1

Φύλλο 1

Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II

Στις δύο παρακάτω γραμμές από το περιβάλλον του λογισμικού αυτού η πρώτη αφορά γενικές επεξεργασίες και δεύτερη με τα εικονίδια περιλαμβάνει τις στοιχειώδεις κατασκευές και δράσεις.

Κάνοντας ένα κλικ σε κάθε ένα από τα εικονίδια αυτά αναδύεται ένα μενού από το οποίο επιλέγουμε αυτό που κάθε φορά θέλουμε.

Λυμένες Ασκήσεις

1η ) Να σχεδιαστούν τα τμήματα ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ με μήκη αντίστοιχα ίσα με 2, 4, 6 μονάδες μέτρησης.

Απάντηση: Κατασκευή του ΑΒ=2cm

1ο βήμα: χάραξη του σημείου Κάνουμε κλικ στο εικονίδιο με την τελίτσα και εμφανίζεται το αντίστοιχο

μενού. Επιλέγουμε το σημείο και μετά σε ένα τυχαίο σημείο του περιβάλλοντος κάνουμε ένα κλικ. Αμέσως θα εμφανιστεί ένα σημείο. Το σημείο αυτό είναι σε τυχαία θέση και μπορούμε με το βέλος επιλογής να το μετακινήσουμε σε άλλη θέση (κατά τη μετακίνηση αυτή εμφανίζεται ένα χεράκι που μας λέει ότι ελέγχεται από εμάς). 2ο βήμα: ονομασία Με το βέλος επιλογής κάνουμε κλικ στο εικονίδιο με το Α| και τότε εμφανίζεται στο μενού η ονομασία. Αφού επιλέξουμε την ονομασία οδηγούμαστε στο σημείο και τότε κάνοντας σ’ αυτό ένα κλικ εμφανίζεται ο κέρσορας που περιμένει να δώσουμε την ονομασία. Το σημειώνουμε ως Α. 3ο βήμα: Κατασκευή του ευθυγράμμου τμήματος ίσου με 2 cm. Κάνουμε κλικ με το βέλος επιλογής το εικονίδιο με το Α| και επιλέγουμε την αριθμητική επεξεργασία που συμβολίζεται με το (2.1). Σε ένα τυχαίο σημείο του περιβάλλοντος κάνουμε ένα κλικ και τότε εμφανίζεται ένα πλαίσιο με έναν κέρσορα που περιμένει να δώσουμε το αριθμό 2. (Μπορούμε να δώσουμε και δεκαδικά μέρη). Τον αριθμό αυτό μπορούμε κάθε φορά που κάνουμε κλικ σ’ αυτόν να τον μεγαλώσουμε ή να τον ελαττώσουμε. Στη συνέχεια κάνουμε κλικ στο εικονίδιο με τις κάθετες γραμμές (το 5ο από την αρχή εικονίδιο) και από το μενού επιλέγουμε την εντολή μεταφορά μέτρησης. Στη συνέχεια κάνουμε ένα κλίκ στον αριθμό 2 της αριθμητικής επεξεργασίας και μετά ένα κλικ στο σημείο Α. Τότε εμφανίζεται ένα διακεκομμένο τμήμα ίσο με 2cm και σε μια τυχαία θέση ώστε με ένα τρίτο κλικ σταθεροποιείται εκεί που θέλουμε κάθε φορά. Κατόπιν το άλλο σημείο το ονομάζουμε με Β. Τέλος κάνουμε κλικ στο 3ο εικονίδιο με την ευθεία και από το μενού επιλέγουμε την κατασκευή τμήματος. Στη συνέχεια κάνουμε κλικ στο Α και μετά στο Β και θα εμφανιστεί το ζητούμενο τμήμα ΑΒ.

2

Σχόλια: 1ο.Αν το λογισμικό είναι το Cabri II plus τότε για τη μεταφορά μέτρησης θα

χρειαστεί στο σημείο Α να φέρουμε μια ημιευθεία και να ορίζουμε σ’ αυτήν το άλλο άκρο με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.

2ο. Μπορούμε να μετακινήσουμε το σημείο Α και να το πάμε όπου θέλουμε. Μαζί μ’ αυτό μετακινείται ολόκληρο το τμήμα. 2η ) Να κατασκευαστούν γωνίες ίσες με 30 , 52 , 75

Απάντηση: Κατασκευή της γωνίας 30

1ο βήμα: Κατασκευάζουμε μια ημιευθεία Οχ, από το μενού του εικονίδιου με την ευθεία (τρίτο από την αρχή) 2ο βήμα: Ορίζουμε μια αριθμητική επεξεργασία με αριθμό το 30 (Το λογισμικό το αντιλαμβάνεται ως μοίρες, σε άλλη περίπτωση γίνεται ρύθμιση). 3ο βήμα: Από το μενού των μετασχηματισμών (6ο εικονίδιο από αριστερά με το σχήμα μιας πλάγιας γραμμής και δυο τελίτσες εκατέρωθεν) επιλέγουμε την περιστροφή. Έτσι στη συνέχεια κάνουμε κλικ στην ημιευθεία Οχ (σε ένα τυχαίο σημείο της εκτός της αρχής) μετά ένα κλικ στην αρχή Ο (κέντρο περιστροφής) και τέλος ένα κλικ στον αριθμό 30. Αμέσως έγινε η ζητούμενη γωνία.

Αλλάζοντας τον αριθμό βλέπουμε αλλάζει και η γωνία. 3η )Να κατασκευαστεί τρίγωνο ΑΒΓ με δεδομένα τα στοιχεία:

50 , 5 . ., 7 .o m m m mA= AB= AG= Απάντηση:

Κατασκευάζουμε όπως στην άσκηση 2 μια γωνία 50oxAy .

Στη συνέχεια κατασκευάζουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα κ=ΜΝ=5 και λ=ΣΤ=7 όπως στην άσκηση 1. Στη συνέχεια επιλέγουμε την εντολή διαβήτης από το μενού του πέμπτου εικονιδίου με το σχήμα της καθέτου. Στη συνέχεια κάνουμε κλικ στην κορυφή Α της γωνίας και κλικ στο τμήμα κ. Εμφανίζεται τότε ένας κύκλος. Με την εντολή σημείο χαράσσουμε το Β, που είναι το σημείο τομής του κύκλου με την Αχ. Το ίδιο κάνουμε και με το άλλο τμήμα και χαράσσουμε το σημείο Γ. Κατόπιν με την εντολή απόκρυψη-εμφάνιση που βρίσκεται στο μενού του τελευταίου εικονιδίου με τον ήλιο κάνουμε κλικ στις ημιευθείες και στους κύκλους. Μένουν με εμφάνιση τρία σημεία τα Α, Β, Γ. Τα ενώνουμε με τμήματα κι έτσι έγινε το ζητούμενο τρίγωνο. Αν θέλουμε να επαληθεύσουμε την ακρίβεια του σχήματος τότε από το εικονίδιο των μετρήσεων μπορούμε κάνοντας κάθε φορά κλικ στη μέτρηση της γωνίας και των αποστάσεων να μετρήσουμε τη γωνία και τις πλευρές του τριγώνου αυτού. 4η ) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ να σχεδιαστεί το ορθικό τρίγωνο ΔΕΖ και να σημειωθούν με κόκκινο και με παχιά γραμμή οι πλευρές του. Στη συνέχεια να επαληθευτεί η ιδιότητα που λέει πως τα ύψη του αρχικού τριγώνου διχοτομούν τις γωνίες του ορθικού. Απάντηση: Με την εντολή τρίγωνο από το μενού του τρίτου εικονιδίου της ευθείας γραμμής κατασκευάζουμε τυχαία ένα τρίγωνο. Ονομάζουμε κατά το γνωστό τρόπο τις κορυφές του με Α, Β,Γ.

Για να κατασκευάσουμε το ύψος από την κορυφή Α επιλέγουμε από το μενού του πέμπτου εικονιδίου (με κάθετες γραμμές) την κάθετη ευθεία και στη συνέχεια

3

κάνουμε κλικ στο σημείο Α και στην απέναντι πλευρά ΒΓ. Αμέσως χαράχτηκε η κάθετος αυτή. Ορίζουμε την τομή Δ αυτής (όπως στην άσκηση 3) με τη ΒΓ και μετά κάνουμε απόκρυψη της κάθετης αυτής ευθείας. Ύστερα ενώνουμε το σημείο Α με το σημείο Δ με την εντολή ευθύγραμμο τμήμα και έτσι έγινε το ύψος ΑΔ. Όμοια κατασκευάζουμε και τα άλλα δύο ύψη ΒΕ, ΓΖ. Στη συνέχεια φέρουμε τα τμήματα ΔΕ, ΕΖ, ΖΔ κι έτσι κατασκευάστηκε το ορθικό τρίγωνο. Κατόπιν από μενού του τελευταίου εικονιδίου (με το μισοκρυμένο ήλιο) επιλέγουμε το πάχος (τρεις επιλογές). Τέλος με κλικ σε κάθε μια πλευρά του ορθικού τριγώνου τις κάνουμε πιο παχιές. Για την επαλήθευση της ιδιότητας χρησιμοποιούμε το μενού του ένατου εικονιδίου των μετρήσεων. 5η ) Να κατασκευαστεί ένα τετράγωνο με πλευρά ίση με 5 μ.μ. Απάντηση: Πρώτα κατασκευάζουμε ένα τμήμα ΑΒ ίσο με 5cm. Στη συνέχεια στις άκρες αυτού φέρουμε κάθετες ευθείες με την εντολή κάθετη ευθεία από το μενού του πέμπτου εικονιδίου. Στη συνέχεια με κέντρο το σημείο Α κατασκευάζουμε κύκλο με την εντολή κύκλος από το μενού του τέταρτου εικονιδίου (με το σχήμα κύκλος). Κατόπιν χαράσσουμε την τομή του κύκλου αυτού με την κάθετο κι έτσι έχουμε την τρίτη κορυφή του τετραγώνου. Την ίδια επεξεργασία κάνουμε και για την άλλη κάθετο για να βρούμε την τέταρτη κορυφή. Τέλος κρύβουμε τα περιττά και χαράσσουμε τα τελικά στοιχεία του τετραγώνου. (Υπάρχουν κι άλλοι τρόποι που σιγά –σιγά θα τους ανακαλύψετε) 6η ) Να κατασκευαστεί ορθογώνιο με πλευρές ίσες με 5μ.μ και 7μ.μ. Απάντηση: 1η περίπτωση: Έστω ότι τα τμήματα αυτά είναι οι δύο κάθετες πλευρές του

ζητούμενου τριγώνου. Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε μια τυχαία ημιευθεία Οχ και στην αρχή Ο

φέρομε κάθετη ευθεία. Με αρχή το σημείο Ο φέρουμε μια ημιευθεία Οψ που να ανήκει στην κάθετη που φέραμε. Μετά κρύβουμε την κάθετη κι έτσι βλέπουμε μόνον τις δύο ημιευθείες που σχηματίζουν την ορθή γωνία χΟψ. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε δύο τμήματα όπως στο παράδειγμα 1 και με τον «διαβήτη» ορίζουμε στις πλευρές τα τμήματα αυτά, έστω τα Α και Β. Τέλος κρύβουμε τους δυο κύκλους και με την εντολή τρίγωνο κατασκευάζουμε το ζητούμενο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ. Αν θέλουμε να σημειώσουμε στην ορθή γωνία ένα δείκτη τότε ενεργοποιούμε από το μενού του δέκατου εικονιδίου (δεύτερο πριν το τέλος) την εντολή «δείκτης γωνίας» και στη συνέχεια κάνουμε κλικ στα τρία σημεία ΑΟΒ που ορίζουν την ορθή γωνία του τριγώνου. 2η περίπτωση: Έστω ότι τα τμήματα αυτά είναι η μικρή η κάθετος και η μεγάλη

η υποτείνουσα του ζητούμενου τριγώνου. Στην περίπτωση αυτή κατασκευάζουμε όπως πριν την ορθή γωνία χΟψ και σε μια άκρη τα δύο αυτά τμήματα. Μετά με το «διαβήτη» τοποθετούμε το μικρό τμήμα πάνω στην Οχ και ορίζουμε το σημείο Α. Στη συνέχεια με το διαβήτη και με κέντρο το σημείο Α καθώς και με ακτίνα το μεγάλο τμήμα γράφουμε κύκλο ο οποίος τέμνει την άλλη κάθετο σε ένα σημείο το Β.

Μετά κατασκευάζουμε το τρίγωνο ΟΑΒ.

4

7η) Να κατασκευαστεί ένας κύκλος μια επίκεντρη γωνία και η αντίστοιχη εγγεγραμμένη. Στη συνέχεια να μετρηθούν οι γωνίες αυτές και να επαληθευτεί η σχέση που δηλώνει πως η μια έχει μέτρο διπλάσιο από το μέτρο της άλλης. Απάντηση: Με την εντολή κύκλος από το μενού του τέταρτου εικονιδίου κατασκευάζουμε έναν κύκλο τυχαίου κέντρου Ο και τυχαίας ακτίνας. Θεωρούμε πάνω σ’ αυτόν δύο σημεία (μη αντιδιαμετρικά) έστω τα Α και Β. Στη συνέχεια τα ενώνουμε με το κέντρο Ο του κύκλου και κατασκευάζω το «δείκτη» επίκεντρης γωνίας ΑΟΒ. Μετά θεωρούμε ένα άλλο σημείο Μ μεταβλητό του μεγάλου τόξου του κύκλου και το ενώνω με τα σημεία Α και Β. Σημειώνω επίσης το «δείκτη» εγγεγραμμένης γωνίας ΑΜΒ. Για να μετρήσω τις γωνίες αυτές επιλέγω από το μενού των μετρήσεων(ένατο εικονίδιο) τη «Γωνία» και με κλικ στα σημεία Α,Ο,Β θα προκύψει το μέτρο της. Το στοιχείο αυτό μπορούμε να το μετακινήσουμε σε σημείο που θέλουμε καλύτερα. Το ίδιο κάνουμε και για την άλλη γωνία. Για να βρω τη σχέση τους ενεργοποιώ από το ίδιο εικονίδιο τον «Υπολογισμό» και με κλικ στο μέτρο της επίκεντρης θα παρατηρήσω ότι έχει μπει στην οθόνη της μηχανής αυτής. Μετά από τη μηχανή αυτή επιλέγω την πράξη της διαίρεσης και στη συνέχεια κάνω κλικ στο μέτρο της άλλης γωνίας. Τέλος πατώντας δύο φορές το ίσον της μηχανής αυτής και σύροντας το βέλος επιλογής μπορούμε να μετακινήσουμε το αποτέλεσμα σε όποιο σημείο θέλουμε. Το αποτέλεσμα αυτό θα είναι στην περίπτωση αυτή ο αριθμός 2. 8η ) Να κατασκευαστεί ένα τρίγωνο και ένα σημείο στο εξωτερικό του. Να βρεθεί το συμμετρικό του τριγώνου αυτού ως προς κέντρο το σημείο αυτό. Μετά να περιστραφεί το τρίγωνο γύρω από το σημείο αυτό ώστε να συμπέσει με το συμμετρικό του. Απάντηση: Κατασκευάζουμε ένα τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σημείο Ο εκτός αυτού. Επιλέγουμε από το μενού των μετασχηματισμών(έκτο εικονίδιο) την κεντρική συμμετρία και μετά κάνουμε κλικ πρώτα στο τρίγωνο και μετά στο κέντρο Ο. Αμέσως θα εμφανιστεί το συμμετρικό του ΑΒΓ. Για την περιστροφή επιλέγουμε ως «αριθμητική επεξεργασία» έναν τυχαίο αριθμό π.χ. 32. Μετά πάλι από το μενού των μετασχηματισμών επιλέγουμε την περιστροφή. Κατόπιν κάνουμε κλικ στο τρίγωνο ΑΒΓ, μετά στο κέντρο Ο και τέλος στην αριθμητική επεξεργασία. Τότε θα δείτε το τρίγωνο να έχει περιστραφεί. Τέλος αλλάζοντας με τα βέλη πάνω ή κάτω της αριθμητικής επεξεργασίας μπορείτε να οδηγήσετε το τρίγωνο σε άλλες θέσεις που θέλετε. Ακόμα και στο συμμετρικό του. 9η) Να κατασκευαστεί ο περιγεγραμμένος κύκλος σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Στη συνέχεια μετρώντας τα αντίστοιχα μεγέθη του τριγώνου να επαληθευτεί η σχέση:

4R

Απάντηση: Κατασκευάζουμε το τρίγωνο ΑΒΓ. Μετά τις δύο μεσοκάθετες των ΑΒ και ΑΓ. Σημειώνουμε το σημείο τομής αυτών Ο και μετά τις κρύβουμε. Με κέντρο το σημείο ο και με άνοιγμα ίσο με την ΟΑ γράφουμε κύκλο(με την εντολή κύκλος). Μετρώ στη συνέχεια τα μεγέθη α, β, γ, R και Ε(εμβαδόν) από το μενού των μετρήσεων. Κατόπιν με τον υπολογισμό βρίσκουμε το μέγεθος

5

4

R

και το συγκρίνω μ’ εκείνο που μέτρησα. Διαπιστώνω πως είναι ίσα. 10η) Δίνεται ένα τρίγωνο. Να βρεθούν τα ομοιόθετα του τριγώνου αυτού ως προς τις τρεις κορυφές του και με λόγο ομοιοθεσίας ίσο με -1. Στη συνέχεια γεμίστε το εσωτερικό των τριγώνων που θα προκύψουν με κίτρινο χρώμα. Απάντηση: Παίρνουμε την αριθμητική επεξεργασία ίση με -1 και μετά από το μετασχηματισμό της ομοιοθεσίας (κλίκ στο τρίγωνο, κλικ στην κορυφή, κλικ στο -1) κατασκευάζω το κάθε ομοιόθετο.

11η ) Να μεταφέρετε το κατωτέρω σχήμα στο περιβάλλον του λογισμικού και στη συνέχεια: 1)Να δώσετε κίνηση στο σημείο Μ

2) Να μετρήσετε τη γωνία ABG 3) Να βρείτε πότε αυτή γίνεται μέγιστη.

Προσπαθήστε το μόνοι σας! Καλή επιτυχία!

Μωυσιάδης Χρόνης- Δόρτσιος Κώστας

Σχήμα 10

1

Φύλλο 2

Δράσεις με το λογισμικό The geometer’s Sketchpad

Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ’ εκείνο του Cabri II

όμως έχει τη δικιά του φιλοσοφία και το δικό του τρόπο συνεργασίας με το χρήστη. Στην ανωτέρω εικόνα φαίνονται στην πάνω σειρά μια σειρά από παράθυρα

εργασιών που μπορεί να εκτελέσει, ενώ στην αριστερή στήλη βλέπει κανείς έξι εικονίδια στοιχειωδών κατασκευών και δράσεων. Είναι το γνωστό βέλος επιλογής, η κατασκευή του σημείου, του κύκλου, της ευθείας (τμήματος ή ημιευθείας), η ονοματολογία των στοιχείων κατασκευής και τέλος το εικονίδιο των μακροεντολών.

Χωρίς να αναφερθούμε σε αναλυτική παρουσίαση, επισημαίνουμε τούτο: Κάθε φορά που στο περιβάλλον του λογισμικού έχουμε σημειώσει κάποια στοιχεία, μπορούμε να κάνουμε κλικ στο παράθυρο «κατασκευή» και να δούμε τι κατασκευαστικές δυνατότητες μας παρέχει το λογισμικό. Στη συνέχεια επιλέγουμε κάθε φορά εκείνο που εμείς θέλουμε.

Με τα παρακάτω παραδείγματα ελπίζουμε να γίνει μια καλή εισαγωγή στη χρήση του λογισμικού αυτού.

Λυμένες ασκήσεις

1η ) Να σχεδιαστούν τα οριζόντια τμήματα ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ με μήκη αντίστοιχα ίσα με 2, 4, 6 μονάδες μέτρησης. Λύση: Κατασκευή του ΑΒ. Κάνοντας κλικ στο εικονίδιο του σημείου(δεύτερο στη σειρά από πάνω στην αριστερή στήλη) και μετά ένα δεύτερο κλικ σε ένα οποιοδήποτε σημείο του περιβάλλοντος του λογισμικού σημειώνουμε ένα σημείο. Για να το ονομάσουμε κάνουμε κλικ στο εικονίδιο της ονοματολογίας Α. Στη συνέχεια ένα δεύτερο κλικ στο σημείο που έχουμε κατασκευάσει. Αμέσως εμφανίζεται ένα γράμμα. Αν θέλουμε με ένα δεύτερο κλικ το αλλάζουμε. (Το πρόγραμμα ονομάζει κάθε φορά τα στοιχεία που κατασκευάζουμε με τη σειρά. Εμείς όμως μπορούμε να τα αλλάξουμε). Έτσι στο περιβάλλον έχουμε το σημείο Α. Κάθε φορά που θέλουμε να κάνουμε κάποια ενέργεια πάνω σε ένα γεωμετρικό αντικείμενο πρέπει πρώτα να το επιλέγουμε κάνοντας σ’ αυτό ένα κλικ με το βέλος επιλογής.

2 Επιλέγουμε τώρα το σημείο Α και στη συνέχεια: από το παράθυρο των μετασχηματισμών επιλέγουμε τη μεταφορά. Αμέσως εμφανίζεται ένα παράθυρο που μας καλεί να δηλώσουμε τον τρόπο μετακίνησης καθώς και το μήκος της μετακίνησης. Στο εικονίδιο αυτό σημειώνουμε τη σταθερή απόσταση 2 και τη σταθερή γωνία (γιατί θέλουμε οριζόντιο τμήμα) ίση με 0. Κάνοντας κλικ στη μεταφορά παρατηρούμε ότι το σημείο Α μετακινήθηκε οριζόντια και προς τα δεξιά. Στη συνέχεια ονομάζουμε το σημείο αυτό Β. Τέλος από το εικονίδιο του τμήματος, τέταρτο εικονίδιο προς τα κάτω, ενώνουμε το σημείο Α με το σημείο Β. Με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζουμε και τα υπόλοιπα ευθύγραμμα τμήματα. 2η ) Να κατασκευαστούν τα τμήματα 2, 4, 6 μονάδες μέτρησης και με γωνίες κλίσης ως προς τον οριζόντιο άξονα 20, 30, 60 μοίρες αντίστοιχα. Λύση: Όπως και στην προηγούμενη άσκηση έτσι και τώρα σημειώνουμε ένα σημείο Α και το μεταφέρουμε σε απόσταση 2 μονάδες και με γωνία ίση με 20 μοίρες σε

σχέση με τον οριζόντιο άξονα. Αυτό το πετυχαίνουμε σημειώνοντας τα αντίστοιχα στοιχεία στο εικονίδιο της μεταφοράς. 2η ) Να κατασκευαστούν γωνίες ίσες με 30 , 52 , 75 Λύση: Από το εικονίδιο της ευθείας (τέταρτο αριστερά), με πατημένο κλικ εμφανίζεται ένα μικρό μενού. Επιλέγω την ημιευθεία και στη συνέχεια σε κάποια τυχαία θέση κατασκευάζουμε μια ημιευθεία Αχ. (Η ονομασία γίνεται κατά τα γνωστά) Για να κατασκευάσω μια γωνία πρέπει να κάνω περιστροφή. Η περιστροφή χρειάζεται δύο στοιχεία. Το κέντρο περιστροφής και τη γωνία περιστροφής. Επιλογή του κέντρου.

3 Κάνοντας διπλό κλικ στο σημείο Α εμφανίζεται μια αναλαμπή που δηλώνει την αποδοχή της εντολής. (Αυτό μπορεί να γίνει και διαφορετικά. Επιλέγουμε το σημείο και μετά το παράθυρο των μετασχηματισμών. Στο μενού που αναδύεται κάνουμε κλικ στην «επιλογή κέντρου») Επιλογή της γωνίας.

Στη συνέχεια επιλέγουμε την ημιευθεία και στη συνέχεια κάνουμε κλικ στο παράθυρο των μετασχηματισμών όπου αναδύεται ένα μενού επιλογών. Επιλέγουμε το μετασχηματισμό της στροφής και σ’ αυτόν κάνουμε κλικ. Τότε εμφανίζεται το παράθυρο:

Στο εικονίδιο των μοιρών σημειώνουμε τη γωνία που θέλουμε, δηλαδή 30 μοίρες και στη συνέχεια κάνουμε κλικ στην ένδειξη «περιστροφή». Η γωνία ήδη έχει κατασκευαστεί. 3η ) Να κατασκευαστεί τρίγωνο ΑΒΓ με δεδομένα τα στοιχεία:

50 , 5 . ., 7 . . Λύση:

Κατασκευάζουμε πρώτα μια γωνία xAy ίση με 50o (Άσκ. 2η). Στη συνέχεια

δύο ευθύγραμμα τμήματα 5 . ., 7 . (Ασκ.1η). Στη συνέχεια επιλέγουμε το σημείο Α της γωνίας και το πρώτο τμήμα (κάνουμε δηλαδή κλικ πάνω σ’ αυτά) και μετά επιλέγουμε το παράθυρο των κατασκευών. Στο μενού αυτό υπάρχει τονισμένη η κατασκευή κύκλου από το κέντρο του και την ακτίνα του. Κάνουμε κλικ σ’ αυτό και κατασκευάζουμε τον κύκλο. Μετά επιλέγουμε τον κύκλο αυτό και τη μια πλευρά της γωνίας και πάλι από το παράθυρο των κατασκευών επιλέγουμε την τομή. Έτσι ορίστηκε η τομή του κύκλου αυτού με την Αχ. Την ονομάζουμε Β. Κατόπιν αυτού επιλέγουμε τον κύκλο και από το μενού «προβολή» επιλέγουμε την απόκρυψη. Έτσι φαίνεται η γωνία και το σημείο Β στη μια της πλευρά. Το ίδιο κάνουμε και με το άλλο τμήμα και ορίζουμε το σημείο Γ. Ύστερα από αυτά κρύβουμε τη γωνία και επιλέγοντας τα τρία σημεία Α, Β,Γ από το μενού των κατασκευών επιλέγω τμήματα. Σχηματίστηκε τώρα ένα τρίγωνο που όμως το λογισμικό δεν το αναγνωρίζει ως τρίγωνο αλλά ως τρία τμήματα. Αν θέλουμε να το κάνουμε τρίγωνο(ώστε να μετρήσουμε στοιχεία του) τότε κάνουμε κλικ στα τρία σημεία Α,Β,Γ και από το μενού των κατασκευών επιλέγουμε εσωτερικό τριγώνου. Τότε εμφανίζεται το ζητούμενο τρίγωνο. 4η ) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ να σχεδιαστούν τα δύο ύψη του ΒΔ και ΓΕ. Στη συνέχεια να κατασκευάσετε τον περιγεγραμμένο κύκλο και να σημειώσετε με Ο το κέντρο του κύκλου αυτού. Τέλος να διαπιστώσετε με μέτρηση ότι το τμήμα ΟΑ είναι κάθετο στην ευθεία που ορίζει το τμήμα ΔΕ. (Θεώρημα του Nagel)

4Λύση: Παίρνουμε τρία σημεία στο επίπεδο του λογισμικού και τα ενώνουμε με ευθύγραμμα τμήματα. Σημειώνουμε τις κορυφές με τα γράμματα Α,Β,Γ. Κατόπιν επιλέγουμε την κορυφή Β και την απέναντι πλευρά ΑΓ. Από το μενού των κατασκευών επιλέγουμε την «κάθετη» και κάνουμε κλικ. Στη συνέχεια επιλέγουμε την κάθετη αυτή και την πλευρά ΑΓ και πάλι από το μενού των κατασκευών επιλέγουμε την «τομή». Έτσι κατασκευάστηκε το σημείο τομής των δύο αυτών γραμμών. Ονομάζουμε το σημείο αυτό με Δ και στη συνέχεια κρύβουμε την κάθετο που φέραμε. Στη συνέχεια ενώνουμε το σημείο Β με το Δ και έτσι χαράχτηκε το ύψος ΒΔ. Όμοια χαράσσουμε και το ύψος ΓΕ. Για τον περιγεγραμμένο κύκλο επιλέγουμε μια πλευρά του τριγώνου και από το μενού των κατασκευών βρίσκουμε το μέσον της. Στη συνέχεια επιλέγουμε το μέσον αυτό καθώς και την πλευρά αυτή και από το μενού των κατασκευών χαράσσουμε την κάθετη που είναι ασφαλώς η μεσοκάθετος της πλευράς. Όμοια φέρουμε την μεσοκάθετο μιας άλλης πλευράς και στη συνέχεια σημειώνουμε κατά τα γνωστά το σημείο τομής αυτών Ο. Μετά κρύβουμε τις μεσοκάθετες και κατόπιν με κέντρο το σημείο αυτό και με άνοιγμα την απόσταση από μια κορυφή του τριγώνου φέρουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο. Αν φέρουμε την ΔΕ και την ΟΑ και μετρήσουμε τη γωνία που σχηματίζουν κατά τα γνωστά από το μενού των μετρήσεων τότε θα διαπιστώσουμε την ισχύ του θεωρήματος αυτού. (Η μέτρηση της γωνίας γίνεται αφού ενεργοποιήσουμε τα τρία

σημεία Ο, Η, Δ –στη μέση η κορυφή της γωνίας- πάμε στο μενού των μετρήσεων κα επιλέγουμε την εντολή «γωνία») 5η ) Να κατασκευαστεί ένα κανονικό εξάγωνο με πλευρά ίση με 3 μ.μ. Λύση:

μέτροΔΗΑ = 90,00

Η

Ο

Ε

Δ

Α

Β

Γ

ΖΕ

Δ

Γ Β

ΑΟ

5 Κατασκευάζουμε ένα τμήμα ΟΑ ίσο με τρεις μονάδες και με κέντρο το Ο και ακτίνα το τμήμα αυτό κατασκευάζουμε έναν κύκλο πάνω στον οποίο όπως φαίνεται κι από το σχήμα κατασκευάζουμε τέσσερις άλλους κύκλους με την ίδια ακτίνα. Έτσι θα οριστούν οι κορυφές Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ του κανονικού εξαγώνου. 6η ) Να κατασκευαστεί ορθογώνιο με πλευρές ίσες με 5μ.μ και 7μ.μ. Λύση: Κατασκευάζουμε κατ’ αρχήν το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=7 μονάδες μέτρησης. Στη συνέχεια μετακινούμε το σημείο Α με στοιχεία 5 μονάδες μήκους και γωνία 90

μοιρών. Έτσι ορίστηκε το σημείο Δ. Το ίδιο κάνουμε και με το σημείο Β. Τέλος ενώνουμε τις κορυφές αυτές και προκύπτει το ορθογώνιο ΑΒΓΔ.

8η ) Να κατασκευαστεί μια μακροεντολή που να κατασκευάζει τον κύκλο του Euler Λύση: Ένας εύκολος τρόπος για να κατασκευάσουμε τον κύκλο του Euler ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι να κατασκευάσουμε τα δύο ύψη ΑΔ, ΒΔ να σημειώσουμε το σημείο τομής αυτών Η καθώς και το μέσον Ν του τμήματος ΗΑ. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε το μέσον Μ της πλευράς ΒΓ και με διάμετρο το τμήμα ΜΝ χαράσσουμε έναν κύκλο. Αυτός είναι και ο ζητούμενος κύκλος του Euler που διέρχεται ακόμα από τα δύο άλλα μέσα των πλευρών, από τα ίχνη των υψών καθώς και από το μέσα των τμημάτων που ενώνουν το ορθόκεντρο Η με τις κορυφές του τριγώνου. Αφού εκτελέσουμε την κατασκευή επιλέγουμε με το βέλος επιλογής ολόκληρο το σχήμα και κάνουμε κλικ στο τελευταίο εικονίδιο αριστερά(με τα δύο έντονα βέλη) όπου αναδύεται ένα παράθυρο. Επιλέγουμε «δημιουργία νέου εργαλείου» και στο πινάκιο που εμφανίζεται δίνουμε το όνομα «κύκλος του Euler» καθώς επίσης σημειώνουμε και στο τετραγωνίδιο «προβολή αρχείου εντολών». Στο τέλος σημειώνουμε ΟΚ. Αν κατόπιν σβήσουμε το προηγούμενο σχέδιο, μπορούμε να εκτελέσουμε τη μακροεντολή αυτή αφού σημειώσουμε τρία σημεία ως αρχικά. Η εντολή μπορεί να εκτελεστεί με βήματα ή αυτόματα. Δοκιμάστε το!

μέτρο ΑΔ = 5,00 εκ.

μέτρο ΑΒ = 7,00 εκ.

ΓΔ

ΒΑ

Ο

Μ

Ν

Η

Ε

Δ

Α

Β Γ

Φύλλο 3

Μωυσιάδης Χρόνης – Δόρτσιος Κώστας

Δράσεις με το λογισμικό Geogebra

Το περιβάλλον των εντολών και των δυνατοτήτων του Geogebra εμφανίζεται στο ακόλουθο σχήμα που ομοιάζει περίπου μ’ εκείνα των άλλων λογισμικών.

1η) Να κατασκευαστεί η ευθεία με εξίσωση: , 5,5y x

Λύση: Από το προτελευταίο εικονίδιο επιλέγουμε έναν δρομέα λ με κατώτερο όριο το -5 και ανώτερο όριο το 5.

Ο δρομέας αυτός μπορεί να ελέγξει τη μεταβολή του συντελεστή διευθύνσεως της ευθείας με εξίσωση την

: , 5,5 y x

Από τη μπάρα εισαγωγής του λογισμικού γράφουμε την εξίσωση: y x

και τότε εμφανίζεται το σχήμα:

Στο σχήμα αυτό εμφανίζεται η ευθεία: : y x

η οποία αντιστοιχεί όπως εξάλλου φαίνεται κι από την ένδειξη του δρομέα στον αριθμό:

0.6

2Αλλάζοντας τώρα την τιμή του δρομέα μπορούμε να πάρουμε όλες τις ευθείες

που αντιστοιχούν στις τιμές μεταξύ των -5 και 5, δηλαδή την κεντρική δέσμη ευθειών με κέντρο το (0,0).

Τέλος αν ενεργοποιήσουμε την εντολή εμφάνιση του ίχνους που επιλέγεται αν κάνουμε δεξί κλικ πάνω στην ευθεία και δούμε ότι στο εμφανιζόμενο μενού υπάρχουν πολλές εντολές μεταξύ των οποίων και η ενεργοποίηση του ίχνους της ευθείας αυτής. Τότε βλέπουμε το παρακάτω σχήμα:

2η) Να κατασκευαστεί η ευθεία με εξίσωση:

, 1,10 0,5y x b b

Λύση: Κάνουμε τα ίδια με την πρώτη άσκηση αρκεί να δημιουργήσουμε δύο δρομείς. Έναν για το λ και έναν για το b. 3η) Να κατασκευαστεί κύκλος με εξίσωση: 2 2 2 , 1,7x y r r

Λύση: Όμοια κατασκευάζουμε ένα δρομέα για την ακτίνα και μετά γράφουμε την εξίσωση του κύκλου στη μπάρα εισαγωγής κι αμέσως εμφανίζεται ο κύκλος τον οποίο μπορούμε να διαχειριστούμε σε ότι αφορά τη μεταβολή της ακτίνας του. 4η) Να κατασκευαστεί η έλλειψη:

2 2

2 21, 0.1,5 0.1,7

x ya b

a b

Λύση: Όμοια κατασκευάζουμε δύο δρομείς a και b που εκφράζουν τους δύο ημιάξονες της έλλειψης, στα διαστήματα που δίνονται. Στη συνέχεια εισάγουμε στην μπάρα εισαγωγής την εξίσωση ως: x^2/a^2+y^2/b^2=1. Μεταβάλλοντας τους δρομείς παίρνουμε διάφορες ελλείψεις (ή και κύκλους) της οικογένειας καμπύλων που μας δόθηκε. 5η) Να κατασκευαστεί η εικόνα Α του μιγαδικού αριθμού: 2 3z i και κατόπιν η εικόνα Β του γινομένου z i Λύση: Γράφουμε στη μπάρα εισαγωγής το μιγαδικό αριθμό z και αμέσως βλέπουμε ένα σημείο που αντιπροσωπεύει την εικόνα του αριθμού αυτού. Αν θέλουμε φέρουμε το διάνυσμα από την αρχή των αξόνων. Στη συνέχεια εισάγουμε με τον ίδιο τρόπο το γινόμενο iz και εμφανίζεται ένα δεύτερο σημείο. Αν φέρουμε το αντίστοιχο διάνυσμα τότε βλέπουμε ότι τα δύο αυτά διανύσματα είναι μεταξύ των κάθετα.(γνωστή πρόταση)

36η) Να βρείτε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης:

1

2 1

xf x

x

Λύση: Εισάγουμε τον τύπο y=(x+1)/(2 x-1) και παίρνουμε την καμπύλη του παρακάτω σχήματος. Στη συνέχεια δίνουμε y=1/2, x=1/2 (που εδώ είναι οι ασύμπτωτες) που τις μορφοποιούμε να είναι διακεκομμένες, καθώς και του τύπους της συνάρτησης και των ασυμπτώτων και συμπληρώνουμε το σχήμα.

7η) Να βρείτε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: 1

2 1

xf x

x

Λύση: Όμοια δίνοντας τον τύπο y=abs((x+1)/(2*x-1)), παίρνουμε το σχήμα:

9η) Να βρείτε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: 1, 0

sin , 0

x xf x

x x

Λύση: Στη μπάρα εισαγωγής γράφουμε τη λέξη «συνάρτηση» και τότε από τις επιλογές που εμφανίζονται επιλέγουμε εκείνη που γράφει:

Συνάρτηση [συνάρτηση, αρχική χ-τιμή, τελική χ-τιμή] και μέσα στις αγκύλες γράφουμε τον τύπο:

[ 1, 5, 0]x

Όπως φαίνεται τη συνάρτηση την ξεκινούμε από ένα σημείο αριστερά του μηδενός κι όχι από το . Επαναλαμβάνουμε άλλη μια φορά την εισαγωγή για τον άλλο κλάδο γράφοντας πάλι:

[sin , 0.1, 10]x

4Και στην περίπτωση αυτή όπως φαίνεται τη συνάρτηση την ξεκινούμε από ένα σημείο δεξιά το μηδενός και τη φθάνουμε όχι στο άπειρο αλλά στο 10. Τέλος τα σημεία με τετμημένη μηδέν τα μορφοποιώ κάνοντας κλικ στο καθένα τους και επιλέγω το μέγεθος, το σχήμα, το χρώμα κλπ. Τον τύπο της συνάρτησης που φαίνεται στο σχήμα τον γράφω από το εικονίδιο του κειμένου (ABC) δραστηριοποιώντας τη γραφή Latex.

10η) Να βρείτε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης: ln , 1f x x x

Λύση: Εργαζόμαστε όπως και στην προηγούμενη άσκηση δίνοντας τις ακόλουθες τιμές:

[ln , 1, 10]x

1

Φύλλο 4

Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D

Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο με το αντίστοιχο λογισμικό του Cabri II. Περιέχει γενικές εντολές και εικονίδια που συμπεριλαμβάνουν μενού διαφόρων κατασκευών, μετασχηματισμών, μετρήσεων κλπ

Ασκήσεις - Λύσεις 1η) Να φέρετε μια κάθετη ευθεία στο οριζόντιο επίπεδο και να μετρήσετε τη γωνία που σχηματίζει αυτή με το επίπεδο αυτό. Να επαληθεύσετε ότι η γωνία αυτή είναι 90 μοιρών. Λύση: Κατ' αρχήν μπαίνουμε στο περιβάλλον του λογισμικού και σβήνουμε το τρισορθογώνιο σύστημα αναφοράς με δεξί κλίκ στην αρχή του και με την εντολή "διαγραφή" από το αναδυόμενο παράθυρο. Κατασκευή της καθέτου: Στη συνέχεια με κλικ στο τέταρτο από αριστερά εικονίδιο αναδύεται ένα μενού

από το οποίο επιλέγουμε την εντολή κάθετη σε επίπεδο. Μετά την επιλογή κάνουμε ένα κλικ στο επίπεδο που θέλουμε να φέρουμε την κάθετο και μετά ένα δεύτερο κλικ στο σημείο που θέλουμε να τμήσει το επίπεδο Στο σχήμα μας το σημείο αυτό είναι το Α. Αμέσως εμφανίζεται η κάθετος. Ονομασία του σημείου: Για να ονομάσουμε το σημείο της τομής, επιλέγουμε το σημείο αυτό με το βέλος επιλογής και πληκτρολογούμε το γράμμα που θέλουμε. Έτσι γενικά ονομάζουμε τα στοιχεία στο λογισμικό αυτό. Μέτρηση της γωνίας: Από το τελευταίο εικονίδιο δεξιά(μετρήσεις) επιλέγουμε τη γωνία και στη συνέχεια κάνουμε κλικ στην ευθεία και μετά στο επίπεδο. Αμέσως θα εμφανιστεί ο δείκτης της γωνίας και ο αριθμός σε μοίρες. Επαλήθευση:

2

Από το δεύτερο εικονίδιο επιλέγω την κατασκευή της ευθείας. Στη συνέχεια κάνω κλικ στο σημείο Α και μετά σε ένα άλλο τυχαίο σημείο του επιπέδου που το ονομάζω στη συνέχεια Μ καθώς επίσης κι ένα σημείο πάνω στην κατακόρυφη που δεν το ονομάζω. Μετρώ με τον ίδιο τρόπο τη γωνία που σχηματίζει η κατακόρυφη με την νέα ευθεία κάνοντας με τη σειρά κλικ στo σημείο της κατακορύφου, στο Α και μετά στο σημείο Μ. Αμέσως θα εμφανιστεί ο δείκτης και το μέτρο της γωνίας που είναι 90 μοίρες. Στη συνέχεια πιάνοντας με πατημένο το κλικ το σημείο Μ περιστρέφουμε την ευθεία γύρω από το Α και βλέπουμε ότι το μέτρο της γωνίας δεν αλλάζει. 2η) Να κατασκευάσετε ένα επίπεδο παράλληλο προς το οριζόντιο και σε απόσταση 5 εκατοστών. Λύση: Φέρουμε στο σημείο Α μια κατακόρυφη πάνω στην οποία κατασκευάζουμε από

το ίδιο μενού των ευθειών μια ημιευθεία με αρχή το σημείο Α. Ύστερα κρύβουμε την κάθετη ευθεία. Κατόπιν από το εικονίδιο των μετρήσεων κάνουμε κλικ στον "υπολογισμό" και γράφουμε στο κενό του τον αριθμό 5. Με διπλό κλικ εισάγουμε τον αριθμό αυτό στο περιβάλλον σε κάποια θέση. Στη συνέχεια από την "μεταφορά μέτρησης" από το μενού του τέταρτου εικονιδίου μεταφέρουμε τον αριθμό αυτό στην ημιευθεία(κλικ στον αριθμό, κλικ στην ημιευθεία) κι έτσι εμφανίζεται το σημείο Β που απέχει από το σημείο Α(και φυσικά από το επίπεδοι 5 εκατοστά) Τέλος με την εντολή κάθετος σε επίπεδο κάνουμε κλικ στην ημιευθεία και μετά στο σημείο Β. Έτσι εμφανίζεται το ζητούμενο επίπεδο. 3η) Να κατασκευάσετε ένα επίπεδο κάθετο προς το οριζόντιο επίπεδο. Λύση: Φέρουμε μια κάθετο στο δοθέν επίπεδο και ορίζουμε ένα σημείο Μ εκτός του ίχνους Α της ευθείας αυτής. Στη συνέχεια από την εντολή "επίπεδο" του τρίτου εικονιδίου από αριστερά κάνουμε κλικ στο σημείο Μ και στην κατακόρυφη που φέραμε στο σημείο Α. Αμέσως εμφανίζεται το κάθετο επίπεδο.

3

Αν ζητήσουμε την τομή των δύο επιπέδων μπορούμε να την πετύχουμε από την εντολή καμπύλη τομής επιφανειών στο δεύτερο εικονίδιο.

4η ) Να κατασκευαστεί κύκλος στο οριζόντιο επίπεδο με συγκεκριμένο κέντρο και ακτίνα ίση με το μήκος ενός άλλου δοθέντος ευθυγράμμου τμήματος. Λύση: Κατασκευάζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα α και το μετράμε. Μετά από το σημείο Κ φέρουμε μια ημιευθεία. Στη συνέχεια κάνουμε μεταφορά μέτρησης του

αριθμού που είναι το μήκος του τμήματος και εμφανίζεται στην ημιευθεία ένα σημείο που απέχει από το Κ απόσταση ίση με το μήκος του τμήματος. Μετά γράφουμε κύκλο με κέντρο το σημείο Κ και ακτίνα ίση με ΚΑ. 5η ) Να κατασκευαστεί σημείο Α κείμενο στο οριζόντιο επίπεδο και ευθεία κάθετη στο οριζόντιο επίπεδο στο σημείο Α. Στη συνέχεια να κατασκευαστεί μια τυχαία ευθεία (ε) που να κείται στο οριζόντιο επίπεδο και η οποία να μη διέρχεται από το σημείο Α. Τέλος από το σημείο Α να αχθεί ευθεία κάθετη στην (ε). Λύση: Αφού κατασκευάσω την κατακόρυφη (e) στο επίπεδο και την ευθεία του επιπέδου, φέρω από το ίχνος Α της κατακόρυφης κάθετο επίπεδο προς την ευθεία (g) που τέμνει την (g) στο σημείο Β. Χαράσσω την ΑΒ και αυτή είναι η ζητούμενη.

4

6η) Να κατασκευαστούν δύο ασύμβατες ευθείες (ε) και (ε΄). Στη συνέχεια να κατασκευαστεί η κοινή κάθετος αυτών. Λύση: Σχηματίζω δύο παράλληλα επίπεδα και θεωρώ πάνω σ' αυτά δυο ευθείες που

δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. Αυτές είναι ασύμβατες. Από τυχαίο σημείο Α της (e1) φέρω κάθετη στο πρώτο επίπεδο το οποίο τέμνει στο σημείο Β. Από το σημείο Β φέρω παράλληλη προς την (e1) η οποία ως κείμενη στο ίδιο επίπεδο με την (e2) θα τμήσει αυτήν στο σημείο Μ. Από το σημείο Μ φέρουμε κάθετη προς τα επίπεδα που θα τμήσει το άνω επίπεδο στο σημείο Ν. Η ΜΝ είναι η ζητούμενη κοινή κάθετος.(Απόδειξη- διερεύνηση) 7η) Να κατασκευαστεί κύβος που να εδράζεται σε ένα κάθετο επίπεδο προς το οριζόντιο και μάλιστα το κέντρο της έδρας που ακουμπά στο κάθετο αυτό επίπεδο να είναι ένα δοθέν σημείο του επιπέδου αυτού.

5

Λύση: Αφού κατασκευάσουμε το κάθετο επίπεδο σημειώνουμε σ' αυτό ένα σημείο Α. Μετά από το προτελευταίο εικονίδιο των κανονικών πολυέδρων επιλέγουμε τον κύβο

και κάνοντας ένα κλικ στο κάθετο επίπεδο και μετά ένα δεύτερο κλικ στο σημείο Α εμφανίζεται ο κύβος με ακμή που ρυθμίζεται κατά τη βούλησή μας. 8η) Να κατασκευαστεί κύλινδρος με άξονα κάθετο στο οριζόντιο επίπεδο. Λύση: Φέρουμε μια κατακόρυφη ευθεία στο οριζόντιο επίπεδο σε ένα σημείο. Μετά πάνω στην κατακόρυφη αυτή ορίζουμε ένα διάνυσμα με αρχή το σημείο του επιπέδου στο οποίο φέραμε την κατακόρυφη. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε έναν κύκλο στο

οριζόντιο επίπεδο με κέντρο το προηγούμενο σημείο και ακτίνα επιθυμητή Μετά με την εντολή "κύλινδρος" κάνουμε κλίκ στον κύκλο και στο διάνυσμα. Αμέσως εμφανίζεται ο κύλινδρος. 9η) Να κατασκευαστεί κώνος με βάση κείμενη σε ένα πλάγιο προς το οριζόντιο επίπεδο. Λύση: Κατ' αρχήν πρέπει να κατασκευάσουμε ένα πλάγιο επίπεδο ως προς το οριζόντιο επίπεδο. Αυτό το πετυχαίνουμε αν φέρουμε μια κατακόρυφη στο οριζόντιο επίπεδο, ένα τυχαίο σημείο πάνω σ' αυτή, λάβουμε στη συνέχεια δύο τυχαία σημεία

6

του οριζόντιου επιπέδου και τέλος ορίσουμε το επίπεδο που διέρχεται από τα τρία αυτά σημεία. Στο πλάγια αυτό επίπεδο κατασκευάζουμε έναν κύκλο με κέντρο ένα σημείο Κ

και ακτίνα τυχούσα. Φέρουμε στη συνέχεια μια κάθετη στο επίπεδο αυτό και πάνω σ' αυτήν παίρνουμε τυχαίο σημείο Ο. Με την εντολή κώνος κάνουμε κλίκ στο σημείο Ο και μετά στον κύκλο. Αμέσως εμφανίζεται ο ζητούμενος κώνος. 10η) Να χωρίσετε έναν κύβο σε δύο ίσα τριγωνικά πρίσματα. Λύση: Κατασκευάζουμε έναν κύβο. Με δεξί κλικ στον κύβο επιλέγουμε τη μορφή κενός. Μετά επιλέγουμε με την εντολή κυρτό πολύεδρο(από την εντολή του έβδομου εικονιδίου) τις κορυφές του κύβου ώστε να σχηματιστούν τα δύο πρίσματα.

Στη συνέχεια κατασκευάζουμε ένα διάνυσμα στο επίπεδο. Με την εντολή μετακίνηση(από το εικονίδιο των μετασχηματισμών) κάνουμε κλικ στο ένα πρίσμα και στο διάνυσμα. Βλέπουμε τότε την μετακίνηση. Αν θέλουμε μετά κρύβουμε το αρχικό ώστε να φαίνεται η αποκοπή και η μετακίνηση αυτού.

Με τις επόμενες ασχοληθείτε μόνοι σας! 11η) Να κατασκευάσετε έναν κώνο και να τον τμήσετε με ένα μεταβλητό επίπεδο ώστε με τη μεταβολή αυτή να προκύπτουν κύκλος

Σχ. 1

7

έλλειψη, παραβολή υπερβολή ή ακόμα και ευθείες.(Σχ. 1) 12η) Να κατασκευάσετε ένα κανονικό τετράεδρο και στη συνέχεια να κατασκευάσετε την εγγεγραμμένη σφαίρα. Στη συνέχεια βρείτε το λόγο των όγκων των δύο αυτών στερεών σχημάτων. 13η) Όμοια να βρεθεί το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας ενός κανονικού τετραέδρου, να κατασκευαστεί η σφαίρα αυτή και στη συνέχεια να βρεθεί ο λόγος των όγκων αυτών των στερεών σχημάτων. 14η ) Να γίνει όπως στο σχήμα 2 μια προσομοίωση της κινούμενης κυκλικά

σβούρας.

Σχ. 2