Απαντήσεις Πανελλαδικές 2013 Μαθηματικά Γενικής...

Απαντήσεις / Πανελλαδικές 2013Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής

www.mathschoolonline.org

1

Απαντήσεις / Πανελλαδικές 2013Μαθηματικά &Στοιχεία Στατιστικής http://www.mathschoolonline.org/

1

Πανελλαδικές 2013 / Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής /

Απαντήσεις

Θέμα Α. Α.1. Σελίδα 28 σχ.β,Α.2 Σελίδα 14,Α.3. Σελίδα 87.Α.4 α.Λ,β.Σ,γ.Λ,δ.Λ,ε.Λ

Θέμα Β

Δίνονται Ω={ω1,ω2,ω3,ω4} , Α={ω1,ω4} , Β={ω1,ω3}, 2

1 x 1 3 2

1 x x 1 1P(ω ) lim2 x x→−

+ + −= −

+ , ( ) xf x ln x,x 0

3= > , ( )3P(ω ) f 1′=

Ζητούνται

Β.1 Νδο 11P(ω )4

= , 31P(ω )3

=

Έχω 2

x 1 3 2

x x 1 1lim ,απροσδιόριστη μορφήx x→−

+ + −+

Επομένως πολλαπλασιάζω με τη συζυγή παράσταση του αριθμητή τον αριθμητή και το παρονομαστή του κλάσματος

( )2 2

x 1 x 13 2 2 2

x x 1 1 x x 1 1 1lim limx x 2x (x 1) x x 1 1

→− →−

+ + − + + −= = −

+ + + + +

Άρα 11 1 1P(ω ) ( )2 2 4

= − − =

Υπολογίζω την f΄(x) και έχω

( ) ( )x x x 1 1f x ln x ln x ln x ln x3 3 3 3 3

′ ′ ′′ = = + = +

Επομένως ( )3 31 1P(ω ) f 1 P(ω )3 3

′= = → =

http://www.mathschoolonline.org/



2


2

Β.2 Νδο 1 3P(A )3 4

′≤ ≤

Από την υπόθεση γνωρίζω ότι Α={ω1,ω4},επομένως Α΄={ω2,ω3}

Έχω ( ) ( ) ( )3 31ω Α P ω P A P A3

′ ′ ′⊆ → ≤ → ≤ (1)

( ) ( ) ( )1 11ω Α P ω P A P A4

⊆ → ≤ → ≤ , γνωρίζω όμως πως

P(A) 1 P(A )′= − , από τις παραπάνω σχέσεις έχω 1 31 P(A ) P(A )4 4

′ ′≤ − → ≤ , (2)

Από τις (1) και (2) έχω 1 3P(A )3 4

′≤ ≤

Β.3 Δίνεται 3P(Α )4

′ = , Ζητούνται

( ) ( ) ( )2 4P(ω ), P(ω ), P Α Β Β Α , P Α Β′ ′− − −

Έχω

( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 23 3 3 1 5 5P(Α ) P ω P ω P ω P ω4 4 4 3 12 12

′ = → + = → = − = → =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 4 4P ω P ω P ω P ω 1 P ω 1 1 P ω 0+ + + = → = − → =

Έχω1 4 1 3 2 3 2 4 1 2Α {ω ,ω }, Β {ω ,ω },Α {ω ,ω }, Β {ω ,ω },Α Β {ω },Α Β {ω }′ ′ ′ ′= = = = = =

Α-Β={ω4} , Β-Α={ω3}

Επομένως , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4 3 41P Α Β Β Α P {ω ,ω } P ω P ω3

− − = = + =

( ) 31P Α Β P(ω )3

′ ′− = =




3


3

Θέμα Γ

Γ.1 Οι κλάσεις είναι τις μορφής [50,50+c],[50+c,50+2c],[50+2c,50+3c],[50+3c,50+4c]

Από την υπόθεση 450 3c 50 4cx 85 c 10

2+ + +

= = → =

Άρα οι κλάσεις είναι [50,60],[60,70],[70,80],[80,90] και οι κεντρικές τιμές αυτών είναι x1=55,x2=65,x3=75,x4=85

Γ.2 Aπό την υπόθεση (1)1 1 4 4 1 1 4 3 1 2 3x 74 x f ... x f 74 x f ... x 2f 74 55f 65f 170f 74= ↔ + + = ↔ + + = ↔ + + =

Γνωρίζω από τη θεωρία της Στατιστικής ότι 1 4f ... f 1+ + = , (2)

Από την υπόθεση δ=75 , που αντιστοιχεί στο 50% = 0,5 των παρατηρήσεων, επμένως , f1+f2+(f3)/2 = (f3)/2 + f4 =0,5 , (3)

Λύνω το σύστημα των τριών εξισώσεων (1),(2),(3) και έχω

f1=0,1

f2=0,3

f3=0,2

f4=0,4

Επομένως ο πίνακας σχετικών συχνοτήτων έχει ως εξής

Κλάσεις Κεντρικές τιμές Σχετικές συχνότητες [50,60] 55 0,1 [60,70] 65 0,3 [70,80] 75 0,2 [80,90] 85 0,4 Σύνολο




4


4

Γ.3 31 2

1 2 31 1 2 2 3 3

31 21 2 3

νν νx x xx ν x ν x ν 55.0,1 65.0,3 75.0,2 200ν ν νx νν νν ν ν 0,1 0,3 0,2 3ν ν ν

+ ++ + + +′ = = = =+ + + ++ +

Γ.4 Για την κανονική κατανομή γνωρίζω ότι

i) το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα

( )x s,x s− +

ii) το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα

( )x 2s,x 2s− +

iii) το 99,7% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα

( )x 3s,x 3s− +

Από την υπόθεση έχω ότι το 2,5% των κ παρατηρήσεων που ακολουθούν κανονική κατανομή είναι τουλάχιστον 74 και το 16% των παρατηρήσεων το πολύ 68




5


5

Επομένως , x 2s 74+ = (1), x s 68− = (2), από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι s=2 και x 70=

Ένα δείγμα είναι οπμοιογενές εάν CV<10%

s 2 1 1CVx 70 35 10

= = = < , επομένως το δείγμα είναι ομοιγενές

Θέμα Δ

Δ1. Έστω η f (x) x ln x k,x 0,k Z,k 1= + > ∈ > και (ε) η εφαπτομένη της Cf στο (1,f(1))

Παραγωγίζω και έχω ( )f (x) x ln x k ln x 1′′ = + = +

Η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο (1,f(1) ) είναι η εξής

y-f(1)=f΄(1)(x-1) (1)

f (1) ln1 1 1′ = + =

f(1)=k

Eπομένως η (1) γίνεται y-k=x-1<->y=x-1+k (ε)

Εύρεση σημείων τομής της εφαπτομένης (ε) με τους άξονες




6


6

Με τον xx΄ : για y=0 , x=1-k , επομένως το σημείο τομής είναι το

Α(1-k,0)

Με τον yy΄ : για x=0 , y=k-1 , επομένως το σημείο τομής είναι το

B(0,k-1)

H (ε) σχηματίζει με τους άξονες εμβαδό Ε

Έχω ( )( ) 21 1 1E OA OB 1 k k 1 k 12 2 2

= = − − = −

Από την υπόθεση γνωρίζω ότι Ε<2

Επομένως 2 21 k 1 2 k 1 4 k 1 2 1 k 3,k Z,k 1

2− < ↔ − < ↔ − < ↔ − < < ∈ >

Από τις παραπάνω ανισωτικές σχέσεις έχω ότι k=2

Eπομένως η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) γίνεται y=x-1+2 <->y=x+1

Δ2 α) Έστω x1,x2,..,x50 οι τετμημένες 50 σημείων της (ε) των οποίων οι αντίστοιχες τεταγμένες έχουν μέση τιμή y 31=

Επειδή τα σημεία Κ(xi,yi) ανήκουν στην ευθεία (ε) ικανοποιούν τη σχέση

yi=xi +1 ,i=1,…,50

Επομένως y x 1 31 x 1 x 30= + ↔ = + ↔ =

β) Κάθε μία από τις τετμημένες x1,x2,..,x20 αυξάνεται κατά3,οι επόμενες 15 παραμένουν σταθερές και κάθε μία από τις υπόλοιπες ελαττώνεται κατά λ R,λ 0∈ >

Η νέα μέση τιμή x′ των τετμημένων είναι ίση με 31

Επομένως

50 50

i ii 1 i 1

x 3.20 15λ x60 15λ 60 15λx 30

50 50 50 50= =

+ −− −′ = = + = +

∑ ∑




7


7

60 15λ 60 15λ 231 30 1 50 60 15λ 10 15λ λ50 50 3− −

= + ↔ = ↔ = − ↔ − = − ↔ =

Δ3 . Δίνεται η σχέση 1 α β γ ee< < < < με α β γ 7α .β .γ e= για να βρώ το

εύρος R των ( ) ( ) ( ) 1f α ,f β ,f e ,fe

′

της ( )f x x ln x 2= +

Αρκεί να βρώ τη μονοτονία της f

Υπολογίζω την παράγωγο της f και έχω ( ) ( )f x x ln x 2 ln x 1′′ = + = +

Βρίσκω σε ποιά σημεία μηδενίζεται η f΄

( ) 1f x 0 ln x 1 0 ln x 1 xe

′ = ↔ + = ↔ = − ↔ =

Σχηματίζω το πίνακα μεταβολών της f

x 0 1/e 1/e + ∞

f΄(x) - + f(x)

Στο διάστημα 1 ,e

+∞

η f είναι αύξουσα επομένως από τη σχέση

1 α β γ ee< < < < προκύπτει ότι ( ) ( ) ( ) ( )1f f α f β f γ f e

e < < < <

(1)

( ) 1f e 2 0e

= − > , 1f 1 1 0e

′ = − + =

, επομένως η σχέση (1) γίνεται




8


8

( ) ( ) ( ) ( )1 1f f f α f β f γ f ee e

′ < < < < <

Άρα το εύρος R ισούται με ( ) 1f e fe

′−

Επομένως ( ) 1R f e f e 2 0 e 2e

′= − = + − = +

Υπολογίζω τη μέση τιμή των ( ) ( ) ( ) ( )1f ,f α ,f β ,f γ ,f ee

′

( ) ( ) ( ) ( )1f f α f β f γ f eα ln α 2 βlnβ 2 γ ln γ 2 e 2ex

5 5

′ + + + + + + + + + + + = =

7ln e 8 e 15 ex5 5+ + +

= =

Δ4.Δίνεται ο δειγματικός χώρος

Ω={tn,n=1,2,3,…,30: 0<t1<t2<t3<…<t10<(1/e)<t11<…<t30=1}

με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και η συνάρτηση f(t)=tlnt+2

Εύρεση του ενδεχομένου ΑA {t Ω : η εφαπτομένη της Cf στο (t,f (t)) σχηματίζει με τον xx΄οξεία γωνία}= ∈

Έστω (ε΄) η εφαπτομένη της Cf στο (t,f (t)) σχηματίζει με τον xx΄οξεία γωνία

Αυτό σημαίνει ότι λε΄ >0 <->f΄(t)>0

ln t 1 ln t 1 1f΄(t) 0 ln t 1 0 ln t 1 e e e te e

−> ↔ + > ↔ > − ↔ > ↔ > ↔ >

Eπομένως Α={t11,t12,t13,…,t30}




9


9

Άρα ( ) ( )( )

N A 20 2P AN Ω 30 3

= = =

Εύρεση του ενδεχομένου Β

( ) ( )Β {t Ω : f t f t 1}′= ∈ > +

( ) ( )f t f t 1 2 t ln t ln t 1 1 t ln t ln t (t 1) ln t 0′> + ↔ + > + + ↔ > ↔ − >

Σχηματίζω το πίνακα τιμών της (t 1) ln t− όπου t Ω∈

0 1=t30 lnt - t-1 -

(t 1) ln t− +

Eπομένως (t 1) ln t 0− > όταν ( )t 0,1∈

Άρα Β={t1,t2,t3,…,t29}

Eπομένως 11 29Α Β {t ,..., t }= και ( ) ( )( )

N Α Β 19P Α ΒN Ω 30

= =




10


10


Απαντήσεις Πανελλαδικές 2013 Μαθηματικά Γενικής...

Documents

Transcript of Απαντήσεις Πανελλαδικές 2013 Μαθηματικά Γενικής...