυτή η συλλογική και ατομική προσπάθεια που ξεκίνησε δειλά και αθόρυβα από το 12ο αιώνα, κορυφώθηκε το 14ο και 15ο αιώνα και επηρέασε τα θεμέλια του σύγχρονου πολιτισμού, ονομάστηκε Αναγέννηση, αλλά επίσης κατά περίπτωση Διαφωτισμός ή Ουμανισμός. Στις ευρωπαϊκές κοινωνίες από το 16ο μέχρι τα μέσα του 18ου αιώνα κύρια απασχόληση ήταν η γεωργία, η βιοτεχνία, αλλά κυρίως το εμπόριο. Κατά την εποχή της Αναγέννησης αξιοποιήθηκαν παλιές εφευρέσεις, τόσο από την ελληνορωμαϊκή εποχή, όσο και από τους τότε πρόσφατους μεσαιωνικούς χρόνους, με βελτιώσεις και προσαρμογές σε νέες ανάγκες. Οι κυριότερες τεχνικές εξελίξεις πραγματοποιήθηκαν στην τυπογραφική τέχνη και στη ναυπηγική. Η τυπογραφία αξιοποιήθηκε κατά τις μεταρρυθμιστικές δραστηριότητες στον εκκλησιαστικό τομέα και στην επανέκδοση αρχαίων και νεότερων συγγραμμάτων σε μεγάλο αριθμό αντιτύπων. Ταυτόχρονα άρχισαν να εκδίδονται αυτή την εποχή νέα συγγράμματα, εγχειρίδια και φυλλάδια, με τεχνικές και παραγωγικές εμπειρίες από το παρελθόν και με νέες ιδέες για υλοποίηση, με τεχνικά σχέδια, προδιαγραφές κτλ.  Μέχρι το τέλος του 16ου και τις αρχές του 17ου αιώνα είχαν κυκλοφορήσει κάθε είδους τεχνικά βιβλία με λεπτομερείς περιγραφές για όργανα, συσκευές και μηχανές. Πολλά από αυτά τα βιβλία έχουν διασωθεί σε βιβλιοθήκες, οι οποίες είχαν έκτοτε δημιουργηθεί σε όλες τις μεγάλες και μεσαίες πόλεις. προβληματισμός ως προς τη λειτουργία του σύμπαντος δεν υπάγεται βέβαια άμεσα στο αντικείμενο της Τεχνικής, αποτελεί όμως ιστορικά το ζήτημα που έτυχε να προκαλέσει τη λεγόμενη επιστημονική επανάσταση ενάντια, τόσο στον εκκλησιαστικό μηχανισμό που ήθελε να έχει, άνευ αρμοδιότητας, οριστικές απόψεις επί παντός θέματος, όσο και ενάντια στην αυθεντία των αρχαίων διανοητών, τους οποίους είχε υιοθετήσει η δυτική εκκλησία επιλεκτικά. Με το ηλιοκεντρικό σύστημα που επανεισήγαγε ο Κοπέρνικος, παρότι δεν είχε ξεφύγει ακόμα από τις «τέλειες» κυκλικές τροχιές των πλανητών, ανετράπησαν από τα θεμέλια, αφενός η αρχαία αστρονομία και η θρησκευτική ερμηνεία των φυσικών φαινομένων, αφετέρου η αυτοπεποίθηση για την εξέχουσα θέση της Γης και των ανθρώπων που την κατοικούν. Με αυτή την ανακάλυψη του Πολωνού αστρονόμου ξεκινάει η λεγόμενη επιστημονική επανάσταση στη γνώση και στην επιστήμη και κατ' επέκταση στην τεχνική και στην τεχνολογία. Ενδιαφέρον είναι ότι ο Κοπέρνικος χρησιμοποιεί στον τίτλο του βιβλίου του τον όρο revolutio, ο οποίος τότε σήμαινε περιστροφή αλλά σε μερικές δεκαετίες θα αλλάξει σημασιολογικό περιεχόμενο και από τεχνικός όρος της αστρονομίας θα σημαίνει πλέον αυτό ακριβώς που πραγματοποίησε ο Κοπέρνικος, την επανάσταση. Η επιστημονική επανάσταση και ο διαφωτισμός

3

Η προθυμία να επανεξεταστούν οι παραδεδομένες αλήθειες και η έρευνα για νέες απαντήσεις οδήγησε σε μια περίοδο ανθηρής επιστημονικής δραστηριότητας, γνωστή όπως είπαμε ως Επιστημονική Επανάσταση. Οι απαρχές της εντοπίζονται στην ανακάλυψη εκ νέου από τους Ευρωπαίους των χειρογράφων του Αριστοτέλη κατά τον 12ο και τον 13ο αιώνα. Κορωνίδα της περιόδου αυτής αποτέλεσε η έκδοση των Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Μαθηματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας) το 1687 από τον Ισαάκ Νεύτωνα. Οι περισσότεροι ιστορικοί (π.χ., ο Χάουαρντ Μάργκολις - Howard Margolis) τοποθετούν την αρχή της Επιστημονικής Επανάστασης στα 1543, οπότε και εκδόθηκε το πρώτο αντίτυπο του βιβλίου De Revolutionibus (Περί της Περιστροφής των Ουρανίων Σφαιρών), του Πολωνού αστρονόμου Νικολάου Κοπέρνικου, γραμμένο δώδεκα χρόνια νωρίτερα (το βιβλίο δεν εκδόθηκε έως τη μέρα του θανάτου του). Στο βιβλίο διατυπωνόταν η θέση ότι η Γη εκτελεί περιφορά γύρω από τον Ήλιο, καθώς και ότι περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της. Άλλα σημαντικά επιτεύγματα κατά την περίοδο αυτή σημειώθηκαν από τους: Γαλιλαίο Γαλιλέι, Κρίστιαν Χόϋχενς, Γιόχαννες Κέπλερ, Μπλαίζ Πασκάλ κ.α. Μέχρι την εποχή της Αναγεννήσεως οι επιστήμονες ήταν απομονωμένοι μεταξύ τους, κυρίως λόγω των μεγάλων αποστάσεων και της απουσίας μηχανισμών επικοινωνίας. Και οι αρχαίοι ερευνητές που ζούσαν σε διαφορετικές πόλεις, είχαν πολύ σπάνια την ευκαιρία να συναντηθούν μεταξύ τους και μόνο ύστερα από επίπονα ταξίδια. Η εξάπλωση της τυπογραφίας βελτίωσε βέβαια την κατάσταση από την έναρξη του 16ου αιώνα και μετά, αφού η καταγραφή και διάδοση νέων επιστημονικών απόψεων διευκολύνθηκε σημαντικά. Όμως, ο παρερχόμενος χρόνος από τη σύλληψη μια επιστημονικής ιδέας, την καταγραφή της και την εκτύπωση του σχετικού βιβλίου, μέχρι να φτάσει αυτό το βιβλίο στα χέρια άλλων επιστημόνων για μελέτη, ήταν πολύ μεγάλος, της τάξης ετών και δεκαετίας.  Το έτος 1620 εξέφρασε ο Άγγλος φιλόσοφος Francis Bacon (Μπέικον, Βάκων, 1561-1626) την άποψη ότι η Παραγωγική Λογική (αγγλικά: deductive logic) του Αριστοτέλη είναι κατάλληλη για τα Μαθηματικά, όχι όμως και για τις πειραματικές επιστήμες. Σύμφωνα με την αντίληψη του Γαλιλαίου, η γνώση επιτυγχάνεται με βάση το αισθητό πείραμα σε συνδυασμό με τη μαθηματική τεκμηρίωση της αρχής που διέπει ένα φυσικό φαινόμενο. Ο ίδιος εισήγαγε την έννοια του πειράματος (cimento = δοκιμασία), το οποίο αφορά τη μέτρηση μεγεθών του εξεταζόμενου φαινομένου. Η πειραματική διαδικασία, σε συνδυασμό με τη μαθηματική περιγραφή των σχέσεων, ξεπερνά την απλή παρατήρηση και την ποιοτική περιγραφή φαινομένων, οι οποίες δεν δίνουν τη δυνατότητα πρόβλεψης. Αντίθετα, με την εισαγωγή μαθηματικών σχέσεων, δηλαδή, με την ποσοτικοποίηση των μεγεθών ενός φαινομένου, είναι δυνατή η πρόβλεψη των αποτελεσμάτων οποιασδήποτε επόμενης μέτρησης σχετικής με το ίδιο φαινόμενο. Στην περίπτωση που η πρόβλεψη δεν επιβεβαιωθεί από τα πειραματικά αποτελέσματα, ο ερευνητής πρέπει να τροποποιήσει ή να αντικαταστήσει την αρχική υπόθεση και να διατυπώσει ένα νέο νόμο που θα περιγράφει το συγκεκριμένο φαινόμενο και θα συμφωνεί με τα αποτελέσματα των μετρήσεων. Η ικανότητα του επιστήμονα στον έλεγχο και την εφαρμογή μιας θεωρίας έγκειται στην επινόηση κατάλληλων πειραματικών διαδικασιών και διατάξεων, ώστε να επιβεβαιωθεί ή διαψευσθεί μία επιστημονική υπόθεση. Ο Διαφωτισμός είναι η πνευματική προεργασία για το πέρασμα από τα υπολείμματα του Μεσαίωνα στο αποκορύφωμα του ανανεωτικού έργου της Αναγέννησης και από εκεί στη νέα σύγχρονη εποχή του ορθολογισμού και της επιστήμης, με στόχο την απαλλαγή των ανθρώπων, τουλάχιστον όσον αφορά τις προθέσεις, από δεισιδαιμονίες, εξαρτήσεις και φοβίες. Ο Διαφωτισμός ξεκίνησε από τις μεγάλες ευρωπαϊκές χώρες, Γαλλία, Γερμανία, Αγγλία και διαδόθηκε σε όλη την

4

Ευρώπη. Κύριες βάσεις για την ανάπτυξή του ήταν η προϋπάρχουσα Αναγέννηση, η ανακάλυψη των νέων ηπείρων, η νέα εικόνα για το σύμπαν και τον άνθρωπο, η τυπογραφία και η παραγωγή χαρτιού. Ειδικότερα αυτές οι τεχνικές προϋποθέσεις διευκόλυναν την εκτύπωση σε μεγάλες ποσότητες βιβλίων, εφημερίδων και φυλλαδίων, τα οποία οι ενδιαφερόμενοι πολίτες προμηθεύονταν σε χαμηλές τιμές. Ο Διαφωτισμός δεν ήταν η μοναδική αιτία για την έκρηξη της γαλλικής επανάστασης, επηρέασε όμως σε μεγάλο βαθμό τους ηγέτες και τους οπαδούς της, οι οποίοι, μεταξύ άλλων, κατάργησαν τη σχέση κράτους και εκκλησίας, επέβαλαν τη χρήση ημερολογίων, ρολογιών, νέων μέτρων και σταθμών, νέου νομίσματος, αλλά και νόμους, οι οποίοι στηρίζονταν σε ορθολογικές (για εκείνη την εποχή) αντιλήψεις. Ο διαφωτισμός και η επιστημονική επανάσταση στη Γαλλία ως σήμερα.

Ο όρος Διαφωτισμός αναφέρεται κυρίως σε μια περίοδο της ευρωπαϊκής διανοητικής ιστορίας που περιλαμβανόταν στα όρια του 18ου αιώνα. Οι φιλόσοφοι είναι ως επί το πλείστον Γάλλοι αλλά διαθέτουν προκεχωρημένα φυλάκια σε όλες τις χώρες. Είναι στην ουσία οι άνθρωποι των γραμμάτων και των τεχνών που είναι και ελεύθεροι στοχαστές. Για τους διανοούμενους του Διαφωτισμού, η επιστήμη ήταν η επιτομή ενός πεφωτισμένου Λόγου. Ήταν και τα δύο οχήματα τα οποία μαζί μπορούσαν να μεταφέρουν την ανθρώπινη κοινωνία μπροστά και πιο ψηλά, προς μια περισσότερο διαφωτισμένη και προοδευτική κατάσταση. Οι θεμελιώδεις έννοιες της κοινωνικής επιστήμης ήταν στενά δεμένες με την έννοια της προόδου του Διαφωτισμού. Θεωρούσαν πως μέσω της εφαρμογής γνώσεων λογικών και βασιζόμενων στην εμπειρία, θα μπορούσαν να δημιουργηθούν κοινωνικοί θεσμοί που θα έκαναν τους ανθρώπους πιο ευτυχείς και θα τους ελευθέρωναν από τη σκληρότητα, την αδικία και το δεσποτισμό. Το κίνημα του Διαφωτισμού ήταν ουσιαστικά επακόλουθο της Επιστημονικής επανάστασης του 17ου αιώνα, που με τη σειρά της προκλήθηκε από τις ανακαλύψεις του Κοπέρνικου τον 16ο αιώνα, και στη συνέχεια του Γαλιλαίου όσον αφορά τους ουρανούς και τις κινήσεις των πλανητών. Η διαπίστωση ότι η Γη κινείται γύρω από τον Ήλιο και όχι το αντίστροφο έθεσε υπό αμφισβήτηση πολλές ιδέες που ως τότε θεωρούνταν δεδομένες, διδάσκονταν στα πανεπιστήμια και τα σχολεία και προστατεύονταν από την Εκκλησία. Για να δείξουμε την μετάβαση από τον 17ο αιώνα, τον Αιώνα του Ορθολογισμού, στον 18ο αιώνα, τον Αιώνα των Φώτων όπως ονομάστηκε, το υπόδειγμα του Νεύτωνα μένει αξεπέραστο, στο ότι η επιστήμη χρησιμοποίησε εμπειρικές παρατηρήσεις, όπως η δυναμική των πλανητών του Κέπλερ ή η οπτική, για να δημιουργήσει μια θεωρία που εξηγούσε όλα τα φαινόμενα: τη θεωρία της παγκόσμιας έλξης, την κοινώς γνωστή βαρύτητα. Η χρήση του πειράματος και της παρατήρησης για τον έλεγχο και τη διατύπωση νέων θεωριών και η μαθηματικοποίηση-ποσοτικοποίηση των επιστημών αποτέλεσαν βαθιά τομή που άλλαξε τη φυσιογνωμία της έρευνας. Το κίνημα του Διαφωτισμού ξεχωρίζει από όλα τα προηγούμενα κινήματα διανοουμένων από τον αποδέκτη του: το ευρύ κοινό. Βασικό ρόλο σε αυτή την υπόθεση έπαιξε η Γαλλία, τόσο πριν όσο και μετά τη

5

Γαλλική Επανάσταση. Τότε ήταν που συγκροτήθηκαν το πρώτο σύγχρονο ίδρυμα που ήταν αφιερωμένο στην μελέτη των τεχνών και των επιστημών, η Γαλλική Ακαδημία. Η Γαλλία τον 18ο αιώνα γνώρισε μια περίοδο σχεδόν 80 χρόνων εσωτερικής ειρήνης και οικονομικής ευημερίας. Εκτός αυτού, η Γαλλία ήταν η πιο μεγάλη πληθυσμιακά χώρα στην Ευρώπη και η χώρα με τη μεγαλύτερη λαμπρότητα και γόητρο. Στο τελευταίο τέταρτο του 18ου αιώνα, άρχισε να υποχωρεί η νέα «ορθοδοξία» του Διαφωτισμού και να αντιμετωπίζει το νέο κίνημα του Ρομαντισμού που έδινε μεγαλύτερη έμφαση στο αίσθημα και στο συναίσθημα παρά στη λογική. όμως, ο Διαφωτισμός συνέχισε να επεκτείνεται και να ασκεί μεγάλη επιρροή στις εξελίξεις και στο κίνημα κατά του «παλαιού καθεστώτος» στη Γαλλία. Η Γαλλική Ακαδημία Επιστημών (Académie des sciences) είναι ένα επιστημονικό ίδρυμα που ιδρύθηκε το έτος 1666 από τον βασιλιά Λουδοβίκο ΙΔ΄ της Γαλλίας μετά από σύσταση του Ζαν-Μπατίστ Κολμπέρ, για την ενθάρρυνση και την προστασία της γαλλικής επιστημονικής έρευνας. Στάθηκε στην πρωτοπορία των επιστημονικών εξελίξεων στην Ευρώπη κατά τον 17ο και τον 18ο αιώνα, ως μία από τις αρχαιότερες ακαδημίες επιστημών στον κόσμο. Στις 20 Ιανουαρίου 1699 έλαβε το καταστατικό της ως «Βασιλική Ακαδημία Επιστημών». Η πρώτη της έδρα ήταν το Μουσείο του Λούβρου. Σήμερα η Ακαδημία Επιστημών είναι μόνο μία από τις 5 «ακαδημίες» που απαρτίζουν το Γαλλικό Ινστιτούτο. Τα μέλη της εκλέγονται και είναι ισόβια. Υπάρχουν 150 πλήρη μέλη, 300 αντεπιστέλλοντα και 120 από το εξωτερικό. Υποδιαιρούνται σε δύο ομάδες: των Φυσικών Επιστημών και των Μαθηματικών. Η πρώτη ομάδα περιλαμβάνει και την Ιατρική. Σήμερα η ανώτατη εκπαίδευση στη Γαλλία περιλαμβάνει δύο βασικές κατηγορίες εκπαιδευτικών ιδρυμάτων, με διαφορετικούς στόχους και δομή. Οι Grandes Écoles με 4 υποκατηγορίες: Écoles Normales Superieures (ENS-Ανώτατες Παιδαγωγικές Ακαδημίες), Écoles de Commerce et de Gestion, Instituts d’ Études Politiques (IEP) και Grandes Écoles Scientifiques & Écoles d’ Ingénieur – ανάμεσα στις οποίες περιλαμβάνονται οι διάσημες ανώτατες σχολές École Polytechnique, École des Mines, École des Ponts et Chaussées, ENSAM (Καλών Τεχνών). Παρέχουν εκπαίδευση υψηλού επιπέδου με σκοπό την επαγγελματική αποκατάσταση, όπως π.χ. εκπαίδευση μηχανικών και εκπαίδευση στην διοίκηση επιχειρήσεων για ανώτατα στελέχη. Έτσι, τα διπλώματα που απονέμονται από αυτές τις σχολές βρίσκονται στην κορυφή της προτίμησης των επιχειρήσεων για την κάλυψη θέσεων με αυξημένες ευθύνες και απαιτήσεις. Σε σύγκριση με αυτές, τα πανεπιστήμια είναι περισσότερο προσανατολισμένα προς τη διαμόρφωση ερευνητών και τη διάπλαση ειδικών της γνώσης, μια διαφορά που δείχνει να καλύπτεται με τη δημιουργία ειδικοτήτων μηχανικών και καταρτίσεων προετοιμασίας επαγγελματικών διπλωμάτων. Τα

6

πανεπιστήμια παρέχουν εκπαίδευση υψηλού επιπέδου σε όλους τους τομείς (θετικές επιστήμες, τεχνολογία κα).

Θετικές επιστήμες και Γάλλοι επιστήμονες

Θα μπορούσαμε να ορίσουμε την Επιστήμη σαν την έρευνα της πραγματικότητας, της φύσης. Ετυμολογικά είναι σύνθεση του «επί» (= πάνω) και του ρήματος «ίσταμαι» (=στέκομαι). Είναι η εκ των άνω θεώρηση της πραγματικότητας. Ο επιστήμονας είναι αυτός που ανυψώνεται πάνω απ’ την καθημερινή πραγματικότητα για να αποκτήσει μια συνολική θέα της. Είναι ο παρατηρητής, που για να περιγράψει όσο καλύτερα μπορεί την Αλήθεια, ανεβαίνει σ’ ένα ψηλό σημείο: στο κόσμο του Νου και κάποτε  - γιατί όχι - και της Διαίσθησης. Τα Μαθηματικά συχνά ορίζονται ως η μελέτη των ποσοτήτων, των δομών, των μεταβολών και του χώρου. Κατά τη σύγχρονη επίσημη άποψη τα μαθηματικά είναι η έρευνα των αξιωματικά θεμελιωμένων αφηρημένων δομών χρησιμοποιώντας τη λογική και τη μαθηματική σημειολογία. Τα Μαθηματικά συχνά ορίζονται ως η μελέτη των ποσοτήτων, των δομών, των μεταβολών και του χώρου. Κατά τη σύγχρονη επίσημη άποψη τα μαθηματικά είναι η έρευνα των αξιωματικά θεμελιωμένων αφηρημένων δομών χρησιμοποιώντας τη λογική και τη μαθηματική σημειολογία. H φυσική (από την ελληνική λέξη φύω < φύναι που σημαίνει γένεση, δημιουργία, παραγωγή) είναι με την ευρύτερη έννοια η επιστήμη που μελετά την ύλη και την ενέργεια που παρατηρούνται στη φύση. Οι φυσικοί μελετούν την λειτουργία και τις ιδιότητες του κόσμου που μας περιβάλλει από τα υποατομικά σωματίδια που αποτελούν τη συνήθη ύλη (σωματιδιακή φυσική), ως την συμπεριφορά τού υλικού σύμπαντος ως ολότητα (αστρονομία, κοσμολογία). Σκοπός της φυσικής είναι η εύρεση του πλαισίου των θεμελιωδών νόμων στους οποίους υπακούν οι φυσικές οντότητες. Η Φυσική επίσης, έχει πολύ ιδιαίτερη σχέση με τα μαθηματικά, τα οποία παρέχουν το λογικό πλαίσιο ανάπτυξης και εδραίωσης των μοντέρνων θεωριών. Η διαφορά της φυσικής με τα μαθηματικά έγκειται στο ότι η φυσική χρησιμοποιεί τα μαθηματικά ως εργαλείο περιγραφής του υλικού κόσμου και των φαινομένων που τον διέπουν και τον χαρακτηρίζουν, ενώ τα μαθηματικά έχουν ως σκοπό την προώθηση του ίδιου του μαθηματικού λογισμού, χωρίς να υπόκεινται σε δεσμεύσεις ανάπτυξης υπό μία συγκεκριμένη σκοπιά Ήδη από την αρχαιότητα, η συμπεριφορά της ύλης αποτέλεσε αντικείμενο στοχασμού και μελέτης: γιατί τα αντικείμενα πέφτουν όταν αφεθούν ελεύθερα, γιατί διαφορετικά υλικά παρουσιάζουν διαφορετικές ιδιότητες, κ.ο.κ. Άλλα μεγάλα ερωτήματα αφορούσαν το χαρακτήρα του σύμπαντος, για παράδειγμα το σχήμα της Γης και οι κινήσεις των ουρανίων σωμάτων, όπως ο Ήλιος και η Σελήνη. Για την εξήγηση των φαινομένων αυτών ανάλογα με το πνεύμα και την τρέχουσα μεθοδολογία κάθε εποχής, προτάθηκαν αρκετές απόψεις και θεωρίες. Οι περισσότερες, αρχικά, είχαν φιλοσοφική βάση και χροιά (και μερικές φορές, θρησκευτικές ή μεταφυσικές συμπαραδηλώσεις), και στηρίζονταν λίγο ή καθόλου στη συστηματική πειραματική δοκιμασία, με την έννοια που έχει σήμερα ο όρος Θετικές επιστήμες στη Γαλλία. Στη Γαλλία ο Βιετ (1540-1603), ο Καρτέσιος (1595-1650) κι ο Φερμά (1601 -1665) υπήρξαν οι συνεχιστές του έργου των Ιταλών αλγεβριστών του 15ου αιώνα. Οι μαθηματικοί αυτοί έδωσαν στον αλγεβρικό λογισμό την οριστική του μορφή κι αυτός υπάρχει μέχρι σήμερα όπως τον άφησαν, με ορισμένες αλλαγές που έγιναν πολύ πρόσφατα. Στον Καρτέσιο και στον Φερμά οφείλουμε μια πολύ χρήσιμη ιδέα, δηλαδή

7

τη δημιουργία του συστήματος των συντεταγμένων. Οι δυνατότητες που δίνει στα μαθηματικά αυτή η ιδέα είναι τεράστιες. Αρχικά έκαναν τη γεωμετρία, από επιστήμη καθαρά των σχημάτων, απλό πεδίο εφαρμογής της άλγεβρας και την ονόμασαν αναλυτική γεωμετρία. Ο λογισμός αντικαθιστά τα λογικά συμπεράσματα, που προέρχονται απ' τα αξιώματα. Η μετάβαση απ' την επίπεδη αναλυτική γεωμετρία στη γεωμετρία του χώρου, πραγματοποιήθηκε απ' τον Παράν (1666-1713). Αυτή η γενίκευση δημιούργησε την ιδέα του χώρου των "ν" διαστάσεων, που έγινε έργο του Σλαίφλι (1814-1895). Αυτοί οι χώροι των "ν" διαστάσεων πήραν την οριστική τους θέση στα μαθηματικά, όταν η μαθηματική έρευνα διάθετε αποτελεσματικά μέτρα. Για τα σύγχρονα μαθηματικά πρέπει να αναφέρουμε, σχετικά με την άλγεβρα και την ανάλυση, ότι αναπτύχθηκαν δύο νέοι κλάδοι των μαθηματικών κατά τον 19ο αιώνα. Πρόκειται για τη συμβολική λογική, με τους Μπουλ (1815-1864), Σραίντερ (1841-1902) και Φρέγκε (1848-1925), που είχε την πρόθεση να υποτάξει την άσκηση της λογικής σ' ένα αλγεβρικό λογισμό και για τη θεωρία των συνόλων. Η άλγεβρα, η ανάλυση καθώς και η γεωμετρία χρησιμοποιούσαν συχνά τη θεωρία αυτή και προσπαθούσαν να τη γενικέψουν. Και η έννοια αυτή αποτέλεσε αντικείμενο ιδιαίτερων ερευνών. Πρώτος ο Γ. Κάντορ (1845-1918) θεμελίωσε μια γενική θεωρία των συνόλων, που ασχολιόταν ιδιαίτερα με τα άπειρα σύνολα. Στη συνέχεια ο Μπρόουερ (1881), οι Γάλλοι Μπαιρ, Λεμπέγκ και Μπορέλ, ασχολήθηκαν με τη θεωρία των συνόλων. Σε κάθε φιλοσοφία λοιπόν που αποβλέπει στην ακρίβεια των νοημάτων και ιδιαίτερα σε ότι αφορά τις οδούς και τα μέσα της γνώσης, η ανάπτυξη των μαθηματικών απ' τα αρχαία χρόνια μέχρι τις μέρες μας πρέπει να θεωρηθεί λαμπρό παράδειγμα. Στο πρώτο μισό του 17ου αιώνα όπως αναφέραμε παραπάνω δεσπόζει στη Γαλλία ένας φυσιοδίφης, μαθηματικός και φιλόσοφος με γαλλικό όνομα Rene Descartes ή αλλίως Cartesius (Καρτέσιος, 1596-1650), ένα από τα σημαντικότερα οικουμενικά πνεύματα της παγκόσμιας ιστορίας. Οι απόψεις του Καρτέσιου (Descartes, 1596 - 1650) ήταν αυτές που οδήγησαν την επιστήμη στη σύγχρονη μορφή της. Ο Καρτέσιος ήθελε - όπως και άλλοι λόγιοι της εποχής του - την αποδέσμευση του ανθρώπου απ’ τα λάθη και τις προκαταλήψεις του Μεσαίωνα, πολλά απ’ τα οποία προέρχονταν από αντιλήψεις του αρχαίου κόσμου. Έφτασε όμως στο σημείο να αποκηρύξει εντελώς την παράδοση σε αντίθεση με άλλους λόγιους της Αναγέννησης, όπως ο Ρότζερ Μπέικον. Έτσι - σαν ένας νέος Αριστοτέλης - κόβει τα δεσμά με το μυστικιστικό παρελθόν και περιγράφει ένα απόλυτα μηχανιστικό Σύμπαν. Οι απόψεις του σε συνδυασμό με την επιτυχία του Νευτώνειου μηχανιστικού μοντέλου τον οδήγησαν στην περίφημη ρήση του Cogito, ergo sum (= σκέπτομαι, άρα υπάρχω) που χρωμάτισε τον σύγχρονο πολιτισμό μας. Στο παράρτημα ενός βιβλίου του με τίτλο «Λόγος περί της μεθόδου», στο οποίο εξετάζει την αναζήτηση της επιστημονικής αλήθειας με τους κανόνες της λογικής, παρουσιάζει ο Καρτέσιος τις αρχές της Αναλυτικής Γεωμετρίας, η οποία συνδέει την Άλγεβρα με τη Γεωμετρία. Σ' αυτό το πλαίσιο εισήγαγε ο σημαντικός αυτός ερευνητής το γνωστό καρτεσιανό σύστημα αξόνων, στο οποίο είναι δυνατόν να απεικονιστεί γραφικά κάθε αλγεβρική συνάρτηση. Με την «αλγεβροποίηση» της Γεωμετρίας ήταν πλέον δυνατόν να δοθούν ακριβείς ορισμοί, ανεξάρτητοι από γλωσσικές πολυσημίες, όπως π.χ. για την ευθεία. Ο Ευκλείδης είχε ορίσει ήδη τον 3ο αιώνα π.X. την ευθεία ως μήκος απλατές, δηλαδή ένα γεωμετρικό αντικείμενο που έχει μήκος αλλά δεν έχει πλάτος. Ο ορισμός αυτός διατηρήθηκε για περίπου 1.850 περίπου χρόνια, μέχρι που με την Αναλυτική Γεωμετρία ορίστηκε η ευθεία ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που οι συντεταγμένες τους ικανοποιούν μια εξίσωση της μορφής F(x,y)=0. Αργότερα βελτιώθηκε κι αυτός ο ορισμός, αυτό που δεν άλλαξε όμως ήταν

8

η σαφής και ακριβής αλγεβροποιημένη διατύπωση των γεωμετρικών εννοιών! Αν και σπουδαίος μαθηματικός, ο Καρτέσιος, θα μείνει πιο πολύ σαν ένας σταθμός στη Ιστορία της Φιλοσοφίας της Επιστήμης. Στην επικράτηση ενός ντετερμινιστικού μοντέλου περιγραφής της φύσης, συνέβαλε και ο Γάλλος μαθηματικός και φυσικός Λαπλάς (Pierre-Simon Laplace) (1749-1827) που επιβεβαίωσε με ένα άψογα διατυπωμένο μαθηματικό μοντέλο τις θέσεις του Νεύτωνα. Κατάφερε να ερμηνεύσει με λεπτομέρειες τις κινήσεις των πλανητών, των δορυφόρων τους και των κομητών, καθώς και τις παλίρροιες, τα ρεύματα και άλλα φαινόμενα που συνδέονται με τη βαρύτητα. Για τον Λαπλάς το Σύμπαν δουλεύει σαν μια καλορυθμισμένη μηχανή, στην οποία μάλιστα δεν απαιτείται η θεώρηση της ύπαρξης κάποιου Δημιουργού· η επιστήμη σπάει πια τα δεσμά της με την Εκκλησία (που θεωρείται οπισθοδρομική) αλλά και με το Θεό. Χαρακτηριστική ήταν η απάντηση του Λαπλάς στον Ναπολέοντα όταν αυτός του είπε: Κύριε Λαπλάς, απ’ ό,τι ξέρω το βιβλίο σας περιγράφει το ηλιακό σύστημα και το σύμπαν, χωρίς ν’ αναφέρει ούτε σε μια παράγραφο το Δημιουργό του· η απάντηση του Λαπλάς ήταν: Δε χρειάστηκε ούτε στιγμή να βασιστώ στην υπόθεση της Ύπαρξης του . Στις αρχές του 18ου αιώνα ο γενικός τρόπος της μαθηματικής έρευνας μεταβλήθηκε βαθμιαία, όπως σημειώνει ο Kolmogoroff. Σε αυτή την περίοδο η φιλοσοφία πλησιάζει περισσότερο τα μαθηματικά ως απόρροια των επιτυχιών του προηγούμενου αιώνα λόγω των μεθοδολογικών καινοτομιών. Μια χαρακτηριστική περίπτωση στην οποία γίνεται εμφανές ότι η φιλοσοφία αρχίζει να (ξανα)παίζει ένα σημαντικό ρόλο στα μαθηματικά είναι ο τρόπος με τον οποίο στάθηκαν δυο μαθηματικοί απέναντι στους μιγαδικούς: ο Leibnitz βλέπει στην ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων με ανάπτυξη τους σε μιγαδικές εκφράσεις τη «θαυμάσια μεσολάβηση του ιδεώδους κόσμου», ενώ ο Euler πιο ρεαλιστικής νοοτροπίας, δε μίλησε για θαύματα, αλλά διερμήνευσε τη «νομιμότητα» των πράξεων , που αναφέρονται σε μιγαδικούς αριθμούς και αποκλίνουσες σειρές ως εμπειρικό γεγονός, το οποίο επιβεβαιώθηκε από την ορθότητα των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από παρόμοιους σχηματισμούς. Οι μαθηματικοί αυτής της εποχής πολλοί και σπουδαίοι: Euler, Lagrange, D’Alambert, De Moivre, Bernoulli κ.α. Όπως και στις προηγούμενες ιστορικές περιόδους η σχέση μαθηματικών και φυσικής είναι στενή και σε τελική σχέση καθοριστική: «οι μαθηματικές φυσικές επιστήμες (μηχανική, μαθηματική φυσική) και οι τεχνολογικές εφαρμογές των μαθηματικών, παρέμειναν στη σφαίρα δραστηριότητας των μαθηματικών. Για παράδειγμα, ο Euler εργάζεται σε προβλήματα ναυπηγικής και οπτικής, ο Lagrange δημιούργησε τις βάσεις της αναλυτικής μηχανικής και ο Laplace, ο οποίος θεωρούσε τον εαυτό του κυρίως μαθηματικό, ήταν επίσης διακεκριμένος αστρονόμος και φυσικός» Περνώντας στο 19ο αιώνα η στενή σχέση μαθηματικών-φυσικής αποκτά πολυπλοκότερες μορφές. Πρόκειται για την περίοδο των σύγχρονων μαθηματικών. Οι νέες θεωρίες που εμφανίζονται στα μαθηματικά «έρχονται» ως απόρροια δυο παραμέτρων: α) των άμεσων απαιτήσεων των φυσικών επιστημών και της τεχνολογίας και β) των εσωτερικών απαιτήσεων των μαθηματικών. Ένα παράδειγμα για την πρώτη περίπτωση: η ανάπτυξη του διανυσματικού λογισμού και του τανυστικού λογισμού σχετιζόταν με τις απαιτήσεις της μηχανικής και της φυσικής. Όσον αφορά στη δεύτερη παράμετρο ένα παράδειγμα αποτελεί η ανάπτυξη της θεωρίας των συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής η οποία κατείχε την κεντρική θέση σε ολόκληρη τη μαθηματική ανάλυση κατά το πρώτο μισό του 19ου αιώνα κι ένα άλλο παράδειγμα αποτελεί η «φανταστική γεωμετρία» του Lobachevskii.

9

Κατά τα τέλη του 19ο αιώνα και τις αρχές του 20ου αιώνα οι λόγοι ανάπτυξης των μαθηματικών δεν αλλάζουν. Στη φυσική και κυρίως στη μηχανική και στην οπτική δημιουργούνται απαιτήσεις δημιουργίας ενός αξιόπιστου και προηγμένου μαθηματικού μηχανισμού. Ενός μηχανισμού που γίνεται πλέον απαραίτητος και στην ηλεκτροδυναμική, τη θεωρία του μαγνητισμού και τη θερμοδυναμική. Οι μαθηματικές απαιτήσεις της τεχνολογίας αναπτύχθηκαν επίσης ταχέως. Στις αρχές του 19ου αιώνα οι απαιτήσεις αυτές συμπεριλάμβαναν προβλήματα της θερμοδυναμικής των ατμομηχανών, της τεχνικής μηχανικής και της βλητικής. Η θεωρία των διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους και ιδιαίτερα η θεωρία του δυναμικού αναπτύχθηκαν πιο εντατικά ως ο θεμελιώδης μηχανισμός για τους νέους κλάδους της μηχανικής και της μαθηματικής φυσικής. Ορισμένα παραδείγματα: οι περισσότεροι από τους πρωτοπόρους ειδικούς στην ανάλυση του πρώτου μισού του 19ου αιώνα (Gauss, Fourier, Poisson, Cauchy, Dirichlet, Green, Ostrogdraskii) εργάστηκαν σε αυτή την κατεύθυνση. Ο τρόπος της έρευνας στη φυσική διαφέρει από τις περισσότερες επιστήμες, όσον αφορά το διαχωρισμό της θεωρίας με το πείραμα. Από τον 20ό αιώνα, οι περισσότεροι φυσικοί εξειδικεύονται είτε στη θεωρητική φυσική, είτε στην πειραματική φυσική. Σχεδόν όλοι οι γνωστοί θεωρητικοί στη βιολογία και στη χημεία υπήρξαν και πειραματικοί. Οι θεωρητικοί προσπαθούν να αναπτύξουν μέσω μαθηματικών μοντέλων διάφορες θεωρίες, οι οποίες μπορούν να περιγράφουν και να ερμηνεύουν υπάρχοντα πειραματικά αποτελέσματα, και να προβλέπουν επιτυχώς μελλοντικά αποτελέσματα, ενώ οι πειραματικοί εκτελούν πειράματα ώστε να εξερευνήσουν νέα φαινόμενα και να ελέγξουν τις θεωρητικές προβλέψεις. Αν και η θεωρία και το πείραμα αναπτύσσονται ξεχωριστά, εξαρτώνται πολύ το ένα από το άλλο. Η πρόοδος στη φυσική γίνεται συχνά όταν οι πειραματικοί ανακαλύπτουν κάτι που οι υπάρχουσες θεωρίες δεν έχουν λάβει υπ' όψιν, κάνοντας εμφανή την ανάγκη για δημιουργία νέων θεωριών. Παρόμοια, ιδέες που προκύπτουν από τη θεωρία, συχνά εμπνέουν νέα πειράματα. Χωρίς το πείραμα, η θεωρητική έρευνα μπορεί να πάρει λάθος δρόμο. Αυτό είναι και ένα από τα επιχειρήματα εναντίον της Θεωρίας-Μ, μιας δημοφιλούς θεωρίας στη φυσική υψηλών ενεργειών, για την οποία δεν έχουν εκτελεστεί ποτέ πειράματα. Η έρευνα στη φυσική εξελίσσεται συνεχώς σε ένα μεγάλο αριθμό θεμάτων, και είναι πιθανό πως θα συνεχίσει έτσι για το άμεσο μέλλον. Στη φυσική συμπυκνωμένης ύλης, το πιο μεγάλο άλυτο θεωρητικό πρόβλημα αφορά την εξήγηση της υψηλής θερμοκρασίας υπεραγωγιμότητας. Πολλές προσπάθειες, κυρίως πειραματικές, γίνονται ώστε να κατασκευαστούν κβαντικοί υπολογιστές και spintronics. Στη σωματιδιακή φυσική, τα πρώτα κομμάτια πειραματικών αποδείξεων για τη φυσική πέρα από το καθιερωμένο μοντέλο αρχίζουν και παίρνουν τη θέση τους. Οι κυριότερες είναι οι ενδείξεις ότι τα νετρίνα έχουν μη μηδενική μάζα. Αυτά τα πειραματικά αποτελέσματα φαίνεται να έχουν λύσει το μακροχρόνιο πρόβλημα που αφορούσε τα ηλιακά νετρίνα. Η φυσική των νετρίνων είναι αυτή τη στιγμή ένα πεδίο ενεργούς θεωρητικής και πειραματικής έρευνας. Στα επόμενα χρόνια, οι επιταχυντές σωματιδίων θα αρχίσουν να πιάνουν ενέργειες της τάξης του TeV, όπου οι πειραματικοί φυσικοί ελπίζουν πως θα βρουν ενδείξεις για το μποζόνιο Χιγκς και τα υπερσυμμετρικά σωματίδια. Οι θεωρητικές απόπειρες ένωσης της κβαντικής μηχανικής και της γενικής σχετικότητας σε μια μόνο θεωρία κβαντικής βαρύτητας, που γίνονται εδώ και μισό αιώνα περίπου, δεν έχουν αποδώσει καρπούς. Αυτή τη στιγμή, οι υποψήφιες θεωρίες

10

είναι η Θεωρία-Μ, η Θεωρία Υπερχορδών και η Κβαντική βαρύτητα βρόχων. Πολλά αστρονομικά και κοσμολογικά φαινόμενα δεν έχουν ακόμη εξηγηθεί ικανοποιητικά, συμπεριλαμβανομένης της βαρυονικής ασυμμετρίας, των πολύ υψηλών κοσμικών ακτινών, της επιτάχυνσης του σύμπαντος και των ανώμαλους ρυθμούς στροφής των γαλαξιών. Αν και μεγάλη πρόοδος έχει γίνει στην κβαντική φυσική, στην αστρονομία και στη φυσική υψηλών ενεργειών, πολλά καθημερινά φαινόμενα που συμπεριλαμβάνουν πολυπλοκότητα, χάος ή τύρβη δεν έχουν εξηγηθεί. Πολύπλοκα φαινόμενα που φαίνονται πως θα ήταν επιλύσιμα με απλή εφαρμογή της μηχανικής και δυναμικής, όπως η κατανομή των αμμόλοφων, το σχήμα των σταγόνων του νερού ή η γρήγορη ροή του νερού, παραμένουν άλυτα. Στη συνέχεια θα δούμε πως σπουδαίοι μαθηματικοί της Γαλλίας συνέβαλαν ο καθένας με το δικό του λιθαράκι προσφόρας στο τεράστιο οικοδόμημα της φυσικής στο πέρασμα των αιώνων έως σήμερα.

11

Αάγκ Ζυλ (Haag Jules)

Γεννήθηκε: 19 Αυγούστου 1882 στην Meurthe et Moselle

Πέθανε: 16 Φεβρουαρίου 1953 στη Μπεσανσόν

Στη Μπεσανσόν υπήρχε ένας πολύ καινοτόμος μαθηματικός ο οποίος δυστυχώς δεν είναι πλέον τόσο γνωστός, ο Αάγκ Ζυλ (Haag Jules). Ο Αάγκ παρέμεινε στη Μπεσανσόν διότι ήταν επικεφαλής στο σχολείο της χρονομετρίας (η Μπεσανσόν είναι κοντά στην Ελβετία). Στη Μπεσανσόν παρέμεινε για σχεδόν δεκαπέντε χρόνια διδάσκοντας ανάλυση. Ήταν ένα όχι και τόσο προχωρημένο μάθημα, αλλά το έκανε με ένα πολύ ευσυνείδητο τρόπο. Βρήκε αναμφίβολα δυσκολία στην διδασκαλία. Δεν ήταν σε θέση να γράψει έναν υπολογισμό μέχρι το τέλος χωρίς να κρατήσει σημειώσεις και στη Γαλλία δεν άρεσε γενικά οι άνθρωποι να αντιγράφουν σημειώσεις τους πάνω στον μαυροπίνακα.

Προσφορά στα μαθηματικά και στη φυσική Ο Αάγκ εισήγαγε στην πιθανότητα, μεταξύ άλλων, την έννοια της ανταλλάξιμου ακολουθίας, ανεξάρτητα από τον Finetti. Έκανε μερικές πολύ ενδιαφέρουσες μελέτες σχετικά με τους στοχαστικούς αλγόριθμους που είχαν εφαρμογή σε υπολογισμούς που πρέπει να γίνουν σε μεγάλα πυροβόλα όπλα. Ο Αάγκ ήταν ο πρώτος που μελέτησε τόσο διεξοδικά ακολουθίες ανταλλάξιμων γεγονότων. Δημοσίευσε τα συμπεράσματά του στο Διεθνές Μαθηματικό συνέδριο που πραγματοποιήθηκε στο Τορόντο τον Αύγουστο του 1924 όπου στις πρώτες έξι σύντομες παραγράφους, ασχολήθηκε με πεπερασμένες ανταλλάξιμες ακολουθίες γεγονότων. Πιο συγκεκριμένα μια ακολουθία {X n } από n=1 έως n=∞ καλείται ανταλλάξιμη ή συμμετρική (exchangeable ή interchangeable) εάν η από κοινού κατανομή ενός οιουδήποτε πλήθους κ από αυτές, εξαρτάται μόνο από το πλήθος κ των τ.μ. και όχι από τις συγκεκριμένες τ.μ [Aldous,(1985)]. Εάν δηλαδή π: Ν→Ν είναι μία πεπερασμένη μετάθεση, τότε οι κατανομές των (Χ1,Χ2…,Χκ), (Χπ(1),Χπ(2)…,Χπ(κ)) είναι ίσες. Εάν η ακολουθία των τ.μ. είναι πεπερασμένη, και είναι ανταλλάξιμη τότε καλείται Ν-ανταλλάξιμη. Θεωρήματα που ισχύουν για (άπειρα) ανταλλάξιμες ακολουθίες δεν είναι απαραίτητο να ισχύουν για Ν-ανταλλάξιμες ακολουθίες. Είναι φανερό ότι οι ανταλλάξιμες είναι ταυτοτικά κατανεμημένες (όχι απαραίτητα ανεξάρτητες).

12

Η Ακαδημία Επιστημών του Παρισιού τον τίμησε το 1932 με το βραβείο Montyon στη μηχανική για το έργο του στην χρονομετρία (chronometry).

13

Aνταμάρ Ζακ-Σαλομόν (Jacques Salomon Hadamard)

Γεννήθηκε: 8 Δεκεμβρίου 1865 στις Βερσαλλίες

Πέθανε: 17 Οκτωβρίου 1963 στο Παρίσι

O πατέρας του Jacques Hadamard, ο Amédée Hadamard, παντρεύτηκε την Jeanne Marie Claire Picard στις 6 Ιουνίου του 1864. Ο Amédée Hadamard, ο οποίος ήταν ένας εβραϊκός απόγονος, ήταν ένας δάσκαλος που δίδαξε πολλά θέματα όπως κλασικά, γραμματική, ιστορία και γεωγραφία. Ενώ η μητέρα του Jacques δίδασκε πιάνο κάνοντας ιδιαίτερα μαθήματα στο σπίτι τους. Τη στιγμή που γεννήθηκε ο Jacques ο Amédée δίδασκε στο Lycée Impérial στις Βερσαλλίες, αλλά η οικογένεια μετακόμισε στο Παρίσι όταν ο Ζακ ήταν τριών ετών και ο πατέρας του τότε ανέλαβε θέση στο Lycée Charlemagne. Αυτή ήταν μια όχι και τόσο καλή περίοδο για να μεγαλώνει ένα παιδί στο Παρίσι. Ο γαλλό-πρωσικός πόλεμος που άρχισε στις 19 Ιουλίου 1870 πήγε πολύ άσχημα για τη Γαλλία και στις 19 Σεπτεμβρίου του 1870 οι Πρωσικοί ξεκίνησαν πολιορκία του Παρισιού. Αυτή ήταν μια περίοδο απελπισίας για τους κατοίκους της πόλης που σκότωσαν τα άλογα τους, γάτες και σκύλους για τροφή. Η οικογένεια του Ζακ, όπως και πολλές άλλες, έτρωγε κρέας ελέφαντα για να επιβιώσει. Το Παρίσι παραδόθηκε στις 28 Ιανουαρίου 1871 και η Συνθήκη της Φρανκφούρτης η οποία υπεγράφη στις 10 Μαΐου 1871 ήταν μια ταπείνωση για τη Γαλλία. Από την παράδοση και την υπογραφή της Συνθήκης αυτής προέκυψε ουσιαστικά ένας εμφύλιος πόλεμος στο Παρίσι και το σπίτι του Ζακ κάηκε. Ο πόλεμος δεν ήταν η μόνη αιτία της θλίψη για τον τους Ανταμάρ. Η μικρή αδελφή του Ζακ η Jeanne πέθανε το 1870 πριν από την πολιορκία του Παρισιού και η άλλη αδελφή του η Suzanne που γεννήθηκε το 1871, πέθανε το 1874. O Ζακ ξεκίνησε τη σχολική του φοίτηση στη Lycée Charlemagne όπου δίδαξε και ο πατέρας του. Στα πρώτα του χρόνια στο σχολείο ήταν καλός σε όλα τα μαθήματα εκτός από τα μαθηματικά. Διακρίθηκε ιδιαίτερα στα λατινικά και στα ελληνικά. Έγραψε το 1936: ... στην αριθμητική μέχρι την πέμπτη τάξη, ήμουν τελευταίος ή σχεδόν τελευταίος.

Δεν είναι εξακριβωμένη αυτή η δήλωση του αν και είναι αλήθεια ότι ήταν αδύνατος στην αριθμητική, από την πέμπτη τάξη βρέθηκε να είναι δεύτερος στην τάξη του στη Lycée. Από το 1875 κέρδιζε βραβεία στον Concours Général (γενικές εξετάσεις για αριστούχους) σε πολλά θέματα στον εθνικό διαγωνισμό για τους

14

μαθητές. Βρέθηκε ένας καλός δάσκαλος μαθηματικών που τον έστρεψε προς τα μαθηματικά και την επιστήμη όταν ήταν στην πέμπτη τάξη. Το 1875 ο πατέρας του Jacques που είχε αποκτήσει μια κακή φήμη ως καθηγητής, μεταφέρθηκε στη Lycée Louis-le-Grand και ο Ζακ παρακολούθησε σε αυτό το σχολείο από το 1876. Το 1882 αποφοίτησε από το Bachelier ès es Sciences et Lettres και στη συνέχεια το επόμενο έτος έλαβε το Baccalauréat es Sciences. Του απονεμήθηκε το πρώτο του βραβείο στην άλγεβρα και το πρώτο του βραβείο στον Concours Général στην μηχανική το 1883. Το 1884 ο Ανταμάρ πέρασε τις εισαγωγικές εξετάσεις για την Ecole Polytechnique και την École Normale Superieure. Πήρε την πρώτη θέση και στις δύο εξετάσεις. Διάλεξε την École Normale Superieure όπου σύντομα θα γινόταν φίλος με τους συναδέλφους του φοιτητές μεταξύ των οποίων ήταν οι Duhem και Painlevé. Μεταξύ των καθηγητών του ήταν οι Jules Tannery , Hermite , Darboux , Appell , Goursat και Emile Picard. Ήδη στο στάδιο αυτό είχε αρχίσει να αναλαμβάνει έρευνα, σε πρόβλημα για την εξεύρεση μιας εκτίμησης για τον καθοριστικό παράγοντα που παράγεται από τους συντελεστές των δυναμικών σειρών. Αποφοίτησε από την École Normale Superieure στις 30 Οκτωβρίου 1888. Ενώ έκανε την έρευνα του για την απόκτηση διδακτορικού τίτλου εργαζόταν ως δάσκαλος. Στην αρχή ήταν στο Lycée στο Caen αλλά χωρίς καθήκοντα διδασκαλίας. Από τον Ιούνιο του 1889 δίδαξε στο Lycée Saint-Louis και στη συνέχεια, από το Σεπτέμβριο του 1890 στο Lycée Buffon όπου δίδαξε για τρία χρόνια. Αν και η έρευνα του πήγε πολύ καλά, η διδασκαλία του είχε εκτιμηθεί λιγότερο ίσως γιατί απαιτούσε περισσότερα από τους μαθητές από ότι τους επέτρεπαν οι ικανότητές τους. Μία μεγάλη του επιτυχία ήταν η διδασκαλία του Fréchet. Ο Ανταμάρ πρώτη φορά συμμετείχε στην πολιτική κατά τη διάρκεια που βρισκόταν στο Μπορντό (Bordeaux). Ο Alfred Dreyfus, ένα μέλος της οικογένειας της γυναίκας του Ανταμάρ ήρθε εκείνη την περίοδο από την Αλσατία. Γεννημένος σε μια εβραϊκή οικογένεια, ο Dreyfus ξεκίνησε μια στρατιωτική σταδιοδρομία. Το 1894, όταν ήταν στο υπουργείο Πολέμου κατηγορήθηκε για πώληση στρατιωτικών μυστικών στους Γερμανούς και καταδικάστηκε σε ισόβια κάθειρξη. Αν και η δίκη

του γινόταν πολύ σπάνια, οι αντισημιτικές απόψεις πολλών ανθρώπων έδωσαν λαϊκή ετυμηγορία. Πλαστά έγγραφα και αποκρύψεις στοιχείων σύντομα έδειξαν ότι η νομική διαδικασία ήταν ύποπτη. Στην αρχή ο Ανταμάρ όπως και πολύς κόσμος, πίστευε ότι ο Dreyfus ήταν ένοχος. Ωστόσο, μετά τη μετακίνηση του στο Παρίσι το 1897, άρχισε να ανακαλύπτει πώς στοιχεία εναντίον του Dreyfus είχαν πλαστογραφηθεί. Έγινε ηγετικό μέλος αυτών που προσπαθούσαν να διορθώσουν την αδικία. Ο Painlevé περιγράφει μια συνομιλία που είχε με τον Ανταμάρ επί του θέματος το 1897 :

Alfred Dreyfus

Για σχεδόν μια ώρα, [ο Hadamard] προσπαθούσε να με πείσει για την αθωότητα του Ντρέιφους, και στο τέλος, αντιμετωπίζοντας την δυσπιστία μου, έκανε το καλύτερο δυνατό για να με κάνει να κατανοήσω την πραγματική αξία των επιχειρημάτων του και την παντελή έλλειψη πάθους και αισθήματος … βάσιζε την πίστη του στην αθωότητά του για τα γεγονότα. Το 1898 ο μυθιστοριογράφος Emile Zola έγραψε μια ανοιχτή επιστολή κατηγορώντας τον στρατό που κάλυπτε την εσφαλμένη πεποίθηση του για τον Dreyfus. Η υπόθεση χώρισε την Γαλλία σε δύο αντίθετα στρατόπεδα οδηγώντας σε

15

θέματα πέρα από την ενοχή ή την αθωότητα του Ντρέιφους. Υπήρξαν αιτήματα να έρθει στη δικαιοσύνη ο Zola, αντισημιτικές ταραχές ξέσπασαν ζητώντας μία νέα δίκη

του Dreyfus. Ο Zola καταδικάστηκε ένα χρόνο στη φυλακή και σε πρόστιμο 3.000 φράγκων. Το 1899 έγινε η εξομολόγηση για τα πλαστά, ακολουθούμενη από μία αυτοκτονία. Ο Dreyfus δικάστηκε εκ νέου αλλά και πάλι κρίθηκε ένοχος, του δόθηκε όμως χάρη αυτή τη φορά. Ο Ανταμάρ έλαβε ενεργό μέρος στην αποκατάσταση του ονόματος του Dreyfus που τελικά έγινε στις 22 Ιουλίου 1906, όταν ο Dreyfus επανεντάχθηκε και τιμήθηκε με την τιμή της Λεγεώνας. Ο Laurent Schwartz έγραψε :

Η πρώτη σελίδα της εφημερίδας του Κλεμανσό με το πολυσέλιδο άρθρο του Εμίλ Ζολά «Κατηγορώ…!»

Είναι η υπόθεση του Ντρέιφους που στο όνομα της υπεράσπισης της δικαιοσύνης ήταν η μεγάλη υπόθεση της ζωής του [του Hadamard]. Από τη στιγμή που κατάλαβε το μέγεθος της αδικίας εις βάρος ενός άνδρα στο όνομα της λογικής του κράτους, και τις συνέπειες που ο αντισημιτισμός θα μπορούσε να έχει, αφιέρωσε τον εαυτό του με πάθος για την αναθεώρηση της δίκης. Αυτή η υπόθεση σημάδεψε τη ζωή του. Προσφορά στα μαθηματικά και στη φυσική

Ο Ανταμάρ έλαβε το διδακτορικό δίπλωμα το 1892 με μια διατριβή για τις λειτουργίες που ορίζονται από σειρές Taylor. Αυτή η εργασία σχετικά με τις λειτουργίες μιας σύνθετης μεταβλητής ήταν μία από τις πρώτες για να εξετάσει στη συνέχεια τη γενική θεωρία των αναλυτικών λειτουργιών. Κατά το ίδιο έτος ο Ανταμάρ έλαβε το Grand Prix des Sciences Mathématiques για το σύγγραμμα του «Καθορισμός του αριθμού των PRIMES μικρότερος από ένα συγκεκριμένο αριθμό (Determination of the number of primes less than a given number)». Το θέμα που προτάθηκε για το βραβείο, αφορούσε την πλήρωση των κενών της εργασίας του Riemann για τις λειτουργίες ZETA, και είχε υποβληθεί από τον Hermite μαζί με τον φίλο Stieltjes. Ο Stieltjes είχε καταφέρει το 1885 να αποδείξει την υπόθεση Riemann, αλλά ποτέ δεν είχε δημοσιεύσει την απόδειξη του. Όταν το βραβείο πάνω στο θέμα ανακοινώθηκε το 1890, ο Stieltjes ανακάλυψε ένα κενό στην απόδειξη που δεν ήταν σε θέση να συμπληρώσει. Ποτέ δεν υπέβαλε μια θέση για το βραβείο, αλλά ο Ανταμάρ, στο ενδιάμεσο χρονικό διάστημα μεταξύ της διατριβής του που υπέβαλε και της προφορικής του εξέτασης, συνειδητοποίησε ότι τα αποτελέσματα θα μπορούσαν να εφαρμοστούν στις λειτουργίες ZETA. Στο έγγραφο με όλες τις λειτουργίες και τις λειτουργίες ZETA απονεμήθηκε το πρώτο βραβείο. Το έτος 1892 ήταν σημαντικό για τον Ανταμάρ εκτός από τα ακαδημαϊκά του επιτεύγματα που περιγράφονται ανωτέρω. Τον Ιούνιο του ίδιου έτους παντρεύτηκε την Louise-Anna Trénel η οποία ήταν όπως και ο Ανταμάρ από οικογένεια εβραίων. Ήξεραν ο ένας τον άλλον από παιδική ηλικία και μοιράζονταν την αγάπη τους για την μουσική. Μετακινήθηκαν στο Μπορντό το επόμενο έτος, όταν ο Ανταμάρ διορίστηκε ως λέκτορας στο Πανεπιστήμιο. Το ότι είχε αποτύχει να ανταποκριθεί στις προσδοκίες του ως καθηγητής στο Lycée Buffon, αυτό δεν είχε καμία σχέση με την τωρινή περίοδο οπού όλοι εντυπωσιάστηκαν με τις δεξιότητες του τόσο στην έρευνα

16

όσο και στην διδασκαλία. Την 1η Φεβρουαρίου του 1896 ανέλαβε θέση ως καθηγητής Αστρονομίας και Μηχανικής στο Μπορντό. Τα τέσσερα χρόνια που πέρασε στο Μπορντό δεν ήταν μόνο απασχολημένος με την οικογενειακή του ζωή, με τους δύο γιους Pierre και Étienne που γεννήθηκαν κατά τη διάρκεια αυτού του έτους, αλλά ήταν επίσης εξαιρετικά παραγωγικός πάνω στην έρευνα του. Δημοσίευσε 29 εργασίες κατά τη διάρκεια αυτών των τεσσάρων ετών. Είναι πιο αξιοσημείωτα όμως για το βάθος και το εύρος των θεμάτων που καλύπτουν παρά για τον αριθμό τους. Ίσως το σημαντικότερο αποτέλεσμα που απέδειξε κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου ήταν το θεώρημα περιττού αριθμού που απέδειξε το 1896. Αυτό αναφέρει ότι:

Ο αριθμός των περιττών ≤ n τείνουν στο ∞ όπως το n / ln( n).

Η εικασία αυτού του θεωρήματος υπήρχε τον 18ο αιώνα, δεν είχε όμως αποδειχθεί μέχρι το 1896, όταν ο Ανταμάρ και ανεξάρτητα από αυτόν ο Charles de la Vallée Poussin χρησιμοποίησαν περίπλοκες αναλύσεις. Η απόδειξη του είχε γίνει από τον Riemann το 1851, αλλά τα απαραίτητα εργαλεία δεν είχαν αναπτυχθεί την εποχή εκείνη. Το πρόβλημα αυτό ήταν ένα από τα σημαντικότερα κίνητρα για την ανάπτυξη σύνθετης ανάλυσης από το 1851 ως το 1896, όταν η απόδειξη του Riemann τελικά ολοκληρώθηκε. Η επίλυση αυτού του σημαντικού ανοιχτού προβλήματος από τον Ανταμάρ δεν ήταν η μοναδική αξιοσημείωτη συνεισφορά του το 1896. Το ίδιο έτος δημοσίευσε ένα έγγραφο σχετικά με τις ιδιότητες της δυναμικών τροχιών με το οποίο κέρδισε το βραβείο Bordin της Ακαδημίας των Επιστημών. Τα θέματα που προτάθηκαν για το βραβείο ήταν ένα πάνω σε γεωδαισιακές* γραμμές και η εργασία του Ανταμάρ με μελέτη της τροχιάς σημειακών μαζών σε μία επιφάνεια. Το τελευταίο οδηγούσε σε ορισμένες μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις των οποίων η λύση έδωσε επίσης ιδιότητες στις γεωδαισιακές γραμμές. Το έργο του ήταν μια σημαντική συμβολή τόσο στην γεωμετρία όσο και στην δυναμική. Πολύ πριν από την λήξη της Υπόθεσης Ντρέιφους ο Ανταμάρ, όπως έχει ήδη αναφερθεί, μετακινήθηκε από το Μπορντό στο Παρίσι. Το 1897 παραιτήθηκε από τη θέση του στο Μπορντό για να αναλάβει μικρότερες θέσεις, μία στο Τμήμα Επιστημών της Σορβόννης και μία στο College de France. Λίγο μετά την άφιξή στο Παρίσι τον Οκτώβριο του 1897, δημοσίευσε το πρώτο τόμο του Leçons de Géométrie Elémentaire. Ο τόμος αυτός περιέχοντας δύο διαστάσεων γεωμετρία εμφανίστηκε το 1898, και ακολουθήθηκε από ένα δεύτερο τόμο για τρισδιάστατη γεωμετρία το 1901. Το έργο αυτό είχε ζητηθεί από τον Darboux και έγινε για να προσφέρει σημαντική θετική επιρροή στη διδασκαλία των μαθηματικών της Γαλλίας. Ο Ανταμάρ έλαβε το Βραβείο Poncelet το 1898 για την έρευνά του πάνω στα επιτεύγματα της προηγούμενης δεκαετίας. Η έρευνα του στράφηκε περισσότερο προς την κατεύθυνση της μαθηματικής φυσικής από τη στιγμή που ανέλαβε τις θέσεις του στο Παρίσι, αλλά πάντα υποστήριζε σθεναρά ότι ήταν μαθηματικός και όχι φυσικός. Συγκεκριμένα εργάστηκε με τις μερικές διαφορικές εξισώσεις της μαθηματικής φυσικής παράγοντας αποτελέσματα εξέχουσας σημασίας. Το περίφημο έργο του το 1898 σε γεωδαισιακες γραμμές σε επιφάνειες αρνητικής καμπυλότητας, έθεσε τις βάσεις της Jacques Salomon Hadamard

συμβολικής δυναμικής. Σύμφωνα με την πολύ αργότερα Γενική Θεωρία της Σχετικότητας τα σώματα, τόσο τα υλικά (π.χ. η Γη) όσο και το φως, όταν κινούνται

17

"ελεύθερα" (δηλ. μόνον υπό την επίδραση του Βαρυτικού Πεδίου στο οποίο βρίσκονται) δεν ακολουθούν οποιεσδήποτε καμπύλες τροχιές, αλλά τις γεωδαισιακές διαδρομές του τετραδιάστατου Χωροχρόνου. Ένα παράδειγμα γεωδαισιακής είναι η τροχιά που διαγράφει η σκιά ενός αεροπλάνου που ίπταται επάνω από λόφους. Αν και το αεροπλάνο ακολουθεί ευθεία γραμμή στον επίπεδο (flat) τρισδιάστατο χώρο, η σκιά του ακολουθεί καμπύλη γραμμή στον καμπύλο (curved) δισδιάστατο χώρο του εδάφους. Μεταξύ των θεμάτων που εξέτασε ήσαν οι ελαστικότητα, η γεωμετρική οπτική, η υδροδυναμική και προβλήματα συνοριακών τιμών. Εισήγαγε την έννοια μιας καλά ορισμένης αρχικής τιμής και του προβλήματος των συνοριακών τιμών. Ο Ανταμάρ συνέχισε να λαμβάνει βραβεία για την έρευνά του, ακόμη τιμήθηκε το 1906 με την εκλογή του ως Προέδρου της Γαλλικής Μαθηματικής Εταιρείας. Το 1909 ανέλαβε τη θέση του για την προεδρία της θέσης της μηχανικής στο College de France. Το επόμενο έτος δημοσίευσε το Leçons sur le calcul des variation το οποίο βοήθησε να τεθούν τα θεμέλια της λειτουργικής ανάλυσης (εισήγαγε τον όρο λειτουργική). Στη συνέχεια, το 1912 ανέλαβε τη θέση του ως καθηγητής της ανάλυσης στην Ecole Polytechnique. Ο Poincaré είχε υποστηρίξει σθεναρά τον Ανταμάρ για αυτή την θέση αλλά μέσα σε μερικούς μήνες, πέθανε στην τραγικά μικρή ηλικία των 58 ετών. Ο Ανταμάρ στη συνέχεια ανέλαβε την εξαιρετικά δύσκολη αποστολή της ανάλυσης του έργου του Poincaré και στο τέλος του καλοκαιριού του 1912 είχε παράγει δύο μεγάλα κείμενα. Όπως ο Paul Levy έγραψε: Ο Hadamard ήταν ο ένας που μπορούσε να τολμήσει να αναλάβει να εξηγήσει τη λειτουργία του τεράστιου έργου του Poincaré το οποίο αφορούσε τόσους πολλούς διαφορετικούς τομείς, και να το τελειώσει σε ένα καλοκαίρι.

Κοντά στο τέλος του 1912 ο Ανταμάρ εξελέγη στην Ακαδημία Επιστημών. Έγραψε αργότερα ότι τα πολλά χρόνια της "καθαρής ευτυχίας" η οποία άρχισε από την ημέρα του γάμου του , έφθασαν στο τέλος τους το 1916. Ήταν ο πρώτος παγκόσμιος πόλεμος που οδήγησε σε μια μεγάλη τραγωδία τον Hadamard αφού οι δύο μεγάλοι γιοι σκοτώθηκαν στην μάχη. Και οι δύο σκοτώθηκαν στη Verdun και ο Ανταμάρ έκανε μαθήματα στη Ρώμη όταν ο Pierre σκοτώθηκε. Έφυγε πριν ακόμη λάβει τα νέα και τα οποία δεν έμαθε μέχρι που έφθασε στο Παρίσι, παρά τις προσπάθειες της γυναίκας του Volterra και άλλων για να του πουν τα άσχημα νέα. Ο Étienne σκοτώθηκε κοντά στη Verdun περίπου δύο μήνες αργότερα. O Ανταμάρ ήξερε μόνο ένα τρόπο να διώξει μακριά τον πόνο όλων αυτών των τραγωδιών ώστε να μπορέσει να συνεχίσει και αυτός ήταν με το να ασχοληθεί ακόμα πιο δυναμικά με τα μαθηματικά. Διορίστηκε στη θέση της ανάλυσης στην Ecole Centrale το 1920, αλλά διατήρησε τις θέσεις του στην Ecole Polytechnique και στο Collège de France. Κατά τη διάρκεια των ετών μεταξύ του διορισμού του και του 1933 ταξίδευε και επισκεπτόταν συχνά τις Ηνωμένες Πολιτείες οπού πήγε δύο φορές, επίσης πήγε στην Ισπανία, στην Τσεχοσλοβακία, στην Ιταλία, στην Ελβετία, στη Βραζιλία, στην Αργεντινή, και στην Αίγυπτο. Συνέχισε να συγγράφει βιβλία και έγγραφα της καλύτερης ποιότητας, εκδίδοντας το 1922 ίσως το πιο διάσημο κείμενο Lectures on Cauchy problem in linear partial differential equations . Το βιβλίο βασίζονταν σε μια διάλεξη που είχε δοθεί στο Πανεπιστήμιο Yale στις ΗΠΑ. Επίσης ανέλαβε νέα θέματα, γράφοντας πολλά κείμενα για τη θεωρία πιθανοτήτων, ιδίως σχετικά με τις αλυσίδες Markov (Markov Chains). Επίσης δημοσίευσε πολλά άρθρα για τη μαθηματική εκπαίδευση και την παιδεία γενικότερα.

18

Μεταξύ των πολέμων η πολιτική του Ανταμάρ μετακινήθηκε προς την αριστερά, κυρίως ως απάντηση στην άνοδο των Ναζί στην εξουσία το 1933. Μετά την έναρξη του Β 'Παγκοσμίου Πολέμου όταν η Γαλλία έπεσε το 1940, ο Ανταμάρ και η οικογένειά του διέφυγε προς τις Ηνωμένες Πολιτείες όπου ανέλαβε μία θέση ως επισκέπτης στο Πανεπιστήμιο Κολούμπια.. Ωστόσο, απέτυχε να βρει μια μόνιμη θέση στην Αμερική και το 1944 έλαβε την τρομερή είδηση ότι ο τρίτος γιος του ο Mathieu είχε σκοτωθεί στον πόλεμο. Ο Ανταμάρ εγκατέλειψε τις Ηνωμένες Πολιτείες λίγο μετά και πέρασε ένα χρόνο στην Αγγλία πριν από την επιστροφή του στο Παρίσι το ταχύτερο δυνατό μετά το τέλος του πολέμου. Μετά τον πόλεμο έγινε ένας ενεργός αγωνιστής της ειρήνης και αυτό απαιτούσε την ισχυρή στήριξη των μαθηματικών στις ΗΠΑ για να του επιτραπεί να εισέλθει στη χώρα για το Διεθνές Συνέδριο στο Cambridge στη Μασαχουσέτη το 1950. Έγινε επίτιμος πρόεδρος του Κογκρέσου. Μία ακόμη τραγωδία έμελλε να χτυπήσει τον Ανταμάρ πριν από το θάνατό του. Το 1962 όταν ήταν 96 ετών, ο εγγονός του Étienne σκοτώθηκε σε ορειβατικό ατύχημα. Αυτό φαίνεται ότι σκότωσε τελικά το πνεύμα του Ανταμάρ και δεν εγκατέλειψε το σπίτι του μετά από αυτό, σχεδόν περίμενε τον θάνατο του. Δεν υπάρχει τρόπος που ένα άρθρο με μέγεθος σαν αυτό να μπορεί να αναφέρει όλο το φάσμα της μαθηματικής προσφοράς του Ανταμάρ. Εκτός από περίπου 300 επιστημονικές εργασίες και τα βιβλία, ο Ανταμάρ έγραψε βιβλία για το ευρύτερο κοινό. Το βιβλίο του The psychology of invention in the mathematical field (Η ψυχολογία της εφεύρεσης στον τομέα των μαθηματικών) το 1945 είναι ένα θαυμάσιο έργο σχετικά με τα μαθηματικά. Θα πρέπει επίσης ωστόσο να αναφέρουμε το στυλ διδασκαλίας του Hadamard. Κατά τη διάσκεψη για τον εορτασμό της εκατονταετηρίδας από τη γέννησή του, ένας από τους μαθητές του είπε:

... ένας δάσκαλος ο οποίος ήταν ενεργός, ζωντανός, με συνδυασμένη συλλογιστική ακρίβεια και δυναμισμό. Έτσι η διάλεξη έγινε μάχη και περιπέτεια. Χωρίς να υποφέρει από αυστηρότητα, η σημασία της διαίσθησης μεταφέρθηκε σε εμάς...

Ο Laurent Schwartz μίλησε επίσης σε αυτή την τελετή που πραγματοποιήθηκε για να γιορτάσει την εκατονταετηρίδα από τη γέννηση του Ανταμάρ:

Πιστεύω ότι είχε μια φανταστική επιρροή στην εποχή του, και ότι όλοι οι αναλυτές που ζουν διαμορφώθηκαν από αυτόν, άμεσα ή έμμεσα.

* Γεωδαισιακή γραμμή είναι εκείνη η γραμμή, επάνω στην επιφάνεια που ενώνει δύο σημεία της, που έχει το ελάχιστο δυνατόν μήκος. Το πιο γνωστό παράδειγμα γεωδαισιακής, είναι ένας μέγιστος κύκλος στην επιφάνεια μιας σφαίρας. Γεωδαισιακή καμπύλη είναι η διαδρομή με το ελάχιστο (ή μέγιστο) μήκος ανάμεσα σε δύο γειτονικά σημεία.

19

Βάιλ Αντρέ (André Weil)

Γεννήθηκε: 6 Μαΐου 1906 στο Παρίσι Πέθανε: 6 Αυγούστου 1998 στο Princeton στο

New Jersey στις ΗΠΑ

Ο Βάιλ Αντρέ γεννήθηκε στο Παρίσι, παιδί εβραίων γονιών. Η μητέρα του Σέλμα είχε καταγωγή από μια οικογένεια αυστριακών εβραίων, ο πατέρας του, Bernard Weil ήταν γιατρός. Ο Βάιλ ερωτεύτηκε τα μαθηματικά σε νεαρή ηλικία, και γράφει ότι από την ηλικία των δέκα ήταν παθιασμένα εθισμένος σε αυτά. Υπήρχαν και άλλα πράγματα που είχαν σημασία στη ζωή του εκτός από τα μαθηματικά, όπως η αγάπη του να ταξιδεύει. Μέχρι την ηλικία των δεκαέξι είχε διαβάσει το Bhagavad Gita στην αυθεντική μορφή στα Σανσκριτικά. O Βάιλ σπούδασε στην École Normale στο Παρίσι, και μετά την αποφοίτησή του πέρασε τις καλοκαιρινές του διακοπές κάνοντας πεζοπορία στις γαλλικές Άλπεις, έχοντας πάντα μαζί του το σημειωματάριο του στο οποίο έκανε τους μαθηματικούς του υπολογισμούς. Σε εκείνη την χρονική περίοδο ήταν ιδιαίτερα γοητευμένος για την επίλυση διοφαντικών εξισώσεων. Μετά τις καλοκαιρινές του διακοπές πήγε στη Ρώμη και στη συνέχεια στο Göttingen, όπου παρήγαγε το πρώτο του σημαντικό κομμάτι μαθηματικής έρευνας σχετικά με την θεωρία των αλγεβρικών καμπυλών. Στη συνέχεια ανέλαβε έρευνα για την απόκτηση διδακτορικού τίτλου στο Πανεπιστήμιο του Παρισιού, υπό την επίβλεψη του Hadamard. Ανέπτυξε στη διατριβή του ιδέες σχετικά με τη θεωρία των αλγεβρικών καμπυλών τις οποίες είχε ήδη αρχίσει να μελετάει στο Göttingen. Ωστόσο ο Hadamard ήθελε ο λαμπρός του φοιτητής να φθάσει ακόμη ψηλότερα και να προσπαθήσει να αποδείξει τις εικασίες του Mordell. Ο Βάιλ επέλεξε όμως να μην ακολουθήσει τη συμβουλή του επιβλέποντος του. Έγραψε αργότερα:

Η απόφασή μου ήταν μια και συνετή: να μου πάρει πάνω από μισό αιώνα να αποδείξω τις εικασίες του Mordell.

Έλαβε την D.Sc. από το Παρίσι το 1928. Στη συνέχεια δίδαξε σε διάφορα πανεπιστήμια, για παράδειγμα στο Πανεπιστήμιο Aligarh Muslim στην Ινδία από το 1930 έως το 1932. Είχε συζητήσει πρώτα με τον Syed Μασούντ, τον Υπουργό Παιδείας του Hyderabad, εξασφαλίζοντας ένα ραντεβού με μία θέση στο γαλλικό Πολιτισμό στο Πανεπιστήμιο Aligarh, αλλά, παρά την υπόσχεσή της, έλαβε ένα τηλεγράφημα από τον Syed Μασούντ το οποίο έλεγε:

Αδύνατο να δημιουργηθεί μια προεδρία στον γαλλικό πολιτισμό. Η θέση των μαθηματικών είναι κενή…

20

Επίσης εργάστηκε στο Πανεπιστήμιο του Στρασβούργου στη Γαλλία, από το 1933 μέχρι το ξέσπασμα του Β Παγκοσμίου Πολέμου. Ήταν εδώ που έλαβε μέρος στην περίφημη ομάδα μαθηματικών με το όνομα *Nicolas Bourbaki. Θα δοθούν περισσότερες λεπτομέρειες για τη συνεργασία αυτή στη συνέχεια. Ο πόλεμος ήταν μια καταστροφή για τον Βάιλ που ήταν ένα πνεύμα αντιρρησίας και έτσι θέλησε να αποφύγει τη στρατιωτική θητεία. Κατέφυγε στην Φινλανδία, για να επισκεφθεί τον Rolf Nevanlinna, τη στιγμή που ο πόλεμος είχε κηρυχθεί. Αυτή ήταν μια προσπάθεια να αποφύγει την υποχρέωση του για τον στρατό, αλλά δεν ήταν μία απλή υπόθεση να ξεφύγει κάποιος από τον πόλεμο στην Ευρώπη εκείνη την στιγμή. Ο Βάιλ συνελήφθη στη Φινλανδία και όταν γράμματα στα ρωσικά βρέθηκαν στο δωμάτιό του (που ήταν στην πραγματικότητα από τον Pontryagin και περιείχαν μαθηματική έρευνα) τα πράγματα φαινόταν πολύ άσχημα για εκείνον. Μια μέρα ο Nevanlinna είπε ότι ήταν έτοιμοι να εκτελέσουν τον Βάιλ ως κατάσκοπο, και εκείνος ήταν σε θέση να πείσει τις αρχές να απελάσουν τον Βάιλ αντί να τον εκτελέσουν. Από τη Φινλανδία στάλθηκε πίσω στην Γαλλία, όπου μπήκε στη φυλακή. Ο Βάιλ ήταν ασφαλώς σε μεγάλο κίνδυνο εκείνη την περίοδο και επειδή ήταν Εβραίος και επειδή είχε μία αδελφή την Simone Weil που ήταν ένας μυστικιστικός φιλόσοφος και ηγετική φυσιογνωμία της γαλλικής Αντίστασης. Το παρακάτω είναι ένα απόσπασμα από την επιστολή που έγραψε στη σύζυγό του από την φυλακή της Ρουέν: Το μαθηματικό μου έργο προχωρεί πέρα από κάθε προσδοκία μου, αν και είμαι

ακόμα λίγο ανήσυχος. Αν είναι μόνο στη φυλακή να εργάζονται τόσο καλά, θα πρέπει να φροντίζω να περνώ δύο ή τρεις μήνες κάθε χρόνο κλειδωμένος; Εν τω μεταξύ σκέπτομαι να στείλω γραπτώς μια έκθεση στις αρχές, και να λέει: "Προς το διευθυντή της επιστημονικής έρευνας: Έχοντας πρόσφατα μπει σε θέση να ανακαλύψω μέσα από την προσωπική μου εμπειρία τα σημαντικά πλεονεκτήματα που προσφέρει για την καθαρή και ανιδιοτελή έρευνα από τη διαμονή σε εγκαταστάσεις του σωφρονιστικού συστήματος, παίρνω το θάρρος

του, κ.λπ. κ.λπ. " Όσο για το έργο μου, πάει τόσο καλά ώστε σήμερα έστειλα ένα σημείωμα στον Papa Cartan για τον Comptes-Rendus. Ποτέ δεν έχω γράψει, ίσως και ποτέ δεν είδαμε, μια σημείωση στο Comptes-Rendus στην οποία τόσα πολλά αποτελέσματα είναι συμπιεσμένα σε ένα τόσο μικρό χώρο. Είμαι πολύ ικανοποιημένος με αυτό, και ειδικότερα λόγω του που γράφτηκε (πρέπει να είναι το πρώτο στην ιστορία των μαθηματικών) και επειδή είναι ένας εξαιρετικός τρόπος για να μεταφέρω σε όλους τους μαθηματικούς μου φίλους σε όλο τον κόσμο ότι υπάρχω...και είμαι ενθουσιασμένος από την ομορφιά των θεωρημάτων μου. Οι κίνδυνοι από τη δύσκολη θέση στη φυλακή και τον φόβο του για τη ζωή του έκαναν τον Βάιλ να αποφασίσει ότι το να είσαι στον στρατό είχε περισσότερες πιθανότητες και ήταν σε θέση να ζητήσει με επιτυχία την απελευθέρωσή του, με την προϋπόθεση ότι όντως θα ενταχθεί στο στρατό. Αφού ο στρατός χρησιμοποιήθηκε ως λόγος για να βγει από τη φυλακή, ο Βάιλ δεν είχε πρόθεση να εξυπηρετήσει πλέον αυτό που ενδεχομένως θα μπορούσε. Τη στιγμή που η ευκαιρία να διαφύγει προς τις Ηνωμένες Πολιτείες ήρθε, την άρπαξε αμέσως. Στις Ηνωμένες Πολιτείες πήγε στην Πενσυλβάνια, όπου δίδαξε από το 1941 στο Haverford College και στο Swarthmore College. Το 1945 δέχτηκε μια θέση στο Πανεπιστήμιο του Σάο Πάολο στη Βραζιλία, όπου παρέμεινε μέχρι το 1947. Το 1947

21

επέστρεψε στις Ηνωμένες Πολιτείες οπού διορίστηκε για την σχολή του Πανεπιστημίου του Σικάγο, μια θέση που θα εξακολουθούσε να κατέχει έως το 1958. Από το 1958 εργάστηκε στο Ινστιτούτο Προηγμένων Σπουδών στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον. Συνταξιοδοτήθηκε το 1976, όντας ομότιμος καθηγητής. Προσφορά στα μαθηματικά και στη φυσική

H έρευνα του Βάιλ ήταν στη θεωρία των αριθμών, την αλγεβρική γεωμετρία και τη θεωρία των ομάδων. Από το 1940 ο Weil άρχισε την μελέτη αλγεβρικής γεωμετρίας και θεωρίας αριθμών θέτοντας τα θεμέλια της αφηρημένης αλγεβρικής γεωμετρίας και της σύγχρονης θεωρίας των αβελιανών ομάδων. Το έργο του σχετικά με τις αλγεβρικές καμπύλες επηρέασε ένα ευρύ φάσμα τομέων, συμπεριλαμβανομένων ορισμένων εκτός των μαθηματικών, όπως η φυσική στοιχειωδών σωματιδίων και της θεωρίας χορδών (string theory). Οι θεωρίες χορδών είναι φυσικά μοντέλα στα οποία τα θεμελιώδη δομικά στοιχεία είναι μονοδιάστατα εκτεταμένα αντικείμενα (χορδές), σε αντίθεση με την 'παραδοσιακή' έννοια των σημειακών και αδιάστατων στοιχειωδών σωματιδίων. Οι θεωρίες χορδών αποφεύγουν με αυτό τον τρόπο τα προβλήματα που ανακύπτουν στις φυσικές θεωρίες λόγω της σημειακής φύσης των σωματιδίων. Στη μελέτη των θεωριών χορδών περιλαμβάνονται όχι μόνο μονοδιάστατα αντικείμενα αλλά και αντικείμενα περισσότερων διαστάσεων, σημειακά αντικείμενα, μεμβράνες κ.α. Πρέπει να σημειωθεί, ωστόσο, ότι καμία από τις προτεινόμενες θεωρίες χορδών δεν έχει κάνει προβλέψεις που μπορούν να επαληθευτούν πειραματικά, και επομένως να τις επιβεβαιώσουν. Η έρευνα γύρω από τη θεωρία χορδών αποσκοπεί στην εξαγωγή μιας θεωρίας των πάντων. Είναι προς το παρόν η μόνη αξιόπιστη θεωρία κβαντικής βαρύτητας, η οποία μπορεί εξίσου καλά να περιγράψει και τις ηλεκτρομαγνητικές και τις άλλες θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις. Στην πραγματικότητα το έργο του Βάιλ στον τομέα αυτό ήταν βασικό για την εργασία των μαθηματικών του Yau που του δόθηκε το *μετάλλιο Fields το 1982 για την εργασία του στην τρισδιάστατη αλγεβρική γεωμετρία η οποία έχει σημαντικές εφαρμογές στην κβαντική θεωρία πεδίου. Η κβαντική θεωρία πεδίου χρησιμεύει κυρίως για την περιγραφή αλληλεπιδράσεων μεταξύ σωματιδίων του μικρόκοσμου κατά τις οποίες μεταβάλλεται η φύση ή και το πλήθος των σωματιδίων. Κατά τις αλληλεπιδράσεις αυτές συμβαίνουν μετατροπές ενέργειας σε ύλη και αντιστρόφως (όπως προβλέπει η ειδική θεωρία της σχετικότητας) και επομένως η πρακτικά χρησιμότερη μορφή της θεωρίας αυτής είναι σχετικιστική. Η μεγάλη επιτυχία της κβαντικής θεωρίας πεδίου είναι η ακριβέστατη κβαντική περιγραφή του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου και της αλληλεπίδρασης των ηλεκτρονίων με αυτό. Το μέρος αυτό της κβαντικής θεωρίας πεδίου ονομάζεται κβαντική ηλεκτροδυναμική. Ο Yau δεν είναι ο μόνος μαθηματικός που έλαβε Μετάλλιο Fields για εργασία η οποία ήταν συνέχεια έργου του Βάιλ. Το 1978 ο Deligne απέκτησε τέτοιο μετάλλιο για την επίλυση των εικασιών του Βάιλ. Ένα από τα σημαντικότερα επιτεύγματα του Weil ήταν η απόδειξη της υπόθεσης του Riemann για τις ZETA λειτουργίες. Το 1949 έθεσε ορισμένες εικασίες σχετικά με την μαθηματική ZETA λειτουργία των πεπερασμένων αλγεβρικών

22

ποικιλιών πάνω σε πεδία. Οι εικασίες του Weil, που μετέπειτα ονομάστηκαν έτσι, αναπτύχθηκα από τη βαθιά γνώση της τοπολογίας των αλγεβρικών ποικιλιών και υπήρξαν κατευθυντήριες αρχές για τις μετέπειτα εξελίξεις στον τομέα. Οι εργασίες του Βάιλ συγκεντρώνοντας θεωρία αριθμών και αλγεβρική γεωμετρία ήταν άκρως εποικοδομητικές. Τα θεμέλια πολλών θεμάτων που μελετήθηκαν σε βάθος σήμερα αναφέρονται στο έργο αυτό. Ωστόσο, το έργο του Βάιλ είχε μεγάλη σημασία και σε μια σειρά άλλων νέων μαθηματικών θεμάτων. Συνέβαλε ουσιαστικά στην τοπολογία, στη διαφορική γεωμετρία και στην πολύπλοκη αναλυτική γεωμετρία. Δεν ήταν ακριβώς σε αυτές τις περιοχές που συνέβαλε τόσο, αλλά, ακόμα πιο πολύ, το έργο του που έφερε θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ των τομέων που σπούδασε όπως η αρμονική ανάλυση για οι τοπολογικές ομάδες και χαρακτηριστικές τάξεις. Επίσης έφερε αυτούς τους τομείς κοντά στο έργο του σχετικά με τη γεωμετρική θεωρία της λειτουργίας του θήτα και της γεωμετρίας Kähler. Μαζί με τον Dieudonne και άλλους, ο Βάιλ έγραψε κάτω υπό το όνομα Nicolas Bourbaki, ένα έργο που ξεκίνησε κατά τη δεκαετία του 1930 με την οποία επιχείρησε να δώσει μια ενιαία περιγραφή των μαθηματικών. Ο σκοπός ήταν να αναστρέψει την τάση που δεν του άρεσε και τόσο, δηλαδή η έλλειψη αυστηρότητας στα μαθηματικά. Η επιρροή του Bourbaki ήταν μεγάλη για πολλά χρόνια, αλλά τώρα είναι λιγότερο σημαντική. Τα πιο διάσημα βιβλία του Βάιλ περιλαμβάνουν το Foundations of Algebraic Geometry (1946) και το Elliptic Functions σύμφωνα με τον Eisenstein και τον Kronecker (1976). Ο Βάιλ έλαβε πολλές διακρίσεις για τα εξαιρετικά μαθηματικά του. Μεταξύ αυτών έλαβε την τιμητική ιδιότητα να είναι μέλος της Μαθηματικής Εταιρείας του Λονδίνου το 1959 και επίσης εκλεχθεί για υποτροφία στη Royal Society (βασιλική εταιρεία) του Λονδίνου το 1966. Επιπλέον εκλέχθηκε στην Ακαδημία των Επιστημών στο Παρίσι και στην Εθνική Ακαδημία Επιστημών των Ηνωμένων Πολιτειών. Ο Βάιλ ήταν προσκεκλημένος ομιλητής στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών στο Χάρβαρντ το 1950 και πάλι στο ακόλουθες Διεθνές Συνέδριο το 1954. Το 1979 του απονεμήθηκε το βραβείο Wolf και το επόμενο έτος η αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία του απένειμε το βραβείο Steele. Το 1994 έλαβε το βραβείο του Κιότο από το ίδρυμα Inamori της Ιαπωνίας. Το σημείο αναφοράς για το βραβείο του Κιότο έχει ως εξής: Τα αποτελέσματα που επιτυγχάνονται και τα προβλήματα που απαλείφθηκαν από τον Βάιλ με τη βαθιά κατανόηση και την διαυγή του εικόνα πάνω στις γενικές μαθηματικές επιστήμες θα συνεχίσουν να έχουν τεράστια επίδραση στην ανάπτυξη των μαθηματικών επιστημών, και να συμβάλουν τα μέγιστα στην ανάπτυξη της επιστήμης, καθώς και στην εμβάθυνση και ενθάρρυνση του ανθρώπινου πνεύματος.

Τον Andre Weil θα τον θυμόμαστε για το θεμελιώδες έργο πάνω στα σύνορα των μαθηματικών, αλλά και για την ιδιαίτερη εικόνα του ως δύστροπος χαρακτήρας, με την ψυχρή αίσθηση του χιούμορ. Η μόνη τιμή που αναφέρεται στο επίσημο βιογραφικό του είναι "member of Poldavian Academy of Science and Letters".

23

* Nicolas Bourbaki Bourbaki είναι μια ομάδα (κυρίως) από Γάλλους μαθηματικούς που ιδρύθηκε το 1935 για να επιβλέπει την εγκυρότητα όλων των μαθηματικών. Το «Nicolas Bourbaki» δεν ήταν παρά το ψευδώνυμο μιας τυπικά τουλάχιστον μυστικής – ουδέποτε ανακοινώθηκαν επίσημα τα μέλη – ομάδας μαθηματικών, που από τη δεκαετία του ’30 και μετά δημιουργούσε συλλογικά το σπουδαίο έργο της. Σχεδόν όλα τα μέλη – ο ίδιος ο Eilenberg ήταν από τις ελάχιστες εξαιρέσεις – ήταν Γάλλοι, κι από τη «φυλή», όπως αυτο-αποκαλούνταν η ομάδα εσωτερικά, πέρασε τον επόμενο μισό αιώνα η αφρόκρεμα των γάλλων μαθηματικών, ανάμεσά τους οι μέγιστοι, André Weil και Alexandre Grothendieck. Μα ο αριθμός δεν ξεπέρασε ποτέ τους δεκαπέντε. ακριβής λόγος που επελέγει το «Bourbaki» ως όνομα δεν είναι γνωστός. Σίγουρα όμως ξεκινά από φάρσες στην École Normale, όπου συναντήθηκαν οι ιδρυτές ως φοιτητές, και συγκεκριμένα από το συνήθειο οι τελειόφοιτοι να ξεγελούν τους πρωτοετείς με διαλέξεις γεμάτες επιστημονικοφανείς ασυναρτησίες. Σε κάποια από αυτές, φαίνεται, είχε αναφερθεί και το τάχα «φημισμένο Θεώρημα» του ανύπαρκτου «Καθηγητού Bourbaki» – και έτσι έμεινε!

*μετάλλιο Fields Το βραβείο Φιλντς στα Μαθηματικά αποτελεί την ανώτατη διάκριση σ' αυτό τον Επιστημονικό Τομέα, (το Νobel των Μαθηματικών όπως συνήθως λέγεται).Το βραβείο Φιλντς απονέμεται κάθε τέσσερα χρόνια από το Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών, σε μαθηματικούς ηλικίας μέχρι 40 ετών των οποίων η συνεισφορά στην προώθηση της Μαθηματικής Έρευνας και Επιστήμης κρίνεται ως ιδιαίτερα, ή μάλλον εξαιρετικά σημαντική: Για πρώτη φορά απονεμήθηκε το 1936 στους Lars Ahlfors (Νορβηγός) και Jesse Douglas (Αμερικανός). Μεταξύ της 5μελούς, τότε, επιτροπής που απένειμε τα βραβεία ήταν και ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρής.

24

Βερνιέ Πιέρ (Pierre Vernier)

Γεννήθηκε: 19 Αυγούστου 1584 στο Ornans, (νυν Γαλλία)

Πέθανε: 14 Σεπτεμβρίου 1638 στο Ornans, (νυν Γαλλία)

O Βερνιέ Πιέρ (1580-1637) γεννήθηκε 19 Αυγ. στην πόλη Ornans της Γαλλίας, ήταν ένας Γάλλος μαθηματικός και εφευρέτης. Ήταν εφευρέτης και διάσημος για την κλίμακα βερνιέρου, κλίμακας μέτρησης που χρησιμοποιείται σε συσκευές μέτρησης. Την επιστήμη την διδάχθηκε από τον πατέρα του. Αργότερα έγινε καπετάνιος. Διετέλεσε επίσης σύμβουλος και αργότερα γενικός διευθυντής των χρημάτων στην Κομητεία της Βουργουνδίας. Εργάστηκε για μεγάλο μέρος του χρόνου ως μηχανικός, που ασχολείται με τις οχυρώσεις των διαφόρων πόλεων. Το 1623 του δόθηκε ο τίτλος του πολίτη από την πόλη Besançon της Γαλλίας για την εργασία του σχετικά με την άμυνα της πόλης. Όπως και πολλοί άλλοι μαθηματικοί και επιστήμονες της περιόδου αυτής ασχολήθηκε με τη χαρτογράφηση και για την τοπογραφία. Είχε συνεργαστεί με τον πατέρα του στο να κάνει ένα χάρτη της περιοχής Φρανς-Κοντέ. Το ενδιαφέρον του για την τοπογράφηση τον οδήγησε στην εφεύρεση για την οποία τον θυμούνται. Στις Βρυξέλλες, το 1631 δημοσίευσε την πραγματεία του "La construction, l'usage, et les propriétés du quadrant nouveau de mathematiques". Στην οποία περιέγραφε την ευρηματική συσκευή που τώρα φέρει το όνομά του, την κλίμακα βερνιέρου. Ο Christopher Clavius είχε αναφερθεί νωρίτερα στην ιδέα, αλλά δεν είχε προτείνει να δώσει σε μόνιμη βάση την κλίμακα του οργάνου πάνω σε αυτό. Τώρα η λέξη βερνιέρος χρησιμοποιείται για την μικρή κινούμενη κλίμακα σε όργανα όπως ο εξάντας, το βαρόμετρο και ο διαβήτης. Ο διαβήτης είναι μια συσκευή που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της απόστασης μεταξύ δύο συμμετρικά πλευρών. Παρακάτω παραθέτω μερικούς τύπους διαβήτη που χρησιμοποιούνται σήμερα ευρέως για διαφορετικούς σκοπούς.

Εσωτερικός διαβήτης Εξωτερικός διαβήτης Διαμοιραστής διαβήτης

Οι οποίοι χρησιμεύουν για διαφορετικούς σκοπούς. Το διαστημόμετρο (βερνιέρος) ανακαλύφθηκε το 1631 και χρησιμοποιείται για τη μέτρηση μικρών μηκών.

25

Αποτελείται από δύο κλίμακες: μία σταθερή (η οποία ονομάζεται κύρια κλίμακα) και μία κινητή (η οποία ονομάζεται κλίμακα βερνιέρου). Η κύρια κλίμακα είναι υποδιαιρεμένη σε χιλιοστά (mm) κι εκατοστά (cm). Το όνομα κλίμακα βερνιέρου εφαρμόζεται στη μικρή κινούμενη κλίμακα. Ο Jérôme Lalande απέδωσε αυτό το όνομα στο όργανο και έδειξε ότι το προηγούμενο όνομα nonius που της είχε αποδοθεί στην αρχή ανήκε πιο σωστά σε ένα διαφορετικό τέχνασμα μέτρησης. Το όνομα nonius συνεχίστηκε να εφαρμόζεται για την κλίμακα βερνιέρου μέχρι τις αρχές του 19ου αιώνα. Η κλίμακα βερνιέρου είναι μια επιπλέον κλίμακα η οποία επιτρέπει την μέτρηση απόστασης ή γωνίας με περισσότερη ακρίβεια από ότι άμεσα με την ανάγνωση μιας κλίμακας μέτρησης Κλίμακα Βερνιέρου και αναπαράσταση της

Προσφορά στη φυσική

Σήμερα ο βερνιέρος χρησιμοποιείται ευρέως. Για μετρήσεις μικρών μηκών, μέχρι 25cm, στις οποίες απαιτείται ακρίβεια περίπου 0,1mm, χρησιμοποιούμε το διαστημόμετρο. Το διαστημόμετρο αποτελείται από ένα κανόνα υποδιαιρεμένο σε mm. Το κινητό τμήμα έχει 10 γραμμές Διαστημόμετρο και η κλίμακα του

που αποτελούν την κλίμακα του βερνιέρου. Ο βερνιέρος είναι υποκλίμακα της κύριας κλίμακας του διαστημομέτρου. Οι γραμμές του βερνιέρου έχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με 0,9mm. Για να μετρήσουμε ένα σώμα με το διαστημόμετρο, τοποθετούμε το σώμα μεταξύ των σαγονιών του οργάνου και μετακινούμε την κλίμακα βερνιέρου, ώστε τα δύο σαγόνια μόλις να εφάπτονται στις δύο πλευρές του σώματος. Για να διαβάσουμε τη μέτρηση, βρίσκουμε τις ακέραιες υποδιαιρέσεις που καλύπτει το σώμα και στη συνέχεια βρίσκουμε την πρώτη χαραγή του βερνιέρου που συμπίπτει με κάποια χαραγή της κύριας κλίμακας. Το ζητούμενο μήκος θα είναι μεγαλύτερο της τελευταίας υποδιαίρεσης κατά τον αριθμό των χαραγών του βερνιέρου επί το βήμα του. Για να αποφύγουμε τα λάθη, πρέπει τα προς μέτρηση κομμάτια να τοποθετούνται όσο γίνεται καλύτερα ανάμεσα στα σκέλη μέτρησης. Δεν πρέπει να γίνεται χρήση Διαστημόμετρο στα άκρα των προς μέτρηση πλευρών ενός κομματιού. Επίσης Τα διαστημόμετρα βάθους χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση του βάθους οπών, αυλακιών κ.ά. και είναι κατασκευασμένα όπως τα διαστημόμετρα γενικής χρήσης

26

Αναλογικό διαστημόμετρο ψηφιακό διαστημόμετρο

Μία γνωστή εφαρμογή της κλίμακας βερνιέρου η οποία χρησιμοποιείται ευρέως είναι στα μικρόμετρα (micrometer, ΜΙC). Το μικρόμετρο είναι μια συσκευή που χρησιμοποιείται ευρέως στη μηχανολογία και επεξεργασία για την ακρίβεια των εκάστοτε μετρήσεων. Τα μικρόμετρα είναι συνήθως αλλά όχι πάντα με μορφή διαβήτη, λειτουργεί όπως το διαστημόμετρο με τη διαφορά ότι είναι μεγαλύτερης ακρίβειας και ο βερνιέρος του είναι περιστρεφόμενος. Για να μετρήσουμε ένα σώμα π.χ. το πάχος μιας βίδας, τη φέρνουμε μεταξύ των δύο σιαγόνων και μετράμε με ίδια μέθοδο όπως στο διαστημόμετρο. Διάφορα μικρόμετρα

Παρατηρούμε ότι η προσφορά του Βερνιέρου τόσο στην επιστημονική κοινότητα όσο και στον κόσμο είναι πολύ μεγάλη. Η κλίμακα βερνιέρου έχει προσαρμοστεί σε πάρα πολλά όργανα μέτρησης όπως αυτά που προαναφέραμε τα οποία εφαρμόζονται σε πολλούς τομείς όπως η μεταλλουργία, μηχανολογία, πειραματικούς σκοπούς και διάφορες μετρήσεις, επεξεργασίας ξύλου και πολλούς άλλους. Ένας μηχανικός χρησιμοποιεί εργαλειομηχανές να τροποποιήσει τμήματα, κυρίως μεταλλικά μέρη. Αυτό επιτυγχάνεται με τη χρήση εργαλείων για την κοπή περίσσεια υλικού. Εκτός από μέταλλο, τα τμήματα μπορούν να είναι κατασκευασμένα από πολλά άλλα είδη υλικών όπως πλαστικό ή προϊόντα ξύλου. Ο στόχος αυτών των ενεργειών είναι η κοπή σύμφωνα με ένα σύνολο προδιαγραφών, η ακρίβεια αυτή επιτυγχάνεται με χρήση οργάνων που στηρίζονται στην αρχή βερνιέρου όπως τα διαστημόμετρα, παχύμετρα και τα μικρόμετρα που αναφέραμε πιο πάνω. Διαδεδομένος είναι ο ρόλος της κλίμακας βερνιέρου στον εξάντα που είναι ένα μέσο που χρησιμοποιείται γενικά για τη μέτρηση του ύψους των ουράνιων αντικείμενων πάνω στον ορίζοντα. Επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση της γωνίας μεταξύ δύο αντικειμένων εξάντας όπως μεταξύ δύο φάρων στην ναυτιλία. Επίσης μεγάλη χρήση έχει στην οδήγηση σκάφους (πλοίου, αεροπλάνου) και πιο πολύ στην ναυτιλία. Ελέγχεται δηλαδή η κίνηση του σκάφους από το ένα μέρος στο άλλο με βάση γνωστές τοποθεσίες.

27

Επίσης υπάρχουν και άλλα πιο ανεπτυγμένα όργανα όπως είναι ο θεοδόλιχος. Μια σύγχρονη μορφή θεοδόλιχου αποτελείται από ένα κινητό τηλεσκόπιο τοποθετημένο μέσα σε δύο κάθετους άξονες. Είναι Γωνιομετρικό, οπτικό όργανο και χρησιμοποιείται στην Αστρονομία, τη Γεωδεσία και την τοπογραφία, για τη μέτρηση γωνιών με πολύ μεγάλη ακρίβεια. Όλα τα μέρη του είναι μεταλλικά και αποτελείται βασικά από δυο δίσκους, τις ειδικές βελόνες για ακριβείς ενδείξεις και μια αστρονομική διόπτρα. Όταν το τηλεσκόπιο έχει σημαδέψει σε ένα επιθυμητό αντικείμενο, η γωνία του καθενός από αυτούς τους άξονες μπορεί να μετρηθεί με μεγάλη ακρίβεια. Στην Αστρονομία ο θεοδόλιχος χρησιμεύει για τη μέτρηση της ζενιθιακής απόστασης, επομένως και του ύψους ενός αστέρα ή ενός σημείου της ουράνιας σφαίρας, για τον ακριβή ορισμό του μεσημβρινού επιπέδου ενός τόπου καθώς και για τη μελέτη των νόμων της φαινόμενης ημερήσιας κίνησης της ουράνιας σφαίρας. Για να μετρήσουμε τη ζενιθιακή απόσταση ενός άστρου σημειώνουμε στον κατακόρυφο δίσκο τη θέση της βελόνας όταν ο άξονας της διόπτρας είναι κατακόρυφος και ο αντικειμενικός φακός της βλέπει το Ζενίθ. Ύστερα γυρίζουμε τον κατακόρυφο δίσκο και τη διόπτρα μέχρι να σχηματιστεί στο σταυρόνημά της το είδωλο του αστέρα. Η γωνία μεταξύ αρχικής και τελικής θέσης της βελόνας μετρά τη ζενιθιακή απόσταση του αστέρα τη στιγμή εκείνη. Υπάρχουν διάφοροι τύποι θεοδόλιχου με μικρές παραλλαγές και συμπληρωματικά όργανα (όπως κι άλλη διόπτρα κ.ά.). Θεοδόλιχος Τέλος χρησιμοποιείται πάρα πολύ από τους τοπογράφους οι οποίοι προσδιορίζουν με ακρίβεια τον τρισδιάστατο χώρο και σημεία του, τις αποστάσεις και τις γωνίες μεταξύ τους. Τα σημεία αυτά συνήθως συνδέονται με θέσεις στην επιφάνεια της Γης και χρησιμοποιούνται για να δημιουργηθούν χάρτες της γης και των ορίων ή κυβερνητικούς σκοπούς. Για να επιτευχθεί ο στόχος τους χρησιμοποιούν στοιχεία της γεωμετρίας, της μηχανικής, τριγωνομετρία, μαθηματικά και φυσική. Οι χαρτογράφοι τοπογράφοι, γεωμέτρες και γεωδαίτες εφαρμόζουν ερευνητικές μεθόδους και τεχνικές για να προσδιορίσουν την ακριβή θέση των φυσικών και κατασκευαστικών χαρακτηριστικών, των ορίων της ξηράς, της θάλασσας, του υπεδάφους και των επουράνιων σωμάτων και παράγουν ή επικαιροποιούν γραφικές, ψηφιακές και εικονογραφικές παραστάσεις. Τοπογράφος

28

Βεσιό Ερνέστιος (Ernest Vessiot)Γεννήθηκε: 8 Μαρτίου 1865 στη ΜασσαλίαΠέθανε: 17 Οκτωβρίου 1952 στη Bauche της

Savoie

Ο πατέρας του Ernest Vessiot ήταν δάσκαλος σε σχολείο, αργότερα διορίστηκε ως γενικός επιθεωρητής σχολείων πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. Ο Βεσιό συνεπώς είχε ακαδημαϊκό υπόβαθρο στην οικογένεια του. Φοίτησε στο λύκειο στη Μασσαλία και στη συνέχεια έδωσε εξετάσεις για την είσοδο του στην École Normale Supérieure στο Παρίσι. Κατά τις εισαγωγικές εξετάσεις του ο Βεσιό πήρε τη δεύτερη θέση μετά τον Hadamard και στη συνέχεια σπούδασε στην ίδια τάξη με τον Hadamard. Μετά την αποφοίτησή του από την Ecole Normale Superieure, ο Βεσιό δέχθηκε μια θέση ως εκπαιδευτικός στη Λυών το 1887. Το 1892 υπέβαλε την διδακτορική διατριβή του για τις συνεχής ομάδες γραμμικών μετασχηματισμών (ομάδες Lie), ιδίως τη μελέτη της δράσης αυτών των ομάδων για τις ανεξάρτητες λύσεις μιας διαφορικής εξίσωσης. Μετά την απονομή του διδακτορικού του ο Βεσιό δίδαξε σε αρκετές περιοχές όπως Λιλ, Τουλούζη, Λυών και τελικά στο Παρίσι το 1910 οπού δίδαξε αναλυτική μηχανική και ουράνια μηχανική δηλαδή με τη διατύπωση θεωριών των κινήσεων διάφορων ουράνιων σωμάτων. Διορίστηκε στη διάσημη θέση του διευθυντή της École Normale Supérieure στο Παρίσι και συνέχισε να κατέχει τη θέση αυτή μέχρι την αποχώρησή του το 1935. Ως διευθυντής επέβλεψε και την κατασκευή των νέων εργαστηρίων φυσικής καθώς επίσης και την κατασκευή νέων κτιρίων χημείας και γεωλογίας στην École Normale Supérieure. Προσφορά στα μαθηματικά και στη φυσική

Όπως προαναφέραμε χρησιμοποίησε ομάδες Lie πάνω σε ανεξάρτητες λύσεις διαφορικών εξισώσεων. Οι ομάδες Lie είναι ομάδες συμμετρίας που έχουν επιπρόσθετα και μια απλή σχετικά γεωμετρική δομή. Ανήκουν στην τομή δύο θεμελιωδών πεδίων των μαθηματικών, της άλγεβρας και της γεωμετρίας. Μια ομάδα  Lie είναι πρώτα απ' όλα μια ομάδα. Ύστερα είναι επίσης και μια λεία πολλαπλότητα πράγμα που σημαίνει ένα συγκεκριμένο είδος γεωμετρικού αντικειμένου. Ο κύκλος και η σφαίρα είναι παραδείγματα λείων πολλαπλοτήτων. Τελικά, η αλγεβρική δομή και η γεωμετρική δομή για μια ομάδα Lie πρέπει να είναι συμβατές κατά έναν ακριβή

29

τρόπο. Κάπως απλουστευμένα, μια ομάδα Lie είναι μια ομάδα συμμετριών όπου οι συμμετρίες είναι συνεχείς. Ένας κύκλος έχει μια συνεχή ομάδα συμμετριών. Αν στραφεί ένας κύκλος κατά αυθαίρετη στοιχειώδη γωνία μένει πάντα αναλλοίωτος. Ένα εξάγωνο αντίθετα, αν στραφεί κατά αυθαίρετη μικρή γωνία θα δώσει ένα διαφορετικό εξάγωνο. Μόνο περιστροφές του εξαγώνου κατά το 1/6 μιας πλήρους περιστροφής και ακέραιων πολλαπλασίων αυτής της γωνίας, αφήνουν το εξάγωνο αναλλοίωτο. Οι ομάδες Lie είναι πολύτιμες στα μαθηματικά και άλλους τομείς της επιστήμης. Με κάθε σύστημα που έχει συνεχή ομάδα συμμετριών σχετίζεται και μια ομάδα Lie. Κάτω από κάθε αντικείμενο με συνεχή συμμετρία, όπως είναι π.χ. η σφαίρα, βρίσκεται μια ομάδα  συμμετρίας Ο Βεσιό εφάρμοζε συνεχείς ομάδες γραμμικών μετασχηματισμών για τη μελέτη διαφορικών εξισώσεων. Επέκτεινε αποτελέσματα του Drach (1902) και του Cartan (1907) και επίσης προχώρησε τα ολοκληρώματα του Fredholm σε μερικές διαφορικές εξισώσεις. Όπως αναφέραμε και παραπάνω η έρευνα του Βεσιό εστιάστηκε στην γεωμετρία και στις ομαδοποιημένες θεωρητικές μεθόδους των διαφορικών εξισώσεων. Η προσφορά του στις διαφορικές εξισώσεις είναι αδιαμφισβήτητη καθώς πρόσφερε με τη σειρά του το δικό του λιθαράκι στις διαφορικές εξισώσεις που παίζουν προεξάρχοντα ρόλο στη Φυσική. Οι διαφορικές εξισώσεις ανακύπτουν σε πολλές περιοχές της επιστήμης και τεχνολογίας. Ανακύπτουν κάθε φορά που η σχέση μεταξύ συνεχώς μεταβαλλόμενων ποσοτήτων (που περιγράφονται από συναρτήσεις) και του ρυθμού μεταβολής τους (παράγωγοι των συναρτήσεων) είναι γνωστή. Ή όταν μια τέτοια σχέση μπορεί να υποτεθεί προκειμένου να μοντελοποιήσουμε και να περιγράψουμε φυσικά φαινόμενα, τεχνικές ή φυσικές διεργασίες, δυναμικά συστήματα στη βιολογία, στην οικονομία και αλλού. Του ανατέθηκαν έρευνες πάνω στην βαλλιστική κατά τη διάρκεια του Α Παγκοσμίου Πολέμου και έκανε σημαντικές ανακαλύψεις στον τομέα αυτό. Τιμήθηκε με την εκλογή του για την Ακαδημία Επιστημών (Académie des Sciences) το 1943.

30

Γκαλουά Εβαρίστ (Evariste Galois)Γεννήθηκε: 25 Οκτωβρίου 1811 στην Bourg La

Reine (κοντά στο Παρίσι) Πέθανε: 31 Μαΐου 1832 στο Παρίσι

Γύρω στα 1830, στο περιβάλλον του Παρισιού με την έντονη μαθηματική δραστηριότητα, αναπτύχθηκε μια μεγαλοφυΐα πρώτου μεγέθους, που σαν κομήτης εξαφανίστηκε τόσο ξαφνικά, έτσι όπως είχε εμφανιστεί. Στη σύντομη και πολυτάραχη ζωή του ο Εβαρίστ Γκαλουά (Evariste Galois), πρόλαβε να αλλάξει την όψη της σύγχρονης άλγεβρας και να δώσει απαντήσεις σε προβλήματα που απασχολούσαν τα μαθηματικά για περισσότερα από 3.000 χρόνια (Βαβυλώνιους, αρχαίους Έλληνες και Άραβες). Βρέθηκε όμως επανειλημμένως στη δίνη πολιτικών αντιπαραθέσεων που όχι μόνο τον απομάκρυναν από ακαδημαϊκή καριέρα, αλλά τον οδήγησαν τελικά στο θάνατο. Ο Γκαλουά γεννήθηκε στις 25 Οκτωβρίου 1811 στη μικρή πόλη Bourg la Reine που βρίσκεται μερικά χιλιόμετρα νότια του Παρισιού. Ο πατέρας του ήταν ευχάριστος και πνευματώδης άνθρωπος και ήταν παθιασμένος εχθρός της μοναρχίας. Διατηρούσε οικοτροφείο νέων και το 1815, όταν ο μικρός Εβαρίστ ήταν 4 χρονών, εκλέχθηκε δήμαρχος της Bourg la Reine. Η μητέρα του προερχόταν από οικογένεια που είχε, επί πολλές γενιές, παράδοση διακεκριμένων δικαστικών. Κόρη ειρηνοδίκη είχε λάβει κλασική και θρησκευτική παιδεία, ενώ λάτρευε τον αρχαίο πολιτισμό. Αυτή την παιδεία μετέδωσε στον γιο της, που πολύ νωρίς τον διέκρινε ένα βαθύ αίσθημα δικαιοσύνης και ένα πάθος για την δημοκρατία. Το 1823 σε ηλικία 12 χρονών ο Γκαλουά μπήκε 4ος στο γυμνάσιο Louis le Grand στο Παρίσι. Στην αρχή η επίδοση του ήταν ικανοποιητική, αλλά λίγους μήνες μετά συνέβη κάτι που θα επηρέαζε την υπόλοιπη ζωή του. Η Γαλλία του 1823 αναπολούσε την επανάσταση. Ήταν μια εποχή συνωμοσιών, εξεγέρσεων και φημών για επικείμενη επανάσταση. Υπήρχε ένας αδιάκοπος αγώνας μοναρχικών και δημοκρατικών σχετικά με την ισορροπία των εξουσιών. Όλο αυτό το κλίμα μεταφερόταν και στο πρώην Ιησουΐτικο σχολείο του Γκαλουά. Με τη φήμη ότι το σχολείο θα επιστρεφόταν στη δικαιοδοσία ιερέων, των οποίων η αυξανόμενη επιρροή αποτελούσε ένδειξη μετατόπισης προς το βασιλιά, μία ημέρα, μερικοί από τους μαθητές των μεγαλύτερων τάξεων αρνήθηκαν να ψάλλουν στο παρεκκλήσι. Την επόμενη ο γυμνασιάρχης, που η συμπεριφορά του θύμιζε περισσότερο δεσμοφύλακα, δε δίστασε να αποβάλει 10 από τους υποκινητές της «εξέγερσης». Όταν το ίδιο απόγευμα οι μαθητές αρνήθηκαν να πιουν, σε πρόποση στην υγεία του Λουδοβίκου του 18ου, άλλοι 100 αποβλήθηκαν. Η εμπειρία της ταπεινωτικής ήττας των

31

συμμαθητών του, αναζωπύρωσε τις δημοκρατικές πεποιθήσεις του Γκαλουά, αλλά παράλληλα τον έκανε να χάσει κάθε ενδιαφέρον που είχε για τα μαθήματα που μέχρι τότε παρακολουθούσε. Τη 2η χρονιά η απόδοση του συνεχώς μειωνόταν με αποτέλεσμα να μείνει στην ίδια τάξη. Έτσι αναγκάστηκε να παρακολουθήσει τάξη προπαρασκευαστικών μαθημάτων, μεταξύ των οποίων ήταν και τα μαθηματικά που μέχρι τότε δεν είχε διδαχθεί ποτέ. Ήταν μια αποκάλυψη για τον δεκατριάχρονο Γκαλουά. Πολύ γρήγορα κατάλαβε τη μεγαλοφυΐα του και τα σχολικά συγγράμματα έγιναν τετριμμένα για αυτόν. Χειρόγραφο του με θέμα τη γεωμετρία Έτσι άρχιζε να διαβάζει έργα αυθεντιών, όπως η γεωμετρία του Legendre, αλλά και άλγεβρα των Lagrange και Abel. Η ανωτερότητα που αισθανόταν πλέον, τον έκανε αλαζόνα και ο εύθυμος χαρακτήρας του άλλαξε. Έγινε ιδιόρρυθμος και κλείστηκε στον εαυτό του. Η εργασία του στα Μαθηματικά του σχολείου ήταν μέτρια. Τα κανονικά μαθήματα ήταν ανιαρά για την μεγαλοφυΐα του και δεν ήταν καθόλου αναγκαία για την κατανόηση των πραγματικών μαθηματικών. Το ξεχωριστό δώρο του Γκαλουά, να έχει την ικανότητα να εκτελεί τις πιο δύσκολες πράξεις και συλλογισμούς σχεδόν εξ’ ολοκλήρου μέσα στο μυαλό του, δεν τον βοήθησε ούτε με τους δασκάλους, ούτε με τους εξεταστές του. Έτσι οι δάσκαλοι του τον έκριναν λέγοντας ότι:

...υπάρχει κάτι περίεργο μ’ αυτόν...δεν είναι κακός, απλά επινοητικός και ιδιόρρυθμος...

Μερικοί καθηγητές παραδέχονταν το ότι ήταν καλός στα Μαθηματικά τονίζοντας όμως ότι «τον έχει κυριεύσει η μανία των Μαθηματικών», αλλά μερικοί αρκούνταν σε έναν σαρκασμό

...η εξυπνάδα του είναι προς το παρόν ένας μύθος στον οποίο δεν μπορούμε να δώσουμε πίστη...

ή ακόμη χειρότερα τον κατηγορούσαν ότι «παριστάνει τον φιλόδοξο και τον πρωτότυπο». Το 1829 δημοσίευσε την πρώτη του εργασία με τίτλο «Απόδειξη ενός θεωρήματος στα συνεχή κλάσματα», του οποίου η συμβολή ήταν αμελητέα σε σχέση με τις μετέπειτα ανακαλύψεις του. Ο δάσκαλός του Richard αναγνώρισε το ταλέντο του στα μαθηματικά και εισηγήθηκε να γίνει δεκτός χωρίς εξετάσεις στην Ecole Polytechnique, που ήταν η πιο φημισμένη πανεπιστημιακή σχολή της Γαλλίας και εργάζονταν σ’ αυτήν οι διασημότεροι επιστήμονες της εποχής, χωρίς όμως επιτυχία. Τον ίδιο χρόνο πραγματοποιεί σπουδαίες ανακαλύψεις στη θεωρία εξισώσεων, γράφοντας μια εργασία. Αυτή την εργασία ανέλαβε να την παρουσιάσει στην Ακαδημία Επιστημών ο Cauchy, ο μεγαλύτερος τότε, Γάλλος μαθηματικός. Μόνο οι

32

Euler και Cayley μπορούν να αντιπαραβάλλουν το συγγραφικό τους έργο σε αυτό του Cauchy. Λίγες μέρες πριν την παρουσίαση της εργασίας όμως, ο Cauchy αρρώστησε και έτσι δεν μπόρεσε να παραβρεθεί στην Ακαδημία χάνοντας επιπλέον και το χειρόγραφο. Νέες ατυχίες και απογοητεύσεις περίμεναν τον Γκαλουά. Στο τέλος της ίδιας χρονιάς επιχείρησε για δεύτερη φορά την εισαγωγή του στην Έcole Polytechnique. Ο Γκαλουά ήταν ήδη μεγάλος μαθηματικός αλλά οι κριτές του δεν μπορούσαν να αντιληφθούν τις καινοτομίες του και τον τρόπο σκέψης του. Το αποτέλεσμα ήταν πάλι η αποτυχία. Η εξέταση του έγινε θρύλος. Η συνήθεια του να δουλεύει τα πάντα μέσα στο μυαλό του ήταν τρομερό μειονέκτημα όταν έπρεπε να βρεθεί μπροστά στον πίνακα με την κιμωλία. Στη διάρκεια της εξέτασης, κάποιος εξεταστής συζήτησε μαζί του ένα δύσκολο μαθηματικό θέμα. Αν και ο εξεταστής έκανε λάθος, ήταν πολύ ισχυρογνώμων και τότε απελπισμένος ο Γκαλουά έχασε την υπομονή του και πέταξε το σφουγγάρι πάνω του. Το τελευταίο πλήγμα για εκείνη τη χρονιά ήταν ο θάνατος του πατέρα του, που αυτοκτόνησε. Αποφασισμένος για αναγνώριση, τον Φεβρουάριο του 1830 γίνεται για πρώτη φορά δεκτός από πανεπιστημιακή σχολή, την Ecole Preparatoire, σχολή κατώτερη της Έcole Polytechnique. Εκεί είχε το χρόνο να συνεχίσει την εργασία του και έτσι μετά από λίγο καιρό ξαναπέρασε την πύλη της Ακαδημίας Επιστημών καταθέτοντας το «μνημόνιο πάνω στις συνθήκες επιλυσιμότητας των εξισώσεων με ριζικά», διεκδικώντας το μεγάλο βραβείο μαθηματικών που επρόκειτο να δοθεί. Αυτή τη φορά αυτός που έπρεπε να αξιολογήσει και να παραδώσει το κείμενο στην Ακαδημία ήταν ο Fourier (γνωστός για τις περίφημες σειρές που φέρουν το όνομά του). Για κακή του τύχη όμως, ο Fourier πέθανε ένα βράδυ, στο κρεβάτι του στο Παρίσι, λίγες μέρες πριν από τη συνεδρίαση. Έτσι κανείς δεν παρουσίασε την εργασία του, που ουσιαστικά ποτέ δεν πήρε μέρος στο διαγωνισμό. Η ατυχία αυτή έμοιαζε για τον Γκαλουά κάτι παραπάνω από μια απλή σύμπτωση. Απογοητευμένος ρίχτηκε με πάθος στην πολιτική, προσχωρώντας σε ένα ριζοσπαστικό κίνημα που ήταν εκτός νόμου εκείνη την εποχή. Οι πρώτοι πυροβολισμοί της επανάστασης του 1830 γέμισαν με χαρά τον Γκαλουά. Θέλησε να ξεσηκώσει τους συμφοιτητές του και να τους οδηγήσει στις συμπλοκές, αλλά αυτοί δίσταζαν να ακολουθήσουν. Το αποτέλεσμα ήταν να αποβληθεί δια παντός από την Έcole Preparatoire. Μη έχοντας τι άλλο να κάνει προσπάθησε να συγκροτήσει μια ιδιωτική τάξη ανωτέρας άλγεβρας, όπου θα παρέδιδε μαθήματα μία φορά την εβδομάδα. Η σειρά των μαθημάτων περιείχε και μια νέα θεωρία γνωστή σήμερα ως Θεωρία των φανταστικών αριθμών του Galois. Η αδυναμία του να βρει μαθητές, τον οδήγησε στο να καταταχθεί στο πυροβολικό της εθνικής φρουράς, ένα δημοκρατικό παρακλάδι της εθνοφρουράς, γνωστό και ως «Φίλοι του Λαού». Λίγες μέρες αργότερα ο βασιλιάς Λουδοβίκος – Φίλιππος επιθυμώντας να αποφύγει νέες εξεγέρσεις κατάργησε το πυροβολικό της εθνικής φρουράς και έτσι ο Γκαλουά έμεινε άπορος και άστεγος. Το πάθος του όμως για τα Μαθηματικά δεν είχε σβήσει. Το χειμώνα του 1831, για τρίτη (και φαρμακερή) φορά κατέθεσε το μνημόνιο του στην Ακαδημία. Αυτή τη φορά το μνημόνιο αξιολογήθηκε από τον Poisson (γνωστό για τους νόμους του στη θεωρία των πιθανοτήτων). Ο Poisson διαβάζοντας την δεν έδωσε την απαραίτητη προσοχή για να την καταλάβει. Ήταν η σταγόνα που ξεχείλισε το ποτήρι. Είχε πληρώσει το τίμημα του να είναι μπροστά από την εποχή του, μπροστά ακόμη και από τους δασκάλους του. Μετά από αυτό ο Γκαλουά αφιέρωσε όλη τη δραστηριότητα του στην επαναστατική πολιτική. «Αν χρειάζεται το πτώμα κάποιου για να ξεσηκωθεί ο λαός» έγραψε «θα δωρίσω το δικό μου». Έλαβε μέρος σε όλες τις εξεγέρσεις και αναταραχές του Παρισιού. Στις 9 Μαΐου 1831, στο δημοκρατικό συμπόσιο που

33

γινόταν, κρατώντας έναν σουγιά στο υψωμένο του χέρι, έκανε μία πρόποση «Στο βασιλιά Λουί – Φιλίπ». Αυτή η ενέργεια του θεωρήθηκε μεγάλη ασέβεια και οδηγήθηκε σε δίκη. Αν και αθωώθηκε τον κατέταξαν στους «επικίνδυνους» και ένα μήνα μετά, για ασήμαντη αφορμή τον συνέλαβαν και καταδικάστηκε σε εξάμηνη φυλάκιση, στις φυλακές της Αγίας Πελαγίας. Ένα μήνα όμως πριν τη συμπλήρωση της ποινής, ξέσπασε επιδημία χολέρας στο Παρίσι και οι φυλακισμένοι αφέθησαν ελεύθεροι. Ότι συνέβη στον Γκαλουά τις επόμενες εβδομάδες είναι κατά μεγάλο ποσοστό συνέπεια μιας ρομαντικής ιστορίας με μια μυστηριώδη γυναίκα την Στεφανί ντε Μοτέλ. Αυτός που δήλωνε ότι δεν θα παντρευόταν παρά μόνο μια σπουδαία γυναίκα, είχε πέσει στα χέρια μιας κοινής γυναίκας της κατώτερης υποστάθμης. Η Στεφανί ήταν αρραβωνιασμένη με κάποιον κύριο ονόματι ντ’Ερμπανβίλ, ο οποίος ήταν ένας από τους καλύτερους σκοπευτές στη Γαλλία. Όταν ο ντ’Ερμπανβίλ ανακάλυψε την απιστία προκάλεσε αμέσως τον Γκαλουά σε μονομαχία την επόμενη αυγή. Πολλοί ισχυρίζονται ότι ήταν άλλο ένα σχέδιο εξόντωσης του και ο Γκαλουά ήξερε εκ των προτέρων την κατάληξη της μονομαχίας.

Το βράδυ πριν τη μονομαχία, σε μια απεγνωσμένη προσπάθεια να κερδίσει την αναγνώριση, κατέγραψε μεταξύ άλλων όλα τα θεωρήματα που πίστευε ότι εξηγούν το αίνιγμα των εξισώσεων πέμπτου βαθμού. Προσπάθησε σε ένα βράδυ, βιαστικά, να εκφράσει όλη την επιστημονική διαθήκη που είχε στο μυαλό του, γράφοντας στο χαρτί του. Κάπου κάπου κατέρρεε, και σημείωνε με ορνιθοσκαλίσματα στο περιθώριο «Δεν έχω χρόνο, δεν έχω χρόνο». Στο τέλος της νύχτας έγραψε μια συνοδευτική επιστολή στο φίλο του Σεβαλιέ, ζητώντας του, μετά το θάνατο του, να διανεμηθούν οι εργασίες του στους μεγαλύτερους μαθηματικούς της Ευρώπης. Κατέληγε με τα εξής λόγια:

Σελίδα από τις σημειώσεις του Galois, που έγραψε την τελευταία νύχτα πριν τη μονομαχία

Θα ζητήσεις δημόσια από τον Jacobi ή τον Gauss να εκφέρουν τη γνώμη τους όχι πάνω στην ορθότητα, αλλά στη σημασία των θεωρημάτων. Ύστερα από αυτό, θα υπάρξουν ελπίζω μερικοί που θα θεωρήσουν ωφέλιμο γι’ αυτούς να αποκρυπτογραφήσουν ό,τι περιέχεται σ’ όλον αυτόν τον συρφετό Το επόμενο πρωί, την Τετάρτη 30 Μαΐου 1832, σε έναν απομακρυσμένο αγρό, ο Γκαλουά χτυπήθηκε από το όπλο του ντ’Ερμπανβίλ και άφησε την τελευταία του πνοή, σε ηλικία 20 ετών, λίγες ώρες αργότερα σε κάποιο νοσοκομείο της περιοχής.

34

Προσφορά στα μαθηματικά και στη φυσική

Χρειάστηκαν έντεκα χρόνια μέχρι ο Ζοσέφ Λιουβίλ να ανακαλύψει την αξία των χειρογράφων του Γκαλουά. Ο Λιουβίλ ξόδεψε μήνες προσπαθώντας να ερμηνεύσει τη σημασία των ευφυών υπολογισμών. Τελικά το 1846 δημοσίευσε τις εργασίες σε κάποιο έγκυρο μαθηματικό περιοδικό. Οι εργασίες αυτές δεν είχαν τίποτε λιγότερο από τη Θεωρία Ομάδων, το κλειδί της σύγχρονης Άλγεβρας και Γεωμετρίας (αλλά σημαντική και για την Κβαντομηχανική, τη Χημεία και την Κρυσταλλογραφία). Έκφρασε θεμελιώδεις ιδιότητες της ομάδας μετασχηματισμών που προσδιορίζεται από τις ρίζες μιας αλγεβρικής εξίσωσης. Αρχαία προβλήματα όπως η τριχοτόμηση της γωνίας, ο διπλασιασμός του κύβου, η επίλυση τριτοβάθμιας, τεταρτοβάθμιας καθώς και η επίλυση αλγεβρικής εξίσωσης οποιουδήποτε βαθμού, βρήκαν τη φυσική τους θέση μέσα στη θεωρία Galois. Η πλήρης κατανόηση της σπουδαιότητας του έργου του Γκαλουά επιτεύχθηκε όμως μόνο διαμέσου των εργασιών των Jordan, Klain και Lie για τις μεταθέσεις (1870). Τότε η ενοποιητική αρχή του Γκαλουά αναγνωρίστηκε ως ένα από τα κορυφαία επιτεύγματα των μαθηματικών του 19ου αιώνα. Ο Γκαλουά είχε επίσης ορισμένες ιδέες για τα ολοκληρώματα των αλγεβρικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Αυτό δείχνει ότι ο τρόπος σκέψης του ήταν πολύ κοντά σ’ εκείνον του Riemann, περίπου είκοσι χρόνια πριν από αυτόν. Θα μπορούσαμε λοιπόν να διατυπώσουμε την εικασία ότι αν ο Γκαλουά ζούσε περισσότερο, τα σύγχρονα μαθηματικά θα είχαν δεχτεί πιο βαθιά επίδραση από το Παρίσι και τη σχολή του Lagrange, παρά από το Γκέτινγκεν και τη σχολή του Gauss. Ο Galois ήταν ο πρώτος που κατανόησε ότι η αλγεβρικές λύσεις των εξισώσεων ήταν συσχετισμένες με μια ομάδα μεταθέσεων των συντελεστών της εξίσωσης. Ο Galois ανακάλυψε ότι κάποιες υποομάδες (οι κανονικές υποομάδες) είναι στοιχειώδεις. Ακόμα έδειξε ότι η τάξη της μικρότερης μη αβελιανής απλής ομάδας είναι 60. Η ιδέα των πεδίων χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από το Galois και τον Νορβηγό μαθηματικό Niels Henrik Abel στη δουλειά τους για τις ρίζες των πολυωνύμων. Η λέξη χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά απο τον Julius Dedekind και τον Leopold Kronecker κατά την ανάπτυξη της θεωρίας τους. Ο Galois ήταν ο πρώτος μαθηματικός που είχε μια ξεκάθαρη αντίληψη της έννοιας "ομάδα". Όπως και ο Lagrange, ο Galois μελέτησε τις διατάξεις και μεταθέσεις γραμμάτων. Με αφετηρία αυτό, κατανόησε και όρισε την ομάδα ως ένα σύνολο κλειστό υπό μια ιδιότητα και εργάστηκε με κανονικές υποομάδες. Η θεωρία Galois βασίστηκε σε δύο εργασίες του Evariste υπό τους τίτλους : Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux και Des équations primitives qui sont solubles par radicaux, οι οποίες εκδόθηκαν 14 χρόνια μετά το θάνατο του, το 1846 από τον Liouville. Στην δεύτερη μάλιστα εργασία του, ο Galois προσπαθούσε να βρει μια μέθοδο για τον προσδιορισμό της επιλυσιμότητας μιας εξίσωσης, γνωρίζοντας μόνο τους συντελεστές της. Αυτό δεν κατάφερε να το βρει, αλλά στην προσπάθειά του αυτή θεμελίωσε την θεωρία ομάδων. Ο Galois σκόπευε να στρέψει την προσοχή της Άλγεβρας από τη θεωρία στην πράξη. Μάλιστα, χαρακτηριστικά είχε γράψει : "Πηγαίνετε στις ρίζες αυτών των υπολογισμών! Ομαδοποιήστε τις πράξεις. Κατηγοριοποιήστε τις σύμφωνα με την πολυπλοκότητα τους και όχι με την εμφάνισή τους! Αυτή πιστεύω είναι η αποστολή

35

των μελλοντικών μαθηματικών. Αυτός είναι ο δρόμος που ακολουθώ σε αυτή την εργασία." Μετά τον Galois πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί ασχολήθηκαν με αυτόν τον τομέα που ονομάζεται Θεωρία Galois. Μεταξύ αυτών ήταν και οι Enrico Betti, Joseph Serret, Cammile Jordan, Felix Klein, Walther von Dyck, Otto Holder, Paul Bachmann, Heinrich Weber, Oscar Bolza και φυσικά ο Emil Artin ο οποίος, εκτός των άλλων πολύ σημαντικών αποτελεσμάτων του, κατέδειξε τη σχέση της Θεωρίας Galois με τη Θεωρία Πεδίων και διατύπωσε το Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Galois. Η Θεωρία Galois είναι η θεωρία που επιτρέπει τον «κομψό» χειρισμό πολυωνύμων με λίγες αλγεβρικές πράξεις. Η θεωρία αυτή επέτρεψε την σύνδεση της άλγεβρας και της γεωμετρίας, ενώ συνέβαλε και στη μετάβαση από την κλασσική στη μοντέρνα άλγεβρα. Σήμερα εφαρμόζεται σε πάρα πολλούς τομείς των μαθηματικών και γενικότερα της επιστήμης. Είναι βασικό η χρήση της για τη θεμελίωση του χώρου στην κβαντική μηχανική, οι γεωμετρικές συμμετρίες εξηγούνται μέσω αυτής ενώ και η ανάπτυξη της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας από τον Lagranze έχει στενή σχέση με την Θεωρία Galois. Ακόμα, η ανάπτυξη των αλγεβρικών δομών των γραμμικών και διανυσματικών χώρων βασίζεται σε αυτή καθώς και η ανάλυση και η κατανόηση των μοριακών συστημάτων απαιτεί την χρήση της Θεωρίας Galois.

Γαλλικό γραμματόσημο (πάνω) και οδός δρόμου (κάτω) αφιερωμένα στον Evariste Galois

36

Γκαρνιέ ρενιέ (garnier rene)Γεννήθηκε: 16 Ιανουαρίου 1887

Πέθανε: 8 Οκτωβρίου 1984

Ο Γκαρνιέ ρενέ ήταν Γάλλος μαθηματικός, υπήρξε καθηγητής στη Νομική Σχολή του πανεπιστήμιου του Poitiers το 1920 και στο Παρίσι από το 1928 έως το 1958. Επίσης υπήρξε μέλος του Institut de France (Académie des Sciences) το 1952. Η έρευνά του εστιάστηκε κυρίως σε συστήματα διαφορικών εξισώσεων και στο πρόβλημα του οροπεδίου (Plateau). Ακαδημία των επιστημών (Παρίσι)

Προσφορά στα μαθηματικά και στη φυσική

Στα μαθηματικά το πρόβλημα του οροπεδίου (Plateau) είναι να αποδειχθεί η ύπαρξη μιας ελάχιστης επιφάνειας με ένα συγκεκριμένο όριο, ένα πρόβλημα που έθεσε πρώτη φορά ο Joseph-Louis Lagrange το 1760. Ωστόσο, αυτό πήρε το όνομά του από τον Joseph Plateau. Το πρόβλημα θεωρείται μέρος του λογισμού των μεταβολών. Διάφορες εξειδικευμένες μορφές του προβλήματος αυτού έχουν επιλυθεί, αλλά μόνο το 1930 βρέθηκαν γενικές λύσεις από τον Jesse Douglas και τον Tibor Rado ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον. Οι Μέθοδοι τους ήταν εντελώς διαφορετικοί. Το έργο του Rado ήταν η συνέχεια του έργου του Γκαρνιέ ενώ ο Douglas χρησιμοποίησε εντελώς νέες ιδέες. Η επέκταση του προβλήματος σε περισσότερες διαστάσεις (δηλαδή για k-διαστάσεων επιφάνειες σε n-διαστάσεων χώρο) αποδείχθηκε ότι είναι πολύ πιο δύσκολο να μελετηθούν. Επιπλέον, ενώ οι λύσεις για το αρχικό πρόβλημα είναι πάντα αναμενόμενες, αποδείχθηκε ότι οι λύσεις για την επέκταση του προβλήματος μπορεί να έχει ιδιομορφίες αν k ≤ n - 2. Στην περίπτωση υπερ-επιφανειών όπου k = n - 1, ανωμαλίες εμφανίζονται μόνο για n ≥ 8.

37

Pierre-Paul GuieysseΓεννήθηκε: 11 Μαΐου 1841 στη Lorient

Πέθανε: 19 Μαΐου 1914

Γεννήθηκε στην Lorient, μέλος μιας προτεσταντικής οικογένειας. Εκπαιδεύτηκε ως υδρολόγος μηχανικός και εργάστηκε για το ναυτικό, αλλά ανέπτυξε επιστημονικά και πολιτικά ενδιαφέροντα. Έγινε ειδικός στην αιγυπτιολογία και ενεργός στην αριστερή πολιτική. Τον Μάιο του 1900 ήταν ένας από τους ιδρυτές της εφημερίδας La Dépêche de Lorient. Εξελέγη στην Βουλή των Αντιπροσώπων ως ριζοσπάστης και Ρεπουμπλικανικός αναπληρωτής στην Morbihan μεταξύ 1890 και 1910. Ήταν ενεργός στη συζήτηση του 1905 για τη γαλλική νομοθεσία πάνω στο διαχωρισμό των Εκκλησιών και του κράτους, στην οποία προτάθηκε μια τροπολογία. Επίσης δραστηριοποιήθηκε στην προώθηση της νομοθεσίας για την θέσπιση των υποχρεωτικών συνταξιοδοτικών εισφορών. Ο Guiyesse ήταν επίσης πρόεδρος της Bleus de Bretagne μιας φιλελεύθερης και αντικληρικής κοινωνίας. Έπαιξε κυρίαρχο ρόλο στην οργάνωση της ανέγερσης του αμφιλεγόμενου αγάλματος του Ernest Renan στην Tréguier. Από το Νοέμβριο του 1895 έως τον Απρίλιο του 1896 διετέλεσε υπουργός των αποικιών στην κυβέρνηση του Bourgeois. Υπήρξε πρόεδρος της επιτροπής ασφάλισης και πρόνοιας της Βουλής των Αντιπροσώπων το 1910 και ήταν εισηγητής του νόμου για τις συντάξεις των εργατών και των αγροτών (ROP).

38

Γκουρσά Εντουάρ (Edouard Jean-Baptiste Goursat)

Γεννήθηκε: 21 Μαΐου 1858 στο Lanzac στη Lot

Πέθανε: 25 Νοεμβρίου του 1936 στο Παρίσι

Ο Γκουρσά Εντουάρ παρακολούθησε μαθήματα στο Collège de Brive-la-Gaillarde, τόσο στην πρωτοβάθμια όσο και στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση του. Στη συνέχεια και για ένα έτος μελέτησε στο Lycée Henri IV οπού προετοιμάστηκε για τις εισαγωγικές εξετάσεις στην Ecole Normale Superieure. Αυτό ήταν ένα ασυνήθιστα σύντομο χρονικό διάστημα για προετοιμασία σε αυτές τις τόσο ανταγωνιστικές εισαγωγικές εξετάσεις, αλλά ο Γκουρσά είχε επιτυχία και ξεκίνησε τις σπουδές του στην Ecole Normale Superieure το 1876. Ο Γκουρσά ξεκίνησε μια πολύ καλή φιλική σχέση με τον Emile Picard που ήταν συμφοιτητής του στο πρώτο έτος σπουδών, στη συνέχεια έγινε βοηθός στην Εcole όταν ο Γκουρσά ήταν στο δεύτερο έτος του. Ο Emile Picard ήταν που πρόσεξε ότι ο Γκουρσά είχε πολλές δυνατότητες να γίνει ένας καθηγητής πανεπιστημίου και έτσι τον ενθάρρυνε προς αυτή την κατεύθυνση. Ο Γκουρσά είχε μια ενθουσιώδη ομάδα εκπαιδευτικών στην École Normale Supérieure οι οποίοι του προσέφεραν και εκείνοι ενθάρρυνση μαζί με τον Picard. Οι καθηγητές του, δύο από τους οποίους είναι οι Jean Darboux και Charles Hermite τον επηρεάσανε να εργαστεί στην ανάλυση και στις εφαρμογές της. Αργότερα, το 1935 Γκουρσά έγραψε:

Ο Hermite είναι ο πρώτος που αποκάλυψε σε μένα την καλλιτεχνική μου πλευρά στα μαθηματικά.

Ο Darboux σίγουρα αναγνώρισε τις τεράστιες δυνατότητες του μαθητή του και το 1879 αναφέρει:

Ο μαθητής Γκουρσά του οποίου η ανάπτυξη ήταν ταχύτατη, είναι ένας εξαιρετικός μαθηματικός, σίγουρα θα γίνει σημαντικός δάσκαλος όπως ο Paul Appell και ο Emile Picard.

Όμως άλλοι, όπως οι Claude Bouquet και Charles Briot έπαιξαν επίσης σημαντικό ρόλο για τον Γκουρσά διότι λειτούργησαν σαν μοντέλα που ο Γκουρσά εφάρμοσε στο στυλ διδασκαλίας του. Άρχισε να διδάσκει στο πανεπιστήμιο του Παρισιού το 1879. Έλαβε το διδακτορικό του δίπλωμα το 1881 από την Ecole

39

Normale Superieure για τη διατριβή του Sur l'equation différentialle linéaire qui admet pour intégrale la série hypergéometrique. Στη συνέχεια δίδαξε στην Τουλούζη μέχρι το 1885. Τα επόμενα 12 χρόνια τα πέρασε πίσω στην École Normale Supérieure όπου οι διαλέξεις του θα αποτελούσαν τη βάση του διάσημου, τριών ενοτήτων, αναλυτικού του κειμένου. Στη συνέχεια δίδαξε ανάλυση στο Πανεπιστήμιο του Παρισιού μέχρι τη συνταξιοδότησή του. Προσφορά στα μαθηματικά και στη φυσική

To Θεώρηµα του Cauchy λέει ότι εάν f(z) είναι µια αναλυτική συνάρτηση σ’ένα τόπο D και στο σύνορο του C, τότε το κλειστό επικαµπύλιο ολοκλήρωµα ∫f(z)dz είναι µηδέν. Το θεμελιώδες αυτό θεώρηµα, που ισχύει για τόπους απλής και πολλαπλής συνοχής αρχικά αποδείχθηκε µε την βοήθεια του θεωρήματος του Green µε την επί πλέον παραδοχή ότι η παράγωγος f΄(z) είναι συνεχής. Αργότερα όµως ο Γκουρσά το απέδειξε χωρίς αυτή την παραδοχή και για αυτόν ακριβώς τον λόγο ονοµάζεται µερικές φορές θεώρηµα Cauchy-Goursat, ιδίως όταν θέλει κανείς να τονίσει ότι δεν χρειάζεται η επιπλέον παραδοχή. Ο Cauchy δηλαδή είχε καθιερώσει το θεώρημα με την πρόσθετη προϋπόθεση ότι τα παράγωγα της λειτουργίας ήταν συνεχή. Ο Γκουρσά αφαίρεσε αυτήν την επιπλέον προϋπόθεση στο Démonstration du théorèm de Cauchy το 1884. Στη συνέχεια παρήγαγε μια εντυπωσιακή σειρά από έγγραφα τα οποία συνέβαλαν σχεδόν σε κάθε τομέα της ανάλυσης που μελετήθηκε την εποχή εκείνη. Δεν ήταν μόνο ευρύ το έργο του αλλά είχε και αξιόλογο βάθος. Τα έγγραφα του Γκουρσά σχετικά με τη θεωρία των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων και οι μετασχηματισμοί τους, καθώς και οι μελέτες του στις υπεργεωμετρικές σειρές, η εξίσωση του Kummer, και η μείωση των ολοκληρωμάτων αβελιανής μορφής, σύμφωνα με τα λόγια του Picard ήταν ένα αξιόλογο σύνολο έργων τα οποία εξελίσσονται φυσικά το ένα από το άλλο. Ο Katz αναφέρει ότι ο Γκουρσά ήταν που σημείωσε το πρώτο γενικευμένο θεώρημα του Stokes. Επίσης αναφέρει ότι ο Γκουρσά χρησιμοποίησε διάφορα έντυπα για να αποδείξει το λήμμα του Poincaré. Το 1891 ο Goursat έγραψε το Leçons sur l’intégration des Equations aux dérivées partielles du premier ordre. Ωστόσο το πιο γνωστό έργο του είναι το Cours d’analyse mathématique (μαθήματα μαθηματικής ανάλυσης), οπού εισήγαγε πολλές νέες έννοιες ανάλυσης (1902-1913). Η εκδότρια του γράφει:

Το τριών τόμων έργο του Edouard Goursat το "A Course in Mathematical Analysis" παραμένει ένα κλασικό σύγγραμμα ενδελεχής μελέτης και επεξεργασίας της βάσης του λογισμού. Όπως ένα προχωρημένο κείμενο για τους φοιτητές με ένα χρόνο λογισμό, προσφέρει μια εξαιρετικά ξεκάθαρη ανάλυση. Ο τόμος (1) καλύπτει τις εφαρμογές στη γεωμετρία, επέκτασή σε σειρές, ορισμένα ολοκληρώματα, παράγωγα και διαφορικά. Ο τόμος (2) διερευνά τις λειτουργίες μιας σύνθετης μεταβλητής και των διαφορικών εξισώσεων. Ο τόμος (3) ερευνά διακυμάνσεις των λύσεων των μερικών διαφορικών εξισώσεων της δεύτερης τάξης, αναπόσπαστες εξισώσεις και λογισμό των μεταβολών.

Είναι σχεδόν σίγουρο ότι ο κανόνας του l’Hôpital, για την εύρεση των ορίων σε ένα κλάσμα οπού ο αριθμητής και ο παρονομαστής τείνουν στο μηδέν σε ένα σημείο, ονομάστηκε έτσι γιατί ο Γκουρσά ονόμασε έτσι τον κανόνα μετά τον de l’Hôpital στο Cours d’analyse mathématique. Βέβαια ο κανόνας φαίνεται σε προηγούμενα κείμενα

40

(για παράδειγμα φαίνεται στο έργο του Euler), αλλά ήταν πρώτος ο Γκουρσά που έδωσε το όνομα de l’Hôpital σε αυτόν. Παρότι ασχολιόταν με τις νέες εκδόσεις του Cours d’analyse mathématique, ο Γκουρσά βρήκε χρόνο για να γράψει και άλλα κείμενα, όπως το Le problème de Backlund το 1925, και το Leçons sur les séries hypergéométriques et sur quelles fonctions qui attachent το 1936. Η Τζούλια, που ήταν μαθήτρια του Γκουρσά και αργότερα συνεργάστηκε με εκείνον, είπε:

... στο όνομα όλων εκείνων που έλαβα ... όχι μόνο τους θησαυρούς της επιστήμης σας, αλλά και τους θησαυρούς από την καρδιά σας, επιτρέψτε μου να εκφράσω ... την πιστή ευγνωμοσύνη μας … έχοντας λάβει από το μεγαλείο της ψυχής σας, το εύρος της επιστήμης και το παράδειγμα της αρετής.

Η προσφορά του ήταν σημαντική τόσο στα ολοκληρώματα όσο και στη διαφορική γεωμετρία. Γενικεύσεις του ολοκληρώματος στις μετέπειτα περιόδους αρχικά εξελίχθηκαν από τις ανάγκες της φυσικής, και θα παίζουν πάντα σημαντικό ρόλο στη διατύπωση πολλών φυσικών νόμων, κυρίως αυτών της ηλεκτροδυναμικής. Από την άλλη η προσφορά του και η σπουδαιότητα των διαφορικών εξισώσεων είναι αναμφισβήτητη. Αποτελούν τη φυσική απόληξη του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, αλλά ταυτόχρονα και την πηγή από όπου ανέβλυσαν πολλές από τις νέες θεωρίες της ανάλυσης. Η ίδια η θεωρία των διαφορικών εξισώσεων παραμένει ένα απαράμιλλο εργαλείο για τη μελέτη της κίνησης και της μεταβολής στη φύση. Από την άλλη ο λογισμός των μεταβλητών είναι ο τομέας των μαθηματικών που ο Γκουρσά ασχολήθηκε στο τρίτο μέρος του έργου του Cours d’analyse mathématique .Η φυσική είναι μια πηγή προβλημάτων που ανάγονται στον λογισμό των μεταβολών, καθώς πλειάδα φυσικών νόμων εκφράζουν την ελαχιστοποίηση κάποιου φυσικού μεγέθους, όπως π.χ. η ενέργεια. Ο Γκουρσά έλαβε πολλές διακρίσεις για την εξαιρετική συμβολή του. Έλαβε το Grand Prix des Sciences Mathématique το 1886, το Prix Poncelet το 1889, και το Prix Petit d'Ormoy το 1891. Εξελέγη στην *Ακαδημία των Επιστημών στο Παρίσι το 1919, έγινε ιππότης της λεγεώνας της τιμής (Chevalier de la Légion d'honneur), και εξελέγη πρόεδρος της **Γαλλικής Μαθηματικής Εταιρείας (Société Mathématique de France) το 1895.

* Η Γαλλική Ακαδημία Επιστημών (Académie des Sciences) είναι ένα επιστημονικό ίδρυμα που ιδρύθηκε το έτος 1666 από τον βασιλιά Λουδοβίκο ΙΔ΄ της Γαλλίας μετά από σύσταση του Ζαν-Μπατίστ Κολμπέρ, για την ενθάρρυνση και την προστασία της γαλλικής επιστημονικής έρευνας. Στάθηκε στην πρωτοπορία των επιστημονικών εξελίξεων στην Ευρώπη κατά τον 17ο και τον 18ο αιώνα, ως μία από τις αρχαιότερες ακαδημίες επιστημών στον κόσμο. Στις 20 Ιανουαρίου 1699 έλαβε το καταστατικό της ως «Βασιλική Ακαδημία Επιστημών». Η πρώτη της έδρα ήταν το Μουσείο του Λούβρου. Σήμερα η Ακαδημία Επιστημών είναι μόνο μία από τις πέντε «ακαδημίες» που απαρτίζουν το Γαλλικό Ινστιτούτο. Τα μέλη της εκλέγονται και είναι ισόβια. Υπάρχουν 150 πλήρη μέλη, 300 αντεπιστέλλοντα και 120 από το εξωτερικό. Υποδιαιρούνται σε δύο ομάδες: των Φυσικών Επιστημών και των Μαθηματικών. Η πρώτη ομάδα περιλαμβάνει και την Ιατρική.

41

** Η Γαλλική Μαθηματική Εταιρεία (Société Mathématique de France) ιδρύθηκε το 1872, αν και κινήσεις για την δημιουργία της κοινότητας είχαν αρχίσει δύο χρόνια νωρίτερα. Είχε δημιουργηθεί για την υπεράσπιση και τη προώθηση των μαθηματικών καθώς και τους αναλυτές τους. Η Εταιρεία δημοσίευε τον επόμενο χρόνο της δημιουργίας της την Bulletin de Société Mathématique de France (μεγάλο διεθνές επιστημονικό περιοδικό) όπως επίσης το Mémoires de Société Mathématique de France και το Revue d’Histoire des mathématiques το 1995 οπού περιλαμβάνει αυθεντικά άρθρα ιστορίας των μαθηματικών από τον 17 αιώνα και μετά.

42

Ερμίτ Σαρλ (Charles Hermite)Γεννήθηκε: 24 Δεκεμβρίου 1822 στο Dieuze

Πέθανε: 14 Ιανουαρίου 1901 στο Παρίσι

Πατέρας του ήταν ο Ferdinand Hermite και μητέρα του ήταν η Madeleine Lallemand. Η εκπαίδευση του Ερμίτ δεν ήταν η πρώτη προτεραιότητα για τους γονείς του, αλλά παρόλο δεν έδειξαν ιδιαίτερο προσωπικό ενδιαφέρον για την εκπαίδευση των παιδιών τους, τους παρείχαν εν τέλει καλή σχολική εκπαίδευση. Ο Ερμίτ ήταν μία συνεχής ανησυχία για τους γονείς του γιατί είχε ένα ελάττωμα στο δεξί πόδι του πράγμα που τον ανάγκαζε να κινείται με αρκετή δυσκολία. Ήταν σαφές ότι αυτό θα του παρουσίαζε προβλήματα στην μετέπειτα σταδιοδρομία του. Ωστόσο, είχε μια ευχάριστη προσωπικότητα και αντιμετώπιζε την αναπηρία του με χαμόγελο. Ο Ερμίτ παρακολούθησε μαθήματα στο Κολέγιο της Νανσί και στη συνέχεια πήγε στο Παρίσι, όπου παρακολούθησε στο Κολέγιο Ανρί. Το 1840 και το 1841 σπούδασε στο Κολέγιο Louis-le-Grand όπου περίπου δεκαπέντε χρόνια νωρίτερα είχε μελετήσει ο Galois. Στην πραγματικότητα διδάχθηκε εκεί μαθηματικά από τον Louis Richard ο οποίος είχε διδάξει και τον Galois. Κατά κάποιο τρόπο ο Ερμίτ έμοιαζε με τον Galois γιατί προτιμούσε να διαβάζει τα γραπτά του Euler, του Gauss και του Lagrange αντί να ετοιμάζεται για τις επίσημες εξετάσεις του. Όπως και ο Galois, ο Ερμίτ ήθελε να σπουδάσει στην École Polytechnique και του πήρε ένα χρόνο προετοιμασίας για τις εξετάσεις. Διδάχθηκε από το 1841 έως το 1842 από τον Catalan και τα αποτελέσματα του ήταν καλύτερα από ό,τι είχε καταφέρει ο Galois όταν είχε περάσει. Ωστόσο, δεν ήταν μια λαμπρή επιτυχία διότι κατάφερε να περάσει μόνο στην εξηκοστή όγδοη θέση στη λίστα επιτυχόντων. Μετά από ένα χρόνο στην H Ecole Polytechnique

École Polytechnique του απορρίφθηκε το δικαίωμα να συνεχίσει τις σπουδές του λόγω της αναπηρίας του. Είναι σαφές ότι αυτή ήταν μια άδικη απόφαση και ορισμένοι σημαντικοί άνθρωποι ήταν διατεθειμένοι να αναλάβουν την υπόθεσή του και να αγωνιστούν για αυτόν για να έχει το δικαίωμα να συνεχίσει ως φοιτητής στην

43

Ecole Polytechnique. Η απόφαση αυτή αποσύρθηκε έτσι ώστε να μπορέσει να συνεχίσει τις σπουδές του, όμως αυστηροί όροι του επιβλήθηκαν. Ο Ερμίτ δεν βρήκε αυτούς τους όρους αποδεκτούς και αποφάσισε ότι δεν θα αποφοιτήσει από την Ecole Polytechnique. Ο Ερμίτ έκανε φιλίες με σημαντικούς μαθηματικούς εκείνη την περίοδο και επισκεπτόταν συχνά τον Joseph Bertrand οπού αργότερα ο Ερμίτ παντρεύτηκε και την αδελφή του. Από την μαθηματική πλευρά του τώρα ξεκίνησε όπως και ο Jacobi και μολονότι δεν διέπρεψε στην τυπική εκπαίδευση του, παρήγαγε έρευνα η οποία τον κατέταξε ως παγκόσμιας τάξης μαθηματικό. Οι επιστολές που αντάλλαζε με τον Jacobi αποδεικνύουν ότι ο Ερμίτ είχε ανακαλύψει μερικές διαφορικές εξισώσεις οι οποίες ικανοποιούνταν από theta λειτουργίες και χρησιμοποιούσε σειρές Fourier να τα τις μελετήσει. Είχε βρει γενικές λύσεις για τις εξισώσεις σχετικά με τις theta λειτουργίες. Ο Ερμίτ μπορεί να ήταν μόνο ακόμη στο προπτυχιακό του αλλά είναι πιθανό ότι οι ιδέες του περίπου από το 1843 βοήθησαν τον Liouville στο σημαντικό του αποτέλεσμα του 1844 το οποίο είναι σήμερα γνωστό ως θεώρημα του Liouville. Αφού πέρασε πέντε χρόνια ασχολούμενος για το πτυχίο του, το πήρε και πέρασε τις εξετάσεις παίρνοντας το απολυτήριο μέσης εκπαιδεύσεως. Η άδεια του απονεμήθηκε το 1847 και το επόμενο έτος διορίστηκε στην Ecole Polytechnique. Ο Ερμίτ προσέφερε σημαντική συνεισφορά στην θεωρία αριθμών, στην άλγεβρα, στα ορθογώνια πολυώνυμα και στις ελλειπτικές λειτουργίες. Ανακάλυψε τα σημαντικότερα μαθηματικά αποτελέσματα του κατά τη διάρκεια των δέκα επόμενων ετών μετά το διορισμό του στην Ecole Polytechnique. Το 1848 απέδειξε ότι διπλά περιοδικές λειτουργίες μπορούν να εκπροσωπούνται από πηλίκα περιοδικά συνολικών λειτουργιών. Το 1849 ο Ερμίτ υπέβαλε ένα απομνημόνευμα στην ακαδημία των επιστημών(Académie des Sciences) στο οποίο εφάρμοζε τεχνικές του Cauchy σε διπλά περιοδικές λειτουργίες. Ο Sturm και ο Cauchy έδωσαν μια καλή αναφορά σχετικά με αυτό το απομνημόνευμα το 1851, αλλά μια διαφορά με τον Liouville φαίνεται να εμπόδισε τη δημοσίευσή της. Ένα άλλο θέμα με το οποίο εργάσθηκε ο Ερμίτ και συνέβαλε σημαντικά ήταν η θεωρία των τετραγωνικών μορφών. Αυτό τον οδήγησε να σπουδάσει Θεωρία Αναλλοίωτων (Invariant Theory) και βρήκε ένα νόμο σχετικά με την αμοιβαιότητα της δυαδικής μορφής. Με την κατανόηση των τετραγωνικών μορφών και των αμετάβλητων θεωριών δημιούργησε μια θεωρία μετασχηματισμών το 1855. Αποτέλεσμα αυτού του θέματος ήταν η σύνδεση μεταξύ θεωρίας αριθμών, θήτα λειτουργιών, καθώς και των μετασχηματισμών των αβελιανών ομάδων. Το επόμενο μαθηματικό αποτέλεσμα του Ερμίτ το οποίο πρέπει να αναφέρουμε είναι εκείνο για την οποίο είναι δικαίως διάσημος. Παρά το γεγονός ότι μία αλγεβρική εξίσωση πέμπτου βαθμού δεν μπορεί να λυθεί με ρίζες το οποίο είναι ένα αποτέλεσμα που αποδείχθηκε από τους Ruffin και Abel, ο Ερμίτ το 1858 έδειξε ότι η αλγεβρική εξίσωση πέμπτου βαθμού θα μπορούσε να επιλυθεί με τη χρησιμοποίηση ελλειπτικών λειτουργιών. Εφάρμοσε αυτά τα αποτελέσματα στη θεωρία αριθμών, ιδίως στις σχέσεις κατηγορίας αριθμών των τετραγωνικών μορφών. Το 1862 ο Ερμίτ διορίστηκε Λέκτορας στην École Polytechnique, μια θέση η οποία είχε δημιουργηθεί ειδικά για αυτόν. Κατά το επόμενο έτος έγινε εξεταστής εκεί. Το έτος 1869 έγινε καθηγητής της ανάλυσης όταν διαδέχθηκε τον Duhamel τόσο στην École Polytechnique όσο και στη Σορβόννη. Ο Ερμίτ παραιτήθηκε από την θέση του στην Ecole Polytechnique το 1876, αλλά συνέχισε να κατέχει την θέση του στη Σορβόννη μέχρι την αποχώρησή του το 1897. Στη δεκαετία του 1890 ο Ερμίτ έδειχνε

44

πολύ λιγότερο ενδιαφέρον για τα νέα αποτελέσματα που βρέθηκαν από την μαθηματικούς της επόμενης γενιάς. Το 1870 ο Ερμίτ έστρεψε το ενδιαφέρον του σε προβλήματα που τον είχαν απασχολήσει νωρίτερα στην καριέρα του όπως τα προβλήματα σχετικά με την προσέγγιση και την παρεμβολή. Το 1873 δημοσίευσε την πρώτη απόδειξη ότι το ‘e’ είναι ένας υπερβατικός αριθμός και όχι αλγεβρικός, δεν μπορεί δηλαδή να είναι λύση οποιασδήποτε εξίσωσης με ρητούς συντελεστές. Αυτό είναι ένα άλλο αποτέλεσμα για το οποίο είναι δικαιωματικά διάσημος. Χρησιμοποιώντας μέθοδο παρόμοια με αυτή του Hermite, ο Lindemann το 1882 υποστήριξε ότι επίσης και το ‘π’ είναι υπερβατικός αριθμός. Πολλοί ιστορικοί της επιστήμης με λύπη υποστηρίζουν ότι ο Ερμίτ, παρά το ότι έκανε την περισσότερη σκληρή δουλειά, απέτυχε να την χρησιμοποιήσει για να δώσει αποδείξεις, αποτέλεσμα που θα του είχε προσφέρει απέραντη φήμη στον κόσμο των μαθηματικών. Ο Ερμίτ είναι τώρα γνωστός περισσότερο για μια σειρά μαθηματικές οντότητες που φέρουν το όνομά του όπως τα πολυώνυμα Hermite, τη διαφορική εξίσωση του Hermite και τη φόρμουλα του Hermite. Ο Ερμίτ έζησε συνταξιούχος στη μετέπειτα υπόλοιπη ζωή του με την οικογένειά του. Οι ώρες εργασίας του ήταν αφιερωμένες στη μαθηματική έρευνα και τη διδασκαλία. Η ιδέα του για τα μαθηματικά ήταν ρεαλιστική, υποστήριζε ότι: …ένας μαθηματικός, όπως ένας φυσιοδίφης, ανακαλύπτει ένα εξωτερικό κόσμο, στην περίπτωσή του, έναν κόσμο ιδεών…

Προσφορά στα μαθηματικά και στη φυσική

Όπως είδαμε παραπάνω η προσφορά του Ερμίτ στην απόδειξη της υπερβατικότητας του αριθμού e ήταν πολύ μεγάλη. O αριθμός e (στα ελληνικά λέγεται έψιλον ή απλά "ε") είναι ένας άρρητος αριθμός και ταυτόχρονα η βάση των φυσικών ή νεπέριων λογαρίθμων. Είναι ένας από τους σημαντικότερους αριθμούς στα μαθηματικά. Υπάρχει μια ποικιλία ισοδύναμων ορισμών του αριθμού e. Η αξία του, με προσέγγιση τριακοστού δεκαδικού ψηφίου είναι:e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 Οι επικρατέστεροι σήμερα ορισμοί για τον e είναι τρεις:

1. e ονομάζεται το όριο της (1 + 1/n)n όταν το n τείνει στο άπειρο

2. e ονομάζεται το άθροισμα των απείρων όρων της σειράς:

45

3. e ονομάζεται ο μοναδικός αριθμός x>0 για τον οποίο ισχύει:

Σήμερα η εκθετική συνάρτηση χρησιμοποιείται σε πολλούς τομείς της φυσικής όπωςΤο φαινόμενο ‘ραδιενεργός εκπομπή’ Ν = Ν0e-λtΤο φαινόμενο ‘φθίνουσα ταλάντωση’ Α =Α0e-λtΤο φαινόμενο ‘εκφόρτιση πυκνωτή’ q = q0e-t/RCΤο φαινόμενο ‘ελάττωση του ρεύματος’ κατά το κλείσιμο του διακόπτη σε ένα πηνίο

i=i0e-tR/L Επίσης σημαντική ήταν η προσφορά του στην αριθμητική ανάλυση με πολλές εφαρμογές στη φυσική. Είναι δυνατόν ένα συμπτωτικό πολυώνυμο να μοιάζει κάπως παραπάνω σε μια δοθείσα συνάρτηση ή ένα σύνολο τιμών, εφόσον απαιτηθεί και οι παράγωγοι του πολυωνύμου να παίρνουν τις ίδιες τιμές με τη συνάρτηση ή το σύνολο τιμών στα σημεία επαφής. Επομένως, αν απαιτήσουμε το πολυώνυμο με τη συνάρτηση ή το σύνολο τιμών να παίρνουν τις ίδιες τιμές σε n σημεία, όπως και οι παράγωγοί τουP(x) = y(x)P′(x) = y′(x)για x0,x1, ..., xn καταλήγουμε σε 2n εξισώσεις, οι οποίες καθορίζουν ένα πολυώνυμο το πολύ 2n−1 βαθμού. Το πολυώνυμο αυτό δίνεται από τον τύπο του Hermite. Πολυώνυμα hermite προκύπτουν από λύση των εξισώσεων Schrödinger όπου έχουν εφαρμογή στην κβαντομηχανική. Για παράδειγμα σε έναν αρμονικό ταλαντωτή δηλαδή σωμάτιο σε αρμονικό ταλαντωτή οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις που το χαρακτηρίζουν είναι οι:

Ψ(n)x = Hn(x)e-mω2x2/2 h

όπου Hn(x) τα πολυώνυμα Hermite τα οποία είναι εναλλάξ άρτιες και περιττές συναρτήσεις.

46

Ζερμαίν Σοφί (Sophie Germain)Γεννήθηκε: 1 Απριλίου 1776 στο Παρίσι

Πέθανε: 27 Ιουνίου 1831 στο Παρίσι

H Ζερμαίν Σοφί (Marie-Sophie Germain) γεννήθηκε σε μια εποχή επαναστάσεων. Τη χρονιά που γεννήθηκε έγινε η Αμερικανική επανάσταση και δεκατρία χρόνια αργότερα, στη χώρα της, η Γαλλική επανάσταση. Παρατηρώντας τη ζωή της θα λέγαμε πως η Ζερμαίν ενσωμάτωσε το πνεύμα της επανάστασης μέσα στο οποίο γεννήθηκε. Ήταν μια γυναίκα που προερχόταν από τη μεσαία τάξη, η οποία πήγε ενάντια στις επιθυμίες της οικογένειάς της και τις κοινωνικές προκαταλήψεις της εποχής, για να γίνει αργότερα μια ιδιαίτερα αναγνωρισμένη μαθηματικός. Η Ζερμαίν ήταν κόρη ενός εύπορου εμπόρου μεταξωτών. Το σπίτι της ήταν τόπος συνάντησης ατόμων με φιλελεύθερες ιδέες και από μικρή είχε συνηθίσει να ακούει πολιτικές και φιλοσοφικές συζητήσεις. Η περιγραφή του θανάτου του Αρχιμήδη από το Ρωμαίο στρατιώτη, που έτυχε να διαβάσει όταν ήταν δεκατριών ετών, τη συγκίνησε και κέντρισε το ενδιαφέρον της για τα μαθηματικά. Από παιδί είχε μεγάλο πάθος για τα μαθηματικά. Οι γονείς της όμως θεωρούσαν ότι το πάθος της αυτό ήταν ακατάλληλο για ένα κορίτσι. Έτσι, έκαναν ό,τι περνούσε από το χέρι τους για να την αποθαρρύνουν. Αναφέρεται, π.χ., ότι της στερούσαν τη θέρμανση και το φως, παίρνοντας τα κεριά από το δωμάτιό της και σβήνοντας τη φωτιά που το ζέσταινε, και όλα αυτά με σκοπό να την αποτρέψουν από το διάβασμα.Αποτέλεσμα όλων αυτών, το μελάνι πάγωνε από το κρύο αλλά η Ζερμαίν τυλιγόταν με τα σκεπάσματα του κρεβατιού της, άναβε κεριά που είχε κρύψει και μελετούσε μέσα στη νύχτα. Έτσι, αντιμέτωποι με την αποφασιστικότητα και την επιμονή της κόρης τους, οι γονείς της Ζερμαίν λύγισαν και της επέτρεψαν να μελετά. Αξιοσημείωτο όμως είναι ότι μελετούσε μόνη της και ό,τι κατάφερε στη ζωή της το κατάφερε χωρίς να έχει κάποιο δάσκαλο. Όταν έκλεισε τα 18 της χρόνια ένα νέο πανεπιστήμιο ιδρύθηκε στο Παρίσι, η Ecole Polytechnique. Η Ζερμαίν κατάφερε να εξασφαλίσει σημειώσεις των διαλέξεων μέσω του ονόματος Antoine-August le Blanc. Ο Le Blanc ήταν φοιτητής ο οποίος εγκατέλειψε τις σπουδές του γιατί δεν μπορούσε να αντεπεξέλθει στις υψηλές απαιτήσεις της σχολής. Το πώς όμως έφταναν οι σημειώσεις στα χέρια της, αποτελεί μυστήριο μέχρι και σήμερα. Έτσι σε μια εποχή όπου η είσοδος στα πανεπιστήμια ήταν κλειστή σε γυναίκες, η απόκρυψη της γυναικείας ταυτότητας και η υιοθέτηση μιας αντρικής, αποτελούσε την μόνη λύση για μια εκ του παραθύρου είσοδο σε αυτά. Ο καθηγητής Lagrange στο τέλος των διαλέξεών του ζήτησε από τους σπουδαστές να υποβάλλουν μια τελική εργασία. Όταν διάβασε την δουλειά της Ζερμαίν (υπό το όνομα Le Blanc) ζήτησε μια συνάντηση ώστε να δει από κοντά αυτόν τον φωτισμένο

47

νεαρό ‘άντρα'. Έμεινε έκπληκτος όταν μπροστά του εμφανίσθηκε μια γυναίκα. Γοητευμένος όμως από την εξυπνάδα της Ζερμαίν, την παρότρυνε να συνεχίσει τη μελέτη ώστε να εμπλουτίσει ακόμη περισσότερο της μαθηματικές της γνώσεις και συνέχισε να έχει επαφή μαζί της ως μαθηματικός σύμβουλος και συνεργάτης. Ο Lagrange συμπεριέλαβε μερικές από τις ανακαλύψεις της σε ένα παράρτημα στη δεύτερη έκδοση του Théorie de Fonctions Analytiques. Αρκετές από τις επιστολές της δημοσιεύθηκαν αργότερα στο έργο Oeuvres Philosophique de Sophie Germain. Κρυμμένη για πολλά χρόνια πίσω από το αντρικό όνομα Antoine-August le Blanc, η Ζερμαίν συνεργαζόταν δια αλληλογραφίας με ένα κορυφαίο μαθηματικό, τον Gauss, ανταλλάσσοντας ιδέες και προτάσεις. Η επικοινωνία τους ξεκίνησε μετά την εμφάνιση του περίφημου έργου του Gauss Disquisitiones Arithmeticae το 1801. Το 1804 άρχισε να του στέλνει επιστολές με εργασίες της στη θεωρία των αριθμών πάλι με ψευδώνυμο. Μέσω αλληλογραφίας συζητούσαν για τα αποτελέσματά της Ζερμαίν γύρω από την θεωρία των αριθμών. Για τα αποτελέσματα αυτά της έδωσε πολλούς επαίνους, μια αξιολόγηση που επανέλαβε με επιστολές του στους συναδέλφους του. Η αληθινή ταυτότητα της Ζερμαίν αποκαλύφθηκε στον Gauss μετά το 1806, όταν αυτή μεσολάβησε για την ασφάλεια του όταν διέτρεχε κίνδυνο. Όταν ο Gauss ανακάλυψε όλη την αλήθεια για την πραγματική της ταυτότητα, την επαίνεσε ακόμη περισσότερο. Οι δυο τους δεν συναντήθηκαν ποτέ. Η Ζερμαίν, έλαβε ανώνυμα μέρος σε τρεις διαγωνισμούς που διεξήγαγε η Γαλλική Επιστημονική Ακαδημία το 1811, 1813 και το 1816. Το 1816 κέρδισε το πρώτο βραβείο για την μελέτη της σχετικά με τη θεωρία της ελαστικότητας. Μετά το διαγωνισμό, συνέχισε την εργασία της για τη θεωρία της ελαστικότητας δημοσιεύοντας αρκετά ακόμα απομνημονεύματα. Η σημαντικότερη εξετάζει τη φύση, τα όρια, και την έκταση των ελαστικών επιφανειών. Το βραβείο αυτό ήταν μεγάλης σημασίας, επειδή την εισήγαγε στις τάξεις των διαπρεπών μαθηματικών ενώ αποτέλεσε την πρώτη γυναίκα που της επετράπη η είσοδος στις συναντήσεις της Ακαδημίας. Έτσι μπορούσε πια να συναντά κορυφαίους μαθηματικούς χωρίς να χρειάζεται να κρυφτεί πίσω από ένα αντρικό όνομα. Η Ζερμαίν πέθανε τον Ιούνιο του 1831 από καρκίνο του μαστού, και το πιστοποιητικό θανάτου της δεν την κατέταξε στην κατηγορία των μαθηματικών ή των επιστημόνων, αλλά στην κατηγορία των «rentier», δηλαδή a person of private means. Εντούτοις, λίγα χρόνια αργότερα, μια πινακίδα αναρτήθηκε στο σπίτι όπου πέθανε, με την επιγραφή: Sophie Germain, philosophe et mathématiciennε (Sophie Germain, φιλόσοφος και μαθηματικός).

Προσφορά στα μαθηματικά και στη φυσική

Η Ζερμαίν έχει γίνει γνωστή για το έργο της σχετικά με τους πρώτους αριθμούς, την μερική λύση του θεωρήματος Fermat.. Περίπου 12 έτη αργότερα, έγραψε στο μαθηματικό Legendre για αυτό που θα ήταν η σημαντικότερη εργασία της στη θεωρία των αριθμών.

48

Διατύπωσε την πρόταση ότι αν υπάρχει λύση της εξίσωσης του fermat για n = 5 τότε καθένας από τους 3 αριθμούς πρέπει να διαιρείται με το 5. Με βάση αυτό το τελευταίο θεώρημα του fermat διακρίνουμε 2 κατηγορίες αριθμών:α) Τους μη διαιρετούς με το 5β) Τους υπόλοιπους αριθμούςΤο θεώρημα γενικεύτηκε ώστε να περιλάβει και άλλες δυνάμεις. Η Ζερμαίν διατύπωσε ένα γενικό θεώρημα που επέτρεπε να αποδείξουμε το τελευταίο θεώρημα του fermat για κάθε πρώτο αριθμό n μικρότερο από 100.

Απέδειξε ότι:Έστω n ένας περιττός πρώτος. Αν υπάρχει πρώτος p, ο οποίος ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες: (1) Η ισοτιμία xn+yn+ zn≡0(mod p) είναι δυνατή τότε x≡0 ή y≡0 ή z≡0 (mod p), και (2) η ισοτιμία xn≡n(mod p) είναι αδύνατη Τότε η περίπτωση του τελευταίου θεωρήματος του Fermat, δηλαδή ότι η εξίσωση xn+yn+zn=0 είναι αδύνατη στους ακεραίους που δεν διαιρούνται δια n, είναι αληθής για το n.

Το θεώρημα της Ζερμαίν είναι πολύ σημαντικό διότι δεν έχει ξεπεραστεί στο πέρασμα του χρόνου από τη στιγμή που ανακαλύφθηκε υπό την έννοια ότι εξακολουθεί να χρησιμοποιείται στον τομέα της θεωρίας των αριθμών. Το θεώρημα Ζερμαίν είναι ένα σημαντικό βήμα προς το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Έκανε έτσι το πρώτο μικρό αλλά αποφασιστικό βήμα προς τη λύση και η πρότασή της παρέμεινε η σημαντικότερη συμβολή σχετικά με το άλυτο αυτό θεώρημα του Fermat για τα επόμενα 100 χρόνια (έως το 1843, όπου ο μαθηματικός Kummer έκανε μια αποτελεσματική προσπάθεια που οδήγησε στη λύση του).

Πλήθος Sophie Germain πρώτων μικρότερων από N N πραγματικό Εκτίμηση 1,000 37 39100,000 1171 116610,000,000 56032 56128100,000,000 423140 4232951,000,000,000 3308859 330788810,000,000,000 26569515 26568824

Επίσης σημαντική είναι και η συνεισφορά της στη μελέτη της ελαστικότητας των μετάλλων, της ακουστικής και των μαθηματικών της φυσικής, χωρίς αυτή την θεωρία σύγχρονες κατασκευές δεν θα ήταν δυνατόν να πραγματοποιηθούν, όπως για παράδειγμα ο πύργος του Άϊφελ στο Παρίσι. Όταν ανεγέρθηκε ο πύργος του Άϊφελ, για την κατασκευή του οποίου χρησιμοποιήθηκε η πραγματεία της Ζερμαίν περί ελαστικότητας κατά κόρον από τους μηχανικούς, χαράχτηκαν πάνω σ’ αυτόν 72 ονόματα σοφών. Το όνομα της ιδιοφυούς αυτής γυναίκας δεν ήταν ανάμεσα σ’ αυτά. Το έγγραφο με τίτλο Memoir on the Vibrations of Elastic Plates έθεσε τις βάσεις για τη σύγχρονη θεωρία της ελαστικότητας. Πιο συγκεκριμένα, η Θεωρία ελαστικότητας είναι κλάδος της Μηχανικής παραμορφωσίμων σωμάτων, η οποία με τη σειρά της κλάδος της Μηχανικής του συνεχούς μέσου. Η Μηχανική του συνεχούς μέσου άλλωστε περιλαμβάνει τη Μηχανική παραμορφωσίμων σωμάτων και τη Μηχανική των ρευστών. Το πρόβλημα δονήσεων ενός κελύφους για πρώτη φορά

49

μελετήθηκε από την Ζερμαίν το 1821 οπού δημοσίευσε μια πολύ απλουστευμένη εξίσωση για την ταλάντωση κυλινδρικού κελύφους. Δυστυχώς όμως περιέχονταν λάθη. Τα επιτεύγματα της Ζερμαίν Σοφί στην επιστήμη και στα μαθηματικά μας επηρεάζουν με πολλούς τρόπους. Η θεωρία της για να αποδειχθεί το τελευταίο θεώρημα του Fermat ήταν ένα μεγάλο βήμα για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Βοήθησε να επιταχυνθεί η διαδικασία της εξέλιξης στα μαθηματικά. Η ανάπτυξη της θεωρίας της στην ελαστικότητα στη σύγχρονη θεωρία έπαιξε σημαντικό ρόλο στη κατασκευή των σημερινών κτιρίων. Σύγχρονες κατασκευές θα ήταν αδύνατες χωρίς τα πρωτότυπα έργα της. Η Γαλλίδα μαθηματικός Ζερμαίν Σοφί (Sophie Germain) θα γραφεί στην Ιστορία των μαθηματικών ως η κορυφαία αριθμοθεωρητικός του 20ου αιώνα, η οποία αναθέρμανε το επί πολλά χρόνια ξεχασμένο τελευταίο θεώρημα του Φερμά.

οδός δρόμου αφιερωμένη στην Sophie Germain

50

Ζιράλ Αλμπέρ (Albert Girard)Γεννήθηκε: 1595 στην St Mihiel στη Γαλλία

Πέθανε: 8 Δεκεμβρίου 1632 στο Leiden στην Ολλανδία

O Ζιράλ Αλμπέρ γεννήθηκε στη Γαλλία το 1595 αλλά έμελλε να περάσει το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του μακριά από την πατρίδα του. Αυτός και η οικογένειά του μεταφέρθηκε στην Ολλανδία ως θρησκευτικoί πρόσφυγες. O Ζιράλ συμμετείχε στο Πανεπιστήμιο του Leiden στην ηλικία των 22 ετών, όπου σπούδασε μουσική και η επιλογή που τον ενδιέφερε ήταν το λαούτο. Μάλιστα έβγαλε τα λεφτά του από αυτό ως μουσικός. Πανεπιστήμιο του Leiden

Το ενδιαφέρον του για τα μαθηματικά μεγάλωνε και το 1625 μετέφρασε το έργο του Stevins. Το 1626 δημοσίευσε το πρώτο του βιβλίο για την τριγωνομετρία. Σε αυτή την ιδιαίτερη διατριβή έθεσε τα "sin", "cos", και "tan" ως συντομογραφίες. Ήταν η πρώτη φορά που γινόταν κάτι τέτοιο. Το βιβλίο περιλαμβάνει τον τύπο για την επιφάνεια ενός τριγώνου που εγγράφεται σε μία σφαίρα. O Ζιράλ έδειξε πως η περιοχή ενός τριγώνου εγγεγραμμένου σε σφαίρα εξαρτάται από την εσωτερική γωνία. Το αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας ονομάζεται θεώρημα Girard. Ποιο αναλυτικά:Το 1629 προεκτείνοντας τα Σφαιρικά του Μενέλαου, απέδειξε ότι για τα σφαιρικά τρίγωνα ΑΒΓ ισχύει ο τύπος : Α+Β+Γ = π +(ΑΒΓ)/R2

όπου R η ακτίνα της θεωρούμενης σφαίρας και το (ΑΒΓ) συμβολίζει το εμβαδόν του τριγώνου. Δηλαδή το άθροισμα των γωνιών ενός σφαιρικού τριγώνου είναι μεγαλύτερο από 2 ορθές και δεν είναι το ίδιο για όλα τα τρίγωνα αφού μεγαλύτερο εμβαδόν συνεπάγεται μεγαλύτερο άθροισμα γωνιών για την ίδια σφαίρα. Επίσης, εάν το R τείνει στο άπειρο τότε το εμβαδόν του τριγώνου είναι π, δηλαδή η Ευκλείδεια Γεωμετρία θεωρείται σαν η οριακή περίπτωση της Σφαιρικής. Επειδή το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών σε τρίγωνο είναι μεγαλύτερο του π θα πρέπει το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών να είναι μικρότερο του 2π αφού το άθροισμα των εσωτερικών και εξωτερικών γωνιών σε ένα πολύγωνο είναι πV, όπου V είναι ο αριθμός των κορυφών του πολυγώνου. Προσφορά στα μαθηματικά και στη φυσική

Ο Ζιράλ έκανε πολλές αρχικές προσφορές που είχαν διαρκή επίπτωση στην ιστορία των μαθηματικών. Ήταν ο πρώτος που πρότεινε το *θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, ότι μια εξίσωση με δύναμη n αναγκαστικά έχει και ν ρίζες. Στο βιβλίο του L'invention nouvelle en l'Algèbre του 1629, ισχυρίστηκε ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση βαθμού n έχει n λύσεις, χωρίς όμως να δηλώνει ότι χρειάζεται να είναι πραγματικοί αριθμοί.

Σήμερα ξέρουμε ότι:Η απλή περίπτωση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

51

έχει λύση στο πεδίο των πραγματικών αριθμών, εάν η διακρίνουσα

Στην περίπτωση αυτή η τιμές των ριζών προκύπτουν από τη σχέση

Εάν Δ<0 η (3) δεν έχει έννοια στο πεδίο των πραγματικών αριθμών, διότι ο υπολογισμός της τετραγωνικής ρίζας ενός αρνητικού αριθμού είναι πράξη αδύνατη π.χ. Έστω ότι έχουμε να λύσουμε την εξίσωση:

Χρησιμοποιώντας την σχέση (3) θα έχουμε:

Άρα θα έχουμε δύο ρίζες , που δεν μπορούν να

ονομαστούν "αριθμοί" διότι εμφανίζεται η πράξη , που όπως είπαμε ποιο πάνω είναι πράξη αδύνατη στο πεδίο των πραγματικών αριθμών. Η παραπάνω εκφράσεις

που περιλαμβάνουν τους πραγματικούς αριθμούς 2 , 3 και την , είναι η ποιο απλή περίπτωση αδύνατης πράξης στο πεδίο των πραγματικών αριθμών. Τέτοιες εκφράσεις λοιπόν δεν μπορούν να ονομάζονται "αριθμοί", και τους ονομάζουμε "μιγαδικούς-αριθμούς". Ο Ζιράλ προσέγγισε με τόλμη τους αρνητικούς και τους μιγαδικούς αριθμούς και διατύπωσε τη γενική αρχή ότι το πλήθος των ριζών μιας εξίσωσης ισούται με το βαθμό της. Επισήμανε σχέσεις ανάμεσα στις ρίζες και τους συντελεστές μιας εξίσωσης και πρότεινε τη γενίκευσή τους.

Ο Ζιράλ ως παράδειγμα, έδωσε τις ρίζες της εξίσωσης: x4 – 4x + 3 = 0,που είναι: 1, -1, -1 + O (-2) και -1 - O (-2).

Ο κλάδος αυτός των Μαθηματικών βοήθησε τρομερά στην επινόηση, την μελέτη και την σύγκριση μεθόδων για την επίλυση προβλημάτων που προκύπτουν στις Φυσικές Επιστήμες, στην Τεχνολογία και στα Μαθηματικά. Ο Ζιράλ επίσης, κατέληξε σε σημαντικές ταυτότητες που σχετίζονται με συμμετρικά πολυώνυμα τα οποία ο Newton ανακάλυψε ανεξάρτητα. Ως γνωστόν οι αριθμοί Fibonacci είναι το αριθμητικό σύστημα της φύσης. Η αριθμητική ακολουθία Fibonacci ανακαλύφθηκε από τον Ιταλό Leonardo Fibonacci στις αρχές του 13ου αιώνα. Εμφανίζονται παντού στη φύση, από τη διάταξη των φύλλων στα φυτά μέχρι το μοτίβο των πετάλων στα λουλούδια, τις πευκοβελόνες, ή τα στρώματα του φλοιού ενός ανανά. Leonardo Fibonacci

Φαίνεται πώς οι αριθμοί Fibonacci σχετίζονται με την ανάπτυξη κάθε ζωντανού οργανισμού, ενός κυττάρου, ενός σπυριού σταριού, μιας κυψέλης μελισσών, ακόμα της ίδιας της ανθρωπότητας. Η ακολουθία αριθμών στην οποία ο κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων

52

είναι γνωστή ως ακολουθία Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181,...  (κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων).Επιπλέον, ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας τείνει προς την αποκαλούμενη Χρυσή Τομή, ή Χρυσή αναλογία, ή Αριθμό φ =1.618033989.  Ο αντίστροφος της Χρυσής Τομής 1/φ= 0.618033989, με αποτέλεσμα να ισχύει: 1/φ=φ-1. Ένα ορθογώνιο τετράπλευρο του οποίου ο λόγος των πλευρών είναι ίσος με 1/φ ονομάζεται Χρυσό Ορθογώνιο. Η ακολουθία Fibonacci παράγεται από τη σχέση: f(1) = f(2) = 1 , f(n+1) = f(n) + f(n-1) και απαντάται συχνά σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και των άλλων επιστημών. Είναι όμως σημαντικό και το πόσο συχνά συναντάται στη φύση, σε μοτίβα όπως

το τρίγωνο του Pascal για εύρεση αριθμών Fibonacci

τα λουλούδια ή τα φύλλα των φυτών. Ακόμη και σήμερα η χρυσή αναλογία απαντάται σε πλήθος αντικείμενα φτιαγμένα από τον άνθρωπο. Αν θέλει κανείς να δει ένα χρυσό ορθογώνιο αρκεί να κοιτάξει μια πιστωτική κάρτα το σχήμα της οποίας είναι ακριβώς αυτό. Ο Ζιράλ ήταν ο πρώτος πού έδωσε την έκφραση της ακολουθίας Fibonacci με τη γνωστή μας σχέση: fn+2 = fn+1 + fn. Παρά τις πολύ καινοτόμες toy ιδέες o Ζιράλ, δεν περιελάμβανε τις μαθηματικές αποδείξεις των ιδεών του. Ο Ζιράλ, όπως και πολλοί από τους μαθηματικούς της εποχής του, κυρίως ενδιαφερόταν για στρατιωτικές εφαρμογές των μαθηματικών. Είχε έντονο ενδιαφέρον για τη φύση της οχύρωσης και της μηχανικής. Μετέφρασε πολλά έργα για την οχύρωση ορισμένα από τα οποία από τα γαλλικά σε φλαμανδικά και άλλο από φλαμανδικά στα Γαλλικά.. Φαίνεται ότι ο Ζιράλ πέρασε κάποιο καιρό ως μηχανικός στον ολλανδικό στρατό, αν και αυτό πιθανότατα έγινε μετά την έκδοση της εργασίας του σχετικά με την τριγωνομετρία. Ο Gassendi γράφοντας σε ένα φίλο του, μιλάει για τον Ζιράλ και γίνεται λόγος για τη θέση του στον ολλανδικό στρατό Κατά τη στιγμή του θανάτου του, το επάγγελμα του ήταν αυτό του μηχανικού. Ο Ζιράλ πέθανε στις 8 Δεκεμβρίου του 1632.

* θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας είναι ένα από τα σημαντικότερα θεωρήματα της Άλγεβρας. Σύμφωνα με αυτό το θεώρημα, κάθε πολυώνυμο μιας μεταβλητής με μιγαδικούς συντελεστές έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Σύμφωνα με την ορολογία της Γραμμικής Άλγεβρας, το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας ισοδυναμεί με το γεγονός ότι το σώμα των μιγαδικών αριθμών είναι αλγεβρικά κλειστό. Η πρώτη αναφορά στην ουσία του θεωρήματος έγινε από τον Peter Rothe (Petrus Roth) στο βιβλίο του Arithmetica Philosophica (1608), όπου σημείωνε ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση βαθμού n (με πραγματικούς συντελεστές) μπορεί να έχει n λύσεις. Έπειτα, ο Albert Girard, στο βιβλίο του L'invention nouvelle en l'Algèbre του 1629, ισχυρίστηκε ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση βαθμού n έχει n λύσεις, χωρίς όμως να δηλώνει ότι χρειάζεται να είναι πραγματικοί αριθμοί. Η πρώτη απόπειρα απόδειξης του θεωρήματος έγινε από το Γάλλο μαθηματικό και φιλόσοφο D'Alambert το 1746, αλλά η

53

απόδειξη του ήταν ατελής. Για παράδειγμα, προαπαιτούσε την ισχύ ενός θεωρήματος (που είναι σήμερα γνωστό ως θεώρημα Puiseux), το οποίο όμως αποδείχuηκε μόλις έναν αιώνα μετά και μάλιστα η απόδειξη του βασιζόταν στο θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας. Προσπάθειες για την απόδειξη του θεωρήματος έγιναν και από άλλους μαθηματικούς, όπως οι Euler (1749), Lagrange (1772), και Laplace (1795). Όλες αυτές οι προσπάθειες βασίζονταν ουσιαστικά στον ισχυρισμό του Girard. Για την ακρίβεια, δέχονταν την ύπαρξη αυτών των λύσεων οπότε προσπαθούσαν να αποδείξουν ότι οι λύσεις είχαν τη μορφή a + bi για κάποιους πραγματικούς a και b. Στα τέλη του 18ου αιώνα εμφανίστηκαν δύο νέες και καλύτερες απόπειρες απόδειξης του θεωρήματος. Η πρώτη ήταν του James Wood, δημοσιεύθηκε το 1798 και ήταν κυρίως αλγεβρική, αλλά αγνοήθηκε εντελώς καθώς είχε κενά. Αντίθετα, πιο γνωστή έγινε η δεύτερη απόπειρα απόδειξης, που ήταν γεωμετρική και δημοσιεύθηκε ένα έτος αργότερα, το 1799, από το Γερμανό μαθηματικό Carl Friedrich Gauss. Και πάλι, όμως, η απόδειξη δεν ήταν πλήρης.

Ζουγκέ Εμίλ (Emile Jouguet)Γεννήθηκε: 5 Ιανουαρίου 1871 στη BessègesΠέθανε: 2 Απρίλιος 1943 στο Μονπελιέ στο

Παρίσι

Ο Ζουγκέ Εμίλ γεννήθηκε το 1871, γιος του Felix Jouguet. Ο πατέρας του ήταν απόφοιτος της Σχολής Mines de Paris και υπεύθυνος στις μεταλλουργικές βιομηχανίες στη Bessèges καθώς και δήμαρχος της Bessèges (1831-1887). Η μητέρα του ήταν κόρη καθηγητή μαθηματικών του Πανεπιστημίου του Montpellier και η αδελφή

54

του δημοσίευσε πολλά βιβλία της οικονομικής γεωγραφίας. Ήταν δεκαέξι ετών ο Ζουγκέ, όταν πέθανε ο πατέρας του. Από το 1895 έως το 1898 υπήρξε μηχανικός Ορυχείων και είχε τον έλεγχο των σιδηροδρόμων στο Μπορντώ και στο Clermont-Ferrand. Από το 1898 έως το 1907 υπήρξε καθηγητής Ορθολογικής και Εφαρμοσμένης Μηχανικής στην Ecole des Mines στο Saint-Etienne. Από το 1907 έως το 1910 είχε τον μηχανικό έλεγχο των σιδηροδρόμων στο Παρίσι και για αρκετούς μήνες υπήρξε αναπληρωτής γενικός γραμματέας στην επιτροπή σχετικά με τη διανομή της ηλεκτρικής ενέργειας Το 1910 διορίζεται στην Ecole des Mines στο Παρίσι ως καθηγητής στην ανάλυση και την περιγραφική γεωμετρία και την μορφολογία του εδάφους και παραμένει ως το 1914. Τον Αύγουστο του 1914 κατατάσσεται ως υπολοχαγός-συνταγματάρχης στο πυροβολικό.Από το 1920 έως το 1939 υπήρξε καθηγητής των μηχανών στην Ecole des Mines στο Παρίσι. Επίσης υπήρξε και καθηγητής μηχανολογίας στο πολυτεχνείο. Το 1921 λαμβάνει το βραβείο Poncelet. Ο Emile Jouguet

φοιτητής στο Ecole Polytechnique Ανήσυχο πνεύμα, προικισμένος με μεγάλη διαίσθηση, ήταν επίσης σε θέση να ασχολείται με πρακτικά ζητήματα επιστημονικών προβλημάτων. Ειδικά κατά τη διάρκεια του πολέμου του 1914-1918 ήταν η ευκαιρία να προβληθούν οι ικανότητες του ως οργανωτής και ηγέτης. Διορίστηκε ως υπεύθυνος του εξοπλισμού και της κατασκευής αυτοκινήτων από το Υπουργείο Άμυνας και για την ανασυγκρότηση της βιομηχανίας. Το 1923 διορίζεται ως γενικός επιθεωρητής ορυχείων Και το 1930 διορίζεται ως μέλος της Ακαδημίας των Επιστημών στο Τμήμα Μηχανολογίας. Η καριέρα του Ζουγκέ παρουσιάζει μια αξιόλογη αφιέρωση στο σώμα των ορυχείων και των υπηρεσιών του κράτους, πιο συγκεκριμένα στις λειτουργίες που σχετίζονται με το τομέα της μηχανικής και της εκπαίδευσης. Κατάφερε να συνδυάσει την έρευνα με τα βασικά ζητήματα της μηχανικής και ειδικότερα την εφαρμογή της μηχανικής στη βιομηχανία. Προσφορά στη φυσική

Ο Ζουγκέ Εμίλ είναι κυρίως γνωστός για το έργο του στην θερμοδυναμική και την υδροδυναμική, σε εφαρμογές στη θέρμανση κινητήρων και τη χρήση εκρηκτικών, καθώς επίσης και στη διάδοση των *κρουστικών κυμάτων. Όσον αφορά την θερμοδυναμική έδειξε ότι η πίεση είναι συνάρτηση της πυκνότητας, αλλά και η εντροπία είναι συνάρτηση της θερμοκρασίας. Η δήλωση αυτή είναι ευρύτερη από την προηγούμενη. Για τα υγρά, και παραβλέποντας τα ηλεκτροδυναμικά φαινόμενα τα οποία η Θερμοδυναμική δεν μπορεί να λάβει υπόψη, ήταν σε θέση να μελετήσει την διάδοση των κυμάτων και να δείξει τελικά ότι η ταχύτητα του ήχου μεταβάλλεται ανάλογα με την κατεύθυνση του αντικειμένου που διαδίδει τον ήχο. Κατά τη γενικευμένη θεωρία της ελαστικότητας ο Ζουγκέ τόνισε ιδιαίτερα ότι η μελέτη των μικρών κινήσεων των αερίων είναι υποχρεωμένη να σχετίζεται και να υπακούει στη θεωρία της ελαστικότητας. Στο ίδιο πνεύμα ο Ζουγκέ δημιούργησε ένα εξαιρετικά σημαντικό αποτέλεσμα για την θεωρία των υδραυλικών μηχανών. Έδειξε μάλιστα ότι όταν η αναταραχή ενός υγρού γίνεται μεγάλη, η αντίσταση του υγρού τείνει να γίνει ανάλογη του τετράγωνου της ταχύτητας του. Οι βασικές θεωρίες του στη μηχανική περιέχονται στους δύο τόμους που δημοσιεύθηκαν το 1908 και το 1909 με τον τίτλο Lectures de Mécanique. Τα κείμενα

55

που συγκεντρώνονται σε αυτό το βιβλίο έχουν επιλεγεί με προσοχή στα οποία τονίζει από την αρχή ο συγγραφέας ότι χρησιμοποιεί μεθόδους που προέρχονται από την εμπειρία και την παρατήρησης της φύσης και τα οποία είναι προϊόντα τόσο της φύσης των πραγμάτων όσο και της φύσης του νου, και έτσι κατορθώνει να οικοδομήσει μία ορθά επιστημονική τεκμηρίωση της φύσης. Από το 1903 πρότεινε μια νέα μέθοδο για την εκτίμηση των ζημιών στις ατμομηχανές. Το έργο του σχετικά με την ανισότητα του Clausius αναφερόταν στις ζημιές που προκαλούνται στις ατμομηχανές. Έφερε στο φως τη σημασία της απώλειας ενέργειας που προκαλείται από 800° έως 1000° κατά μέσο όρο, μεταξύ της φωτιάς, της απαγωγής των καυσαερίων και της θερμότητας της γεννήτριας του ατμού και του νερού που περιέχει. Οι μελέτες αυτές οδήγησαν στον σχεδιασμό μιας πραγματικά γενικής θεωρίας της θερμότητας στους κινητήρες εσωτερικής ή εξωτερικής καύσης. Το βιβλίο του "Θεωρία της θερμότητας κινητήρων", η οποία δημοσιεύθηκε το 1909 περιλαμβάνει μια πλήρη και άκρως εμπεριστατωμένη ανάλυση. Σχετικά με το επιστημονικό έργο ιδίως από την άποψη της εφαρμοσμένης μηχανικής, θα πρέπει επίσης να αναφέρουμε τη συμμετοχή του σε πολλά διεθνή συνέδρια στα οποία πήρε μέρος όπως στο Κογκρέσο στην εφαρμοσμένη μηχανική, στη Στοκχόλμη και στο Cambridge. Όσον αφορά την προσφορά του στη θεωρία των εκρήξεων και στα κύματα ο Ζουγκέ κατάφερε να δώσει σε αυτό το τομέα τα θεμέλια. Το αποφασιστικό βήμα έγινε από τον ίδιο, όταν έχοντας εισαγάγει την έννοια του σταθερού κύματος, επίστρεψε στην ιδέα του που είχε εγκαταλείψει στο παρελθόν, δηλαδή να εξετάζει τις εκρήξεις όπως τα κρουστικά κύματα τα οποία συνοδεύονται από μείωση της πίεσης.

*Κρουστικά κύματα είναι τα κύματα που δημιουργούνται από την απότομη μεταβολή της πίεσης και της πυκνότητας του αέρα, όταν ένα σώμα κινείται με ταχύτητα ίση ή μεγαλύτερη από την ταχύτητα του ήχου. Κύμα κρούσεως ή κρουστικό κύμα μπορεί να εμφανιστεί και σε μία έκρηξη (π.χ. σε ένα λατομείο), λόγω της απότομης διαστολής των αερίων. Όσο οξύτερο είναι το μπροστινό άκρο του

56

κινούμενου σώματος, τόσο μικρότερη ενέργεια απαιτείται για τη δημιουργία κρουστικού κύματος. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο το μπροστινό τμήμα της ατράκτου των υπερηχητικών αεροπλάνων καταλήγει σε ακίδα. Το κύμα κρούσεως έχει τη μορφή κώνου, με κορυφή τη θέση του σώματος σε κάθε στιγμή της κίνησής του. Τα κρουστικά κύματα προβάλλουν αντίσταση στην κίνηση των αεροσκαφών και αρχίζουν να εμφανίζονται σε ορισμένα σημεία τους, π.χ. στα φτερά, πριν ακόμη το αεροσκάφος αποκτήσει υπερηχητική ταχύτητα. Η πίεση και η θερμοκρασία αυξάνονται πολύ και το αεροσκάφος ταλαντεύεται τη στιγμή που σπάει το φράγμα το ήχου, έπειτα όμως η κίνησή του είναι ομαλή και δεν επηρεάζεται από το κύμα κρούσεως, μέχρι τη στιγμή που θα ελαττώσει και πάλι την ταχύτητά του, κατά την προσγείωσή του.

Καρτάν Ανρί (Cartan Henri - Paul)

Γεννήθηκε: 8 Ιουλίου 1904 στη Nancy Πέθανε: 13 Αυγούστου 2008 στο Παρίσι

Ο Καρτάν Ανρί, ένας από τους σημαντικούς μαθηματικούς του εικοστού αιώνα, πέθανε στις 13 Αυγούστου σε ηλικία 104 ετών. Ο Καρτάν, γιος του μαθηματικού Elie Cartan, ήταν ένα από τα ιδρυτικά μέλη της ομάδας Bourbaki και είχε σημαντικές συνεισφορές σε πολλούς τομείς των μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένης της σύνθετης ανάλυσης, της αλγεβρικής τοπολογίας και της ομόλογης άλγεβρας. Συνέγραψε ομόλογη άλγεβρα με το Samuel Eilenberg και διεξήγαγε το Seminaire Cartan στο Παρίσι από το 1948 σε 1964. Ο Καρτάν εκλέχτηκε σε περισσότερο από μία δωδεκάδα ακαδημίες στην Ευρώπη, τις ΗΠΑ, και την Ιαπωνία, και έλαβε το βραβείο Wolf το 1980. Εκτός από την εργασία του στα Μαθηματικά, είναι επίσης γνωστός για τις προσπάθειές του για την αποκατάσταση των σχέσεων μεταξύ των μαθηματικών της Γαλλίας και της Γερμανίας μετά από τον Β’ Παγκόσμιο Πόλεμο. Όταν ο Καρτάν ήταν πέντε ετών, ο πατέρας του διορίστηκε ως λέκτορας στη Σορβόννη και η οικογένεια του μετακόμισε από τη Nancy στο Παρίσι. Εκεί παρακολούθησε μαθήματα στο Lycée Buffon και στο Lycée Hoche στις Βερσαλλίες. Ο Καρτάν είχε μια αδελφή και δύο νεότερους αδελφούς τους Jean και Louis που πέθαναν τραγικά. Ο Jean πέθανε από φυματίωση στην ηλικία των 25 ετών ενώ ο Louis που ήταν φυσικός, συνελήφθη από τους Γερμανούς το 1942, απελάθηκε στη

57

Γερμανία τον Φεβρουάριο του 1943, και εκτελέστηκε μετά από 15 μήνες αιχμαλωσίας. Ο Καρτάν μεγάλωσε σε ένα σπίτι όπου η μουσική ήταν πολύ σημαντική και όλα τα παιδιά έπαιζαν μουσική. Αν και ο πατέρας του Ανρί ήταν μαθηματικός, δεν προσπάθησε να επηρεάσει τα παιδιά του προς μια καριέρα πάνω στα μαθηματικά. Πάντα έτοιμος βέβαια να απαντάει σε όλο και πιο πολλές ερωτήσεις του Ανρί σχετικά με τα μαθηματικά καθώς εκείνος μεγάλωνε. Ο Ανρί ήξερε από πολύ νεαρή ηλικία ότι θα γινόταν μαθηματικός. Μετά την ολοκλήρωση της σχολικής εκπαίδευσης του ο Καρτάν ξεκίνησε τις σπουδές του στην École Normale Superieure στο Παρίσι και γρήγορα έγινε πολύ φίλος με τον André Weil που ήταν ένα χρόνο μεγαλύτερος. Μεταξύ των καθηγητών του Καρτάν στην École Normale ήταν η Gaston Julia και ο πατέρας του, Elie Cartan. Οι φοιτητές στην École Normale έπρεπε επίσης να παρακολουθούν γενικά μαθήματα στη Σορβόννη έτσι ο Καρτάν σπούδασε και εκεί. Οι διδακτορικές του σπουδές ήταν υπό την εποπτεία του Paul Montel, του οποίου τα ενδιαφέροντα της έρευνας του ήταν η θεωρία των αναλυτικών λειτουργιών μιας σύνθετης μεταβλητής. Ο Καρτάν έλαβε το ντοκτορά του (Docteur des Sciences) στα Μαθηματικά το 1928. Μετά την απονομή του διδακτορικού του, ο Καρτάν δίδαξε στο Lycée Caen από το 1928 έως το 1929, και στη συνέχεια στο Πανεπιστήμιο της Lille από το 1929 έως 1931. Ο Καρτάν δημοσίευσε το Les transformations analytiques des domaines cerclés les uns dans les autres το 1930. Αυτό το έγγραφο περιείχε γενικεύσεις αποτελεσμάτων αποδεδειγμένων από τον Heinrich Behnke, έτσι ο τελευταίος προσκάλεσε τον Ανρί να επισκεφθεί τη Γερμανία τον Μάιο του 1931 και να δώσει μια σειρά διαλέξεων στο Münster στην Westphalen Behnke όπου δίδασκε και ο ίδιος. Εκεί συνάντησε τον Peter Thullen, βοηθό του Behnke, και ξεκίνησαν μια συνεργασία η οποία κατέληξε στο από κοινού έγγραφο Zur Theorie der Singularitäten der Funktionen mehrerer Komplexen Veränderlichen το οποίο δημοσιεύτηκε το 1932. Ο Thullen άφησε τη Γερμανία όταν ήρθαν στην εξουσία οι Ναζί το 1933, οπότε και η συνεργασία τους έληξε. Ένα από κοινού έγγραφο συντάχθηκε από τον Ανρί Καρτάν και τον πατέρα του Elie Cartan, το Les transformations des domaines cerclés bornés και δημοσιεύτηκε το 1931. Τις περισσότερες φορές οι δύο μαθηματικοί εργαζόντουσαν ανεξάρτητα, αλλά για αυτό το έγγραφο ήταν σημαντική η εμπειρία του Elie Cartan για να απαντηθούν τα ζητήματα που απασχολούσαν τον Henri. Ένα πολύ σημαντικό μέρος της μαθηματικής του ζωής ο Καρτάν ασχολήθηκε με το Bourbaki. Η πρώτη συνάντηση της ομάδας των μαθηματικών που αυτοαποκαλούνταν "Bourbaki" έλαβε χώρα στις 14 Ιανουαρίου του 1935. Ο Καρτάν εξήγησε το φαινόμενο Bourbaki ως εξής:

Μετά τον Πρώτο Παγκόσμιο Πόλεμο δεν υπήρχαν τόσοι πολλοί επιστήμονες, εννοώ καλοί επιστήμονες στη Γαλλία, επειδή οι περισσότεροι από αυτούς είχαν σκοτωθεί. Ήμασταν η πρώτη γενιά μετά τον πόλεμο. Πριν από εμάς υπήρχε ένα κενό, και ήταν απαραίτητο να κάνουμε τα πάντα νέα. Ορισμένοι από τους φίλους μου πήγαν στο εξωτερικό, κυρίως στη Γερμανία, και παρατήρησαν τι είχε γίνει εκεί. Αυτή ήταν η αρχή μιας μαθηματικής ανανέωσης. Αυτό οφείλεται σε αυτούς τους ανθρώπους όπως τους Weil, Chevalley, de Possel .... Οι ίδιοι άνθρωποι ανταποκρίθηκαν στην πρωτοβουλία του André Weil και ενώθηκαν για να σχηματίσουν την ομάδα Bourbaki.

Η περίοδος του πολέμου ήταν μια μεγάλη τραγωδία για την οικογένεια του Καρτάν. Ο Henri Louis ο αδερφός του ήταν μέλος της Αντίστασης αγωνιζόταν στη

58

Γαλλία κατά των γερμανικών κατοχικών δυνάμεων. Συνελήφθη τον Φεβρουάριο του 1943 και αποκεφαλίστηκε από τους Ναζί αλλά η οικογένεια του το έμαθε το Μάιο του 1945. Στα τέλη του 1945, όταν ο Β 'Παγκόσμιος Πόλεμος είχε λήξει ο Καρτάν επέστρεψε στο Πανεπιστήμιο του Στρασβούργου και συνέχισε να διδάσκει εκεί για δύο χρόνια ακόμη οπού και επανασύνδεσε τις σχέσεις του με τους γερμανούς συνάδελφους του. Ο Καρτάν διορίστηκε καθηγητής στη Σορβόννη στο Παρίσι το Νοέμβριο του 1940. Δίδαξε στο Παρίσι από τότε έως το 1969 και στη συνέχεια στο Université de Paris-Sud στο Orsay από το 1970 έως το 1975. Συνταξιοδοτήθηκε το 1975. Στην Ecole Normale Superieure άρχισε κάποια σεμινάρια, τα Séminaire Cartan. Τα σεμινάρια αυτά συντάχθηκαν για δημοσίευση και δεκαπέντε αυτοτελή σεμινάρια γραμμένα από τον Καρτάν δημοσιεύτηκαν μεταξύ του 1948 και του 1964. Θα πρέπει να αναφέρουμε και μια πτυχή της προσφοράς του Καρτάν που είχε σχέση με την πολιτική και συγκεκριμένα με την υποστήριξη των ανθρωπίνων δικαιωμάτων. Το 1974, μια υπόθεση προέκυψε όταν οι ρωσικές αρχές έκλεισαν τον μαθηματικό Leonid Plyushch σε ειδικό ψυχιατρικό νοσοκομείο. Ο Αντρέι Sakharov υποστήριξε ότι αυτή ήταν μια πολιτική πράξη και ο Καρτάν ξεκίνησε μια εντατική εκστρατεία για την απελευθέρωση του Plyushch. Το Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών πραγματοποιήθηκε στο Βανκούβερ το 1974 και σε αυτό παρουσιάστηκε η ευκαιρία να κερδισθεί η διεθνής κοινή γνώμη για τον Plyushch έχοντας αποτέλεσμα χιλιάδες υπογραφές με σκοπό την απελευθέρωσή του. Μετά το συνέδριο ο Καρτάν διαδραμάτισε μείζονα ρόλο στη δημιουργία της επιτροπής των μαθηματικών (Comité des Mathématiciens) για την υποστήριξη του Plyushch συγκεκριμένα, αλλά και άλλων αντιφρονών μαθηματικών. Τον Ιανουάριο του 1976 οι σοβιετικές αρχές απελευθέρωσαν τον Plyushch πράγμα το οποίο ήταν μια μεγάλη επιτυχία για τον Καρτάν και την επιτροπή. Αλλά η επιτροπή δεν σταμάτησε μετά από αυτή την επιτυχία. Υποστήριξε και άλλους μαθηματικούς που είχαν υποφέρει για τις πολιτικές τους απόψεις, όπως τον μαθηματικό José Luis Massera. Για την εξαιρετική εργασία του και την βοήθεια του ο Καρτάν έλαβε το Βραβείο Pagels από την ακαδημία επιστημών της Νέας Υόρκης. Προσφορά στα Μαθηματικά και στη φυσική

Ο Καρτάν είχε σημαντικές συνεισφορές σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και μέσω αυτών στη φυσική, συμπεριλαμβανομένης της σύνθετης ανάλυσης, της αλγεβρικής τοπολογίας και της ομολογικής Άλγεβρας. Έγραψε πάνω στην Ομόλογη Άλγεβρα μαζί με τον Samuel Eilenberg και διεξήγαγε το σεμινάριο Cartan στο Παρίσι από το 1948 σε 1964. Γενικά η σύγχρονη γεωμετρία χωρίζεται σε δύο μεγάλους κλάδους: την Αλγεβρική Γεωμετρία (η οποία σχετίζεται άμεσα με την άλγεβρα και την θεωρία αριθμών) και την Διαφορική Γεωμετρία (που σχετίζεται άμεσα με την ανάλυση και την τοπολογία). Το βασικό αντικείμενο μελέτης της πρώτης είναι η ποικιλία (variety) ενώ της δεύτερης είναι η πολλαπλότητα (manifold). Ποιο συγκεκριμένα το θεμελιώδες πρόβλημα της Αλγεβρικής τοπολογίας είναι να διαπιστώσει σε αλγεβρικές μεθόδους αν ένας τοπολογικός χώρος έχει τρύπες ή όχι. Η αλγεβρική τοπολογία και ιδιαίτερα ο κλάδος της λέγεται ομοτοπία (homotopy). Ποιο συγκεκριμένα σε έναν τοπολογικό χώρο θεωρούμε σαν ισοδύναμες δύο κλειστές καμπύλες όταν η μία μπορεί να συρρικνωθεί στην άλλη (μετασχηματιζόμενη συνεχώς). Σε έναν απλά συνεκτικό χώρο όλες οι κλειστές του καμπύλες είναι μεταξύ τους ισοδύναμες και συνεπώς ο χώρος έχει μία και μοναδική κλάση ισοδυναμίας κλειστών καμπυλών. Μετά από αρκετές πράξεις και με την βοήθεια θεωρημάτων

59

καταλήγουμε στο ότι η ομοτοπία περιγράφει με καθαρά αλγεβρικά μέσα την τοπολογική πολυπλοκότητα ενός χώρου. Η αλγεβρική τοπολογία μπορεί να εφαρμοστεί με μεγάλη χρησιμότητα και στη φυσική όπως στον ηλεκτρομαγνητισμό όπως τον προσδιορισμό του ολικού ηλεκτρικού φορτίου που υπάρχει σε έναν χώρο. Εργάστηκε πάνω στις αναλυτικές λειτουργίες, την θεωρία των φλοιών, την ομολογική θεωρία, την αλγεβρική τοπολογία και την θεωρία δυναμικού, δίνοντας σημαντικές προσφορές σε όλους αυτούς τους τομείς. Η θεωρία των λειτουργιών πολλών σύνθετων μεταβλητών έφυγε από τη νηπιακή ηλικία με το έργο του Hartogs, του Levi και του Poincaré λίγο μετά την αλλαγή του αιώνα παίρνοντας την σημερινή της μορφή ως κεντρικός τομέας των σύγχρονων μαθηματικών, όπως και η προκάτοχός της, η θεωρία λειτουργίας μιας σύνθετης μεταβλητής έκανε τον 19ο αιώνα. Ένα κεντρικό στοιχείο αυτής της εξέλιξης υπήρξε ο Καρτάν, του οποίου η σειρά εγγράφων στον τομέα αυτό αρχίζοντας από τη δεκαετία του 1920 ασχολήθηκε με τα θεμελιώδη ερωτήματα σχετικά με την θεωρία Nevanlinna, γενικεύσεις των θεωρημάτων Mittag-Leffler, θεωρήματα Weierstrass (όπως του ότι κάθε συνεχής συνάρτηση στο κλειστό διάστημα [a, b] έχει τουλάχιστον ένα σημείο ολικού μεγίστου και τουλάχιστον ένα σημείο ολικού ελαχίστου), τις λειτουργίες πολλών μεταβλητών, προβλήματα που σχετίζονται με biholomorphic mappings και το πρόβλημα της biholomorphic ισοδυναμίας, τομείς της holomorphic και holomorphy κυρτότητας, κλπ. Οι κυριότερες εξελίξεις στη θεωρία από το 1930 έως το 1950 προήλθαν από τον Καρτάν και το σχολείο του στη Γαλλία. Οι κεντρικές ιδέες των σεμιναρίων του Καρτάν είχαν γίνει μέχρι τις αρχές της δεκαετίας του 1950, και αυτές ήταν μεγάλη επιρροή στις πολλές επόμενες γενιές μαθηματικών. Τα επιτεύγματα του Cartan ήταν πολλά και επηρέασε τα μαθηματικά μέσα από τη γραφή, τη διδασκαλία, τα σεμινάρια, και τους μαθητές του με έναν αξιοθαύμαστο τρόπο. Χαρακτηριστική είναι η ερμηνεία την οποίαν δίδει ο Καρτάν: «ένας μαθηματικός που καταπιάνεται να αποδείξει κάτι, έχει στο νου του μαθηματικά αντικείμενα σωστά ορισμένα, τα οποία μελετά εκείνη τη στιγμή. Όταν νομίζει ότι βρήκε την απόδειξη και αρχίζει προσεκτικά να ελέγχει όλα τα συμπεράσματά του, αντιλαμβάνεται ότι μονάχα ένας πολύ μικρός αριθμός ειδικών ιδιοτήτων των θεωρούμενων αντικειμένων έπαιξε κάποιο ρόλο στην απόδειξη. Έτσι ανακαλύπτει ότι μπορεί να χρησιμοποιήσει την ίδια απόδειξη γι’ άλλα αντικείμενα που έχουν μόνο τις ιδιότητες τις οποίες χρησιμοποίησε πριν. Εδώ μπορούμε να δούμε την απλή ιδέα που περιέχεται στην αξιωματική μέθοδο: αντί να πούμε ποια αντικείμενα πρέπει να εξετασθούν, αρκεί να φτιάξουμε ένα κατάλογο ιδιοτήτων ... για να τον χρησιμοποιήσουμε στην έρευνα. Βάζουμε λοιπόν αυτές τις ιδιότητες σαν επιγραφή εκφράζοντες τις ως αξιώματα. Από αυτή τη στιγμή δεν είναι πια σημαντικό να εκφράσεις τι είναι τα προς μελέτη αντικείμενα. Αντί γι’ αυτό μπορούμε να κατασκευάσουμε την απόδειξη με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι αληθινή για κάθε αντικείμενο που ικανοποιεί τα αξιώματα. Είναι αρκετά σημαντικό ότι η συστηματική εφαρμογή μιας ιδέας τόσο απλής, τόσο πολύ διατάραξε τα μαθηματικά» . Ο Καρτάν έγινε μέλος της Ακαδημίας των Επιστημών του Παρισιού και άλλων ακαδημιών στην Ευρώπη, τις Ηνωμένες Πολιτείες και την Ιαπωνία. Διετέλεσε ως μέλος της Βασιλικής Ακαδημίας Επιστημών της Δανίας (1962), στη Royal Society του Λονδίνου (1971), στην Αμερικανική Ακαδημία (1950), στην Εθνική Ακαδημία Επιστημών στην Ουάσιγκτον (1972), στη Βασιλική Ακαδημία του Βελγίου (1978 ), στη Βασιλική Ακαδημία Επιστημών της Μαδρίτης (1971), στην Ακαδημία της Ιαπωνίας (1979), στην Ακαδημίας της Φινλανδίας (1979), στη Βασιλική Σουηδική Ακαδημία Επιστημών (1981), στη Πολωνική Ακαδημίας Επιστημών (1985), στη Ρωσική Ακαδημία (1999). Μεταξύ των πολλών τιμών που του είχαν δοθεί ήταν η

60

τιμητική ιδιότητα του μέλους της Μαθηματικής Εταιρείας του Λονδίνου το 1959. Έλαβε τιμητικά διδακτορικά από διάφορα πανεπιστήμια συμπεριλαμβανομένων των ETH Zurich (1955), Münster (1952), Όσλο (1961), Sussex (1969), Cambridge (1969), της Στοκχόλμης (1978), της Οξφόρδης (1980), Σαραγόσα (1985), και της Αθήνα (1992). Έλαβε επίσης το Χρυσό Μετάλλιο του Εθνικού Κέντρου Έρευνας Φυσικών Επιστημών (1976), το Βραβείο Wolf Μαθηματικών το 1980 και έγινε διοικητής της λεγεώνας της τιμής (Commandeur de la Légion d'honneur) το 1989.

Κλαιρώ Αλέξις (Alexis Claude Clairaut)

Γεννήθηκε: 7 Μαΐου 1713 στο Παρίσι Πέθανε: 17 Μαΐου 1765 στο Παρίσι

Ο πατέρας του Κλαιρώ, ο Jean-Baptiste Clairaut, δίδαξε μαθηματικά στο Παρίσι και έδειξε το κύρος του με το να εκλεγεί στην Ακαδημία του Βερολίνου. Η μητέρα του Catherine Petit, αν και είχε είκοσι παιδιά μόνο ο Αλέξις επέζησε μέχρι την ενηλικίωσή. Ο Jean-Baptiste Clairaut μόρφωσε τον γιο του στο σπίτι και που έθεσε απίστευτα υψηλά πρότυπα. Ο Αλέξης χρησιμοποιούσε τα στοιχεία του Ευκλείδη ενώ μάθαινε να διαβάζει και από την ηλικία των εννιά είχε αφομοιώσει ολόκληρο το εξαιρετικό βιβλίο των μαθηματικών Guisnée Application de l’algèbre à la géométrie το οποίο του παρείχε μια καλή εισαγωγή στο διαφορικό λογισμό καθώς και στην αναλυτική γεωμετρία. Το επόμενο έτος ο Κλαιρώ προχώρησε στη μελέτη του βιβλίου de L’Hôpital και ιδίως στο διάσημο κείμενο Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes. Λίγοι άνθρωποι έχουν διαβάσει το πρώτο τους σύγγραμμα σε μια ακαδημία στην ηλικία των 13 ετών και αυτό ήταν το απίστευτο επίτευγμα του Κλαιρώ το 1726, όταν διάβασε το σύγγραμμα Quatre Problèmes sur de Nouvelles courbes στην ακαδημία του Παρισιού. Όπως ήδη αναφέρθηκε ο Κλαιρώ ήταν ο μόνος από τα είκοσι παιδιά της οικογένειας που έφθασε στην ενηλικίωση, υπήρξε όμως και ένας

61

μικρότερος αδελφός του, ο οποίος στην ηλικία των 14 ετών διάβασε ένα σύγγραμμα μαθηματικών στην ακαδημία το 1730. Αυτός ο νεότερος αδελφός του πέθανε το 1732 σε ηλικία 16 ετών. Ο Κλαιρώ άρχισε έρευνα για τη διπλή καμπυλότητα καμπυλών την οποία ολοκλήρωσε το 1729. Ως αποτέλεσμα αυτής της εργασίας ήταν να προταθεί για μέλος της ακαδημίας του Παρισιού στις 4 Σεπτεμβρίου 1729 αλλά ο βασιλιάς δεν επιβεβαίωσε την εκλογή του μέχρι το 1731. Τον Ιούλιο του 1731 ο Κλαιρώ έγινε το νεότερο πρόσωπο που ποτέ εκλέχθηκε στην ακαδημία επιστημών του Παρισιού (Paris Academy of Sciences ). Εκεί προσχώρησε σε μια μικρή ομάδα με επικεφαλής τον Pierre Louis Maupertuis, που υποστήριζαν τη φυσική φιλοσοφία του Newton. Ο Maupertuis ήταν 15 χρόνια μεγαλύτερος από τον Κλαιρώ αλλά στην ηλικία των 33 ήταν επίσης ένα νεαρό μέλος της ακαδημίας. Ο Κλαιρώ έγινε στενός φίλος με τους Maupertuis, Voltaire, και Châtelet. Αυτό ήταν κάτι πολύ περισσότερο από μια προσωπική φιλία, δεδομένου ότι παρήγαγε τόσο σημαντικό έργο με τους Maupertuis και Châtelet. Βοήθησε τον Châtelet να μεταφράσει το Principia του Νεύτωνα στα γαλλικά, ένα έργο που ξεκίνησε πριν από 1745 και συνεχίστηκε μέχρι μέρος του βιβλίου να δοθεί στη δημοσιότητα το 1756. Πολλές από τις ίδιες θεωρίες του Κλαιρώ προστέθηκαν στο βιβλίο, εκτός από τη μετάφραση του από τον Châtelet. Ο Κλαιρώ δημοσίευσε κάποια σημαντική εργασία κατά την περίοδο 1733 έως 1743. Το 1733 έγραψε το σύγγραμμα Sur quelques questions de maximis et minimis για το λογισμό των διακυμάνσεων, γραμμένο στο στυλ του Johann Bernoulli και το ίδιο έτος δημοσίευσε το Geodesics of quadrics of rotation με την ανάπτυξη πάλι ενός θέματος στο οποίο ο Johann Bernoulli είχε συμβάλει. Το επόμενο έτος o Κλαιρώ μελέτησε διαφορικές εξισώσεις που είναι γνωστές σήμερα ως Διαφορικές εξισώσεις του Clairaut και έδωσε μια μοναδική λύση εκτός από τις γενικές λύσεις των εξισώσεων. Το 1739 και το 1740 δημοσίευσε περαιτέρω εργασίες σχετικά με τον ολοκληρωτικό λογισμό, που αποδεικνύουν την ύπαρξη ενσωματωμένων στοιχείων για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης (ένα θέμα που επίσης είχε το ενδιαφέρον των Johann Bernoulli, Reyneau και Euler). Το 1742 ο Κλαιρώ δημοσίευσε ένα σημαντικό έργο πάνω στα δυναμικά. Ενδιαφέρθηκε για την επίλυση θεωρητικών ζητημάτων που ακολούθησαν των πρακτικών αποτελεσμάτων μερικών χρόνων νωρίτερα. Από τις 20 Απριλίου 1736 έως 20 Αυγούστου 1737 ο Κλαιρώ έλαβε μέρος σε μια αποστολή στη Λαπωνία, με επικεφαλής τον Maupertuis, για τη μέτρηση ενός βαθμού του γεωγραφικού μήκους. Η αποστολή οργανώθηκε από την Ακαδημία Επιστημών του Παρισιού, συνεχίζοντας το πρόγραμμα που είχε αρχίσει ο Cassini προκειμένου να επαληθευτεί η θεωρητική απόδειξη του Newton ότι η Γη είναι ένα σφαιροειδές εκ περιστροφής. Εκτός από τους Maupertuis και Κλαιρώ, η ομάδα περιλαμβάνει και άλλους νέους επιστήμονες όπως τους Lemonnier, Camus και Κελσίου. Η τόσο επιτυχημένη ομάδα δεν ήταν βέβαια και χωρίς τους επικριτές της. Προσφορά στα μαθηματικά και στη φυσική

62

Το 1743 ο Κλαιρώ δημοσίευσε το Théorie de la figure de la Terre επιβεβαιώνοντας την πεποίθησή των Newton και Huygens ότι η Γη είναι συμπιεσμένη στους πόλους. Το βιβλίο ήταν μια θεωρητική μελέτη για την υποστήριξη των πειραματικών δεδομένων σχετικά με το σχήμα της Γης, τα οποία είχαν συλλεχθεί από την αποστολή στη Λαπωνία. Το βιβλίο ήταν πολύ σημαντικό προκειμένου να τεθούν τα θεμέλια για τη μελέτη της υδροστατικής. Είναι χτισμένο πάνω στην βάση του έργου των Newton και Huygens που είχαν δηλώσει ότι η Γη ήταν ένα καθιερωμένο σφαιροειδές εκ περιστροφής, καθώς επίσης και την εργασία του Maclaurin για παλίρροιες που έδωσε κάποια αποτελέσματα στην υδροστατική. Μετά την εργασία του Théorie de la figure de la Terre ο Κλαιρώ άρχισε να εργάζεται πάνω στο πρόβλημα των τριών σωμάτων και ιδίως με το πρόβλημα της τροχιάς της Σελήνης. Τα πρώτα συμπεράσματα που άντλησε από την εργασία του ήταν ότι η θεωρία της βαρύτητας του Newton ήταν εσφαλμένη και ότι ο νόμος του αντίστροφου τετραγώνου δεν ίσχυε. Σε αυτό ο Κλαιρώ είχε την υποστήριξη του Euler ο οποίος, αφού έμαθε τα συμπεράσματα του Κλαιρώ του έγραψε στις 30 Σεπτεμβρίου 1747:

... Είμαι σε θέση να δώσω πολλές αποδείξεις ότι οι δυνάμεις που ενεργούν στο φεγγάρι δεν υπακούουν ακριβώς τον νόμο του Νεύτωνα, και αυτή που αναφέρεις στην κίνηση στο απόγειο είναι η πιο εντυπωσιακή ...

Ο Κλαιρώ με μεγαλύτερη σιγουριά αφού είχε τη στήριξη του Euler, ανακοίνωσε στην Ακαδημία του Παρίσιου στις 15 Νοεμβρίου 1747 ότι ο νόμος του αντίστροφου τετραγώνου ήταν ψευδής. Λίγο πριν αυτήν την ανακοίνωση ο d’Alembert κατέθεσε ένα έγγραφο στην Ακαδημία στο οποίο έδειξε ότι οι υπολογισμοί του συμφωνούν με αυτές του Κλαιρώ. Ο Κλαιρώ πρότεινε ότι ένας όρος 1 / r 4 πρέπει να προστεθεί. Την άνοιξη του 1748, ο Κλαιρώ συνειδητοποίησε ότι η διαφορά που παρατηρείται μεταξύ της κίνησης της σελήνης και του απογείου από την προβλεπόμενη θεωρία οφείλεται σε σφάλματα που προέρχονται από τις προσεγγίσεις που είχαν γίνει και όχι από το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου της βαρυτικής έλξης. Ο Κλαιρώ ανακοίνωσε στην Ακαδημία στις 17 Μαΐου 1749 ότι τώρα είναι σε συμφωνία με τον νόμο του αντίστροφου τετραγώνου. Στη συνέχεια παρακολουθούσε απολαμβάνοντας τους d’Alembert και Euler σε έναν αγώνα να επαναλάβουν τους υπολογισμούς του. Ο Κλαιρώ δημοσίευσε το Théorie de la Lune το 1752 και το έργο αυτό, μαζί με τους σεληνιακούς του πίνακες δημοσιεύθηκαν δύο χρόνια αργότερα ολοκληρώνοντας το έργο του σχετικά με το συγκεκριμένο πρόβλημα. Ο Κλαιρώ αποφάσισε να εφαρμόσει τις γνώσεις που κατείχε για το πρόβλημα των τριών σωμάτων για να υπολογίσει

63

την τροχιά του κομήτη του Halley* και έτσι προέβλεψε την ακριβή ημερομηνία της επιστροφής του. Τροχια του κομήτη Halley

Αυτό απαιτούσε πολύ πιο ακριβείς προσεγγίσεις από ό,τι είχε γίνει για το πρόβλημα της Σελήνης. Υπολόγισε την επιστροφή μέσα σε ένα μήνα το 1759 του κομήτη του Halley στο περιήλιο (το σημείο που βρίσκεται πλησιέστερα προς τον Ήλιο). Ανακοίνωσε το αποτέλεσμα στην Ακαδημία του Παρισιού στις 14 Νοεμβρίου 1758 και ότι το περιήλιο θα παρουσιαστεί στις 15 Απριλίου 1759 ενώ η προβλεπόμενη ημερομηνία του περιηλίου ήταν 13 Μαρτίου. Όταν ο κομήτης παρουσιάσθηκε ένα μήνα πριν από την προβλεπόμενη ημερομηνία όπως είχε προβλέψει τότε ο Κλαιρώ απέκτησε μεγάλη δημόσια αναγνώριση. Υπήρξε μια πρόταση ο κομήτης να μετονομαστεί μετά Κλαιρώ (after Clairaut), και ο Κλαιρώ ονομάστηκε ο «νέος Θαλής». Μία διαφορά προέκυψε μεταξύ του Κλαιρώ και του d’Alembert σχετικά με αυτό το έργο των κομητών. Αν και οι δύο είχαν αρκετά φιλικό ανταγωνισμό μέχρι το 1747, μετά οι σχέσεις τους επιδεινώθηκαν όταν ο Κλαιρώ έγραψε μια αναθεώρηση του βιβλίου του d'Alembert που περιείχε σεληνιακούς πίνακες. Σε μια επίθεση εναντίον εκείνων όπως ο d’Alembert που επικεντρώθηκαν στη θεωρία και παραμέλησαν το πείραμα, ο Κλαιρώ έγραψε:

Για να αποφευχθούν τα λεπτομερή πειράματα και οι κουραστικοί υπολογισμοί, και προκειμένου να αντικαταστήσουν με μεθόδους ανάλυσης οι οποίοι τους κοστίζουν λιγότερα προβλήματα, κάνουν συχνά υποθέσεις που δεν στέκουν στη φύση. Επιδιώκουν θεωρίες που είναι άσχετες προς το αντικείμενο, ενώ μια μικρή επιμονή στην εκτέλεση μιας απλής μεθόδου θα τους είχε φέρει σίγουρα στον στόχο τους.

Όταν o d’Alembert επιτέθηκε στη λύση του Κλαιρώ για το πρόβλημα των τριών σωμάτων ως υπερβολικά βασιζόμενο στην παρατήρηση και όχι όπως στο δικό του έργο βασιζόμενο σε θεωρητικά αποτελέσματα, ο Κλαιρώ επιτέθηκε έντονα στον d’Alembert στην πιο σκληρή διαφορά της ζωής τους. Είναι δύσκολο κανείς να πει ποιος από τους δύο μεγάλους μαθηματικούς είχε δίκιο, αλλά σίγουρα ο Κλαιρώ κέρδισε τη κοινή γνώμη τη στιγμή εκείνη, αν μη τι άλλο μετά την αξιοσημείωτη πρόβλεψη για την ημερομηνία της επιστροφής του κομήτη του Halley . Ένα άλλο θέμα στο οποίο η συμβολή του Κλαιρώ ήταν σημαντική ήταν στην εκτροπή του φωτός. Έπρεπε να κάνει χρήση των διορθώσεων που οφείλονταν σε σφάλματα κατά τη μελέτη του πλανητών και κομητών. Έδειξε ιδιαίτερο ενδιαφέρον όσον αφορά τη βελτίωση του σχεδιασμού των τηλεσκοπίων χρησιμοποιώντας φακούς από δύο διαφορετικά είδη γυαλιού. Ο Κλαιρώ έγραψε ορισμένα σημαντικά απομνημονεύματα σχετικά με το θέμα αυτό κάνοντας και θεωρητικές μελέτες και πολλά πειράματα οπτικής. Το έργο αυτό ήταν όμως ελλιπές μέχρι τη στιγμή του θανάτου του. Ο Κλαιρώ εργάστηκε σε ένα ευρύ φάσμα προβλημάτων πάνω στα μαθηματικά. Ένα βιβλίο άλγεβρας Elements d’algèbre δημοσιεύθηκε το 1749 και ένα βιβλίο γεωμετρίας Elements de géometrie δημοσιεύθηκε το έτος του θανάτου του το 1765. Στην εισαγωγή του στο Elements de géometrie το 1765 ο Κλαιρώ δίνει τους στόχους που έχει γράφοντας αυτό το βιβλίο:

...Ήθελα να επανέλθω σε αυτό που θα μπορούσε να αποτελέσει γεωμετρία; Και προσπαθώ να αναπτύξω τις αρχές της με μια μέθοδο αρκετή τόσο ώστε να μπορεί κανείς να υποθέσει ότι είναι ίδιες με αυτές των πρώτων εφευρετών της γεωμετρίας, προσπαθώντας μόνο να αποφύγω οποιαδήποτε λανθασμένα βήματα που ίσως τότε έπρεπε να κάνουν ...

64

Το βιβλίο της άλγεβρας ήταν ένα ακόμη πιο σημαντικό έργο και έφθασε μέχρι τη λύση εξισώσεων τετάρτου βαθμού. Προσπάθησε με μεγάλη επιτυχία να δείξει γιατί η εισαγωγή αλγεβρικής σημειογραφίας ήταν αναγκαία και αναπόφευκτη. Το βιβλίο χρησιμοποιήθηκε στη διδασκαλία στα σχολεία της Γαλλίας για πολλά χρόνια. Παρακάτω ορίζουμε την εξίσωση Clairaut καθώς και την λύση της.

Ορισμός εξίσωσης Clairaut:

Έστω συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα ανοιχτό διάστημα με συνεχή παράγωγο στο . Η διαφορική εξίσωση

(1)

ονομάζεται εξίσωση Clairaut.

Θέτοντας έχουμε και παραγωγίζοντας ως προς

Παίρνουμε ή

Δηλαδή είτε (2) είτε (3)

Ολοκληρώνοντας τώρα την (2) και χρησιμοποιώντας την (1) παίρνουμε τη γενική λύση της εξίσωσης Clairaut

όπου είναι μια αυθαίρετη πραγματική σταθερά. Επιπλέον, από τις (1) και (3) παίρνουμε σε παραμετρική μορφή

, , την ιδιάζουσα λύση της εξίσωσης Clairaut.

Ο Κλαιρώ απεβίωσε στην ηλικία των 52 ετών μετά από μία σύντομη ασθένεια. Παρέμεινε στις αρμοδιότητες του και τιμήθηκε με την εκλογή στις ηγετικές ακαδημίες της εποχής. Εκλέχθηκε στην βασιλική εταιρία του Λονδίνου (Royal Society of London), στην Ακαδημία του Βερολίνου, στην Ακαδημία της Αγίας Πετρούπολης και στις Ακαδημίες της Μπολόνια και της Ουψάλα.

*Κομήτης του Haley: Έχει περίοδο 75,2 έτη και αφήλιο στον Ποσειδώνα. Είναι ο πιο εντυπωσιακός από τους κομήτες που έχουν περάσει από τη Γη. Έχει εμφανιστεί 28 φορές από το 240 π.Χ. Η προτελευταία του επίσκεψη, (Απρίλιος-Μάιος 1910) προκάλεσε τον τρόμο στην ανθρωπότητα και σκόρπισε τον πανικό στους απλούς ανθρώπους, αφού στην κυριολεξία η ουρά του, μήκους 110 εκατ. Km, έλουσε το βόρειο ημισφαίριο.

65

Κουζέν Πιέρ (Cousin Pierre)Γεννήθηκε: 18 Μαρτίου 1867 στο Παρίσι

Πέθανε: 18 Ιανουαρίου 1933 στην Arcachon

Ο Pierre Cousin σπούδασε μαζί με τον Henri Poincaré και τον Paul Appell στο Παρίσι στη Σορβόννη. Το 1894 έλαβε το διδακτορικό του. Εργάστηκε στη συνέχεια ως καθηγητής λυκείου στην Caen, και αργότερα ως καθηγητής στο Μπορντώ. Προσφορά στα μαθηματικά και στη φυσική

Ο Cousin ασχολήθηκε με τη θεωρία πολλών σύνθετων μεταβλητών. Το 1895 ολοκλήρωσε την διατριβή του πάνω στο θεώρημα του γινομένου του Weierstrass (όλες τις λειτουργίες) με το οποίο μπορούμε να κατασκευάσουμε μία αναλυτική

συνάρτηση στο Ω⊂C ανοιχτό με δεδομένες ρίζες, και επίσης επέκτεινε το θεώρημα του Mittag-Leffler (meromorphic) και στις λειτουργίες μιας σύνθετης μεταβλητής σε τομείς κυλίνδρου και σε n διαστάσεις. Την λύση των προβλημάτων του Cousin κατάφεραν τη δεκαετία του 1940 και του 1950, ο Jean-Pierre Serre, ο Henri Cartan, ο Karlstein και ο Kiyoshi Oka. Το θεώρημα Mittag-Leffler μας εξασφαλίζει τη δυνατότητα κατασκευής μίας μερόμορφης συνάρτησης με δεδομένους πόλους και δεδομένα μερόμορφα μέρη στους πόλους αυτούς. Παρουσιάστηκε από το Σουηδό Μαθηματικό Gosta Mittag Leffler (1846-1927) και αποτελεί ένα από τα σπουδαιότερα θεωρήματα της μαθηματικής μας κληρονομιάς. Οι ολόμορφες και οι μερόμορφες λειτουργίες είναι από τις θεμελιώδεις δομικές μονάδες των καθαρών και εφαρμοσμένων μαθηματικών και χρησιμοποιούνται για τη λύση πολλών προβλημάτων, όπως στις διαφορικές εξισώσεις της μηχανικής και της μαθηματικής φυσικής.

66

Κουρνό Αντουάν Ωγκυστέν (Antoine Augustin Cournot)

Γεννήθηκε: 28 Αυγούστου 1801 στο Gray Πέθανε: 31 Μαρτίου 1877 στο Παρίσι

O Antoine Augustin Cournot γεννήθηκε στο Gray στις 28 Αυγούστου του 1801. Το 1821 εισήλθε σε μια ακαδημία εκπαίδευσης καθηγητών και το 1829 απέκτησε διδακτορικό δίπλωμα στα μαθηματικά με κύριο θέμα την μηχανική που συμπληρώθηκε από την αστρονομία. Καθώς σπούδαζε στο κολέγιο, υπήρξε επίσης από το 1823 έως το 1833 ιδιαίτερος γραμματέας στο Marshal Gouvion de Saint-Cyr. Από το 1834 κατείχε διαδοχικά τις θέσεις, καθηγητής μηχανικής και ανάλυσης στην σχολή επιστημών της Λυών, πρύτανης της Ακαδημίας της Grenoble, πρώτος εξεταστής για προπτυχιακούς φοιτητές και τέλος πρύτανης της ακαδημίας Dijon(1854-1862). Πέθανε σχεδόν τυφλός το 1877. Αν και υπήρξε περισσότερο από οτιδήποτε άλλο μαθηματικός και μέλος της εκπαιδευτικής διαδικασίας, τα πολυάριθμα έργα του δείχνουν επίσης ότι υπήρξε φιλόσοφος και οικονομολόγος. Στον τομέα των μαθηματικών, εκτός από την εργασία του σχετικά με τις κινήσεις των φορέων και άκαμπτων σωμάτων, αφιέρωσε επίσης μεγάλη προσπάθεια σε δύο μεγάλα προβλήματα, τη θεωρία των λειτουργιών και του λογισμού του άπειρου (1841) και τη θεωρία του τυχαίου και της πιθανότητας (1843). Αυτές οι θεωρίες πέρα από την μαθηματική τους σημασία, φαινόταν στον Κουρνό να κατέχουν σημαντική θέση στον άνθρωπο για την γενική κατανόηση του κόσμου, αλλά πιο συγκεκριμένα την κατανόηση της θέσης των οικονομικών στη ζωή του ανθρώπου. Ο Κουρνό υπήρξε βαθιά στοχαστής. Προηγμένες ιδέες για την τάξη και την κοινωνία υπήρξαν τόσο διαφωτιστικές για την επιστήμη και γενικά για την ανθρωπότητα ολόκληρη, που εξακολουθούν να θεωρούνται

67

προφητικές. Οι οικονομικές του ιδέες είχαν ευρύ πεδίο εφαρμογής. Οι θεωρίες του σχετικά με τα μονοπώλια και τα δυοπώλια εξακολουθούν να είναι διάσημες. Στον τομέα της οικονομίας έγραψε κάποια βιβλία. Ένα βιβλίο όμως είχε τεράστιο αντίκτυπο στην σύγχρονη οικονομική σκέψη, το Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses (Έρευνες για την μαθηματικές αρχές της Θεωρίας του Πλούτου). Δημοσιεύθηκε το 1838 και το 1938 επανεκδόθηκε με μια εισαγωγή από τον Georges Lutfalla. Δυστυχώς, αυτό το βιβλίο δεν είχε απήχηση κατά τη διάρκεια της ζωής του Κουρνό διότι η εφαρμογή των τύπων και των συμβόλων των μαθηματικών στην οικονομική ανάλυση θεωρήθηκε τολμηρή. Σε μια προσπάθεια να βελτιώσει την πληρότητα του έργου του αυτού ο Κουρνό το ξαναέγραψε δύο φορές, το 1863 με τίτλο Principes de la théorie des richesses και το 1877 με τίτλο Revue sommaire des doctrines économiques. Αυτά τα δύο τελευταία έργα είναι απλοποιημένα και λιγότερο ενημερωτικά από την πρωτότυπη έκδοση καθώς ήταν ελεύθερα από άποψη μαθηματικής γλώσσας. Οι αναλύσεις μπορεί να θεωρηθούν ως η αφετηρία για τη σύγχρονη οικονομική ανάλυση. Προσφορά στα μαθηματικά και στη φυσική

To 1841 o Κουρνό δημοσίευσε σημειώσεις των διαλέξεων με ανάλυση που είχε κάνει στη Lyon. Το 1843 έκανε την πρώτη του νύξη πάνω στην θεωρία των πιθανοτήτων όπου διέκρινε τρεις τύπους πιθανοτήτων: αυτές που έχουν στόχο, τις υποκειμενικές και τις φιλοσοφικές. Οι πρώτες δύο ακολουθούν τους κανονικούς, οντολογικούς και επιστημολογικούς ορισμούς. Η τρίτη κατηγορία αναφέρεται στις πιθανότητες που εξαρτώνται κυρίως από την ιδέα που έχουμε για την απλότητα των νόμων της φύσης. Ως μαθηματικό θεμέλιο της στατιστικής, η θεωρία πιθανοτήτων είναι απαραίτητη σε πολλές δραστηριότητες που περιλαμβάνουν ανάλυση μεγάλων συνόλων δεδομένων. Μέθοδοι της θεωρίας πιθανοτήτων εφαρμόζονται και στην περιγραφή πολύπλοκων συστημάτων όπως στη στατιστική μηχανική. Μετά την Επανάσταση 1848 ο Κουρνό διορίστηκε στην Επιτροπή des Hautes Etudes. Κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου έγραψε τη πρώτη του διατριβή πάνω στη φιλοσοφία της επιστήμης (1851). Το 1854 έγινε πρύτανης της Ακαδημίας της Ντιζόν. Ωστόσο το εκ γενετής πρόβλημα με την όραση του άρχισε και επιδεινωνόταν. Ο Κουρνό αποσύρθηκε από τη διδασκαλία και το 1862 επέστρεψε πίσω στο Παρίσι. Έχοντας παρουσιάζει τις ιδέες του της λειτουργίας και της πιθανότητας στην οικονομική ανάλυση, ο Κουρνό εφηύρε την πρώτη φόρμουλα για τον κανόνα της προσφοράς και της ζήτησης συνάρτηση της τιμής [D = f(p)]. Έκανε σαφές το γεγονός ότι η πρακτική χρήση των μαθηματικών στα οικονομικά δεν απαιτούν αυστηρή αριθμητική ακρίβεια. Οι οικονομολόγοι πρέπει να χρησιμοποιούν τα εργαλεία των μαθηματικών μόνο για να εντοπίσουν τα πιθανά όρια και για να εκφράσουν τα απρόβλεπτα γεγονότα σε περισσότερο απόλυτους όρους. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι η έννοια "λειτουργίας ζήτησης" του Κουρνό δεν είναι η έννοια της ζήτησης με τη σύγχρονη έννοια του όρου. Η καμπύλη D = F(p) απλώς συνοψίζει την εμπειρική σχέση μεταξύ τιμής και ποσότητας που πωλείται, και όχι την εννοιολογική σχέση μεταξύ τιμής και ποσότητας που ζητείται από τους αγοραστές. Με ικανοποίηση αναγνωρίζει ότι η λειτουργική μορφή F(.) εξαρτάται από την

68

χρησιμότητα του προϊόντος δηλαδή τη φύση των υπηρεσιών που μπορεί να προσφέρει, τις λειτουργίες που μπορεί να υποστηρίξει, πάνω στις συνήθειες και τα έθιμα των ανθρώπων, για τον μέσο όρο πλούτου, και για τον τρόπο που αυτός κατανέμεται. Το έργο του Κουρνό αναγνωρίζεται σήμερα ως το κομμάτι των οικονομικών που λέγεται οικονομετρία. Στο τομέα των οικονομικών είναι ευρύτερα γνωστός για την θεωρία του ολιγοπωλίου. Παρακάτω αναφέρουμε μερικά μεγάλα έργα του που σχετίζονται με τα μαθηματικά και την φυσική και έχουν ανάλογη προσφορά.

"Mémoire sur les applications du calcul des chances à la statistique judiciaire", 1838, Journal des mathématiques pures et appliquées, 12. T. 3. p.257-334.

Traité élémentaire de la théorie des fonctions et du calcul infinitésimal, 1841. Exposition de la théorie des chances et des probabilités, 1843. De l'origine et des limites de la correspondence entre l'algèbre et la

géométrie, 1847.

69

Κουτυρά Λουί (Couturat Louis)Γεννήθηκε: 17 Γενάρη 1868 στο Ris-Orangis

(προάστιο του Παρισιού)Πέθανε: 3 Αυγούστου 1914 μεταξύ Ris-

Orangis και Melun Έδειξε ταλέντα όπως συνήθως ένα παιδί για ένα μεγάλο εύρος διαφορετικών θεμάτων όμως ξεχώρισε και για τις καλλιτεχνικές του δεξιότητες. Κέρδισε βραβεία στα περισσότερα μαθήματα από τα οποία σπούδασε στο Lycée και εισήλθε στην Ecole Normale Superieure στο Παρίσι το 1887. Μετά από τρία χρόνια σπουδές του απονεμήθηκε το βραβείο lauréat στη φιλοσοφία και τα μαθηματικά. Συνέχισε να μελετάει τα μαθηματικά στην Ecole Normale Supérieure το ακαδημαϊκό έτος 1890-91 και συνέχισε τις σπουδές του με τον Emile Picard και Camille Jordan κατά τη διάρκεια του 1891-92. Σε αυτό το έτος είχε επίσης παρακολουθήσει διαλέξεις από τον Poincaré και αποφοίτησε στις 25 Ιουλίου 1892 με πτυχίο licentiate στα μαθηματικά. Σε αυτό το στάδιο της εκπαίδευσης του, πριν την έρευνα για την απόκτηση διδακτορικού τίτλου, ο Κουτυρά δημοσίευσε ένα έγγραφο το Zeno of Elea 's είναι ένα παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας στο Revue philosophique. Για την απόκτηση του διδακτορικού του τίτλου εργάστηκε πάνω σε δύο διατριβές, τη Λατινική διατριβή που προέβη σε επιστημονική μελέτη των μύθων του Πλάτωνος στο Διάλογοι, και το άλλο είναι μια μαθηματική πραγματεία για το άπειρο. Και οι δύο διατριβές του είχαν ολοκληρωθεί έως τον Μάιο του 1894, αλλά ήταν πριν από δύο χρόνια αφότου τις υπερασπίστηκε στη Σορβόννη και του απονεμήθηκε το διδακτορικό δίπλωμα με την υψηλότερη διάκριση. Η μαθηματική του πραγματεία δημοσιεύθηκε ως De l'Infini mathématique το 1896. Σε αυτό το έργο ο Κουτυρά τάχθηκε υπέρ του πραγματικού απείρου. Οι Dedekind, Kronecker, και Helmholtz ήταν ήδη ένθερμοι υποστηρικτές φορμαλιστικών θεωριών και έτσι ο Κουτυρά πήρε θέση εναντίον μεγάλων καθιερωμένων στοιχείων, ένα γενναίο βήμα στη διδακτορική του διατριβή. Για αυτόν το πραγματικό άπειρο αποτελούσε γενικευμένο αριθμό, με τον ίδιο τρόπο με τους αρνητικούς αριθμούς, τα κλάσματα, άτοπους αριθμούς και περίπλοκους αριθμούς οπού όλα τα είδε σε επέκταση της έννοιας του αριθμού. Ο Κουτυρά ισχυρίστηκε ότι όλες αυτές οι γενικεύσεις συνάντησαν στην αρχή έντονη αντίδραση, αλλά έγιναν αποδεκτές στο τέλος γιατί ήταν κατάλληλες για να αναπαριστούν νέα μεγέθη και επέτρεψαν υπολογισμό εργασιών που ήταν αδύνατον πριν από την εισαγωγή τους. Άπειροι αριθμοί, ισχυρίστηκε ότι ήταν αναγκαίοι προκειμένου να διατηρηθεί η συνέχεια των μεγεθών.

70

Ο Κουτυρά έγινε καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Τουλούζης και εκεί το 1895 δίδαξε φιλοσοφία, τα κηρύγματα του Λουκρήτιου και του Πλάτωνος. Απέκτησε ζωή ανέξοδη άνευ αποδοχών και ήταν σε θέση να προβεί σε περαιτέρω σπουδές στο Παρίσι κατά τη στιγμή που υπερασπιζόταν τις διατριβές του. Πράγματι ήταν καλά οικονομικά και δεν είχε καμία ανάγκη να εργαστεί για να κερδίσει τα προς ζην. Το 1897 εγκαταστάθηκε στο Πανεπιστήμιο της Caen, οπού έκανε ανάληψη των καθηκόντων του στις 27 Οκτωβρίου, εκεί δίδαξε μαθηματική φιλοσοφία. Παρέμεινε στην Caen μέχρι το 1899, όταν εγκαταστάθηκε στο Παρίσι πήρε άδεια αποχής, για να συνεχίσει την έρευνά του σχετικά με τη λογική του Leibniz**. Κατά τη διάρκεια του 1900-01 εργάστηκε στο Ανόβερο πάνω στη μελέτη των ανέκδοτων έργων του Leibniz στη Βασιλική Βιβλιοθήκη. Δημοσίευσε La Logique de Leibniz το 1901, στο οποίο έγραφε ότι :

... λογική δεν ήταν μόνο η καρδιά και η ψυχή του συστήματος του, αλλά το κέντρο της πνευματικής του δραστηριότητας, η πηγή όλων των ανακαλύψεων του, ... της ασαφής ή τουλάχιστον κρυμμένης εστίας από την οποία ξεπήδησαν τόσες πολλές λάμψεις φωτός.

Ο Κουτυρά δημοσίευσε πολλά αδημοσίευτα χειρόγραφα του Leibniz στην Opuscules et fragments inédits de Leibniz το 1903. Οι εργασίες πάνω στον Leibniz έφερε τον Κουτυρά σε επαφή με τον Russell*, που είχε δημοσιεύσει το A Critical Exposition of the Philosophy of Leibniz το 1900. Ο Κουτυρά παρήγαγε το 1905, μια έκδοση του Russell της Principia Mathematica με ένα σχόλιο για σύγχρονα έργα σχετικά με το θέμα. Στην πραγματικότητα η μεταξύ τους αλληλογραφία ξεκίνησε το 1897, το πρώτο γράμμα είναι από τον Κουτυρά στον Ράσελ, σχετικά με το δοκίμιο στα θεμέλια της γεωμετρίας του Ράσελ. Ο Κουτυρά δημοσίευσε την επανεξέταση αυτού του δοκιμίου του Ράσελ το 1898, και ο Ράσελ απάντησε σε αυτό, προσελκύοντας την προσοχή του Poincaré σε αυτή ακριβώς τη δουλειά του Ράσελ. 198 γράμματα και κάρτες μεταξύ Κουτυρά και Ράσελ, που βρέθηκαν κατά τη δεκαετία του 1970 έχουν περιγραφεί. Τα θέματα που καλύπτει η αλληλογραφία περιλαμβάνουν: τα θεμέλια της γεωμετρίας, το παράδοξο του Russell, το αξίωμα της επιλογής του, οι αντιθέσεις με τον Poincaré, λογική, Leibniz, Peano, Kant, αριθμητική επαγωγή, ύπαρξη μαθηματικών, πολιτική, της διεθνής γλώσσας, και κάποια προσωπικά θέματα. Ο Leibniz είχε προτείνει έναν λογισμό της λογικής που θα επέτρεπε στο μυαλό να σκεφτεί απευθείας τα πράγματα. Ήθελε αυτός ο λογισμός της λογικής να υποστηριχθεί από μια λογική παγκόσμια γλώσσα. Ο Κουτυρά ακολουθώντας τον ήρωα του τον Leibniz, έγινε κύριος υπαίτιος της ανάπτυξης της διεθνούς γλώσσας της Ido που είναι μια αναθεωρημένη έκδοση της Esperanto. Ο Κουτυρά έτρεφε μεγάλο θαυμασμό για τον Leibniz, ο οποίος ονειρευόταν μια παγκόσμια γλώσσα. Είχε συμμετοχή στη διοργάνωση του πρώτου Παγκόσμιου Συνεδρίου Φιλοσοφίας (Παρίσι , 1900) Επίσης είχε ενεργό συνεργασία με την Lalande André κατά την προετοιμασία του Vocabulaire technique et critique de la philosophie στο Παρίσι το 1926. Οδηγήθηκε να αφιερώσει περισσότερο χρόνο στον εαυτό του αποκλειστικά σε ένα έργο το οποίο έγινε ένα πραγματική αποστολή για εκείνον, η δημιουργία και υιοθέτησης μιας διεθνούς γλώσσας μέσα από την εσπεράντο***. Ετοιμάστηκε ο ίδιος για την αποστολή αυτή από την πρώτη μελέτη και στη συνέχεια με τη δημοσίευση, σε συνεργασία με τον Léopold Léau την Histoire de la langue universelle στο Παρίσι το 1903.

71

Την 1η Οκτωβρίου 1907 αντιπρόσωποι από 310 κοινωνίες σε ολόκληρο τον κόσμο συναντήθηκαν και εξέλεξαν μια επιτροπή για να τροποποιήσει την εσπεράντο. Ο Κουτυρά και ο Léau ήταν οι γραμματείς. Με τη συνεργασία της Academie di la Lingue Internaciona Ido που δημιουργήθηκε το 1908, ο Κουτυρά κατασκεύασε το πλήρες λεξιλόγιο των Ido, που προέρχονται από μια γλώσσα εσπεράντο με μεταρρυθμίσεις που αναπτύχθηκαν από επιστημονικές γλωσσικές αρχές. Ο Κουτυρά υποστήριξε σθεναρά την εφαρμογή των αρχών της δικής του λογικής, παρά τις αντιδράσεις από πολλές πλευρές σε αλλαγές στις ήδη εγκατεστημένες μορφές της εσπεράντο. Οι υπόλοιπες δουλειές του περιλαμβάνουν το L'Algèbre de la logique το 1905 και το Les Principes des Mathematiques επίσης το 1905. Το 1908 ίδρυσε και διηύθυνε μέχρι το θάνατό του τη μηνιαία επιθεώρηση Progreso, στο πλαίσιο της μεταρρύθμισης της γραπτής γλώσσας και σκόπευε να την προπαγανδίσει. Οι φίλοι του και θαυμαστές του Κουτυρά θεωρούν λυπηρό το γεγονός ότι δαπάνησε τόσες μάταιες προσπάθειες και θυσίασε το ταλέντο για ένα ευρύ ευγενές όνειρο. Ο Κουτυρά σκοτώθηκε σε αυτοκινητικό δυστύχημα, το αυτοκίνητο του χτυπήθηκε από το αυτοκίνητο που μετέφεραν εντολές για την κινητοποίηση του γαλλικού στρατού την ημέρα που ο Παγκόσμιος Πόλεμος ξέσπασε. Η ειρωνεία είναι ότι ο ίδιος ήταν ειρηνιστής.

Προσφορά στα μαθηματικά και στη φυσική

Η άλγεβρα της λογικής ανακαλύφθηκε από τον George Boole (1815-1864). Όπου αναπτύχθηκε και τελειοποιήθηκε από τον Ernst Schröder (1841-1902). Οι θεμελιώδεις νόμοι αυτού του συλλογισμού σχεδιάστηκαν για να εκφράσουν τις αρχές της αιτίας, τους νόμους της σκέψης. Ανήκει στον χώρο της φιλοσοφίας και αποφασίζει εάν και σε ποιο μέτρο, ένας συλλογισμός αντιστοιχεί σε πραγματικές σκέψεις του μυαλού. Ο Κουτυρά ήταν εκείνος ο οποίος έφερε στο φως το μέχρι τότε ανέκδοτο έργο του Leibniz πάνω στη λογική. Το 1903, δημοσίευσε το La Logique de Leibniz διακόσια χρόνια μετά την συγγραφή του. Ο Leibniz είχε επινοήσει ένα σύστημα δυαδικών αριθμών και δυαδικής αριθμητικής. Έδειξε με ποιο τρόπο οποιοσδήποτε από τους αριθμούς μας μπορεί να αντικατασταθεί μόνο χρησιμοποιώντας το 0 και το 1. Επίσης απέδειξε πολλαπλασιασμό και πρόσθεση σε αυτό το δυαδικό σύστημα. Αυτή η δυαδική μορφή είναι που χρησιμοποιείται με ακριβώς αυτό τον τρόπο σε ένα σύγχρονο ψηφιακό υπολογιστή. Ένα bit η μικρότερη μονάδα δεδομένων σε υπολογιστή εκφράζεται από την δυαδική μονάδα και παίρνει τιμή 0 ή 1. Τα Bytes αποτελούνται από bits, συνήθως οκτώ από αυτά. Mε αφορμή το βιβλίο The Algebra of Logic του Κουτυρά, έγινε από τον P. Ehrenfest, για πρώτη φορά το 1914, νύξη για την εφαρμογή της Λογικής στα κυκλώματα όπως έγινε στη λογική Boole από τον George Boole. Η λογική Boole είναι κομμάτι των μαθηματικών που ασχολείται με τους κανόνες χειρισμού των δύο λογικών τιμών αληθείας true και false. Ονομάστηκε από τον Άγγλο μαθηματικό

72

George Boole (1810-1864) που το 1847 δημοσίευσε την πρώτη πλήρη διερεύνηση των αρχών της μαθηματικής λογικής. Άλγεβρα Boole είναι ένα σύνολο με δύο διμελείς πράξεις (σύζευξη, διάζευξη), μία μονομελή (άρνηση) και δύο σταθερές το 1 (true) και το 0 (false). Η λογική Boole (και η άλγεβρα Boole) χρησιμοποιείται σε ολόκληρη την επιστήμη της πληροφορικής. Το πώς εκφράζονται και υπολογίζονται οι λογικές παραστάσεις είναι ιδιαίτερα κρίσιμη ικανότητα σε κάθε χρήστη/προγραμματιστή που θα χρησιμοποιήσει μία επίσημη γλώσσα (όπως η "C", Pascal, Basic, Visual Basic, SQL κ.α.) ή μία γλώσσα μακροεντολών και τύπων όπως στο MS Excel ή στο κέλυφος εντολών ενός λειτουργικού συστήματος.

*Bertrand Arthur William Russell: (18 Μαΐου 1872, Trelleck/Monmouth της Ουαλίας-2 Φεβρουαρίου 1970, Ουαλία) Ο Russell θεωρείται ένας από τους θεμελιωτές της αναλυτικής φιλοσοφίας, ρεύματος που απέκτησε κυρίαρχο ρόλο στη διαμόρφωση της φιλοσοφικής σκέψης κατά τον εικοστό αιώνα. Την αναλυτική φιλοσοφία διακρίνει η επίμονη προσπάθεια να αποκαλύψει εκείνες τις λογικές - φιλοσοφικές προϋποθέσεις που κρύβονται κάτω από την επιφανειακή δομή των πραγμάτων. Έτσι, ασχολήθηκε διεξοδικά ακόμα και με ειδικά γλωσσικά ζητήματα (βλ. Wittgenstein), επιδεικνύοντας πάντοτε έναν ουσιαστικό σεβασμό προς τις φυσικές επιστήμες και ιδιαίτερα τα Μαθηματικά.

**Gottfried Wilhelm von Leibniz: (επίσης Leibnitz) (1 Ιουλίου του 1646, Λειψία - 14 Νοεμβρίου 1716, Ανόβερο) ήταν Γερμανός πολυμαθής, θεωρείται ιδιοφυΐα στη διάρκεια της ζωής του. Εκπαιδεύτηκε ως δικηγόρος και δραστηριοποιήθηκε ως διπλωμάτης και βιβλιοθηκάριος, έγραψε για την φιλοσοφία, την επιστήμη, τα μαθηματικά, την θεολογία, την ιστορία και την συγκριτική φιλολογία.

***Εσπεράντο: είναι η τεχνητή γλώσσα που δημιουργήθηκε το 1887 και προτάθηκε ως ουδέτερη, βοηθητική διεθνής γλώσσα πάνω στην οποία όλοι οι λαοί θα μπορούσαν να χτίσουν έναν κόσμο πιο ειρηνικό, χωρίς το γλωσσικό επεκτατισμό που κυριαρχεί ακόμη και στις μέρες μας. Κατά τη διάρκεια του περασμένου αιώνα, η Εσπεράντο μετατράπηκε από μια ιδεολογική ουτοπία σε ένα ζωντανό επικοινωνιακό εργαλείο που μιλιέται, γράφεται και αξιοποιείται καθημερινά από χιλιάδες ανθρώπους σε όλες σχεδόν τις χώρες του κόσμου. τις αρχές του 20ού αιώνα, η εσπεραντική δραστηριότητα εξαπλώθηκε σε όλη την Ευρώπη και κορυφώθηκε στη Γαλλία, κυρίως στον πανεπιστημιακό χώρο. Γνωστοί καθηγητές και ακαδημαϊκοί (E. Boirac, Th. Cart, Ch. Lambert, Ch. Méray, Ch. Bourlet, L. de Beaufront, L. Couturat, L. Leau κ.ά.) αποδέχθηκαν με ενθουσιασμό την ιδέα τής Εσπεράντο και έγιναν σκαπανείς της, παρουσιάζοντας αργότερα πλούσιο συγγραφικό εσπεραντικό έργο (γλωσσικό, λογοτεχνικό), ενώ, ο φημισμένος εκδοτικός Οίκος Hachette, του Παρισιού, άρχισε να εκδίδει το μηνιαίο λογοτεχνικό περιοδικό «La Revuo», με αρθρογράφους τον Ζάμενχοφ και διακεκριμένους λόγιους Εσπεραντιστές της εποχής εκείνης.

73

Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ (Augustin-Louis Cauchy)

Γεννήθηκε: 21 Αυγούστου 1789 στο Παρίσι Πέθανε: 23 Μαίου 1857 στο Sceaux

(κοντά στο Παρίσι)

Στο Παρίσι ήταν ένα δύσκολο μέρος για να ζει κανείς όταν ο Κωσύ ήταν ένα μικρό παιδί, λόγω των πολιτικών γεγονότων γύρω από την Γαλλική Επανάσταση. Όταν ήταν τεσσάρων χρονών, ο πατέρας του φοβούμενος για τη ζωή του στο Παρίσι, μετακίνησε την οικογένειά του στο Arcueil. Εκεί τα πράγματα ήταν δύσκολα και έγραψε σε επιστολή του :

Ποτέ δεν έχουμε πάνω από μισό κιλό ψωμί - και μερικές φορές ούτε και αυτό. Αυτό συμπληρώνεται με τη μικρή προσφορά του σκληρών μπισκότων και του ρυζιού που μας διανέμουν.

Σύντομα επέστρεψαν στο Παρίσι και ήταν τότε που ο πατέρας του Κωσύ δραστηριοποιήθηκε στην εκπαίδευση του νέου Κωσύ. Ο Laplace και ο Lagrange συνήθιζαν να επισκέπτονται στο σπίτι την οικογένεια Κωσύ και ιδίως ο Lagrange έδειξε ενδιαφέρον για τη μαθηματική εκπαίδευση του Κωσύ. Ο Lagrange τόνισε στον πατέρα του Κωσύ ότι ο γιος του θα πρέπει να αποκτήσει μια καλή γνώση πάνω στις γλώσσες πριν αρχίσει μια σοβαρή μελέτη των μαθηματικών. Το 1802 ο Κωσύ εισήλθε στην Ecole Centrale du Panthéon όπου πέρασε δύο χρόνια μελετώντας κλασικές γλώσσες. Από το 1804 ο Κωσύ παρακολούθησε μαθήματα στα μαθηματικά και το 1805 έκανε τις εισαγωγικές εξετάσεις για την Ecole Polytechnique. εξετάστηκε από τον Biot και πέρασε δεύτερος. Στην Ecole Polytechnique παρακολούθησε μαθήματα από τους Lacroix, de Prony και Hachette ενώ ο δάσκαλος που τον παρακολουθούσε ήταν ο Ampere. Το 1807 αποφοίτησε από την Ecole Polytechnique και εισήχθη στη σχολή μηχανικών École des Ponts et Chaussées όπου ήταν ένας εξαίρετος μαθητής. Το 1810 ανέλαβε την πρώτη του δουλειά στο Χερβούργο σχετικά με τις λιμενικές εγκαταστάσεις για την εισβολή του αγγλικού στόλου του Ναπολέοντα. Πήρε ένα αντίγραφο της Mécanique Celeste του Laplace και ένα από το έργο Théorie des Fonctions του Lagrange μαζί του. Ήταν πολύ απασχολημένος εκείνη την περίοδο ο Κωσύ. Σχετικά με τα καθημερινά του καθήκοντα είχε γράψει χαρακτηριστικά:

74

Σηκώνομαι κάθε πρωί στις τέσσερις και είμαι απασχολημένος από εκείνη τη στιγμή ... δεν με κουράζει η εργασία, αντίθετα, με αναζωογονεί και είμαι σε τέλεια φυσική κατάσταση.

Προσφορά στα μαθηματικά και στη φυσική

Εκτός από τον μεγάλο φόρτο εργασίας ο Κωσύ άρχισε μαθηματικές έρευνες και το 1811 απέδειξε ότι οι γωνίες ενός κυρτού πολυέδρου καθορίζονται από τις επιφάνειες του. Αυτός υπέβαλε το πρώτο έγγραφο για το θέμα αυτό και στη συνέχεια, ενθαρρυμένος από τους Legendre και Malus, υπέβαλε έγγραφο για περαιτέρω πολύγωνα και πολύεδρα το 1812. Ο Κωσύ θεώρησε ότι έπρεπε να επιστρέψει στο Παρίσι αν θα ήθελε να κάνει εντύπωση με τη μαθηματική του έρευνα. Τον Σεπτέμβριο του 1812 αρρώστησε και επέστρεψε στο Παρίσι. Φαίνεται ότι η ασθένεια δεν ήταν φυσική αλλά πιθανόν οφειλόταν σε ψυχολογικούς λόγους που ήταν αποτέλεσμα σοβαρής κατάθλιψης. Το Φεβρουάριο του 1813 είχε ανακτησεί την υγεία του. Συνέχισε ως μηχανικός στην Ourcq Canal project και δεν επέστρεψε στο Χερβούργο. Ο Pierre Girard ήταν σαφώς ικανοποιημένος με την προηγούμενη εργασία σε αυτό το τομέα και υποστήριξε αυτή του την κίνηση. Μία ακαδημαϊκή σταδιοδρομία ήταν αυτό που ήθελε ο Κωσύ και έκανε αίτηση για μια θέση στο προεδρείο des Longitudes. Απέτυχε να λάβει τη θέση αυτή, όπου διορίστηκε ο Legendre. Επίσης απέτυχε να διοριστεί στο τμήμα γεωμετρίας του Ινστιτούτου όπου τη θέση πήρε ο Poinsot. Ο Κωσύ κατάφερε να λάβει περαιτέρω άδεια ασθενείας άνευ αποδοχών για εννέα μήνες και ταυτόχρονα πολιτικά γεγονότα εμπόδισαν τις εργασίες του για το Ourcq Canal. Ο Κωσύ τώρα ήταν σε θέση να αφιερωθεί εξ ολοκλήρου στην έρευνα του για ένα-δύο χρόνια. Η μαθηματική του έρευνα παρέμεινε ισχυρή και το 1814 δημοσίευσε σημείωμα για ορισμένα ολοκληρώματα όπου αργότερα έγιναν η βάση της θεωρίας του για πολύπλοκες λειτουργίες. Το 1815 έχασε μια θέση στην Ecole Polytechnique, αλλά στη συνέχεια διορίστηκε επίκουρος καθηγητής της ανάλυσης εκεί. Ήταν υπεύθυνος για το δεύτερο έτος μαθημάτων. Το 1816 κέρδισε το Grand Prix της Γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών σε εργασία σχετικά με τα κύματα. Απέκτησε όμως πραγματική φήμη όταν υπέβαλε ένα έγγραφο στο Ινστιτούτο με την επίλυση ενός από των ερωτημάτων του Fermat σχετικά με τους πολυγωνικούς αριθμούς. Οι πολιτικές εξελίξεις τον βοήθησαν στην Ακαδημία Επιστημών όταν μειώθηκε η πολιτική ισχύς των Carnot και του Monge οπότε και πήρε τη μία από τις δύο θέσεις. Tο 1817 o Biot άφησε το Παρίσι και ο Κωσύ αναπλήρωσε τη θέση του στο College de France. Εκεί έκανε διαλέξεις σχετικά με τις μεθόδους ολοκλήρωσης τις οποίες είχε ανακαλύψει νωρίτερα αλλά δεν είχε δημοσιεύσει. Ο Κωσύ ήταν ο πρώτος που προέβη σε αυστηρή μελέτη των συνθηκών για σύγκλιση των άπειρων σειρών. Το κείμενο Cours d'analyse που έγραψε το 1821 είχε σχεδιαστεί για μαθητές της Ecole Polytechnique και είχε θέμα την ανάπτυξη των βασικών θεωρημάτων του λογισμού. Ξεκίνησε μια μελέτη του λογισμού το 1826 με το Sur un nouveau genre de calcul analogue au calcul infinitésimal, ενώ το 1829 με το Leçons sur le Calcul Différentiel ορίζει για πρώτη φορά μια πολύπλοκη λειτουργία μιας σύνθετης μεταβλητής. Έφυγε από το Παρίσι το Σεπτέμβριο του 1830 μετά την επανάσταση του Ιουλίου, και πέρασε ένα μικρό διάστημα στην Ελβετία. Εκεί έγινε ενθουσιώδης υποστηρικτής στην ίδρυση της ακαδημίας Helvétique αλλά το σχέδιο αυτό κατέρρευσε αφού μπλέχθηκε σε πολιτικά γεγονότα. Πολιτικά γεγονότα στη Γαλλία σήμαινε ότι έπρεπε πλέον να ορκίζονται όρκο υπακοής στο νέο καθεστώς και όταν απέτυχε να επιστρέψει στο Παρίσι για να το κάνει αυτό έχασε όλες τις θέσεις του

75

εκεί. Το 1831 μετέβη στο Τορίνο και μετά από κάποιο χρονικό διάστημα εκεί αποδέχθηκε μια προσφορά από τον βασιλιά της Piedmont για μια θέση προέδρου της θεωρητικής φυσικής. Δίδαξε στο Τορίνο από το 1832. Ο Menabrea ένας από αυτούς που παρακολούθησαν τα μαθήματα αυτά στο Τορίνο έγραψε :

Τα μαθήματα ήταν πολύ μπερδεμένα, ξαφνικά περνούσε από τη μια ιδέα στην άλλη, από τον ένα τύπο στον άλλο, χωρίς να επιχειρεί να κάνει μια σύνδεση μεταξύ τους. Οι παρουσιάσεις ήταν ασαφής και φωτίζονταν κάποιες στιγμές από εκλάμψεις καθαρής ιδιοφυΐας. ...από τους τριάντα που συμμετείχαν μαζί μου, ήμουν ο μόνος που μπόρεσε να το διακρίνει..

Ο Κωσύ επέστρεψε στο Παρίσι το 1838 και ανέκτησε τη θέση του στην ακαδημία, αλλά όχι και τις θέσεις του στη διδασκαλία επειδή είχε αρνηθεί να δώσει όρκο υπακοής. Το 1843 ο Lacroix πέθανε και έτσι ο Κωσύ έγινε υποψήφιος για την θέση των μαθηματικών στο College de France. Ο Liouville και ο Libri ήταν επίσης υποψήφιοι. Ο Κωσύ θα έπρεπε εύκολα να είχε οριστεί για τις μαθηματικές του ικανότητες, αλλά η πολιτικές του και οι θρησκευτικές του δραστηριότητες, όπως η στήριξη των Ιησουϊτών, ήταν κρίσιμοι ανασταλτικοί παράγοντες. Ο Libri επελέγη, σαφώς κατά πολύ πιο αδύναμος και από τους τρεις μαθηματικούς. Κατά την περίοδο αυτή το μαθηματικό έργο του Κωσύ ήταν μικρότερο από ότι κατά την περίοδο πριν από την αυτοεξορία του. Σημαντικό ήταν το έργο του στις διαφορικές εξισώσεις και σε εφαρμογές στη μαθηματική φυσική. Επίσης έγραψε πάνω στη μαθηματική αστρονομία, κυρίως λόγω της υποψηφιότητάς του για τις θέσεις στο Bureau des Longitudes (σημερινό IMCCE ινστιτούτο ουράνιας μηχανικής και υπολογισμού εφημερίδων). Το κείμενο Exercices d’analyse et de physique mathématique δημοσιεύθηκε μεταξύ 1840 και 1847 και αποδείχθηκε εξαιρετικά σημαντικό. Όταν o Philippe Louis ανατράπηκε το 1848 ο Κωσύ ανέκτησε τις πανεπιστημιακές του θέσεις. Ωστόσο, δεν άλλαξε τις απόψεις του και συνέχισε να δημιουργεί στους συναδέλφους του προβλήματα. Ο Libri παραιτήθηκε και έφυγε από τη Γαλλία. Ο Liouville και ο Κωσύ ήταν υποψήφιοι για την προεδρία και πάλι το 1850, όπως είχαν και το 1843. Τελικά διορίστηκε ο Liouville. Μεταγενέστερες προσπάθειες για να αντιστραφεί αυτή η απόφαση οδήγησε σε πολύ κακές σχέσεις μεταξύ Liouville και Cauchy. Επίσης μία άλλη, μάλλον ανόητη διαφορά ήταν αυτή τη φορά με τον Duhamel. Αυτή η διαφορά ήταν πάνω σε ένα ισχυρισμό σχετικά με το αποτέλεσμα ανελαστικών κρούσεων. Ωστόσο ο Κωσύ ποτέ δεν παραδέχθηκε ότι ήταν λάθος ο ισχυρισμός του. Η διαφορά έδωσε τις τελευταίες μέρες της ζωής του μία θλίψη και πικρία που μόνο οι φίλοι του γνώριζαν. Απεβίωσε 23 Μαΐου 1857 . Πολυάριθμες αναφορές στα μαθηματικά φέρουν το όνομα Κωσύ: Το αναπόσπαστο θεώρημα Κωσύ, τη θεωρία των πολύπλοκων λειτουργιών, το Cauchy-Kovalevskaya θεώρημα για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων, οι εξισώσεις Cauchy-Riemann και οι ακολουθίες Cauchy. Τα έργα του συγκεντρώθηκαν στο Oeuvres d'Augustin Cauchy (1882-1970), και δημοσιεύθηκαν σε 27 τόμους Παρακάτω παραθέτονται ορισμένες εφαρμογές που ασχολήθηκε ο Κωσύ και έχουν το όνομα του.

76

Ορισμός Cauchy, (έψιλον - δέλτα ορισμός)Αν είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού και το xο ανήκει στο πεδίο ορισμού της, τότε η f ονομάζεται συνεχής στο xο αν

Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης ορίζεται μόνο στα σημεία που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της. Η συνάρτηση ονομάζεται συνεχής στο A αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του A, δηλαδή αν:

.Σε αντιδιαστολή προς την ομοιόμορφη συνέχεια, η συνέχεια που ορίστηκε παραπάνω λέγεται και σημειακή συνέχεια.Ακολουθία Cauchy Η ακολουθία Cauchy είναι μία ακολουθία της οποίας οι όροι έχουν όλο και μικρότερη απόσταση όσο η ακολουθία εξελίσσεται.

Μία πραγματική ακολουθία είναι Κωσύ αν για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός

Ν τέτοιος ώστε για κάθε n, m > N ισχύει .

Μία ακολουθία ορισμένη στον μετρικό χώρο (Μ, d) είναι Κωσύ ανν για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός Ν τέτοιος ώστε για καθε n, m > N ισχύει

.Οι ακολουθίες Κωσύ δεν είναι αναγκαστικά συγκλίνουσες. Ένας μετρικός χώρος στον οποίο κάθε ακολουθία Κωσύ είναι και συγκλίνουσα ονομάζεται πλήρης. Ο Κωσύ είχε παράγει 789 μαθηματικά έγγραφα, ένα απίστευτο επίτευγμα. Μια τέτοια τεράστια επιστημονική δημιουργικότητα δεν είναι τίποτα λιγότερο από εντυπωσιακή, για την έρευνα σχετικά με όλες τις τότε γνωστές περιοχές των μαθηματικών παρά την απεραντοσύνη και τον πλούσιο πολύπλευρο χαρακτήρα τους, τα επιστημονικά του έργα έχουν ένα σαφές ενοποιητικό θέμα, μία μυστική ολότητα. Η δημιουργική ιδιοφυΐα του δεν διαπιστώθηκε ευρέως μόνο στο έργο του με βάση τις πραγματικές και περίπλοκες αναλύσεις, περιοχές στις οποίες το όνομά του είναι άρρηκτα συνδεδεμένο, αλλά και σε πολλούς άλλους τομείς. Συγκεκριμένα, στο πλαίσιο αυτό, θα πρέπει να αναφέρουμε την σημαντική συμβολή στην ανάπτυξη της μαθηματικής φυσικής και της θεωρητικής μηχανικής. Αναφέρουμε τις δύο θεωρίες της ελαστικότητας και τις έρευνές του σχετικά με τη θεωρία του φωτός, την έρευνα για την ανάπτυξη συνόλου νέων μαθηματικών τεχνικών, όπως μετασχηματισμών Fourier, διαγωνοποίηση πινάκων καθώς και την υπολογισμό των υπολοίπων. Ο Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ, ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς στην ιστορία της σχολής Έcole Polytechnique , παρά την πασίγνωστη αντίθεση του στα κοινωνικώς στρατευμένα μαθηματικά, εμπνεόταν σε σημαντικό βαθμό από τη μηχανική, αρεσκόταν δε να επαναλαμβάνει ότι η μηχανική αποτελούσε το τσιμέντο που κρατούσε ενωμένα τα διάφορα τμήματα της ψυχής της Έcole Polytechnique. Οι φυσικοί μας, οι μαθηματικοί μας, όλοι τους είναι και λίγο μηχανικοί.

Γαλλικό γραμματόσημο του 1989 προς τιμήν του Augustin Cauchy

77

ΕπίλογοςΕπίλογος

Ορισμένοι Μαθηματικοί βλέπουν τη Φυσική ως πηγή καινούριων ερωτημάτων για την επέκταση του ερευνητικού πεδίου που δουλεύουν. Aλλοι Μαθηματικοί κατανοούν τη Φυσική ως γενέτειρα καινούργιων μαθηματικών θεωριών. Από την άλλη μεριά οι περισσότεροι Φυσικοί βλέπουν τα Μαθηματικά ως ένα υπέροχο και ευγενές εργαλείο, αλλά πάντα εργαλείο. Έτσι συμπεριφέρονται στα Μαθηματικά σαν να είναι μία γλώσσα που πρέπει κάποιος να την μιλά τόσο καλά, ώστε να καταλαβαίνει το φαινόμενο και να καταλαβαίνεται από τους συναδέλφους του. Μάλιστα, πολλοί Φυσικοί συμπληρώνουν ότι οι Μαθηματικοί ασχολούνται με σπαζοκεφαλιές και ουδέποτε ρίχνουν το βλέμμα προς τον κοινό λαουτζίκο που προσπαθεί να καταλάβει το συγκεκριμένο και ειδικό. Κατά τη γνώμη μου, ίσως, δεν έχουν άδικο στην τελευταία τους παρατήρηση. Πάντως τις περισσότερες φορές η κάθε μία από τις δύο κοινότητες προσεγγίζουν ως κάτι αλλότριο την άλλη που μπορεί να τους προσφέρει κάτι σημαντικό στο έργο της, εφ' όσον και εάν συμφιλιωθεί και συμβιβαστεί η δεύτερη με τα δεδομένα της πρώτης. Σήμερα Μαθηματικός είναι αυτός που χάνεται μέσα σε αφηρημένες έννοιες και συσχετίζει διαφορετικές μαθηματικές θεωρίες απαντώντας σε κρίσιμα ερωτήματα που πάντα ξεπηδάνε από τον υπάρχοντα φορμαλισμό και την ανάπτυξη των πρώτων αφηρημένων εννοιών. Κανείς δεν αμφιβάλλει ότι η διερεύνηση των θεμελίων των Μαθηματικών και η παραπέρα μελέτη των ήδη υπαρχουσών εννοιών ενισχύει και διευρύνει την κατανόηση των αρχικών αυτών εννοιών. Όμως, το έργο του Μαθηματικού δε σταματά εκεί ή μάλλον δεν πρέπει να σταματά εκεί, γιατί σήμερα μόνο η παραπάνω εργασία γίνεται στις περισσότερες περιπτώσεις Η λύση για το παράπονο των Φυσικών, δηλαδή την αποστασιοποίηση των Μαθηματικών από κάθε τι πρακτικό, είναι απλή. Η εφαρμογή της επίπονη και δαιλαδώδης, αλλά επιτακτική. Ο Μαθηματικός δεν πρέπει να γνωρίζει μόνο Μαθηματικά. Πρέπει να καταλάβαίνει και άλλες όψεις της γνώσης. Αυτή η αντίληψη διαφορετικών αρχών και μεθόδων εκτός των Μαθηματικών δεν δημιουργεί μόνο γέφυρα μεταξύ Μαθηματικών και Φυσικών, αλλά συνάμα διαφωτίζει και πλευρές των μαθηματικών θεωριών που σε καμία άλλη περίπτωση δεν θα έβγαιναν στην επιφάνεια. Αυτή η γνώση της εφαρμογής των Μαθηματικών στον περιβάλλοντα υλικό κόσμο δε βοηθά μόνο τον Μαθηματικό, αλλά βοηθά και το Φυσικό να μάθει σωστά τα Μαθηματικά που χρησιμοποιεί. Επικοινωνία καθίσταται δυνατή μεταξύ δύο υποκειμένων, όταν και μόνον όταν έχουν κάποιο κοινό σημείο, μία αφετηρία. Και αυτή η αφετηρία δεν είναι η αφηρημένη μαθηματική έννοια. Σημείο εκκίνησης αποτελεί το συγκεκριμένο και ειδικό πρόβλημα που εμφανίζεται μπροστά στο Φυσικό κατά την τέλεση ενός πειράματος ή την προσπάθεια θεωρητικής διατύπωσης και κατανόησης ενός φαινομένου. Οι σύγχρονοι Φυσικοί έχουν γίνει απαθείς σε οτιδήποτε πραγματικά σημαντικό για τα Μαθηματικά, ενώ οι Μαθηματικοί έχουν ξεχάσει την παράδοσή τους. Γιατί αλήθεια οι μεγάλοι μαθηματικοί έμειναν στην ιστορία; Πράγματι υπήρξαν άνθρωποι μεγάλοι που δεν συνείσφεραν άμεσα σε κάτι άλλο εκτός των Μαθηματικών. Όμως, είχαν γνώση της φυσικής επιστήμης και ποτέ δεν την χλεύαζαν ή την υπονόμευαν. Πιο συγκεκριμένα στη Γαλλία για παράδειγμα τους Evariste Galois, Augustin-Louis Cauchy, Pierre Vernier, Charles Hermite και τους νεότερους του 20ου αιώνα Jacques Salomon Hadamard, André Weil, Cartan Henri για τα επιτεύγματά τους στα Μαθηματικά που χωρίς την μελέτη της Φύσης δε θα είχαν ποτέ φθάσει.

78

Και αν ακούγονται σε κάποιον οι εποχές αυτές μακρυνές και ο γράφων ρομαντικός, τότε του λειπεί ο απαραίτητος ρομαντισμός, ώστε να ασχοληθεί καν με τα Μαθηματικά. Αν νομίζει ότι μία επιστήμη είναι ένα στεγανό μεθόδων και γνώσεων που συνεχίζει ατέρμονα το ταξίδι της μέσα στην απόλυτη απομονωσή της, τότε θα πρέπει όχι μόνο να αναρωτηθεί για το ρομαντισμό του, αλλά και για την αξία των πραττομένων του. Γιατί πρέπει η εποχή μας να έχει τόσες πολλές διαφορές με τις εκατοντάδες χρόνων που πέρασαν και τα Μαθηματικά ήταν σε αγαστή συνεργασία, συμβίωση και συνέλιξη με τη Φυσική, ώστε να απαρνηθούμε κάθε σχέση με τα πρότερα; Τα Μαθηματικά είναι μία υπερδομή υπολογισμού, χωροθέτησης και οριοθέτησης μίας μεθόδου. Αυτή η μέθοδος, όμως, απευθύνεται στο έξωθεν, στην υποδομή. Η κατανόηση της υποδομής απαιτεί την κατανόση της υπερδομής, και αντίστροφα. Σε κάθε αυτοκίνητο(μία υπερδομή) υπάρχει η μηχανή που το κινεί(η υποδομή). Για την κατανόηση του αυτοκινήτου απαιτείται η γνώση της μηχανής του, ενώ για την κατανόηση της μηχανής απαιτείται η κατανόηση της λειτουργίας του αυτοκινήτου. Έτσι γίνεται και με τα γνωστικά αντικείμενα που ονομάζουμε Μαθηματικά και Φυσική. Αποτελούν μία ολότητα, και ως ολότητα είναι αδύνατος ο διαχωρισμός τους σε υπερδομή και υποδομή για κάθε περίπτωση όπου αυτή η ολότητα κάνει αισθητή την παρουσία της. Τα Μαθηματικά και η Φυσική είναι ένα όλο και έτσι πρέπει να αντιμετωπίζονται στην ερευνητική μελέτη τους. Τα Μαθηματικά δεν είναι Φυσική και η Φυσική δεν είναι Μαθηματικά. Απλά διαχέονται τόσο πολύ το ένα μέσα στο άλλο που κάθε διαχωρισμός θα πλήξει και τα δύο γνωστικά αντικείμενα.

‘Ι have sought to establish that the phenomena of nature can be reduced in the last analysis to actions at a distance between molecule and molecule, and that the consideration of these actions must serve as the basis of the mathematical theory of these phenomena’ (΄(΄Προσπάθησα να αποδείξω ότι τα φαινόμενα της φύσης μπορούν να συγκεντρωθούν σε τελευταία ανάλυση σε δράσεις απόστασης μεταξύ ενός μορίου με ένα άλλο μόριο, και ότι η εξέταση των εν λόγω ενεργειών πρέπει να χρησιμεύσει ως η βάση στη μαθηματική θεωρία των φαινομένων αυτών’)

Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

79

ΒιβλιογραφίαΒιβλιογραφία

1. J. Haag. Applications au tir. In E. Borel, editor, Traite du calcul des probabilites et de ses applications, volume 4, fascicule 1, Paris, 1926. Gauthier-Villars.2. J. Haag. Sur un problµeme general de probabilites et ses diverses applications. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Toronto 1924, pages 659-676, Toronto, Canada, 1928. Toronto University Press.3. Aldous, D.J.(1985) “Exchangeability and related topics”. Ecole d’ Ete de Probabilites de Saint-Flour XIII 1983,Lecture Notes in Mathematics 117, Springer, New York.4. M L Cartwright, Jacques Hadamard, Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society of London 2 (1965). 5. P Lévy, S Mandelbrojt, B Malgrange and P Malliavin, La vie et l'oeuvre de Jacques Hadamard (1865-1963), Monographie de l'Enseignement Mathématique Institut de Mathématiques de l'Université de Genève 16 (Geneva 1967). 6. V Maz'ya and T Shaposhnikova, Jacques Hadamard, a universal mathematician (London, 1998). 7. Βιογραφία από την εγκυκλοπαίδεια Britannica. 8. Obituary στο The Times 9. Weil, Η μαθητεία ενός μαθηματικού (Βασιλεία, 1992). 10. Weil παραλαμβάνει το βραβείο του Κιότο, Notices Amer. Math. Soc 41 (7) (1994), 793-794. 11. L. Randall and R. Sundrum, "An alternative to compactification", Phys. Rev. Lett. 83 (1999) 4690, hep-th/9906064.12. E. Witten, "String theory dynamics in various dimensions", Nucl. Phys. B 443 (1995) 85, hep-th/9503124].13. Πηγή: www.astronomy.gr (πλανητάριο Θεσσαλονίκης) Ηλεκτρονική Εγκυκλοπαίδεια Επιστήμη&Ζωή14. Αποστολάκης Κωνσταντίνος, Τεχνικά –Τοπογραφικά -Αρχιτεκτονικά /διάφορα θέματα (1991)15. Biography in Encyclopaedia Britannica16. H Michel, Le 'vernier' et son inventeur Pierre Vernier d'Ornans, Mémoires de la Société d'émulation du Doubs 8 (1913), 310-373.17. L Felix, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).18. Ε Cartan, L'oeuvre scientifique de M Ernest Vessiot, Bulletin de la Société mathématique de France 75 (1947), 1-8.19. Σταυρακάκης Ν., Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εκδ. Παπασωτηρίου, 1997.20. Carl B. Boyer – Uta C. Merzbach. Η ιστορία των μαθηματικών. Εκδόσεις Γ. Α. Πνευματικού.21. Simon Singh. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Εκδόσεις Τραυλός22. Dirk J. Struik. Συνοπτική ιστορία μαθηματικών. Εκδόσεις Ι. Ζαχαρόπουλος23. E. T. Bell. Οι μαθηματικοί. Τόμος II. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης24. Denis Guedj. Το θεώρημα του παπαγάλου. Εκδόσεις Πόλις25. Στυλιανού Ανδρεαδάκη. Θεωρία Galois. Εκδόσεις Συμμετρία26. Tom Petsinis. Ο Γάλλος μαθηματικός. Εκδόσεις Τραυλός27. Rene Taton, "Sur les relations scientifiques d'Augustin Cauchy et d'Evariste Galois," Review d'Histoire des Sciences 24, 123 (1971)28. Andre Dalmas, Evariste Galois, Revolutionnaire et Geometre (Paris: Fasquelle, 1956), pp. 77-7828. Rene Taton, "Sur les relations scientifiques d'Augustin Cauchy et d'Evariste Galois," Review d'Histoire des Sciences 24, 123 (1971)29. Douglas, Jesse (1931). "Solution of the problem of Plateau". Trans. Amer. Math. Soc. 33 (1): 263–321. doi:10.2307/1989472. 30. Radó, Tibor (1930). "On Plateau's problem". Ann. of Math. (2) 31: 457–469. doi:10.2307/1968237.

80

31. Jubilé scientifique de M Edouard Goursat (Παρίσι, 1936).32. V Katz, Differential forms, in History of topology (Βόρεια Ολλανδία, Amsterdam, 1999), 111-122.33. HS Tropp, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).34. V Katz, Διαφορικές μορφές, στην Ιστορία της τοπολογίας (North-Holland, Amsterdam, 1999), 111-122.35. H Freudenthal, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990). 36. Biography in Encyclopedia Britannica.37. C Brezinski, Charles Hermite : Père de l'analyse mathématique moderne, Cahiers d'Histoire et de Philosophie des Sciences. Nouvelle Série 32 (Paris, 1990). 38. V Maz'ya and T Shaposhnikova, Jacques Hadamard, a universal mathematician (London, 1998). 39. E P Ozhigova, Charles Hermite : 1822-1901 (Russian) 'Nauka' (Leningrad, 1982). 40. Σελίδες στο internet: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hermite.html41. Swift, Α. “Sophie Germain”. Biographies of Women Mathematicians.42. O’Connor, J., J., & Robertson, E., F. “Marie-Sophie Germain”. MacTutor History of Mathematics, (1996).43. Musielak, D. “Sophie’s Diary”. (2008)44. Fara, P. (2005). “Scientists anonymous: Great stories of women in science“. U.K.: Wizard Books.45. Johnson, W. (1994). “Some women in the history of mathematics, physics, astronomy and engineering“. Journal of Materials Processing Technology, 40 (1-2), 33-71.46. Singh, S., & Ribet, K., A. “Το τελευταίο θεώρημα του Fermat”.47. Werner Soedel, Vibrations of Shells and Plates (Ν.York 2005)48. H Bosmans, Several articles, Mathesis 40, 41 (1926). 49. P Tannery, Albert Girard di Saint-Mihiel, Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques 7 (1883), 358-360. 50. J Itard, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990). 51. Ostler, E. & Grandgenett, N. (1998). Ο Fibonacci είναι και πάλι εδώ! Τι κοινό έχουν ο Παρθενώνας και μια μαργαρίτα; Περιοδικό QUANTUM, Νοε. Δεκ. τεύχος 6, εκδόσεις Κάτοπτρο, Αθήνα.52. Ευαγγελόπουλος, Δ. (2002). Ιερή Γεωμετρία. Εκδόσεις Αρχέτυπο, Θεσσαλονίκη.53. S. Douady et Y. Couder, La physique des spirales vιgιtales, La Recherche, janvier 1993, p. 26 (In French).54. Ηλεκτρονική εγκυκλοπαίδεια Ερμής55. Βιογραφίες Annales des Mines, 14η σειρά, τόμος ΙΙ, 1943.56. Rene Dugas, A history of mechanics, Éditions du Griffon 1955 (Ψηφιοποιήθηκε στις 15 Ιαν. 2009)57. Τεύχος 27 του περιοδικού Μαθηματική Επιθεώρηση, Β΄εξάμηνο 1984, Βασίλης Κ. Ξανθόπουλος, Σελ. 95-11258. Biography in Encyclopaedia Britannica59. R Remmert and J-P Serre (eds.), Henri Cartan Oeuvres (3 vols.) (Berlin-New York, 1979).60. H Cartan, Brève analyse des travaux de Henri Cartan, in Colloque 'Analyse et Topologie' en l'Honneur de Henri Cartan, Asterisque 32-33, Soc. Math. France (Paris, 1976), 5-21. 61. S Dimiev and R Lazov, Henri Cartan : on the occasion of his 80th birthday (Bulgarian), Fiz.-Mat. Spis. Bulgar. Akad. Nauk. 26 (59) (2) (1984), 222-225.62. J C Griffith, Eulogy : Henri Cartan, Bull. London Math. Soc. 13 (3) (1981), 263-264.63. Henri Cartan, in Colloque 'Analyse et Topologie' en l'Honneur de Henri Cartan, Asterisque 32-33, Soc. Math. France (Paris, 1976), 3-4. 64. A Jackson, Un entretien avec Henri Cartan, Gaz. Math. No. 84 (2000), 5-15. 65. A Jackson, Interview with Henri Cartan [b. 1904], Notices Amer. Math. Soc. 46 (7) (1999), 782-788.

81

66. Liste des travaux de Henri Cartan, in Colloque 'Analyse et Topologie' en l'Honneur de Henri Cartan, Asterisque 32-33, Soc. Math. France (Paris, 1976), 22-27. 67. P Brunet, La vie et l’oeuvre de Clairaut (1713-1765) (Paris, 1952). 68. J L Greenberg, The problem of the Earth’s shape from Newton to Clairaut : the rise of mathematical science in eighteenth-century Paris and the fall of 'normal' science (Cambridge, 1995).69. T L Hankins, Jean d’Alembert: science and the englightenment (New York, 1990).70. Ιστοσελίδα: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html71. K. G.GROSSE-ERDMANN. Holomorphe Monster und univerelle functionen, Mitt. Math. Sem.Giessen, Heft 176, 1-84 (1987).72. "Cournot, Antoine Augustin", in The New Palgrave: A Dictionary of Economics, Eatwell, Milgate, Newman (eds.), 1987. 73. Bertrand, Joseph L.F. (1883). "Théorie des Richesses: revue de Théories mathématiques de la richesse sociale par Léon Walras et Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses par Augustin Cournot", Journal des Savants 74. Fisher, Irving, (1898). "Cournot and Mathematical Economics", QJE 75. Ingrao, Bruna and Giorgio Israel (1987). La mano invisibile. L'equilibrio economico nella storia della scienza, (transl. The Invisible Hand: Economic Equilibrium in the History of Science, 1990). 76. Schumpeter, Joseph A. (1954). History of Economic Analysis, (published posthumously, ed. Elisabeth Boody Schumpeter), 1954. 77. Walras, Léon, (1874). Éléments d'économie politique pure, ou théorie de la richesse sociale (Elements of Pure Economics, or the theory of social wealth, transl. William Jaffé), 1874. (1899, 4th ed.; 1926, rev ed., 1954, Engl. transl.) 78. Γιάνης Βαρουφάκης-Νίκος Θεοχαράκης, Μικροοικονομικά υποδείγματα μερικής και γενικής ισορροπίας, Αθήνα-Γ. Δαρδανός, 2005.79. σελίδα στο internet: http://en.wikipedia.org/wiki/Economists80. de Louis Couturat (1868-1914), De Leibniz à Russell (Presses École Norm. Super., Παρίσι, 1983). 81. I Grattan-Guinness, η αναζήτηση της Μαθηματικής Roots 1870-1940 (Princeton Uni. Press, Princeton, 2000).82. ιστοσελίδες: www.esperanto.gr , http://el.wikipedia.org83. Deborah J. Bennett, Logic Made Easy (page 148) (N.York, 2004)84. Couturat L., The Algebra of Logic (traslation by Lydia GillIngham Robinson, B. A., 2004)85. Βιογραφία από την εγκυκλοπαίδεια Britannica.86. Belhoste Β., Cauchy. Un mathématicien légitimiste au XIXe siècle (Παρίσι, 1985). 87. Belhoste Β., Augustin-Louis Cauchy. Μια Βιογραφία (Νέα Υόρκη, 1991). 88. Grabiner J.V., The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus (Cambridge, Μασαχουσέτη, 1981). 89. L Novy, Cauchy, in H Wussing and W Arnold, Biographien bedeutender Mathematiker (Βερολίνο, 1983).90.Valson C.A., La vie et les Travaux du Baron Cauchy (Παρίσι, 1868).

82