ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1.11.. Α. 1. Ένα σύστημα με ιδιοσυχνότητα fο, εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση εξωτερικής περιοδικής δύναμης συχνότητας f. Το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος εξαρτάται: Α. από τη συχνότητα fo. Β. από τη συχνότητα f. Γ. από τη διαφορά f – fo των δύο συχνοτήτων. Δ. από το άθροισμα f + fο, των δύο συχνοτήτων. 2. Η ταχύτητα υ ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α είναι α. μέγιστη στη θέση x = Α/2. β. μηδέν στη θέση ισορροπίας. γ. μέγιστη στη θέση ισορροπίας. δ. μέγιστη στη θέση x = Α. 3. Ένα σώμα εκτελεί αμείωτη εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η δύναμη της τριβής που ασκείται στο σώμα Είναι της μορφής F = –bu. α. Η ενέργεια της ταλάντωσης αυξάνεται συνέχεια εξαιτίας της ενέργειας που προσφέρει ο εξωτερικός διεγέρτης. β. Όταν το σώμα βρίσκεται στο πλάτος της ταλάντωσης

προσφέρουμε ενέργεια με ρυθμό 0t

W=

ΔΔ

.

γ. Η εξωτερική δύναμη που εφαρμόζεται στον ταλαντωτή είναι της μορφής F = –Dx. δ. Το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. 4. Ένα κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και τη χρονική στιγμή t = 0 έχουμε q = 0. α. Τη χρονική στιγμή t = 0 το κύκλωμα έχει μόνο ηλεκτρική ενέργεια. β. Οι εξισώσεις που δίνουν το ηλεκτρικό φορτίο και το ηλεκτρικό ρεύμα είναι q =Qσυνωt και i = –Iημωt. γ. Μετά από χρόνο Τ/2 το κύκλωμα θα έχει μόνο μαγνητική ενέργεια. δ. Μετά από χρόνο Τ/4 η ηλεκτρική και η μαγνητική ενέργεια θα είναι ίσες. Β. Σώμα μάζας m είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθερής k = 1000 N/m το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε σταθερό κατακόρυφο τοίχο. Το σύστημα εκτελεί αμείωτη α.α.τ. κατά τη διάρκεια της οποίας το σώμα διέρχεται 200 φορές από τη θέση ισορροπίας του σε χρονικό διάστημα Δt = 10π s. Γνωρίζουμε ότι τη χρονική στιγμή t = 0 η κινητική ενέργεια του σώματος είναι τριπλάσια της δυναμικής του ενέργειας και επίσης

http://karxri.blogspot.com

1

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ότι για t = 0 είναι x > 0 και υ < 0. Με δεδομένο ότι αν το πλάτος της ταλάντωσης ήταν διπλάσιο η μέγιστη κινητική ενέργεια του σώματος θα ήταν μεγαλύτερη κατά 60 J, να υπολογίσετε: a. Την αρχική φάση της ταλάντωσης b. Τη μάζα m του σώματος c. Το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου τη χρονική στιγμή t = 0 d. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τη στιγμή που περνά από τη θέση στην οποία η επιτάχυνσή του είναι α = - 40 m/s2 e. Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του

σώματος τη χρονική στιγμή t = 24011π

s.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

a. 5π/6 rad, b. 2,5 kg, c. 100N, d. 2 3 m/s, e. 400 J/s

2.22.. Α. 1. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας για κάθε πρόταση. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η εξίσωση της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας του είναι x = Aημ(ωt + φ) όπου (φ ≠ 0 και φ ≠ π). α) Τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας. β) Η ταχύτητα του αντικειμένου δίνεται από τη σχέση υ = Αω.συνωt. γ) Η επιτάχυνση του αντικειμένου είναι συνεχώς αντίθετη με την απομάκρυνση. δ) Η διαφορά φάσης μεταξύ ταχύτητας και επιτάχυνσης είναι φ. 2. Ένα σώμα μάζας m είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος της ταλάντωσης τότε η συχνότητα της ταλάντωσης α) διπλασιάζεται. β) παραμένει σταθερή. γ) υποδιπλασιάζεται. δ) τετραπλασιάζεται. 3. Ένα σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση. Το πλάτος του σώματος μειώνεται εκθετικά σύμφωνα με τη σχέση Α = Αοe–Λt όπου Αο είναι το πλάτος της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή to = 0. Τη χρονική στιγμή t1 = 2ℓn2 s το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται Α1 = Αο/4 i) Πόση είναι η σταθερά Λ. ii) Πόσο είναι το ποσοστό της αρχικής ενέργειας που έχει απομείνει στον ταλαντωτή τη χρονική στιγμή t2 = ℓn2 s.


2

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Β. Ένα σώμα μάζας m = 2 kg μετέχει ταυτόχρονα σε δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Η εξίσωση της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο για κάθε μία από τις επιμέρους ταλαντώσεις είναι:

).()(8 max,221 IStt συνωυ=υκαιπ+ωπσυν=υ Η εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης που προκύπτει δίνεται από τη σχέση:

),(1004 stcmxtx σεσεπημ= α. Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας σε συνάρτηση με το χρόνο για τη σύνθετη κίνηση. β. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης για κάθε μία από τις συνιστώσες ταλαντώσεις. γ. Ποια θα έπρεπε να ήταν η μέγιστη επιτάχυνση του σώματος εξ αιτίας της δεύτερης ταλάντωσης, ώστε το σώμα να παρέμεινε συνεχώς στη θέση ισορροπίας (x = 0). δ. Αν η παραπάνω σύνθετη ταλάντωση γίνεται μέσα σε ένα υλικό που ασκεί στο σώμα μια δύναμη της μορφής , όπου b η σταθερά απόσβεσης, οπότε το πλάτος μειώνεται σύμφωνα με τη σχέση , να βρείτε το ποσοστό της ενέργειας που χάθηκε μετά από χρόνο t = 2T, όπου Τα η περίοδος της ταλάντωσης.

υ−=αντ bF

to eAA Λ−⋅=

Δίνεται η σταθερά Λ του υλικού Tn2l

=Λ και ότι π2 = 10.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ α. , β. ).()100(160 2 IStU πημ=

).(10012,0)100(08,0 21 IStxtx πημ=καιπ+πημ= , γ. 8.103 m/s2, δ. -93,75%

3.33.. Α. Ένα σώμα μάζας m = 0,1 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 0,1m. Η φάση της ταλάντωσης του σώματος μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με το διπλανό διάγραμμα. i) Πόση είναι η αρχική φάση της ταλάντωσης. ii) Πόση είναι η γωνιακή συχνότητα ω της ταλάντωσης. iii) Να γράψετε τις εξισώσεις για την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την κινητική ενέργεια σε συνάρτηση με το χρόνο. Δίνεται π2 = 10

π 3π/2

π/2

t(s)

2π φ (rad)

1


3

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Β. Πυκνωτής χωρητικότητας C1 = 40μF φέρει φορτίο Q1 = 4mC και συνδέεται με αφόρτιστο πυκνωτή χωρητικότητας C2 = 2C1 και πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L = 0,9H όπως φαίνεται στο σχήμα. Aρχικά το κύκλωμα είναι ανοιχτό. Τη χρονική στιγμή t = 0 ο διακόπτης δ μεταφέρεται στο Α και αρχίζει το φαινόμενο της ηλεκτρικής ταλάντωσης. (θεωρούμε ότι το κύκλωμα είναι ιδανικό οπότε δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας).

C2

1) Να βρείτε την περίοδο της ηλεκτρικής ταλάντωσης. 2) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή C1 και να υπολογίσετε τη μέγιστη ενέργεια του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο. 3) Τη χρονική στιγμή t1 = 63π10-3s ο διακόπτης μεταφέρεται ακαριαία στο Β. Ποια είναι η μέγιστη ενέργεια που αποκτά ο πυκνωτής C2; 4) Να υπολογίσετε το μέγιστο φορτίο που αποκτά ο πυκνωτής C2. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ:

1) 12π10-3s, 2) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛συν= tU E 3

5002,0 2 , , 3) , 4) J2,0 J2,0

C31024 −

4.44.. Α. 1. Ενα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωσης στερεωμένο στο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου. Επιλέξτε τις σωστές από τις παρακάτω προτάσεις. Δώστε περισσότερες εξηγήσεις για αυτές που θεωρείτε λανθασμένες. 1) Η συχνότητα της κίνησης είναι ανεξάρτητη από την μάζα του σώματος 2) Στην θέση ισορροπίας η ταχύτητα του σώματος είναι μέγιστη κατά μέτρο 3) Στην θέση ισορροπίας το μέτρο της επιτάχυνσης γίνεται μέγιστο 4) Η δύναμη επαναφοράς είναι αρμονική συνάρτηση της απομάκρυνσης 5) Η επιτάχυνση και η απομάκρυνση συνδέονται ( κάθε

στιγμή) με την σχέση: α = -ω 2x. 6) Η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης μεγιστοποιείται μία φορά, μέσα σε κάθε περίοδο 7) Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης γίνεται ίση με την κινητική, 4 φορές μέσα σε κάθε περίοδο.

B A C1

L

δ


4

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 8) Η περίοδος είναι αντιστρόφως ανάλογη της σταθερής k, του ελατηρίου 2. Ενα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Την χρονική στιγμή t = 0, βρίσκεται στην θέση

x=+2

2A, κινούμενο κατά την θετική φορά. Βρείτε την

αρχική φάση στην εξίσωση της απομάκρυνσης. Β. Σώμα μάζας είναι συνδεδεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς

kgm 1,0=mNk /10= , του

οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Το σώμα μπορεί να κινείται πάνω σε οριζόντιο δάπεδο που εκτείνεται κατά μήκος του άξονα xx′ . Το δάπεδο είναι λείο μόνο στον αρνητικό ημιάξονα ενώ στον θετικό ημιάξονα ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι ίσος με µ. Το σώμα αρχικά ισορροπεί στη θέση 0=x και το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκους. Συσπειρώνοντας το ελατήριο μεταφέρουμε το σώμα στη θέση mx 2,01 −= όπου τη χρονική

στιγμή του προσδίδουμε ταχύτητα 0=t oυr μέτρου sm /32

προς την αρνητική κατεύθυνση, οπότε το σύστημα ελατήριο – σώμα αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Α. Υπολογίστε την ολική ενέργεια που δώσαμε στο σώμα. Β. Υπολογίστε τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου κατά την κίνηση του σώματος στον αρνητικό ημιάξονα. Γ. Υπολογίστε τη χρονική στιγμή στην οποία το σώμα φτάνει για πρώτη φορά στη θέση ισορροπίας του. Δ. Αν είναι γνωστό ότι κατά την κίνηση του σώματος στον θετικό ημιάξονα, η μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου είναι

, υπολογίστε το συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και δαπέδου.

m3,0

Ε. Υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας με την οποία το στρώμα επιστρέφει στη θέση ισορροπίας, για πρώτη φορά, μετά την κίνησή του στον θετικό ημιάξονα. Δίνεται: . 2/10 smg =ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Α. , Β. , Γ. JE 8,0=ολ mA 4,0= st12π

= , Δ. 67

=μ , Ε.

sm /2=υ

5.55.. Α. 1. Ενα σώμα στερεωμένο στο άκρο ελατηρίου σταθερής k, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, πλάτους Α. Παραστήστε σε στο ίδιο σύστημα αξόνων: 1) Την δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης 2) την κινητική ενέργεια της ταλάντωσης


5

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 3) την ολική ενέργεια της ταλάντωσης

σε συνάρτηση με την απομάκρυνση χ. 4) Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των καμπυλών που παριστάνουν την δυναμική και την κινητική ενέργεια.

Γν2. α) Σώµα κάνει εξαναγκασµένη ταλάντωση πλάτους Α και συχνότητας f =2 Hz. Πώς θα µεταβληθεί το πλάτος αν υποδιπλασιαστεί η συχνότητα της διεγείρουσας δύναµης;

ωστά: k, A

∆ίνεται η ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης του σώµατος fο = 4Hz. β) Σώµα κάνει Α.Α.Τ. πλάτους Α και συχνότητας f=4Hz. Αν υποδιπλασιαστεί το πλάτος, πώς θα µεταβληθεί η συχνότητα της ταλάντωσης; 3. Τα σώματα του σχήματος αρχικά ισορροπούν σε λείο επίπεδο. Εκτρέπουμε τα σώματα από τη θέση ισορροπίας τους, προσδίδοντάς τους την ίδια ενέργεια, και τα αφήνουμε να εκτελέσουν απλή αρμονική ταλάντωση.

k

1. Εάν Α1 και Α2 είναι τα πλάτη των ταλαντώσεων των σωμάτων (1) και (2) αντίστοιχα, ο λόγος Α1/Α2 είναι: α. 2 β. 1

γ. 2 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

2. Εάν Ρ1 και Ρ2 είναι οι μέγιστες ορμές των σωμάτων (1) και (2) αντίστοιχα, ο λόγος Ρ1/Ρ2 είναι

α. 2 β. 1/ 2 γ. 2 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. B. Σώμα μάζας m = 0,1 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η απόσταση των ακραίων θέσεων της ταλάντωσης του σώματος είναι (ℓ = 0,1m. Τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του. Το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του 20 φορές το δευτερόλεπτο. α. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης το σώματος από τη θέση ισορροπίας του x = f(t) και να παρασταθεί γραφικά στη χρονική διάρκεια μιας περιόδου. β. Πόση είναι η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας υ του σώματος όταν διέρχεται από τη θέση x = 0,03m κινούμενο προς τη θέση ισορροπίας του; γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης α του σώματος στις θέσεις όπου η κινητική ενέργεια KT είναι τριπλάσια της δυναμικής ενέργειας UT της ταλάντωσης.

(2)

m (1)

m/22k


6

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Β. α. ).(2

2005,0 IStx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+πημ= , β. sm /8,0 π−=υ , γ. 2/100 sma =

6.66.. A. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η γραφική παράσταση της συνισταμένης δύναμης F που ασκείται στο σώμα σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. F (N) Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις επόμενες προτάσεις ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ). α. Τις χρονικές στιγμές 5s και 15s η ταχύτητα του σώματος είναι μέγιστη. β. Τη χρονική στιγμή 12s το σώμα κινείται προς τη θέση ισορροπίας του. γ. Η απομάκρυνση x του σώματος από τη θέση ισορροπίας του καθορίζεται κάθε χρονική στιγμή από την εξίσωση x = Αημ(ωt +π), όπου Α το πλάτος και ω η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης. δ. τη χρονική στιγμή 2,5s η τιμή της συνισταμένης δύναμης ισούται με το ήμισυ της μέγιστης τιμής της. F

B. Η εξίσωση της επιτάχυνσης (α) σε συνάρτηση με το (t) για ένα σώμα μάζας m = 1 kg το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση είναι η ακόλουθη:

).(6

10max IStaa ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ημ−=

Η μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταλάντωση ς είναι UT.mαx = 50J. Να υπολογίσετε: α. Τη μέγιστη ταχύτητα υmαx του σώματος.

β. Την επιτάχυνση α του σώματος τη χρονική στιγμή 4Tt =

όπου η περίοδος της ταλάντωσης του σώματος. γ. Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος

tKT

ΔΔ

και το ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται η δυναμική

10 20

-Fmax

Fmax

t(s)


7


ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος t

UT

ΔΔ

όταν το σώμα

κινείται με ταχύτητα υ1 ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A. α. Λ, β. Λ, γ. Σ, δ. Λ

Β. α. , β. sm /10=υ 2/350 sma −= , γ. sJt

KT /3250−=ΔΔ

,

sJt

UT /3250±=ΔΔ

7.77.. Α. 1. Σε µια φθίνουσα µηχανική ταλάντωση, το αρχικό πλάτος είναι Aο και η δύναµη απόσβεσης είναι της µορφής F=-bυ . Μετά από µια ταλάντωση το πλάτος γίνεται Α =Αο/2. Πόσο θα γίνει το πλάτος µετά από 3 ταλαντώσεις; 1

2. Κύκλωµα RLC εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Αν αυξηθεί το R πως θα µεταβληθεί η περίοδος της λάντωσης; τα

Β. Στο κύκλωμα του σχήματος η ηλεκτρική πηγή έχει εσωτερική αντίσταση r = 1 Ω, ο αντιστάτης, ο οποίος είναι συνδεδεμένος μεταξύ της πηγής και του πηνίου, έχει αντίσταση R1 = 4Ω και ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C1 = 1 μF. Α. Αρχικά ο διακόπτης (δ) είναι κλειστός, ο μεταγωγός (μ) βρίσκεται στη θέση (1), το κύκλωμα διαρρέεται από σταθερό ρεύμα έντασης Ι = 2Α και ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος. α. Να αποδείξετε ότι η ωμική αντίσταση RL του σύρματος από το οποίο είναι κατασκευασμένο το πηνίο ισούται με μηδέν. β. Πόση είναι η ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε της πηγής;

Β. Τη χρονική στιγμή t = 0 ανοίγουμε το διακόπτη (δ) και το ιδανικό κύκλωμα L-C αρχίζει να εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Τη χρονική στιγμή t1 = 3π.10-5s ο οπλισμός (Β) του πυκνωτή έχει αποκτήσει το μέγιστο (θετικό) φορτίο του. Θεωρώντας θετική τη φορά του ρεύματος που διαρρέει

R2 (2) Δ δ Δ

μ Ι (1)

(A) L + C (q=0) Ε, r _ (B)

R1 Γ


8

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ το πηνίο πριν ανοίξουμε το διακόπτη (δ), να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις: α. της έντασης i του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα και το φορτίο q του οπλισμού (Α) του πυκνωτή. β. της διαφοράς δυναμικού VΑΒ μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή και της διαφοράς δυναμικού VΓΔ μεταξύ των άκρων του πηνίου. Γ. α. Να γράψετε την εξίσωση του ρυθμού μεταβολής di/dt της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με το φορτίο του οπλισμού (Α) του πυκνωτή και να την παραστήσετε γραφικά. β. Να γράψετε την εξίσωση του ρυθμού μεταβολής dVAB/dt της διαφοράς δυναμικού στα άκρα του πυκνωτή σε συνάρτηση με την ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα και να σχεδιάσετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση. Δ. Τη χρονική στιγμή t2 = 5π.10-5s μεταφέρουμε ακαριαία το μεταγωγό (μ) από τη θέση (1) στη θέση (2) χωρίς να σχηματιστεί σπινθήρας. Εάν η σταθερά της φθίνουσας ταλάντωσης είναι Λ = 125s-1 να γράψετε την χρονική εξίσωση της ενέργειας του κυκλώματος και να την παραστήσετε γραφικά. Να θεωρήσετε ότι δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας λόγω ακτινοβολίας και ότι οι περίοδοι των αμείωτων και των φθινουσών ηλεκτρικών ταλαντώσεων είναι ίσες. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α. και , )105(104 45 tq ⋅ημ⋅= − ).()105(104 45 ISti ⋅συν⋅= −

β. , )105(40 4 tVV ⋅ημ== ΓΔΑΒ

Γ. α. qdtdi 81025 ⋅−= , β. i

CdtdVAB 1

= ,

Δ. ).(108 )102(2504 5

ISeE tT

−⋅π−−⋅=

8.88.. Α. Στις ερωτήσεις 1 - 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Όταν η ολική ενέργεια μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης τετραπλασιάζεται, τότε: α. η γωνιακή συχνότητα διπλασιάζεται. β. η περίοδος υποτετραπλασιάζεται. γ. το πλάτος της Α.Α.Τ τετραπλασιάζεται. δ.2. Ένα κύκλωμα LC εκτελεί φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση. Η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση Ι = Ιο.e-Λt. Η τιμή της σταθεράς Λ είναι τόσο μικρότερη, όσο:

η μέγιστη επιτάχυνση διπλασιάζεται.

α. μεγαλύτερη είναι η τιμή της αντίστασης R του κυκλώματος. β. μεγαλύτερη είναι η χωρητικότητα C του πυκνωτή.


9

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ γ. μικρότερη είναι η τιμή της αντίστασης R του κυκλώματος. δ. μικρότερος είναι ο συντελεστής αυτεπαγωγής L του νίου. πη

Β. Για το κύκλωμα του σχήματος που ακολουθεί δίνονται: Ε = 20 V, r = 2 Ω, R = 8 Ω, L = 6,25 mH. Αρχικά ο μεταγωγός μ βρίσκεται στη θέση 1, το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι και ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος, Τη χρονική στιγμή t = 0 μεταφέρουμε ακαριαία το μεταγωγό μ από τη θέση 1 στη θέση 2 και ο πυκνωτής αρχίζει να φορτίζεται. α. Να υπολογίσετε την ένταση Ι του ρεύματος που διαρρέει αρχικά το πηνίο, β. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της χωρητικότητας του πυκνωτή ώστε το αποθηκευμένο φορτίο στον πυκνωτή να μην υπερβεί την τιμή Qmax = 1 mC.

γ. Να υπολογίσετε την κυκλική συχνότητα των ηλεκτρικών ταλαντώσεων του κυκλώματος LCmax.

R (1) (2)

μ

Ι

C + Ε, r L _

δ. Να γράψετε τις εξισώσεις της έντασης του ρεύματος και του φορτίου του πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο για το κύκλωμα LCmax. ε. Να παραστήσετε γραφικά την τάση στα άκρα του πυκνωτή σε συνάρτηση με το χρόνο, στ. Να υπολογίσετε το λόγο των ενεργειών UE/UB όταν το

φορτίο του πυκνωτή είναι Cq 3105

52 −⋅= .

Το πηνίο να θεωρηθεί ιδανικό. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ α. AI 2= , β. , γ. FC μ= 40max sr /2000=ω , δ. ti 20002συν= και

, ε. ).(,200010 3 IStq ημ= − ).(,200025 IStVC ημ= , στ. 4

9.99.. Α. 1. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες;


10

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ α. Όταν το μέτρο της δύναμης επαναφοράς σε μια απλή αρμονική ταλάντωση αυξάνεται, τότε η κινητική ενέργεια του ταλαντωτή μειώνεται. β. Το πλάτος μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης είναι τόσο μεγαλύτερο, όσο μεγαλύτερη είναι η διαφορά της ιδιοσυχνότητας του συστήματος από τη συχνότητα του διεγέρτη, κατά απόλυτη τιμή. 2. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α και περιόδου Τ: α. Στις θέσεις που ο ρυθμός μεταβολή; της ορμής είναι μηδέν το μέτρο της ταχύτητας είναι μέγιστο. β. Στις θέσεις που ο ρυθμός μεταβολή; της ταχύτητας είναι μέγιστος το μέτρο της ταχύτητας είναι μέγιστο. γ. Στις θέσεις που το μέτρο της ταχύτητας είναι ίσο με μηδέν, η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν. δ. Στις θέσεις που η επιτάχυνση είναι μέγιστη η απομάκρυνση είναι ίση με μηδέν. 3. Αρμονικός ταλαντωτή; δέχεται δύναμη απόσβεσης F = -bu. Αν σε 10 πλήρεις ταλαντώσεις το πλάτος γίνεται Αο/4, τότε σε 15 ακόμη πλήρεις ταλαντώσεις το πλάτος θα γίνει:

α. 32

oA β.

16oA γ.

64oA δ.

8oA

4. Δύο σώματα με μάζες m1 και m2 είναι ενωμένα και εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση συχνότητας f και πλάτους Α. Ο λόγος της σταθεράς επαναφοράς του συστήματος προς τη σταθερά επαναφοράς της m1 είναι:

α. 2

1

1 mm

DD

= β. 1

21

1 mmm

DD +

=

γ. 21

1

1 mmm

DD

+= δ.

1

2

1 mm

DD

=

5. Αν το σύστημα ελατήριο – μάζα το οποίο εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με συχνότητα f = fo όπου fo η ιδιοσυχνότητα του συστήματος, τετραπλασιάσουμε τη μάζα πως θα μεταβληθούν: i. η ιδιοσυχνότητα fo του συστήματος ii. η συχνότητα της ταλάντωση ςi. το πλάτος της ταλάντωσης ii

Β. Στο ελεύθερο άκρο ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k1= 400 N/m, του οποίου το άλλο άκρo είναι ακλόνητο, στερεώνουμε σώμα μάζας m1= 1kg. Το σώμα αυτό συνδέεται μέσω αβαρούς νήματος, με δεύτερο σώμα μάζας m2= 3kg. Το σύστημα ισορροπεί στο οριζόντιο επίπεδο και του προσφέρουμε ακαριαία ενέργεια Ε = 2,88 J, οπότε ξεκινά να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση κατά την θετική κατεύθυνση . α) Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης.


11


β) Αν το νήμα έχει όριο θραύσης 12 6 Ν, να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της τάσης του νήματος σε συνάρτηση με την απομάκρυνση της ταλάντωσης. 2. Όταν το νήμα σπάσει, το σώμα μάζας m1 συνεχίζει να ταλαντώνεται, ενώ το σώμα μάζας m2 κινείται στο λείο οριζόντιο επίπεδο και αφού διανύσει απόσταση d = 3 m , συναντά το ελεύθερο άκρο άλλου οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k2 = 300N/m. Το m2 συγκρούεται με το ελατήριο και αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. α) Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης του m1 μετά το κόψιμο του νήματος. β) Να γράψετε την εξίσωση της απoμάκρυνσης της ταλάντωσης του σώματος μάζας m2 θεωρώντας ως χρονική στιγμή t = 0, την στιγμή που κόβεται το νήμα. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. 1. α. , β. mA 12,0= mxxT 604,00,300 ≤≤⋅=

2. α. mA 603,0= , β. ).()2510(304,0 IStx −ημ=

10.1100.. Α. Διαθέτουμε τρία διαπασών Α, Β και Γ με συχνότητες

, και αντίστοιχα. Όταν ηχούν ταυτόχρονα τα διαπασών Α και Β, ο ήχος σε χρόνο t = 0,1s "σβήνει" μια φορά λιγότερο από όταν ηχούν ταυτόχρονα τα διαπασών Β και Γ στον ίδιο χρόνο. Εάν γνωρίζουμε ότι η συχνότητα B είναι μικρότερη από τις άλλες δύο, να υπολογίσετε τη συχνότητα .

Hzf A 1000= Bf Γf

f

Γf B. Μία σημειακή μάζα m που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση δέχεται συνισταμένη δύναμη η οποία μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με το διάγραμμα που ακολουθεί. Τη χρονική στιγμή t1 = 0,1πs η κινητική ενέργεια του σώματος είναι Κ1 = 2 J.

F (N)

20

Α. Να υπολογίσετε το πλάτος Α της ταλάντωσης και τη μάζα m του σώματος,

0,1π 0,2π t(s)

Β. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο,

-20

Γ. Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή που βρίσκεται στη θέση με απομάκρυνση x2 = Α/2.


12

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Δ. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t2 που το σώμα περνά για πρώτη φορά από τη θέση με απομάκρυνση x2. Ε. Να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας και της ορμής του σώματος τη χρονική στιγμή t2.

11.1111.. Α. Στις ερωτήσεις 1 - 3 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Αν ο χρόνος που απαιτείται για την απευθείας μετάβαση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του στη θέση χ = Α/2 είναι 2s. τότε ο χρόνος που απαιτείται για την απευθείας μετάβαση του από τη θέση χ = Α/2 στη θέση χ = Α είναι t, τέτοιος ώστε: α. t = 2s γ. t > 2s β. t < 2s δ. t = 1s 2. Η μέγιστη ένταση του ρεύματος που διαρρέει ένα κύκλωμα LC, το οποίο εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση διπλασιάζεται. Τότε: α. Η περίοδος της ηλεκτρικής ταλάντωσης διπλασιάζεται. β. Η συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης παραμένει σταθερή. γ. Η ολική ενέργεια της ηλεκτρικής ταλάντωσης διπλασιάζεται. δ. Το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή υποδιπλασιάζεται. Β. Σώμα µάζας m = 1,2 kg εκτελεί σύνθετη γραµµική αρµονική ταλάντωση χωρίς τριβές. Οι εξισώσεις των συνιστωσών ταλαντώσεων είναι x1 = 3 ηµ(ωt) (S.I.) και x2 = 3 ηµ(ωt + π/3) (S.I.). α. Υπολογίστε τo πλάτος Α και την αρχική φάση θ της ταλάντωσης του σώµατος. β. Γράψτε την εξίσωση της αποµάκρυνσης του σώµατος σε σχέση µε το χρόνο αν γνωρίζετε ότι το σώµα περνάει για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του, τη χρονική στιγµή t =2,5 s. γ. Υπολογίστε την κινητική ενέργεια του σώµατος τη χρονική στιγµή t = 5,5 s. δ. Θεωρήστε ότι κάποια χρονική στιγµή t1 (t1 > 5,5 s) που το σώµα βρίσκεται στο πλάτος του (x = +A), αρχίζει να δρα επάνω του δύναµη απόσβεσης της µορφής F = - bυ, οπότε µετά από χρόνο 12 s το πλάτος του υποδιπλασιάζεται. Μετά από πόσο χρόνο από τη χρονική στιγµή t1, το πλάτος της ταλάντωσης του σώµατος θα έχει γίνει Α/16; ∆ίνεται: π2 = 10. ΑΠΑΝΤΗΣΗ


13

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ α. 3 m, και π/6 rad, β. x = 3ηµ(πt/3 + π/6) (S.I.), γ. 6J, δ. 40s

12.1122.. Α. Κύκλωμα L-C εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι L=0,05H και η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου σε σχέση με το φορτίο του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση:

).(1025,61025 923 ISqU B−⋅+⋅⋅−=

Να βρείτε: α. τη μέγιστη ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα β. να παρασταθεί γραφικά η ενέργεια του πυκνωτή σαν συνάρτηση με την ενέργεια του πηνίου. B. Σώμα μάζας m εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση χωρίς τριβές με εξίσωση x1 = Α1ημ(ωt), όπου Α1 = cm3 . Δίνονται οι παρακάτω πληροφορίες: (i) Αν το σώμα συμμετάσχει ταυτόχρονα και σε μια δεύτερη ταλάντωση ίδιου πλάτους Α1, μηδενικής αρχικής φάσης και γωνιακής συχνότητας κατά 8% μεγαλύτερης της ω, τότε το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης μηδενίζεται με συχνότητα 4Ηz. (ii) Αν το σώμα συμμετάσχει ταυτόχρονα και σε μια δεύτερη

ταλάντωση με εξίσωση x2 = Α1ημ(ωt + φ) (όπου 2

0 π≤φ≤ ),

τότε το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι Α = 3 cm. α. Υπολογίστε την τιμή της γωνιακής συχνότητας ω. β. Θεωρώντας ότι το σώμα εκτελεί τη σύνθετη ταλάντωση της περίπτωσης (ii), υπολογίστε την αρχική φάση φ της δεύτερης ταλάντωσης καθώς και την αρχική φάση θ της σύνθετης ταλάντωσης. γ. Θεωρώντας ότι το σώμα εκτελεί τη σύνθετη ταλάντωση της περίπτωσης (ii), υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητάς του όταν η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσής του είναι τριπλάσια της κινητικής του. δ. Ενώ το σώμα εκτελεί τη σύνθετη ταλάντωση της περίπτωσης (ii), αρχίζει να ενεργεί επάνω του δύναμη τριβής της μορφής F = -bu, όπου b μια σταθερά. Υπολογίστε το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος όταν η ενέργεια ταλάντωσης έχει μειωθεί κατά 75% σε σχέση με την τιμή που είχε όταν το πλάτος ήταν ίσο με 1,5 cm. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Β. α. srad /100π=ω , β. radrad6

,3

π=θ

π=φ , γ. sm /5,1 π=υ , δ.

m75,0


14


13.1133.. Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση: 1. Αν το πλάτος Α μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης διπλασιαστεί και η περίοδος Τ, της ταλάντωσης μείνει σταθερή, τότε : α. η μέγιστη ταχύτητα παραμένει σταθερή β. η συχνότητα παραμένει σταθερή γ. η μέγιστη επιτάχυνση υποδιπλασιάζεται δ. η τιμή της επιτάχυνσης σε κάθε θέση της ταλάντωσης θα τετραπλασιαστεί 2. Η εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή σε αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση κυκλώματος LC είναι της μορφής q = Qσυνωt. Το φορτίο q και η ένταση του ρεύματος i, έχουν και τα δύο θετική αλγεβρική τιμή κατά το χρονικό διάστημα; α. από t = 0 έως Τ/4 β. από Τ/2 έως 3Τ/4 γ. από 3Τ/4 έως Τ δ. από Τ/4 έως Τ/2 3. Όταν ένα σώμα εκτελεί φθίνουσα εκθετική ταλάντωση: α. Η περίοδος μειώνεται όσο μεγαλύτερη είναι η σταθερή απόσβεσης b β. Η εξίσωση που περιγράφει την μείωση του πλάτους είναι: Ακ = ΑοeΛt γ. Η εξίσωση που περιγράφει την μείωση της ολικής ενέργειας είναι Ε = Εοe-2Λt δ. Αν η σταθερά b → ∞, το πλάτος απειρίζεται 4. Ένα σύστημα με ιδιοσυχνότητα fo εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με συχνότητα f. Το πλάτος της ταλάντωσης μεγιστοποιείται αν : α. f > fo β. f < fo γ. f → ∞ δ.5. Κατά τη σύνθεση δύο ταλαντώσεων με πλάτη Α και κυκλικές συχνότητες ω1 ≈ ω2, προκύπτει μια σύνθετη ιδιόμορφη ταλάντωση. Το πλάτος της Α':

f = fo

α. είναι σταθερό και ίσο με 2Α

β. υπολογίζεται από τη σχέση : Α' = 2Aημ2

21 ωω +t

γ. μεταβάλλεται αργά συνημιτονοειδώς με το χρόνο από 0 έως 2Α δ. μειώνεται συνέχεια και τελικά μηδενίζεται


15

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Β. Σώμα µάζας m1 = 4kg ισορροπεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 400 N/m όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Ανεβάζουµε το σώµα µάζας m1 κατά απόσταση ℓ = 0,05m από τη θέση ισορροπίας του και το εκτοξεύουµε κατακόρυφα προς τα κάτω µε

ταχύτητα µέτρου υο = 23m/s. Το σώµα m1

εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. ∆ίνεται: g = 10 ms2.

↑+)(

α. Να βρεθεί το µέτρο της µέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης του σώµατος m1. β. Κάποια στιγµή που το σώµα m1 περνά από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσής του και κατεβαίνει, συγκρούεται πλαστικά µε σώµα µάζας m2 που ανεβαίνει µε ταχύτητα µέτρου υ2. Μετά τη σύγκρουση το συσσωµάτωµα ανεβαίνει και φτάνει µέχρι µια θέση που βρίσκεται πάνω από το φυσικό µήκος του ελατηρίου κατά απόσταση d = 0,1m. ∆ίνεται ότι η περίοδος ΤΟΛ της απλής αρµονικής ταλάντωσης

του συσσωµατώµατος είναι ΤΟΛ = 2 Τ1 όπου Τ1 η περίοδος της ταλάντωσης που έκανε το σώµα m1. Να βρεθούν: i. η µάζα m2 και ii. το µέτρο της ταχύτητας υ2. γ. Κάποια στιγµή (t = 0) το σύστηµα συσσωµατώµατος – ελατηρίου βυθίζεται σε υγρό. Το σύστηµα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση για την οποία η αντιτιθέµενη δύναµη είναι της µορφής F = − bυ. ∆ίνεται η σταθερά Λ = 0,195s–1. Να βρεθεί σε ποια χρονική στιγµή το σύστηµα συσσωµατώµατος – ελατηρίου έχει χάσει ενέργεια 13,5J. ∆ίνεται ℓn2 = 0,693. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α. 1m/s, β. i. 4kg, ii. 5m/s, γ. t = T½ = 3,55s

14.1144.. Α. Σύστημα ελατηρίου - μάζας εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με ολική ενέργεια Εο. Όταν η επιτάχυνση της μάζας είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής επιτάχυνσης αmax, τότε η κινητική ενέργεια του σώματος έχει την τιμή:

α. Κ = 43Εο, β. Κ =

21Εο ,

γ. Κ = 41Εο, δ. Κ =

34Εο

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την δικαιολογήσετε.


16

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Β. Το κατακόρυφο ελατήριο του παρακάτω σχήματος έχει σταθερά k. Το ένα του άκρo είναι στερεωμένο στην οροφή, ενώ στο άλλο έχει στερεωθεί ένα σώμα βάρους w = 20Ν. Εκτρέπουμε το σώμα από την θέση ισορροπίας του μέχρι να φτάσει σε θέση που απέχει y = 5cm πάνω από το φυσικό μήκος του ελατηρίου. Τη χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε το σώμα να κινηθεί από τη θέση αυτή θεωρώντας x > 0. Το σώμα σταματά στιγμιαία για πρώτη φορά τη στιγμή t1= 0,05π sec, ενώ έχει διανύσει διάστημα S =20 cm.

Φ.Μ

wr

Α. i. Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης. ii. Να γράψετε την εξίσωση της απoμάκρυνσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο. iii. Να υπολογίσετε την χρονική στιγμή κατά την οποία η κινητική ενέργεια είναι τριπλάσια της δυναμικής ενέργειας για δεύτερη φορά από την στιγμή που ξεκίνησε η ταλάντωση. iv. Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της ορμής την στιγμή που η δύναμη του ελατηρίου είναι ίση με μηδέν, καθώς και ποια στιγμή συμβαίνει αυτό για πρώτη φορά Β. Τη στιγμή t3 = 0,2π sec το σώμα ακαριαία εισέρχεται σε ένα μέσο με συνέπεια να εμφανιστεί δύναμη, η οποία αντιτίθεται στην κίνηση του της μορφής F = - bu (S.I). i. Να βρείτε την χρονική στιγμή t4 από την αρχή μέτρησης του χρόνου όπου το πλάτος θα γίνει ίσο με ΑΤΕΛ = 2,5cm. ii. Να υπολογίσετε το ποσοστό της ενέργειας που χάθηκε. Δίνεται η σταθερά Λ = ℓn2 s-1. Να θεωρήσετε ότι στη φθίνουσα ταλάντωση ισχύει D = k.

15.1155.. Α. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Η ένταση i του ρεύματος έχει μέγιστη τιμή I, το φορτίο q του πυκνωτή έχει μέγιστη τιμή Q και η κυκλική συχνότητα είναι ω. 1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε χρονική στιγμή ισχύει η

σχέση: 22 qQi −±= ω2. Αν το Q υποτετραπλασιαστεί, χωρίς να μεταβληθούν τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του πυκνωτή, ποιες μεταβολές προκαλούνται : α. στη χωρητικότητα του πυκνωτή β. στην περίοδο των ταλαντώσεων γ. στην ολική ενέργεια του κυκλώματος δ. στην μέγιστη ένταση του ρεύματος Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας, τις οποίες να εκφράσετε συναρτήσει των αντίστοιχων αρχικών τιμών Β.


17

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Τα διπλανά διαγράµµατα αναφέρονται σε ένα ιδανικό κύκλωµα LC που εκτελεί αµείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις µε περίοδο T = 0,4π.10-3s. Με βάση τις τιµές των µεγεθών που σηµειώνονται στα διαγράµµατα, ζητούνται:

UE (μJ)

α. Η γωνιακή συχνότητα των ηλεκτρικών ταλαντώσεων του κυκλώµατος. β. i) Η µέγιστη τιµή της έντασης του ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα, ii) το µέγιστο φορτίο του πυκνωτή iii) ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου και iv) η χωρητικότητα του πυκνωτή. γ. Η αρχική φάση της ταλάντωσης.

δ. Η τιµή του φορτίου τη χρονική στιγµή t = 210.23π

s.

ε. Η τιµή του φορτίου και η τιµή της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή, όταν η ένταση του ρεύµατος είναι 0,01 Α. στ. Η γραφική παράσταση της ενέργειας του µαγνητικού πεδίου του πηνίου σε συνάρτηση µε την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή και η γραφική παράσταση της έντασης του ρεύµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α. 5.103 rad/s, β. i) 2.10-2A, ii) 4 µC , iii) 4 mΗ., iv)

10 µF, γ. π/2 rad, δ. 22− µC ε. 0,6 µJ., στ. UB = E – UE, I = -20ημ(5.103t – π/2) ( i → mA, t → s)

16.1166.. Α. Για να απαντήσετε στις ερωτήσεις 1 - 3 γράψτε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Όταν το πλάτος της ταλάντωσης μηχανικού απλού αρμονικού ταλαντωτή διπλασιάζεται, τότε διπλασιάζεται επίσης: α) η σταθερά επαναφοράς β) η μέγιστη τιμή της δύναμης επαναφοράς γ) η μέγιστη τιμή της κινητικής ενέργειας

φ (rad) 0,8

3π/4

-20 π/20 20 y(m) t(ms)

Διάγραμμα 1 Διάγραμμα 2


18

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ δ)2. Η γραφική παράσταση του σχήματος αποδίδει τη μεταβολή της ταχύτητας ενός απλού υ αρμονικού ταλαντωτή, συναρτήσει του χρόνου. Ποια από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστή;

η ολική ενέργεια

υ

α) τη χρονική στιγμή t = 2T το

μέτρο της δύναμης επαναφοράς είναι μέγιστο.

β) τη χρονική στιγμή t = 4T η

απομάκρυνση είναι μέγιστη.

γ) τη χρονική στιγμή t = 43T

η κινητική ενέργεια είναι

μηδέν.

δ) τη χρονική στιγμή t = 4T η δυναμική ενέργεια είναι

μέγιστη. 3. Ένας ήχος συχνότητας f1 ακούγεται ταυτόχρονα με έναν άλλο ήχο ελαφρά χαμηλότερης συχνότητας f2 του ίδιου πλάτους και παράγονται διακροτήματα. Ο ήχος που ακούγεται έχει:

α) συχνότητα 2

21 ff + και πλάτος σταθερό.

β) συχνότητα 2

21 ff + και πλάτος που μεταβάλλεται με

συχνότητα f1 – f2. γ) συχνότητα f1 – f2 και πλάτος που μεταβάλλεται με

συχνότητα 2

21 ff +.

δ) συχνότητα 2

21 ff + και πλάτος που μεταβάλλεται με

συχνότητα 2

21 ff −.

Β. Σώμα µάζας m1 = 2Kg ισορροπεί δεµένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k. Απoµακρύνουµε το σώµα κατακόρυφα από τη Θ. Ι. του, προκαλώντας στο ελατήριο συσπείρωση ίση µε την αρχική παραµόρφωση που προκάλεσε η µάζα m1 και τη χρονική στιγµή t = 0 αφήνουµε το σύστηµα να εκτελέσει Α.Α.Τ. α. Αν η περίοδος της Α.Α.Τ. είναι T1 = 0,1π s να υπολογίσετε τη σταθερά k του ελατηρίου και να γράψετε την εξίσωση της κίνησης. β. Τη στιγµή t = 2π/15 s το σώµα συγκρούεται πλαστικά µε άλλο σώµα µάζας m2 που ανεβαίνει µε ταχύτητα µέτρου

Τ t

43T

2T

4T

υmax Ο –υmax


19


sm /2

33=υ και το συσσωµάτωµα που προκύπτει εκτελεί Α.Α.Τ.

µε περίοδο Τ2 = 2Τ1. i. να υπολογίσετε την παραµόρφωση του ελατηρίου και την ταχύτητα της µάζας m1 τη στιγµή της κρούσης ii. να υπολογίσετε τη µάζα m2 και το πλάτος ταλάντωσης Α2 του συσσωµατώµατος. γ. Να συγκρίνετε τη µέγιστη συσπείρωση που προκαλείται στο ελατήριο από τις δύο ταλαντώσεις. ∆ίνεται g = 10 m/s2. Θεωρήστε τις τριβές του αέρα αµελητέες, και ως θετική φορά την κατακόρυφη προς τα πάνω. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α. 800 N/m, y = 0,05ημ(20t + π/2), (S.I), β. i. 0,05m,

3− /2 m/s, ii. 6 kg, 13 /20 m/s γ. 7/4 m γ. το ελατήριο συσπειρώνεται περισσότερο στη 2η ταλάντωση.

17.1177.. Α. 1. Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις, της ίδιας διεύθυνσης και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι εξισώσεις των δύο ταλαντώσεων είναι:

x1 = Aημωt και x2 = Aημ(ωt+ φ) Αν η ολική ενέργεια της συνισταμένης ταλάντωσης είναι διπλάσια από την ολική ενέργεια κάθε μίας εκ των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων: i) Βρείτε τη διαφορά φάσης φ ii) Γράψτε την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης 2. Kύκλωμα LC φορτίζεται από πηγή τάσης V. Αν φορτιστεί από πηγή τάσης V/2 πως θα μεταβληθούν τα παρακάτω μεγέθη: α. Περίοδος β. Μέγιστο φορτίο γ. Ολική ενέργεια δ. Μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος. Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 3. Δείξτε ότι σε σύστημα ελατήριο – μάζα που κινείται κατακόρυφα εκτελώντας απλή αρμονική ταλάντωση το άθροισμα της δυναμικής βαρυτικής ενέργειας και της ενέργειας του ελατηρίου είναι Ε = ½Dy2 όπου y είναι η απόσταση από τη θέση ισορροπίας του σώματος. 4. Κύκλωµα RLC µε πυκνωτή µεταβλητής χωρητικότητας βρίσκεται σε κατάσταση συντονισµού όταν η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι C. Αν η συχνότητα του εξωτερικού διεγέρτη διπλασιαστεί πόση πρέπει να γίνει η χωρητικότητα του πυκνωτή ώστε το κύκλωµα να βρεθεί ξανά σε συντονισµό; α) 2C β) C/2 γ) C/4 δ) 4C


20

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 5. Ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων εκτελεί αμείωτη ταλάντωση ενέργειας Ε. Αν διπλασιάσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή χωρίς να μεταβληθεί το μέγιστο φορτίο του τότε για την ενέργεια Ε' της νέας ταλάντωσης ισχύει:

α) Ε' = Ε β) Ε' = 2 Ε

γ) Ε' = 2Ε δ) Ε' = 2E.

6. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που έχουν την ίδια διεύθυνση και γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο. Αν οι εξισώσεις των δύο κινήσεων είναι x1 = 3ημωt και x2 = 4συνωt το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος είναι: α)Β.

7 β) 1 γ) 5 δ) 12

Σώμα µάζας m1 ισορροπεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ = 10N/m. ∆εύτερο σώµα µάζας m2 = 0,1kg κινούµενο προς τα πάνω µε ταχύτητα µέτρου υ2 = 3m/s, σφηνώνεται µέσα στο m1. Το συσσωµάτωµα που δηµιουργείται εκτελεί απλή

αρµονική ταλάντωση µε περίοδο Τ = 53πs.

∆ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s2. α. Να βρεθεί η µάζα m1. β. Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση. γ. Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωµατώµατος.

m2 2υr

m1

↑+)(

δ. Να γραφεί η εξίσωση που δίνει την ταχύτητα του συσσωµατώµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο εάν θεωρήσουµε σαν t = 0 τη στιγµή που το σώµα m2 σφηνώνεται στο σώµα m1. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

α. 0,2kg β. 1m/s γ. 0,2m δ. )t(63

310332 πσυνυ += ,

(S.I)

18.1188.. Α. 1. Σε σύστημα μάζας-ελατηρίου εκτός από τη δύναμη επαναφοράς ενεργούν δύναμη αντίστασης F = – bu και περιοδική δύναμη F = Fοημωt με ω που μπορεί να μεταβάλλεται. Τότε: α. Τ ο σύστημα ταλαντώνεται με την ιδιοσυχνότητά του. β. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι ανεξάρτητο της γωνιακής συχνότητας ω. γ. Η συχνότητα ταλάντωσης του συστήματος είναι ίση με τη συχνότητα της περιοδικής δύναμης. δ. Όταν αυξάνεται η συχνότητα της περιοδικής δύναμης το πλάτος της ταλάντωσης αυξάνεται.


21

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 2. Σε κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC ο χρόνος εκφόρτισης του πυκνωτή μεγαλώνει όταν: α. Μεγαλώσει το μέγιστο φορτίο Qο του πυκνωτή. β. Μεγαλώσει ο συντελεστής αυτεπαγωγής L του πηνίου. γ. Μικρύνει η χωρητικότητα του πυκνωτή. 3. Η ταχύτητα σε μια Α.Α.Τ δίνεται από τον τύπο υ = υοημωt. Βρείτε τις χρονικές στιγμές στη διάρκεια μιας περιόδου που: α. Μηδενίζεται η επιτάχυνση β. Μηδενίζεται η κινητική ενέργεια γ. Μηδενίζεται η δυναμική ενέργεια δ. Η δύναμη αποκτά τη μέγιστη τιμή της. 4. Στη διάρκεια μιας περιόδου της ηλεκτρικής ταλάντωσης ενός κυκλώματος LC, η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου μηδενίζεται: α) μία φορά β) δύο φορές γ) τρεις φορές δ) τέσσερις φορές 5. Σε ένα ταλαντούμενο μηχανικό σύστημα, εκτός από τη δύναμη επαναφοράς, ενεργεί και δύναμη αντίστασης F = −bu. Αν Ακ, Ακ+1, Ακ+2 είναι τρεις διαδοχικές μέγιστες θετικές απομακρύνσεις προς την ίδια κατεύθυνση, συνδέονται με τη σχέση:

α) Ακ2 = Ακ+1·Ακ+2 β) 2AAA 2

1+

++

= κκκ

γ) 21 AAA ++ ⋅= κκκ δ) 2AAA 1

2+

+⋅

= κκκ

6. Η δυναμική ενέργεια στην απλή αρμονική ταλάντωση: α) Είναι μηδέν στις ακραίες θέσεις. β) Ισούται με την ολική ενέργεια στη θέση ισορροπίας. γ) Παραμένει σταθερή. δ) Μεταβάλλεται με συχνότητα διπλάσια από τη συχνότητα της ταλάντωσης. 7. Ένα σώμα συμμετέχει σε δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις x1 = Αημ(2πf1t) και x2 = Aημ(2πf2t), που έχουν την ίδια διεύθυνση και εξελίσσονται γύρω από το ίδιο σημείο. Οι συχνότητες f1 και f2 διαφέρουν λίγο μεταξύ τους. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι η σωστή; α) Η ταλάντωση του σώματος είναι απλή αρμονική ταλάντωση. β) Το πλάτος της ταλάντωσης μεταβάλλεται εκθετικά με το χρόνο, γ) Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους είναι μικρότερος του χρόνου μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της απομάκρυνσης του σώματος. δ) Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του πλάτους γίνεται μεγαλύτερος. όταν η διαφορά των συχνοτήτων f1 και f2 γίνει μικρότερη,


22

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Β. Το κύκλωμα του σχήματος περιλαμβάνει ιδανικη πηγή Ε = 40Volt, ωμική αντίσταση R = 10Ω, πυκνωτή χωρητικότητας C = 20μF , ιδανικό πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L και διακόπτη Δ. Αρχικά ο διακόπτης είναι κλειστός και το κύκλωμα διαρρέεται από σταθερό ρεύμα. Τη χρονική στιγμή t = 0 ανοίγουμε το διακόπτη.

Δ

+ _

Γ Ε LC

Α

Αν γνωρίζετε ότι μετά το άνοιγμα του διακόπτη το μέγιστο φορτίο στον πυκνωτή μπορεί να φτάσει τη μέγιστη τιμή των Q = 400μC: Α. Να υπολογιστεί η ενέργεια που είναι αποταμιευμένη στο πηνίο και στον πυκνωτή τη χρονική στιγμή t = 0. Β. Να γραφούν οι εξισώσεις του φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις q = f(t) και i = f(t). Γ. Ποια χρονική στιγμή η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου είναι τριπλάσια της ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή για 3η φορά; Ποια είναι η τιμή του φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα τη στιγμή αυτή; Να σχεδιαστεί το κύκλωμα L - C για την παραπάνω χρονική στιγμή στο οποίο να φαίνονται: α) η πολικότητα του πυκνωτή β) η πολικότητα της Η.Ε.Δ. από αυτεπαγωγή στο πηνίο και γ) η φορά του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα. Ποιο από τα στοιχεία του κυκλώματος την παραπάνω χρονική στιγμή αποταμιεύει ενέργεια; Απ: Α. UB = 4.10-3J , UE = 0 , Β. q = -4.10-4ημ104t , i = -4

συν104t , Γ. 7π/6.10-4s , 200μC , 2 3 A , ο πυκνωτής αποταμιεύει ενέργεια

19.1199.. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με το γράμμα Σ, αν είναι σωστές και με το γράμμα Λ αν είναι νθασμένες, λα

1. Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης του συστήματος ελατηρίου -μάζας του σχήματος είναι ίση με:

P

A α) Την ενέργεια που του προσφέραμε αρχικά, για να το διεγείρουμε σε ταλάντωση.

O

A β) Το άθροισμα της κινητικής ενέργειας του σώματος και της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου, οποιαδήποτε χρονική P′


23

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ στιγμή. γ) Την κινητική ενέργεια του σώματος στη θέση ισορροπίας Ο. δ) Τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου στις ακραίες θέσεις Ρ και Ρ'. 2. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση, α) Η ιδιοσυχνότητα fo της ταλάντωσης του συστήματος είναι ανεξάρτητη από τη συχνότητα f του διεγέρτη. β) Το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος είναι ανεξάρτητο από τη συχνότητα f του διεγέρτη. γ) Η μετατόπιση της συχνότητας συντονισμού από την ιδιοσυχνότητα fo του συστήματος εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης. δ) O ρυθμός με τον οποίο το ταλαντούμενο σύστημα απορροφά ενέργεια είναι ανεξάρτητος από τη σταθερά απόσβεσης. Β. Το ιδανικό ελατήριο του σχήματος έχει το φυσικό του μήκος. Βλήμα μάζας m1 = 0,2 kg σφηνώνεται με ταχύτητα υ1 = 100 m/s στο σώμα μάζας m2 = 4,8 kg, με αποτέλεσμα το ελατήριο να συσπειρωθεί κατά Δℓ = 0,2 m. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ της μάζας m2 και του οριζόντιου εδάφους είναι η = 0,1, να βρείτε:

m2k m1

α. την ταχύτητα του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση. β. τη σταθερά k του ελατηρίου.


24

ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

Documents

Transcript of ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ