ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14

ΜΕΤΡΗΣΗ ΠΙΣΤΩΤΙΚΟΥ ΚΙΝΔΥΝΟΥ

Υποδείγματα Κινδύνου Πτώχευσης (Default Risk Models)

Ποιοτικά υποδείγματα (Qualitative Models) ή expert systems

Υποδείγματα μέτρησης πιστοληπτικής ικανότητας (Credit Scoring Models)

- Γραμμικά υποδείγματα πιθανοτήτων (Linear probability Model και

Logit Model)

- μη γραμμικά υποδείγματα πιθανοτήτων

- υποδείγματα διακριτικής ανάλυσης (Linear discriminant Models)

Νεότερα υποδείγματα μέτρησης πιστωτικού κινδύνου

Μέθοδος της καμπύλης απόδοσης

Υπόδειγμα θνησιμότητας (mortality rate approach)

Υπόδειγμα απόδοσης προσαρμοσμένης στον κίνδυνο (RAROC models)

Υπόδειγμα δικαιωμάτων

CreditMetrics

CreditRisk +

1

Εισαγωγικά Για την εκτίμηση του πιστωτικού κινδύνου χρησιμοποιούνται διάφοροι δείκτες οι

οποίοι μετρούν την επικινδυνότητα των διαφόρων πιστωτικών τίτλων. Η

σημαντικότερη τεχνική είναι αυτή του προσδιορισμού του περιθωρίου των

επιτοκίων πάνω από την απόδοση χωρίς κίνδυνο (risk free rate) που απαιτεί η αγορά

για μια συγκεκριμένη κατηγορία οφειλετών.

Τα περιθώρια επιτοκίων αντανακλούν την αντίληψη της αγοράς για την

πιθανότητα αθέτησης του εκδότη ενός τίτλου και την αναμενόμενη ζημία σε

περίπτωση αθέτησης (loss given default). Επηρεάζονται από τη δυνατότητα εύκολης

ρευστοποίησης των τίτλων, για αυτό αν κάποιος θέλει να συγκρίνει κινδύνους σε

μεγάλο χρονικό ορίζοντα εκείνο που έχει σημασία είναι η μεταβλητότητα των

περιθωρίων, ο βαθμός με τον οποίο μεταβάλλεται η πιστοληπτική ικανότητα του

οφειλέτη.

Ένας άλλος τρόπος εκτίμησης πιστωτικού κινδύνου είναι η πιθανότητα

αθέτησης για ορισμένη κατηγορία οφειλετών που υπολογίζεται από ιστορικά

δεδομένα. Η πιο συνηθισμένη πηγή άντλησης αυτής της πιθανότητας είναι οι διεθνείς

αξιολογικοί οίκοι, οι οποίοι έχουν στοιχεία συνήθως για πολύ μεγάλες αμερικανικές

επιχειρήσεις. Για να εξάγουν μια σχετική εκτίμηση του κινδύνου για κάθε οφειλέτη

τους οι τράπεζες προσφεύγουν στις δικές τους βάσεις δεδομένων. Για την εκτίμηση

της πιθανότητας αθέτησης απαιτούνται τα παρακάτω στοιχεία:

• Η αγοραία αξία του ενεργητικού της επιχείρησης, η οποία απεικονίζει

τις προοπτικές της επιχειρησης και περιέχει πληροφορίες για τον κλάδο

και την οικονομία.

• Η μεταβλητότητα του ενεργητικού. Επειδή η αγοραία αξία του

ενεργητικού της επιχείρησης δεν είναι δυνατό να υπολογιστεί ακριβώς

αλλά προσδιορίζεται με εκτιμήσεις, είναι δυνατό να περιλαμβάνει τον

επιχειρηματικό κίνδυνο ή τον κίνδυνο του κλάδου.

• Ο βαθμός εξωτερικού δανεισμού, ο οποίος υπολογίζεται σαν ο λόγος της

λογιστικής αξίας των υποχρεώσεων προς την αγοραία αξία του

ενεργητικού της επιχειρησης.

2

Η πιθανότητα αθέτησης δεν μπορεί να αποτυπώσει τον κίνδυνο της οικονομικής

ζημίας από τη μεταβολή της λογιστικής αξίας των πιστοδοτήσεων όταν δεν υπάρχει

αντικειμενική περίπτωση αθέτησης. Ο κίνδυνος αυτός μπορεί να εκτιμηθεί μόνο αν

είναι γνωστή η πιθανότητα μεταβολής της πιστοληπτικής ικανότητας ή η πιθανότητα

μετάβασης (credit migration probability) της επιχείρησης.

Ανάλυση Υποδειγμάτων Ποιοτικά υποδείγματα

Τα συγκεκριμένα υποδείγματα χρησιμοποιούν διάφορους παράγοντες για να

εκτιμήσουν τον πιστωτικό κίνδυνο. Οι παράγοντες αυτοί διακρίνονται σε δύο

κατηγορίες. Η πρώτη κατηγορία περιλαμβάνει παράγοντες που αναφέρονται στα

ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του υποψήφιου δανειολήπτη. Τέτοιοι παράγοντες είναι: η

κεφαλαιακή δομή της επιχείρησης, η διακύμανση των κερδών, εγγυήσεις που

λαμβάνει η τράπεζα, η φήμη και προϊστορία της επιχείρησης. Η δεύτερη κατηγορία

περιλαμβάνει παράγοντες της αγοράς που επηρεάζουν όλους τους δανειολήπτες.

Τέτοιοι παράγοντες είναι: η φάση του οικονομικού κύκλου, πληθωρισμός, επιτόκια,

κλάδος δραστηριότητας. Στη συνέχεια όλοι αυτοί οι παράγοντες λαμβάνουν μια

βαρύτητα ανάλογα με την σπουδαιότητά τους για να βοηθήσουν το πιστωτικό ίδρυμα

να αξιολογήσει τον υποψήφιο δανειολήπτη.

Γραμμικά υποδείγματα

Τα συγκεκριμένα υποδείγματα χωρίζουν τα παλαιά δάνεια σε δύο κατηγορίες και

εκτιμούν την πιθανότητα πληρωμής χρησιμοποιώντας μια ψευδομεταβλητή Ζ η οποία

παίρνει δύο τιμές ως εξής:

(α) Ζi = 1 εάν τα δάνεια έχουν αποπληρωθεί και

(β) Ζi = 0 εάν τα δάνεια δεν έχουν αποπληρωθεί

Στη συνέχεια πραγματοποιείται μια γραμμική παλινδρόμηση της μορφής:

Ζi = ai + ∑ +=

n

j 1iijj eXb

όπου

Χij : οι διάφορες μεταβλητές που πιθανόν επηρεάζουν την ικανότητα του

πιστούχου να αποπληρώσει το δάνειο

3

bj : δείχνει την σπουδαιότητα της μεταβλητής j στο να εξηγεί αποπληρωμές στο

παρελθόν.

Από τη στιγμή που υπάρχουν οι εκτιμήσεις για τα bj μπορούμε να εκτιμήσουμε την

αξία της Ζi πολλαπλασιάζοντας τα bj με τις πραγματικές τιμές των Xij. Η τιμή του Ζi

που παίρνουμε με αυτόν τον τρόπο είναι η πιθανότητα μη αποπληρωμής του δανείου.

Παράδειγμα

Έστω ότι στο παρελθόν δύο παράγοντες επηρέασαν την πιστοληπτική ικανότητα:

(α) η χρηματοοικονομική μόχλευση (χρέος/ίδια κεφάλαια = I.KX ) και

(β) ο λόγος Πωλήσεις (Π) προς Ενεργητικό (Ε) (ΕΠ ).

Έστω ότι εκτιμώντας το υπόδειγμα παίρνουμε

Ζi = 0,4 (I.KX ) + 0,2 (

ΕΠ )

Ας υποθέσουμε ότι για τον συγκεκριμένο δανειολήπτη

I.KX = 0,5 και

ΕΠ = 1,5

Η πιθανότητα μη αποπληρωμής, βασιζόμενοι στα ανωτέρω, είναι:

Ζi = 0,4 (0,5) + 0,2 (1,5)

Ζi = 0,2 + 0,3

Ζi = 0,5

Μη γραμμικά υποδείγματα (Logit Model and Probit Model)

Ένα πρόβλημα του ανωτέρω γραμμικού υποδείγματος ότι είναι δυνατόν να πάρουμε

τιμές για το Ζ που να είναι υψηλότερες της μονάδος ή χαμηλότερες του μηδενός. Για

αυτό το λόγο χρησιμοποιούνται τα υποδείγματα Logit and Probit τα οποία

περιορίζουν την πιθανότητα μη αποπληρωμής του δανείου μεταξύ μηδέν και ένα. Στο

υπόδειγμα Logit η σωρευτική πιθανότητα (Pi) μη αποπληρωμής δίνεται από τον εξής

τύπο:

4

Pi = F(Zi) = F( ) =∑ +=

n

j 1iijj eXb

e iZ−+11

Pi ( ) = 1 e iZ−+1

e iZ− = i

i

i PP

P−

=−111

e iZ = i

i

PP−1

Παίρνοντας τον λογάριθμο και στις δύο πλευρές έχουμε:

Zi =logi

i

PP−1

Ή

logi

i

PP−1

= Zi = ai + ∑ +=

n

j 1iijj eXb

Άρα, στο συγκεκριμένο υπόδειγμα παίρνουμε τον λογάριθμο της εξαρτημένης

μεταβλητής.

Υποδείγματα Διακριτικής Ανάλυσης (Discriminant Analysis) ‘Ζ-score’

Στη βιβλιογραφία έχουν αναπτυχθεί διάφορα υποδείγματα πρόβλεψης πτωχεύσεων.

Ένα τέτοιο υπόδειγμα είναι η τεχνική ανάλυσης ‘Ζ-score’ ή διακριτική ανάλυση (

multiple discrimination analysis ) (Altman 1983). Το υπόδειγμα βασίζεται στη χρήση

στοιχείων για τα χρηματοοικονομικά μεγέθη της επιχείρησης από τους ισολογισμούς

της. Με τη μέθοδο αυτή είναι δυνατή η πρόβλεψη της πτώχευσης έως πέντε έτη πριν

την πραγματοποίησή της. Επομένως μπορεί να θεωρηθεί ως μία χρήσιμη τεχνική

κάλυψης των τραπεζών έναντι του πιστωτικού κινδύνου.

Η παραπάνω τεχνική επιτρέπει την ταξινόμηση των επιχειρήσεων του

δείγματος σε δύο ομάδες: την ομάδα των επιχειρήσεων υψηλού κινδύνου

πτώχευσης και την ομάδα επιχειρήσεων χαμηλού κινδύνου πτώχευσης με βάση

ορισμένους χρηματοοικονομικούς δείκτες. Χρησιμοποιώντας έναν πολύ μεγάλο

5

αριθμό χρηματοοικονομικών δεικτών, η μέθοδος καταλήγει στην επιλογή των

περισσότερο στατιστικά σημαντικών δεικτών που θα προσδιορίσουν την πιθανότητα

πτώχευσης, και συνεπώς θα συμβάλλουν στην κατάταξη των επιχειρήσεων.

Στο αρχικό του υπόδειγμα ο Altman κατασκεύασε 22 χρηματοοικονομικούς

δείκτες για ένα σύνολο 66 βιομηχανικών επιχειρήσεων των ΗΠΑ, από τις οποίες 33

εν τέλει πτώχευσαν. Τα στοιχεία για την κατασκευή των δεικτών αντλήθηκαν από τις

λογιστικές καταστάσεις των εν λόγω επιχειρήσεων ένα έτος πριν την πτώχευσή τους.

Ο Altman κατέταξε τους 22 δείκτες σε πέντε γενικές κατηγορίες :

• δείκτες ρευστότητας

• δείκτες αποδοτικότητας

• δείκτες διάρθρωσης κεφαλαίων ή μόχλευσης

• δείκτες φερεγγυότητας

• δείκτες δραστηριότητας

Με τη βοήθεια της διαδικασίας επιλογής ερμηνευτικών μεταβλητών ( variable

selection model ) βρέθηκε ότι από τους 22 δείκτες, μόνο πέντε δείκτες συνέβαλλαν

στατιστικά στο υπόδειγμα πρόβλεψης. Η εξίσωση παλινδρόμησης που

χρησιμοποιήθηκε για την πρόβλεψη της πτώχευσης δίδεται από :

Ζ= 1,2 Χ1 + 1,4 Χ2 + 3,3 Χ3 + 0,6 Χ4 +0,9 Χ5 (1)

όπου

Χ1 = κεφάλαια κίνησης / σύνολο ενεργητικού

Χ2 = παρακρατηθέντα κέρδη / σύνολο ενεργητικού

Χ3 = κέρδη προ τόκων και φόρων / σύνολο ενεργητικού

Χ4 = αγοραία αξία ιδίων κεφαλαίων / λογιστική αξία του συνόλου των υποχρεώσεων

Χ5 = πωλήσεις / αξία ενεργητικού

Ο αναλυτής χρησιμοποιώντας την εξίσωση (1) μπορεί να υπολογίσει την τιμή του Ζ.

Ο Altman βρήκε ότι από τις 66 επιχειρήσεις, οι επτά είχαν λάθος ταξινόμηση και όλες

είχαν τιμή του Ζ μεταξύ του 1,81 και 2,99 ( περιοχή άγνοιας ). Οι επιχειρήσεις με

τιμή του Ζ μεγαλύτερη από το 2,99 ήταν επιχειρήσεις που στην πραγματικότητα δεν

πτώχευσαν, ενώ επιχειρήσεις με τιμή του Ζ μικρότερη από το 1,81 ήταν επιχειρήσεις

που εν τέλει πτώχευσαν.

6

Μεταγενέστερα ο Bathory (1987) ανέπτυξε μια διαφορετική τεχνική

πρόβλεψης πτωχεύσεων. Επέλεξε τις μεταβλητές που κατά τη γνώμη του

αντανακλούν τα βασικά λειτουργικά χαρακτηριστικά της εταιρίας. Κατασκεύασε

δηλαδή ένα νέο δείκτη Z-score, υποθέτοντας ότι κάθε μεταβλητή συνεισφέρει το ίδιο

στην πρόβλεψη της πτώχευσης, δηλαδή :

Ζ = 0,2 Χ1 + 0,2 Χ2 + 0,2 Χ3 + 0,2 Χ4 +0,2 Χ5

Όπου:

Χ1 = κεφάλαιο κίνησης / σύνολο ενεργητικού. Το κεφάλαιο κίνησης ορίζεται ως το

κυκλοφορούν ενεργητικό μείον τις βραχυπρόθεσμες υποχρεώσεις ( δείκτης

ρευστότητας )

Χ2 = ίδια κεφάλαια / σύνολο υποχρεώσεων

Χ3 = κέρδη προ φόρου / απασχολούμενο κεφάλαιο

Χ4 = καθαρή αξία των υλικών περιουσιακών στοιχείων / σύνολο υποχρεώσεων

Η καθαρή αξία των υλικών περιουσιακών στοιχείων ορίζεται ως το σύνολο του

ενεργητικού μείον τα άϋλα περιουσιακά στοιχεία μείον τις υποχρεώσεις

Χ5 = ακαθάριστες ταμειακές ροές / βραχυπρόθεσμες υποχρεώσεις. Οι ταμειακές ροές

περιλαμβάνουν τα καθαρά κέρδη μετά την αφαίρεση του φόρου και τις αποσβέσεις.

Οι βραχυπρόθεσμες υποχρεώσεις αφορούν τη φορολογία, τα βραχυπρόθεσμα

τραπεζικά δάνεια και τις χρηματοδοτικές μισθώσεις.

Μειονεκτήματα

Τα παραπάνω υποδείγματα έχουν ωστόσο υποστεί σημαντική κριτική. Πρώτον,

υπάρχει σοβαρός κίνδυνος αποτυχίας στην πρόβλεψη σε περίπτωση συχνών αλλαγών.

Δεν υπάρχει κάποιος φανερός οικονομικός λόγος να περιμένουμε οι τιμές του

οποιουδήποτε υποδείγματος πιστοληπτικής διαβάθμισης (credit scoring model) να

παραμείνουν σταθερές για μεγάλα χρονικά διαστήματα. Το ίδιο ισχύει και για τις

ανεξάρτητες μεταβλητές. Συγκεκριμένα σε ένα συνεχώς μεταβαλλόμενο

χρηματοοικονομικό περιβάλλον, η σπουδαιότητα των διαφόρων χρηματοοικονομικών

δεικτών στο να εξηγούν την πιθανότητα του κινδύνου πτώχευσης μπορεί να

μεταβάλλεται.

Δεύτερον, υπάρχει η ανησυχία τα υποδείγματα αυτά να μην επιτύχουν

υψηλή ακρίβεια στις προβλέψεις τους, αφού επιχειρούν μέσω του γραμμικού

7

υποδείγματος να ερμηνεύουν μια πραγματικότητα μη γραμμική. Επιπλέον το

γραμμικό υπόδειγμα υποθέτει ότι οι ανεξάρτητες μεταβλητές δεν σχετίζονται μεταξύ

τους.

Τρίτον, τα υποδείγματα αυτά είναι ad hoc οικονομετρικά μοντέλα που

προέκυψαν από μια διαδικασία επιλογής μεταβλητών και δεν προκύπτουν από ένα

θεωρητικό υπόδειγμα.

Τέταρτον, τα υποδείγματα αυτά αγνοούν παράγοντες που δύσκολα

ποσοτικοποιούνται αλλά μπορεί να παίζουν σημαντικό ρόλο στην απόφαση της

πτώχευσης ή μη μιας επιχείρησης. Για παράδειγμα η μακροχρόνια σχέση μεταξύ μιας

τράπεζας και μιας επιχείρησης, μπορεί να αποτελεί έναν σημαντικό παράγοντα, αλλά

το υπόδειγμα δεν το λαμβάνει υπόψη. Επίσης, η φάση του οικονομικού κύκλου

μπορεί να είναι ένας σημαντικός παράγοντας αλλά δεν λαμβάνεται υπόψη.

Νεότερα Υποδείγματα

Η Απόδοση του Δανείου

Η απόδοση ενός δανείου εξαρτάται από διάφορους παράγοντες όπως:

Το βασικό επιτόκιο, το οποίο ουσιαστικά αποτελεί το οριακό κόστος των

κεφαλαίων της τράπεζας (L)

Το βαθμό κινδύνου του δανείου. Όσο μεγαλύτερος ο κίνδυνος τόσο

μεγαλύτερο θα είναι το risk premium (m)

Προμήθειες (f)

Υποχρεωτικό ποσοστό καταθέσεων εκ μέρους του πελάτη (b)

Υποχρεωτικό ποσοστό διαθεσίμων επί των καταθέσεων που επιβάλλεται από

την κεντρική τράπεζα (r)

Η υποσχόμενη μεικτή απόδοση του δανείου (κ) δίνεται από τον εξής τύπο:

1 + κ = 1r)]-b(1[1m)(L f

+−

++

8

Ο αριθμητής αντιπροσωπεύει τις χρηματικές εισροές που έχει η τράπεζα για κάθε ένα

ευρώ που δίνει ως δάνειο. Ο παρονομαστής αντιπροσωπεύει το ποσό που η τράπεζα

δεσμεύει για κάθε ένα ευρώ δανείου.

Παράδειγμα

Έστω Δάνειο αξίας €100.000

και

L = 12%

m = 2%

f = 0,125%

b = 10%

r = 2%

1 + κ = 1r)]-b(1[1m)(L f

+−

++

1 + κ = 1x0,98]10,0[1

14,000125,0+

−+

κ =(0,14125)/0,902=15,659%

Διαφορετικά

Επιτοκιακά Έσοδα: 100.000 x 0,14125 = 14.125

Η τράπεζα ουσιαστικά έχει δώσει δάνειο 90.000 αφού οι 10.000 (10% x 100.000)

πρέπει να διατηρούνται ως καταθέσεις. Επί αυτών των €10.000 είναι υποχρεωμένη

να κρατά 2% ως υποχρεωτικά διαθέσιμα. Άρα ουσιαστικά η τράπεζα έχει δώσει

€90.200.

Όμως 200.90125.14 = 15,659%

Αναμενόμενη απόδοση δανείου

Είδαμε ότι 1+κ είναι η υποσχόμενη μεικτή απόδοση του δανείου ή η συμφωνηθείσα

απόδοση μεταξύ της τράπεζας και του δανειολήπτη. Αυτή η απόδοση μπορεί να

διαφέρει από την αναμενόμενη και την πραγματική απόδοση του δανείου, λόγω του

κινδύνου πτώχευσης. Ο κίνδυνος αυτός είναι παρόν σε κάποιο βαθμό σε όλα τα

9

δάνεια. Συνεπώς, τη στιγμή που το δάνειο πραγματοποιείται η αναμενόμενη απόδοση

Ε(r) ανά ευρώ σχετίζεται με την υποσχόμενη απόδοση ως εξής:

Ε(r) = ρ (1+κ)

όπου ρ είναι η πιθανότητα αποπληρωμής του δανείου. Όταν ρ<1 ο κίνδυνος

πτώχευσης είναι παρόν. Αυτό σημαίνει ότι το τραπεζικό ίδρυμα πρέπει να θέσει το

risk premium σε τέτοιο σημείο για να αποζημιωθεί για αυτόν τον κίνδυνο. Συγχρόνως

να αναγνωριστεί το γεγονός ότι υψηλά ασφάλιστρα κινδύνου (risk premiums)

μπορούν στην πραγματικότητα να μειώσουν την πιθανότητα αποπληρωμής (ρ) του

δανείου.

Με άλλα λόγια κ και ρ δεν είναι ανεξάρτητα. Καθώς η υποσχόμενη απόδοση (κ)

αυξάνεται λόγω του μεγαλυτέρου ασφαλίστρου κινδύνου αυξάνεται και η

αναμενόμενη απόδοση μέχρι κάποιου σημείου. Πέρα όμως από κάποιο σημείο μπορεί

να σχετίζονται αρνητικά, όπως δείχνει και το σχήμα παρακάτω. Για παράδειγμα ένα

αρκετά υψηλό επιτόκιο (κ) ίσως ωθήσει τον δανειολήπτη να προβεί σε επενδύσεις

υψηλού κινδύνου για να είναι σε θέση να αποπληρώσει το δάνειο. Όμως, πολλές

επενδύσεις υψηλού κινδύνου είναι καταδικασμένες και ο δανειολήπτης μπορεί να

πτωχεύσει. Στο σχήμα παρακάτω για αποδόσεις μεγαλύτερες από κ* η αναμενόμενη

απόδοση αρχίζει και μειώνεται.

10

ρ(1+κ)

0 1 2 10 κ κ*

Σχέση μεταξύ υποσχόμενης (κ) και προσδοκώμενης απόδοσης Ε(r)

Μέτρηση πιστωτικού κινδύνου μέσω της καμπύλης απόδοσης

(Term structure Derivation of Credit Risk) ή

Υποδείγματα περιθωρίου αποδόσεων (yield spread models)

Τα υποδείγματα περιθωρίου αποδόσεων συγκεντρώνουν πληροφορίες από την αγορά

εταιρικών ομολόγων. Κάθε ομόλογο όμως συνεπάγεται επιτοκιακό κίνδυνο και

πιστωτικό κίνδυνο. Ο επιτοκιακός κίνδυνος προσεγγίζεται από τη διακύμανση των

αποδόσεων των τίτλων του δημοσίου, ο δε πιστωτικός κίνδυνος από το περιθώριο

των αποδόσεων μεταξύ των εταιρικών ομολόγων και των ομολόγων του δημοσίου.

Όταν είναι γνωστό το περιθώριο, είναι δυνατός ο υπολογισμός της αναμενόμενης

πιθανότητας πτώχευσης.

Ένας τρόπος να μετρηθεί ο πιστωτικός κίνδυνος είναι μέσω της καμπύλης

απόδοσης (Term structure Derivation of Credit Risk). Το συγκεκριμένο υπόδειγμα

11

αναλύει τα ασφάλιστρα κινδύνου (risk premiums) από την καμπύλη απόδοσης για

εταιρικά ομόλογα ή δάνεια. Στην αγορά υπάρχουν εταιρίες που βαθμολογούν την

πιστοληπτική ικανότητα των δανειοληπτών.

Στην αγορά ομολόγων οι εκδότες κατατάσσονται σε επτά κατηγορίες. Οι

πρώτες τέσσερις κατηγορίες ΑΑΑ, ΑΑ, Α και ΒΒΒ θεωρούνται εταιρίες καλής

πιστοληπτικής διαβάθμισης. Οι υπόλοιπες τρεις κατηγορίες ΒΒ, Β και C θεωρούνται

εταιρίες υψηλού κινδύνου (high-yield ή junk bonds).

Η διαφορετική πιστοληπτική διαβάθμιση αντικατοπτρίζεται στον βαθμό κατά τον

οποίο οι αποδόσεις των εταιρικών ομολόγων είναι μεγαλύτερες από τις αποδόσεις

των ομολόγων του Δημοσίου, όπως δείχνει το σχήμα παρακάτω.

απόδοση

12% Εταιρικό ομόλογο (Β)

8%

Ομόλογο Δημοσίου

4%

3%

1 2 3 Ληκτότητα

12

Πιθανότητα Πτώχευσης Χρεογράφου ενός έτους

Υποθέστε ότι μια τράπεζα απαιτεί η αναμενόμενη απόδοση ενός ετήσιου εταιρικού

ομολόγου να είναι τουλάχιστον ίση με την απόδοση του ετήσιου ομολόγου του

δημοσίου. Έστω ρ η πιθανότητα ότι το εταιρικό ομόλογο θα αποπληρωθεί χωρίς

κανένα πρόβλημα για όλο το κεφάλαιο και τον τόκο. Συνεπώς, η πιθανότητα

πτώχευσης είναι 1-ρ. Υποτίθεται ότι εάν ο δανειολήπτης πτωχεύσει η τράπεζα δεν

εισπράττει τίποτα. Έστω 1+κ είναι η υποσχόμενη απόδοση του ετήσιου εταιρικού

ομολόγου και 1+i η απόδοση του ετήσιου ομολόγου του Δημοσίου. Η τράπεζα θα

είναι αδιάφορη μεταξύ των δύο ομολόγων εάν ρ(1+κ) = 1+i

Έστω, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα i = 3% και κ = 8%. Δοθέντων αυτών των

αποδόσεων, η πιθανότητα αποπληρωμής του εταιρικού ομολόγου όπως εκλαμβάνεται

από την αγορά είναι:

ρ = 08,103,1

κ1i1=

++ = 0,9537

και συνεπώς η πιθανότητα πτώχευσης είναι ίση με 0,0463 (=1-ρ). Η πιθανότητα

πτώχευσης 4,63% απαιτεί από την τράπεζα να ορίσει το risk premium (φ) ίσο με 5%.

φ = κ - i = 8% - 3% = 5%

Έστω η πιθανότητα αποπληρωμής μειώνεται στο 80%. Ποια θα πρέπει τώρα να είναι

η υποσχόμενη απόδοση δεδομένου ότι η απόδοση του κρατικού ομολόγου παραμένει

στο 3%;

Από τη σχέση ρ(1+κ) = 1+i έχουμε

1+κ = ρ

i1+

κ = 10,80

03,1−

Άρα εδώ το risk premium (φ) είναι ίσο με 0,2575 (0,2875-0,03). Γίνεται φανερό ότι

καθώς η πιθανότητα αποπληρωμής μειώνεται το risk premium αυξάνεται.

Η προηγούμενη περίπτωση υπέθεσε ότι όταν ο δανειολήπτης πτωχεύσει η

τράπεζα δεν εισπράττει τίποτα. Στην πράξη βεβαίως οι τράπεζες προσδοκούν να

εισπράξουν ένα ποσοστό των κεφαλαίων τους και όταν ακόμη ο δανειολήπτης

13

πτωχεύσει. Για παράδειγμα, Altman και Kishore υπολόγισαν ότι όταν οι επιχειρήσεις

χρεοκόπησαν στα ομόλογά τους το 1997, οι επενδυτές αυτών έχασαν κατά μέσο όρο

περίπου 45%.

Στην πράξη γνωρίζουμε ότι για πολλά δάνεια και ομόλογα παρέχονται

διάφορες εξασφαλίσεις στην περίπτωση που η επιχείρηση πτωχεύσει. Έστω λοιπόν

ότι γ είναι το ποσοστό του κεφαλαίου και του τόκου που η τράπεζα θα εισπράξει σε

περίπτωση που η επιχείρηση πτωχεύσει. Στην περίπτωση αυτή η τράπεζα θα θέσει

την αναμενόμενη απόδοση του δανείου ίση με ακίνδυνο επιτόκιο ως εξής:

[γ(1+κ)(1-ρ)] + [ρ(1+κ)] = 1+i

Ο όρος γ(1+κ)(1-ρ) δείχνει τι θα εισπράξει η τράπεζα εάν η επιχείρηση πτωχεύσει.

Από τη στιγμή που γ>0 το risk premium για το δάνειο θα είναι μικρότερο για

οποιαδήποτε πιθανότητα κινδύνου πτώχευσης (1-ρ).

(1+κ) [γ(1-ρ)+ρ] = 1+i

(1+κ)(γ+ρ-γρ) = 1+i

1+κ = γρ-ργ

i1++

Για να βρούμε το risk premium (φ=κ-i) στον πρώτο όρο προσθέτουμε και αφαιρούμε

το i

1+κ-i+i = γρ-ργ

i1++

κ-i = φ = γρ-ργ

i1++

- (1+i)

Έστω όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα ότι i=3%, ρ=0,9537 και γ=0,90.

Το risk premium (φ) είναι

φ = 03,18583,09537,090,0

03,1−

−+

φ = 03,19954,003,1

−

φ = 0,0048 ή 0,48%

Άρα η απόδοση του δανείου πρέπει να είναι 3,48%.

14

Έστω ότι γ=0,50, τότε

φ = 03,1477,09537,050,0

03,1−

−+

φ = 03,19767,003,1

−

φ = 0,0546-1,03

φ = 0,0246 ή 2,46%

Συνεπώς η απόδοση του δανείου πρέπει να είναι 5,46%.

15

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω

γ = 0,55

ρ = 0,85

i = 5%

Ποιο πρέπει να είναι η απόδοση του δανείου και το risk premium;

κ = 1γρ-ργ

i1−

++

κ = 14675,085,055,0

05,1−

−+

κ = 19325,005,1

− = 12,6%

Πιθανότητα πτώχευσης για μακροπρόθεσμα χρεόγραφα

Έστω ένα πιστωτικό ίδρυμα θα ήθελε να βρει την πιθανότητα πτώχευσης ενός διετούς

ομολόγου. Για να γίνει αυτό, πρώτα πρέπει να εκτιμηθεί η πιθανότητα ότι το

ομόλογο θα πτωχεύσει το δεύτερο έτος υπό τον όρο ότι δεν θα πτωχεύσει το πρώτο

έτος. Η πιθανότητα ότι το ομόλογο θα πτωχεύσει σε οποιοδήποτε έτος είναι

συνάρτηση του γεγονότος ότι δεν έχει πτωχεύσει γρηγορότερα. Η πιθανότητα ότι το

ομόλογο θα πτωχεύσει σε οποιοδήποτε έτος είναι γνωστή ως οριακή πιθανότητα

πτώχευσης για το συγκεκριμένο έτος. Για το ετήσιο δάνειο, 1-ρ1 = 0,05 είναι η

οριακή και η συνολική ή αθροιστική πιθανότητα (cρ) πτώχευσης στο πρώτο έτος. Για

το διετές δάνειο η οριακή πιθανότητα πτώχευσης στο δεύτερο έτος (1-ρ2) μπορεί να

είναι διαφορετική από την οριακή πιθανότητα πτώχευσης στο πρώτο έτος (1-ρ1). Για

την ώρα έστω 1-ρ2 = 0,07. Τότε:

1-ρ1 = 0,05: οριακή πιθανότητα πτώχευσης στο έτος 1

1-ρ2 = 0,07: οριακή πιθανότητα πτώχευσης στο έτος 2

Η πιθανότητα του δανειολήπτη να μην πτωχεύσει σε κανένα έτος από τώρα μέχρι το

τέλος του δεύτερου έτους είναι:

ρ1 x ρ2 = (0,95) x (0,93) = 0,8835

16

Άρα η αθροιστική πιθανότητα (cρ) να πτωχεύσει σε κάποια στιγμή από σήμερα και

μέχρι το τέλος του δεύτερου έτους είναι 0,1165 (=1-0,8835).

cρ = (1 - ρ1) x (ρ2 )

cρ = (1 – 0,95) x (0,93) = 0,1165

Είδαμε προηγουμένως ότι η πιθανότητα πτώχευσης για ένα ετήσιο ομόλογο δίνεται

από τον τύπο:

ρ = κ1i1

++

Το ζητούμενο τώρα είναι να βρούμε πως εξάγουμε την πιθανότητα πτώχευσης για το

δεύτερο έτος, το τρίτο έτος και ούτω καθεξής. Από τις καμπύλες απόδοσης μπορούμε

να εξάγουμε τις προσδοκίες της αγοράς ως προς τα ποσοστά πτώχευσης των

μακροπροθέσμων ομολόγων.

Σύμφωνα με την θεωρία των προσδοκιών εάν η αγορά ομολόγων είναι

αποτελεσματική και δεν υπάρχουν περιθώρια κέρδους από arbitrage τότε η απόδοση

του διετούς ομολόγου είναι ίση με την απόδοση που θα έχει ο επενδυτής εάν σήμερα

αγοράσει ένα ετήσιο ομόλογο και στο τέλος του πρώτου έτος επανεπενδύσει σε ένα

άλλο ετήσιο ομόλογο. Ο επενδυτής λοιπόν θα είναι αδιάφορος μεταξύ των δύο

επιλογών εάν αυτές δίνουν την ίδια απόδοση για την εξεταζόμενη επενδυτική

περίοδο. Η καμπύλη απόδοσης μας δίνει τις τρέχουσες αποδόσεις για ομόλογα που

έχουν διαφορετική ληκτότητα. Δοθέντων των επιτοκίων σήμερα μπορούμε να

υπολογίσουμε τα αναμενόμενα ετήσια ή προθεσμιακά επιτόκια. Έστω ότι:

i1 : είναι το τρέχον επιτόκιο του ετήσιου κρατικού ομολόγου

i2 : είναι το τρέχον επιτόκιο του διετούς κρατικού ομολόγου

f1 : είναι το ετήσιο αναμενόμενο προθεσμιακό επιτόκιο που θα ισχύει στο τέλος

του πρώτου έτους

Για να είναι ο επενδυτής αδιάφορος μεταξύ των δύο επιλογών πρέπει να ισχύει το

εξής:

(1+i1) (1+f1) = (1+i2)2

f1 = 1)i1()i(1

1

22 −

++

17

f1 = 103,104,1 2

− = 5%

Από το προηγούμενο παράδειγμα και σχήμα έχουμε για τα εταιρικά ομόλογα τα εξής:

κ1 = 8% η τρέχουσα απόδοση του ετήσιου εταιρικού ομολόγου

κ2 = 12% η τρέχουσα απόδοση του διετούς εταιρικού ομολόγου

c1 = το ετήσιο αναμενόμενο επιτόκιο για το εταιρικό ομόλογο

Όπως και στην περίπτωση του κρατικού ομολόγου θα έχουμε

(1+κ1)x(1+c1) = (1+κ2)2

c1 = 1)κ1()κ(1

1

22 −

++

c1 = 108,1

12,1 2

− = 1,16 – 1 = 16,15%

Τρέχουσα απόδοση

κρατικού ομολόγου

Αναμενόμενη ετήσια

απόδοση

Κρατικά ομόλογο

Εταιρικά ομόλογο

Διαφορά

3%

8%

5%

5%

16,15%

11,15%

Γίνεται φανερό από το προηγούμενο παράδειγμα ότι η αναμενόμενη διαφορά

επιτοκίων μεταξύ εταιρικών και κρατικών ομολόγων (11,15%) για περίοδο ενός έτους

είναι μεγαλύτερη από την διαφορά τρέχοντων επιτοκίων ενός έτους (5%). Οι

αναμενόμενες αποδόσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να δώσουν μια εκτίμηση

18

της αναμενόμενης πιθανότητας αποπληρωμής των εταιρικών ομολόγων για περίοδο

ενός έτους. Έστω ρ2 αυτή η πιθανότητα.

Καθότι πρέπει

(ρ2 )x(1+c1) = 1+f1, τότε

ρ2 = 1

1

c1f1

++

ρ2 = 1615,1

05,1 = 0,904

Άρα, η αναμενόμενη πιθανότητα πτώχευσης στο δεύτερο έτος είναι:

1 - ρ2 = 1 – 0904 = 0,096 ή 9,6%

Με τον ίδιο τρόπο μπορούν να υπολογιστούν οι αναμενόμενες πιθανότητες για το

τρίτο έτος (ρ3), τέταρτο έτος (ρ4) και ούτω καθεξής.

Από τα προηγούμενα έπεται ότι η αθροιστική πιθανότητα πτώχευσης εντός της

διετίας είναι:

cρ = (1 – ρ1 )x ρ2

cρ = (1 – 0,9537) x (0,904) = 13,78%

19

Υπόδειγμα απόδοσης προσαρμοσμένη στον κίνδυνο (RAROC model)

RAROC = δανείου τουΚίνδυνος

Δάνειοτοαπόχρόνουενός Εισόδημα

Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή ένα δάνειο εγκρίνεται μόνο έαν RAROC > κόστος

κεφαλαίου της τράπεζας. Το πρόβλημα της μεθόδου αυτής είναι η μέτρηση του

κινδύνου για το συγκεκριμένο δάνειο. Από το υπόδειγμα της διάρκειας γνωρίζουμε

ότι η μεταβολή της αξίας του δανείου εξαρτάται από την διάρκειά του και από την

μεταβολή των επιτοκίων.

Έστω L είναι το ποσό του δανείου, DL είναι η διάρκεια του δανείου και i είναι

το επιτόκιο τότε:

i1D

LΔL

L +Δ

−=i

ΔL = -DL x L x i1+

Δi

Επειδή η μεταβολή του επιτοκίου για το δάνειο είναι δύσκολο να εκτιμηθεί λόγω της

έλλειψης στοιχείων, συνήθως αυτή η μεταβολή υπολογίζεται για ομόλογα όπου

υπάρχουν πληροφορίες.

Έστω

L = 500.000

DL = 3 έτη

i = 12%

Δi = 0,02

ΔL = (-3)x(500.000) x 12,102,0

ΔL = - 26.785,7

Άρα ο κίνδυνος είναι μια μείωση της αξίας του δανείου κατά €26.785,7.

Τα καθαρά έσοδα του δανείου είναι:

20

Η διαφορά μεταξύ του επιτοκίου του δανείου και του κόστους των κεφαλαίων είναι

0,3% και οι προμήθειες είναι 0,1%. Άρα

0,003 x 500.000 = 1.500

0,001 x 500.000 = 500

€2.000

RAROC = %47,77,785.26

000.2=

Εάν το 7,47% είναι μεγαλύτερο από το επιτόκιο (κριτήριο) που χρησιμοποιεί η

τράπεζα για την αξιολόγηση των δανείων, το δάνειο θα εγκριθεί, διαφορετικά θα

απορριφθεί.

Μια παραλλαγή της μεθόδου που χρησιμοποιείται από μεγάλες τράπεζες είναι:

RAROC =

ππτώχευσηλόγω απώλειας ποσοστό xενο ππροσδοκώμη απώλειας Ποσοστό

ευρώ ανά εισόδημα κκαθαρΕτήσιο

Υποδείγματα δικαιωμάτων (option pricing models)

Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιεί την θεωρία αποτίμησης δικαιωμάτων για την μέτρηση

του πιστωτικού κινδύνου. Σύμφωνα με τον Merton (1974) το ασφάλιστρο πιστωτικού

κινδύνου συνδέεται με την δανειακή επιβάρυνση της δανειζόμενης επιχείρησης και

με την διακύμανση της αξίας των περιουσιακών της στοιχείων. Το ασφάλιστρο

πιστωτικού κινδύνου βεβαίως προσαρμόζεται άμεσα στις μεταβολές της δανειακής

επιβάρυνσης. Η αγοραία όμως αξία του ενεργητικού δεν είναι άμεσα παρατηρήσιμη.

Για τον λόγο αυτό υποτίθεται στο συγκεκριμένο υπόδειγμα ότι η διακύμανση της

αξίας των συνολικών στοιχείων του ενεργητικού προσεγγίζεται από τη διακύμανση

της χρηματιστηριακής αξίας της μετοχής. Γνωρίζοντας, τη συνολική αξία της

επιχείρησης, τη διακύμανσή της και την αξία των ξένων κεφαλαίων, είναι αρκετά για

να υπολογισθεί η πιθανότητα πτώχευσης σε μια δεδομένη χρονική στιγμή. Η

πιθανότητα πτώχευσης εδώ ορίζεται σαν η πιθανότητα η αξία των στοιχείων του

ενεργητικού της επιχείρησης να καταστεί μικρότερη από την αξία των ξένων

κεφαλαίων δηλ. τα ίδια κεφάλαια να γίνουν αρνητικά. Η μέθοδος ουσιαστικά

21

κατασκευάζει μια κατανομή της τρέχουσας αξίας του ενεργητικού και εκτιμά την

πιθανότητα η αξία αυτή να γίνει μικρότερη από την αξία των ξένων κεφαλαίων.

Υποδείγματα θνησιμότητας (mortality rate models)

Τα υποδείγματα θνησιμότητας χρησιμοποιούν ιστορικά στοιχεία από τη θνησιμότητα

(αθέτηση) των εταιρικών ομολόγων και δανείων για να εκτιμήσουν τον πιστωτικό

κίνδυνο. Τα ιστορικά αυτά στοιχεία ταξινομούνται σε κατηγορίες φερεγγυότητας

όπως αυτές καθορίζονται από οργανισμούς αξιολόγησης. Στη συνέχεια υπολογίζεται

το οριακό ποσοστό θνησιμότητας (αθέτησης). Δηλαδή, υπολογίζεται η πιθανότητα το

ομόλογο να αθετηθεί σε ένα, δύο ή περισσότερα έτη μετά την έκδοσή του.

Υπόδειγμα CREDITMETRICS

Το υπόδειγμα CreditMetrics απαντά στην ερώτηση: Εάν το επόμενο έτος είναι ένα

άσχημο έτος ποιο είναι το ποσό που θα χάσει η τράπεζα από τα δάνειά της ή το

χαρτοφυλάκιο των δανείων;

Το πρόβλημα με τα δάνεια είναι ότι δεν διαπραγματεύονται δημόσια και δεν

μπορούμε να παρατηρήσουμε την τρέχουσα αξία τους και την τυπική απόκλιση.

Όμως χρησιμοποιώντας:

(1) την πιστοληπτική διαβάθμιση του δανειολήπτη

(2) την πιθανότητα αυτής της διαβάθμισης να μεταβληθεί κατά τη διάρκεια

του επόμενου έτους,

(3) τα ποσοστά ανάκτησης των δανείων που έχουν πτωχεύσει και

(4) την διαφορά επιτοκίων στην αγορά ομολόγων,

μπορούμε να υπολογίσουμε μια υποθετική τρέχουσα αξία και τυπική απόκλιση των

δανείων και συνεπώς να εκτιμήσουμε την VAR.

Διαβάθμιση

22

Ο πίνακας παρακάτω δίνει τη διαβάθμιση μιας εταιρίας και την πιθανότητα που

αντιστοιχεί σε κάθε περίπτωση.

Διαβάθμιση Πιθανότητα

ΑΑΑ

ΑΑ

Α

ΒΒΒ

ΒΒ

Β

CCC

Πτώχευση

0,02%

0,33%

5,95%

86,93%

5,30%

1,17%

0,12%

0,18%

Η μεγαλύτερη λοιπόν πιθανότητα (86,93%) για την εταιρία είναι να παραμείνει για το

επόμενο έτος στην κατηγορία ΒΒΒ χωρίς να αποκλείεται μια αναβάθμιση ή

υποβάθμιση της πιστοληπτικής ικανότητας.

Αποτίμηση

Το αποτέλεσμα της αναβάθμισης ή υποβάθμισης επηρεάζει το απαιτούμενο επιτόκιο

του δανείου και κατά συνέπεια την παρούσα αξία. Εάν η πιστοληπτική ικανότητα

αναβαθμίζεται το επιτόκιο θα μειωθεί ενώ εάν υποβαθμίζεται θα αυξηθεί.

Ουσιαστικά λοιπόν απαιτείται να βρούμε την παρούσα αξία του δανείου στο τέλος

του πρώτου έτους μετά την αναθεώρηση της πιστοληπτικής ικανότητας.

Έστω ότι έχουμε ένα πενταετές δάνειο αξίας €100 εκατομμυρίων με επιτόκιο

6%. Η παρούσα αξία στο τέλος του πρώτου έτους είναι:

Ρ=6+ 444

333

22211 )si1(

106)si1(

6)si1(

6si1

6++

+++

+++

+++

όπου

ii: είναι το ακίνδυνο επιτόκιο ομολόγων του δημοσίου που αναμένονται να

ισχύουν, ένα χρόνο, δύο χρόνια και ούτω καθεξής στο μέλλον (forward rates).

si: είναι η διαφορά επιτοκίων σε ετήσια βάση για δάνεια μιας συγκεκριμένης

κατηγορίας πιστοληπτικής διαβάθμισης ένα χρόνο, δύο χρόνια και ούτω

23

καθεξής στο μέλλον. Τα si στην πράξη υπολογίζονται ως η διαφορά επιτοκίων

μεταξύ εταιρικών και κρατικών ομολόγων.

Έστω ότι ο δανειολήπτης αναβαθμίζεται κατά τη διάρκεια του επόμενου έτους από

ΒΒΒ σε Α. Η παρούσα αξία (Ρ) του δανείου στο τέλος του πρώτου έτους είναι

Ρ = 6 + 432 )0532,1(106

)0493,1(6

)0432,1(6

0372,16

+++

Ρ = 108,66

Η αναβάθμιση από ΒΒΒ σε Α οδήγησε σε αύξηση της αξίας του δανείου από €100

εκατ. σε €108,66 εκατ. Ο παρακάτω πίνακας δίνει την αξία του δανείου με

διαφορετικές διαβαθμίσεις.

Διαβάθμιση στο τέλος του έτους Αξία Δανείου

ΑΑΑ

ΑΑ

Α

ΒΒΒ

ΒΒ

Β

CCC

Πτώχευση

109,37

109,17

108,66

107,55

102,02

98,10

83,64

51,13

Ο πίνακας μας δείχνει καθαρά την μέγιστη αξία του δανείου €109,37 εκατ. και την

ελάχιστη αξία €51,13 σε περίπτωση πτώχευσης. Γίνεται φανερό ότι η αξία του

δανείου δεν κατανέμεται συμμετρικά (δεν έχουμε κανονική κατανομή).

Η μέθοδος CreditMetrics μας δίνει δύο μετρήσεις για την VAR. Η μία αξία

στηρίζεται σε κανονική κατανομή των αξιών του δανείου και η άλλη στην

πραγματική κατανομή.

24

Υπολογισμός της VAR

Διαβάθμιση στο

τέλος του έτους

Πιθανότητα

(%)

(1)

Νέα αξία δανείου

(€)

(2)

Σταθμισμένη

αξία (€)

(3)=2x1

Διαφορά αξία

από τον μέσο

(€)

Διακύμανση

AAA

AA

A

BBB

BB

B

CCC

Πτώχευση

0,02

0,33

5,95

86,93

5,30

1,17

0,12

0,18

109,37

109,19

108,66

107,55

102,02

98,10

83,64

51,13

0,02

0,36

6,47

93,49

5,41

1,15

1,10

0,09

2,28

2,10

1,57

0,46

(5,06)

(8,99)

(23,45)

(55,96)

0,0010

0,0146

0,1474

0,1853

1,3592

0,9446

0,6598

5,6358

Μέση τιμή 107,09 8,94777

Άρα έχουμε:

Μέση τιμή €107,09

Διακύμανση (σ2) 8,94777

Τυπική απόκλιση (σ) 2,99

Κάτω από την υπόθεση της κανονικής κατανομής έχουμε:

5% VAR = (1,65) x (σ) = (1,65) x (2,99) = €4,93 εκατ.

Άρα υπάρχει μια πιθανότητα 5% ότι το ποσό που θα χάσει η τράπεζα θα είναι

μεγαλύτερο από €4,93 εκατ.

1% VAR = (2,33) x (σ) = (2,33) x (2,99) = €6,97 εκατ.

Άρα υπάρχει μια πιθανότητα 1% ότι το ποσό που θα χάσει η τράπεζα θα είναι

μεγαλύτερο από €6,97 εκατ.

25

Κάτω από την υπόθεση της πραγματικής κατανομής έχουμε*:

5% VAR = 95% της πραγματικής κατανομής = 107,09-102,02 = 5,07

1% VAR = 99% της πραγματικής κατανομής = 107,09-98,10 = 8,99

Στην πραγματικότητα υπάρχει μια πιθανότητα 6,77% ότι η αξία του δανείου θα πέσει

κάτω από €102,02 ή μια κατά προσέγγιση 5% πιθανότητα ότι η VAR θα είναι πάνω

από €5,07 εκατ. Υπάρχει μια πιθανότητα 1,47% ότι η αξία του δανείου θα πέσει κάτω

από €98,10, ή μια κατά προσέγγιση 1% πιθανότητα ότι η πραγματική VAR θα είναι

πάνω από €8,99 εκατ. Βεβαίως μέσω της γραμμικής παρεμβολής μπορούμε να

πάρουμε τα ακριβή 5% και 1% της VAR. Δηλαδή,

83,64 αντιστοιχεί σε 0,3%

83,64+x αντιστοιχεί σε 1%

98,10 αντιστοιχεί σε 1,47%

17,17,0

14,64x

=

x = 8,75

Άρα, το 1% αντιστοιχεί σε €92,39 (=83,64+8,75) και συνεπώς η πραγματική

1% VAR είναι 107,09-92,39 = €14,7.

* 5% VAR είναι κατά προσέγγιση, στην πραγματικότητα είναι 6,77% VAR

(5,3%+1,17%+0,12%+0,18%) 1% VAR είναι κατά προσέγγιση, στην πραγματικότητα είναι 1,47% VAR

(1,17%+0,12%+0,18%)

26