www.mathschoolonline.org

Διαδικτυακό Φροντιστήριο Μαθηματικών

Γενικά επαναληπτικά θέματα και απαντήσεις

για εξάσκηση

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

1.Ι) Να δοθεί ο ορισμός της απόλυτης τιμής

πραγματικού αριθμού.

ΙΙ) Να υπολογισθούν οι απόλυτες τιμές

3-1 , 1-3 2. Nα λυθούν οι εξισώσεις

Α) x-1 0=

Β) x-1 1=

Γ) x-1 1-2x=

3. Να λυθούν οι ανισώσεις

Α) x-1 1>

Β) x-1 1<

www.mathschoolonline.org

4. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας :

x-4 2≤ ( )d x,4 2≤ 2 x 6≤ ≤ [2,6]

x+3 4<

( )d x,5 1<

(-2,2)

www.mathschool-online.com

5. Να λυθεί η εξίσωση

4 4 23 5 3

x x+ +− =

6. Nα λυθεί η εξίσωση για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ€R

(λ -2 )x = λ

7.Ι) Να διερευνηθεί η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α≠0

www.mathschoolonline.org

ΙΙ) Να βρείτε τις τιμές του μ € R για τις οποίες η εξίσωση

μx2 +2x + μ = 0 , μ≠0 έχει διπλή ρίζα.

8. I) Να λυθεί η ανίσωση

x2 + 3x + 5 ≤ 0

II) Nα μελετηθεί η συνάρτηση f(x)= x2 + 3x + 5

Απαντήσεις

1.Ι) Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με |𝛼| και

Ορίζεται ως εξής :

, 0- , 00, 0

a aa a a

a

> = < =

ΙΙ) 3-1 2 2= = ,

www.mathschoolonline.org

( )1-3 2 2 2= − = − − =

2. ( )x-1 0 x-1 =0

x=1= ⇒ ⇒

x-1 = 1x-1 1

x-1 = -1

x = 2x = 0

= ⇒ ⇒

x-1 1-2x

x-1 = 1-2xx-1 = - (1-2x)

= ⇒

⇒

x +2x = 2x-1= -1+2x

x = 2 / 3x = 0

⇒

www.mathschoolonline.org

x-1< -1x-1 1

x-1>1

x < 0x > 2

3. > ⇒

⇒

x-1 1 1 x-1 1< ⇒ − < <

( )x-1 11 x-1

< ⇒

− <

1 11 1 x< +

⇒ − + <

x

20 2

0<

⇒ < < <

xx

x 4. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας :

x-4 2≤ ( )d x,4 2≤ 2 x 6≤ ≤ [2,6]

www.mathschoolonline.org

x+3 4 4 x+3 44 3 x 4 37 x 1

< ⇒ − < <

− − < < − ⇒− < <

x-5 1 1 x-5 11 5 x 1 5

4 x 6

< ⇒ − < <

− + < < + ⇒< <

5. 4 4 2

3 5 3x x+ +

− =

Θέτω |𝒙| = y και έχω:

x+3 4< ( )d x,-3 4< 7 x 1− < < (-7,1)

x-5 1< ( )d x,5 1< 4 x<6< (4,6)

x 2< ( )d x,0 2< 2 x 2− < < (-2,2)

www.mathschool-online.com

www.mathschoolonline.org

4 4 23 5 3

4 4 23 5 3

x x

y y

+ +− = ⇒

+ +− =

( ) ( )

4 4 215. 15. 15.3 5 3

5 4 3. 4 5.25 20 3 12 10

y y

y yy y

+ +− =

+ − + =

+ − − =

5 20 3 12 10102 102

5

y y

y y

y

+ − − =−

= − ⇒ =

= −

Έχω θέσει όμως

|𝒙| = y

επομένως:

5 x 5αδύνατη , διότι :πάντα το x 0

= − ⇒ = −

≥

y

www.mathschoolonline.org

6. ( )λ -2 x= λ (Ι)

Είναι της μορφής

αx=β

Επομένως διακρίνω τις εξής περιπτώσεις:

( )

( )

η

η

1 λ -2 =0 λ=20.x 2 αδύνατη

2 λ -2 0 λ 2λx

λ -2αν τώρα λ 0, τότε

λη γίνεται : x 0λ -2

σε κάθε άλλη πε

(Ι)

(Ι)

ρίπτωσ

(ΙΙ)

(ΙΙ)

ηλx , λ {0,2}

λ

-2

⇒

⇒ =

≠ ⇒ ≠

⇒ =

=

= =

= ∈ −R

7.Ι) Προκειμένου να διερευνήσω την

εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 , α≠0

σχηματίζω το παρακάτω πίνακα :

www.mathschoolonline.org

2Δ=β -4αγ αx2 + βx + γ = 0

α≠0

0∆ > Δύο ρίζες άνισες

άνισες 1,2-β± Δx =

2α

0∆ = Διπλή ρίζα

1 2-βx =x =2α

0∆ < Αδύνατη στο R

ΙΙ) Θέλω η εξίσωση

μx2 +2x + μ = 0 , μ≠0 να έχει διπλή ρίζα, επομένως πρέπει:

0∆ = → 2Δ=β -4αγ = 0

www.mathschoolonline.org

( )( )

2

2

2

Δ=β -4αγ=04-4μ.μ=0 4(1-μ )=01-μ =0 1-μ 1+μ =0

μ=-1μ=1

⇒

⇒

⇒

⇒

8. I) x2 + 3x + 5 ≤ 0 2Δ=β -4αγ=9-4.1.5

Δ=9-20 0<

Αυτό σημαίνει ότι το τριώνυμο είναι ομόσημο του α = 1 > 0 σε όλο το R.

Δηλαδή

x2 + 3x + 5 > 0 Επομένως η ανίσωση

x2 + 3x + 5 ≤ 0

είναι αδύνατη !

II) Nα μελετηθεί η συνάρτηση f(x)= x2 + 3x + 5

Πρόκειται για παραβολή

www.mathschoolonline.org

με α=1 > 0 αυτό σημαίνει ότι

στρέφει τα κοίλα κάτω

Επομένως παρουσιάζει ελάχιστο στο

Ε ( -β/2α , f(-β/2α) )

όπου

f(-β/2α) = -Δ/4α

Παρατηρώ ότι Δ=β2-4αγ=32-4.1.5→

Δ=9-20 < 0

Αυτό σημαίνει ότι δεν έχει κοινά σημεία με τον οριζόντιο άξονα xx΄

Ανακεφαλαιώνοντας

Η f είναι στο (-∞ , -β/2 )

φθίνουσα ↓

x -∞ -β/2α +∞ f(x)= x2 + 3x + 5

↓ -Δ/4α ↑

Φθιν. Eλάχ/στο αυξ.

www.mathschoolonline.org

Στο σημείο Ε ( -β/2α -Δ/4α )

παρουσιάζει ελάχιστο

Στο διάστημα (-β/2α ,+∞ )

η f είναι αύξουσα ↑

Δεν έχει σημεία τομής με τον οριζόντιο άξονα xx΄

Η άσκηση δεν μας ζητά να γίνει η γραφική

παράσταση , παρ’ όλα αυτά σας τη σχεδιάζω για να τη δείτε :

f(x)= x2 + 3x + 5

Ε ( -β/2α -Δ/4α ) → 3 11( , ) ( 1.5 , 2.75)

2 4−

Ε = Ε −

www.mathschoolonline.org

Kαλή Ανάγνωση!