ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

1. Έστω η συνάρτηση f:ℜ→ℜ για την οποία ισχύει ότι :

f(χ-ψ) = f(χ) – f(ψ) για κάθε χ,ψ ∈ℜ. α) Να αποδείξετε ότι f(0) = 0 (4 µονάδες) β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράστασή της f έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων. (4 µονάδες) γ) Αν η f(χ) = 0 έχει µοναδική ρίζα το χ=0 , να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη. (8 µονάδες) δ) Έστω z και w δύο µιγαδικοί αριθµοί µε:

z=1 και w = z

z -

z

z

Αν ισχύει f(z

iz + ) + f(3) = f(5) , να αποδείξετε ότι οι εικόνες των µιγαδικών

w κινούνται πάνω σε κύκλο , του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. (9 µονάδες)

2. ΄Εστω η συνεχής συνάρτηση f:R→(0, +∞) για την οποία ισχύει: ln(f(χ)) + ef(χ) = χ+2 για κάθε χєR. α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f -1 (8 µονάδες) β) Να βρεθεί η µονοτονία της συνάρτησης f (7 µονάδες) γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον χ0є(1,e) για το οποίο η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο Α(χ0 , f

-1(χ0)). (10 µονάδες) (Τα ερωτήµατα του 4ου θέµατος έχουν συνδυαστεί µε πρωτότυπο τρόπο)

3. Έστω η δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση f:R→R µε f(0)=f΄(0)=0 για την οποία ισχύει : f΄΄(χ)+[f΄(χ)]2 = 2e-f(χ) για κάθε χєR α) Να δείξετε ότι f΄(χ)ef(χ) = 2χ για κάθε χєR (7 µονάδες) β) Να δείξετε ότι ο τύπος της f είναι f(χ)=ln(χ2+1) , χєR (8 µονάδες) γ) Να δείξετε ότι η f δεν είναι "1-1" (4 µονάδες)

δ) Να βρείτε το όριο +∞→χ

lim f(χ)e

συνχ (6 µονάδες)

4.

Έστω οι µιγαδικοί z και f(z) = 12-z

i

−− z

α) Να βρείτε για ποιους µιγαδικούς αριθµούς z oρίζεται ο f(z) (5 µονάδες) β) Nα αποδείξετε ότι f(z)≥ 1 (6 µονάδες) γ) Αν f(z) = i , τότε:

i) Να αποδείξετε ότι z-1 + Re(z) = 1 (5 µονάδες)

ii) Nα βρείτε το διάστηµα στο οποίο παίρνει τιµές το Re(z) (4 µονάδες)

iii) Nα βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z , που επαληθεύουν την εξίσωση του ερωτήµατος i).

(5 µονάδες)

5. ∆ίνονται οι µιγαδικοί z1 = 3 + i και z2 = 1- 3 i.

α) Να βρείτε τον µιγαδικό w = 2

1

z

z

(4 µονάδες)

β) Να αποδείξετε ότι: 21

21

λzz

z λz

+

− = i , λ∈ℜ

(4 µονάδες) γ) Να αποδείξετε z1

2006 + z22006 = 0

(4 µονάδες) δ) Να βρείτε τις τιµές του φυσικού αριθµού ν ώστε να ισχύει: z1

ν + z2ν = 0 (4 µονάδες)

ε) Αν Α , Β είναι οι εικόνες των µιγαδικών z1 , z2 αντίστοιχα και (0,0) η αρχή των αξόνων , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο ισοσκελές. (4 µονάδες) στ) Αν η εικόνα του z στο µιγαδικό επίπεδο κινείται σε κύκλο µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=3 , να υπολογίσετε τη µέγιστη τιµή της

αλγεβρικής παράστασης 2

1

z-z

z-z

(5 µονάδες)

6. Έστω συνάρτηση f:R→R µε σύνολο τιµών f(R) = R και ο µιγαδικός zєC. Aν η f είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σηµεία Α(1 , │z│) και Β(3 , │z- 3 │)

α) Να δείξετε ότι Re(z) < 2

3 7 µονάδες

β) Αν z = 3 + i i) Nα δείξετε ότι η f αντιστρέφεται 3 µονάδες ii) Nα λύσετε την εξίσωση (f-1o f-1)(χ2+2χ+2) = 3 8 µονάδες iii) Nα λύσετε την ανίσωση f2(χ) ≤ -2+3f(χ) 7 µονάδες (Το παραπάνω θέµα είναι πρωτότυπο.)

7. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = 1+ ln( 1 1-χ + ) α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f (4 µονάδες) β) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1 (4 µονάδες) γ) Να βρείτε την αντίστροφη της f (6 µονάδες) δ) Να βρείτε τα κοινά σηµεία της Cf και της Cf

-1 (6 µονάδες) ε) Να λύσετε την εξίσωση f-1(χ+1) = 3

8. Για τη συνάρτηση f:ℜ→ℜ ισχύει (fof)(χ) = - χ για κάθε χ∈ℜ. Να αποδείξετε ότι: α) Η f είναι «1-1» (4 µονάδες) β) Η f -1 = - f (6 µονάδες) γ) Η f δεν είναι γνησίως µονότονη (5 µονάδες) δ) Η f είναι περιττή (6 µονάδες) ε) Είναι f(0) = 0 (4 µονάδες) (Κutepov , Rubanov: algebra and elementary functions , Moscow)

9. ∆ίνονται οι µιγαδικοί z και w µε :

w = iz1

iz

+

+ , z≠i

α) Να αποδείξετε ότι:

iw

i-w

+ = │z│ (6 µονάδες)

β) Αν │z│=1 και Μ η εικόνα του w στο µιγαδικό επίπεδο , να αποδείξετε ότι το Μ ανήκει στον χ΄χ (6 µονάδες) γ) Να αποδείξετε ότι ο w είναι φανταστικός , αν και µόνο αν ο z είναι φανταστικός (6 µονάδες) δ) Έστω f συνεχής συνάρτηση στο [α,β] µε f(α)>1 , z = f(α)i και w = f(β)i. Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση f(χ) = 0 έχει µια τουλάχιστον λύση στο (α,β). (7 µονάδες) (Ο.Ε.Φ.Ε. 2006)

10. Αν η f είναι συνεχής στο 0 , f(0) = 2011 και ισχύει

χf(χ) + χ4συνχ

1 = ηµ(αχ) , α≠0 , για κάθε χ≠0

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο R (5 µονάδες) β) Να βρείτε το α (5 µονάδες) γ) Να βρείτε τα όρια lim f(χ) και lim f(χ) χ→-∞ χ→+∞ (8 µονάδες) δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(χ) = 0 έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο R (7 µονάδες) (Ε.Μ.Ε. 2006)

11.

∆ίνονται οι συναρτήσεις f(χ) = χ

1 και g(χ) = eχ

α) Να βρείτε την συνάρτηση h=fog (8 µονάδες) β) Να δείξετε ότι η h αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της h-1 (8 µονάδες) γ) Να δείξετε ότι υπάρχει µοναδικός χ0є(1,2) τέτοιος ώστε h(χ0)+ h-1(χ0)=0 (9 µονάδες)

12. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = χ3 + │z│·χ - │z│3 , χєR , zєC*. α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιµών της. (4 µονάδες) β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(χ)=0 έχει µοναδική ρίζα στο (0, │z│) (5 µονάδες)

γ) Αν lim ηµχ

zf(χ)3

+ = 1 , να δείξετε ότι η εικόνα Μ του µιγαδικού z

χ→0

κινείται σε κύκλο µε κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1. (4 µονάδες) δ) Έστω ότι οι εικόνες των µιγαδικών z1 , z2 , z3 κινούνται στον κύκλο του προηγούµενου ερωτήµατος

i) Nα δείξετε ότι ο αριθµός w = 2

31

1

32

3

21

z

zz

z

zz

z

zz ++

++

+ είναι

πραγµατικός (5 µονάδες) ii) Aν επιπλέον ισχύει z1 + z2 + z3 = 0 , να δείξετε ότι:

Re(1

3

3

2

2

1

z

z

z

z

z

z++ ) =

2

3− (7 µονάδες)

13. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = z1-4χ − , zєC.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της και στην συνέχεια να αποδείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα σε αυτό. 7 µονάδες β) Να εξηγήσετε γιατί η f αντιστρέφεται 4 µονάδες γ) Αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f-1 έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του µιγαδικού z. 8 µονάδες δ) Αν οι εικόνες των µιγαδικών z1 , z2 ανήκουν στον προηγούµενο γεωµετρικό τόπο να δείξετε ότι : 2≤│z1 - z2│≤ 3 6 µονάδες

14. ∆ίνεται συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιµη στο [0,2] για την οποία ισχύει f(0)=1 , f(1)=4 και f(2)=2. α) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(χ) = 3 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο διάστηµα (0,2) (6 µονάδες) β) Να δείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον χ1є(0,2) , τέτοιος ώστε f΄(χ1)=0 (6 µονάδες) γ) Να βρείτε τους πραγµατικούς α,β ώστε για την συνάρτηση g(χ)=f(χ)+αχ2+βχ να εφαρµόζεται το θεώρηµα Rolle στα διαστήµατα [0,1] και [1,2]. (6 µονάδες) δ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον χ2є(0,2) , τέτοιος ώστε f΄΄(χ2)=-5 (7 µονάδες)

15. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο [α,β] µε συνεχή παράγωγο στο [α,β] για την οποία ισχύουν:

lnf(α)

f(β)= α2-β2 και f(χ)>0 για κάθε χє[α,β]

α) Να δείξετε ότι υπάρχει κє(α,β) τέτοιο ώστε f΄(κ)+(α+β)f(κ)=0 (8 µονάδες) β) Να δείξετε ότι υπάρχει λє(α,β) τέτοιο ώστε f΄(λ)+2λf(λ)=0 (8 µονάδες) γ) Αν οι αριθµοί λ , α+β είναι ετερόσηµοι να δείξετε ότι υπάρχει χ0 є(α,β) τέτοιο ώστε f΄(χ0)=0 (9 µονάδες) Θανάσης Κοπάδης thanasiskopadis.blogspot.com