學做物理 - 140.130.15.232

轉動

CH10

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歐亞書局 P. 第 10 章轉動

目錄

10.1 角速度與角加速度

10.2 力矩

10.3 轉動慣量與牛頓定律的對照

10.4 轉動動能

10.5 滾動

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你把 DVD 光碟放入播放器後，它開始轉動。你可以測量

光碟上每一點的速率與方向來描述它的運動，但你也可以

更簡單地說光碟的轉速為每分鐘 800 轉（rpm）。

只要光碟是個剛體（rigid body），亦即該物體所有組成部

位間的相對位置保持固定，則這個簡單的敘述便足以描述

整個光碟的運動。


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角速度

物體轉動的快慢稱為角速度（angular velocity），也就是物體上

任一點之角位置的改變率。就 800 rpm 的 DVD 而言，其角度的

單位為轉（360° 或 2π 弧度），而時間的單位是分鐘。但我們

也可將角速度表示成每秒多少轉（rev/s）、每秒多少度（°/s）

，或是每秒多少弧度（rad/s 或者是 s–1，因為弧度沒有因次）。

由於以弧度表達的數學形式較為簡單，我們在做轉動的計算時

常用弧度作為單位（圖 10.1）。


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歐亞書局 P. 第 10 章轉動 171

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希臘符號 ω （omega）代表角速度，並定義平均角速度

（average angular velocity）ω 為

其中 Δθ 為角位移（angular displacement），亦即在時間

間隔 Δt 內之角位置的改變量（圖 10.2）


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若角速度隨著時間改變，我們定義瞬時角速度（

instantaneous angular velocity）為在時間間隔趨近於零時的

角速度

正如我們使用速率來稱呼速度的大小，所以角速率（

angular speed）就用來代表角速度的大小。


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角速率與線速率

轉動物體上的任一個點都在進行圓周運動，每一個點具有瞬時

線速度，其大小為線速率ν。

由於 s 為弧長轉體上一點所走的距離，ds/dt 即為線速率 v

。因此 ω = ν/r，或者


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長為 28 m 之風動渦輪機的葉片以角速率 21 rpm

轉動，請將其角速率的單位換算成弧度 / 每秒

，並算出葉片末端的線速率。

例題 10.1 角速率：風動渦輪機

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例題10.1.pdf


角加速度

若轉動物體的角速度隨時間改變，則物體具有角加速度（

angular acceleration）α，其定義與線加速度類似：

方程式中取極限代表其為瞬時角加速度。若不取極限，則

其為時間間隔 Δt 內的平均值。角加速度的 SI 單位為

rad/s2，而有時會使用其它的單位如 rpm/s 或 rev/s2 等。


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當一個轉動物體有角加速度時，此物體上所有點會加速或

減速，因此每一個點會有與線速度平行或相反的切線加速

度（tangential acceleration）dν/dt（圖 10.4）。


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不管是否有角加速度，轉動物體上的任意點還有徑向加速

度（radial acceleration），因為它們在做圓周運動。如前

所述，徑向加速度為 ar = ν2/r，利用方程式ν = ωr (10.3)

，我們可以把徑向加速度改寫為 ar = ω2r。

由於角速度與角加速度的定義與線速度與線加速度的定義

類似，因此線位置、線速度、線加速度間的關係，可以完

全應用於角位置、角速度、角加速度之間的關係。


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當風停止吹動時，例題 10.1 的風動渦輪機的

轉速減慢。若其等角加速度為 0.12 rad/s2，則

在停止前渦輪機的轉動圈數為何？

例題 10.2 直線運動的類比：轉速減慢

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例題10.2.pdf


一般來說，使轉動狀態改變之作用力的有效物理量稱為力矩（

torque），它不僅與力的大小有關，也與施力點到轉軸的距離有

關（圖 10.5）。另外力的有效性也與施力方向相關，如圖 10.6

所示。

力矩的符號為（希臘字母，發音與“how”押韻），因此我們

可以寫成

圖 10.7b 也對所謂的力臂（lever arm）做了定義。

10.2 力矩

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在更換汽車的輪胎後，你正準備鎖緊鋼圈上的

螺絲帽。使用手冊標示鎖緊螺絲帽使其不鬆脫

的力矩為 95 N．m，如果你使用長 45 cm 的扳

手且與水平線的夾角為 67°，則你在水平方向

需用多大的拉力才能產生所需之力矩。

例題 10.3 力矩：換車胎

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例題10.3.pdf


在牛頓定律中，質量是物體慣性的量度，慣性乃物體對移

動狀態改變所做的抗拒，因此我們需要一個可以描述抗拒

轉動狀態改變的物理量。

圖 10.9 顯示當物體的質量靠近轉軸時要使它旋轉比較容易

，因此類比於慣性的轉動物理量不只與質量本身有關，而

且與質量相對於轉軸的分布有關。


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力矩類比於作用力，它等於角速度與 mR2 的乘積，因此

mR2 即為質量在轉動的類比。我們稱此物理量為轉動慣量

（rotational inertia；moment of inertia），以符號 I 表示。

轉動慣量的單位為 kg．m2，它包含物體的質量以及質量

的分布。如同力矩一樣，轉動慣量的大小也取決於轉軸的

位置。若將轉動慣量以 I 表示，則牛頓定律在轉動的類比

方程式為


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計算轉動慣量

當物體由許多不連續的質點所組成時，則該物體相對於某

轉軸之轉動慣量為個別質點之轉動慣量的總和：

其中 mi 為第 i 個質點的質量，ri 為它至轉軸的距離。


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一個像啞鈴的物體，其包含了一根質量不計、

長 L = 85 cm 的桿子，與位於桿子兩端、質量

皆為 m = 0.64 kg 的圓形物。如果轉軸的位置

離端點為桿長且與橫桿垂直，計算此物體之

轉動慣量。

4

1

例題 10.4 轉動慣量的和

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例題10.4.pdf


對於連續分布之物質，我們考慮其由大量之質量單元 dm

所組成，因此必須將組成物體所有個別之質量單元的轉動

慣量 r2 dm 相加（圖 10.12）。在質量單元數目趨近於無限

大以及質量單元趨近於無限小的極限下，累加的計算變為

積分：

其中積分範圍包括整個物體。


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一支長為 L，質量為 M 的均勻細桿子，若轉軸

垂直通過橫桿的中點，求轉動慣量。

例題 10.5 利用積分求轉動慣量：一支橫桿

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例題10.5.pdf


求半徑與質量分別為 R 與 M 之薄圓環相對於

中心轉軸的轉動慣量。

例題 10.6 利用積分求轉動慣量：薄圓環

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例題10.6.pdf


求半徑與質量分別為 R 與 M 之均勻圓盤，相

對於通過中心之垂直轉軸的轉動慣量。

例題 10.7 利用積分求轉動慣量：圓盤

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例題10.7.pdf


如果我們已經知道物體對通過質心轉軸的轉動慣量 Icm，

則可利用一個非常有用的公式稱為平行軸定理（parallel-

axis theorem），來計算與質心轉軸平行之任意轉軸的轉動

慣量。平行軸定理為

其中 d 是質心轉軸到平行軸的距離，M 是物體的總質量。

圖 10.17 說明了平行軸定理的意義。


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圓柱狀之人造衛星的半徑為 1.4 m，均勻分布的質量

為 940 kg，其以 10 rpm 的轉速轉動。為了讓太空人

進行修護需要將它停下來，人造衛星的兩側裝有兩部

小型的氣體噴射裝置，每部推力為 20 N 並朝向邊緣

的切線方向噴射，則噴射氣流必須運作多久才能使衛

星的轉動停止下來。

例題 10.8 轉動動力學：使轉動中的人造衛星停止下來

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例題10.8.pdf


質量與半徑分別為 M 與 R 的實心圓柱，架在一口井

上方之水平轉軸上，如圖 10.19 所示。一條質量可忽

略不計的繩子繞捲在圓柱上，

其末端吊著質量為 m 的桶子，

不考慮水平轉軸的摩擦力，求

桶子掉入井中的加速度。

例題 10.9 轉動與直線動力學：進入井中

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例題10.9.pdf


一個物體的轉動動能（rotational kinetic energy）為該物體所

有質量單元對轉軸的動能總和。圖 10.21 顯示距離轉軸為 r

的質量單元 dm 具有動能 dK = (dm)(ν2) = (dm)(ωr)2，而

轉體的動能為將整個物體做累加，也就是做積分而來：

將 ω2 提到積分之外，剩下的積分即為轉動慣量 I，因此我

們有

2

1

2

1

10.4 轉動動能

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質量與半徑分別為 135 kg 與 30 cm 的飛輪，

其實心圓柱轉子以 31,000 rpm 的轉速旋轉，則

該飛輪儲存多少能量？

例題 10.10 轉動能量：飛輪儲能

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例題10.10.pdf


轉動運動的功與能

物體轉動動能的變化量等於對物體所做的淨總功。而對轉動而

言，功的定義為力矩與角位移的乘積（或積分，當力矩隨著角

度改變時）：

其中下標 i 與 f 分別代表初始與終了的狀態。

10.4 轉動動能

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一個包含輪胎之車輪的轉動慣量為 2.7 kg∙m2，若將此

輪胎在 25 圈內由靜止轉到 700 rpm 的轉速，則輪胎

平衡器施加於輪胎的定力矩為多少？

例題 10.11 功與轉動動能：輪胎平衡

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例題10.11.pdf


多質點系統的動能由兩個部分所組成，亦即質心動能以及

相對於質心的內動能： K = Kcm + Kinternal。質量為 M 的輪

子以速率 ν 移動時具有質心動能為 Kcm = Mν2。就質心

坐標系而言，車輪以角速率 ω 相對於質心做轉動，因此其

內動能為 Kinternal = Icm ω2，其中轉動慣量取相對於質心

的量。我們將 Kcm 與 Kinternal 相加得到總動能：

2

1

2

1

10.5 滾動

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比較 ν 與 ω 的關係式，我們得到

就方程式 v = ωr (10.3) 而言，v 是距離轉軸 r 處之點

的切線速率，而對於方程式 10.21 來說，v 是半徑為 R

之整個輪子的移動速率。

10.5 滾動

183

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質量與半徑分別為 M 與 R 的實心球從靜止狀態沿著

山丘滾下，如果其質心垂直下落的距離為 h，則球在

山底的速率為何？

例題 10.12 能量守恆：滾下山坡

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例題10.12.pdf


觀念題 10.1 滾動競賽

一個實心球與一個空心球在沒有滑動的情形下

滾下斜坡，試問何者先抵達坡底？

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觀念題10.1.pdf

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