Θέματα Μηχανική 2012- Πνευματικός

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2011-12

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μάθημα: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητής: Σ. Πνευματικός

Α΄ ΠΡΟΟΔΟΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

23 Νοεμβρίου 2011

Ζητούμενο της εξέτασης είναι να διαφανεί με τεκμηριωμένες απαντήσεις η κριτική ωριμότητα των απόψεών σας. Κατά την εξέταση έχετε τη δυνατότητα να χρησιμοποιήσετε τα βιβλία σας και τις προσωπικές σας σημειώσεις.

Ζητάμε να επεξεργαστείτε κατά τη διάρκεια της εξέτασης τα τέσσερα προτεινόμενα θέματα, αλλά και να μας δώσετε στο επόμενο μάθημα (24.11) την πλήρη και καθαρή σύνταξη όλων των θεμάτων.

Το γραπτό σας και το κείμενο που θα δώσετε την επόμενη μέρα θα αξιολογηθούν μαζί. Βαθμολογικά τα θέματα λογίζονται ισοδύναμα. Διάρκεια εξέτασης: 2:30’ ώρες.

1. Στο ακόλουθο σχήμα, βλέπετε μια χωρική στροφή γωνίας π γύρω από έναν άξονα ο οποίος, στις καρτε-σιανές συντεταγμένες του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου, ορίζεται ως εξής:

x y z .

Συμπληρώστε τα στοιχεία που λείπουν στον πίνακα του γαλιλαϊκού μετασχηματισμού, στον αριθμητικό χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων εφοδιασμένο με την κανονική ευκλείδεια βάση, γνωρίζοντας ότι εμπεριέχει την προηγούμενη χωρική στροφή. Επίσης, πείτε μας ποιες είναι οι παράμετροι της χωρικής μεταφοράς και της αδρανειακής μετατόπισης που εμπεριέχονται σε αυτόν τον γαλιλαϊκό μετασχηματισμό:

1 1

2 2

3 3 .

. . . 1

. . . 1

. . . 1

x x t

x x t

x x t

2. Παρατηρώντας το ακόλουθο σχήμα, μπορείτε να αποφανθείτε αν το σύστημα αναφοράς αυτού που τρέ-

χει κάτω από τη μπάλα είναι αδρανειακό ή όχι σε σχέση με το σύστημα αναφοράς εκείνου που στέκεται ακίνητος στο έδαφος; (Για να απαντήσετε στο ερώτημα χρειάζεται να αποφανθείτε για το αν η ταχύτητα αυτού που τρέχει κάτω από τη μπάλα είναι σταθερή ή όχι, υποθέτοντας ότι η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα.). Αν η μπάλα πετάχτηκε από ύψος 2 μέτρων και μετά 10 δευτερόλεπτα έφτασε στο υψηλότερο σημείο της τροχιάς της η οποία, όπως μας πληροφορούν, έχει στο σημείο αυτό καμπυλότητα κ=1, μπο-ρείτε να συμπεράνετε την αρχική ταχύτητα της βολής της; Ποιο είναι το βεληνεκές της βολής υπό αυτές τις προϋποθέσεις;

3. Δυο ίδιες σημειακές μάζες 1 1m και 2 2m κινούνται στο χώρο διαγράφοντας αντίστοιχα τον ισημε-ρινό και το μεσημβρινό μιας σφαίρας μοναδιαίας ακτίνας επικεντρωμένης στην αρχή του ευκλείδειου χώρου και οι θέσεις τους εντοπίζονται, κάθε χρονική στιγμή, με τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης:

1( ) = cos ,sin ,0r t t t και 2 ( ) = sin ,0,cosr t t t

.

Ποια είναι η τροχιά του αδρανειακού κέντρου του συστήματος των δυο αυτών σημειακών μαζών; Ποια είναι η καμπυλότητα και η στρέψη αυτής της τροχιάς; Ποια είναι η ορμή, η στροφορμή και η κινητική ενέργεια του αδρανειακού κέντρου; Ποια είναι η ορμή, η ιδιοστροφορμή και η κινητική ενέργεια του συστήματος των δυο μαζών; Ποια είναι η σχέση της ορμής, της ιδιοστροφορμής και της κινητικής ενέργειας του συστήματος των δυο

σημειακών μαζών με την ορμή, τη στροφορμή και τη κινητική ενέργεια του αδρανειακού κέντρου; Εξετάστε αν κατά τη διάρκεια της κίνησης των δυο σημειακών μαζών διατηρείται σταθερή η ορμή, η

στροφορμή και η κινητική ενέργεια του συστήματός τους.

4. Στη γέφυρα Ρίου-Αντίρριου, από ύψος 165 μέτρων, αφέθηκε να πέσει κατακόρυφα στη θάλασσα ένα σφαιρικό σώμα μάζας 1000 kg. Ζητάμε να προβλέψετε την απόκλιση της πορείας του από την κατακόρυφο και την κατεύθυνσή της, λαμβάνοντας υπόψη την επίδραση της δύναμης Coriolis. Επίσης, προτείνουμε να υπολογίσετε τις λύσεις των εξισώσεων που διέπουν την κίνηση του εκκρεμούς του Foucault στο Ρίο και τη χρονική διάρκεια μιας πλήρους περιστροφής του επιπέδου της ταλάντωσής του.

Το εκκρεμές του Foucault στην Εστία Επιστημών Πάτρας. Γεωγραφικό πλάτος: Πάτρα 38ο 14΄β., Γεωγραφικό μήκος:Πά τρα 21ο 47΄α.,

Μέτρο γωνιακής ταχύτητας της γης: o 7,292∙ 510 rad/s. www.eduscience.gr



B΄ ΠΡΟΟΔΟΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

11 Ιανουαρίου 2012


Βαθμολογικά τα θέματα λογίζονται ισοδύναμα. Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες.

ΘΕΜΑ Ι.

Σωματίδιο μοναδιαίας μάζας κινείται υπό την επίδραση κεντρικού πεδίου δυνάμεων που ορίζεται από τη συνάρτηση δυναμικού:

2

1U( ) lnr r

r , 0r .

Αν γνωρίζετε ότι το μέτρο της στροφορμής του σωματιδίου είναι Ω=1, σχεδιάστε το γράφημα του ενεργού δυναμικού V(r) και δείξτε ότι υπάρχει ενεργειακή τιμή για την οποία η κίνηση του σωματιδίου είναι κυκλική. Προσδιορίστε την ακτίνα της κυκλικής αυτής τροχιάς και εξετάστε την ευστάθειά της. Προσδιορίστε το είδος της κίνησης που εκτελεί το σωματίδιο: (α) αν έχει ολική ενέργεια Ε = -e-2/4 και αρχική ταχύτητα (0) 0r , (β) αν διέρχεται από το σημείο o o0 ( e, 0)r x y

με ταχύτητα o ov 0 ( 1/ e, 1/ e)x y

. Ποιες ομοιότητες υπάρχουν μεταξύ της κίνησης του σωματιδίου σε αυτό το κεντρικό πεδίο και της κίνησής του στο κεντρικό πεδίο που ορίζεται από τη συνάρτηση δυναμικού του Kepler:

U( ) 1/r r , 0r ;

ΘΕΜΑ ΙΙ.

Ένας αστροναύτης που βρίσκεται έξω από το πεδίο βαρύτητας πετά μια ομογενή ράβδο η οποία κινείται στο διάστημα χωρίς την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων. Υπολογίστε τη στροφορμή της και την κινητική της ενέργεια και αποφανθείτε για το αν διατηρούνται σταθερές κατά τη διάρκεια της κίνησης τεκμηριώνοντας την απάντησή σας. Ποια σχέση πρέπει να πληρούται ώστε η ράβδος να εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση; Προσδιορίστε τον τελεστή αδράνειας της ράβδου και τον πυρήνα του. Το σύστημα των κύριων αδρανειακών αξόνων της ράβδου είναι μονοσήμαντα ορισμένο; Γράψτε τις εξισώσεις Euler στο σύστημα των κύριων αδρανειακών αξόνων. Ποια πληροφορία αντλούμε λύνοντας αυτές τις εξισώσεις; Πώς αξιοποιούμε αυτές τις λύσεις ώστε προβλέψουμε τη θέση και την ταχύτητα κάθε σημείου της ράβδου κατά τη διάρκεια της κίνησής της στο διάστημα; Μπορείτε να κάνετε αυτή την πρόβλεψη και να την καταχωρήσετε σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς;



ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

9 Φεβρουαρίου 2012


Βαθμολογικά τα θέματα λογίζονται ισοδύναμα. Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες. ΘΕΜΑ Ι. Σε ένα κεντρικό πεδίο δυνάμεων τοποθετούμε ένα σωματίδιο μοναδιαίας μάζας σε απόσταση 1or km από το κέντρο του πεδίου με αρχική ταχύτητα μέτρου 100 /ov m sec και διαπιστώνουμε ότι με την πάροδο του χρόνου διαγράφει κυκλική τροχιά. Δίνεται το γράφημα του ενεργού δυναμικού που αντιστοιχεί σε αυτή την κίνηση (Σχ. Ι). Ζητάμε να απαντήσετε στις ακόλουθες ερωτήσεις και να τεκμηριώσετε με σαφήνεια τις απαντήσεις σας: 1. Η ταχύτητα του σωματιδίου κατά τη διάρκεια αυτής της κίνησης έχει σταθερό ή μη σταθερό μέτρο;

Πόσος χρόνος απαιτείται για να κλείσει ο πρώτος κύκλος αυτής της τροχιάς; 2. Ποια είναι η ενέργεια και η στροφορμή του σωματιδίου κατά τη διάρκεια αυτής της κίνησης;

Μπορείτε να συμπεράνετε αν η κυκλική αυτή τροχιά είναι ευσταθής ή ασταθής; 3. Ποια επίπτωση θα έχει στη μορφή της τροχιάς και στην ταχύτητα του σωματιδίου μια μικρή αύξηση

της ενεργειακής του τιμής; 4. Ποια επίπτωση θα έχει στη μορφή της τροχιάς του σωματιδίου ο μηδενισμός της ενεργειακής τιμής;

Τι επίπτωση θα έχει μια μικρή διαταραχή (αύξηση ή μείωση) της μηδενικής ενεργειακής τιμής; 5. Τι περισσότερο μπορείτε να διευκρινίσετε στις προηγούμενες απαντήσεις σας αν γνωρίζατε ότι το κεντρικό πεδίο

δυνάμεων ορίζεται από τη συνάρτηση δυναμικού του Kepler που απορρέει από το νόμο της παγκόσμιας έλξης; ΘΕΜΑ ΙΙ. Ένα διαστημόπλοιο βρίσκεται έξω από το πεδίο βαρύτητας και κάποια στιγμή, από εσφαλμένο χειρισμό, αποκολλάται ένα κωνικό εξάρτημά του το οποίο πλέον κινείται μόνο του χωρίς επίδραση εξωτερικών δυνάμεων στο διάστημα. Το κωνικό αυτό στερεό σώμα είναι συμπαγές ομογενές και η διάμετρος της βάσης του είναι ίση με το ύψος του (Σχ. ΙΙ). Το θεώρημα των Chasles και Euler υποδεικνύει το είδος της κίνησης αυτού του στερεού σώματος και η ανυπαρξία εξωτερικών δυνάμεων διασφαλίζει τις αρχές διατήρησης της στροφορμής και της στροφικής κινητικής ενέργειας. 1. Εντοπίστε το αδρανειακό του κέντρο όπου τοποθετείται το σύστημα των κύριων αδρανειακών αξόνων. 2. Προσδιορίστε τον τελεστή αδράνειας του και γράψτε στην περίπτωση αυτού του στερεού σώματος τις αρχές

διατήρησης της στροφορμής του και της στροφικής κινητικής ενέργειας του κατά τη διάρκεια της κίνησης. 3. Γράψτε τις εξισώσεις Euler του στερεού αυτού σώματος στο σύστημα των κύριων αδρανειακών αξόνων του από τις

οποίες προκύπτει η γωνιακή ταχύτητά του και προσδιορίστε τον τελεστή περιστροφής του. 4. Προσδιορίστε τη θέση στην οποία θα βρίσκεται η κορυφή του κωνικού αυτού στερεού σώματος μια ώρα μετά την

αποκόλλησή του αν γνωρίζετε ότι την αρχική στιγμή της αποκόλλησης η θέση του εντοπιζόταν στο σύστημα των κύριων αδρανειακών αξόνων με τις συντεταγμένες (0,0, 1) .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Σχ. Ι Σχ. ΙΙ

Θέματα Μηχανική 2012- Πνευματικός

Documents

Transcript of Θέματα Μηχανική 2012- Πνευματικός