Δημήτρης ΠαυλίδηςΑ.Μ. : 2000100208

ΑΣΚΗΣΗ 1.2Καταγραφή σημάτων σε πραγματικό χρόνο και

Φασματική Ανάλυση Fourier .

ΘεωρίαΑνάλυση Fourier .

Μια συνάρτηση λέγεται περιοδική αν , .Το α λέγεται περίοδος. Μια περιοδική συνάρτηση που ικανοποιεί μερικές συνθήκες μπορεί να αναπτυχθεί σε ένα άπειρο άθροισμα ημιτονικών και συνημιτονικών όρων που ο καθένας έχει συχνότητα ίση προς ένα ακέραιο πολλαπλάσιο της βασικής συχνότητας ω. Η παραπάνω πρόταση εκφράζεται ως εξής :

Οι σταθερές και λέγονται συντελεστές Fourier όπου :

Για η=0 έχουμε : = μέση τιμή της f(t) .

Η σειρά Fourier μπορεί να πάρει και την μορφή :

,

Αν μια περιοδική συνάρτηση είναι άρτια τότε .Αν μια περιοδική συνάρτηση είναι περιττή τότε .Εφαρμόζοντας το θεώρημα Fourier για μια περιοδική συνάρτηση μπορούμε να την εκφράσουμε σαν άθροισμα απείρων αρμονικών όρων. Αν θεωρήσουμε ορθογώνιο σύστημα με οριζόντιο άξονα την συχνότητα και άξονα των τεταγμένων το πλάτος τότε κάθε προσθετέος της σειράς Fourier θα παρίσταται από τμήμα ευθείας παράλληλο προς τον άξονα των πλατών στο σημείο που αντιστοιχεί η

συχνότητα του όρου αυτού. Αυτή η απεικόνιση λέγεται φάσμα συχνοτήτων και για τις περιοδικές συναρτήσεις είναι γραμμικό.

Αν θεωρήσουμε περιοδική συνάρτηση με σταδιακά αυξανόμενη περίοδο και εξετάσουμε τα φάσματα συχνοτήτων διαπιστώνουμε ότι όσο η περίοδος μεγαλώνει οι συνιστώσες πλησιάζουν μεταξύ τους. Για το φάσμα συχνοτήτων τείνει να γίνει συνεχές. Η σχέση που εκφράζει την ανάλυση της f(t) κατά Fourier είναι :

Για το άθροισμα μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα οπότε και έχουμε :

όπου

Οι δύο τελευταίες σχέσεις δίνουν το ζεύγος μετασχηματισμών Fourier.

Πειραματική διαδικασία

Α. Απλό αρμονικό σήμα

Μελετούμε καταρχήν το φάσμα μιας ημιτονικής τάσης που λαμβάνεται από μία γεννήτρια συχνοτήτων.Από την έξοδο της γεννήτριας συχνοτήτων παίρνουμε ημιτονικό σήμα 8KHz .Καθορίζουμε τις παραμέτρους του προγράμματος από το μενού του προγράμματος σύμφωνα με τις οδηγίες που υπάρχουν στον χώρο του εργαστηρίου επιλέγοντας τον κατάλληλο ρυθμό δειγματοληψίας και την κατάλληλη τάση.Λαμβάνεται η μέτρηση και παρατηρούμε στο φάσμα ότι υπάρχει μία μόνο συχνότητα στα 7,9996 + 0,005KHz με πλάτος 1,707 + 0,001V. Παρατηρείται επίσης και κάποιος πολύ μικρός θόρυβος σε μια μικρή περιοχή γύρω από την αρμονική (πρέπει να οφείλεται στις επαφές των συνδέσεων ή σε ελεύθερα φορτία). Παρατηρούμε μία ελάχιστη απόκλιση μεταξύ θεωρητικής και πειραματικής τιμής που πρακτικά είναι τείνει στο μηδέν. Όποτε έχουμε καταφέρει να ελαχιστοποιήσουμε τα σφάλματα που υπεισέρχονται στις μετρήσεις.

B . Τετραγωνικό σήμα

Η θεωρία για την ανάλυση Fourier τετραγωνικού παλμού δίνει :

Παίρνουμε από την γεννήτρια τετραγωνικό παλμό συχνότητας 8 kHz και πλάτους 2.51V. Καθορίζουμε τις παραμέτρους στο πρόγραμμα για να έχουμε κατάλληλη δειγματοληψία.Εκτελούμε τη διαδικασία μέτρησης και παίρνουμε το φάσμα.Από τις μετρήσεις φτιάχνουμε τον πίνακα :

n πειραματ. V

ΜετρούμενηΣυχνότητα KHz πειραματ. θεωρητ.

1 2,512 8,171 1 13 0.516 39,689 0,205 0,3335 0,285 71,790 0,113 0,2007 0,161 103,307 0,064 0,1439 --------- --------- --------- 0,111

Παρατηρούμε ότι σε αυτήν την περίπτωση οι πειραματικές διαφέρουν σημαντικά από τις θεωρητικές τιμές κάτι που οφείλεται στα σφάλματα που έχουμε.

Γ. Τριγωνικό σήμα

Η ανάλυση Fourier για τον τριγωνικό παλμό δίνει :

Παίρνουμε από την γεννήτρια τριγωνικό παλμό συχνότητας 8 kHz και πλάτους 1,6V. Καθορίζουμε τις παραμέτρους στο πρόγραμμα.Εκτελούμε τη διαδικασία μέτρησης και παίρνουμε το φάσμα από τον εκτυπωτή.Από τις μετρήσεις φτιάχνουμε τον πίνακα :

n πειραματ. V

ΜετρούμενηΣυχνότητα KHz πειραματ.

1 1,597 8,171 13 0,065 39,689 0,0415 0,019 71,790 0,0127 --------- --------- ---------9 --------- --------- ---------

Δ. Διακρότημα

Έστω ότι έχουμε τη σύνθεση δύο ταλαντώσεων και όπου πολύ μικρό.

Θα έχουμε :

Η γραφική παράσταση παριστά περίπτωση ταλάντωσης με διαμορφωμένο πλάτος, γνωστή ως διακρότημα. Συνδέουμε τις εξόδους των δύο γεννητριών σε σειρά.Καταρχήν παίρνουμε ως ζεύγος συχνοτήτων τα 20kHz και 22kHz με πλάτος 1,92V.Χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα εκτυπώνουμε την εικόνα του διακροτήματος και παίρνουμε τις εξής μετρήσεις:

Ρυθμίζουμε τις γεννήτριες στα 550Ηz και 580Hz με πλάτος 2,19V.Τρέχουμε το πρόγραμμα και παίρνουμε στην οθόνη το σήμα του διακροτήματος. Μετά τη φασματική ανάλυση Fourier παίρνουμε για τις δύο συχνότητες :

Ε. Επαλληλία ημιτονικής χαμηλής συχνότητας με άλλη πολύ μεγαλύτερης

Για αυτό το στάδιο χρησιμοποιούμε τρία διαφορετικά ζεύγη συχνοτήτων.

Παίρνουμε καταρχήν το ζεύγος 30Hz 60Hz με πλάτος 2,14V. Καταγράφουμε το σήμα και κάνουμε φασματική ανάλυση. Οι συχνότητες που παίρνουμε είναι :

Δεύτερο ζεύγος είναι 5kHz 30kHz και πλάτος 1,87V.Επαναλαμβάνοντας τα ίδια βήματα στο πρόγραμμα παίρνουμε τις παρακάτω μετρήσεις:

Για τρίτο και τελευταίο ζεύγος παίρνουμε από τις γεννήτριες συχνότητες 30Hz 500HzΚαι πάλι χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα επεξεργασίας δεδομένων παίρνουμε τις πειραματικές μετρήσεις μας:

Και στις τρεις περιπτώσεις παρατηρούμε ότι έχουμε σχεδόν ταύτιση θεωρητικών και πειραματικών τιμών αποδεικνύοντας την ακρίβεια των μετρήσεών μας.

ΣΤ. Φασματική ανάλυση ανθρώπινης φωνής

Στη φασματική ανάλυση Fourier της ανθρώπινης φωνής παρατήρησα ότι οι χαμηλότεροι ήχοι (ένα μπάσο μακρόσυρτο οοο) έχει μία αρμονική χαμηλής συχνότητας η οποία κυριαρχεί ενώ υπάρχουν αρκετές αρμονικές σε μία περιοχή γύρω από αυτήν οι οποίες μοιάζουν περισσότερο με θόρυβο, ενώ οι υψηλότεροι ήχοι αναλύονται σε μερικές (2-3) αρμονικές πολύ ισχυρές που συνεισφέρουν εξίσου. Δηλαδή η διαφορά δεν είναι τόσο στην συχνότητα του ήχου όσο στην καθαρότητά του.Κάνουμε το πείραμα για δύο διαφορετικές φωνές και έχουμε:

και