120 Προβλήματα στη Μηχανική ΙΙ

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Mechanics

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  • ii

    : , ISBN: 978-960-99020-4-5 Copyright: , 2009 :

    [email protected] http://johnchios.webs.com

    :

    Copy Factory 87 210 77 82 394 210 77 17 730

    [email protected] http://www.copyfactory.gr 2010 - . 2121/93.

  • iii

  • iv

  • v

    - . - 17 Isaac Newton Johannes Kepler Tycho Brahe. Lagrange Hamilton. 20 Henri Poin-care, . - . . - , - . 120 . - . - - . - - :

    http://www.cc.uoa.gr/~pji/mech2.

  • vi

  • r

    pr

    E2 > 0

    E2 > 0 E1 < 0 E1 < 0

  • 2

    ................................................................................................3 .....6 ...................................................................13 ..................................................................................22 ................................................................................26 ...............................................................................30 ..................................................................................................31 Lagrangian.............................................................................................35 .............................................................41 .................................................................................44 ..................................46 ............................47 ...........50 ............................................................................54 ............61 .........................................................................67 .................................................71 .................76 .......86 ................................................................................................89 .................................................105 .........................................................................111 ....................................................................................129 ....................................................................................131

  • 3

    (x,y,z) : r xx yy zz 2 2 2 2r x y z : r xx yy zz 2 2 2 2x y z : r xx yy zz (r,,) : r rr 2 2r r : r rr r r sin 2 2 2 2 2 2 2r r r sin

    :

    2 2

    2

    r r r sin r

    2r r r sin cos

    2r 2r sin r sin

    (r,,z) : r rr zz 2 2 2r r z : r rr r zz 2 2 2 2 2r r z : 2 r r r 2r r zz qi . , qi = x,y,z, qi = r,,z.

  • 4

    Lagrangian Lagrangian :

    L T V (1) V . Euler - Lagrange Euler Lagrange :

    i i

    L d L 0q dt q

    (2)

    ii

    Lpq (3)

    ii

    Lpq (4)

    B

    A

    t

    t

    S Ldt (5) Hamilton tA, tB, - (S) .

    df q, tL q,q, t L q,q, tdt

    (6) Lagrangian L q,q, t , Lagrangian L q,q, t .

  • 5

    Lagrangian / , Lagrangian q m , , :

    21L mx q x q2

    (7)

    Lagrangian Hamiltonian Hamiltonian (p,q) :

    i ii

    p q L (8)

    Hamilton i

    i

    Hqp , i i

    Hpq

    (9)

    Poisson Poisson :

    i i i i i

    A B A B,q p p q

    (10) (q,p) :

    dA A,Hdt

    (11) , (q,p,t), :

    dA A A,Hdt t

    (12)

  • 6

    1. . ;

    :

    1 2r r . 2. . ;

    :

    1 2r r .

    1r

    2r

    1r

    2r

    1 2r r

    1r

    2r

  • 7

    3. 1 1 1r x , y 2 2 2r x , y . . ; . 1 2r r .

    1 2 1 2 1 2r r x x y y .

    -, : 1 2r r , 1 2r r , 1 2r , r 1 2r r . 1 2r r 1 2r r .

    1r r1 1r :

    2 21 1 1r x y

    , 2 2

    2 2 2r x y , , :

    1 2 1 2r r r r cos :

    2 2 2 21 2 1 1 2 2

    1 2 1 2 1 2

    r r x y x ycos cos

    r r x x y y

  • 8

    4. 1r 2r , : ) 1 2r 5r ) 1 25r r ) 1 2 1 1 2 2r r r r r r ) 1 2 1 2r r r r ) 21r ) ) ) ) ) , : 22 21 1 1 1 1r r r r r . 5. 1 1 1 1r x , y ,z 2 2 2 2r x , y ,z . . ; - ;

    1 2 1 2 1 2 1 2r r x x y y z z . 1r : 2 2 21 1 1 1r x y z ,

    2 2 22 2 2 2r x y z

    , ,

    1 2 1 2r r r r cos :

    1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2

    1 2 1 1 1 2 2 2

    r r x x y y z zcos cosr r x y z x y z

    , 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2r r x x y y z z

  • 9

    6. , 1r 2r ; :

    1 2 1 2r r r r cos , = /2. , - :

    1 2r r 0

    cos 02 .

    7. , 1r 2r ; , = 0. ,

    1 2 1 2r r r r cos0 1 . 8. , 1r 2r ; , = . -,

    1 2 1 2r r r r cos 1 .

  • 10

    9. 1 1 1 1r x , y ,z 2 2 2 2r x , y ,z ; -

    , ; :

    1 2 1 1 1

    2 2 2

    x y zy z

    x y zr r x

    x, y,z x, y z .

    1 1 1

    2 2 2

    1 1 1 1 1 1

    2 2 2 2 2 2

    1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

    x y zy z

    x y z

    y z x z x y x y z

    y z x z x y x y z z y y x z z x z x y z y

    x

    , :

    1 2 1 2r rr r sin

    n - , -: 1 2 1 2 nr r r r

    1r

    2r

    n

    1 2r r

  • 11

    10. ; 1 2r r , .

    1 2r r 0

    11. ; -.

    ie 1 12. - r ;

    rrr

    13. ; .

    2 2

    1 2 e e 1 1 2 e e 0 14. -; .

  • 12

    15. 1r , 2r 3r , - : ) 1 2r r ) 1 2 3r r r ) 1 1 2r r r ) 1 2 1 3r r r r ) 1 2 3r r r ) 1 2r r . ) 1 2 3r r r , 1r 2 3r r . ) 1 1 2r r r , 1r 1 2r r . ) 1 2 1 3r r r r , 1 2r r 1 3r r ) 1 2 3r r r , 1r 2 3r r . 16. , 1r , 2r 3r . ) 21 2r r ) 1 2 3r r r ) 1 2 1 3r r r r ) 1 2 3r r r )

    1

    1r , ) 1 2

    1r r

    ) 22 22 2 2 2 2r r r r r , 21 2r r . -. ), ) . ) , , -, 1 2 3r r r , . 1 2 3 1 2 3r r r r r r 1 2r r 3r . ) , . ) , .

  • 13

    17. -. r xx yy x, y x, y t, : ) ; ) , ) , ) ; ) , , t; ) , , t; ) r ; ) ; , :

    r xx yy x y (x = x(t), y = y(t)). ) - :

    2 2r r x y

    ) :

    r xx yy

    (dot) . , r dr / dt . ) :

    2 2x y

  • 14

    :

    2 2 2x y

    ) :

    r xx yx ) r r cos

    2 2 2 2

    r xx yycosr x y x y

    ) r r cos

    2 2 2 2

    r xx yycosr x y x y

    ) r :

    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

    r r xx yy x y x y r x y ,r r x y x y x y x y x y

    ) :

    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

    xx yy x y x y x y ,x y x y x y x y x y

    , r , x r x. - .

  • 15

    18. xy r x y. ; -

    x r cos y r sin

    19. ) r xy, - ; ) ;

    ) r xx yy r rr , r,

    . ) :

    r cos x sin y sin x cos y

    O

    y

    x

    r

    x

    y

    r

    r

    O

    y

    x

    r

    x

    y

  • 16

    20. : r r .

    r sin x cos y sin x cos y

    cos x sin y r 21. -. r -: ) , ) ) . ) : r, . , :

    r rr

    :

    r rr rr zz zz rr r

    , :

    2 2 2 2 2r r z

    : 2 r r r 2r r

    1 0

    r rr r r r r r r r r

    0 1

    rr r r r r r

  • 17

    22. , , , .

    - C. -, r , r t . -

    , :

    r xx yy zz x,y,z (x = x(t), y = y(t), z = z(t)). :

    r xx yy zz :

    2 2 2 2x y z

    , :

    r xx yx zz

    y

    r

    x y

    z

    x

    z

    C

  • 18

    23. ) - ; ) ;

    )

    x r cos y r sin

    z z )

    r cos x sin y sin x cos y z z

    O y

    x

    z

    r

    z

    x

    y

    z

    r

  • 19

    24. : r , r , z 0

    r sin x cos y sin x cos y

    cos x sin y r z 0 25. , , , . , :

    r rr zz

    :

    r rr rr zz zz rr r zz

    , :

    2 2 2 2 2r r z

    : 2 r r r 2r r zz

  • 20

    26. ) ; ) ;

    ) -

    x r cos sin y r sin sin z r cos

    )

    r cos sin x sin sin y cos z cos cos x sin cos y sin z sin x cos y

    x

    y

    z

    r P

    r

    A

  • 21

    27. , , , . , :

    r rr

    - .

    r sin sin r cos r cos

    :

    r rr r r sin

    , :

    2 2 2 2 2 2 2r r r sin

    , :

    2 2

    2

    r r r sin r

    2r r r sin cos

    2r 2r sin r sin

  • 22

    28. m - ; :

    21T m2

    22 2 . 29. m - x;

    2 21 1T m mx

    2 2

    30. m - xy, ;

    2 2 21 1T m m x y2 2 xx yy 2 2 2x y . 31. m - ;

    2 2 2 21 1T m m x y z2 2

    xx yy zz 2 2 2 2x y z .

  • 23

    32. m - xy, ;

    2 2 2 21 1T m m r r2 2 r rr r 2 2 2 2r r . 33. m - , ;

    2 2 2 2 21 1T m m r r z2 2 r rr r zz 2 2 2 2 2r r z . 34. m - , ;

    2 2 2 2 2 2 21 1T m m r r r sin2 2 r rr r r sin 2 2 2 2 2 2 2r r r sin . 35. m - R, xy; , :

    2 2 2 21 1T m m r r2 2

  • 24

    r = R, r 0 . , - :

    2 2 21 1T m mR2 2

    36. m - R ; , (-) , :

    ddt

    ,

    2 2 21 1T m mR2 2

    37. m - xy; .

    2 2 2 2 2 2 21 1 1T m m r r m r r2 2 2 , , .

    R

  • 25

    38. m - R; . , - :

    2 2 2 2 2 2 21 1T m m r r r sin2 2

    , r = R. , :

    2 2 2 2 2 21 1T m m R R sin2 2

    , , , . :

    2 2 2 2x y z R

    , :

    2222 2 2

    xx yy2xx 2yy 2zz 0 xx yy zz 0 zz

    xx yyxx yyzz R x y

    , :

    22 2 2 2 2 2 2 2 2xx yy1 1 1T m m x y z m x y2 2 2 R x y

  • 26

    39. m1 m2 , ; 1 1 1 1r x , y ,z m1 2 2 2 2r x , y ,z m2, :

    2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 21 1 1 1T m m m x y z m x y z2 2 2 2 40. N ; mi i i i i ir x , y ,z - , :

    N N2 2 2 2i i i i i ii 1 i 1

    1 1T m m x y z2 2

    41. m z ;

    V mgz ,

    V mgz

    42. - g;

    N

    i ii 1

    V m gz

  • 27

    43. - k - .

    x - , x . , :

    21V k x2

    44. - k .

    x , :

    21V kx2

    , - .

    F

    x

    km

    F

    x

    km

  • 28

    45. m1 m2 .

    , - ;

    x1 x2 ( x1 > x2 >0), - x1, x1 x2, x2. , :

    22 21 1 2 1 2 3 21 1 1V k x k x x k x2 2 2

    46. m1 m2 .

    , - ;

    x1 x2 ( x1 > x2 > 0), - x1 x1 x2. , :

    221 1 2 1 21 1V k x k x x2 2

    m1 m2k1 k2

    x1 x2

    m1 m2k1 k2 k3

    x1 x2

  • 29

    47. - , 3 2 - , 2 . - - m1 m2 - k, . , - ;

    21 21V k x x2

    48. m1, m2 m3 - , . , -;

    S1 = R1, S2 = R2 S3 = R3 ( S1 > S2 > S3 > 0), - S1 S2, S2 S3 - S1 S3. i - -. :

    2 2 22 2 21 1 2 2 2 3 3 1 31 1 1V k R k R k R2 2 2

    m1

    m2

    k2

    k3

    m3

    R

    k1

    1

    23

    m1

    m2

    k2

    k3

    m3

    R

    k1

    m1 m2k

    x1 x2

  • 30

    49. .

    , . . , m :

    F mr , , .

    50. ;

    1 2, . , , 2 - . 1 ( ) . , - - , .

  • 31

    51. ; 2 . 52. ;

    3 (2 ) - , - . , ( ) . 53. -;

    2 . (.. , - Coriollis ...) - .

    54. Lagrangian - ;

    Lagrangian - :

    L T V .

  • 32

    55. ; ; .

    qi . :

    ii

    dqqdt

    i - .

    1 2 3q x,q y,q z

    1 2 3q r,q ,q ...

    56. ; - .

    57. ;

    - .. x,y,z., .

    58. ; , - .

  • 33

    59. ; .

    60. R;

    ( -) . - 2 2 2 2x y z R r = R. , - 3 1 = 2. , , .

    61. - x ;

    , . , , , x1 x2 = , x1, x2 - .

    62. ; () , , , - . -.

  • 34

    63. R;

    - 2 2 2 2x y z R r < R. -. , 3.

    64. m V;

    3 , 3 - . , - , .

  • 35

    LLaaggrraannggiiaann 65. Lagrangian x. ; , V = 0. x. , Lagrangian :

    2 21 1L T V m mx2 2

    , Lagrangian x.

    66. Lagrangian m . ; ) z , Lagrangian :

    2 21 1L T V m mgz mz mgz2 2

    . 67. Lagrangian m - k. ; ) x ,

    21V kx2

    Lagrangian :

    2 2 2 21 1 1 1L T V m kx mx kx2 2 2 2

    (1 )

    F

    x

    km

  • 36

    68. Lagrangian m . ; . Lagrangian - :

    2 2 2 21 1L T V m mgz m x y z mgz2 2 . 69. Lagrangian . -; Lagrangian :

    2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 21 1 1 1L T T m m m x y z m x y z2 2 2 2 , . 70. Lagrangian -, m , - i jV V r r .

    N N N2i i i ji 1 i 1 j 1,

    i j

    1 1L m r V r r2 2

    22i ir r . - , - i,j .

  • 37

    71. Lagrangian m R. ;

    . Lagrangian :

    2 2 2 2 2 2 21 1L T V m m r r r sin2 2

    , - r r = R, r R 0 ( ). , Lagrangian :

    2 2 2 2 2 2

    2 2 2 2 2

    2 2 2 2

    1L m R R R sin21 m R R sin21 mR sin2

    . , , , . , Lagrangian - : . , .

    Ry

    x

    z

  • 38

    72. Lagrangian m R. - ; - . Lagrangian :

    2 2 2 2 21 1L T V m m r r z2 2

    r r = R, r R 0 , Lagrangian :

    2 2 2 2

    2 2 2

    1L m R R z21 m R z2

    , - . , , -, . , Lagrangian - : z z .

    R

    y

    x

    z

  • 39

    73. Lagrangian m R . ;

    . - . Lagrangian :

    2 2 2 2 2 2 21 1L T V m mgz m r r r sin mgR cos2 2

    r r = R, r R 0 , Lagrangian :

    2 2 2 2 2 2

    2 2 2 2 2

    2 2 2 2

    1L m R R R sin mgR cos21 m R R sin mgR cos21 mR sin mgR cos2

    .

    R y

    x

    z

    g

  • 40

    74. Lagrangian m R - . .

    Lagrangian :

    2 2 2 2 21 1L T V m mgz m r r z mgz2 2 r r = R, r R 0 , Lagrangian :

    2 2 2 2

    2 2 2

    1L m R R z mgz21 m R z mgz2

    .

    R

    y

    x

    z

    g

  • 41

    75. m m. , - , . ) Lagrangian. ) ;

    1x r cos 1x r cos r sin 2 2 2 2 2 21x r cos r sin 2rr cos sin

    1y r sin 1y r sin r cos 2 2 2 2 2 21y r sin r cos 2rr cos sin

    2 2 2 2 21 1x y r r

    :

    2 2 2 2 2 21 1 1 11 1 1T m m x y m r r2 2 2 :

    22 2 21 2 21 1 1 d 1T m mz m r mr2 2 2 dt 2

    : 2 2V mgz mg r

    ) Lagrangian : 2 2 21 2 2 1L T T V m 2r r mg r2

    ) 2 .

    z

    yx x

    y

    r

    z2 = r

    g

  • 42

    76. i iL L q ,q , t Lagrangian , - , qi;

    ii

    Lpq

    . , - iq , iq . .

    77. i iL L q ,q , t Lagrangian , - , qi;

    ii

    Lpq

    78. i iL L q ,q , t Lagrangian , - Hamiltonian;

    i i

    ip q L

    , iq , pi. Hamiltonian -.

  • 43

    79. ) i iL L q ,q , t Lagrangian , - Euler Lagrange. ) ;

    ) Euler Lagrange qi, :

    i i

    L d L 0q dt q

    ) Euler Lagrange, , - , , S, . Hamilton. Euler Lagrange - .

    80. ; i iL L q ,q , t Lagrangian iq - qi i i iq q q , t , iq qi . Lagrangian , : i iL L q ,q , t Euler Lagrange:

    i i

    L d L 0q dt q

    Euler Lagrange , - .

  • 44

    81. ) Lagrangian - x ; ) ; ) ; ) ; () ) ; ) Hamiltonian . ) V = 0. x. , Lagrangian :

    2 21 1L T V m mx2 2

    , Lagrangian - x.

    &

    i

    i

    Lpq , i i

    Lpq

    qi = x pi = px. ) H : x L 1p m2x mxx 2

    ) : x Lp 0x

    . , - px, , m. ) Euler Lagrange:

    L d L 0x dt x

  • 45

    2L 1 mx 0x x 2

    2L 1 mx mxx x 2

    d L d mx mxdt x dt

    Euler Lagrange, -:

    mx 0 2 . ) x 0 , , :

    xx const

    , :

    o xx t x t

    Lagrangian Hamiltonian

    Hamiltonian : i i

    ip q L

    -.

    ) :

    xx

    pp mx xm

    , -, Hamiltonian :

    2 22 x x x

    x x xp p p1 1p x L p x mx p m

    2 m 2 m 2m

  • 46

    82. ) Lagrangian m - zo z. ) . ) . ) z. Lagrangian :

    2 21 1L T V m mgz mz mgz2 2

    (1 ) ) Euler Lagrange, - . Euler Lagrange z :

    L d L 0z dt z

    2L 1 mz mgz mgz z 2

    2L 1 mz mgz mzz 2z

    d L d mz mzdt dtz

    Euler Lagrange, -:

    mz mg 0 mz mg 2 .

    z

    oz

    tz

    z z0

    d) mz mg z g g d gdt d g dtdt

    , : z z gt

    o

    z t2

    z z z z o zz 0

    dz 1gt gt dz gt dt z z t gtdt 2

    , :

    2o z

    1z z t gt2

  • 47

    83. ) Lagrangian m k -. ) ; ) ; ) ; () ) ; ) Hamiltonian . ) ; ) .

    ) . x , :

    21V kx2

    Lagrangian :

    2 2 2 21 1 1 1L T V m kx mx kx2 2 2 2

    (1 )

    &

    i

    i

    Lpq , i i

    Lpq

    qi = x pi = px ) H : x Lp mxx

    ) : x Lp kxx

    ) Euler Lagrange. Euler Lagrange x :

    L d L 0x dt x

  • 48

    2 2L 1 1mx kx kxx x 2 2

    2L 1 mx mxx x 2

    d L d mx mxdt x dt

    Euler Lagrange, -:

    mx kx 0

    2 -. ) 2 k / m , :

    2x x 0

    : x t cos t Bsin t

    ( = x(0) = (0)/).

    Lagrangian Hamiltonian

    Hamilton : i i

    ip q L

    -.

    ) : x

    xpp mx xm

    , -, Hamiltonian :

    22 2 2x

    x xp1 1 1p x L p x mx kx kx

    2 2 2m 2

  • 49

    Lagrangian ( ), Jacobi Hamiltonian.

    ) Lagrangian , .

    2 2 2 2

    2 2x x x2 2

    p p p1 k xE kx x 1 12m 2 2m 2E 2E2m

    k

    2 2

    2 2

    x y 1

    ) , - .

    x

    px

    2mE

    2mE2E / k 2E / k

    x

    y

    y =

    y = x = x =

  • 50

    84. ) Lagrangian m . ) . ) . ) . Lagrangian :

    2 2 2 21 1L T V m mgz m x y z mgz2 2 (3 ..) ) Euler Lagrange ( ) . Euler Lagrange x :

    L d L 0x dt x

    y : L d L 0y dt y

    z :

    L d L 0z dt z

    L 0x L mxx d L mxdt x

    L 0y L myy d L mydt y

    L mgz

    L mzz d L mzdt z

    Euler Lagrange, :

    mx 0 my 0 mz mg :

    o xx t x t o yy t y t 2o z 1z t z t gt2 xo, yo, zo x, y, z .

  • 51

    85. m R. h . ) Lagrangian. ) ; ) .

    2 h z

    hz2

    H Lagrangian :

    2

    2 2 2 2

    r R2 2 2

    hz 22

    2 2 2

    22 2

    1L T V m mgz2

    1 m r r z mgz21 m R z mgz2

    1 h hm R mg2 2 2

    1 h mghm R2 2 2

    1

    R

    y

    x

    z

    hg

  • 52

    Euler Lagrange :

    L d L 0dt

    2

    2 2L 1 h mgh mghm R2 2 2 2

    2 2

    2 2 2L 1 h mgh hm R m R2 2 2 2

    2 2

    2 2d L d h hm R m Rdt dt 2 2

    , :

    22 h mghm R

    2 2

    22

    gh2

    hR2

    :

    21t t2

    , : 21 t

    2

    2h 1z t2 2

    2

    2gh h/ R2 2

    , -

    .

  • 53

    86. m y = x2 . ) Lagrangian. ) ; ) . ) H Lagrangian :

    2

    2

    2 2

    y x 22 2

    2 2 2 2

    1L T V m mgy2

    1 m x y mgy2

    1 m x 2 xx mg x2

    1 m 1 4 x x mg x2

    ) 1 . ) Euler Lagrange x :

    L d L 0x dt x

    2 2 2 2 2 2L 1 m 1 4 x x mg x 4m xx 2mg xx x 2 2 2 2 2 2 2L 1 m 1 4 x x mg x m 1 4 x x

    x x 2

    2 2 2 2 2 2d L d m 1 4 x x 8m xx m 1 4 x xdt x dt Euler Lagrange, :

    2 2 2 2 2 2

    2 2 2 2

    8m xx m 1 4 x x 4m xx 2mg x 0

    m 1 4 x x 4m xx 2mg x

    x

    y

    O

    g

  • 54

    87. m . k o . , . . ) Lagrangian. ) ; ) .

    x = r o :

    oF kx k r :

    22 o1 1V kx k r2 2

    -, , :

    V mgy mgr cos

    , , :

    or

    or

    y

    x

    r

  • 55

    2o1V k r2

    :

    2 2 2 21 1m m r r2 2

    ) H Lagrangian :

    22 2 2 o1 1L T V m r r mgr cos k r2 2 ) . Euler Lagrange :

    L d L 0r dt r

    L d L 0

    dt

    2 oL mr mgcos k rr

    L mrr

    d L mrdt r

    L mgrsin 2L mr

    2d L 2mrr mrdt

    Euler Lagrange, :

    2 omr mr mgcos k r 2mgrsin 2mrr mr

  • 56

    88. i iL L q ,q , t Lagrangian , L L , , .

    Lagrangian :

    i i i i i i

    L d L L d L L d L0 0 0q dt q q dt q q dt q

    , .

    89. i iL L q ,q , t Lagrangian , L L f , f , - .

    i i i i i i

    L f L fL d L d L d L0 0 0q dt q q dt q q dt q

    90. Lagrangian L q,q, t , Lagrangian df q, tL q,q, t L q,q, t

    dt

    .

    i i i i

    df dfL LL d L d L d Ldt dt0 0 0q dt q q dt q q dt q

    , Ham-ilton.

  • 57

    91. Atwood. R , Lagrange - .

    . m1 :

    2 21 1 1 1 1

    1 1T m m z2 2

    m2 :

    2 22 2 2 2 2

    1 1T m m z2 2

    m1 : 1 1 1V m gz . m2 : 2 2 2V m gz . , Lagrangian :

    2 21 1 2 2 1 1 2 2

    1 1L m z m z m gz m gz2 2

    , Lagrangian - . Atwood, - () . :

    1 2z z R , . z1 :

    R

    m2 m1

    g

    R

    m2 m1

    z1 z2

  • 58

    2 1z R z

    :

    2 1z z

    . , Lagrangian :

    221 1 2 1 1 1 2 1

    21 2 1 1 2 1 2

    1 1L m z m z m gz m g R z2 2

    1 m m z m m gz m g R2

    Lagrangian , - . Euler Lagrange :

    1 1

    L d L 0z dt z

    1 21

    L m m gz

    1 2 11

    L m m zz

    1 2 11

    d L m m zdt z

    Euler Lagrange, :

    1 2 1 2 1m m g m m z 1 2

    1 21 2

    m mz g zm m

  • 59

    92. Lagrangian q m , :

    21L mr q r q2

    B A

    AEt

    c . ; ; r x, y,z r x, y,z . ,

    2 2 2 x y z1L m x y z q x y A z q2

    x,y,z :

    x xLp mx qAx , y y

    Lp my qAy , z z

    Lp mz qAz

    :

    p m qA , , :

    2L 1p mr q r q mr q m qA2r r

    p , , m . qA - B .

  • 60

    L

    r Lagrangian r

    .

    , 2r 2rr 2r

    . , -, :

    L L L L, ,x y zr

    q1,q2,q3, :

    1 2 3

    L L L L, ,q q qr

    , -!

    . - Lp

    r

    m . , .

  • 61

    93. q m x - B Bz . ) - A Bxy . ) Lagrangian. ) ; ) , :

    x y z

    B A Bzx y z0 Bx 0

    Lagrangian

    , Lagrangian q m , - :

    21L mr q r q2

    ) , E 0 0 , :

    r xx

    2 2 21 1 1 L mr q r mx qBxy xx mx2 2 2

    ) 1 .

  • 62

    (A) 20 2007 94. m q = e Lor-entz :

    F kr k e r -. ) Lagrangian :

    1A r B2

    ) Jacobi - m kr r . - B . ) :

    em r B r B r B2 ) , - r B . or , r B t.

    F V V F d

    ) F kr :

    2 21 1V F d k r dr k rdr kr kr2 2

    22 2r r r V 0 0 .

  • 63

    21L mr q r q2

    H Lagrangian :

    2 2

    2 2

    1 1L m e kr2 21 e 1m r B kr2 2 2

    ) Lagrangian , - Jacobi Hamiltonian . , . Lagrangian Hamiltonian

    i i

    ip q L

    :

    L L ep m r B2r

    :

    2 2

    2 2 2

    2 2

    E p Le 1 e 1m r B m r B kr2 2 2 2e 1 e 1m r B m r B kr2 2 2 2

    1 1m kr2 2

  • 64

    - . ( - ), . . 2 2m kr r m kr 2E . ) H Euler Lagrange :

    L d L 0r dt

    2 2

    r B r2

    L 1 e 1m r B krr r 2 2 2

    e 1r krr 2 2

    e kr2

    2 2L 1 e 1m r B kr

    2 2 2em r B2

    d L em Bdt 2

    Euler Lagrange, :

    e em B kr 02 2 m e kr 0 (1)

  • 65

    em r B r B r B2em B r r B r B2

    em r B r B r B2

    em r B r B2

    :

    0

    (1)

    d e em B r B m r B Bdt 2 2

    e em r B B r B m B r B B2 2

    m r B e B r B m B

    m e B r B e kr

    e kr e

    0

    B r B

    k r r B 0

    ) , :

    B

    2

    2

    m e kr 0 m B e B krB 0

    dm B krB 0 m rB krB 0dt

    , t r t B rB . , :

    2 km

    2m k 0 0

  • 66

    :

    t Acos t Bsin t , :

    or 0 r or 0 B r B r 0 0 o0 r 0 B r B

    , :

    o kt cos t r B r B cos tm

  • 67

    (B) 4 2009

    95. m x V(x) Lagrangian:

    22 2L mc 1 V xc

    ( x ) c . ) . )

    V x Fx ) - x(t) . :

    ox

    2o2

    0

    x dx 1 1 x1 x

    2 42 61 1 2 8

    ) ; ) Hamiltonian . ) ;

    Euler Lagrange x :

    L d L 0x dt x

    22 2L dVmc 1 V xx x c dx

    2

    22 22 2 2

    2 2 2 2

    2 2 2

    21cL mcmc 1 V x mc mc

    x c2 1 2 1 1

    c c c

  • 68

    2

    2

    d L dmdt x dt

    1c

    Euler Lagrange, :

    2

    2

    d dVm 0dt dx

    1c

    ) V x Fx , :

    2 2

    2 2

    t

    2 20

    2 2

    02 2 22 2

    2 22 2

    2 22 2

    d Fm F 0 d dtdt m

    1 1c c

    F Fd dt tm m

    1 1c c

    Ft Ft Ft1m c m m c

    Ft Ft Ft1mc m mc

    2 22 Ft

    m

    2

    Ftm

    Ft1mc

  • 69

    ) :

    t Fty Ft

    mcmcFdy dtt mc

    2 20

    0

    0Ftmc

    22 2

    2

    0

    2 42

    22

    Ftyc mcmx t t dt dt dx

    F1 yFt1mc

    mc y mc Ftdx 1 1F F mc1 y

    mc 1 Ft 1 Ft1 1F 2 mc 8 mc

    mc 1 Ft 1 FtF 2 mc 8 mc

    4

    2 2 3 4

    3 2

    mc Ft F tF 2m 8m c

    , Lagrangian :

    21L T V mx Fx2

    Euler Lagrange, :

    mx F , , -, :

    221 F Ftx t t2 m 2m

    , 3 4

    3 2

    F t8m c

    .

  • 70

    ) :

    2

    2

    L mpx

    1c

    H :

    2 2 2

    pcm c p

    ,

    2

    2

    m1c p

    Lagrangian Hamiltonian

    Hamiltonian : i i

    ip q L

    -.

    22

    2

    2 4 2 2

    p L

    p mc 1 V xc

    m c p c V x

    Lagrangian , - Jacobi Hamiltonian -. ,

    2 4 2 2E m c p c V x

  • 71

    (A) 27 2008

    96. m1 m2 - 1x 2x - ( ):

    1 2

    kVx x

    . 1 2k Gm m . ) Lagrangian . ) 1x 2x 1 2x x x 1 1 2 2

    1 2

    m x m xXm m

    .

    Lagrangian . ) Hamiltonian ; ) ; . ) Lagrangian :

    2 21 1 2 2

    1 2

    1 1 kL m x m x2 2 x x

    1 1 1 1x x , y ,z 2 2 2 2x x , y ,z . ) : 1 2x x x (1) :

    1 2

    1 1 1m m

    : 1 1 2 21 2

    m x m xXm m

    (2)

    : 1 2M m m :

    1 2 1 2

    1 2

    m m m mm m M

  • 72

    (1) (2) 1 2x ,x x,X .

    2 1

    (1)x x x

    1 1 2 2 1 1 2 2 1 21 2

    1 2

    1 2 1 2 21 1 1

    1 2 2 21 1

    m x m x m x m x m mX x xm m M M M

    m m m m mx x x x xM M M M M

    m m m mx x x xM M M

    21

    mx X xM

    (1), :

    1 2x x x 2 2

    2 1

    2 2 1 2

    m mx x x X x x X 1 xM M

    m M m m mX x X xM M

    12

    mx X xM

    ,

    21 2 1

    1 1 2 21

    21 2

    mx x x x X xMm x m xX mx X xm mM

    :

    2

    1mx X xM

    2

    2 2 22 21 2

    m mx X 2 xX xM M

    1

    2mx X xM

    2

    2 2 21 12 2

    m mx X 2 xX xM M

  • 73

    :

    1 2

    k kVx x x

    Lagrangian :

    2 21 1 2 2

    1 2

    1 1 kL m x m x2 2 x x

    2 22 2 2 22 2 1 1

    1 22 2

    m m m m1 1 km X 2 xX x m X 2 xX x2 M M 2 M x

    LM

    2 22 2 2 22 2 1 1

    1 1 1 2 2 22 2

    m m m m1 1 1 1 1 1 km X m 2 xX m x m X m 2 xX m x2 2 M 2 M 2 2 2 M x

    LM

    2 22 21 2 2 1 1 2 2 11 2 2 2m m m m m m m m1 1 km m X xX xX x2 M M 2 M M xL

    2 22 21 2 2 1 1 2 2 11 2 2 2m m m m m m m m1 1 km m X xX xX x2 M M 2 M M xL

    2 21 1 kMX x2 x

    L2

    , 2 2 2 2 1 2 2 11 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2

    2 2 2 2 2

    m m m mm m m m m m m m m m M m mM M M M M M

    Lagrangian La-grangians. H :

    2CM

    1L MX2

    2relative

    1 kL x2 x

    .

  • 74

    : LP MXX

    :

    Lp xx

    Lagrangian Hamiltonian

    Hamiltonian : i i

    ip q L

    2 2

    i ii

    P p P pp q P X p x P pM M

    :

    2 2 2 22 2

    2 2 2 2 2 2

    P p P p 1 1 kL MX xM M 2 2 x

    P p P p k P p kM 2M x 2M 2 x

    , Hamiltonian :

    2 2P p k2M 2 x

  • 75

    Hamiltonian Ham-iltonians. :

    2

    CMP2M

    : 2

    relativep k2 x

    , Hamiltonian, : i

    i

    Hpq

    :

    HP 0X

    . Hamiltonian x r . -. x r, , , :

    r 2

    H H kpr x x

    , Hp 0 ,

    Hp 0

    , - , ( ).

  • 76

    () 27 2008 97. m e - x A : B A . x,y,z. . ) Lagrangian . ) Hamiltonian . ) Poisson:

    x y zx,p , y,p , z,p px, py, pz , - x,y,z . ) Poisson:

    x x x yx,A , x,m , m ,m ) - x y zA By, A A 0 B ( - z) x(t), y(t), z(t) x(0) = y(0) = z(0) = 0 x(0) = 1, y(0) = 0, z(0) = 0.

    Lagrangian

    , Lagrangian q m , - :

    21L mr q r q2

    ) , = 0, q = e, :

    21L mr e r2

  • 77

    : Lp mr er

    mr .

    Lagrangian Hamiltonian

    Hamiltonian : i i

    ip q L

    ) : p mr e mr p e

    p erm (1)

    i ii

    p ep q p r pm

    (1)2

    i ii

    p e 1p q L p mr e rm 2

    2p e 1 p e p ep m e

    m 2 m m

    2p e 1 p ep e mm 2 m

    2 2p e p e1m 2 m

    2p e2m

  • 78

    Poisson

    i i i i i

    A B A B,q p p q

    x x x x x xxx x y y z z

    1 0 0 00 0

    p p p p p px x x x x xx,p 1x p p x y p p y z p p z

    , : yy,p 1 , zz,p 1 ) x x x x x xx

    x x y y z z

    0 0 0 00 0

    A A A A A Ax x x x x xx,A 0x p p x y p p y z p p z

    x x x x xx,m x,mx x,p e x,p e x, 1 0 1 y x x x y ym ,m mx,my p e ,p e

    2x y x y x y x yp ,p e , e p , e A ,p y x0 0 e e

    x y

    yx zze e A eBy x

    y xe ex x

  • 79

    ) xyzA ByA 02 22 2 A 0y yx x z zp e p ep e p eH

    2m 2m 2m 2m

    2 2 2yx zpp eBy pH2m 2m 2m

    Hamilton

    i

    i

    Hqp , i i

    Hpq

    x

    x

    p eByHxp m

    (2) xHp 0x

    (5) y

    y

    pHyp m (3)

    xy

    p eByHp eBy m

    (6)

    z

    z

    pHzp m (4) z

    Hp 0z

    (7) (5) x x,op t const p (7) y y,op t const p (2) (6), :

    ypxeB

    ydpdx 1dt eB dt

    y1dx dpeB y

    y,o

    pxy y,o

    y0 p

    p p1dx dp xeB eB

    y y,op t px t

    eB (8)

  • 80

    (2), : xp eByx

    m

    (3) (8)yx y y,02 2pp eBy eB eB eB eBx y p eBx pm m m m m m 2

    y,02

    eB eBx x pm m

    2

    y y2

    eB eBx x m 0 eA 0m m

    2eBx x 0

    m

    2x x 0 H : x t Acos t Bsin t eB

    m . :

    m eBx t cos teB m

    , (3)

    ypym

    (6)y x2p eBy p eBym m

    2

    x2

    eB eBy y pm m

    2 x x2eB eBy y m 0 eA 0m m 2

    2

    eB eBy ym m

    , :

    m eBy t 1 cos teB m

    2 2

    2 m mx yeB eB

    , (x,y) (0, m/eB) R = m/eB.

  • 81

    98. - ;

    B

    A

    t

    t

    S Ldt

    99. Hamilton. ; tA, - tB, , (S) , :

    S 0

    Hamilton - .

    100. , tA t, - .

    B

    B

    AA

    tt2

    t t

    1S Ldt m dt2

    101. , tA t, - .

    B B B

    B

    AA A A

    t t tt

    2 2 2

    tt t t

    1 1 1S Ldt m mgz dt mz mgz dt mz mgz dt2 2 2

    x

    y

    z

  • 82

    102. Taylor f(x) - xo.

    2o oo o of x f xf x f x x x x x ...1! 2!

    103. Taylor f(x,y) - (xo,yo).

    o o o o

    o o o ox ,y x ,y

    f x, y f x, yf x f x , y x x y y ...

    x y

    104. L x,x, t x,x, t .

    x,x,t x,x,t

    L x,x, t L x,x, tL x, x, t L x, x, t x x x x ...

    x x

    105. : x t x t t

  • 83

    106. Lagrangian L x,x, t , Hamilton .

    - x(t), . :

    BA

    t

    t

    S L x,x, t dt x t

    x t x t t

  • 84

    : B

    A

    t

    t

    L d LS S dtx dt x

    , S = S S 0 , :

    B

    A

    t

    t

    L d L dt 0x dt x

    L d L 0x dt x

    Hamilton Euler La-grange. qi :

    i i

    L d L 0q dt q

    107. ; . ,

    21L mx2

    Euler Lagrange, mx 0 , .

  • 85

    108. t = 0 x = 0 1 . t L . , - 2 - . ) - 0 t ,L. ) - : t T / 2 .

    :

    t T t T2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 t

    0 t0 t

    2 2

    2 2

    22

    2 22

    1 1 1 1 1 1S m dt m dt m dt m dt m t m T t2 2 2 2 2 2

    1 L 0 1 0 Lm t m T t2 t 0 2 T t

    1 L 1 Lm t m T t2 t 2 T t

    1 L 1 L 1 1 1m m mL2 t 2 T t 2 t T t

    ) , :

    2tS 10 0

    t t T t

    Tt2

    1 = 2, .

    t

    x(t)

    T/2

    L

    T

  • 86

    () 26 2008

    109. m R. . ) t = 0 . Lagrangian ( ). ) -

    t t t z t z t

    , zo . (0), (), (0) , () = 0. ; ) , - . ) - ; - .

    rr r zz 2 2 2 2 2r r z

    B

    A

    t

    t

    S Ldt ) Lagrangian :

    2 2 2 2 21 1L T V m m r r z2 2

  • 87

    , - . - . , r R ( r R 0 ), Lagran-gian :

    2 2 21L m R z2 : T T 2 2 2

    0 0

    1S Ldt m R z dt2

    ) t t t , z t z t 0

    0 0 t t 0 0 2k

    T T 2k T T 2k T T 2k T 0 , 2k

    T k 0, 1, 2,...

    z 0 z z 0 z 0 0 z z

    z z 0 ) t t t z t z t z

    :

    TT 22 2 2 2 20 0

    1 1S m R z dt m R dt2 2

    T 2 2 2 2

    0

    1 m R 2 d2

    S t

  • 88

    T 2 2 2 2 2 20

    1 m R R 2 dt2

    S R T T2 2 2 2 2 2

    0 0

    1 1 1mR T m R 2 dt m R dt2 2 2

    S TT2 2 2 2 2 20

    0

    S 1 1mR T mR t m R dt2 2

    T2 2 2 2 2

    0

    1 1mR T m RS dt2 2

    . - , (t) = (t) = (0) = (0) = 0, :

    t t z t z ) :

    2k 2T2 2 2

    min1 2 mRS mR T k2

    k 2k

    T , z = zo

    .

  • 89

    --

    () 27 2008 110. Lagrangian: 2 2 2mL r r2 . 1. . Lagrangian , , :

    2 2 21L m r r2 Lagrangian , - , . , . m .

    2. ,

    2 2 2r r Lagrangian 2 2 2r r ; Euler La-grange, :

    L d L 0r dt r

    2m r mr 0 2r r 0 (1)

    , dA 0dt

    , :

    (1)2 2 2 2 2d r r 2r r 2 rr 2r r r 0dt

    , 2 2 2r r .

    (1)2 2 2 2 2 2 2 2d r r 2r r 2 rr 2r r r 2r r r 4 r rdt

  • 90

    3. m Lagrangian, - ; Euler Lagrange, - . :

    2 2 21L r r2 L d L 0r dt r

    2r r 0 2r r 0

    Lagrangian , - . , .

    4. Lagrangian

    2mL r r2

    .

    2mL r r2

    Euler Lagrange :

    L d L 0r dt r

    , 2 2L m r r m r r m r m r

    r r 2

    2L m r r m r rr r 2

  • 91

    d L d m r r mr m rdt r dt

    ,

    L d L 0r dt r

    2m r m r mr m r 0

    2m r mr 0 2r r 0 2r r 0 ( 1) , Lagrangian .

    df q, tL q,q, t L q,q, tdt

    Lagrangian L q,q, t - -, Lagrangian L q,q, t .

    Lagrangian :

    2 2 21L m r r2 Lagrangian :

    2 2 2 2 2 2 2m m m mL r r r 2r r r r r 2r r2 2 2 2 2 2m m d d mL 2rr L r L r

    2 2 dt dt 2L

    , Lagrangian, m rr , - 2d m r

    dt 2 , -

    .

  • 92

    Lagrangian . 5. - . :

    L d L 0r dt r

    2m r mr 0 2r r 0

    : 2r LF m rr

    , Fr = 0, r = 0 ( r 0 ).

    6. t = 0 - r = ro, ; (2) . :

    2r r 0 :

    t t1 1r t A e B e :

    r t Asinh t Bcosh t r t A cosh t B sinh t

    , . o o or 0 r Asinh 0 Bcosh 0 r B r r 0 0 A cosh 0 B sinh 0 A=0

    , or t r cosh t , : or t r sinh t ( t = 0, ).

  • 93

    x xe esinh x

    2

    x xe ecosh x

    2

    cosh(x)

    2 2cosh x sinh x 1 2 2sinh x cosh x cosh 2x

    sinh x cosh x cosh x sinh x

    10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

    1000

    800

    600

    400

    200

    200

    400

    600

    800

    1000

    x

    y

    f(x) = sinh (x)

    10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

    1000

    800

    600

    400

    200

    200

    400

    600

    800

    1000

    x

    y

    f(x) = cosh

  • 94

    7. t = 0 - r = ro.

    Hamilton

    B

    A

    t

    t

    S Ldt - tA, - tB, , (S) .

    t = 0 t = T :

    T

    T2 2 2

    00

    mS Ldt r r dt2

    , or t r cosh t 2 2 2or r cosh t or t r sinh t 2 2 2 2or r sinh t

    , :

    T

    2 2 2 2 2 2o o

    0

    mS r sinh t r cosh t dt2

    T2 2 2 2o0

    m r sinh t cosh tS t d2

    (*) T

    2 2o

    0

    m r cosh 2 tdtS2

    T

    2 2o

    0

    m sinh 2 tr dt2 2

    S

    2 2om r sinS h 2 T4

  • 95

    8. , -; ( ) - . , . or t r cosh t . :

    r t r t t r t r t t 0 0 . - , . Lagrangian :

    2 2 21L m r r2 Lagrangian :

    2 22 2 2 2m mL r r r r2 2 2 2 2 2 2m r 2r r 2r2 2 2 2 2 2 2m mr r 2r 2r2 2 2 2 2 2 2 2 2m m mr r 2r 2r2 2 2 2 2 2 2o om mL 2 r sinh t 2r cosh t2 2

  • 96

    , : T T 2 2 2o

    0 0

    mS S mr sinh t cosh t dt dt2

    T T 2 2 2o

    0 0

    mS mr sinh t dt dt2

    S T 0 0T 2 2 2o 0

    0

    mS mr sinh t dt2

    S

    T 2 2 2

    0

    0

    mS dS t2

    , S S . = 0, - .

    9. Hamiltonian Lagrangian . :

    2 2 2r L 1p m r r mrr r 2 rpr

    m

    , Hamiltonian : 2 2 2i i r r

    i

    1p q L p r L p r m r r2

    2

    2 2r rr

    p p1p m rm 2 m

    2 2 2 2

    2 2 2 2r r r r2

    22r

    p p p p1 1 1m r m rm 2 m m 2 m 21 p m r

    2m

  • 97

    10. Hamilton.

    Hamilton

    i

    i

    Hqp , i i

    Hpq

    22 rrr r

    pH 1r p m rp p 2m m

    22 2r rH 1p p m r m rr r 2m

    11. . , :

    22r1E p m r2m 2 2 2 2r2mE p m r 2

    2 2r 2m 1p r

    2mE 2mE

    2 2r

    2

    12E2mEm

    p r

    , - . 0 - :

    2 2r

    2

    2m Ep r r m r m r

    2 Em

  • 98

    2 2

    2 2

    x y 1

    2 2

    2 2

    y x 1

    > 0, r, < 0, pr.

    = 0.

    x

    y

    y x y x

    x

    y y x y x

    r

    pr

    E2 > 0

    y 2r E1 < 0

  • 99

    , .. 1 < 0, r = 0.

    12. :

    1Q p m r2m

    , 1P p m r

    2m

    (r,p Hamiltonian).

    Hamiltonian -. , :

    Q,P q,pA, B A, B

    i i i i i

    A B A B,q p p q

    Q,P Q P Q PQ,P 1Q P P Q

    r,p

    r,p

    r

    r,

    ,p

    p

    Q P Q PQ,Pr p p r

    1 1p m r p m rr p2m 2m

    1 1p m r p m rp r2m 2m

    m 1 1 m2m 2m 2m 2m

    m m 12m 2m

    Q,P

    Q,P

    Q,P

    , , (Q,P) .

  • 100

    13. Hamiltonian Q,P Hamilton .

    1Q p m r2m

    , 1P p m r

    2m

    Hamiltonian :

    22r1 1p m r p m r p m r2m 2m 1 2m P 2m Q PQ

    2m

    Hamilton -

    HQ QP

    dQ dt

    Q toQ Q e

    HP PQ

    dP dtP

    toP P e

  • 101

    14. Lagrangian:

    22 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2mL r r r r r r2 - .

    Lagrangian : ij i j ij i j

    i, j

    1 1L T X X V X X2 2

    T T1 1L X X X X

    2 2 T V

    Tij - - Vij - V.

    Lagrange 2 (2 r1, r2). , - :

    1

    2

    rX

    r

    Lagrangian :

    22 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2

    2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 2 1

    2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 2 1

    mL r r r r r r2

    m r r r r r r r r r r21 1m r r m r r r r r r2 2

    :

    2 21 21T m r r2

  • 102

    :

    11 2212 21

    T

    1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2

    1 1 1 2 2 1 2 2T TT T

    11 2

    2X

    X

    1 1T m r r r r m r 1 r r 0 r r 0 r r 1 r2 21 r m r r 0 r r 0 r r m r2

    rm 01 r rr0 m2

    T

    , :

    11 12

    21 22

    T T m 0 1 0m

    T T 0 m 0 1

    T

    :

    11 12 21 22

    T

    2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 2 1

    2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2 2 1

    2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 1 2 2

    V V V V

    2 2 2

    1 2 2 2 2

    X

    1V m r r r r r r21 m r r r r r r r r2

    1 r m r r m r r m r r m r2

    m m1 r r2 m m

    1

    2

    X

    rr

    V

    , :

    2 2 2 2 2 211 12

    2 2 22 2 221 22

    m mV Vm

    V V m m

    V

  • 103

    , Lagrangian : T T1 1L X X X X

    2 2 T V

    Euler Lagrange L d L 0X dt X , :

    X X 0 V T (1) i tX e , : 2 0 V T (2) , : 2 0 V T

    2 2 22

    2 2 2

    1 0m m 0

    0 1

    2 2 2 2

    2 2 2 2

    00

    0

    2 2 2 2

    2 2 2 2 0

    2 22 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0

    2 2 2 2 22 0 , :

    2 2 2 2 22 2 2 . . ( )

    2 2 , (1), : 2 0 V T

    2 2 2 2

    2 2 2 20

  • 104

    2 1 1 01 1

    0 = = 1, = 1,

    , :

    1

    11

    , ( ) 2 2 22 -:

    2

    11

    (1) : 1i t

    1 1X e

    2i t2 2X e

    15. 2 ;

    V , , 2i - . V -, , 2i , - i te , .

    , 2 2 , , . , 2 2 22 , 2 22 2 22 .

  • 105

    () 26 2008 111. , mi (i = 1,2,,N) . i i. - :

    N 2j 1 jj 1

    kV2

    k 1 1 . Lagrangian :

    2 N2

    j jj 1

    L m V2

    ) i . ) - . ; ) - = 2, m1 = kT2/2 m2 = 2kT2/2, -. ) Lagrangian :

    2 N N 22j j j 1 jj 1 j 1

    kL m2 2

    Euler Lagrange

    i i

    L d L 0q dt q

    qi Euler Lagrange i :

    i i

    L d L 0dt

    (1)

  • 106

    2 N N 22j j j 1 jj 1 j 1i i

    L km2 2

    22 2N Nj 2

    j j j ij i ij j 1ii 1

    m 0 2L m m2 2

    2 2i i i ii

    d L d m mdt dt

    (2) ,

    2 N N 22j j j 1 jj 1 j 1i i

    L km2 2

    N 2j 1 j

    jii 1

    k02

    L

    i [ 3 ]

    N 2 2 2 2 2j 1 j 2 1 3 2 i i 1 i 1 ij 1

    ... ...

    :

    N 2 2 2j 1 j i i 1 i 1 i i i 1 i 1 ij 1i i

    2 2

    :

    i i 1 i 1 i i i 1 i 1 ii

    L k 2 2 k k2

    (3) (2) (3), Euler Lagrange -: 2 i i i i 1 i 1 im k k 0

    2 i i i i 1 i 1 im k k 0 2 i i i 1 i 1 im k 2 0

  • 107

    , , , . , i = 0, :

    i 1 i 1 i2 = 0 , i 1 i 1 i . , , (-). ) , - . , -. , , - . . )

    2

    1 2

    kTm 2

    2 2

    kTm 2 , Lagran-gian :

    2 2 2 22j j j 1 jj 1 j 1

    kL m2 2

    1

    22 22 2

    1 1 2 2 2 1 2 1 2km m

    2 2L

    : 1 1 . , :

    2 2 2 2 22 21 2 2 1 1 22 2kT kT kL 22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 2 1 1 1 1 2 21 kkT 2kT 2 2L 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 21 kkT 2kT 2 2 22L 2

    Lagrange 2 (2 1, 2). , :

    1

    2

  • 108

    Lagrangian : ij i j ij i j

    i, j

    1 1L T X X V X X2 2

    T T1 1L X X X X

    2 2 T V

    V - .

    :

    2 2 2 21 2

    2 21 1 1 2 2 1 2 2

    1 kT 2kT2

    1 kT 0 0 2kT2

    12 21

    11 22

    2 21 1 1 2 2 1 2 2

    1 kT 0 0 2kT2

    , :

    11 12 2

    21 22

    T T 1 0kT

    T T 0 2

    T

    :

    2 21 1 2 2 1 2kV 2 2 22 1 1 1 2 2 1 2 21 2k 2k 2k 2k2

    , :

    11 12

    21 22

    V V 2 2k

    V V 2 2

    V

  • 109

    , Lagrangian : T T1 1L2 2

    T V

    Euler Lagrange L d L 0dt

    , : 0 V T (1)

    i te , : 2 0 V T (2) , : 2 0 V T 2 22 2 1 0k kT 0

    2 2 0 2

    2 2

    2 2

    2 T 20

    2 2 2 T

    2 2 2 22 T 2 2 T 4 0 2 2 2 2 4 44 4 T 2 T 2 T 4 0

    2 2 4 46 T 2 T 0 4 4 2 2T 3 T 0

    2 2 2 2T 1 3 T 0 , :

    1 0 2 3 . 1 0 , (2) : 2 0 V T 0 V 2 2k 02 2

    1 10

    1 1

    0 = , =1 =1

    1

    11

  • 110

    = 0 ( 1i t1 1e ) :

    1 21

    2 2

    c t cc t c

    , :

    1 1 2

    2 2 2

    c t cc t c

    t = 0, 1 = 0 2 = , : 1 1

    2 2

    c tc t

    , , :

    1

    2

    tt

    12

    , ( ) 2 3 , :

    2

    21

    (1) :

    2i t

    2 2e

    3i t

    2

    2e

    1

    1

    2

    32 cos t

    3cos t

  • 111

    () 4 2009

    112. m x y. , :

    2 21V x, y k 4x 2y 2 xy2 ) . ) . ) . ) - ; ; ) , .

    Lagrangian : ij i j ij i j

    i, j

    1 1L T X X V X X2 2

    T T1 1L X X X X

    2 2 T V

    ) H Lagrangian :

    2 2 2 21 1L T V m x y k 4x 2y 2 xy2 2

    Lagrange 2 (2 x, y). , -:

    xX

    y

    : 2 21T m x y

    2

  • 112

    : 1 1T m xx yy m x 1 x x 0 y y 0 x y 1 y

    2 2

    11 2212 21T TT T

    T1 x m x x 0 y y 0 x yL m y2

    , :

    11 12

    21 22

    T T m 0 1 0m

    T T 0 m 0 1

    T

    :

    11 2212 21

    2 2

    V VV V

    1V k 4x 2y 2 xy21 x4kx x ky y kx y2ky21 x 4k x x k y y k x y 2k y2

    , :

    11 12

    21 22

    V V 4k k 4k

    V V k 2k 2

    V

    ( ). - , .

  • 113

    V 10 k 8x 2 y 0 4x y 0x 2 x, y 0,0V 1 2y x 00 k 4y 2 x 0y 2

    , : x, y 0,0 . ) Lagrangian :

    T T1 1L X X X X2 2

    T V

    Euler Lagrange L d L 0X dt X , :

    X X 0 V T (1)

    i tX e , : 2 0 V T (2) :

    2 24 1 00 k m 02 0 1 V T 2

    2

    4k m k0

    k 2k m

    2 2 2 24k m 2k m k 0 2 2

    2m m4 2 0k k

    , 2mxk

    . ,

  • 114

    2 2 2

    2 2

    2

    1,2

    2

    1,2

    2

    1,2

    21,2

    4 x 2 x 0 8 4x 2x x 0

    x 6x 8 0

    6 36 4 8x

    26 36 32 4x

    26 4 4x

    2x 3 1

    - .

    2 21,2 k 3 1m , - (2). 1,2 , (2) :

    21,22

    1,2 21,2

    21,2

    21,2

    1,2

    1,2

    1,2 2

    1,2

    2

    2

    4k m k0 0

    k 2k m

    m4

    k 0m

    2k

    4 x0

    2 x

    4 x 03 1

    2 x 0

    1 1 0

    1 1 0

    V T

    =1, : 1,2 21

    1 1 /

    .

  • 115

    )

    1, 2, - . , :

    1 2 2 1

    2

    21 2

    2 2 2

    2

    11 11 1 1

    1 1 1 1 1 11 1 0

    , .

    , (2) - . -, , , .

    ) 2 2 , , - . ,

    2 2 , - . , , - 2 2 . ) - .

  • 116

    113. M = 2m ( k) - . m - . ) Lagrangian . ) .

    ) . - x , . M : Mr x,0 m : mr x sin , cos . :

    M x,0 m x cos , sin m :

    2 2 2 2m 1T m x cos sin2 :

    21T Mx2

    m

    m

    x

  • 117

    , m :

    mV mgz mg cos

    , :

    2M

    1V kx2

    , Lagrangian :

    2 2 2 2 2 2

    2 2 2 2 2

    1 1 1L T V m x cos sin Mx mg cos kx2 2 2

    1 1 1Mx m x 2 x cos mg cos kx2 2 2

    ) Euler Lagrange. Euler Lagrange :

    x : L d L 0x dt x

    : L d L 0

    dt

    L kxx

    L Mx m x cosx 2d L M m x m cos m sin

    dt x

    L mg xsin mg sin

    2L m m x cos

    2d L m m x cos m x sindt

    Euler Lagrange, :

    2M m x m cos m sin kx 0 (1) 2m m x cos mg sin 0 (2)

    : 2 k3x cos sin x 0

    m (3)

    x gcos sin 0 (4)

  • 118

    114. M = 2m m . k - . - , . g. ) Lagrangian . ) . ) , - .

    ) . - - r, . , - . , - r .

    Mk

    m

    Mk

    m

    r r

  • 119

    m :

    2 2m 1T m r r2

    :

    2 21 d 1T M r Mr2 dt 2

    , m :

    mV mgz mgr cos

    , : 2M 1V k r2

    Lagrangian :

    22 2 21 1 1L T V m r r Mr mgr cos k r2 2 2 ) Euler Lagrange

    r : L d L 0r dt r

    :

    L d L 0dt

    2L mr mgcos k rr

    M 2mL mr Mr 3mr

    r

    d L 3mrdt r

    L mgrsin

    2L mr

    2d L 2mrr mrdt

    Euler Lagrange, :

    23mr mr mgcos k r 0 (1) 22mrr mr mgrsin 0 (2)

  • 120

    :

    2 k3r r gcos r 0m

    (3) 2r r gsin 0 (4)

    ) :

  • 121

    115. Lagrangian:

    2

    4 2

    q 1L2q 2q

    ) Hamiltonian - Hamilton. ) Poisson 1q ,p . ) .

    i

    i

    Lpq

    ) : 4

    L qpq q

    4q q p Lagrangian Hamiltonian

    Hamiltonian : i i

    ip q L

    -.

    Hamiltonian :

    24 2 4

    44 2 2

    q p 1 p q 1pq L p q p2q 2q 2 2q

    Hamilton :

    4Hq pqp

    (1) 2 3

    3

    H 1p 2p qq q

    (2) .

  • 122

    Poisson

    i i i i i

    A B A B,q p p q

    ) 1 11 20

    q p q p 1q ,pq p p q q

    ) (1), :

    4

    (2)4 3 2 3 4 3

    3

    qpq

    2 7 3

    1q pq 4pq q q 2p q q 4pq qq

    qq 2p q q 4pq q q 2 qq

    -:

    2 2 3

    1 u u 2uq q qu u u u

    :

    u u 0 :

    u t Asin t . ,

    1 1q tu Asin t

    , :

    4 44 2 2

    2 2

    q 1p cos t A sin tq A sin t

    cos t sin t

  • 123

    116. m . g. ) Hamiltonian . ) .

    -. ) . - - r . r . :

    x r cos x r cos r sin (1) y r sin y r sin r cos (2)

    :

    (1),(2)2 2 2 2 21 1 1T mx my m r r2 2 2

    ( - y = 0) :

    2 21 1V mgy k r mgrsin k r2 2

    , Lagrangian :

    22 2 21 1L T V m r r mgrsin k r2 2

    : r

    rplp mr r

    r m

    m

    k

    m

    m

    k

    m

    r

  • 124

    22

    plp mrmr

    Hamiltonian :

    r

    2222r r

    r 2 2

    2 22 22r r

    2 2

    222r

    2

    p r p L

    p pp p1 1p p m r mgrsin k rm mr 2 m mr 2

    p pp p1 1mgrsin k rm mr 2 m mr 2

    pp 1mgrsin k r2m 2mr 2

    ) : r

    r

    pHrp m

    2r 3pHp mgsin k rr mr

    2

    pHp mr

    Hp mgr cos

    x,y.

    2 21 1T mx my2 2

    22 21V mgy k x y2

  • 125

    (A) 3 2006 117. m1 m2 .

    k1 = k3 = k k2 = k. ) Lagrangian - . ) -. ) m1 = , ; ) k = 0, -; ) k = 0, ; ) - ,,.

    . - . . x1 x2 ( x1 > x2 >0), x1, x1 x2, x2.

    m1 m2k1 k2 k3

    m1 m2k1 k2 k3

    x1 x2

  • 126

    H Lagrangian :

    22 2 2 21 1 2 2 1 1 2 1 2 3 2

    22 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

    1 1 1 1 1L m x m x k x k x x k x2 2 2 2 21 1 1 1 1m x m x kx k ' x x kx2 2 2 2 2

    . ) Euler Lagrange. Euler Lagrange

    m1 :

    1 1

    L d L 0x dt x

    m2 :

    2 2

    L d L 0x dt x

    1 1 21

    1 2

    L kx k ' x xx

    k k ' x k 'x

    1 11

    L m xx

    1 11

    d L m xdt x

    2 1 22

    1 2

    L kx k ' x xx

    k 'x k k ' x

    2 22

    L m xx

    1 22

    d L m xdt x

    , :

    1 1 1 2m x k k ' x k 'x (1) 1 2 1 2m x k 'x k k ' x (2)

    , , , :

  • 127

    i t1 1x A e

    i t2 2x A e (1),(2) i te , :

    21 1 2

    21 2 2

    k k ' m k 'A 0

    k ' k k ' m A 0

    1, 2. 1, 2 , -. ,

    21

    22

    k k ' m k '0

    k ' k k ' m

    2 2 21 2

    2 2 4 22 1 2

    24 2 21 2 1 2

    2 24 21 2

    1 2 1 2

    k k ' m k k ' m k ' m 0

    k k ' m k k ' m m k ' 0

    m m m m k k ' k ' k k ' 0

    k k ' k 'm m k k ' 0m m m m

    2 1 21 2

    m mm m

    , -:

    2 221 2

    k k ' k 'k k ' 0m m

    ,

    2 2 21,2

    1 2

    k k ' k 'k k ' 1 k k ' 42 2 m m

    2 2 221,2

    1 2

    k k ' k 'k k ' k k '2 2 m m

  • 128

    ) m1 , :

    2

    k k 'm 0

    , m1 k1 . m2 - . ) k , :

    k ' 0

    . ) k , :

    1

    km

    2

    km

    . ) - 21,2 .

  • 129

    118. ) Lagrangian . ) . ) .

    ) - . - m. - 2 2 2x y .

    -. , - . :

    x siny cos

    2 2 2 21 1T m x y m2 2

    - . , () - (). , , . -, :

    V mgy mg cos

    - , V mg mg cos . .

    Lagrangian :

    21L T V m mg cos2

    m

    O

    A

    y

    x

  • 130

    H Euler Lagrange :

    L d L 0dt

    L mg sin

    2L m

    2d L mdt

    , :

    2 gm mg sin 0 sin 0

    ( ).

    ) : 1 sin . :

    2 g

    2g 0 0

    :

    t Acos t Bsin t , , t t 0 , :

    t cos t : 2 2

    g

    .

  • 131

    119. . ) Lagrangian . ) . ) . ) m1 = m2 = m

    1 2 . ) - -.

    ) 2 - 1, 2. m1, :

    1 1 1x sin 1 1 1y cos

    m1 :

    1 1 1 1x cos 1 1 1 1y sin

    m1 : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 11 1 1T m x y m cos sin m2 2 2

    m2, : 2 1 1 2 2x sin sin 2 1 1 2 2y cos cos

    , 2 1 1 1 2 2 2x cos cos 2 1 1 1 2 1 2y sin sin 2 2 2 2 2 2 22 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2x cos cos 2 cos cos 2 2 2 2 2 2 22 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2y sin sin 2 sin sin

    m2 : 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 11 1T m x y m 2 cos2 2

    2

    m1

    1O

    y1

    x1

    2

    m2 x2

    1

  • 132

    , :

    1 1 1 1 1 1V m gy m g cos 2 2 2 2 1 1 2 2V m gy m g cos cos

    , Lagrangian :

    1 2 1 2

    2 2 2 2 2 21 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1

    1 1 1 2 1 1 2 2

    L T T V V1 1m m 2 cos2 2

    m g cos m g cos cos

    ) H Euler Lagrange 1 :

    1 1

    L d L 0dt

    2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 11

    2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1

    L m sin m g sin m g sin

    m sin m m g sin

    2 21 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1

    1

    21 2 1 1 2 1 2 2 2 1

    L m m m cos

    m m m cos

    2

    1 2 1 1 2 1 2 2 2 11

    2 1 2 2 2 1 2 1

    d L m m m cosdt

    m sin

    , 1 :

    2 2

    1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1

    1 2 1 1

    m m m cos m sin

    m m g sin

    (1)

  • 133

    H Euler Lagrange 2 :

    2 2

    L d L 0dt

    2 1 2 1 2 2 1 2 2 22

    L m sin m g sin

    22 2 2 2 1 2 1 2 12

    L m m cos

    2

    2 2 2 2 1 2 1 2 12

    2 1 2 1 2 1 2 1

    d L m m cosdt

    m sin

    , 2 : 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2m m cos m m g sin (2)

    ) , (1) (2) : 21 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1m m m m m g sin (3)

    22 2 2 2 1 2 11 2 2 2m m m g (4)

    2 1cos 1 , 2 1sin 0 , 2 2sin , 1 1sin , 21 0 . ) m1 = m2 = m 1 2 , :

    2 21 2 12m m 2mg (5)

    2 22 11 2m m mg (6)

    m , : 1 2 12 2g (7) 2 11 2g (8)

  • 134

    ) i t1 1e i t2 2e . (7) (8), :

    2 21 2

    2 21 2

    2 g 0

    g 0

    (9)

    1 2 , - .

    2 22 2

    2 g0

    g

    2 4 2 24 g 2g 0 , :

    2 2 2 221,2 2

    4 g 16 g 8 g 2 2 g2

    21 2 2 g , (9) : 2 1A 2A

    - .

    22 2 2 g , (9) : 2 1A 2A

    - .

    2

    m1

    O

    m2

    1

    2

    m1

    O

    m2

    1

  • 135

    (A) 26 2008 120. Hamiltonian m - :

    22 2 2y2 t 2 tx

    pp kx kyH e e2m 2m 2 2

    ) Hamilton. px py - xp yp . x y. ; ) , - x,y px py. ) < = k / m . ) Poisson y xxp yp ,H - y xxp yp , , . ) Hamiltonian :

    22 2 2y2 t 2 tx

    pp kx kyH e e2m 2m 2 2

    Hamilton

    i

    i

    Hqp , i i

    Hpq

    :

    22 2 2y2 t 2 t 2 tx x

    x x

    pp pH kx kyx e e ep p 2m 2m 2 2 m

    (1)

    22 2 2y2 t 2 t 2 tx

    x

    ppH kx kyp e e e kxx x 2m 2m 2 2

    (2)

  • 136

    22 2 2y y2 t 2 t 2 tx

    y y

    p ppH kx kyy e e ep p 2m 2m 2 2 m

    (3)

    22 2 2y2 t 2 t 2 tx

    y

    ppH kx kyp e e e kyy y 2m 2m 2 2

    (4)

    (1) :

    2 tx 2 t

    mxp mxee

    2 t 2 t 2 t 2 t 2 tx d d dp mxe m x e mx e mxe 2 mxedt dt dt (5) (2) (5) :

    2 t2 t 2 t 2 tx

    2 t 2 tx

    p e kxe kx mxe 2 me

    p mxe 2 mxe

    mx kx 2 mx 0 (6) (3) :

    2 ty 2 t

    myp myee

    2 t 2 t 2 t 2 t 2 ty d d dp mye m y e my e mye 2 myedt dt dt (7) (3) (7) :

    2 ty 2 t 2 t 2 t

    2 t 2 ty

    p e kye ky mye 2 mye

    p mye 2 mye

    my ky 2 my 0 (8) (6) (8) x y. ) , x (2):

    2 t2 t x

    xp ep e kx x

    k

    2 t 2 tx xp e p ex 2k k

    (9)

    (1) (9) : 2 t 2 t

    2 t x x xp p e p ee 2m k k

  • 137

    x x xkp p 2 p 0m

    (10) , :

    y y ykp p 2 p 0m

    (11) ) (6):

    mx kx 2 mx 0 2 = k/m, :

    2x 2 x x 0 rtx e , : rtx re , 2 rtx r e . - ert, :

    2 2r 2 r 0 2 2r 2 r 0

    r. : 2 2 2 2 24 4 4 4

    > 0, > , . = 0, = , . < 0, < , . < , :

    1

    2 22 2

    1,2 1

    2 i 4ir i i

    2 2

    , : 1 11 2 1 1i t i tr t r t i t i tt t1 2 1 2 1 1x t A e B e A e B e A e e B e e

    Euler ie cos isin , -:

    t t1 1x t Ae cos t Be sin t , . - :

    tx 1 xx t C e cos t

  • 138

    mx 2 mx kx 0 : tx 1 xx t C e cos t

    txC e . , my 2 my ky 0 , :

    ty 1 yy t C e cos t

    tyC e . , 2x x xp 2 p p 0 :

    tx ox 1 xp t p e cos t toxp e . , 2y y yp 2 p p 0 :

    ty oy 1 xp t p e cos t

    toyp e .

    Poisson &

    Poisson :

    i i i i i

    A B A B,q p p q

    (q,p) - :

    dA A,Hdt

    = (q,p,t), :

    dA A A,Hdt t

  • 139

    )

    y x y x y x

    x x

    y x y xy y

    H Hxp yp ,H xp yp xp ypx p p x

    H Hxp yp xp ypy p p y

    y xy xx y

    H H H Hp y pxp yp xp p

    ,Hx y

    (12) ,

    2 t

    xx

    H e pp m

    2 t

    yy

    H e pp m

    2 tH e kxx

    2 tH e kyy

    , (12) :

    2 t 2 t2 t 2 ty x y x x ye exp yp ,H p p ye kx p p xe ky 0m m

    , .

    x y z

    i j kL r p x y z

    p p p

    z y x z y x i yp zp j zp xp k xp yp x y z iL jL kL

    , y xxp yp .

  • 140

  • 141

    - [1] , -

    , . [2] ,

    , . [3] , , -

    . [4] , , -

    , . [5] , , -

    , . [6] ,

    . [7] , Serway, -

    , . [8] Course of Theoritical Physics, Volume I, L.D. Landau

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    World Scientific [13] Problems and Solutions on Mechanics, Lim Yung

    Kuo, World Scientific. [14] Classical Mechanics, David Morin. Harvard University,

    Massachusetts.

  • 142

  • 143

    Hamiltonian, 42, 48 Lagrangian, 4, 31, 35 Lagrangian , 5, 59 Poisson, 5, 138 , 71 , 4 Hamilton, 4, 81 1 104 , 32

    - , 4 - , 32 - , 4, 42 - , 32

    , 47 , 33 , 13, 16, 17, 19, 21 , 4 81

    , 26

    - , 129 - , 131 - , 54

    , 44 Euler Lagrange, 4, 43 Hamilton, 5 , 10 , 14, 16, 17, 19, 21 , 8 , 104 , 71 , 3 , 46 , 22 , 3 , 4, 91 , 7 Atwood, 57 , 11

  • 144

    , 30 Jacobi, 49 , 32

    - , 11 - , 115

    , 11 , 111

    - , 101 - , 101

    , 112 , 43 , 139 , 71 , 3 , 71 , 67 , 41 , 105

    , 136 , 13, 16, 17, 19, 21 , 84 , 103 , 103 , 5

    0 1 2