Δημήτρης ΠαυλίδηςΑ.Μ.:2000100208

ΑΣΚΗΣΗ 1.1ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΔΙΑΜΗΚΩΝ - ΕΓΚΑΡΣΙΩΝ

ΚΥΜΑΤΩΝ ΚΑΙΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΣΤΑΘΕΡΩΝ ΣΕ ΣΤΕΡΕΑ ΥΛΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

1. Σκοπός της άσκησης

Μια ενδιαφέρουσα κατηγορία κυμάτων είναι τα ηχητικά κύματα. Οι μαθηματικές εκφράσεις που. περιγράφουν τη διάδοση επιπέδων ηχητικών κυμάτων διά μέσου ενός ρευστού παρουσιάζουν πολλές ομοιότητες με εκείνες της διάδοσης των ελαστικών κυμάτων κατά μήκος μιας ράβδου. Αξιοσημείωτη σε αυτή την κατεύθυνση είναι η ισχυρή συσχέτιση που υπάρχει μεταξύ των περατωτικών (οριακών) συνθηκών στις δύο περιπτώσεις. 'Έτσι, η μελέτη των ελαστικών κυμάτων σε ράβδους συνεισφέρει αποφασιστικά στην απόκτηση υποδομής για την ευρύτερη μελέτη των ηχητικών κυμάτων και αυτό ακριβώς δικαιολογεί την παρουσία της άσκησης αυτής στο εργαστήριο.

H όλη πειραματική προσπάθεια επικεντρώνεται στη μέτρηση της ταχύτητας διάδοσης υ διαμηκών ελαστικών κυμάτων, σε ράβδους διαφόρων υλικών. H μέτρηση της u επιτρέπει τον υπολογισμό του μέτρου ελαστικότητας Young των υλικών των ράβδων.

2. Απαραίτητες γνώσεις

H επωφελής εκτέλεση της άσκησης προϋποθέτει την προσπάθεια κατανόησης των εννοιών: Κυματική (διαφορική) εξίσωση, φασική ταχύτητα, στάσιμα κύματα (κανονικοί τρόποι ταλάντωσης, δεσμοί και κοιλίες), ιδιοσυχνότητες (συχνότητες συντονισμού) ενός συστήματος, ανάλυση Foυrier περιοδικών και απεριοδικών συναρτήσεων, εικόνες Lissajous, μέτρο ελαστικότητας Young, νόμος Ηooke.

3. Περιγραφή της συσκευής

H συσκευή αποτελείται από τα εξής τμήματα:1) Σφυρί2) Ράβδοι διαφόρων υλικών3) Μικρόφωνο4) Ενισχυτής5) Παλμογράφος6) Γεννήτρια αρμονικών τάσεων γνωστής συχνότητας με ψηφιακό συχνόμετρο.

4. Διαμήκης κυματική εξίσωση

Ας φανταστούμε ότι μία ράβδος μήκους L και σταθερής διατομής S, δέχεται την επίδραση διαμήκους δύναμης στο ένα άκρο της (Σχ. 2). Η διέγερση αυτή θα προκαλέσει διαμήκη απομάκρυνση ξ σε καθένα από τα σωματίδια της ράβδου. Αν οι εγκάρσιες διαστάσεις της ράβδου είναι μικρές σχετικά με το μήκος της, κάθε εγκάρσια διατομή μπορεί να θεωρηθεί ότι κινείται σαν μονάδα. Έτσι η διαταραχή μπορεί να περιγραφεί με το πεδίο ξ=ξ(x,t), όπου ξ η διαμήκης απομάκρυνση της διατομής (ΑΒ), από την αρχική θέση ισορροπίας της x, την χρονική στιγμή t.

Για “ήπια” διαταραχή, αποδεικνύεται ότι το πεδίο ξ=ξ(x,t) ικανοποιεί την κυματική εξίσωση:

(1)

όπου Υ και ρ, το μέτρο ελαστικότητας Young και η πυκνότητα του υλικού της ράβδου αντίστοιχα. Αυτό σημαίνει ότι οι διαμήκεις παλμοί που προκαλεί η διέγερση,

οδεύουν στη ράβδο χωρίς παραμόρφωση, με φασική ταχύτητα . Αυτή την

ταχύτητα θα προσπαθήσουμε να μετρήσουμε πειραματικά.

Μέθοδος μέτρησης της φασικής ταχύτητας u

Γνωρίζουμε ήδη ότι οι συχνότητες συντονισμού της ράβδου είναι οι :

n = 1, 2, 3, …

με αντίστοιχα μήκη κύματος που ικανοποιούν την :

Από τις δύο προηγούμενες παίρνουμε :

που σημαίνει ότι για να μετρήσουμε την ταχύτητα u πρέπει να μετρήσουμε μία ιδιοσυχνότητα και το αντίστοιχο μήκος κύματος.

Η μέτρηση του μήκους κύματος ανάγεται στην μέτρηση του μήκους της ράβδου. Πρακτικά, λοιπόν, η μέτρηση της u ανάγεται στην μέτρηση μίας δεδομένης ιδιοσυχνότητας, π.χ. της θεμελιώδους.

Α. Μέτρηση της συχνότητας αρμονικού ήχου με τις εικόνες Lissajous

Η πορεία που ακολουθούμε είναι η εξής : Ο ήχος συλλαμβάνεται από μικρόφωνο. Αυτό διεγειρόμενο εμφανίζει στην έξοδό του αρμονική τάση ίδιας συχνότητας ν. Η τάση αυτή οδηγείτε στα πλακίδια κατακόρυφης απόκλισης παλμογράφου. Αν το σήμα είναι ασθενές ενισχύεται. Στα πλακίδια οριζόντιας απόκλισης εφαρμόζεται ταυτόχρονα αρμονική τάση γνωστής συχνότητας , με την βοήθεια γεννήτριας συχνοτήτων. Η τροχιά της κηλίδας που βλέπουμε στην οθόνη είναι επαλληλία των δύο κινήσεων. Η

τροχιά είναι κλειστή, και λέγεται εικόνα Lissajous, όταν ο λόγος είναι ρητός αριθμός.

Η μορφή της εικόνας εξαρτάται από τον λόγο, από τα πλάτη και την διαφορά φάσεως. Χαρακτηριστικές εικόνες απεικονίζονται στα σχήματα 5.

Για τον υπολογισμό της άγνωστης ταχύτητας εφαρμόζουμε τον εμπειρικό κανόνα: Ας φανταστούμε μια οριζόντια και μια κατακόρυφη γραμμή που θα τέμνουν την εικόνα

σε και σημεία. Τότε ισχύει :

β. Ανίχνευση και μέτρηση ιδιοσυχνοτήτων της ράβδουΓνωρίζουμε από τα προηγούμενα ότι αν μια ράβδος διεγερθεί στο ένα άκρο της

Α(χ=0) με αρμονική διαμήκη δύναμη συχνότητας w, ένα στάσιμο κύμα αποκαθίσταται τελικά. Αυτό σημαίνει ότι όλες οι εγκάρσιες διατομές της, επομένως και το απέναντι ελεύθερο άκρο της Β(χ=L), κάνουν διαμήκη αρμονική ταλάντωση με την ίδια συχνότητα ω.

Ας εστιάσουμε το ενδιαφέρον μας στη συμπεριφορά του άκρου B. H διατομή αυτή κατά την ταλάντωσή της επέχει Θέση πηγής εκπομπής ήχου (αρμονικού της ίδιας συχνότητας ω) προς τον αέρα. Το πλάτος της ταλάντωσης του άκρου B, και επομένως η ένταση του ήχου με τις ιδιοσυχνότητες (συχνότητες συντονισμού) της ράβδου, γίνεται μέγιστο εάν η ω ταυτίζεται με μια ιδιοσυχνότητα.

Ας φανταστούμε τώρα ότι η διέγερση είναι σύνθετη, με την έννοια ότι η διαμήκης δύναμη που διεγείρει τη ράβδο είναι επαλληλία αρμονικών δυνάμεων, των οποίων οι συχνότητες κατανέμονται συνεχώς. σε μια περιοχή του φάσματος, π.χ.. την 0 - νm~, στην οποία εμπίπτει μια μόνο από τις ιδιοσυχνότητες, η θεμελιώδης ν1 .

για κάθε μία από τις αρμονικές συνιστώσες (ν) της διέγερσης Θα αποκαθίσταται το αντίστοιχο στάσιμο κύμα και το άκρο B Θα κάνει αρμονική διαμήκη ταλάντωση εκπέμποντας προς τον αέρα ήχο συχνότητας v. 'Έτσι, το άκρο B Θα εκπέμψει ήχους, των οποίων η συχνότητα κατανέμεται συνεχώς στην περιοχή από 0 έως νm~, η συνιστώσα όμως ν1 Θα έχει ένταση σαφώς μεγαλύτερη από τις άλλες. Συνεπώς η συνιστώσα αυτή θα 'καλύπτει' τις άλλες και θα είναι αυτή που πρακτικά θα διεγείρει ένα μικρόφωνο που τοποθετείται απέναντι από το άκρο B και επομένως αυτή, που θα μετρηθεί με τη μέθοδο των εικόνων Lissajous, που αναπτύχθηκε προηγουμένως.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι στην περιοχή 0 -» νm~ εμπίπτουν δύο ιδιοσυχνότητες, οι ν1 και ν2. H ανίχνευση και μέτρηση κάθε ιδιοσυχνότητας χωριστά, εν γένει, γίνεται προβληματική. Και Θα δούμε το γιατί. H κηλίδα του παλμογράφου Θα κάνει, στον κατακόρυφο άξονα την επαλληλία δύο ταλαντώσεων συχνότητας v1 και ν2 (= 2ν1). Εάν μεταβάλλοντας τη συχνότητα της τάσης που εφαρμόζουμε στα πλακίδια οριζόντιας απόκλισης φτάσουμε στην συχνότητα νχ = ν1, η τροχιά της κηλίδας θα είναι η επαλληλία δύο εικόνων Lissajous που αντιστοιχούν σε τιμές 1 και 2 του λόγου v : νΧ (Σχήμα 5). Αν πετύχουμε νΧ = ν2 στην οθόνη θα βλέπουμε την επαλληλίά των εικόνων που αντιστοιχούν σε τιμές 1/2 και 1 του λόγου νΥ : νΧ.

Ο διαχωρισμός των δύο ιδιοσυχνοτήτων μπορεί να γίνει με την παρεμβολή ενός equalizer μεταξύ μικροφώνου και παλμογράφου, οπότε έχουμε τη δυνατότητα της επιλεκτικής ενίσχυσης σημάτων μιας περιοχής συχνοτήτων. Μπορεί και να γίνει, όμως, απλούστερα ο διαχωρισμός. Πράγματι, ας μεταφερθούμε στο σχήμα 4, όπως απεικονίζονται οι θέσεις των κοιλιών και

των δεσμών στους δύο πρώτης τάξης κανονικούς τρόπους ταλάντωσης.Παρατηρούμε ότι στο μέσο της ράβδου o πρώτος διαμορφώνει δεσμό, ενώ o

δεύτερος κοιλία κίνησης. Εάν 'σφίξουμε' με τα δάκτυλά μας το μέσο της ράβδου, o πρώτος κανονικός τρόπος ταλάντωσης δεν διαταράσσεται, o δεύτερος οδηγείται σε απόσβεση. Πρακτικά, λοιπόν, ο παλμογράφος θα διεγερθεί από σήμα συχνότητας νΥ = ν1 και για τη γνωστή συχνότητα νΧ = ν1 Θα εμφανιστεί έλλειψη στην οθόνη.

Στα σημεία. που απέχουν απόσταση U4 από τα άκρα της ράβδου, μόνο. o κανονικός τύπος δεύτερης τάξης διαμορφώνει δεσμούς. Αν συνεπώς, σφίξουμε τα σημεία αυτά, το στάσιμο κύμα δεύτερης τάξης συχνότητας ν2 δεν επηρεάζεται, ενώ το πρώτο οδηγείται σε απόσβεση. 'Ετσι, στον παλμογράφο οδηγείται σήμα συχνότητας v = ν2. Για τη συχνότητα νΧ = ν1 στον παλμογράφο θα βλέπουμε την εικόνα ~issajous'οριζόντιο οκτώ' ενώ για νΧ = ν2 = ν1 Θα έχουμε εμφάνιση της έλλειψης.

Σφίγγοντας τη ράβδο σε κατάλληλα σημεία μπορούμε να διαχωρίσουμε τους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης αν έχουν αναπτυχθεί οι τρεις πρώτοι από αυτούς κ.ο.κ.

γ. Τρόπος διέγερσης της ράβδου

Το ερώτημα που διαμορφώνει η προηγούμενη συζήτηση είναι: πώς πρέπει να διεγερθεί η ράβδος ώστε να περιέχονται στο φάσμα της διέγερσης οι πρώτες ιδιοσυχνότητες (η = 1, 2, 3);

Στο σχήμα 6 απεικονίζεται μια φασματική κατανομή της διέγερσης,. που ικανοποιεί τις απαιτήσεις που έχουν τεθεί, με το επί πλέον πλεονέκτημα την ελάττωση του πλάτους με την αύξηση της ιδιοσυχνότητας. 'Ένα απεριοδικό χτύπημα' της ράβδου με ένα σφυρί είναι τέτοιας, ποιοτικά, φασματικής κατανομής. Πράγματι, στην αναπαραγωγή ενός χτυπήματος' διάρκειας Δτ συμμετέχουν πρακτικά αρμονικές συνιστώσες των οποίων το φάσμα κατανέμεται συνεχώς στην περιοχή 0 -~ νm~ με νm~ - 1/Δt.

H μόνη αντίρρηση που μπορεί να προβληθεί όσον αφορά την καταλληλότητα του χτυπήματος' ως τρόπου διέγερσης, είναι μήπως για τη διάρκεια Δt του χτυπήματος αντιστοιχεί νm~ < ν1. Ας Θυμηθούμε ότι είναι ν1 = u/2L.

Βλέπουμε ότι αυξάνοντας το μήκος της ράβδου, η θεμελιώδης συχνότητα (και συνεπώς και οι άλλες αρμονικές) μετατοπίζεται. έντονα προς το μηδέν. Συνεπώς, αυτό που έχουμε να κάνουμε είναι να δοκιμάσουμε αν σε λογικές τιμές μήκους L έχουν μετατοπιστεί οι πρώτες ιδιοσυχνότητες στο διάστημα (0, νm~). Στο εργαστήριο θα-διαπιστώσουμε ότι το αποτέλεσμα των δοκιμών είναι Θετικό και έτσι Θετική είναι και η απάντηση για την καταλληλότητα στην πράξη του χτυπήματος ως τρόπου διέγερσης.

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

1.Ξεχωρίζουμε τις ράβδους σε σύνολα, ανάλογα με τη φύση του υλικού τους.

2. Αρχίζουμε με το σύνολο ράβδων που έχει τη μεγαλύτερη ποικιλία μήκους. Για κάθε μία από τις ράβδους:

α. Μετράμε το μήκος της L

β. Υπολογίζουμε τα μήκη κύματος λ1 = 2L, λ2 = L και λ3 = 2/3 L που αντιστοιχούν στα τρία πρώτα στάσιμα κύματα. Σχεδιάζουμε την κατανομή του πλάτους στις διάφορες Θέσεις της ράβδου για κάθε ένα από αυτά, σημειώνοντας τις θέσεις (σε cm) των δεσμών.

γ. Με διαμήκη χτυπήματα στο άκρο της διεγείρουμε τη ράβδο, ενώ ταυτόχρονα μεταβάλλουμε τη συχνότητα νΧ (που διαβάζουμε στο ψηφιακό συχνόμετρο) της αρμονικής τάσης που εφαρμόζουμε στα πλακίδια οριζόντιας απόκλισης. Προσπαθούμε έως ότου σχηματιστεί έλλειψη στη οθόνη. Τότε είναι νΧ = ν1. Την τιμή της θεμελιώδους ιδιοσυχνότητας ν1 τη σημειώνουμε.

δ. Σφίγγουμε τα σημεία που απέχουν απόσταση L/4 από κάθε άκρο και αναζητούμε την εμφάνιση έλλειψης για νΧ - 2ν1. Εάν αυτό γίνει δυνατό, η νΧ, που σημειώνουμε, τα είναι ίση με τη δεύτερη ιδιοσυχνότητα ν2 της ράβδου. ε. Για τη μέτρηση της τρίτης ιδιοσυχνότητας ν3 σφίγγουμε τα σημεία που απέχουν L/6 και L/2 από το άκρο της ράβδου που είναι απέναντι από το μικρόφωνο. Αν σχηματιστεί έλλειψη για νΧ - 3ν1 τα είναι νχ = ν3. στ. Μεταφέρουμε τα αποτελέσματα σε πίνακα. Συνεχίζουμε με τις υπόλοιπες ράβδους του ίδιου υλικού, επαναλαμβάνοντας για κάθε μία τις εργασίες α-στ.

Για τον ορείχαλκο 1 έχουμε τα αποτελέσματα στον παρακάτω πίνακα :

L 0,66 λ(m) δλ(m) κ(1/m) δκ (1/m) ω(Hz) δω(Hz) ν(Hz) δν(Hz) u(m/s) δu(m/s)L/2 0,33 1,32 0,004 4,759989 0,014424 16399,11 31,41593 2610 5 3445,2 12,35126L/4 0,165 0,66 0,002 9,519978 0,028848 32861,06 31,41593 5230 5 3451,8 10,96821L/6 0,11 0,44 0,001333 14,27997 0,043273 49448,67 31,41593 7870 5 3462,8 10,72148

Για τον ορείχαλκο 2 έχουμε τα αποτελέσματα στον παρακάτω πίνακα :

L 0,75 λ(m) δλ(m) κ(1/m) δκ (1/m) ω(Hz) δω(Hz) ν(Hz) δν(Hz) u(m/s) δu(m/s)L/2 0,375 1,5 0,004 4,18879 0,01117 14828,32 31,41593 2360 5 3540 12,05668L/4 0,1875 0,75 0,002 8,37758 0,02234 29845,13 31,41593 4750 5 3562,5 10,21335L/6 0,125 0,5 0,001333 12,56637 0,03351 44610,62 31,41593 7100 5 3550 9,791209

Για τον ορείχαλκο 3 έχουμε τα αποτελέσματα στον παρακάτω πίνακα :

L 2,16 λ(m) δλ(m) κ(1/m) δκ (1/m) ω(Hz) δω(Hz) ν(Hz) δν(Hz) u(m/s) δu(m/s)L/2 1,08 4,32 0,004 1,454441 0,001347 7476,991 31,41593 1190 5 5140,8 22,11826L/4 0,54 2,16 0,002 2,908882 0,002693 15079,64 31,41593 2400 5 5184 11,81863L/6 0,36 1,44 0,001333 4,363323 0,00404 22682,3 31,41593 3610 5 5198,4 8,660726

ζ. Με τα δεδομένα των πινάκων χαράσσουμε τα διαγράμματα υ = υ(k) και ω = ω(k), με ω = 2πn και k = 2π/λ.

Από την δεύτερη γραφική παράσταση βρίσκουμε την κλίση της ευθείας η οποία ισούται με την ταχύτητα u και μετά υπολογίζουμε το μέτρο του Young.

και

Η πειραματική μέτρηση του μέτρου του Young διαφέρει από την βιβλιογραφία () καθώς οι μετρήσεις των συχνοτήτων δεν είχαν ικανοποιητική

ακρίβεια.

3. Επαναλαμβάνουμε για το σύνολο ράβδων χάλυβα.

Έτσι έχουμε για τον χάλυβα 1 :

L 0,756 λ(m) δλ(m) κ(1/m) δκ (1/m) ω(Hz) δω(Hz) ν(Hz) δν(Hz) u(m/s) δu(m/s)L/2 0,378 1,512 0,004 4,155546 0,010994 21488,49 31,41593 3420 5 5171,04 15,62997L/4 0,189 0,756 0,002 8,311092 0,021987 43102,65 31,41593 6860 5 5186,16 14,23112L/6 0,126 0,504 0,001333 12,46664 0,032981 64905,3 31,41593 10330 5 5206,32 14,00197

Και για τον χάλυβα 2 :

L 0,8 λ(m) δλ(m) κ(1/m) δκ (1/m) ω(Hz) δω(Hz) ν(Hz) δν(Hz) u(m/s) δu(m/s)L/2 0,4 1,6 0,004 3,926991 0,009817 20294,69 31,41593 3230 5 5168 15,19626L/4 0,2 0,8 0,002 7,853982 0,019635 40652,21 31,41593 6470 5 5176 13,54414L/6 0,13333 0,53333 0,001333 11,78097 0,029452 61009,73 31,41593 9710 5 5178,667 13,21845

Με τα δεδομένα των πινάκων χαράσσουμε τα διαγράμματα υ = υ(k) και ω = ω(k), με ω = 2πn και k = 2π/λ.

Από την δεύτερη γραφική παράσταση βρίσκουμε την κλίση της ευθείας η οποία ισούται με την ταχύτητα u και μετά υπολογίζουμε το μέτρο του Young.

και

Η πειραματική μέτρηση του μέτρου του Young δεν διαφέρει σημαντικά από την βιβλιογραφία ( ).