- i -

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Θα ήταν µάλλον αρκετά δύσκολο να γίνει µια έστω και σύντοµη εισαγωγή

σε θέµατα που αφορούν την παραγωγή, την ανάλυση και την ανίχνευση του φω-τός. Αιτία είναι τα προαναφερόµενα, αφενός µεν συνδέονται µε µια µακρόχρονη εξελικτική πορεία, αφετέρου στις µέρες µας σχετίζονται µε εκτεταµένους κλάδους της Φυσικής και της τεχνολογίας. Για το λόγο αυτό θα εστιαστούµε εδώ περισσότε-ρο σε θέµατα του άµεσου ενδιαφέροντός µας.

Η παραγωγή γενικά των κάθε είδους ακτινοβολιών που αφορούν αντίστοιχα καθορισµένες περιοχές του ηλεκτροµαγνητικού (Η/Μ) φάσµατος, οφείλεται σε συ-γκεκριµένες πηγές. Η λειτουργία κάθε πηγής στηρίζεται σε καθορισµένες φυσικές αρχές που χαρακτηρίζουν και περιγράφουν την γεννησιουργό αιτία εκποµπής της αντίστοιχης ακτινοβολίας. Αντικείµενο µελέτης µας, ως επί το πλείστον, θα είναι η ορατή περιοχή του Η/Μ φάσµατος εκεί δηλ. όπου περιλαµβάνονται ακτινοβολίες που ανιχνεύονται από το ανθρώπινο µάτι (το φως). Σε µικρότερη έκταση θ’ αναφε-ρόµαστε και στις αµέσως γειτονικές προς αυτή περιοχές που είναι η υπεριώδης (ul-traviolet - UV) και η Υπέρυθρη (Infrared – IR). Σε γενικές γραµµές ένας κοινός λαµπτήρας πυράκτωσης σαν πηγή φωτισµού, παράγει ορατή ακτινοβολία (στην πραγµατικότητα και υπέρυθρη και ελάχιστη υπεριώδη) µε τη βοήθεια του µηχανι-σµού των αποδιεγερµένων ηλεκτρονίων των εξωτερικών στοιβάδων των ατόµων, από τα οποία αποτελείται το φωτοβολόν µεταλλικό νήµα του. Η ενέργεια της διέ-γερσης προέρχεται από µια ηλεκτρική πηγή που τροφοδοτεί µε ρεύµα το λαµπτήρα και οι διεγέρσεις είναι αποτέλεσµα των κρούσεων µεταξύ ατόµων ή πρόσπτωσης ηλεκτρονίων σ’ αυτά. Αντίστοιχα σε µια πηγή εκποµπής υπεριώδους ακτινοβολίας, οι διεγέρσεις και αποδιεγέρσεις των ηλεκτρονίων γίνονται από και προς εσώτερες στοιβάδες των ατόµων ενώ σε µια πηγή υπερύθρου η ακτινοβολία οφείλεται σε ε-νέργεια που προκύπτει κυρίως από δονήσεις και ταλαντώσεις των ατόµων των µο-ριών.

Είναι γνωστό ότι οι ακτινοβολίες (σαν διαταραχές του Η/Μ πεδίου) περι-γράφονται από το µήκος κύµατος (µ.κ.) λ ή τη συχνότητα v, τα οποία συνδέονται µεταξύ τους µέσω της θεµελιώδους εξίσωσης της κυµατικής: υ=λ⋅ v, όπου υ η ταχύ-τητα διάδοσης (ταχύτητα φάσης). Για τις περιοχές που ήδη προαναφέραµε (υπερύ-θρου – ορατού – υπεριώδους), οι συχνότητες βρίσκονται µεταξύ των ορίων 1012-1017Hz (σε µ.κ. περίπου µεταξύ 10-3-10-8m) (βλ. ΠΑΡ/ΜΑ 5 Πίν. Ι). Κάτω από την υπέρυθρη περιοχή εκτείνονται οι περιοχές των κυµάτων Radar, των βραχέων ρα-διοφωνικών κυµάτων (shortwave radio), των κυµάτων FM και TV, των µακρών ραδιοφωνικών κυµάτων (long wave radio) µέχρις τα κύµατα που εκπέµπονται λό-γω ηλεκτρικών διαταραχών(electrical disturbances) (κινήσεις ηλεκτρικών φορτί-

1

- ii -

ων) που αντιστοιχούν σε συχνότητες λίγων Hz. Επίσης πάνω από τα όρια της υπε-ριώδους περιοχής συναντούµε τις ζώνες των ακτίνων –Χ (X – rays), των ακτίνων γ (gamma rays) και των κοσµικών ακτίνων (cosmic rays), που τα όρια των συχνοτή-των τους φθάνουν τα 1024 Hz.

Θα ήταν περιττό µάλλον ν’ αναφερθούµε στο τεράστιο ενδιαφέρον που πα-ρουσιάζει η έρευνα και κατά προέκταση η παραγωγή σε µαζική κλίµακα των δια-φόρων πηγών φωτός. Όλες µας οι φωτιστικές ανάγκες, οικιακές και δηµοσίων χώ-ρων ικανοποιούνται από τη χρησιµοποίηση χιλιάδων ειδών λαµπτήρων πυράκτω-σης, λαµπτήρων φθορισµού ή πιο εξειδικευµένων λυχνιών τόξου µεγάλης ισχύως. Άλλα είδη λυχνιών χρησιµοποιούνται για τη λειτουργία εκατοντάδων οπτικών ορ-γάνων όπως: µικροσκοπίων, φασµατοφωτοµέτρων, προβολέων διαφανειών κ.λ.π. Το µεγάλο όµως άλµα όσον αφορά την παραγωγή µιας «νέας ποιότητας» φωτός, έγινε µε την πρόσφατη σχετικά ανακάλυψη των πηγών Lasers. Ο τρόπος παραγω-γής του, διαφοροποιεί στατιστικά (από τη δεύτερη τάξη και µετά) το φως των La-sers (σύµφωνο φως) από αυτό που προέκυπτε από τις µέχρι τότε γνωστές πηγές φω-τός (φως από θερµικές πηγές). Σε αντιδιαστολή µε το πολυχρωµατικό και µεγάλων αποκλίσεων εκπεµπόµενο φως των θερµικών πηγών (π.χ. ενός λαµπτήρα πυράκτω-σης), το φως των Lasers είναι υψηλής µονοχρωµατικότητας και µεγάλης κατευθυ-ντικότητας. Οι ιδιότητές του αυτές (όπως και άλλες) το καθιστά ικανό για ένα µε-γάλο πλήθος εφαρµογών όπως: Στη βιοτεχνολογία, την ιατρική και ιδιαίτερα στη χειρουργική. Στις εκτυπωτικές διαδικασίες υψηλής ταχύτητας (π.χ. εκτυπωτές Η/Υ (Laser printers), στη συµβολοµετρική µετρολογία (π.χ. υπολογισµοί µικροµετατο-πίσεων, περιστροφών, παραµορφώσεων κ.λ.π.) στην ταχυτητοµετρία (για τη µέ-τρηση της ροής των ρευστών, την απαρίθµηση σωµατιδίων, τη µέτρηση λεπτών υ-µενίων κ.λ.π.). Για βιοµηχανικές χρήσεις, όπως: ευθυγραµµίσεις εκκεντρότητας ερ-γαλιοµηχανών, αξόνων τουρµπινών, την ελεγχόµενη κοπή µετάλλων (Lasers CO2). Επίσης το φαινόµενο της απορρόφησης των δεσµών Lasers χρησιµοποιείται σε πολλές περιπτώσεις προσδιορισµού των επιπέδων της ατµοσφαιρικής ρύπανσης και η διάθλασή τους σε υπολογισµούς δ.δ., οµογένειας, ποσοστού περιεκτικότητας δια-φόρων συστατικών σε µίγµατα καθώς και του ιξώδους διαφόρων παχύρευστων υλι-κών. Μεγάλη είναι η συνεισφορά του φωτός των Lasers για την ανάπτυξη της ολο-γραφίας(holography) (δηλ. της εγγραφής σε διάφορα µέσα και κατόπιν αναπαρα-γωγής, µετώπων κύµατος – τρισδιάστατη απεικόνιση) καθώς και των εφαρµογών της, όπως είναι η ολογραφική συµβολοµετρία. Καθοριστική τέλος είναι η χρήση των Lasers και ειδικότερα, των διοδικών στην οπτοηλεκτρονική τεχνολογία και πιο συγκεκριµένα στις τηλεπικοινωνίες µέσω των οπτικών ινών (Fibers), στις µη-χανές ανάγνωσης κωδικών των προϊόντων κλπ.

Η ανάλυση των ακτινοβολιών παραπέµπει κατ’ ευθείαν στον κλάδο της φα-σµατοσκοπίας (spectroscopy). Με τον όρο ανάλυση εννοούµε τον διαχωρισµό µιας

2

- iii -

σύνθετης ακτινοβολίας στις συνιστώσες της διαφορετικού µ.κ. η καθεµία. Η χωρι-κή παράθεση των επί µέρους συνιστωσών σε συνάρτηση µε την ισχύ και το µ.κ. αποτελεί το λεγόµενο φάσµα (spectrum) της απ’ όπου προέρχεται και η ονοµασία του ερευνητικού αντικειµένου της φασµατοσκοπίας. Ανάλογα µε την αναλυόµενη Η/Μ περιοχή έχουµε και τις φασµατοσκοπίες του ορατού, του υπεριώδους του υπέ-ρυθρου κ.λ.π. Η διαδικασία αυτή συντελείται µε τη βοήθεια ειδικών οργάνων των φασµατοµέτρων (spectrometers) των οποίων η λειτουργία στηρίζεται σε ειδικά ο-πτικά εξαρτήµατα κυρίως πρίσµατα και φράγµατα, τα οποία προκαλούν την ανάλυ-ση των συνθέτων ακτινοβολιών λόγω των φαινοµένων του διασκεδασµού (disper-sion) και της περίθλασης (diffraction) αντίστοιχα. Η φασµατοσκοπία αποτελεί βα-σικό εργαλείο για πολλούς κλάδους της σύγχρονης επιστήµης όπως είναι: Η Α-στρονοµία (π.χ. τα φάσµατα των διαφόρων αστέρων µας δίνουν πληροφορίες για τη στοιχειοµετρική σύσταση των επιφανειών τους ή των ατµοσφαιρών τους. Η Χη-µεία (π.χ. από τα φάσµατα απορρόφησης ενός διαλύµατος µπορούµε να υπολογί-σουµε την περιεκτικότητα µιας ουσίας σ’ αυτό). Η Φυσική Στερεάς Κατάστασης (π.χ. µε βάση την ισχύ των φασµατικών γραµµών διαφορετικών συχνοτήτων σκέ-δασης µιας ακτινοβολίας µπορεί να προσδιοριστεί η εσωτερική δοµή ενός υλικού) ή άλλες παράµετρες. Η Χρωµατοµετρία (colorimetry) (π.χ. µε τη βοήθεια του φά-σµατος εκποµπής µιας πηγής, µπορούµε να προσδιορίσουµε τη «χρωµατικότητά της».

Η µέτρηση της ισχύως των Η/Μ ακτινοβολιών προϋποθέτει την ανίχνευσή τους. Η λήψη ενός ραδιοφωνικού σήµατος ή ενός σήµατος τηλεόρασης µπορεί να γίνει µέσω µιας κατάλληλης κεραίας. Ένας συνήθης ανιχνευτής ακτίνων –γ είναι ο σπινθηριστής ενώ των ακτίνων –Χ ένα φωτογραφικό film. Με τον τρόπο ανίχνευ-σης και µέτρησης των ακτινοβολιών για τις οποίες ενδιαφερόµαστε εδώ περισσότε-ρο (ορατές, υπεριώδεις, υπέρυθρες) ασχολείται η Ραδιοµετρία (Radiometry). Τα αντίστοιχα όργανα Ραδιόµετρα (Radiometers) (οι αισθητήρες τους) στηρίζουν τη λειτουργία τους σε φυσικές αρχές που σχετίζονται µε τις διαδικασίες που προκύ-πτουν από την αλληλεπίδραση ακτινοβολιών και ύλης. Έτσι µιλούµε για θερµικούς ανιχνευτές (µετατροπή της ακτινοβόλου ροής σε θερµότητα), ανιχνευτές φωτοεκ-ποµπής που στηρίζονται στο φωτοηλεκτρικό φαινόµενο (εκποµπή ηλεκτρονίων από υλικά µετά από απορρόφηση ακτινοβολίας), φωτοβολταϊκούς ηµιαγωγικούς ανιχνευτές (φωτοδίοδες), για τους οποίους το αποτέλεσµα της πρόσπτωσης φωτός είναι η παραγωγή φωτορεύµατος κ.λ.π.

Η χρήση των ανιχνευτών στις µέρες µας είναι ευρεία λόγω της στενής τους σχέσης µε τον τοµέα των οπτοηλεκτρονικών καθώς και µε πολλούς άλλους κλά-δους της οπτικής και της φασµατοσκοπίας όπου τους συναντούµε σαν όργανα µέ-τρησης ακτινοβολιών. Ένα κατ’ εξοχήν µοντέρνο σύστηµα ανίχνευσης – απεικόνι-σης αποτελεί η λεγόµενη CCD-Camera για την οποία θα γίνει λόγος στο κεφάλαιο

3

- iv -

των ανιχνευτών. Σύντοµη αναφορά επίσης θα γίνει και για τον κλάδο ανίχνευσης του ορατού φωτός µε την επωνυµία φωτοµετρία(photometry). Εκεί λαµβάνεται υπ’ όψιν ο υποκειµενικός χαρακτήρας της αντίληψης του ανθρώπου όσο αφορά το φως, µε βάση την καµπύλη απόκρισης του µατιού ενός µέσου παρατηρητή για τις διάφο-ρες περιοχές του ορατού φάσµατος. Η φωτοµετρία αποτελεί βάση ανάπτυξης του κλάδου της χρωµατοµετρίας, τοµέα ο οποίος ασχολείται µε τον προσδιορισµό και τη µέτρηση των χρωµάτων.

Από πειραµατική άποψη αρχικά θα ασχοληθούµε µε τη λήψη µέσω φασµα-τόµετρου των φασµάτων εκποµπής (Σχετικών Φασµατικών Κατανοµών Ισχύως) διαφόρων πηγών όπως: φασµατικών λυχνιών (γραµµικά φάσµατα) λαµπτήρων πυ-ράκτωσης (συνεχή φάσµατα) καθώς και πηγών Laser He-Ne και διοδικών Lasers. Με ένα σύγχρονο φασµατοφωτόµετρο UV – VIS το οποίο διαθέτει σαν ανιχνευτή CCD – camera θα προσδιορίσουµε τα φάσµατα διαπερατότητας διαφόρων υλικών (στερεών και υγρών) και θα λάβουµε τη χρονική αλληλουχία φασµάτων ενός υλι-κού το οποίο µεταβάλλει χρονικά τη διαπερατότητά του. Κατόπιν το ενδιαφέρον µας θα εστιαστεί στον πειραµατικό προσδιορισµό µέσω φασµατοσκοπίου των κα-µπυλών διασκεδασµού δηλ. τον καθορισµό των δ.δ. διαφόρων διαφανών υλικών συναρτήσει του µ.κ. και κατ’ ακολουθία τον υπολογισµό των συχνοτήτων όπου τα υλικά αυτά παρουσιάζουν απορρόφηση. Με τη βοήθεια επίσης ειδικού συµβολοµέ-τρου Fabry – Perot θα προσδιορίσουµε τους επιµήκεις τρόπους δόνησης της κοιλό-τητας συντονισµού ενός Laser He-Ne. Τέλος θα συνθέσουµε ένα κύκλωµα πόλω-σης και ενίσχυσης µιας φωτοδιόδου Si(Πυριτίου) και θα βαθµονοµήσουµε την α-πόκριση της µε τη βοήθεια απόλυτου ανιχνευτή.

4

- 1 -

Ανάδειξη φαινοµένων που σχετίζονται µε την παραγωγή την ανάλυση και την ανίχνευση του φωτός Παραγωγή του φωτός ∆εν χρειάζεται να επιχειρήσουµε να πείσουµε τους αναγνώστες για τη ση-

µασία του φωτός και κατά προέκταση των πηγών που το παράγουν. Ούτε είναι δυ-νατόν µέσα σε λίγες σελίδες να περιγράψουµε πως αυτό αποτέλεσε έναν από τους βασικότερους παράγοντες εξέλιξης της ζωής και κατ’ ακολουθία όλου του πολιτι-σµού. Απλά θα κάνουµε µια πολύ σύντοµη ιστορική αναδροµή όσον αφορά την α-νάπτυξη των διαφόρου τύπου πηγών. Η πρώτη από τις πηγές φωτός που µας έρχε-ται στο νου είναι ο ήλιος. Σχεδόν όλοι γνωρίζουν «τον κύκλο της χλωροφύλλης»

(Εικ. 1) ∗

των φυτών και το ρόλο που παίζει γι’ αυτόν το ηλιακό φως. Πάρα πολλοί επίσης γνωρίζουν ότι η κίνηση των ρευµάτων στους ωκεανούς οφείλεται στην απορρόφη-ση θερµότητας από τον ήλιο. Αρκετοί επίσης από εµάς ξέρουν ότι τα µάτια µας έ-χουν τη µέγιστη ευαισθησία τους στην πρασινο-κίτρινη περιοχή του ηλιακού φά-σµατος (λ≅555nm), εκεί όπου εντοπίζεται το µέγιστο της ακτινοβολούµενης ισχύς του. Όλοι τέλος γνωρίζουν ότι η Σελήνη δεν θα µας φώτιζε τη νύχτα αν προηγου-µένως δεν φωτιζόταν η ίδια από τον ήλιο. Μπορούµε λοιπόν να ισχυριστούµε ότι στο παρελθόν οι άνθρωποι έβλεπαν τον ήλιο (αν εξαιρέσουµε τη σελήνη και τα ά-στρα) σαν µοναδική πηγή φωτός και κατά προέκταση πηγή ζωής. Και ναι µεν ο η-

∗ (Εικ. 1α) «Ο θεός ήλιος» χρυσή µάσκα των Ίνκας του Ισηµερινού.

5

- 2 -

λεκτρικός λαµπτήρας του Edison που εφευρέθηκε το 1879 δεν θεοποιήθηκε, ο ή-λιος όµως (Εικ. 1.α) αναγκάσθηκε από πολλού λαούς να φορέσει το «στέµµα» του. Έχουµε υπόψη µας βέβαια ότι ο ίδιος ο ήλιος δεν εκπέµπει µόνο φως (δηλ. στην ορατή περιοχή του Η/Μ φάσµατος) αλλά και στην υπεριώδη και την υπέρυθρη. ∆εν υπολείπεται επίσης εκποµπών στις περιοχές των ακτίνων- Χ, των ραδιοκυµάτων κ.λ.π.

Θα ήταν παράλειψη όµως να περιορίσουµε τα προνόµια εκποµπής φωτός µόνο στον ήλιο αγνοώντας την προσφορά των αστραπών και των κεραυνών (Εικ. 1β). Πρόκειται κατά τα γνωστά για τεράστιας κλίµακας ηλεκτρικές εκκενώσεις µε-ταξύ νεφών ή νεφών και εδάφους, που συνοδεύονται – αν και στιγµιαία – από έντο-να φωτιστικά φαινόµενα. Η πληροφορία ότι η φωτιά (άλλη µια αρχέγονη αλλά τε-χνητή κατόπιν πηγή φωτός), προκαλούνταν συνήθως στα σηµεία που έπεφτε ο κε-ραυνός, ανάγεται στο µακρινό παρελθόν. Η περιοχή κατόπιν που βρισκόταν η εστία (Σχ. 2α), όπου έκαιγε ελεγχόµενα η φωτιά, αποτέλεσε το χώρο της ασφαλούς δια-

(Σχ. 2)

µονής, της επεξεργασίας εργαλείων και της παρασκευής τροφής για τους ανθρώ-πους. Επόµενες εποχές αναδεικνύουν το δαυλό (Σχ. 2β) και ιδίως το λυχνάρι (Σχ. 2γ) σαν πηγές φωτισµού µε µια σχετική διάρκεια και ευκολία στη χρήση και τη µε-ταφορά. Συντηρούνταν από την καύση υλικών όπως το δαδί (ρητινούχο ξύλο από πεύκο) και λάδι αντίστοιχα. Η τροφοδοσία τους δεν ήταν συνεχής – όπως συνέβαι-νε µε τη φωτιά – και εµφάνιζαν µια σχετική σταθερότητα στη φωτιστικότητά τους.

Οι πηγές καύσης χηµικών πρώτων υλών που εµφανίζονται αµέσως µετά, εί-χαν τη δυνατότητα παροχής, σταθερής φωτιστικής ισχύως: Το κερί (Σχ. 3α), που η φλόγα του συντηρούνταν µε την καύση κεριού µέλισσας ή παραφίνης µέσω νήµα-τος στο εσωτερικό του κορµού του. Ήταν αυτό που αποτέλεσε την πρώτη πρότυπη πηγή φωτισµού της φωτοµετρίας. Ο λύχνος ασετυλίνης (Σχ. 3β) που λειτουργούσε µε την καύση αερίου ακετυλενίου. Το αέριο προερχόταν από τη χηµική αντίδραση

6

- 3 -

(Σχ. 3)

στερεού ακετυλενίου κατά την ανάµιξή του µε νερό. Η λάµπα πετρελαίου (Σχ. 3γ) που η φλόγα της συντηρούνταν από την καύση του άκρου χονδρού νήµατος, εµβα-πτισµένου σε καθαρό πετρέλαιο. Η φλόγα προστατεύονταν από διαφανή γυάλινο γλόµπο. Η ισχύς φωτισµού ρυθµιζόταν από το µήκος του νήµατος που ήταν ελεύ-θερο να καίγεται. Περισσότερο τελειοποιηµένες πηγές φωτός ήταν η λυχνία υγραε-ρίου (Σχ. 4α) που λειτουργούσε µε τη καύση µίγµατος Βουτανίου – Προπανίου και

(1) ρύθµιση αέρα (2) είσοδος αέρα (3) ρύθµιση ροής υγραερίου (1) µπέκ (2) εξαερωτήρας (3) γυάλινο περίβληµα (4) είσοδος υγραερίου (5) φωτοβολόν πλέγµα (6) γυάλινο περίβληµα (4) φωτοβολόν πλέγµα (5) ρυθµιστής ροής εξαερωµένου

πετρελαίου (6) συµπιεστής (7) πετρέλαιο

(Σχ. 4) η µεγάλη της φωτιστική απόδοση οφειλόταν στην ερυθροπύρωση εδικών νηµατι-κών πλεγµάτων, εµποτισµένων σε οξείδια µετάλλων σπανίων γαιών (Θορίου – ∆η-µητρίου).Υπήρχαν ειδικά συστήµατα ρύθµισης του καύσιµου µίγµατος αέρα – υ-γραερίου. Με τον ίδιο περίπου τρόπο λειτουργούσε και η νέου τύπου λυχνία πετρε-λαίου (Σχ. 4β) όπου το καύσιµο υλικό ήταν εξαερωµένο πετρέλαιο σε µεγάλη πίε-

7

- 4 -

ση, το οποίο καιγόταν στο εσωτερικό του νηµατικού πλέγµατος, αυξάνοντας κατά πολύ τη θερµοκρασία του. Η αύξηση της θερµοκρασίας καύσης των δύο προηγού-µενων πηγών, οδήγησε στην εκποµπή φωτός µε µεγαλύτερη «λευκότητα» λόγω της µετατόπισης της ισχύως του φάσµατος εκποµπής προς τις µπλε- πράσινες περιοχές του.

Οι σύγχρονες πηγές φωτός εµφανίζονται µετά την ανακάλυψη του ηλεκτρι-σµού. Οι λαµπτήρες πυράκτωσης (Σχ. 5α) εφεύρεση του τέλους του 19ου αιώνα, σε µια µεγάλη ποικιλία µορφών και ισχύων φώτιζαν και φωτίζουν ακόµα και σήµε-ρα. Η λειτουργία τους στηρίζεται στη διέλευση του ηλεκτρικού ρεύµατος από ένα λεπτό δύστηκτο µέταλλο (Βολφράµιο). Στην αντίσταση του νήµατος καταναλώνε-ται ενέργεια µε συνέπεια την ερυθροπύρωση και τη φωτοβολία του. Όλο το σύστη-µα περιβάλλεται από γυάλινο γλόµπο, που περιέχει αδρανές αέριο. Μια άλλη κατη-γορία πηγών φωτός ευρείας χρήσης είναι οι λαµπτήρες φθορισµού (Σχ. 5β). Απο-τελούνται από γυάλινους σωλήνες που περιέχουν αδρανή αέρια και λίγο υδράργυρο (Hg). Τα εσωτερικά τους τοιχώµατα είναι επικαλυµµένα µε φθορίζουσες ουσίες.

(Σχ. 5) Με υψηλή τάση στα άκρα του επέρχεται ιονισµός των ατόµων του εξαχνωµένου Hg τα οποία εκπέµπουν στην υπεριώδη περιοχή. Οι ακτινοβολίες αυτές διεγείρουν τις φθορίζουσες ουσίες των τοιχωµάτων, οι οποίες εκπέµπουν δευτερογενώς στην ορα-τή περιοχή. Η µεγάλη τους φωτιστική απόδοση και η µικρή τους κατανάλωση σε ισχύ, επέτρεψε το φωτισµό εκτεταµένων χώρων. Η µεγαλύτερη όµως των ανακα-λύψεων όσον αφορά την παραγωγή φωτός µιας «άλλης ποιότητας» σχετίζεται µε τις πηγές Laser (Σχ. 5γ). Ιδιότητες όπως η µονοχρωµατικότητα, η κατευθυντικότη-

8

- 5 -

τα, η λαµπρότητα και η συµφωνία, διαφοροποίησαν τις πηγές αυτές από τις µέχρι πριν χρησιµοποιούµενες και έδωσαν όπως ήδη αναφέραµε στην εισαγωγή τη δυνα-τότητα ενός µεγάλου πλήθους εφαρµογών.

Ανάλυση του φωτός Σίγουρα είναι εντυπωσιακό το θέαµα του συνόλου των χρωµάτων που ανα-

δύονται όταν κοιτάζουµε έναν πολυέλαιο. Η εµπειρία είναι κοινή σε όλους σχεδόν και οδηγεί µε βεβαιότητα στο συµπέρασµα ότι το φως του ηλίου ή των άλλων πη-γών που πέφτει επάνω του αποτελείται από τη σύνθεση πολλών «χρωµάτων». Η ανάλυση δηλ. ενός τέτοιου φωτός αναδεικνύει τις συνιστώσες του, που µε τη βοή-θεια του µατιού µας µεταφράζεται σ’ αυτά που ονοµάζονται χρώµατα της ίριδας (colours of the rainbow): κόκκινο, πορτοκαλί, κίτρινο, πράσινο, µπλε και ιώδες.

Σηµείωση Τα χρώµατα της ίριδας στην πραγµατικότητα αποτελούνται από ζώνες µε

µεγάλο αριθµό µήκων κύµατος η καθεµία δηλ. από µεγάλο αριθµό «χρωµάτων» ί-διας χρωµατικότητας. Στον επόµενο πίνακα δίνονται αυτά τα όρια σε µ.κ. και συ-

ΟΡΑΤΟ ΦΩΣ

Χρώµα Μήκος κύµατος στο κενό

(nm) Συχνότητα

(ΤHz) Κόκκινο 780-622 384-482 Πορτοκαλί 622-597 482-503 Κίτρινο 597-577 503-520 Πράσινο 577-492 520-610 Μπλε 492-455 610-659 Ιώδες 455-390 659-769

1nm=10-9m 1 ΤHz=1012Hz

(Πιν. 6)

χνότητες.Τέτοιου είδους φαινόµενα είναι δυνατόν επίσης να παρατηρηθούν στιγ-µιαία σ’ ένα σχετικά ρηχό πυθµένα ενός δοχείου (ή της θάλασσας) όταν ο κυµατι-σµός στην επιφάνειά του είναι σχετικά αργός. Το γεγονός δηλ. της ανάλυσης, συν-

9

- 6 -

δέεται άµεσα µε την πρόσπτωση του φωτός σε πρισµατικές ή σχεδόν πρισµατικές επιφάνειες τις οποίες σχηµατίζουν διαφανή υλικά (π.χ. το γυαλί και το νερό στα παραδείγµατά µας). Το φαινόµενο είναι γνωστό στην Οπτική µε την Ονοµασία διασκεδασµός του φωτός (ή διασπορά)(dispersion). Με τη µελέτη του ασχολήθη-κε συστηµατικά από τον 17ο αιώνα ακόµη ο Newton, στα κλασικά του πειράµατα της ανάλυσης και της ανασύνθεσης του λευκού φωτός µέσω πρισµάτων. Όπως βλέ-πουµε από την πειραµατική του διάταξη του (Σχ. 7) µια παράλληλη δέσµη λευκού φωτός πέφτει (από τα δεξιά προς τα αριστερά) µε κλίση σε ένα πρίσµα και µας δίνει µια αποκλίνουσα δέσµη αναλελυµένων ακτίνων. Ένας φακός κατόπιν συγκλίνει τις

(Σχ. 7)∗

ακτίνες προς ένα δεύτερο πρίσµα το οποίο τις ανασυνθέτει σε µια παράλληλη δέ-σµη λευκού φωτός. Η πρόσπτωση αυτής της δέσµης σ’ ένα τρίτο πρίσµα επανα-λαµβάνει το φαινόµενο της ανάλυσης.

Στην ανάλυση (και την ολική ανάκλαση) του φωτός οφείλεται και η δη-µιουργία του θεαµατικού φαινοµένου του ουρανίου τόξου(rainbow) (Σχ.8). Για έ-ναν παρατηρητή που έχει πίσω του τον Ήλιο και µπροστά του εκτείνεται µια περιο-χή µε ευρύ ορίζοντα, και στην οποία µόλις έχει βρέξει, εµφανίζονται δύο σαφώς διαχωρισµένα ηµικυκλικά σχεδόν τόξα, που τα άκρα τους αγγίζουν τον ορίζοντα. Τα τόξα αποτελούνται από διαδοχικές ζώνες µε τα χρώµατα της ίριδας και µε σαφή ακολουθία. Το φαινόµενο της ανάπτυξης πρωτεύοντος και δευτερεύοντος ουρανί-ου τόξου οφείλεται στην ανάλυση και την ολική ανάκλαση(Βλ. Γεωµετρική Οπτική §5.1) των ακτινών του ηλιακού φωτός µέσω των σταγόνων της βροχής που υπάρ-χουν στον ενδιάµεσο χώρο µεταξύ παρατηρητή και φαινοµένης θέσης των τόξων.

∗ I.Newton: “Optiks”

10

- 7 -

(Σχ. 8)

Στο πρωτεύον (ή εσωτερικό) τόξο, η ακτίνα του λευκού φωτός (Σχ. 9.α) ανακλάται µόνο µια φορά καθώς διατρέχει τη σταγόνα του νερού αναλυόµενη στο εσωτερικό της. Το δευτερεύον (ή εξωτερικό τόξο) αναπτύσσεται εξωτερικά του πρωτεύοντος.

(Σχ. 9) Οφείλεται στο γεγονός ότι η προσπίπτουσα ακτίνα λευκού φωτός (Σχ. 9β) ανακλά-ται ολικά δύο φορές αναλυόµενη κατά την πορεία της στο εσωτερικό της σταγόνας. Το σύνολο της συνεισφοράς όλων των εντάσεων κατά την έξοδό τους από τις στα-γόνες, τµήµα της οποίας µπαίνει στο µάτι µας, δηµιουργεί την εντύπωση δύο τόξων στη φαινοµένη θέση τους. Μιλούµε για φαινοµένη θέση σχηµατισµού των τόξων επειδή στην πραγµατικότητα σχηµατίζονται µόνο στον αµφιβληστροειδή του µα-τιού µας. Επειδή όµως το µάτι βλέπει τα είδωλα να εντοπίζονται σε θέσεις µε κα-

11

- 8 -

τεύθυνση αντίθετη των εισερχοµένων ακτίνων, αυτός είναι ο λόγος «σχηµατισµού» (προβολής) των τόξων σε φαινοµένη θέση απέναντι από τον παρατηρητή.

Το φασµατοσκόπιο Προσπαθούµε εδώ στοιχειωδώς να περιγράψουµε τις γενικές αρχές λειτουρ-

γίας ενός οργάνου που χρησιµοποιείται για την ανάλυση του φωτός. Το όργανο ο-νοµάζεται Φασµατοσκόπιο(spectroscope) (δηλ. όργανο παρατήρησης φασµάτων) και η γνώση της λειτουργίας του είναι απαραίτητη επειδή πριν το µελετήσουµε συ-στηµατικά θ’ αναφερθούµε σ’ αυτό αρκετές φορές. Σαν αναλυτικό στοιχείο χρησι-µοποιείται συνήθως ένα τριγωνικό πρίσµα (4) (Σχ. 10) στο οποίο πέφτει µια παράλ-ληλη δέσµη του προς ανάλυση φωτός. Το πρίσµα έχει τη δυνατότητα ν’ αναλύσει

(Σχ. 10)

αυτή τη δέσµη στις συνιστώσες της (φαινόµενο διασκεδασµού). Το παράλληλο µέ-τωπο κύµατος που πέφτει στο πρίσµα δηµιουργείται από ένα συγκλίνοντα αχρωµα-τικό φακό (3). Μια λεπτή σχισµή (2) η οποία φωτίζεται από την προς ανάλυση α-κτινοβολία της πηγής (1), βρίσκεται στο µπρός εστιακό του επίπεδο.Το σύστηµα σχισµής φακού ονοµάζεται κατευθυντήρας. Η παράθεση των διαφόρων συνιστώ-σων του φωτός (δηλ. η κατανοµή της έντασής τους συναρτήσει του µ.κ.) µετά την ανάλυσή τους από το πρίσµα ονοµάζεται φάσµα(spectrum).

Το φάσµα µπορεί να σχηµατιστεί πάνω σ’ ένα πέτασµα µε τη βοήθεια ενός συγκλίνοντος φακού ή να το παρατηρήσουµε µε το µάτι µας (προσαρµοσµένο στο άπειρο) παρεµβάλλοντας το µετά το πρίσµα. Στα φασµατοσκόπια, η παρατήρηση γίνεται µέσω ενός τηλεσκοπίου (βλ. Γεωµετρική Οπτική § 10.5) όπου ο αντικειµε-νικός του φακός (5) συγκεντρώνει τα διαδοχικά επίπεδα µέτωπα κύµατος των δια-φόρων συνιστώσων και τ’ απεικονίζει µε τη µορφή λεπτών γραµµών στο πίσω του εστιακό επίπεδο (6). Αν το φάσµα αποτελείται από λίγες συνιστώσες τότε θα είναι διακριτό. Αν ο αριθµός τους είναι πάρα πολύ µεγάλος τότε θα είναι συνεχές ή ται-νιωτό. Λόγω όµως της σµικρότητας του φάσµατος σ’ αυτή την περιοχή, χρειάζεται να το µεγεθύνουµε για να είναι ευκολότερη παρατήρηση του. Αυτό πετυχαίνεται µε

12

- 9 -

τη βοήθεια του προσοφθαλµίου (7) του τηλεσκοπίου, ο οποίος παίζει το ρόλο µεγε-θυντή φακού. Αν τώρα π.χ. στη είσοδο του οργάνου τοποθετήσουµε µια πηγή λευ-κού φωτός, τότε µέσω του προσοφθαλµίου θα δούµε ένα συνεχές φάσµα που περι-λαµβάνει όλα τα χρώµατα της ίριδας. Αν όµως µεταξύ πηγής και σχισµής παρεµ-βάλλουµε µια κόκκινη ζελατίνη, τότε το φάσµα θα αποτελείται µόνο από µια ευ-ρεία ταινία πορτοκαλί και κυρίως κόκκινου χρώµατος. Στην περίπτωση που η πηγή εκπέµπει αυτό που λέµε µονοχρωµατική ακτινοβολία, τότε µέσω του οργάνου το φάσµα της θα αποτελείται από µια πολύ στενή γραµµή όπως π.χ. συµβαίνει µε το κίτρινο φως µιας φασµατικής λυχνίας Νατρίου.

Ανάλυση του φωτός µπορούµε να πετύχουµε στοιχειωδώς κρατώντας µόνο ένα τριγωνικό πρίσµα πολύ κοντά στο µάτι µας µε την ακµή του παράλληλη µε τη γραµµή των µατιών. Αν η πηγή βρίσκεται σχετικά µακριά, δίνοντας κατάλληλες κλίσεις στο πρίσµα µπορούµε να δούµε διαµέσου του το φάσµα που δίνει η πηγή.

Ανίχνευση του φωτός Στη φύση είναι γνωστή η αλληλεπίδραση µεταξύ των Η/Μ ακτινοβολιών και

της ύλης. Κατά κάποιο τρόπο η ίδια διαδικασία αποτελεί και την αιτία της ανίχνευ-σής τους. Το γεγονός συνίσταται στην ανάδειξη δευτερευόντων φαινοµένων που οφείλονται στην απορρόφησή τους. Π.χ. η αίσθηση ζέστης στην παλάµη του χεριού µας, όταν αυτή πλησιάζει ένα αντικείµενο που βρίσκεται σε µια σχετικά υψηλή θερµοκρασία, είναι το αποτέλεσµα της δράσης των εκπεµπόµενων από αυτό υπερύ-θρων και µη ακτινοβολιών, οι οποίες κατά την απορρόφησή τους από την επιδερµί-δα του χεριού µετατρέπονται σε θερµότητα. Συνήθεις κατηγορίες ανιχνευτών είναι οι θερµικοί (thermal detectors), οι φωτοαγώγιµοι (φωτοαντιστάσεις) (photocon-ductive detectors), και οι φωτοβολταϊκοί (φωτοδίοδοι )(photovoltaic detectors).

Για την ανίχνευση του ορατού φωτός από τα έµβια όντα, χρησιµοποιούνται εξειδικευµένοι µηχανισµοί που έχουν σχέση µε τις επί µέρους διαδικασίες του εκά-στοτε είδους “όρασης”. Π.χ. η µικροσκοπική Copilla της (Εικ.11α) που φαίνεται σε µεγέθυνση 25.000, είναι ίσως ο µικρότερος οργανισµός (πρωτόζωο) που διαθέτει σύστηµα ανίχνευσης του φωτός. ∆ιακρίνονται στο πάνω µέρος του σώµατος της δύο φακοί οι οποίοι εστιάζουν το φως σ’ ένα ζεύγος κινούµενων αριστερά – δεξιά µικρότερων ανιχνευτών φακών στο εσωτερικό της. Μέσω ενός είδους οπτικού νεύ-ρου που συνδέεται µ’ αυτούς, τα οπτικά σήµατα που µετατρέπονται σε νευρικά, δι-αβιβάζονται στον εγκέφαλό της (σκοτεινή κηλίδα στο κέντρο του σώµατος της), για την τελική σύνθεση της πληροφορίας. Στην (Εικ. 11β) φαίνεται το σύνθετο (ψηφιδωτής µορφής) µάτι µιας αρσενικής αλογόµυγας σε µεγέθυνση περίπου 150 φορές.

13

- 10 -

(Εικ. 11)

14

- 11 -

Περιέχει σε πανοραµική διάταξη γύρω στους 7000 µικροσκοπικούς φακούς, που καταλαµβάνουν ο καθένας το πάνω µέρος τριχοειδών σωλήνων που στο εσωτερικό τους υπάρχουν φωτοευαίσθητα κύτταρα. Η συγκλίνουσα αυτή δέσµη των σωλήνων προς το εσωτερικό του µατιού συνδέεται µέσω νευρώνων µε τον εγκέφαλο του ε-ντόµου εκεί όπου γίνεται η σύνθεση του «ειδώλου». Χαρακτριστικό γνώρισµα αυ-τού του είδους «όρασης» είναι η υπερευαισθησία του όσον αφορά την αντίληψη της κίνησης.

Στην (Εικ. 12) φαίνεται µια τοµή του βολβού ενός ανθρώπινου µατιού µε το

(Εικ. 12) σύστηµα απεικόνισης µέσω του κερατοειδούς χιτώνα, της ίριδας, του κρυσταλλώ-δους φακού και του φωτοευαίσθητου αµφιβληστροειδούς χιτώνα. Από τον τελευ-ταίο αναχωρούν οι νευρώνες του οπτικού νεύρου που προωθούν τις νευρικές διε-γέρσεις στις οποίες έχει µετατραπεί το οπτικό σήµα. Στο αµέσως επόµενο (Σχ. 13) βλέπουµε τις διόδους µεταφοράς των πληροφοριών µέσω των νεύρων: του οπτικού χιάσµατος, των πλαγίων γονατωδών σωµάτων µέχρις τον οπτικό φλοιό, περιοχή όπου πραγµατοποιείται η αντίληψη της όρασης(βλ. Γεωµετρική Οπτική § 10.1). Το µεγαλύτερο ενδιαφέρον (για µας τουλάχιστον) έχει το ανθρώπινο µάτι που σαν ανι-χνευτής διαθέτει ιδιάζουσες ιδιότητες. Ανιχνεύει επίπεδα έντασης του φωτός µετα-ξύ 1-109 και ευαισθητοποιείται ακόµη και από λίγα φωτόνια.

Το µέγιστο της ευαισθησίας του µατιού εντοπίζεται στην κιτρινο- πράσινη περιοχή του ορατού φάσµατος (λ ≅ 555nm). Το γεγονός αυτό ( που η προέλευσή

15

- 12 -

(Σχ. 13)

του είναι καθαρά εξελικτική), οφείλεται στο ότι το µέγιστο της κατανοµής της κα-µπύλης του µέλανος σώµατος θερµοκρασίας Τ ≅5800ο Κ (Σχ. 2.1.1.3) – που χαρα-κτηρίζει τη θερµοκρασία της επιφάνειας του ηλίου σαν πηγής του ορατού φωτός – αντιστοιχεί στο προαναφερόµενο µ.κ. Με τη βοήθεια επίσης των φωτοευαίσθητων κυττάρων (κωνίων) του αµφιβληστροειδή, το µάτι έχει τη δυνατότητα της πολυ-χρωµατικής όρασης.

16

- 135 -

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ 4 Το φαινόµενο του διασκεδασµού

Ο διασκεδασµός (διασπορά) (dispersion) αναφέρεται στην εξάρτηση του δείκτη διάθλασης (δ.δ.) ενός οπτικού µέσου από τη συχνότητα ν (ω=2πν) ή αντί-στοιχα από το µήκος κύµατος (µ.κ.) λ (c=λν), των Η/Μ κυµάτων που διαδίδονται µέσα σ’ αυτό. Σαν οπτικά µέσα για τις περιπτώσεις που εξετάζουµε, θα θεωρήσου-µε τα διηλεκτρικά (dielectrics). Τα διηλεκτρικά ή µονωτές (§ 3.4.7.1) συγκρινόµε-να µε τους αγωγούς, έχουν αγωγιµότητα µικρότερη κατά 15 έως 20 τάξεις µεγέ-θους. Αναφερόµαστε πιο συγκεκριµένα στα διαφανή διηλεκτρικά (υλικά µε πολύ µικρή απορρόφηση), δεδοµένου ότι ο ρόλος τους στην Οπτική τεχνολογία είναι πο-λύ σηµαντικός εξαιτίας του πολύ µεγάλου πλήθους των εξαρτηµάτων που κατα-σκευάζονται από αυτά. Τα πιο απλά παραδείγµατα είναι οι φακοί, τα πρίσµατα, οι οπτικές ίνες (fibers) κ.λ.π. που αποτελούνται κυρίως από διάφορα είδη γυαλιών, χωρίς να ξεχνάµε ότι ο αέρας και το νερό ανήκουν σ’ αυτήν την κατηγορία των υ-λικών. Σαν δ.δ. ενός οµογενούς και ισοτρόπου διηλεκτρικού, ορίζουµε το λόγο της ταχύτητας διάδοσης µιας Η/Μ ακτινοβολίας (συχνότητας ω) στο κενό, προς την τα-χύτητα διάδοσης της στο µέσο δηλ. n=c/υ και ο οποίος σχετίζεται άµεσα µε σταθε-ρές των διαφορικών εξισώσεων διάδοσης του Maxwell.

Πράγµατι εάν επιλέξουµε να περιγράψουµε µια Η/Μ διαταραχή στο κενό µε τη βοήθεια της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου E, τότε η κάθε συνιστώσα του σε Καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων x,y,z θα υπακούει στη δ.ε. του Maxwell.

2

20 0 2E 0

tΕε µ ∂

∇ − =∂

ή 2

22 2

1 EE 0c t

∂∇ − =

∂ (4.1)

όπου ε0, µ0 η ηλεκτρική και µαγνητική διαπερατότητα στο κενό και c η ταχύτητα του φωτός στο κενό. ( ) F F

m m2 9 9

0 1 4 2.997925 10 1 4 9 10ε π π= × ≈ × × (S.I.)

Η/m70 4 10µ π −= × και 8

0 0c 1 2.997925 10ε µ= = × m/s (S.I.)

Για την περίπτωση που η διαταραχή διαδίδεται σε ένα άλλο οµογενές και ισότροπο µέσο, τότε οι δύο παραπάνω εξισώσεις γράφονται:

2

22E 0

tΕεµ ∂

∇ − =∂

ή 2

22 2

1 EE 0tυ

∂∇ − =

∂ (4.2)

όπου τώρα 1υ εµ= , (υ<c) είναι η ταχύτητα διάδοσης, και ε, µ η ηλεκτρική και µαγνητική διαπερατότητα του µέσου. Κατά τα γνωστά ο λόγος:

E M0 0

n c k kεµυε µ

= = = (4.3)

17

- 136 -

είναι ο απόλυτος δ.δ. του µέσου (absolute index of refraction) και kE, kM οι σχετι-κές ηλεκτρική και µαγνητική διαπερατότητα του µέσου. Επειδή τα διαφανή υλικά για τα οποία ενδιαφερόµαστε, στην ορατή περιοχή του H/M φάσµατος κατά προ-σέγγιση θεωρούµε ότι είναι µη µαγνητικά, µπορούµε να πούµε ότι Mk 1≈ άρα:

En k= (4.4)

όπου η kE ονοµάζεται και διηλεκτρική σταθερή (static dielectric constant) της ο-ποίας υποθέτουµε βέβαια ότι η τιµή είναι στατική.

Σηµείωση Ο υπολογισµός της διηλεκτρικής σταθερής kE γίνεται συνήθως µέσω των µε-

τρήσεων της χωρητικότητας πυκνωτή (γέφυρα), του οποίου ο ενδιάµεσος χώρος µεταξύ των οπλισµών του πληρούται µε το συγκεκριµένο διηλεκτρικό. Αν είναι γνωστή η τάση µεταξύ των οπλισµών του καθώς και τα γεωµετρικά του χαρακτηρι-στικά µπορούµε να υπολογίσουµε την kE. Για την περίπτωση που η τάση είναι συ-νεχής (στατική) η εναλλασσόµενη µε συχνότητα το πολύ µέχρις 60 Hz, τότε µι-λούµε για στατική διηλεκτρική σταθερή.

Τιµές των Ek µε την προηγούµενη µέθοδο προσδιορισµού φαίνεται στον

(Πίν. 4.1) για αέρια, υγρά και στερεά διαφανή διηλεκτρικά. Σε διπλανή στήλη του ίδιου πίνακα φαίνονται οι τιµές του δ.δ. n, οι οποίες µε βάση τη (σχ. 4.4) θα έπρεπε να ταυτίζονται µε τις αντίστοιχες των Ek . Αυτό όµως δεν συµβαίνει παρά µόνο

για ορισµένα αέρια. Το γεγονός οφείλεται στον τρόπο προσδιορισµού του δ.δ. n. Ο υπολογισµός γίνεται συνήθως µε τη βοήθεια φασµατοσκοπίου πρίσµατος (§ 6.1.3) και µε βάση τον καθορισµό της γωνίας ελάχιστης εκτροπής (βλ. Γεωµετρική οπτική § 5.2). Το φως που χρησιµοποιείται είναι αυτό της φασµατικής λυχνίας Να ( D 589.29λ = nm) δηλ. συχνότητας 0.5 x 1015 Hz, ενώ για τον υπολογισµό της kE

(n= Ek ) εφαρµόζεται στατικό πεδίο ή το πολύ συχνότητας 60 Hz.

Η ασυµφωνία αυτή µας οδηγεί στο να διαπιστώσουµε ότι ο λόγος E 0k ε ε= και συνακόλουθα ο δ.δ. n είναι µεγέθη που εξαρτώνται από τη συχνότητα των δια-διδόµενων διαταραχών στο οπτικό µέσο και το φαινόµενο όπως ήδη προαναφέραµε ονοµάζεται διασκεδασµός. Η ερµηνεία του όπως θα δούµε αµέσως µετά, ανάγεται σε µικροσκοπικές υποθέσεις (ατοµική δοµή της ύλης) και δεν προκύπτει από τις εξισώσεις του Maxwell επειδή αυτές εφαρµόζονται µόνο για συνεχή µέσα διάδο-σης. Υπόβαθρο της ερµηνείας αποτελεί η θεωρία της πόλωσης των διηλεκτρικών, στοιχεία της οποίας διαπραγµατευόµαστε στην επόµενη παράγραφο.

18

- 137 -

Υλικό Ek n

Αέρια (0 0C – 1 Atm) Αέρας 1.000294 1.000293 Ήλιο 1.000034 1.000036

Υδρογόνο 1.000131 1.000132 ∆ιοξείδιο του άνθρακα 1.00049 1.00045

Αιθυλένιο 1.000689 1.00065 Άζωτο 1.0003 1.0003

Υγρά στους 20 0C Βενζένιο 1.51 1.501 Νερό 8.96 1.333

Εθανόλη 5.08 1.361 Τετραχλωράνθρακας 4.63 1.461

Στερεά σε θερµ/α δωµατίου ∆ιαµάντι 4.00 2.419 Κεχριµπάρι 1.6 1.55

Τετηγµένος χαλαζίας 1.94 1.458 Χλωριούχο νάτριο 2.37 1.50

∆ιοξείδιο του Τιτανίου 10.677 2.7

(Πίν. 4.1)

4.1 Ηλεκτρικά δίπολα, διηλεκτρικά και πόλωση των διηλεκτρικών Φυσική συχνότητα και ο κλασσικός δυναµικός ταλαντωτής

Ηλεκτρικό δίπολο (electric dipole) ονοµάζουµε γενικά µια κατανοµή δύο

ίσων κατά µέτρο και αντιθέτου προσήµου φορτίων τα οποία βρίσκονται σε µια ορι-σµένη απόσταση µεταξύ τους (Σχ. 4.1.1.α). Ο σχηµατισµός χαρακτηρίζεται από ένα

(Σχ. 4.1.1)

19

- 138 -

καθορισµένο στατικό ηλεκτρικό πεδίο δυναµικού V(r,θ) και έντασης E(r,θ). Τα δύο αυτά πεδιαδικά µεγέθη εκφράζονται µε τη βοήθεια ενός θεµελιώδους µεγέθους που ονοµάζεται ηλεκτρική διπολική ροπή p (electric dipole moment) και δίνεται από τη σχέση: q =p l (4.1.1) όπου το µέτρο του l είναι η απόσταση µεταξύ των φορτίων. Ένα ηλεκτρικό δίπολο, όταν βρεθεί µέσα σε εξωτερικό ηλεκτροστατικό πεδίο Ε αφ’ ενός µεν αποκτά µια πρόσθετη δυναµική ενέργεια Wp = − ⋅p E , αφ’ ετέρου πάνω του ασκείται µία ροπή

στρέψης ×T = p E η οποία τείνει να το προσανατολίσει σε θέση ελάχιστης δυνα-µικής ενέργειας. Αν επίσης το εξωτερικά εφαρµοζόµενο πεδίο E είναι ανοµοιογε-νές, τότε θ’ ασκηθεί πάνω στο δίπολο και µια δύναµη ( Wp= −∇F ) που θα τείνει

να του προσδώσει µεταφορική κίνηση εφ’ όσον αυτό είναι ελεύθερο και µπορεί να µετακινηθεί.

Ένα σηµαντικό γεγονός το οποίο αποδεικνύεται και το οποίο παίζει πρωταρ-χικό ρόλο στη διάδοση των H/M διαταραχών µέσα στην ύλη, είναι ότι τα µόρια αυ-τά καθ’ αυτά µπορούν να προσοµοιαστούν µε ηλεκτρικά δίπολα. Πράγµατι τα κι-νούµενα γύρω από τους πυρήνες των ατόµων του µορίου ηλεκτρόνια, είναι δυνατόν κατά τα γνωστά να θεωρηθούν ότι σχηµατίζουν “ηλεκτρονικά νέφη” (§ 1.1), µε συ-γκεκριµένα κατά µέση χρονική στιγµή κέντρα βάρους του αρνητικού τους φορτίου. Επίσης τα θετικά φορτία των πυρήνων των ατόµων, κατέχουν σχετικά σταθερές θέ-σεις στο χώρο. Τελικά αν τα θετικά και τα αρνητικά φορτία αθροιστούν ξεχωριστά, µπορούν να εντοπισθούν (Σχ. 4.1.1.β) σε δύο “διακεκριµένες θέσεις” που απέχουν µεταξύ τους σταθερή απόσταση. Το γεγονός αυτό φαινοµενολογικά τουλάχιστον αρχικά µας οδηγεί στην ανάδειξη της συµπεριφοράς ενός µορίου σαν ηλεκτρικό δί-πολο. Η πλήρης απόδειξη βέβαια αυτού του γεγονότος, γίνεται µε τη βοήθεια του ορισµού της ηλεκτρικής διπολικής ροπής ενός συνόλου φορτίων qi, (θετικών και αρνητικών) τα οποία βρίσκονται κατανεµηµένα στο χώρο. Τότε η p ως προς ένα ορισµένο σύστηµα συντεταγµένων ορίζεται ως εξής:

i i q=∑p r (4.1.2)

όπου ri το διάνυσµα θέσης του φορτίου qi . Αποδεικνύεται ότι όταν iq 0=∑ (όπως

π.χ. συµβαίνει για ένα µόριο) τότε ο ορισµός της p δεν εξαρτάται από τη θέση του συστήµατος συντεταγµένων. Με βάση αυτόν τον ορισµό, αποδεικνύεται ότι για ένα µόριο κάτω από την επίδραση εξωτερικού πεδίου Ε ισχύουν οι σχέσεις:

pW = − ⋅p E , = ×T p E και pW= −∇F . Το τελευταίο γεγονός, επιβεβαιώνει τη συ-

µπεριφορά ενός µορίου σαν ηλεκτρικό δίπολο.

20

- 139 -

Τα µόρια γενικά διακρίνονται σε µη πολικά (non polar) και πολικά (polar). Για τα πρώτα (Σχ. 4.1.2.α), τα κέντρα βάρους θετικού και αρνητικού φορτίου συ-µπίπτουν οπότε δεν εµφανίζεται ενδογενής (στο µόριο) ηλεκτρική διπολική ροπή

(Σχ. 4.1.2) άρα p=0. Τυπικό παράδειγµα τέτοιου µορίου, είναι αυτό του διοξειδίου του άνθρα-κα (CO2). Για τα πολικά όµως µόρια, τα κέντρα βάρους των φορτίων διαχωρίζονται οπότε εµφανίζουν (ανά µόριο) µία µόνιµη ηλεκτρική διπολική ροπή. Ένα τέτοιο µόριο είναι του νερού (H2O) για το οποίο p=6.2 x 10-30 C⋅m. (Σχ. 4.1.2.β)

Πόλωση του διηλεκτρικού

Μας ενδιαφέρει εδώ η συµπεριφορά των µορίων (σαν σύνολο που απαρτί-

ζουν το διηλεκτρικό µέσο), κατ’ αρχήν χωρίς την επίδραση και κατόπιν κάτω από την επίδραση εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου Ε0. Ένα σηµαντικό µέγεθος που περι-γράφει την κατάσταση του διηλεκτρικού κάτω από τέτοιες συνθήκες είναι η λεγό-µενη πόλωση του διηλεκτρικού P (polarization of dielectric). Ορίζεται για ένα ο-ρισµένο σηµείο, σαν το σύνολο των ηλεκτρικών διπολικών ροπών ανά µονάδα ό-γκου: i V∆=∑P p (4.13)

όπου ∆V ένας απειροστός όγκος που περιβάλλει αυτό το σηµείο. Όταν ένα διηλε-κτρικό δεν υφίσταται την επίδραση εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου (Ε0=0) (Σχ. 4.1.3.α,β), η τιµή της P είναι µηδέν. Πράγµατι για το διηλεκτρικό που τα µόριά του είναι µη πολικά (Σχ. 4.1.3.α), αυτό είναι αυτονόητο επειδή ανά µόριο η ηλεκτρική διπολική ροπή είναι µηδέν. Το ίδιο όµως συµβαίνει και για το διηλεκτρικό που α-παρτίζεται από πολικά µόρια (Σχ. 4.1.3.β) επειδή λόγω συνήθως της θερµικής κίνη-σής τους, χρονικά ο προσανατολισµός τους αλλάζει ταχύτητα µε συνέπεια i 0=∑ p

οπότε και η P είναι ίση µε µηδέν. Όταν τώρα το διηλεκτρικό υποστεί την επίδραση

21

- 140 -

εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου (Σχ. 4.1.3γ,δ) αυτό το οποίο συµβαίνει συνήθως εί-ναι η εµφάνιση φορτίων στις επιφάνειές του. Το φαινόµενο ονοµάζεται πόλωση του διηλεκτρικού. Η εµφάνιση των φορτίων για µεν την περίπτωση των µη πολι-κών µορίων (Σχ. 4.1.3γ), οφείλεται στη σχετική αποµάκρυνση (λόγω της επίδρα-

(Σχ. 4.1.3) σης του εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου) των αρχικά ταυτισµένων κέντρων βάρους θετικών και αρνητικών δεσµίων φορτίων των µορίων. Για την περίπτωση των πο-λικών µορίων (Σχ. 4.1.3δ), τα φορτία εµφανίζονται εξαιτίας κατάλληλου προσανα-τολισµού (µε την επίδραση του εξωτερικού πεδίου), των µονίµων «στερεών» διπό-λων του. Για την περίπτωση που στα διηλεκτρικά εµφανίζονται µόνο επιφανειακά φορτία πόλωσης, τότε όπως αποδεικνύεται η πυκνότητά τους σ (C/m2) δίνεται από τη σχέση: nP P cos aσ = = (4.1.4) όπου Pn η κάθετη συνιστώσα της πόλωσης στην επιφάνειά του και α η γωνία µετα-ξύ του Ε και της κάθετης στην επιφάνεια αυτή.

22

- 141 -

Σηµείωση ∆έσµια (bound) ονοµάζονται τα φορτία εκείνα τα οποία ανήκουν στα µόρια

των διηλεκτρικών και δεν µπορούν να τα εγκαταλείψουν. Τα φορτία που υπάρχουν µέσα στο διηλεκτρικό αλλά δεν ανήκουν στα µόριά του όπως και φορτία εκτός των ορίων του διηλεκτρικού ονοµάζονται εξωγενή (extraneous).

Το ηλεκτρικό πεδίο µέσα στο διηλεκτρικό Με την επίδραση στο διηλεκτρικό του εξωτερικού πεδίου Ε0 (το οποίο οφεί-

λεται σε εξωγενή φορτία), κατά τα γνωστά αυτό πολώνεται και τα φορτία πόλωσης δηµιουργούν στο εσωτερικό του ένα νέο πεδίο έντασης Ε΄. Άρα στο εσωτερικό του διηλεκτρικού το πραγµατικό πεδίο Ε θα είναι η συνισταµένη των δύο τελευταίων, δηλαδή: = +0E E E' (4.1.5) Τότε η πόλωση του διηλεκτρικού εκφράζεται από τη σχέση: 0χε=P Ε (4.1.6) όπου χ η ηλεκτρική επιδεκτικότητα (electric susceptibility) που είναι ένα µέγεθος αδιάστατο και σχετίζεται µε την διηλεκτρική σταθερή kΕ του µέσου µέσω της σχέ-σης: k 1Ε χ= + (4.1.7) Αποδεικνύεται (ΠΑΡ/ΜΑ 3α) ότι µεταξύ των kE, E και P ισχύει:

E0

Pk 1ε Ε

= + (4.1.8)

Η τελευταία θα χρησιµοποιηθεί προκειµένου ν’ αναδείξουµε την εξάρτηση που υ-φίσταται µεταξύ του δ.δ. n του διηλεκτρικού και της συχνότητας ω των διαδιδόµε-νων µέσα σ’ αυτό H/M διαταραχών.

Τα είδη των πολώσεων Όπως ήδη έχουµε αναφέρει το φαινόµενο του διασκεδασµού, αφορά την α-

πόκριση κατά συχνότητα ω (ή κατά µ.κ. λ) του δ.δ. n (ή της διηλεκτρικής σταθερής kE). Ένα βασικό ερώτηµα που προκύπτει, αφορά τον αριθµό των µηχανισµών πό-λωσης των διηλεκτρικών σε σχέση α) µε τα είδη των µορίων που τα αποτελούν (πολικά – µη πολικά µόρια) και β) µε την περιοχή συχνοτήτων των διαδιδόµενων σ’ αυτά κυµάτων. Τέτοιες περιοχές συχνοτήτων είναι τα σχεδόν στατικά πεδία από 0 – 60 Hz που έχουν σχέση µε τις συχνότητες των ηλεκτρικών δικτύων (γραµµές µετα-φοράς ρεύµατος). Τα ραδιοκύµατα από 1 KHz (103 Hz) – 1 GHz (109 Hz). Τα µι-

23

- 142 -

κροκύµατα µεταξύ 109 Hz και 1012 Hz (1 THz). Η περιοχή του υπέρυθρου (IR), ο-ρατού (VIS) και υπεριώδους (UV) φάσµατος µεταξύ 1012 Hz – 1017 Hz µε µέση πε-ριοχή συχνοτήτων για το ορατό 0,5 x 1015 Hz. Οι ακτίνες – Χ µεταξύ 1017 – 1019 Hz και οι ακτίνες γ µε συχνότητες µεγαλύτερες των 1019 Hz (βλ. ΠΑΡ/ΜΑ 5 (Πίν. I)). Όσον αφορά τα είδη των πολώσεων τα οποία µπορεί να υποστεί ένα διηλεκτρικό, τα βασικότερα είναι τρία: α) Η ηλεκτρονική πόλωση (electronic polarization), εί-ναι αυτή που οφείλεται στη µετατόπιση των ηλεκτρονικών νεφών σε σχέση µε τους πυρήνες. β) Η ιοντική πόλωση (ionic polarization) που οφείλεται στη µετατόπιση των φορτισµένων ιόντων σε σχέση µε τα ιόντα αντιθέτου φορτίου (π.χ. στον ιοντικό κρύσταλλο του NαCl). γ) Η διπολική πόλωση (dipolar polarization) που οφείλεται στην αλλαγή προσανατολισµού των πολικών µορίων (π.χ. στα µόρια του H2O). Τα µόρια του νερού µέχρι περίπου τη συχνότητα των 1010 Hz µπορούν και παρακολου-θούν τις εναλλαγές του πεδίου (περιστρεφόµενα ή ταλαντούµενα) και η διηλεκτρι-κή τους σταθερή έχει την τιµή kΕ 80. Πάνω όµως από αυτή τη τιµή της συχνότη-τας τα µόρια του νερού εµφανίζουν µεγάλη αδράνεια και δεν µπορούν να παρακο-λουθούν τις εναλλαγές του πεδίου. Τότε σαν συνέπεια θα έχουµε ελάττωση της kΕ.

∆εν συµβαίνει όµως το ίδιο και µε τα ηλεκτρόνια των ατόµων. Η µικρή τους αδράνεια τα κάνει ικανά να µπορούν να παρακολουθούν πεδία ακόµα και στην πε-ριοχή των οπτικών συχνοτήτων (0,5 x 1014 Hz) συνεισφέροντας µ’ αυτόν τον τρόπο στην τιµή kΕ (ω). ∆ηλαδή η τιµή της kΕ π.χ. για το νερό, στις οπτικές συχνότητες οφείλεται αποκλειστικά στο µηχανισµό της ηλεκτρονικής πόλωσης και όχι της δι-πολικής. Το ίδιο ακριβώς συµβαίνει και για τα στερεά διαφανή διηλ/κά (π.χ. γυα-λιά, κρύσταλλοι, πλαστικά κ.λ.π.) τα οποία κατά τα γνωστά εµφανίζουν µεγάλο εν-διαφέρον για την οπτική τεχνολογία. Τελικός µας σκοπός στα επόµενα, είναι να παράγουµε µια αναλυτική έκφραση του δ.δ. n συναρτήσει του ω (ή του λ). Για το λόγο αυτό, θα στηριχθούµε σε µικροσκοπικές παραδοχές όσον αφορά την ύλη και τελικά τη δράση επάνω της των µεταβαλλόµενων χρονικά ηλεκτρικών πεδίων µε τα άτοµα, τα µόρια, τα ιόντα κ.τ.λ.

Φυσική συχνότητα (ή συχνότητα συντονισµού) και ο κλασσικός δυναµικός ταλαντωτής Μας είναι ήδη γνωστή η δοµή του ατόµου µε τη µορφή του θετικού πυρήνα

και του αρνητικού ηλεκτρονικού νέφους που τον περιβάλλει. Θεωρούµε ότι το σύ-στηµα αυτό είναι ευσταθές δηλ. ότι το ηλεκτρονικό νέφος και ο πυρήνας συνδέο-νται µεταξύ τους µε ελαστικής φύσης ελκτικές δυνάµεις. Το γεγονός αυτό µας οδη-γεί στο να υποθέσουµε (εφόσον µεταξύ τους υπάρξει µετατόπιση) ότι ασκείται δύ-ναµη επαναφοράς (restoring force) στο ηλεκτρονικό νέφος η οποία είναι γραµµική

24

- 143 -

σε σχέση µε την µετατόπιση x. Η τελευταία θεωρείται πολύ µικρή προκειµένου να µην διαταραχθεί δραστικά το σύστηµα πυρήνας ηλεκτρόνιο (π.χ. ένα τυπικό πλάτος ταλάντωσης του ηλεκτρονίου είναι 10-17 cm). Εποµένως:

F x= − (4.1.9) όπου µια σταθερή που έχει σχέση µε την φυσική συχνότητα ταλάντωσης ω0 του συστήµατος πυρήνα – ηλεκτρονίου. Πράγµατι αν προς στιγµή υπάρξει µια διατα-ραχή, τότε το ηλεκτρονικό νέφος θα ταλαντωθεί αρµονικά µε κέντρο ισορροπίας τον θετικό πυρήνα και συχνότητα ω0 (Σχ. 4.1.4). Μεταξύ της της ω0 και της µάζας me του ηλεκτρονίου υφίσταται η σχέση:

0em

ω = (4.1.10)

(Σχ. 4.1.4)

Η ύλη ενός οµογενούς και ισοτρόπου διηλεκτρικού αποτελείται από ένα τε-

ράστιο πλήθος ατόµων ή µορίων, τα οποία κάτω από την επίδραση εξωτερικού η-λεκτρικού πεδίου έχουν τη δυνατότητα να πολωθούν. Υποθέτουµε ότι ένα αρµονι-κό Η/Μ µέτωπο κύµατος πέφτει στο διηλεκτρικό. Τότε κάθε άτοµο θα υποστεί τις δυνάµεις που ασκεί χρονικά το ηλεκτρικό πεδίο Ε(t) πάνω στα αρνητικά φορτία των ηλεκτρονίων, θεωρώντας ότι οι πυρήνες του µένουν ακίνητοι. Θα έχουµε τελι-κά (δεδοµένου ότι το πεδίο E(t) είναι αρµονικό) µια εξαναγκασµένη αρµονική τα-λάντωση του ηλεκτρονικού νέφους του κάθε ατόµου σε σχέση µε τον πυρήνα του. Τότε µπορούµε να πούµε ότι το σύστηµα συµπεριφέρεται σαν ένας κλασσικός δυ-ναµικός ταλαντωτής (forced oscillator). Με την υπόθεση ότι η κίνηση των αρνη-τικών φορτίων γίνεται στην διεύθυνση x τότε η δύναµη FE(t) που ασκεί το πεδίο θα είναι: ( ) ( ) cosE e e 0F t q E t q E tω= = (4.1.11)

και η εξίσωση που θα διέπει την κίνησή τους σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Newton:

25

- 144 -

cos2

2e 0 e 0 e 2

d xq E t m x mdt

ω ω− = (4.1.12)

Η (σχ. 4.1.12) επαληθεύεται από µία λύση της µορφής: cos0x x tω= (4.1.13) µε τη βοήθεια της οποίας προσδιορίζουµε το πλάτος x0, οπότε η (σχ. 4.1.13) γράφε-ται:

( ) ( ) ( ) ( )cose e e e02 2 2 2

0 0

q m q mx t t tΕ ω Εω ω ω ω

= =− −

(4.1.14)

που µας δίνει τη µετατόπιση του ηλεκτρονικού νέφους σε σχέση µε τον θετικό πυ-ρήνα. Χωρίς την επίδραση της εξωτερικής δύναµης F(t) το ηλεκτρονικό νέφος κατά τα γνωστά θα έχει τη δυνατότητα να ταλαντώνεται µε συχνότητα ω0. Επίσης από τη (σχ. 4.1.14) βλέπουµε ότι για συχνότητες ω<ω0 τα x(t) και Ε(t) θα βρίσκονται σε φάση ενώ για ω>ω0 θα έχουν διαφορά φάσης 1800.

Υποθέτουµε ότι στο διηλεκτρικό υπάρχουν Ν άτοµα ανά µονάδα όγκου και κατά προέκταση ότι υπάρχουν και Ν ταλαντούµενα ηλεκτρόνια. Με δεδοµένο ότι η πόλωση είναι µόνο ηλεκτρονική, το µέτρο της πόλωσης P του διηλεκτρικού (σχ. 4.1.3) θα δίνεται από τη σχέση: eP q xN= (4.1.15) (όπου x η εκάστοτε απόσταση µεταξύ του κέντρου βάρους των θετικών φορτίων και του ηλεκτρονικού νέφους) οπότε µε βάση τη (σχ. 4.1.14):

( )2e e

2 20

q N E t mP

ω ω⋅

=−

(4.1.16)

Τελικά µε τη βοήθεια της (σχ. 4.1.8) και το γεγονός ότι n2=kE βρίσκουµε:

( )2

2 e2 2

0 e 0

Nq 1n 1m

ωε ω ω

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟−⎝ ⎠

(4.1.17)

που αντιστοιχεί σε µια απλή εξίσωση διασκεδασµού (dispersion equation) για ένα διηλεκτρικό οµογενές και ισότροπο µε µια συχνότητα συντονισµού ω0. Αυτό το οποίο µπορούµε να συµπεράνουµε από τη (σχ. 4.1.17) είναι ότι για 2 2

0ω ω> , δηλα-δή όταν η συχνότητα ταλάντωσης ω του διαδιδόµενου H/M κύµατος είναι αρκετά µικρότερη από τη συχνότητα συντονισµού ω0 των ατόµων του διηλεκτρικού, ο δ.δ. του είναι µεγαλύτερος της µονάδας (Σχ.4.1.5) (για “n<1” βλ. § 4.2). Η ίδια σχέση συνήθως περιγράφει µε ακρίβεια την εξίσωση διασκεδασµού n(ω) για αέρια διηλε-κτρικά ενώ για αντίστοιχα πυκνά (υγρά και στερεά) ισχύει κατά προσέγγιση.

26

- 145 -

(Σχ.4.1.5)

Επίσης η (σχ. 4.1.17) είναι δυνατόν να εκφραστεί συναρτήσει του µ.κ. λ, αρκεί να εφαρµόσουµε τις πολύ γνωστές σχέσεις: ω=2πν και c=λ·ν. 4.2 Οµαλός και ανώµαλος διασκεδασµός. Απορρόφηση και νόµος

του Beer. ∆είκτης διάθλασης για πυκνά διηλεκτρικά. Εξίσωση των Clausius – Mossotti

Γίνεται φανερό από τη (σχ. 4.1.17) ότι όταν η συχνότητα του προσπίπτοντος

πεδίου γίνει ίση µε τη φυσική συχνότητα ταλάντωσης των ατόµων του διηλεκτρι-κού (δηλ. όταν ω=ω0), υπάρχει σαφής ασυνέχεια, η οποία δεν ερµηνεύεται απο-κλειστικά µε βάση τις υποθέσεις κατάστρωσης της εξίσωσης (4.1.12). Για να αρθεί η ασυνέχεια θα πρέπει να υποθέσουµε ότι στο ηλεκτρονικό νέφος εκτός από την εξωτερική δύναµη και τη δύναµη επαναφοράς δρα και µια τρίτη η οποία είναι ανά-λογη της ταχύτητας µετατόπισης του φορτίου. Πράγµατι µια τέτοια δύναµη θα πρέ-πει να εκδηλώνεται στα υγρά και στερεά διηλεκτρικά καθώς και για τα αέρια τα οποία θεωρούνται πυκνά. Το γεγονός αυτό είναι αποτέλεσµα του ότι τα µόρια των στερεών, των υγρών και των αερίων σε υψηλές πιέσεις ( 103 atm), βρίσκονται σε αποστάσειες τουλάχιστον δέκα φορές µικρότερες από ότι θα βρισκόταν τα µόρια ενός αερίου σε κανονικές συνθήκες πίεσης. Η δύναµη αυτή είναι µια δύναµη τριβής µεταξύ των ατόµων µε συνέπεια η (σχ. 4.1.12) να πάρει τη µορφή:

2

20 02

i te e e

dx dxm b m x q E edt dt

ωω+ + = (4.2.1)

27

- 146 -

Όπου εδώ το πεδίο Ε(t)=Ε0 · eiωt όπως και η µετατόπιση x(t) του ηλεκτρονικού νέ-

φους γράφονται σε µιγαδική µορφή για διευκόλυνση των πράξεων κατά τη διαδι-κασία επίλυσης της (σχ. 4.21). Αν όπως και προηγούµενα η x=x0·eiωt είναι λύση της (σχ. 4.2.1) τότε αποδεικνύεται (ΠΑΡ/ΜΑ 3β) ότι:

( )2

22 2

0 0

11 e

e

Nqnm i

ωε ω ω γω

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟− +⎝ ⎠

(4.2.2)

όπου ( )n ω ο λεγόµενος µιγαδικός δ.δ. του διηλεκτρικού και eb mγ = . Ο ( )n ω

είναι δυνατόν να γραφεί µε την µορφή: ( ) ( ) ( )n n iω ω κ ω= − (4.2.3)

όπου ( )n ω είναι ο δ.δ. του µέσου (refraction index) και ( )κ ω ο συντελεστής α-

πόσβεσης (extinction coefficient). Όπως θα δούµε αµέσως µετά ο ( )κ ω συνδέεται

µε τον συντελεστή απορρόφησης α του υλικού και σχετίζεται µε την εξασθένιση ενός κύµατος όταν αυτό διαδίδεται µέσα σε διηλεκτρικό δηλ. µε φαινόµενα απορ-ρόφησης.

Για να παράγουµε ενδεικτικά τις αναλυτικές εκφράσεις των ( )n ω και ( )κ ω

θ’ αναφερθούµε σ’ ένα διηλεκτρικό µε τη µορφή όχι και τόσο πυκνού αερίου που προϋποθέτει τιµή δ.δ. περίπου ίση µε την µονάδα και για την περιοχή κοντά στη συχνότητα συντονισµού. Τότε αυτές (βλ. ΠΑΡ/ΜΑ 3β) για την περιοχή που αναφέ-ραµε όπου 0 0ω ω ω− δίνονται από τις σχέσεις:

( )( ) ( )

20

2 20 0 0

14 2

e

e

Nqnm

ω ωωε ω ω ω γ

−= + ⋅

− + (4.2.4)

( )( ) ( )

2

2 20 0 0

8 2e

e

Nqm

γκ ωε ω ω ω γ

= ⋅− +

(4.2.5)

Από τη (σχ. 4.2.5) για 0ω ω= θα έχουµε:

( ) ( )maxκ ω κ ω= και ( ) 2

0 0max2e eNq mκ ω ε ω γ= .

Όταν ( ) ( )0 max2 2ω ω γ κ ω κ ω= ± ⇒ = και το ∆ω στο µισό του µεγίστου γίνεται

( )2∆ω γ 2 γ= = . Επειδή επίσης 0 1ω γ (συνθήκη αραιού αερίου) τότε 0∆ω ω

(Σχ. 4.2.1.α). Στα σηµεία του µισού µεγίστου του ( )κ ω , ο ( )n ω παίρνει τη µέγιστη

και την ελάχιστή του τιµή δηλ:

( )2

max0 0

14

e

e

Nqnm

ωε ω γ

= + όταν 0 02 2∆ω γω ω ω= − = −

και ( )2

min0 0

14

e

e

Nqnm

ωε ω γ

= − όταν 0 02 2∆ω γω ω ω= + = +

28

- 147 -

(Σχ. 4.2.1) όπως αυτό φαίνεται στο (Σχ. 4.2.1.β). Από τη (σχ. 4.2.4) είναι δυνατόν να διαπι-στώσουµε ότι όταν 0ω ω≈ δηλ. η συχνότητα της διαδιδόµενης H/M διαταραχής πλησιάζει αυτή της συχνότητας συντονισµού των ατόµων του διηλεκτρικού ((Σχ. 4.2.1β) περιοχή βγ της καµπύλης ( )n ω ), τότε ο παράγοντας ( ) ( )2 2

0 2ω ω γ− µε

συνέπεια 0dn dω < . Αυτή ακριβώς η περιοχή (όπου η κλίση της ( )n ω είναι αρνη-

τική) ονοµάζεται περιοχή ανώµαλου διασκεδασµού (anomalous (abnormal) dis-persion) και η περιοχή γύρω από την 0ω ταινία απορρόφησης (absorption band). Μέσα δηλ. σ’ αυτήν την περιοχή συχνοτήτων έχουµε τις µέγιστες τιµές του συντε-λεστή απόσβεσης και κατά προέκταση του συντελεστή απορρόφησης. Τότε το διη-λεκτρικό απορροφά τελείως την προσπίπτουσα H/M ακτινοβολία αυξάνοντας την εσωτερική του ενέργεια.

Όταν 0ω ω< και 0 2γω ω→ − (όπου maxn n= ) τότε η συνάρτηση ( )n ω είναι

αύξουσα. Η περιοχή αυτή (Σχ. 4.2.1 β τµήµα αβ της καµπύλης) ονοµάζεται περιοχή

29

- 148 -

οµαλού διασκεδασµού (normal dispersion) και είναι το τµήµα της καµπύλης που µας ενδιαφέρει περισσότερο από πρακτική άποψη για ένα συγκεκριµένο διηλεκτρι-κό κατά την µελέτη του δ.δ. του. Αύξουσα µεταβολή παρουσιάζει η ( )n ω και για

0 2γω ω> + όπου minn n= . Η περιοχή αυτή (Σχ. 4.2.1 β, τµήµα γδ της καµπύλης) αν

και ανήκει σε περιοχή του οµαλού διασκεδασµού εντούτοις παρουσιάζει µια ιδιο-µορφία η οποία περιγράφεται στα επόµενα.

Το γεγονός όπου γενικά 0ω ω> , εµφανίζεται στην περίπτωση για την οποία π.χ. φωτίζουµε ένα κοινό γυαλί (για το οποίο γνωρίζουµε ότι απορροφά στην υπε-ριώδη περιοχή του Η/Μ φάσµατος) µε µια δέσµη ακτίνων –Χ. Τότε πράγµατι

0ω ω> και µε τη βοήθεια το απλού τύπου του διασκεδασµού (σχ. 4.1.17) διαπι-στώνουµε ότι 1n < . Όµως από τον ορισµό του n προκύπτει: ph cυ > . ∆ηλ. εµφανί-

ζεται ένα αποτέλεσµα το οποίο παραβιάζει την αρχή της ειδικής θεωρίας της σχετι-κότητας σύµφωνα µε την οποία δεν υπάρχει ταχύτητα στη φύση που να υπερβαίνει την ταχύτητα του φωτός. Συµβαίνει δηλ. να έχουµε η ταχύτητα φάσης υph των δια-διδόµενων διαταραχών στο εσωτερικό του υλικού να υπερβαίνει την ταχύτητα του φωτός. Το γεγονός αυτό όντως ισχύει στην πραγµατικότητα χωρίς όµως να συνεπά-γεται ότι παραβιάζεται η προαναφερόµενη αρχή.

Πράγµατι η ταχύτητα φάσης (βλ. Ε.Σ.Σ.Φ. § 1.1) είναι αυτή µε την οποία κι-νείται ένα οποιοδήποτε σηµείο µιας π.χ. αρµονικής διαταραχής την οποία όµως θε-ωρούµε ότι είναι απείρου µήκους και άπειρης διάρκειας. Μια τέτοια βέβαια διατα-ραχή δεν συνιστά µε κανέναν τρόπο “πληροφορία”. Θα µπορούσαµε να πούµε ότι πρόκειται περισσότερο για µαθηµατική έννοια. Προκειµένου να συντεθεί και κατά προέκταση να διαδοθεί πληροφορία, θα πρέπει οπωσδήποτε να υπάρξει µία ο-ποιασδήποτε µορφής “αλλοίωση” της αρµονικής διαταραχής. Ένα τέτοιο γεγονός συµβαίνει π.χ. όταν αντί για µία, διαδώσουµε στην ίδια διεύθυνση δύο αρµονικές διαταραχές µε παραπλήσιες συχνότητες. Τότε όµως αποδεικνύεται (βλ. ΠΑΡ/ΜΑ 7) ότι η επαλληλία των δύο διαταραχών αναδεικνύει µια συνισταµένη διαταραχή µε µορφή διακροτηµάτων (beats). Η ταχύτητα των τελευταίων, η οποία ονοµάζεται ταχύτητα οµάδος (group velocity) υg διαφοροποιείται ριζικά κατά µέτρο από τις ταχύτητες φάσης των δύο συνιστωσών και αποδεικνύεται ότι είναι πάντα µικρότερη από αυτές. Το διακρότηµα είναι αυτό που για την προαναφερόµενη περίπτωση συ-νιστά την “πληροφορία”, δηλ. το διαδιδόµενο σήµα το οποίο κοµίζει µια συγκεκρι-µένη ενέργεια. Είναι λοιπόν τελικά η ταχύτητα διάδοσης αυτού του σήµατος που δεν µπορεί να υπερβεί την ταχύτητα του φωτός ακόµη και αν οι συνιστώσες αρµο-νικές διαταραχές διαδίδονται στο κενό, δηλ. σε µέσο που υποτίθεται ότι δεν παρου-σιάζει διασκεδασµό. Στην περίπτωση βέβαια που το µέσο παρουσιάζει διασκεδα-σµό η ταχύτητα υg του σήµατος δεν θα εξαρτάται µόνο από το δείκτη διάθλασης n

30

- 149 -

(δηλ. από την ταχύτητα φάσης) αλλά και από την µεταβολή του ως προς τη συχνό-τητα (βλ. ΠΑΡ/ΜΑ 7).

Θα προσπαθήσουµε τώρα να ερµηνεύσουµε∗ - ποιοτικά ως επί το πλείστον – γιατί στην περίπτωση για την οποία 0ω ω> η ταχύτητα φάσης της διαταραχής στο εσωτερικό ενός διηλεκτρικού είναι µεγαλύτερη ή µάλλον προπορεύεται (την ίδια χρονική στιγµή) συγκρινόµενη µε τη διαταραχή που διαδίδεται εκτός του υλικού. Αυτό που παρατηρούµε από τη (σχ. 4.1.14) στην περίπτωση όπου 0ω ω> είναι ότι η στιγµιαία µετατόπιση x(t) του ταλαντούµενου φορτίου qe και το πεδίο Ε(t) έχουν αντίθετα πρόσηµα. Το γεγονός σηµαίνει ότι το φορτίο κινείται σε διεύθυνση αντί-θετη από αυτήν του εφαρµοζόµενου πεδίου. Το αποτέλεσµα αυτό δεν εγκαθίσταται άµεσα µε την εφαρµογή του πεδίου στο υλικό, αλλά φαίνεται να υφίσταται µια µε-ταβατική κατάσταση (transient), ένα είδος χρονικής καθυστέρησης µετά την οποία η φάση του ταλαντούµενου φορτίου είναι αντίθετη µε αυτήν του πεδίου. Κάτω απ’ αυτές τις συνθήκες βλέπουµε (Σχ. 4.2.2 β) ότι η φάση του διαδιδόµενου στο υλικό πεδίου φαίνεται να προπορεύεται αυτής του πεδίου που διαδίδεται εκτός του υλι-κού. Είναι αυτή η προπορεία της φάσης στο υλικό την οποία εννοούµε όταν λέµε ότι η ταχύτητα φάσης (phase velocity) είναι µεγαλύτερη αυτής της ταχύτητας του

(Σχ. 4.2.2)

φωτός c. ∆ηλ. την ίδια χρονική στιγµή η ταχύτητα ενός σηµείου της διαταραχής του πεδίου (δηλ. η ταχύτητα φάσης) εντός του υλικού, προπορεύεται αυτής του αντι-στοίχου σηµείου της διαταραχής εκτός του υλικού του οποίου η ταχύτητα βέβαια είναι η c. ∗ βλ. R. Feynman, R. Leighton, M. Sands “The Feynman lectures on Physics” vol II § 31-3

31

- 150 -

Στο (Σχ. 4.2.2) φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις α) Για την περίπτωση όπου 0ω ω< και β) όπου 0ω ω> . Οι διαδιδόµενες διαταραχές στο εσωτερικό του υλικού συγκρίνονται µε αυτήν εκτός του υλικού. Με αφετηρία ένα συγκεκριµένο σηµείο εκκίνησης και λαµβάνοντας υπόψη την χρονική καθυστέρηση εµφάνισης της διαταραχής στο εσωτερικό του υλικού, βλέπουµε ταυτόχρονα τα αντίστοιχα σηµεία της διαταραχής εντός και εκτός του µετά την παρέλευση π.χ. τριών περιό-δων της διαταραχής εκτός του υλικού. Τότε διαπιστώνουµε τα εξής: α) Για 0ω ω< δηλ. 1n > η φάση στο εσωτερικό του υλικού καθυστερεί σε σχέση µε αυτήν εκτός. β) Για 0ω ω> δηλ. 1n < , η φάση προπορεύεται στο εσωτερικό σε σχέση µε αυτήν του υλικού.

Νόµος του Beer Συνήθως στις πρακτικές εφαρµογές µας αφορά όχι η εξασθένιση του πλά-

τους της H/M διαταραχής αλλά η ένταση I της ακτινοβολίας καθώς αυτή διαδίδεται σ’ ένα διηλεκτρικό. Αν λοιπόν ένα επίπεδο µέτωπο κύµατος, έντασης 0I I= στη θέση 0z = µιας επίπεδης πλάκας διηλεκτρικού διαδοθεί στο εσωτερικό της κατά dz τότε η σχετική εξασθένισή της dI I θα δίνεται από τη σχέση:

dI adzI= − (4.2.6)

όπου α είναι ο συντελεστής απορρόφησης (absorption coefficient) του υλικού και παριστάνει τη σχετική εξασθένιση της δέσµης όταν αυτή διανύσει µήκος ίσο µε τη µονάδα. Η ολοκλήρωση της (σχ. 4.2.6) για 0z = , 0I I= µας οδηγεί στο γνωστό νό-µο του Beer: 0

azI I e−= (4.2.7) Αν συγκρίνουµε τον εκθέτη της (σχ. 4.2.7) µε αυτόν της (σχ. 3.9.β) του (ΠΑΡ/ΜΑΤΟΣ 3β) βρίσκουµε ότι: 04a πκ λ= (4.1.8) όπου κ ο συντελεστής απόσβεσης.

∆είκτες διάθλασης για πυκνά διηλεκτρικά. Εξίσωση των Clausius – Mossotti Οι εξισώσεις διασκεδασµού ((σχ. 3.12.β) και (σχ. 3.13.β) ΠΑΡ/ΜΑ 3β)) κα-

θώς και οι αντίστοιχες απλοποιηµένες (σχ. 4.2.4) και (σχ. 4.2.5), παρά το ότι µπο-ρούν κατά προσέγγιση να εφαρµοστούν για υγρά και στερεά διηλεκτρικά, περιγρά-φουν στην πραγµατικότητα µε ακρίβεια µόνον αέρια και µάλιστα αρκετά αραιά, αν

32

- 151 -

και έχει ληφθεί υπόψη η υπόθεση για την δύναµη τριβής µεταξύ των ατόµων τους. Προκειµένου όµως για πυκνά διηλεκτρικά, εκτός από τους άλλους παράγοντες που πρέπει να θεωρήσουµε για την κατάστρωση της εξίσωσης κίνησης του αρµονικού ταλαντωτή, θα πρέπει να λάβουµε υπόψη µας και έναν άλλο πεδιακό παράγοντα.

Πράγµατι όταν τα άτοµα είναι πολύ κοντά µεταξύ τους το καθένα από αυτά δέχεται τη δράση των γειτονικών του µε συνέπεια στη θέση που βρίσκεται το κάθε άτοµο να υφίσταται ένα πρόσθετο ηλεκτρικό πεδίο. Το συγκεκριµένο πεδίο για ο-µογενή και ισότροπα µη πολικά διηλεκτρικά (καθώς και γι’ ανισότροπα του κυβι-κού συστήµατος) υπολογίστηκε από τον Lorentz και έχει την τιµή 03P ε , όπου P η πόλωση του διηλεκτρικού. Άρα όταν σ’ ένα διηλεκτρικό έχουµε την επίδραση ενός πεδίου ( )E t , τότε το συνολικό τοπικό πεδίο LE (πεδίο Lorentz) θα έχει την τιµή:

( ) ( )03L

P tE E t

ε= + (4.2.9)

όπου ( ) ( )0P t E tχε= . Τότε η µονοδιάστατη εξίσωση κίνησης του αρµονικού ταλα-

ντωτή παίρνει τη µορφή:

22

202

03e

e

Nqd P dP PP Edt dt m

γ ωε

⎛ ⎞+ + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.2.10)

Η διηλεκτρική σταθερή Ek θα δίνεται από τη σχέση:

2

0 22 20

03

e eE

e

e

Nq mkNq i

m

εω ω γω

ε

= +− − +

(4.2.11)

και ο µιγαδικός δ.δ. n από την:

2

22 2 20

13

p

p

ni

ωω ω ω γω

= +− − +

(4.2.12)

όπου 2 20p e eNq mω ε= είναι η λεγόµενη συχνότητα πλάσµατος (plasma frequency).

Η εξίσωση (4.2.12) µπορεί να γραφεί µε την ίδια µαθηµατική µορφή όπως η (σχ. 4.2.2) και η οποία αφορά το δ.δ. των αραιών αερίων. Αυτό γίνεται ορίζοντας µια νέα συχνότητα συντονισµού την mω ως εξής:

2 2 20 3m pω ω ω= − (4.2.13)

οπότε το γεγονός ότι διαπραγµατευόµαστε ένα πυκνό οπτικό µέσο δηλ. ένα µέσο στο οποίο τα γειτονικά µόρια αλληλεπιδρούν, συνεπάγεται την ελάττωση της συ-χνότητας συντονισµού σε σχέση µ’ αυτήν των ελεύθερων µορίων. Από φυσική ά-ποψη, η µετατόπιση αυτής της συχνότητας µπορεί να κατανοηθεί θεωρώντας ότι τα γειτονικά µόρια στο πυκνό µέσο ταλαντεύονται από κοινού. ∆ηλ. το ηλεκτρικό πε-δίο λόγω των παρακειµένων µορίων ενεργεί ενάντια στην δύναµη επαναφοράς του ταλαντωτή ελαττώνοντας την ενεργό “σταθερή του ελατηρίου”.

33

- 152 -

(Πίν. 4.2.3(1))

Για την περίπτωση που εξετάζουµε, είναι αρκετά δύσκολο να διαχωρίσουµε

το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος της (σχ. 4.2.12) που αφορά το δ.δ. Αποδει-κνύεται ότι για µη πολικά διηλεκτρικά και για µία συχνότητα συντονισµού mω ο δ.δ. δίνεται από την εξίσωση των Clausius – Mossotti:

22

2 2 20

1 12 3

e

e m

Nqnn m iε ω ω γω

−= ⋅

+ − + (4.2.14)

λ

(nm)

Φασµατικές γραµµές

BK7 BaK2 BaK4 F2 SF10 IRGN6 LaSFN9

Τετηγµένοςχαλαζίας

(Fused Silica)

1 280 1.5612 1.5914 1.6289 1.7474 1.9495 2.0601 1.494 2 290 1.5567 1.5862 1.6224 1.7307 1.8624 2.0318 1.4905 3 300 1.5529 1.5816 1.6169 1.717 1.7974 2.0085 1.4875 4 310 1.5495 1.5776 1.6121 1.7055 1.7488 1.9892 1.4848 5 320 1.5465 1.5741 1.6079 1.6959 1.7124 1.9729 1.4824 6 334.1 1.5427 1.5698 1.6028 1.6845 1.6759 1.954 1.4795 7 350 1.5392 1.5656 1.598 1.6742 1.6488 1.9369 1.4766 8 365 ni 1.5363 1.5622 1.5941 1.6662 1.632 1.9237 1.4743 9 370 1.5354 1.5612 1.5929 1.6639 1.7978 1.6277 1.9199 1.4736 10 380 1.5337 1.5593 1.5907 1.6595 1.7905 1.6206 1.9128 1.4723 11 390 1.5322 1.5576 1.5887 1.6557 1.784 1.6151 1.9065 1.4711 12 400 1.5308 1.556 1.5869 1.6521 1.7783 1.6107 1.9009 1.47 13 404.7 nh 1.5302 1.5552 1.5861 1.6506 1.7758 1.609 1.8984 1.4695 14 420 1.5284 1.5531 1.5837 1.6461 1.7685 1.6044 1.8912 1.4681 15 435.8 ng 1.5267 1.5512 1.5815 1.642 1.762 1.601 1.8847 1.4667 16 460 1.5244 1.5486 1.5785 1.6368 1.7537 1.5974 1.8763 1.4649 17 480 nF΄ 1.5228 1.5468 1.5765 1.6331 1.748 1.5954 1.8706 1.4636 18 486.1 nF 1.5224 1.5463 1.5759 1.6321 1.7465 1.5948 1.869 1.4632 19 500 1.5214 1.5452 1.5747 1.6299 1.7432 1.5937 1.8656 1.4625 20 546.1 ne 1.5187 1.5421 1.5712 1.6241 1.7343 1.591 1.8565 1.4603 21 580 1.5171 1.5403 1.5692 1.6207 1.7292 1.5895 1.8513 1.4589 22 587.6 nd 1.5168 1.54 1.5688 1.62 1.7282 1.5892 1.8503 1.4587 23 620 1.5155 1.5386 1.5673 1.6175 1.7244 1.588 1.8463 1.4576 24 632.8 n632.8 1.5151 1.5381 1.5667 1.6166 1.7231 1.5876 1.8449 1.4572 25 643.8 nC΄ 1.5147 1.5377 1.5662 1.6158 1.722 1.5872 1.8438 1.4569 26 656.3 nC 1.5143 1.5372 1.5658 1.615 1.7209 1.5868 1.8426 1.4566 27 660 1.5142 1.5371 1.5656 1.6148 1.7205 1.5867 1.8422 1.4565 28 700 1.5131 1.5358 1.5642 1.6126 1.7173 1.5855 1.8388 1.4555 29 1060 n1060 1.5067 1.5292 1.5569 1.6019 1.7023 1.5783 1.8229 1.4498 30 1529.6 n1529.6 1.5009 1.5228 1.5512 1.5951 1.6938 1.5721 1.8137 1.4442 31 1970.1 n1970.1 1.4951 1.5188 1.5458 1.5896 1.6875 1.5666 1.8068 1.4384 32 2325.4 n2325.4 1.4897 1.5141 1.541 1.5848 1.6822 1.5617 1.801 1.433

34

- 153 -

Για την περιοχή του οµαλού διασκεδασµού δηλ. σε περιοχές που η απορρόφηση θεωρείται αµελητέα ( 2 2

0ω ω γω− ) η (σχ. 4.1.14) απλοποιείται στην:

22

2 2 20

1 12 3

e

e m

Nqnn mε ω ω

−= ⋅

+ − (4.2.15)

Στον (Πίν. 4.2.3(1)) δίνονται οι τιµές των δ.δ. για ορισµένα από τα περισσό-

τερο χρησιµοποιούµενα σήµερα γυαλιά µε τις εµπορικές τους ονοµασίες (π.χ. ΒΚ7 (Borosilicate crown), SF10 (Dense flind) κ.τ.λ. Από τα υλικά αυτά κατασκευάζεται το σύνολο σχεδόν των οπτικών εξαρτηµάτων (φακοί, πρίσµατα, οπτικές ίνες κ.λ.π.) που χρησιµοποιούνται για εφαρµογές στις περιοχές UVB, UVA, VIS και στην κο-ντινή υπέρυθρη περιοχή του Η/Μ φάσµατος. Επίσης στο (Σχ. 4.2.3(2)) φαίνονται οι

(Σχ. 4.2.3(2))

καµπύλες διασκεδασµού για ορισµένα από αυτά µεταξύ 200 και 1600 nm. Από πρακτική τώρα άποψη τα διαφανή διηλεκτρικά (π.χ. γυαλιά) έχουν συχνότητες συ-ντονισµού έξω από την ορατή περιοχή του H/M φάσµατος. Οι περιοχές αυτές βρί-

35

- 154 -

σκονται σε µ.κ. γύρω στα 100 nm. Αυτό σηµαίνει ότι για ένα κοινό γυαλί (soda lime) (π.χ. τα τζάµια από τα παράθυρά του σπιτιού µας) από ένα πάχος και µετά αποκόπτουν τις υπεριώδεις ακτινοβολίες (βλ. § 2.3.4). ∆εν συµβαίνει όµως το ίδιο και µε τις υπέρυθρες ακτινοβολίες οι οποίες µπορούν να το διαπεράσουν. Όταν ό-µως κατά την κατασκευή του γυαλιού στο εσωτερικό του παγιδευτούν περιοχές µε νερό (µικροσκοπικά εγκλείσµατα) τότε το υπέρυθρο απορροφείται. Πράγµατι για τις περιοχές συχνοτήτων που αντιστοιχεί το υπέρυθρο (π.χ. ν 1310 Hz) έχουµε διπο-λική πόλωση µε συνέπεια τα µόρια του νερού να συντονίζονται και ν’ απορροφούν σ’ αυτές τις συχνότητες. Το ίδιο π.χ. συµβαίνει µε τα µόρια του CO2. Στις πολύ χα-µηλότερες συχνότητες των ραδιοκυµάτων 105-109 Ηz το γυαλί γίνεται και πάλι δια-περατό. Στο (Σχ. 4.2.4) δίνουµε πρόσθετα τις καµπύλες διασκεδασµού για διάφορα υλικά, για τις περιοχές από το υπεριώδες µέχρι το µακρό – υπέρυθρο.

Αναφέραµε προηγουµένως και είδαµε στα διαγράµµατα των (Σχ. 4.2.3(2)) και (Σχ. 4.2.4) ότι τα διαφανή διηλεκτρικά δεν έχουν ακµές απορρόφησης στην ό-ρατή περιοχή του φάσµατος. Αν όµως κατά τη διαδικασία της παρασκευής τους αναµιχθούν µ’ αυτά διάφορες χρωστικές ουσίες (συνήθως οργανικά µόρια) και οι

(Σχ. 4.2.4)

οποίες έχουν ακµές ή ταινίες απορρόφησης σ’ αυτήν την περιοχή, τότε παίρνουµε τα γνωστά µας έγχρωµα γυαλιά. Τα ίδια ακριβώς ισχύουν και κατά την ανάµιξη χρωστικών σε σελουλόζη ή άλλης µορφής πλαστικά µε συνέπεια να προκύπτουν οι έγχρωµες ζελατίνες. Στο (Σχ. 4.2.5) βλέπουµε τις καµπύλες διαπερατότητας (%) συναρτήσει του µ.κ. λ που αντιστοιχούν σε τρία υλικά (έγχρωµα φίλτρα) που µας

36

- 155 -

δίνουν χρωµατικά: (α) το λαµπερό µπλε (µπλε – ηλεκτρίκ) (bright blue), (β) το πράσινο του βρύου (moss green) και (γ) το έντονο κόκκινο (της φωτιάς) (fire). Π.χ για να εµφανιστεί το χρώµα του φίλτρου (β) θα πρέπει να έχουµε εκτεταµένες ζώ-νες απορρόφησης στις ιώδες – µπλε περιοχές του φάσµατος καθώς και στις κίτρινο

(Σχ. 4.2.5)

–κόκκινες περιοχές όπως αυτό φαίνεται από την καµπύλη διαπερατότητας του. Μια όχι πολύ αυστηρή θεώρηση αυτού του είδους των φίλτρων, τα κατατάσσει σε κοινά (common), φασµατικά (specrrum) και µονοχρωµατικά (monochromatic) ανάλογα

(Σχ. 4.2.6)

µε το εύρος των µ.κ. (ζώνη διέλευσης) που επιτρέπουν να περάσει δια µέσου τους. Π.χ. για τα µονοχρωµατικά λεγόµενα φίλτρα, το εύρος αυτό θα πρέπει να είναι µι-κρότερο από 10 nm. Στο (Σχ. 4.2.6) φαίνονται οι καµπύλες διαπερατότητας (%) των τριών τέτοιων φίλτρων για την πράσινη περιοχή του ορατού φάσµατος.

37

- 156 -

5 Ο εµπειρικός τύπος του Cauchy και η εξίσωση του Sellmeier Ο τύπος του Cauchy Μια από τις πρώτες αναλυτικές σχέσεις διασκεδασµού (της µεταβολής δη-

λαδή του δ.δ. συναρτήσει του µ.κ.), προτάθηκε από τον Cauchy το 1836 και έχει τη µορφή:

2 4 ...B Cn Aλ λ

= + + + (5.1)

όπου Α, Β, C σταθερές που προσδιορίζονται πειραµατικά. Πράγµατι αυτό γίνεται αν µετρήσουµε το δ.δ. ενός υλικού σε τρία διαφορετικά µ.κ. και λύσουµε το σύστηµα των τριών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους. Ο τύπος του Cauchy τις περισσότερες φορές εµφανίζεται να περιλαµβάνει δύο όρους:

2

Bn Aλ

= + (5.2)

Αν και εµπειρικός, οι διάφορες προσεγγίσεις του n µε τη βοήθεια του τύπου του Cauchy, δίνουν αρκετά ακριβή αποτελέσµατα για την περιοχή του οµαλού διασκε-δασµού. ∆εν είναι σε θέση όµως να προβλέψουν τη συµπεριφορά του υλικού στην περιοχή που εµφανίζεται απορρόφηση (ανώµαλος διασκεδασµός).

Πράγµατι αν οι µετρήσεις του δ.δ. επεκταθούν και εκτός της περιοχής αβ (Σχ. 5.1) του οµαλού διασκεδασµού από την ορατή προς την περιοχή του υπέρυ-θρου, τότε ο δ.δ. αντί κανονικά να τείνει προς την τιµή του Α (για λ →∞ ), η τιµή

(Σχ. 5.1)

38

- 157 -

του ελαττώνεται µε πολύ γρήγορο ρυθµό µέχρις του σηµείου που να µην µπορούµε να τον µετρήσουµε επειδή η ακτινοβολία εκείνης της περιοχής θα έχει απορροφη-θεί. Μπορούµε να ξαναµετρήσουµε το δ.δ. για µ.κ. πέρα από την περιοχή απορρό-φησης και η τιµή του θα είναι πολύ µεγαλύτερη από αυτές που µετρούσαµε προη-γουµένως. Για την περίπτωση αυτή (τµήµα γδ της καµπύλης), βρισκόµαστε και πά-λι στην περιοχή οµαλού διασκεδασµού, αν και τώρα οι τιµές των παραµέτρων Α και Β του τύπου του Cauchy είναι διαφορετικές. Το όνοµα ανώµαλος διασκεδασµός προήλθε από το γεγονός ότι ο δ.δ. µετρούµενος στο σηµείο γ, που αντιστοιχεί σε ένα ορισµένο µ.κ., βρέθηκε µεγαλύτερος από αυτόν που υπολογίζουµε π.χ. στο ση-µείο β και το οποίο αντιστοιχεί σε µικρότερο µ.κ. µε βάση το γεγονός ότι στην πε-ριοχή του οµαλού διασκεδασµού ο δ.δ. n είναι φθίνουσα συνάρτηση του λ. Περιο-χές λοιπόν οµαλού διασκεδασµού, θα θεωρούµε εκείνες που βρίσκονται µεταξύ δύο ταινιών απορρόφησης και µάλιστα αρκετά µακριά από αυτές.

Η εξίσωση του Sellmeier Όπως γίνεται φανερό από τα προαναφερόµενα, οι τύποι του Cauchy δεν εί-

ναι δυνατόν να περιγράψουν το φαινόµενο στην περιοχή του ανώµαλου διασκεδα-σµού. Αυτό είναι δυνατόν να επιτευχθεί µε βάση τις υποθέσεις του Sellmeier (1871) για την σύνθεση της ύλης από σωµατίδια που µεταξύ τους συνδέονται µε ελαστικής φύσης δυνάµεις. Αν δεν επιδρά εξωτερική δύναµη τότε τα σωµατίδια τα-λαντεύονται µε µια συγκεκριµένη συχνότητα ν0 (φυσική συχνότητα). Αν όµως η επίδραση είναι περιοδική (π.χ. δυνάµεις από τη δράση του αρµονικού ηλεκτρικού πεδίου του προσπίπτοντος φωτός συχνότητας ν), τότε τα σωµατίδια πάλλονται µε εξαναγκασµένο τρόπο, έτσι ώστε το γεγονός αυτό να επηρεάζει την ταχύτητα διά-δοσης του υ στο µέσο, άρα και το δ.δ. n c υ= όπου υ η ταχύτητα φάσης. Οι υπολο-γισµοί του Sellmeier οδήγησαν σε µια εξίσωση διασκεδασµού της µορφής:

2

22 2

0

1 Sn λλ λ

= +−

(5.3)

όπου S, λ0 είναι δύο σταθερές που υπολογίζονται όπως και για την περίπτωση του τύπου του Cauchy µε τη βοήθεια πειραµατικών µετρήσεων του δ.δ. για δύο διαφο-ρετικά µήκη κύµατος λ. Το λ0 είναι ουσιαστικά το µ.κ. στο κενό που αντιστοιχεί στη συχνότητα συντονισµού ν0. Αν το υλικό παρουσιάζει συντονισµό για περισσό-τερες από µία συχνότητες, τότε η (σχ. 5.3) παίρνει τη µορφή:

2

22 2

1

1N

i

i i

Sn λλ λ=

= +−∑ (5.4)

όπου λi , i=1,2,…,Ν είναι τα µ.κ. που αντιστοιχούν στις συχνότητες συντονισµού νi. Η γραφική παράσταση της (σχ. 5.4) για Ν=2 δίνεται στο (Σχ. 5.2)

39

- 158 -

(Σχ. 5.2)

Η εξίσωση του Sellmeier είναι πιο βελτιωµένη σε σχέση µε τον τύπο του

Cauchy επειδή: α) περιγράφει την περιοχή του ανώµαλου διασκεδασµού και β) δί-νει µεγαλύτερη ακρίβεια στον υπολογισµό του δ.δ. n για την περιοχή του οµαλού διασκεδασµού σε σχέση µε αυτή του Cauchy µε τον ίδιο αριθµό σταθερών. Στην (Άσκ. 3), αποδεικνύεται ότι ο τύπος του Cauchy είναι µια προσέγγιση της εξίσωσης του Sellmeier. Η τελευταία είναι ακριβώς ίδια µε αυτήν που παράγεται µε βάση την Η/Μ θεωρία και τις µικροσκοπικές υποθέσεις της ατοµικής θεωρίας (§ 4, σχ. 4.1.17). Ακόµη και σήµερα χρησιµοποιείται για τον ακριβή προσδιορισµό των δ.δ. συναρτήσει του λ.

6 Ανάλυση του φωτός µε τη βοήθεια οργάνων

Ανάλυση εννοούµε τη διάκριση των επί µέρους συνιστωσών, όσον αφορά την ένταση και το µ.κ., µιας συγκεκριµένης ακτινοβολίας. Η ανάλυση των διαφό-ρων περιοχών του Η/Μ φάσµατος είναι αντικείµενο του ερευνητικού κλάδου της Φασµατοσκοπίας. Ανάλογα µε την συγκεκριµένη περιοχή, µιλούµε για φασµατο-σκοπία υπεριώδους (UV), ορατού (VIS), υπέρυθρου (IR) κ.λ.π. Στην προκειµένη περίπτωση µας ενδιαφέρει η ανάλυση της περιοχής των ορατών ακτινοβολιών. Όρ-γανα τα οποία εκτελούν τέτοιου είδους διεργασίες έχουν κατασκευαστεί σε µεγάλο αριθµό, από τον προηγούµενο αιώνα µέχρι σήµερα και δεν µπορούν, να περιγρα-φούν παρά οι γενικές αρχές λειτουργίας ορισµένων από αυτά. Η έµφαση που δίνε-ται σήµερα κατασκευαστικά, είναι κυρίως στη βελτίωση των αναλυτικών τους στοιχείων (πρισµάτων, φραγµάτων κ.λ.π) καθώς και στην αυτοµατοποίηση τους. Σαν αυτοµατοποίηση, εννοούµε ότι η ανάλυση των ακτινοβολιών και η παράθεση

40

- 159 -

των φασµάτων γίνεται σε πραγµατικό χρόνο για την περίπτωση π.χ. που η φασµα-τική κατανοµή της εκπεµπόµενης ακτινοβολίας από µία πηγή µεταβάλλεται χρονι-κά. Τα όργανα τα οποία µας ενδιαφέρουν εδώ και στοιχειωδώς θα περιγράψουµε είναι: α) Το φασµατοσκόπιο πρίσµατος. Με την βοήθειά του είναι δυνατόν να κά-νουµε µετρήσεις δ.δ. σε συνάρτηση µε το µ.κ. δηλαδή να προσδιορίσουµε την κα-µπύλη διασποράς ενός συγκεκριµένου υλικού από το οποίο αποτελείται το πρίσµα. Επειδή η βασική λειτουργία ενός τέτοιου οργάνου είναι η ακριβής µέτρηση γωνιών, είναι δυνατόν να γίνουν υπολογισµοί της διαθλαστικής γωνίας ενός πρίσµατος κα-θώς και της γωνίας ελάχιστης εκτροπής για ένα συγκεκριµένο µ.κ. και κατά προέ-κταση ο προσδιορισµός του δ.δ. του υλικού. β) Το φασµατοσκόπιο φράγµατος. Το όργανο αυτό είναι πανοµοιότυπο του προηγουµένου εκτός από το ότι το πρίσµα έ-χει αντικατασταθεί µε ένα φράγµα διερχοµένου φωτός µεγάλης διακριτικής ικανό-τητας. Με τη βοήθειά του µπορούµε να µετρήσουµε µ.κ. φασµατικών γραµµών, ό-ρια φασµατικών ταινιών κ.λ.π. γ) Ο Μονοχρωµάτορας φράγµατος ή πρίσµατος. Πρόκειται για ένα όργανο στου οποίου την είσοδο προσπίπτει συνεχής ακτινοβολία πχ. λευκού φωτός από πηγή αλογόνου και στην έξοδό του µπορούµε να πάρουµε βήµα προς βήµα πολύ στενές περιοχές του φάσµατος, δηλ. µονοχρωµατικό φως που αντιστοιχεί κάθε φορά σε ένα εύρος ζώνης ∆λ και σε ένα κεντρικό µ.κ. λ. Βασικά στοιχεία µέσω των οποίων επιτυγχάνεται η ανάλυση της πολυχρωµατικής ακτινο-βολίας είναι αντίστοιχα τα φράγµατα και τα πρίσµατα µε τη βοήθεια των φαινοµέ-νων της περίθλασης του φωτός και του διασκεδασµού. δ) Ο φασµατογράφος. ∆εν διαφέρει από τον µονοχρωµάτορα, εκτός του ότι στην έξοδό του παρατίθεται ταυ-τόχρονα όλο το αναλυµένο φάσµα της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Π.χ. αν η εί-σοδος του φωτίζεται από µια φασµατική λυχνία Hg τότε στην έξοδό του (π.χ. σ’ ένα film), θα καταγραφούν ταυτόχρονα όλες οι φασµατικές της γραµµές. Αν επίσης η είσοδος του φωτιστεί από πηγή λευκού φωτός, τότε στην έξοδο του θα έχουµε ένα φάσµα συνεχούς κατανοµής.

6.1 Φασµατοσκόπιο πρίσµατος 6.1.1 Περιγραφή του φασµατοσκοπίου πρίσµατος

Στο (Σχ. 6.1.1.1) βλέπουµε το σκαρίφηµα ενός τέτοιου οργάνου. Αποτελεί-

ται από µία βάση (1), πάνω στην οποία είναι τοποθετηµένοι οι δύο κλάδοι του. Πά-νω στο σταθερό κλάδο (2) είναι τοποθετηµένος ο κατευθυντήρας (4). Ο άλλος κλά-δος (3), περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνάει από το κέντρο του οργάνου και πάνω του στηρίζεται ένα τηλεσκόπιο (5). Στον κατακόρυφο άξονα και κάθετα σ’ αυτόν υπάρχει βαθµολογηµένος κυκλικός δίσκος (7) πάνω στον ο-ποίο βρίσκεται τράπεζα (6), της οποίας η οριζοντιότητα µπορεί να ρυθµιστεί µε

41

- 160 -

τρεις κοχλίες. Πάνω της σταθεροποιείται το πρίσµα. ∆ίσκος και τράπεζα µπορούν να περιστραφούν γύρω από τον κατακόρυφο άξονα του οργάνου ανεξάρτητα από τον κινητό κλάδο (3). Η θέση του κινητού κλάδου (3) (που µεταφέρει το τηλεσκό-πιο) καθορίζεται µε την βοήθεια δύο βερνιέρων (8) σε αντίθετη ακριβώς θέση, που βρίσκονται σε επαφή µε την κλίµακα που είναι χαραγµένη στη βάση του οργάνου (9). Από τους κοχλίες (10) και (11) ο πρώτος σταθεροποιεί σε µια θέση τον κινητό

(Σχ. 6.1.1.1)

βραχύονα και ο δεύτερος (περιστρεφόµενος) τον κινεί µικροσκοπικά περί τον κα-τακόρυφο άξονα. Η λειτουργία αυτή είναι αναγκαία για µετρήσεις γωνιών µε µεγά-λη ακρίβεια. Ο κατευθυντήρας (4) αποτελείται από τα εξής στοιχεία: Την µεταβλη-τού πλάτους σχισµή (13), η οποία είναι τοποθετηµένη στο ένα άκρο του και είναι δυνατον µε κατάλληλο κοχλία (14) να κινηθεί µπρος – πίσω. Τον παραλληλιστή φακό (15) στο άλλο άκρο του. Το όλο σύστηµα χρησιµοποιείται για να παράγει µια παράλληλη δέσµη φωτός µε την οποία θα φωτιστεί το πρίσµα ή το φράγµα. Για το λόγο αυτό η πηγή (12) της οποίας θέλουµε να εξετάσουµε το φάσµα, τοποθετείται είτε σε επαφή µε την σχισµή (13) ή το φως της µε τη βοήθεια συµπυκνωτή φακού εστιάζει στην ίδια θέση. Η µπρός – πίσω κίνηση της σχισµής µας βοηθά προκειµέ-νου να την τοποθετήσουµε ακριβώς στο πίσω εστιακό επίπεδο του φακού (15), για να πετύχουµε τον παραλληλισµό της δέσµης. Το τηλεσκόπιο (5) αποτελείται από τον αντικειµενικό φακό (16) και τον προσοφθάλµιο (18), ο οποίος διαθέτει σταυρό-νηµα στη θέση εστίασής του αντικειµενικού φακού. Η θέση αυτή βρίσκεται µέσω της µπρος – πίσω κίνησης του προσοφθαλµίου µε τη βοήθεια του κοχλία (17). Ο ίδιος ο προσοφθάλµιος διαθέτει µπρος – πίσω κίνηση σαν όλο των φακών του προ-κειµένου το κάθε µάτι να εστιάζει στο σταυρόνηµα ανεξάρτητα των σφαλµάτων

42

- 161 -

του. Η λειτουργία του προσοφθαλµίου κατά τα γνωστά είναι να µεγεθύνει το φά-σµα το οποίο έχει απεικονιστεί στο πίσω εστιακό επίπεδο του αντικειµενικού φα-κού µετά την ανάλυσή του από το πρίσµα ή το φράγµα. Με την περιστροφή του κλάδου (3) είναι δυνατόν µέσω του τηλεσκοπίου να παρατηρήσουµε κάθε φορά το επιθυµητό τµήµα του φάσµατος της πηγής. 6.1.2 Γωνιακός και γραµµικός διασκεδασµός. ∆ιακριτική ικανότητα

πρίσµατος

Στο (Σχ. 6.1.2.1) φαίνονται σε τοµή τα στοιχεία µέσω των οποίων γίνεται η ανάλυση του φωτός σ’ ένα φασµατοσκόπιο πρίσµατος. Η πηγή (Π) της οποίας θέ-λουµε να πάρουµε το φάσµα, φωτίζει τη σχισµή (Σ) που µε τη σειρά της αποτελεί

(Σχ. 6.1.2.1)

γραµµική πηγή φωτός, εκπέµποντας ένα αποκλείνον κυλινδρικό µέτωπο κύµατος. Αν η πηγή τοποθετηθεί στο µπρός εστιακό επίπεδο του παραλληλιστή φακού (Φ1) το φως που βγαίνει απ’ αυτόν θα είναι ένα επίπεδο µέτωπο κύµατος. Το µέτωπο αυ-τό φωτίζει τη µια πλευρά του πρίσµατος και διαθλώµενο δύο φορές, αναδύεται µε µια γωνία εκτροπής θ. Η γωνία αυτή κατά τα γνωστά (βλ. Γεωµετρική Οπτική § 5.2) σχηµατίζεται από τη διεύθυνση της προσπίπτουσας και αυτή της διαθλώµενης στη δεύτερη πλευρά του πρίσµατος. Το αναδυόµενο µέτωπο κύµατος, µέσω του φακού (Φ2) (του αντικειµενικού του τηλεσκοπίου), εστιάζεται στο πίσω εστιακό του επίπεδο. Επειδή όµως αυτό το µέτωπο κύµατος υπόκειται στους περιορισµούς των ορίων του πρίσµατος και πιο συγκεκριµένα από το ενεργό του πλάτος D (Σχ. 6.1.2.1), θα υφίσταται περίθλαση. (βλ. Περίθλαση του φωτός κεφ. 8). Άρα στο ε-

43

- 162 -

στιακό επίπεδο του φακού (Φ2) δεν θα σχηµατιστεί το γεωµετρικό είδωλο της σχι-σµής (Σ) αλλά µια κατανοµή έντασης που αντιστοιχεί στο πρότυπο περίθλασης µέ-σω του ενεργού πλάτους D της δεύτερης επιφάνειας του πρίσµατος. Το αποτέλεσµα αυτό κατά τα γνωστά, βάζει περιορισµούς όσον αφορά τη σαφή διάκριση δύο φα-σµατικών γραµµών που τυχόν να βρίσκονται πολύ κοντά µεταξύ τους. Προϋποθέ-τουµε για την περίπτωση αυτή το κριτήριο του Rayleight µε βάση το οποίο δύο κα-τανοµές είναι διακριτές σαφώς, όταν το µέγιστο της µια συµπίπτει µε το πρώτο ε-λάχιστο της άλλης.

Έστω λοιπόν ότι από τη σχισµή (Σ) διαδίδεται ακτινοβολία µε µ.κ. λ και λ ∆λ+ . Αυτό θα έχει σαν αποτέλεσµα λόγω της ανάλυσης από το πρίσµα να ανα-δυθούν δύο επί µέρους µέτωπα κύµατος σε γωνίες εκτροπής θ και θ ∆θ+ . Τότε εφόσον δεχθούµε ότι ισχύει το κριτήριο του Rayleight, µε τη βοήθεια των πορισµά-των της περίθλασης από σχισµή (βλ. Περίθλαση του φωτός κεφ. 8), το γωνιακό ά-νοιγµα µεταξύ µεγίστου και ελαχίστου της κατανοµής της έντασης του φωτός θα δίνεται από τη σχέση D∆θ λ= .

Γωνιακός διασκεδασµός d dθ λ Ονοµάζουµε γωνιακό διασκεδασµό (angular dispersion) πρίσµατος το γω-

νιακό διαχωρισµό dθ που επιτυγχάνεται για δύο φασµατικές γραµµές δύο διακε-κριµένων µ.κ. που απέχουν µεταξύ τους κατά dλ . Ο γωνιακός διασκεδασµός ανα-φέρεται για συνθήκες ελάχιστης εκτροπής (minimum deviation) του πρίσµατος, όπου προσπίπτουσες και αναδυόµενες ακτίνες σχηµατίζουν τη ίδια γωνία, µε συνέ-πεια στο εσωτερικό του να διαδίδονται παράλληλα µε τη βάση του (βλ. Γεωµετρική Οπτική ΠΑΡ/ΜΑ 2). Η γωνία ελάχιστης εκτροπής (βλ. Γεωµ. Οπτική § 5.2) δίνεται από τη σχέση:

sin sin2 2

a an θ+= οπότε: 1 cos sin

2 2 2a d a dn

d dθ θ

λ λ+

= (6.1.2.1)

όπου n ο δ.δ. του πρίσµατος, a η διαθλαστικά του γωνία και θ η γωνία ελάχιστης εκτροπής. Αν υποθέσουµε ότι l είναι η πλευρά του πρίσµατος και Β η βάση του τό-τε από το (Σχ. 6.1.2.1) θα έχουµε:

( ) ( )

sin , 2 άρα και2 2 (6.1.2.2)

sin cos 2 οπότε cos 2 και 2sin2

D l

aa a D l B l

π α θφ φ α θ π φ

φ θ θ

+ ⎫= + + = = − ⎪⎪⎬⎪= + + = =⎪⎭

Τις (σχ. 6.1.2.2) τις αντικαθιστούµε στη (σχ. 6.1.2.1) οπότε βρίσκουµε:

d B dnd D dθλ λ= (6.1.2.3)

44

- 163 -

όπου dn dλ ονοµάζεται διασκεδασµός του πρίσµατος και αποτελεί µια χαρακτη-ριστική ιδιότητα του υλικού από το οποίο είναι κατασκευασµένο.

Γραµµικός διασκεδασµός dλ dx Είναι ο λόγος του διαχωριζόµενου εύρους ∆λ ανά µονάδα µήκους x∆ στο

επίπεδο εξόδου του φασµατοσκοπίου. (εδώ στο πίσω εστιακό επίπεδο του φακού Φ2). Πρόκειται για το αντίστροφο του γινοµένου του γωνιακού διασκεδασµού και της ενεργού εστιακής απόστασης του φακού. Πράγµατι:

( ) ( )1 1 1d fd f dx d d dx

d dθθ λ λ

λ λ⋅⎛ ⎞⋅ = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠ επειδή fd dxθ

και το dx µετρείται στο εστιακό επίπεδο του φακού. Με βάση τον ορισµό και τη (σχ. 6.1.2.3) βρίσκουµε:

( )

dx Dd B f dn dλ λ

=⋅ ⋅

(6.1.2.4)

∆ιακριτική ικανότητα (ή ισχύς) πρίσµατος ( / ∆λ λ ) (Resolving power) Από τη (σχ. 6.1.2.3): ( ) ( )B D dn d∆θ ∆λ λ= , όπου ∆θ το γωνιακό άνοιγµα

µεταξύ των µεγίστων δύο γραµµών (ίσης έντασης). Αλλά κατά τα γνωστά D∆θ λ= οπότε:

( )

1 B dn dnBD D d d

B dn d

∆θ λ λ∆λ ∆λ λ ∆λ λ

λ∆λλ

= = ⇒ = ⋅ ⇒

= (6.1.2.5)

∆ηλαδή η µικρότερη διαφορά µ.κ. ∆λ η οποία µπορεί να διακριθεί είναι αντιστρό-φως ανάλογη µε το γινόµενο του µήκους της βάσης του πρίσµατος επί τον διασκε-δασµό του. Αυτό µε την προϋπόθεση ότι οι δέσµες του αναλυοµένου φωτός θα πε-ριθλώνται από το ενεργό όριο του πρίσµατος και όχι από τους φακούς ή άλλα οπτι-κά στοιχεία. Στην προκειµένη περίπτωση η διάµετρος του φακού (Φ2) θα πρέπει να είναι µεγαλύτερη από το D. Η διακριτική ικανότητα του πρίσµατος ορίζεται από τη σχέση:

dnBd

λ∆λ λ

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.1.2.6)

Είναι αδιάστατο µέγεθος και εκφράζει την ι*κανότητα του πρίσµατος να διαχωρίσει δύο διπλανές φασµατικές γραµµές που το κεντρικό τους µ.κ. είναι λ και διαφέρουν

45

- 164 -

κατά ∆λ. Η µικρότερη διαφορά µ.κ. ∆λ η οποία µπορεί να διακριθεί (διακριτικό ό-ριο min∆λ ) δεν πρέπει να συγχέεται µε την έννοια εύρος ζώνης ∆λ (bandpass) ενός αναλυτικού οργάνου, το οποίο εξαρτάται εκτός των άλλων παραγόντων από το πλάτος της σχισµής εξόδου και εισόδου του συστήµατος, το πλάτος του φράγµατος ή την ενεργό διατοµή του πρίσµατος, τα οπτικά σφάλµατα και τη χωρική διακριτι-κή ικανότητα (spatial resolution) του ανιχνευτή. (βλ. Μονοχρωµάτορες § 6.3.2).

Παράδειγµα Η κίτρινη γραµµή εκποµπής D της φασµατικής λυχνίας του Nα κατά τα

γνωστά αποτελείται από δύο γραµµές D1 και D2 πολύ κοντά µεταξύ τους µε µ.κ.

1589.593 nmDλ = και

2588.996 nmDλ = . Ποιο θα πρέπει να είναι το µήκος της βάσης

του πρίσµατος προκειµένου οι προαναφερόµενες γραµµές µόλις να διακρίνονται; ∆ίνεται ότι ο διασκεδασµός dn dλ στην περιοχή των γραµµών είναι 35.3 10 / mm−× .

• Απάντηση: Από τη σχέση ( )

1dnB Bd d d dn dλ λλ λ λ λ

⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Επειδή ( )1 22 589,29 nmD Dλ λ λ= + = και

1 20,597 nmD D∆λ λ λ= − = θα έχουµε

1,86 cm.B 6.1.3 Μετρήσεις µε τη βοήθεια του φασµατοσκοπίου πρίσµατος α) Μέτρηση της διαθλαστικής γωνίας πρίσµατος

Φωτίζουµε τη διαθλαστική γωνία του πρίσµατος µε το επίπεδο µέτωπο κύ-µατος που προέρχεται από το σωλήνα του κατευθυντήρα του τηλεσκοπίου (Σχ.

(Σχ. 6.1.3.1)

46

- 165 -

6.1.3.1). Τότε από τις δύο πλευρές του πρίσµατος θα έχουµε δύο ανακλώµενες πα-ράλληλες δέσµες. Κατόπιν µε τη βοήθεια του τηλεσκοπίου, εναλλάξ, παρατηρούµε (και κεντράρουµε στην κατακόρυφη γραµµή του σταυρονήµατος του προσοφθαλ-µίου) το είδωλο της σχισµής και σηµειώνουµε τις δύο ενδείξεις των γωνιών (µε τη βοήθεια των βερνιέρων) από το γωνιοµετρικό δίσκο της βάσης του Φασµατοσκοπί-ου. Αποδεικνύεται ότι η διαφορά αυτών των γωνιών είναι το διπλάσιο της διαθλα-στικής γωνίας του πρίσµατος. Αυτό ισχύει ανεξάρτητα από το αν το επίπεδο µέτω-πο κύµατος από τον κατευθυντήρα πέσει συµµετρικά ή όχι σε σχέση µε την ανα-κλαστική γωνία α του πρίσµατος.

β) Μέτρηση των δ.δ. πρίσµατος σε συνάρτηση µε το µ.κ. (καµπύλη διασκεδασµού) Ο υπολογισµός του δ.δ. πρίσµατος για συγκεκριµένο µ.κ. µέσω του φασµα-

τοσκοπίου, γίνεται µε βάση την µέτρηση της γωνίας ελάχιστης εκτροπής mθ και την εφαρµογή της γνωστής σχέσης (βλ. Γεωµ. Οπτική § 5.2):

sin

2sin

2

ma

n a

θ+

= (6.1.3.1)

όπου α η διαθλαστική γωνία του πρίσµατος. Φωτίζουµε αρχικά το πρίσµα µε ένα επίπεδο µέτωπο κύµατος επιθυµητού µ.κ. (Σχ. 6.1.3.2). Κατόπιν περιστρέφουµε το δίσκο πάνω στον οποίο βρίσκεται το πρίσµα και τα φέρνουµε σε θέση ελάχιστης εκτροπής (1). Η θέση αυτή, προσδιορίζεται µε παρατήρηση µέσω του τηλεσκοπίου και µε τη βοήθεια της κατακόρυφης γραµµής του σταυρονήµατος του προσοφθάλ-µιου. Πράγµατι παρατηρώντας µέσα από το τηλεσκόπιο το είδωλο της σχισµής που αντιστοιχεί στο συγκεκριµένο µ.κ. και περιστρέφοντας τη βάση µε το πρίσµα, βλέ-πουµε τα εξής: κατά τη µετακίνηση της η φωτεινή γραµµή φθάνει σε µία θέση του πεδίου, ακινητοποιείται και αµέσως επιστρέφει κινούµενη στην αντίθετη κατεύθυν-ση ενώ εµείς περιστρέφουµε το δίσκο προς την ίδια φορά. Η θέση αλλαγής της κα-τεύθυνσης κίνησης της γραµµής είναι και η θέση ελάχιστης εκτροπής. Η ανάγνωση της θέσης αυτής γίνεται µέσω της κλίµακας του φασµατοσκοπίου, αφού πρώτα το-ποθετήσουµε το σωλήνα του τηλεσκοπίου σ’ εκείνη τη θέση όπου η κατακόρυφη του σταυρονήµατος να συµπίπτει µε τη θέση ελάχιστης εκτροπής.

Την ίδια ακριβώς διαδικασία ακολουθούµε για άλλη µια φορά όµως περι-στρέφουµε το δίσκο µε το πρίσµα έτσι ώστε να έλθει για δεύτερη φορά σε θέση ε-λάχιστης εκτροπής, φωτιζόµενο όµως από την άλλη του πλευρά (2). Σηµειώνουµε τη δεύτερη αυτή ένδειξη και όπως πολύ εύκολα µπορούµε να δούµε από τη γεωµε-τρία του (Σχ. 6.1.3.2), η διαφορά των δύο γωνιών είναι ίση µε το διπλάσιο της γω-

47

- 166 -

νίας ελάχιστης εκτροπής. Εφόσον έχουν µετρηθεί οι γωνίες α και θm µέσω της (σχ. 6.1.3.1) υπολογίζουµε το δ.δ. n για το συγκεκριµένο µ.κ. που χρησιµοποιήσαµε. Βασικής σηµασίας για ακριβείς µετρήσεις, είναι η οριζοντίωση του δίσκου που εί-ναι τοποθετηµένο το πρίσµα και η οποία γίνεται µέσω τριών κοχλιών της περιστρε-φόµενης βάσης του.

(Σχ. 6.1.3.2)

6.2 Φασµατοσκόπιο φράγµατος 6.2.1 Περιγραφή του φασµατοσκοπίου φράγµατος

Το φασµατοσκόπιο φράγµατος είναι πανοµοιότυπο µε αυτό του πρίσµατος, αρκεί το τελευταίο ν’ αντικατασταθεί µ’ ένα φράγµα διερχοµένου φωτός (Σχ. 6.2.1.1). Έστω ότι το φράγµα φωτίζεται µ’ ένα επίπεδο (µονοχρωµατικό µέτωπο κύµατος) το οποίο προκύπτει από τον κατευθυντήρα του φασµατοσκοπίου. Τότε αυτό θα περιθλαστεί σε διάφορες κατευθύνσεις (βλ. Περίθλαση του φωτός § 10.2). Οι κατανοµές αυτές υπακούουν στο γνωστό τύπο του λεπτού φράγµατος που για κάθετη πρόσπτωση του φωτός στην εµπρός επιφάνειά του, προσανατολίζονται σε γωνίες θ (γωνίες περίθλασης) για τις οποίες ισχύει: sin 0, 1, 2,...d m mθ λ= ⋅ = ± ± (6.2.1.1) όπου d η περίοδος του φράγµατος, λ το µ.κ. της ακτινοβολίας και m η τάξη περί-θλασης. Αν το προσπίπτον φως είναι πολυχρωµατικό, τότε αναλύεται, αναπτύσσο-ντας για το κάθε µ.κ. τις δικές του τάξεις περίθλασης. Αν η πηγή εκπέµπει σε ορι-σµένες µόνο συχνότητες (π.χ. µια φασµατική λυχνία Hg) τότε θα πάρουµε µετά το

48

- 167 -

φράγµα µια διαδοχή (διαφόρων τάξεων) γραµµικών φασµάτων, συµµετρικών σε σχέση µε την κάθετη διεύθυνση (µηδενική τάξη). Για την τάξη m=0 οι κατανοµές όλων των µ.κ. της σύνθετης ακτινοβολίας ταυτίζονται (επειδή θ = 0), οπότε το χρώ-µα της θα είναι αυτό της πηγής. Για την περίπτωση πηγής συνεχούς κατανοµής συ-χνοτήτων (π.χ. µια λυχνία αλογόνου), αριστερά και δεξιά της µηδενικής τάξης θα εµφανίζονται συνεχή φάσµατα διαφόρων τάξεων. Τα φάσµατα αυτά (γεγονός που εξαρτάται από την τιµή της περιόδου του φράγµατος) από µία τάξη και µετά θ’ αρ-χίσουν µεταξύ τους να επικαλύπτονται. Για µια πλήρη περιγραφή της ανάλυσης του φωτός µέσω φράγµατος διερχοµένου: (βλ. Περίθλαση του φωτός § 10.2).

(Σχ. 6.2.1.1)

6.2.2 Γωνιακός και γραµµικός διασκεδασµός ∆ιακριτική ικανότητα φράγµατος διερχοµένου φωτός

Για τη συστηµατική µελέτη αυτών των µεγεθών (βλ. Περίθλαση του φωτός ΠΑΡ/ΜΑ 4). Ο γωνιακός διασκεδασµός δίνεται από τη σχέση:

cos

d md dθλ θ= (6.2.2.1)

όπου m η τάξη περίθλασης, d η περίοδος του φράγµατος και θ η γωνία περίθλασης. Ο γραµµικός διασκεδασµός δίνεται από τη σχέση:

cosd ddx m fλ θ= (6.1.2.2)

49

- 168 -

όπου f η εστιακή απόσταση του αντικειµενικού φακού του τηλεσκοπίου. Τέλος η διακριτική ικανότητα του φράγµατος διερχοµένου φωτός είναι:

mNλ∆λ

= = (6.2.2.3)

όπου N ο συνολικός αριθµός των γραµµών του φράγµατος.

Παράδειγµα

Η κίτρινη γραµµή της λυχνίας του Hg, στην πραγµατικότητα αποτελείται από δύο γραµµές πολύ κοντά µεταξύ τους µε µ.κ. 1 579,066 nmλ = και

2 576,960 nmλ = . Να υπολογιστεί ποιος θα πρέπει να είναι ο µικρότερος αριθµός γραµµών ενός φράγµατος έτσι ώστε οι δύο φασµατικές γραµµές να µπορούν να διακριθούν, για την πρώτη τάξη περίθλασης. • Απάντηση:

Επειδή mN N mλ ∆λ λ ∆λ= ⇒ = ⋅ . Επίσης ( )1 2 2 578,013 nmλ λ λ λ= = + = και 1 2 2,106 nmλ λ λ∆ = − = . Άρα θα έχουµε επειδή m = 1, N = 275 γραµµές.

6.2.3 Μετρήσεις µε τη βοήθεια του φασµατοσκοπίου φράγµατος διερχοµένου φωτός Μέτρηση µήκους κύµατος άγνωστης ακτινοβολίας Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να µετρήσουµε τα µ.κ. των γραµµών εκποµπής µια φασµατικής λυχνίας αερίου. Το φως της πηγής αυτής οδηγείται κατ’ ευθείαν ή µέ-σω οπτικού συστήµατος συµπυκνωτή στην σχισµή εισόδου του κατευθυντήρα του φασµατοσκοπίου (Σχ. 6.2.3.1) από τον οποίο τελικά προκύπτει (µέσω παραλ-ληλιστή φακού) ένα επίπεδο µέτωπο κύµατος. Με το µέτωπο αυτό, το οποίο περι-λαµβάνει όλες τις επί µέρους συνιστώσες διαφορετικών µ.κ., φωτίζουµε κάθετα το φράγµα. Τότε κατά τα γνωστά (βλ. Περίθλαση του φωτός § 10.1, 10.2) θα έχουµε περίθλαση της κάθε συνιστώσας σε διάφορες τάξεις m και σε γωνίες θ που καθορί-ζονται από τη γνωστή σχέση του Bragg: sin 0, 1, 2...d m mθ λ= = ± ± ± (6.2.3.1) όπου d η περίοδος του φράγµατος.

Για να υπολογίσουµε τώρα τα µ.κ. µια ορισµένης συνιστώσας της ακτινοβο-λίας της πηγής, επιλέγουµε αρχικά µία ορισµένη τάξη περίθλασης m. Παρατηρούµε κατόπιν µέσω του τηλεσκοπίου στη θέση (1) τη γραµµή τάξης m, τοποθετώντας της στο κέντρο του σταυρονήµατος και σηµειώνουµε την ένδειξη της γωνίας στη γω-

50

- 169 -

νιοµετρική κλίµακα της βάσης του φασµατοσκοπίου. Την ίδια διαδικασία επανα-λαµβάνουµε και για τη συµµετρική τάξη – m της ίδιας γραµµής. Η διαφορά των

(Σχ. 6.2.3.1)

γωνιών αυτών θα είναι το διπλάσιο της γωνίας περίθλασης θ. Τότε µε τη βοήθεια της (σχ. 6.3.2.1) επειδή το φράγµα είναι γνωστής περιόδου d µπορούµε να υπολογί-σουµε το µ.κ. λ. (η ακρίβεια της µεθόδου εξαρτάται από την ακρίβεια µέτρησης των γωνιών.

51

- 269 -

β) Μιγαδικός δείκτης διάθλασης (δ.δ.) και απορρόφηση του φωτός

Γνωρίζουµε από την (§ 4.2) (σχ. 4.2.1) ότι η διαφορική εξίσωση του διέπει

τη µετατόπιση x του κέντρου βάρους του ηλεκτρονικού νέφους σε σχέση µ’ αυτό του θετικού πυρήνα για τις περιπτώσεις που µεταξύ των ατόµων υφίσταται “τριβή” είναι η:

2

20 02e e e

i td x dxm b m x q E edt dt

ωω+ + = (3.1β)

όπου 0

i tE E e ω= . Αν 0i tx x e ω= αποτελεί λύση της (σχ. 3.1β) τότε µε αντικατάσταση

σ’ αυτήν µπορούµε να εκφράσουµε αναλυτικά το πλάτος x0 το οποίο θα δίνεται από τη σχέση:

00 2 2

0( )e

e

q Exm iω ω γω

=− +

µε / eb mγ = (3.2β)

και το µέτρο της πόλωσης του διηλεκτρικού (σχ. 4.1.15) από την:

2

2 20

( )e eq N E t mPiω ω γω

⋅=

− + (3.3β)

Η αντικατάσταση της Ρ στη (4.1.8, 3.5α) µας δίνει το δ.δ. n ο οποίος στην περί-πτωση αυτή είναι µιγαδικός αριθµός και δίνεται από τη σχέση

2

22 2

0 0

11 e

e

Nqnm iε ω ω γω

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟− +⎝ ⎠

(3.4β)

Η φυσική σηµασία του µιγαδικού δ.δ. όπως θα δούµε, αφορά κατ’ αρχή την άρση της ασυνέχειας του για ω=ω0 και κατόπιν την ανάδειξη του φαινοµένου της απορ-ρόφησης της ενέργειας του προσπίπτοντος Η/Μ κύµατος σ’ αυτήν την περιοχή συ-χνοτήτων. Ο δ.δ. n µπορεί να γραφεί: n n iκ= − (3.5β) Όπου n=n(ω) και κ=κ(ω) ανήκουν στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών και ο κ ονοµάζεται συντελεστής απόσβεσης(extinction coefficient).

Η γενικότερη µορφή του διαδιδόµενου κατά τη διεύθυνση z Η/Μ κύµατος σ’ ένα οµογενές και ισότροπο διηλεκτρικό µπορεί να γραφεί:

( )0

i t kzE E e

ω −= (3.6β)

Το πλάτος 0E θα είναι 0 0 0x yE E E= +0 0x y . Αν 0x

x xiE A e ϕ= και 0

yy y

iE A e ϕ= είναι τα

δύο µιγαδικά πλάτη σε δύο κάθετες µεταξύ τους διευθύνσεις x,y µε φy-φx τη διαφο-ρά φάσης µεταξύ τους, τότε αναδεικνύονται τα λεγόµενα φαινόµενα πόλωσης (βλ. Πόλωση του φωτός § 1.3). Εδώ θα θεωρήσουµε το φως ότι είναι γραµµικά πολωµέ-νο µε το ηλεκτρικό του πεδίο να ταλαντεύεται παράλληλα µε τη διεύθυνση της µε-

52

- 270 -

τατόπισης x του κέντρου βάρους του ηλεκτρονικού νέφους (τότε στη (σχ. 3.6β)

0 0E E≡ ∈R) Επίσης επειδή 0 0n k kλ λ= = µε ανάλογο τρόπο 0k nk= oπότε:

( ) 0 0 0k n i k nk i kκ κ= − = − (3.8β)

άρα η (σχ.3.6β) γίνεται:

00

2

0

z2 nzE E e cos ωt -λ

πκλ π

− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.9β)

µε 00

2 nz k nz kzπλ

= =

Από τη (σχ. 3.9β) βλέπουµε ότι ο συντελεστής κ αφορά την απορρόφηση του κύµα-

τος κατά τη διάδοση του στο οπτικό µέσο επειδή έπειτα από διαδροµή 0

2z λ

πκ∆ = το

πλάτος Ε γίνεται το 1/e του αρχικού Εο. Άρα ο παράγοντας 2

0z

eπκ λ−

της (σχ. 3.9β) αναδεικνύει φαινόµενα απορρόφησης. Το πραγµατικό µέρος n(ω) του n στον πα-ράγοντα ( )0cos ωt - 2 nzπ λ µας αναδεικνύει τα φαινόµενα διασκεδασµού δηλ. την

εξάρτηση του δ.δ. n από τη συχνότητα ω. Αν τώρα θεωρήσουµε ότι έχουµε ένα σχετικά αραιό αέριο διηλεκτρικό ο

δείκτης διάθλασης δεν θα διαφέρει πολύ από την µονάδα οπότε: ( ) ( )2 1 1 ( 1) 2 1n n n n− = + − − (3.10β)

και µε τη βοήθεια της (σχ. 3.4β) θα έχουµε:

2

2 20 0

1( ) ( ) 12

e

e

Nqn n im i

ω κ ωε ω ω γω

⎛ ⎞= − = + ⎜ ⎟− +⎝ ⎠

(3.11β)

Εξισώνοντας τώρα τα πραγµατικά και τα φανταστικά µέρη από τη (σχ. 3.11β) βρί-σκουµε:

( )

2 2 20

22 2 2 20 0

( ) 12

e

e

Nqnm

ω ωωε ω ω γ ω

⎡ ⎤−⎢ ⎥= +⎢ ⎥− +⎣ ⎦

(3.12β)

( )

2

22 2 2 20 0

( )2

e

e

Nqm

γωκ ωε ω ω γ ω

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥− +⎣ ⎦

(3.13β)

Για την περιοχή συντονισµού του παραπάνω αερίου όπου 0 0ω ω ω− οι (σχ. 3.12β), (σχ. 3.13β) γράφονται:

( )

20

220 0

0

( ) 14

2

e

e

Nqnn

ω ωωε ω γω ω

−= + ⋅

⎛ ⎞− + ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.14β)

53

- 271 -

( )

2

220 0

0

( )8

2

e

e

Nqm

γκ ωε ω γω ω

= ⋅⎛ ⎞− + ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.15β)

όπου αντικαταστήσαµε το ω µε το ωο και τον παράγοντα ωo2-ω2=(ωo-ω)(ω0+ω) µε

2ωo(ω0-ω). Στο (Σχ. 3.1α) φαίνεται η γραφική παράσταση των n(ω) και κ(ω)

(Σχ. 3.1)

συναρτήσει της ω, ενώ στο (Σχ. 3.1β) τα ίδια µεγέθη συναρτήσει του λ, για αυθαί-ρετες µονάδες συχνοτήτων και µήκων κύµατος.

54

55

56

- 252 -

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1

Ένταση ακτινοβολίας. Ένταση του φωτός (Irradiance). (Μια απλουστευµένη έκφραση της αρχής της διατήρησης της ενέργειας στο Η/Μ πεδίο) Μία από τις σηµαντικότερες ιδιότητες ενός Η/Μ πεδίου είναι ότι µεταφέρει

ενέργεια. Το γεγονός προκύπτει από την εφαρµογή της αρχής της διατήρησης της ενέργειας σε χώρο όπου υπάρχουν φορτία και ρεύµατα. Η αρχή εκφράζεται ως ε-ξής: “ο χρονικός λόγος µεταβολής της Η/Μ ενέργειας µέσα σ’ ένα συγκεκριµένο όγκο του πεδίου (δηλ. η ενέργεια που ξοδεύεται ανά µονάδα χρόνου) είναι ίσες αφ’ ενός µεν µε το συνολικά εκτελούµενο έργο από τα πεδία πάνω στα φορτία που πε-ριλαµβάνονται εκεί, συν την χρονικά µεταβαλλόµενη ενέργεια που διαδίδεται δια-µέσου της επιφάνειας που περικλείει αυτόν τον όγκο”. Στην περίπτωση που δεν υ-πάρχουν ρεύµατα στο χώρο η χρονικά µεταβαλλόµενη ενέργεια του Η/Μ πεδίου (δηλ. το έργο που εκτελείται ανά µονάδα χρόνου) είναι ίση µε τη ροή της ενέργειας που διαδίδεται µέσω της επιφάνειας µε τη µορφή Η/Μ κύµατος.

Άρα για να υπολογίσουµε την ενέργεια αυτή, θα πρέπει να υπολογίσουµε την πυκνότητα της ηλεκτρικής και µαγνητικής ενέργειας που υπάρχει σε ένα στοι-χειώδη όγκο και που διαδίδεται µέσω µιας στοιχειώδους επιφάνειας στη µονάδα του χρόνου. Για το κενό είναι γνωστό ότι η πυκνότητα ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου (π.χ. η πυκνότητα µεταξύ των οπλισµών φορτισµένου πυκνωτή) δίνεται από τη σχέση:

20

2Eεu E= (1.1)

όπου Ε η ένταση του ηλεκτ. πεδίου. Επίσης η πυκνότητα του µαγνητικού πεδίου (π.χ. στο εσωτερικό ενός σωληνοειδούς µεγάλου µήκους που διαρρέεται από ρεύµα σταθερής έντασης) δίνεται από τη σχέση:

2B

0

1u Β2µ

= (1.2)

όπου Β η µαγνητική επαγωγή του πεδίου. Μας είναι επίσης γνωστή η σχέση (βλ. Πόλωση του φωτός. ΠΑΡ/ΜΑ 1):

Ε= c ⋅ B (1.3) που υφίστανται µεταξύ των συνιστωσών των διανυσµάτων Ε και Β για ένα διαδι-δόµενο Η/Μ κύµα. ∆εδοµένου επίσης ότι

0 0

1cε µ

= , από τις προηγούµενες σχέ-

σεις βλέπουµε ότι E Bu u= και επειδή E Bu u u= + θα έχουµε τελικά:

2 200u ε Ε Β µ= = (1.4)

57

- 253 -

Θεωρούµε τώρα την απλή περίπτωση αρµονικού επιπέδου Η/Μ κύµατος που διαδί-δεται σε µια διεύθυνση z στο χώρο. Με τη βοήθεια του (Σχ. 1.1) βλέπουµε ότι

(Σχ.1.1)

η ενέργεια η οποία θα διαδοθεί διαµέσου της στοιχειώδους επιφάνειας ∆Α κατά τη διάδοση του κύµατος µε ταχύτητα c σε χρόνο ∆t, είναι αυτή που περιλαµβάνεται στον όγκο (c∆t) ⋅∆Α µεταξύ των θέσεων (1), (2) και δίνεται από τη σχέση:

∆W= u (c∆t) ⋅∆Α (1.5) Άρα η διακινούµενη ενέργεια ανά µονάδα χρόνου και ανά µονάδα επιφάνειας από τη θέση (1) είναι:

( )u c tWS u ct t

∆ ∆Α∆∆ ∆Α ∆ ∆Α

⋅= = = ⋅

⋅ ⋅ (1.6)

Για την περίπτωση της διάδοσης του επιπέδου Η/Μ κύµατος (αλλά και για κάθε άλλη µορφή κύµατος σε οµογενές και ισότροπο µέσο) είναι εµφανές ότι η ροή της ενέργειας γίνεται κατά τη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. Το γεγονός αυτό δη-λώνει το διανυσµατικό χαρακτήρα του µεγέθους S έτσι που µε τη βοήθεια των (σχ. 1.4) και (σχ.1.6) βρίσκουµε:

20

0

= =1 cµ

ε× ×S Ε Β Ε Β (1.7)

Tο S είναι το γνωστό διάνυσµα Poynting. Το µέτρο του S εκφράζει τη χρονικά µε-ταβαλλόµενη ισχύ (ενέργεια ανά µονάδα χρόνου) ανά µονάδα επιφάνειας του δια-διδόµενου Η/Μ κύµατος. Για την περίπτωση ενός αρµονικού γραµµικά πολωµένου κύµατος που διαδίδεται στη διεύθυνση z θα έχουµε:

cos( )cos( )

t kzt kz

ωω

= −= −

o

o

E EB B (1.8)

οπότε:

58

- 254 -

2 2cos0c ( t kz )ε ω= × −o oS E B (1.9) Αν τώρα προσπαθήσουµε να µετρήσουµε τη στιγµιαία τιµή του S δηλ. τη

στιγµιαία τιµή της ενέργειας ανά µονάδα χρόνου ανά µονάδα επιφάνειας µιας προ-σπίπτουσας ακτινοβολίας µε ένα συνηθισµένο ανιχνευτή (µάτι, φωτοδιόδιο, φωτο-γραφικό φιλµ κ.λ.π.) δεν θα το κατορθώσουµε. Ο λόγος είναι η ταχύτατη µεταβολή του µεγέθους S(t). Πράγµατι η συχνότητα των Η/Μ διαταραχών για την ορατή του-λάχιστον περιοχή για την οποία ενδιαφερόµαστε περισσότερο, είναι της τάξης του 1014 Hz συχνότητα στην οποία κανένας από τους προαναφερόµενους ανιχνευτές δεν µπορεί να αποκριθεί. Αυτό όµως που µας ενδιαφέρει τελικά είναι το ενεργειακό αποτέλεσµα της πρόσπτωσης της Η/Μ ακτινοβολίας σε µια επιφάνεια για ένα αρκε-τά µεγάλο χρονικό διάστηµα τ σε σχέση µε την περίοδο Τ του κύµατος. Το γεγονός µας οδηγεί στο να ολοκληρώσουµε χρονικά (για χρόνο τ) το µέτρο του διανύσµατος S. Το αποτέλεσµα θα είναι τελικά µια µέση χρονική ισχύς ανά µονάδα επιφάνειας για το προσπίπτον κύµα. Πράγµατι θα έχουµε: cos2 2

oS c ( t kz )τ

ε ω= × −0 oE B (1.10)

και επειδή cos cost

2 2

t

1 1( t kz ) ( t kz )dt2

τ

ω ωτ

+

− = − =∫

για τ ≥ Τ τότε προκύπτει:

2

2o oo

c cS E2 2τ

ε ε Ι= × = ≡0 0E B (1.11)

Το µέγεθος Ι ονοµάζεται ένταση του φωτός (Irradiance) και είναι ανάλογη του τε-τραγώνου του πλάτους της έντασης Ε0 του ηλεκτρικού πεδίου. Mετρείται σε W/m2.

Ο όρος ένταση του φωτός αναφέρεται για την ορατή περιοχή του Η/Μ φά-σµατος. Εκτός της περιοχής αυτής, επικρατεί ο όρος ένταση ακτινοβολίας και ο ορθός συµβολισµός της είναι Εe (βλ. ΠΑΡ/ΜΑ 2) παρά το ότι συνήθως την συνα-ντούµε να γράφεται σαν Ι ή Ιe. Έτσι όµως συµβολίζεται και το ακτινοµετρικό µέγε-θος της ακτινοβόλου έντασης (W/sr) (βλ. ΠΑΡ/ΜΑ 2) µε την οποία δεν ταυτίζο-νται εννοιολογικά. Για µια περισσότερο λεπτοµερή µελέτη της µεταφοράς ενέρ-γειας από τα H/M κύµατα και την έννοια της έντασης του φωτός (βλ. Ε.Σ.Σ.Φ. κεφ.2).

59