90 Επαναληπτικές ασκήσεις 2012 σε word για το ΕΠΑ.Λ (Mathematica)

44
ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑ 1 Σε ένα δείγμα παρατηρήσεων με μέση τιμή , οι τέσσερις παρατηρήσεις είναι οι και . Ε1. Να αποδείξετε ότι η παρατήρηση που λείπει είναι ο αριθμός Ε2. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή του δείγματος. Ε3. Να αποδείξετε ότι το δείγμα έχει τυπική απόκλιση . Ε4. Να εξετάσετε εάν το δείγμα είναι ομοιογενές. ΘΕΜΑ 2 ΘΕΜΑ 2 Ο βαθμός πρόσβασης του απολυτηρίου μαθητών της Γ΄λυκείου αναγράψεται στον παρακάτω ελλιπή πίνακα. Αν το κέντρο κλάσης και , τότε: Ε1. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα Ε2. Να βρεθεί η μέση τιμή Ε3. Το πλήθος των μαθητών που πήραν τουλάχιστον Ε4. Το ποσοστό των μαθητών που είχαν βαθμό μικρότερο από ΘΕΜΑ 3 ΘΕΜΑ 3 Δίνονται οι παρατηρήσεις με μέση τιμή 1

Transcript of 90 Επαναληπτικές ασκήσεις 2012 σε word για το ΕΠΑ.Λ (Mathematica)

ΘΕΜΑ 1ΘΕΜΑ 1 Σε ένα δείγμα παρατηρήσεων με μέση τιμή , οι τέσσερις παρατηρήσεις

είναι οι και .

Ε1. Να αποδείξετε ότι η παρατήρηση που λείπει είναι ο αριθμός Ε2. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή του δείγματος.Ε3. Να αποδείξετε ότι το δείγμα έχει τυπική απόκλιση .Ε4. Να εξετάσετε εάν το δείγμα είναι ομοιογενές.

ΘΕΜΑ 2ΘΕΜΑ 2 Ο βαθμός πρόσβασης του απολυτηρίου μαθητών της Γ΄λυκείου αναγράψεται

στον παρακάτω ελλιπή πίνακα. Αν το κέντρο κλάσης και , τότε:

Ε1. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα

Ε2. Να βρεθεί η μέση τιμήΕ3. Το πλήθος των μαθητών που πήραν τουλάχιστον Ε4. Το ποσοστό των μαθητών που είχαν βαθμό μικρότερο από

ΘΕΜΑ 3ΘΕΜΑ 3 Δίνονται οι παρατηρήσεις με μέση τιμή

Ε1. Να αποδείξετε ότι

Ε2. Να βρείτε την διάμεσο , την επικρατούσα τιμή και το εύρος

του δείγματος.

Ε3. Να αποδείξετε ότι ισχύει για τα παραπάνω μεγέθη.

Ε4. Αν όλες οι τιμές που είναι μικρότερες της μέσης τιμής αυξηθούν και γίνουν ίσες με την μέση τιμή, να υπολογίσετε την μέση τιμή του νέου δείγματος.

1

ΘΕΜΑ 4ΘΕΜΑ 4 Δίνονται οι αριθμοί:

Ε1. Βρείτε τη διάμεσό τους. Ε2. Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε σε καθέναν από τους

παραπάνω , ώστε η μέση τιμή τους να γίνει Ε3. Αποδείξτε ότι όποιον (ίδιο) αριθμό και αν προσθέσουμε σε καθέναν

από τους αριθμούς αυτούς, η διακύμανσή τους παραμένει σταθερή.

ΘΕΜΑ 5ΘΕΜΑ 5 Οι αριθμοί, (με ) έχουν μέση τιμή Γνωρίζουμε ότι υπάρχουν

δύο επικρατούσες τιμές.

Ε1. Αποδείξτε ότι:

Για

Ε2. Υπολογίστε τη διάμεσο των αριθμών.Ε3. Βρείτε τη διακύμανσή τους.

ΘΕΜΑ 6ΘΕΜΑ 6 Σε μια επιχείρηση εργάζονται υπάλλοιλοι, οι οποίοι έχουν μέσο μηνιαίο μισθό

€. Από τους εργαζόμενους, οι είναι γυναίκες και οι αντρές.

Ε1. Αν ο μέσος μηνιαίος μισθός των γυναικών είναι €, να βρείτε τον μέσο μηνιαίο μισθό των αντρών.

Η ίδια επιχείρηση, τους καλοκαιρινούς μήνες προσελάβε εποχιακό προσωπικό, με μέσο μισθό αυτών €

Ε2. Αν ο μέσος μισθός της επιχείρησης είναι πλεόν €, να βρεθούν πόσα άτομα πρεσέλαβε η επιχείρηση για την καλοκαιρινή περίοδο;

ΘΕΜΑ 7ΘΕΜΑ 7 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατονομής συχνοτήτων

2

Ε1. Να συμπληρώσετε τον πίνακαΕ2. Να βρεθεί η διάμεσοςΕ3. Να βρεθεί η μέση τιμήΕ4. Να βρεθεί το ποσοστό των παρατηρήσεων που οι τιμές τους είναι το

πολύ ίσες με Ε5. Να βρεθεί η διακύμανσηΕ6. Να κρίνεται αν το δείγμα είναι ομοιογενές.

ΘΕΜΑ 8ΘΕΜΑ 8 Οι βαθμόι των μαθητών της Γ τάξης ενός ΕΠΑΛ παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα.

Ε1. Να συμπληρωθεί ο πίνακαςΕ2. Να φτίαξετε το πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτωνΕ3. Να βρεθεί η διάμεσοςΕ4. Να βρεθεί το ποσοστό των μαθητών που είχε βαθμό τουλάχιστον Ε5. Να βρεθεί η μέση τιμή

ΘΕΜΑ 9ΘΕΜΑ 9 Κατά την αρχή της σχολικής χρονιάς οι μαθητές της τρίτης τάξης ενός Λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά με τον αριθμό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των θερινών διακοπών. Σύμφωνα με τις απαντήσεις που δόθηκαν, συντάχθηκε ο παρακάτω πίνακας:

3

Ε1. Να υπολογίσετε την τιμή του .

Στη συνέχεια για να βρείτε:

Ε2. Τη μέση τιμή του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές. Ε3. Τη διάμεσο του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές. Ε4. Πόσοι μαθητές διάβασαν τουλάχιστον βιβλία Ε5. Τι ποσοστό των μαθητών διάβασε το πολύ βιβλίο

ΘΕΜΑ 10ΘΕΜΑ 10 Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων σε κλάσεις ίσου πλάτους (όπου

το κέντρο κάθε κλάσης )

Ε1. Να αποδείξετε ότι οι κλάσεις έχουν πλάτος Ε2. Να αποδείξετε ότι το δείγμα έχει μέγεθος Ε3. Να συμπληρώσετε τον πίνακαΕ4. Να βρείτε την διάμεσοΕ5. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή

ΘΕΜΑ 11ΘΕΜΑ 11 Ο παρακάτω πίνακας δίνει την διάρκεια ζωής δύο τύπων λυχνίων Α και Β, σε χιλιάδες ώρες

4

Μια λύχνιά τύπου Α κοστίζει €

Ε1. Ποιό τύπο λυχνίας θα προτιμήσετε να αγοράσετε, να μια λύχνιά τύπου Β κοστίζει: α. € , β. €, γ. €. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας σε κάθε περίπτωση

Ε2. Ποιού τύπου λυχνίες παρουσιάζουν μεγαλύτερη ομοιογένεια ως προς την διάρκεια λειτουργίας του.

ΘΕΜΑ 12ΘΕΜΑ 12 Το παρακάτω δείγμα μαθητών έχει μέσο όρο απουσιών απουσίες σε διάστημα μιας εβδομάδας.

Ε1. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό

Για , να βρείτε:

Ε2. Τη επικρατούσα τιμή του δείγματοςΕ3. Τη διάμεσο του δείγματοςΕ4. Τον μέσο όρο απουσιών αν στο δείγμα προστεθεί ο Μάκης ,που δεν

απουσιάζει ποτέ από τα μαθήματα

ΘΕΜΑ 13ΘΕΜΑ 13

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων των ετών εργασίας ,των εργαζομένων σε μια εταιρεία. Απο τα δεδομένα το πολυγώνου να βρεθούν:

5

Ε1. Πόσους εργάζομενους απασχολεί η εταιρεία.

Ε2. Να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής με τις στήλες των

Ε3. Να βρεθεί ο μέσος χρόνος εργασίας, των εργαζόμενων στην εταιρεία.Ε4. Να κατασκευάσετε το ιστογραμμα και το πολύγωνο των σχετικών

αθροιστικών συχνοτήτων της Ε5. Να υπολογίσετε την διάμεσο.Ε6. Να βρεθεί το ποσοστό των εργαζομένων του εργάζονται ή

περισσότερα χρονια στην εταιρεία.Ε7. Να βρεθεί ο μέσος μισθός των εργαζομένων, αν γνωρίζετε οτι:

Οι εργαζόμενοι με λιγότερα απο έτη εργασίας έχουν μέσο μηνιαίο μισθό €

Οι εργαζόμενoi που εργάζονται ή περισσότερα χρόνια, αλλά λιγότερα απο χρονια έχουν μέσο μηνιαίο μισθό €.

Οι εργαζόμενοι με ή περισσότερα χρόνια έχουν μέσο μηνιαίο μισθό €

ΘΕΜΑ 14ΘΕΜΑ 14 Εξετάσαμε τους πελάτες μιας καφετέριας σχετικά με το χρόνο (σε λεπτά) παραμονής τους σε αυτή.Τα αποτελέσματα ομαδοποιήθηκαν σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους και το πολύγωνο των συχνοτήτων φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

6

Ε1. Να προσδιορίσετε τις κλάσεις και να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνότητων

Ε2. Να κατασκευάσετε πινακά κατανομής συχνοτήτων με τις στήλες

Ε3. Να βρεθεί η μέση τιμή.Ε4. Να βρεθεί το ποσοστό των πελατών που μένουν στην καφετέρια χρόνο

λιγότερο των λεπτών.

ΘΕΜΑ 15ΘΕΜΑ 15 Δίνεται στον παρακάτω πίνακα ένα ομαδοποιημένο δείγμα τιμών.

Ε1. Να υπολογίσετε την διάμεσο Ε2. Να αποδείξετε ότι έχει μέση τιμή

Ε3. Να αποδείξετε ότι έχει διακύμανση

Ε4. Να εξετάσετε εαν το δείγμα είναι ομοιογενές. Δίνεται ότι

7

ΘΕΜΑ 16ΘΕΜΑ 16 Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή συχνοτήτων των βαθμών εξετάσεων φοιτητών στο μάθημα της Στατιστικής σε μια σχολή ΤΕΙ.

Ε1. Να αποδείξετε ότι όπου η επικρατούσα τιμή και η

διάμεσος του δείγματος αντίστοιχα

Ε2. Να αποδείξετε ότι όπου η διασπορά και η μέση τιμή του

δείγματος αντίστοιχαΕ3. Να εξετάσετε εαν το παραπάνω δείγμα είναι ομοιογενέςΕ4. Αν ο καθηγητής για να βοηθήσει κάποιους φοιτητές κάνει τους βαθμούς

από έως ίσους με , να βρείτε το πλήθος των μαθητών που πέρασαν το μάθημα

Δίνεται ότι και πως στις σχολές βάση θεωρείται το και άριστα το .

ΘΕΜΑ 17ΘΕΜΑ 17 Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι ταχύτητες οδηγών αυτοκινήτων ομαδοποιημένες σε κλάσεις που κατέγραψε ένα περιπολικό της τροχαίας σε διάστημα ενός μηνά σε σημείο του δρόμου με ανώτατο επιτρεπόμενο όριο ταχύτητας τα χιλιόμετρα την ώρα.

Ε1. Να αποδείξετε ότι .Ε2. Να βρείτε το ποσοστό των οδηγών που έκαναν παράβαση.

Η τροχαία συμπεριφέρεται στους παραβάτες έως εξής:

Όσοι καταγράφονται να κινούνται με ταχύτητα από έως χιλιόμετρα την

ώρα με παρατήρηση,

8

Όσοι κινούνται με ταχύτητα από έως χιλιόμετρα την ώρα με πρόστιμο

ευρώ,

Όσοι κινούνται με ταχύτητα από έως χιλιόμετρα την ώρα με πρόστιμο ευρώ

Όσοι κινούνται με ταχύτητα από έως χιλιόμετρα την ώρα με αφαίρεση πινακίδων και πρόστιμο ευρώ.

Ε3. Αν στους παραπάνω παραβάτες, οδηγοί κινούμενοι με ταχύτητες και χιλιόμετρα την ώρα απαλλαγούν για διαφόρους λόγους, να

βρείτε τα έσοδα από τις εισπράξεις των προστίμων, θεωρώντας ότι όλα τα υπόλοιπα πρόστιμα θα πληρωθούν κανονικά.

ΘΕΜΑ 18ΘΕΜΑ 18 Εξετάσαμε ένα δείγμα συνδρομητών κινητής τηλεφωνίας σχετικά με τον αριθμό των κλήσεων που πραγματοποίησαν κατά τη διάρκεια μιας ημέρας και προέκυψαν τα παρακάτω:

Oι συνδρομητές πραγματοποίησαν κλήσεις.

συνδρομητές πραγματοποίησαν μόνο κλήση.

Οι συνδρομητές που πραγματοποίησαν κλήσεις είναι τετραπλάσιοι από εκείνους που δεν πραγματοποίησαν κλήση.

Το πολύ κλήσεις πραγματοποίησαν συνδρομητές.

Η γωνία του κυκλικού διαγράμματος που αντιστοιχεί στην τιμή , είναι

Το ποσοστό των συνδρομητών που πραγματοποίησαν κλήσεις είναι

Ε1. Να βρείτε το μέγεθος του δείγματος και να κατασκευάσετε πίνακα

κατανομής συχνοτήτων,σχετικών συχνοτήτων καθώς και όλων των

αντίστοιχων αθροιστικών συχνοτήτων. Ε2. Να βρείτε τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή του δείγματος των

κλήσεων.Ε3. Να βρείτε τον μέσο αριθμό κλήσεων που πραγματοποίησαν οι

συνδρομητές.

ΘΕΜΑ 19ΘΕΜΑ 19 9

Η κατανομή του βάρους (σε κιλά) των μαθητών ενός σχολείου παρουσιάζεται στον παρακάτω πίνακα:

Ε1. Να βρεθεί το Ε2. Να αποδείξετε ότι το μέσο βάρος των μαθητών είναι κιλά Ε3. Πόσοι μαθητές είχαν βάρος τουλάχιστον κιλά Ε4. Τι ποσοστό των μαθητών είχε βάρος μικρότερο από κιλά;

Ε5. Αν καθένα από τα κορίτσια του σχολείου χάσει κιλά και

καθένα από τα αγόρια του σχολείου πάρει κιλό , ποιό αναμένετε να είναι

το νέο μέσο βάρος των μαθητών;

ΘΕΜΑ 20ΘΕΜΑ 20 Οι ώρες μελέτης φοιτητών στη βιβλιοθήκη

ανά εβδομάδα δίνονται από το διπλανό κυκλικό διάγραμμα.

Ε1. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα κατανομής συχνοτήτων.

10

Ε2. Να υπολογίσετε την διάμεσο και την μέση τιμή του δείγματος.Ε3. Στην περίοδο των εξετάσεων, κάθε μαθητής που διάβαζε μέχρι και

ώρες αυξάνει το εβδομαδιαίο διάβασμά του κατά ώρες, ενώ οι υπόλοιποι κατά ώρες. Ποία θα είναι τότε η διάμεσος και ποια η μέση τιμή;

ΘΕΜΑ 21ΘΕΜΑ 21 Να υπολογιστεί ο πραγματικός αριθμός στις παρακάτω περιπτώσεις:

Ε1. όταν

Ε2. όταν

Ε3. όταν

ΘΕΜΑ 22ΘΕΜΑ 22 Να υπολογίσετε τα όρια:

11

ΘΕΜΑ 23ΘΕΜΑ 23 Να υπολογίσετε τα όρια:

όπου συνάρτηση συνεχής της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από

το σημείο

ΘΕΜΑ 24ΘΕΜΑ 24 Δίνονται οι συνάρτήσεις και

Ε1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και

Ε2. Να υπολογίσετε το όριο

Ε3. Να υπολογίσετε το όριο

Ε4. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

ΘΕΜΑ 25ΘΕΜΑ 25

Δίνεται η συνάρτηση

Ε1. Αν η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο

, να δείξετε οτι

Για

12

Ε2. Να υπολογίσετε το

Ε3. Να βρεθεί το

Ε4. Να προσδιορίσετε τις τιμές των ώστε η συνάρτηση να

είναι συνεχής στο

ΘΕΜΑ 26ΘΕΜΑ 26 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια

Ε1.

Ε2.

Ε3.

Ε4.

Ε5.

Ε6.

Ε7.

ΘΕΜΑ 27ΘΕΜΑ 27

Δίνεται η συνάρτηση

Ε1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

Ε2. Να βρείτε το όριο

Ε3. Να βρείτε το όριο

Δίνεται η συνάρτηση

13

Ε4. Να προσδιορίσετε την τιμή του ώστε η συνάρτηση να

είναι συνεχής στο

ΘΕΜΑ 28ΘΕΜΑ 28 Να υπολογιστούν οι πραγματικοί αριθμοί στις παρακάτω περιπτώσεις:

Ε1. με όταν η γραφική παράσταση της

διέρχεται από τα σημεία και

Ε2. όταν

Ε3. όταν η γραφική παράσταση

της διέρχεται από τα σημεία και

ΘΕΜΑ 29ΘΕΜΑ 29

Δινεται η συνάρτηση

Ε1. Να βρεθεί το

Ε2. Να βρεθεί το

Ε3. Να βρεθούν οι τιμές των για τις οποιες η είναι

συνεχής στο

14

Ε4. Για τις τιμές των που βρήκατε στο προηγούμενο

ερώτημα, να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης

ΘΕΜΑ 30ΘΕΜΑ 30

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο:

όπου .Υπολογίστε:

Ε1. Τα όρια

Ε2. Τα όρια

Ε3. Τα αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

ΘΕΜΑ 31ΘΕΜΑ 31 Ε1. Συμπληρώστε τα παρακάτω κενά:

15

α) …

β) …

γ) …

δ) …

ε) …

στ) …

ζ) …

η)

Ε2. Βρείτε τα σημεία που η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι ασυνεχής

Ε3. Βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συνεχής

Ε4. Βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης

ΘΕΜΑ 32ΘΕΜΑ 32

Έστω η συνάρτηση με

Ε1. Να υπολογίσετε το όριο

Ε2. Να υπολογίσετε το όριο

Ε3. Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό ώστε να υπάρχει το

Ε4. Για , να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό ώστε η

συνάρτηση να είναι συνεχής στο

16

ΘΕΜΑ 33ΘΕΜΑ 33

Έστω συνάρτηση με .

Ε1. Να υπολογίσετε το όριο .

Ε2. Να υπολογίσετε το όριο .

Ε3. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε να υπάρχει το όριο

.

Ε4. Για , να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε η

συνάρτηση να είναι συνεχής στο .

Ε5. Για , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

ΘΕΜΑ 34ΘΕΜΑ 34

Έστω οι συναρτήσεις και

με .

Ε1. Να υπολογίσετε το όριο

Ε2. Να υπολογίσετε το όριο

Ε3. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε η συνάρτηση να

είναι συνεχής στο .

Για :

Ε4. να υπολογίσετε το όριο

Ε5. να εξετάσετε εαν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

17

ΘΕΜΑ 35ΘΕΜΑ 35

Έστω οι συναρτήσεις και

με .

Ε1. Να υπολογίσετε το όριο .

Ε2. Να υπολογίσετε το όριο .

Ε3. Να υπολογίσετε το όριο .

Ε4. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς και ώστε να είναι

συνεχείς η συνάρτηση στο και η συνάρτηση στο .

Ε5. Για και , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

.

ΘΕΜΑ 36ΘΕΜΑ 36

Δίνεται η συνάρτηση

Ε1. Να βρεθούν τα και

Ε2. Να προσδιορίσετε τις τιμές του για τις οπόιες η συνάρτηση

είναι συνεχής στο

Ε3. Για τις τιμές του που βρήκατε στο (Ε2) ,να υπόλογίσετε το

ΘΕΜΑ 37ΘΕΜΑ 37

18

Δίνεται η συνάρτηση

Ε1. Να βρεθούν τα και

Ε2. Να προσδιορίσετε την τιμή του για την οποία η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Ε3. Για να υπολογίσετε το

ΘΕΜΑ 38ΘΕΜΑ 38

Δίνονται οι συναρτήσεις και

Ε1. Να προσδιορίσετε τα πεδία ορισμού των και Ε2. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού και τον τύπο για την

συνάρτηση

Ε3. Να υπολογίσετε το

Ε4. Να υπολογίσετε το

ΘΕΜΑ 39ΘΕΜΑ 39

Δίνεται η συνάρτηση

Ε1. Να βρεθούν τα όρια και

Ε2. Να βρεθούν τα όρια και

19

Ε3. Να προσδιορίσετε τις τιμές των για τις οποίες η

συνάρτηση είναι συνεχής στο Ε4. Για και , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

ΘΕΜΑ 40ΘΕΜΑ 40

Θεωρούμε τις συναρτήσεις και

Να αποδείξετε ότι και

Ε1. Να υπολογίσετε τα όρια

ΘΕΜΑ 41ΘΕΜΑ 41 Να υπολογίσετε το πεδίο ορισμού και την παράγωγο των συναρτήσεων:

Ε1.

Ε2.

Ε3.

Ε4.

ΘΕΜΑ 42ΘΕΜΑ 42 Να εξετάσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα

20

Ε1.

Ε2.

Ε3.

Ε4.

ΘΕΜΑ 43ΘΕΜΑ 43 Δίνεται η συνάρτηση

Ε1. Να βρεθούν και

Ε2. Να βρεθούν τα και

Ε3. Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της

ΘΕΜΑ 44ΘΕΜΑ 44 Δίνεται η συνάρτηση

Ε1. Αν , να δείξετε οτι

Για Ε2. Nα μελετήσετε την ως προς την μονοτονία και τοπικά

ακρότατα.

Θεωρούμε την συνάρτηση

Ε3. Να προσδιορίσετε τις τιμές των για τις οποίες η

συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στη θέση

ΘΕΜΑ 45ΘΕΜΑ 45 Δίνεται η συνάρτηση με

21

Ε1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.Ε2. Να υπολογίσετε την τιμή του Ε3. Για , να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία και τα

ακρότατα.Ε4. Για , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

ΘΕΜΑ 46ΘΕΜΑ 46 Δίνεται η συνάρτηση

Ε1. Να βρεθούν οι τιμές των ,αν η γραφική παράσταση της

διέρχεται απο το σημείο και παρουσιάζει ακρότατο στη θέση

Ε2. Για και , να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία

και τα ακρότατα.Ε3. Για και ,να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

Ε4. Για και , να υπολογίσετε τo όριο

ΘΕΜΑ 47ΘΕΜΑ 47 Δίνεται η συνάρτηση και .Αν η γραφική

παράσταση διέρχεται της διέρχεται από το σημείο και

Ε1. Nα βρείτε τους

Ε2. Για και , να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει

Ε3. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

Ε4. Να προσδιορίσετε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει

ΘΕΜΑ 48ΘΕΜΑ 48 Να υπολογίσετε την παράγωγο των συναρτήσεων:

22

Ε1. με

Ε2. με

Ε3. με

Ε4. με

Ε5. με

Ε6. με

ΘΕΜΑ 49ΘΕΜΑ 49

Δίνεται η συνάρτηση και . Αν η

γραφική παράσταση της διερχεται από το σημείο και

, τότε:

Ε1. Να προσδιορίσετε τις τιμές των

Ε2. Για και , να δείξετε οτι η συνάρτηση είναι

γνησίως αύξουσα στο

Ε3. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

ΘΕΜΑ 50ΘΕΜΑ 50

Δίνεται η συνάρτηση

Ε1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.Ε2. Να μελετήθεί η συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα

ακρότατα.

Ε3. Αν να δείξετε οτι

Ε4. Να συγκρίνετε τους αριθμούς και

23

ΘΕΜΑ 51ΘΕΜΑ 51 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα την συνάρτηση

στις παρακάτω περιπτώσεις

Ε1.Ε2.Ε3.

Ε4.Ε5.

Ε6.

Ε7.

ΘΕΜΑ 52ΘΕΜΑ 52 Δίνεται η συνάρτηση με παράγωγο .

Ε1. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα η

συνάρτηση

Ε2. Να λυθεί η ανίσωση

Ε3. Να αποδείξετε ότι

Ε4. Να αποδείξετε ότι

ΘΕΜΑ 53ΘΕΜΑ 53

Δίνεται η συνάρτηση

Ε1. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα η

συνάρτηση

Ε2. Να αποδείξετε ότι όταν

Ε3. Να αποδείξετε ότι όταν

ΘΕΜΑ 54ΘΕΜΑ 54 24

Έστω η συνάρτηση

Ε1. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση

Ε2. Να συγκρίνετε τις τιμές και

Ε3. Να λυθεί η ανίσωση

Ε4. Να αποδείξετε ότι

Ε5. Να λυθεί η ανίσωση

ΘΕΜΑ 55ΘΕΜΑ 55 Η συνάρτηση με παρουσιάζει ακρότατο για .

Ε1. Να αποδείξετε ότι Ε2. Να μελετηθεί η

ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα

Ε3. Να αποδείξετε ότι όταν

Ε4. Να αποδείξετε ότι

ΘΕΜΑ 56ΘΕΜΑ 56

Θεωρούμε την συνάρτηση με

Ε1. Να μελετηθεί η ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα

Ε2. Να αποδείξετε ότι όταν

Ε3. Να αποδείξετε ότι

Ε4. Να συγκρίνετε τις τιμές και

ΘΕΜΑ 57ΘΕΜΑ 57

Δίνεται ορθή γωνία και το ευθύγραμμο τμήμα μήκους . Τα

άκρα του οποίου και ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές και

αντίστοιχα.

25

Το σημείο κινείται με ταχύτητα και η θέση του πάνω στον

άξονα δίνεται από την συνάρτηση , όπου ο χρόνος σε

Ε1. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ως συνάρτηση

του Ε2. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του , τη χρονική στιγμή που

το μήκος του είναι

ΘΕΜΑ 58ΘΕΜΑ 58 Ε1. Να αποδείξετε οτι από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο , το

μεγαλύτερο εμβαδόν έχει το τετράγωνο.Ε2. Να αποδείξετε οτι από όλα τα ορθογώνια με εμβαδόν , τη

μικρότερη περίμετρο έχει το τετράγωνο.Ε3. Αν ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει υποτείνουσα , να

υπολογίσετε τις κάθετες πλευρές του ώστε να έχει το μέγιστο εμβαδόν.

ΘΕΜΑ 59ΘΕΜΑ 59 Η θερμοκρασία μιας περιοχής σε βαθμούς κελσίου, ως συνάρτηση του χρόνου

σε ώρες δίνεται από την σχέση

Ε1. Να προσδιορίσετε την τιμή της σταθεράς , αν γνωρίζετε οτι την

χρονική στιγμή η θερμοκρασία ήταν

Ε2. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της θερμοκρασίας στο τέλος της τέταρτης ώρας

Ε3. Να βρείτε την ώρα με το μέγιστο ρυθμό μεταβολής.

ΘΕΜΑ 60ΘΕΜΑ 60

Δίνεται η συνάρτηση με

26

Ε1. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα ώστε η να είναι

συνεχής στο

Ε2. Να προσδιορίσετε τις τιμές των για τις οποίες η είναι

παραγωγίσιμη στο

Ε3. Για και να υπολογίσετε το

ΘΕΜΑ 61ΘΕΜΑ 61

Δινεται η συνάρτηση

Ε1. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

Ε2. Δινεται επίσης η συνάρτηση με

Ε3. Να προσδιορίσετε τις τιμές των , ώστε η συνάρτηση

να παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στις ίδιες θέσεις με την συνάρτηση Ε4. Για και , να μελετήσετε την συνάρτηση ως

προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

Ε5. Για και , να υπολογίσετε το

ΘΕΜΑ 62ΘΕΜΑ 62 Δίνεται η συνάρτηση , όπου

Ε1. Αν η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο

και ο ρυθμός μεταβολής της στο σημείο αυτό είναι ίσος με ,

να αποδείξετε ότι .

Ε2. Για , να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης

ΘΕΜΑ 63ΘΕΜΑ 63 Δίνεται η συνάρτηση ώστε :

Ε1. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.Ε2. Να βρεθεί μία παράγουσα της συνάρτησης .

27

ΘΕΜΑ 64ΘΕΜΑ 64

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο , .

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο

Ε1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.Ε2. Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού

Ε3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία στο

Ε4. Να λύσετε την εξίσωση

ΘΕΜΑ 65ΘΕΜΑ 65

Ε1. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε η συνάρτηση

να είναι γνησίως μονότονη στο

Ε2. Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

,στο όποιο ο ρυθμός μεταβολής της γίνεται

μέγιστος

Ε3. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε το ελάχιστο της

να γίνεται μέγιστο

ΘΕΜΑ 66ΘΕΜΑ 66 Θεωρούμε την δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο που

παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο , την παραγωγίσιμη στο

συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο

καθώς και τις συναρτήσεις με και

με .

Να υπολογίσετε τις τιμές

Ε1. και

Ε2. και

Ε3. και

Ε4.

28

ΘΕΜΑ 67ΘΕΜΑ 67 Θεωρούμε τις συναρτήσεις

Ε1. Να υπολογίσετε το όριο

Ε2. Να αποδείξετε ότι για κάθε

Ε3. Να αποδείξετε ότι για κάθε

Ε4. Να βρείτε την παράγουσα της που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

ΘΕΜΑ 68ΘΕΜΑ 68 Δίνεται η συνάρτηση με .

Ε1. Να προσδιορίσετε τις τιμές των , αν γνωρίζεται οτι

και

Για και

Ε2. Να λύθεί η εξίσωση

Ε3. Από σημείο της γραφικής παράστασης της , με

, φέρνουμε ευθείες παράλληλες προς τους άξονες και ,

οι οποίες σχηματίζουν με τους θετικούς ημιάξονες ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου

, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να γίνεται μέγιστο.Ε4. Να βρεθεί η παράγουσα της που διέρχεται από το σημείο

ΘΕΜΑ 69ΘΕΜΑ 69

Δίνεται η συνάρτηση , με .

Ε1. Αν η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατα στις θέσεις

και , να δείξετε οτι και .

29

Για και

Ε2. Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

Ε3. Να υπολογιστεί το όριο

Ε4. Να βρεθεί η παράγουσα της ,που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

ΘΕΜΑ 70ΘΕΜΑ 70 Θεωρούμε την συνάρτηση με .Αν ισχύει ότι

για κάθε :

Ε1. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της διέρχεται από το

σημείο

Ε2. Να αποδείξετε ότι Ε3. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα η

συνάρτηση Ε4. Να αποδείξετε ότι

Ε5. Να συγκριθούν οι τιμές της για και

ΘΕΜΑ 71ΘΕΜΑ 71 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

Ε1.

Ε2.

Ε3.

Ε4.

Ε5.

30

ΘΕΜΑ 72ΘΕΜΑ 72 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

Ε1.

Ε2.

Ε3.

Ε4.

Ε5.

ΘΕΜΑ 73ΘΕΜΑ 73 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

Ε1.

Ε2.

Ε3.

Ε4.

Ε5.

ΘΕΜΑ 74ΘΕΜΑ 74 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

Ε1.

Ε2.

Ε3.

Ε4.

31

ΘΕΜΑ 75ΘΕΜΑ 75 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

Ε1. Ε2. Ε3.

ΘΕΜΑ 76ΘΕΜΑ 76 Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

Ε1. Ε2.

Ε3. Ε4.

Ε5.

ΘΕΜΑ 77ΘΕΜΑ 77 Θεωρούμε την δυο φορές παραγφωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή δεύτερη

παράγωγο στο με ,για την οποία ισχύει πως και

.

Ε1. Να αποδείξετε ότι

Ε2. Να βρείτε την συνάρτηση

Ε3. Να βρείτε την συνάρτηση

Ε4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

ΘΕΜΑ 78ΘΕΜΑ 78

Θεωρούμε τις συναρτήσεις και

32

Ε1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παράγουσα της

Ε2. Να βρείτε την παράγουσα της που διέρχεται από το σημείο

Ε3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

Ε4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

Ε5. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

ΘΕΜΑ 79ΘΕΜΑ 79

Αν για την με συνεχή πρώτη παράγωγο στο ισχύει ότι

και

Ε1. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα και

Ε2. Να αποδείξετε ότι

Θεωρούμε την παράγουσα της , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Ε3. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

33

ΘΕΜΑ 80ΘΕΜΑ 80 Αν οι συναρτήσεις είναι συνεχής στο και ισχύουν

να υπολογίσετε την τιμή των

ορισμένων ολοκληρωμάτων

Ε1.

Ε2.

Ε3.

Ε4.

Ε5.

Ε6.

Ε7.

ΘΕΜΑ 81ΘΕΜΑ 81 Ε1. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης , για την οποία

γνωρίζουμε και

Ε2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

Ε3. Να υπολογίσετε τα όρια και

ΘΕΜΑ 82ΘΕΜΑ 82 Ε1. Αν η γραφική παράσταση της που έχει συνεχή πρώτη

παράγωγο στο διέρχεται από τα σημεία και ,

να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

Ε2. Αν η συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο παρουσιάζει

τοπικό ακρότατο για και ισχύει ότι , να

34

υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της για

Ε3. Αν η συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο παρουσιάζει

τοπικό ακρότατο για με τιμή ,ισχύει πως

και η γραφική παράσταση της

διέρχεται την αρχή των αξόνων,να υπολογίσετε την τιμή της για .

ΘΕΜΑ 83ΘΕΜΑ 83

Δίνεται η συνάρτηση

Ε1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Ε2. Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα

ακρότατα

Ε3. Να συγκριθούν οι αριθμοί και

Ε4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

ΘΕΜΑ 84ΘΕΜΑ 84 Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τον άξονα ,τη γραφική

παράσταση της:

Ε1. και τις ευθείες και

Ε2. και τις ευθείες και

Ε3. και τις ευθείες και

Ε4. και τις ευθείες και

35

ΘΕΜΑ 85ΘΕΜΑ 85 Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τον άξονα ,την γραφική

παράσταση της:

Ε1.

Ε2.

Ε3.

ΘΕΜΑ 86ΘΕΜΑ 86 Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τον άξονα ,την

γραφική παράσταση της:

Ε1. και την ευθεία

Ε2. και την ευθεία

Ε3. και την ευθεία

Ε4. και την ευθεία

ΘΕΜΑ 87ΘΕΜΑ 87 Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση

της:

Ε1. και την ευθεία

Ε2. και την ευθεία

ΘΕΜΑ 88ΘΕΜΑ 88 Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση

και των συναρτήσεων :

Ε1. και

Ε2. και

36

ΘΕΜΑ 89ΘΕΜΑ 89 Δίνονται οι συναρτήσεις και . Να

υπολογίσετε το εμβαδόν του χωριου που περικλείεται μεταξύ:

Ε1. Της και του άξονα

Ε2. Της και του άξονα ,του άξονα και της ευθείας

Ε3. Της και του άξονα

Ε4. Της και της

Ε5. Της , της , της ευθείας και της ευθείας

Ε6. Όπου είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης και

είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

ΘΕΜΑ 90ΘΕΜΑ 90

Δίνεται η συνάρτηση

Ε1. Να αποδείξετε οτι είναι συνεχής στο

Ε2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

Ε3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της , τον άξονα και τις ευθείες και

Ε4. Να βρείτε την μέση τιμή και την διάμεσο των τιμών

37