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Physik II für Chemiker (4-st., SS 2006)
I) Vektorraum, Fourierzerlegung, Operatoren I, Matrizen
II) Tensoren, Eigenwertproblem, quadratintegrable FunktionenTrägheitstensor, anisotr. harm. Schwingung, Elastizitätstensor, hermitesche Operatoren
III) Fouriertransformation I (zeitabhängige und raumabh. Fkt.)Frequenzspektren, Beugung, Spalt, Gaußfunktion, δ-Funktion
IV) Ursprünge der modernen PhysikWo die Alltagserfahrung versagt
V) Gedankengebäude QuantenmechanikMessungen, Operatoren, Kastenpotential, Tunneleffekt, Quantensprünge,
Erwartungswerte
VI) Wasserstoffatom: Lösung der SchrödingergleichungAbleitung der Quantenzahlen, Erfolg des Atommodells
VII) Diskussion der Wasserstoffatomorbitale Kpl. und reelle Darstellung, Kugelflächenfunktionen, Legendrepolynome, Radialanteil
VIII) Fouriertransformation IIFourierpaare, reziprokes Gitter, Fourieroptik
VIII)Physik des LasersErzeugung kohärenter elektromagnetischer Wellen
IX) Grundzüge der magnetischen KernresonanzAtome signalisieren ihre chemische Umgebung
X) Streiflichter aus der FestkörperphysikGitterstruktur, Phononen
Prüfungsanmeldung: im kommentierten Vorlesungsverzeichnis der Unihomepage http://univie.ac.atbei Vorlesung Physik II den Link Prüfungsanmeldung und Information anklickenabmelden, neuen Termin anfordern: e-mail viktor.groeger@univie.ac.at, 06991 3325267 (Sprachbox)Prüfungsort: 1090 Wien, Boltzmanngase 5, Parterre Zimmer 32 nebem dem Aufzug
Lernbehelfe:
math Formalismus:
C.B.Lang und N.Pucker, Mathematische Methoden der Physik, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1998
H.G.Zachmann; Mathematik für Chemiker, korr.Nachdruck der 5.Aufl., Wiley VCH, Weinheim 2004
H.Schulz, Physik mit Bleistift, 4. Aufl. Springer, Be rlin 2001
Tensorrechnung:
E.Klingsbeil, Tensorrechnung für Ingenieure, BI, Mannheim 1966
Fouriertransformation:
T.Butz, Fouriertransformation für Fußgänger, Teubner, Leipzig 1998
J.F.James, A Student’s Guide to Fourier Transformations, 2. Aufl., Cambridge University Press, Cambridge 2002
Relativitätstheorie:
K.R.Atkins, Physik, 2. Aufl., Walter de Gruyter, Berlin 1986
P.A.Tipler, R.A.Llewellyn, Moderne Physik, Oldenbourg, München 2003
Quantenmechanik:
H.Pietschmann, Quantenmechanik verstehen, korr. Nachdruch der 1. Auflage, Springer, Berlin 2003
P.A.Tipler, R.A.Llewellyn, Moderne Physik, Oldenbourg, München 2003
T.Fließbach, Quantenmechanik, 3.Aufl., Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2000
G.Lindström, R.Langkau, W.Scobel, Physik kompakt 3, 2.Aufl. Springer, Berlin 2002
P.W.Atkins, Quanten, Wiley VCH, Weinheim 1993
P.W.Atkins, Physikalische Chemie 3.Aufl., Wiley VCH, Weinheim 2001
Laser:
A.Donges, Physikalische Grundlagen der Lasertechnik, 2.Aufl., Hüthig, Heidelberg 2000
Magnetische Kernresonanz, NMR:
Friebolin, Ein- und zweidimensionale NMR-Spektroskopie, 3.Aufl. H Wiley VCH, Weinheim 1999
Vektorraum Skalarprodukt
Matrizen
Beispiel:
Matrixoperationen und spezielle Matrizen
Drehung in der EbeneHauptträgheitsmomente
Tensoren
Definition eines Tensors
Rechenregel für Tensoren
Trägheitstensor: Aufgabenstellung des Eigenwertproblems
Trägheitstensor in Hauptachsenlage des Koordinatensystems:
Quaderförmige Schachtel: feste Achsen: I = mr2 gibt Trägheitsellipsoid; 3 orthogonale
Hauptträgheitsachsen als Koordinatenachsen ergibt II
II
L
zz
yy
xx
000000
Die Antwort ( L ) ist nur bei Drehungen um Hauptachsen // zur Ursache ( ):
3211 00
,0
0
0
0,
00
00 zz
zz
yyyyxx
xx
II
IIIIII
IIL
orthogonale Eigenvektoren i von I bilden vollständiges System, Eigenwerte Ixx, Iyy, Izz.
Trägheitstensor in allgemeiner Lage des Koordinatensystems :
L = r x p = r x mv = m.r x ( x r) = m.[(r.r). (r. ).r] = (m.r2. 1 m. A ). = I
Explizit: (r. ).r = (x. 1 + y. 2 + z. 3).
3
2
1
2
2
2
32
21
322
1
3212
zyzxzyzyxyxzxyx
zyzxzyzyxyxzxyx
zyx
also
22
22
22
2
2
2
222
222
222
000000
yxyzxzyzzxxyxzxyzy
mI
zyzxzyzyxyxzxyx
zyxzyx
zyxmI
Aufgabenstellung Diagonalisierung:Gegeben: allg. Lage des Koordinatensystems, symmetrischer Tensor, reelle Komponenten Gesucht: Hauptachsenlage, daraus Eigenwerte, Eigenvektoren.
Wie findet man zum symmetrischen Tensor die Drehmatrix D , die ihn diagonalisiert?
Diagonalisierung:
Wie findet man zum symmetrischen Tensor die Drehmatrix Drr
, die ihn diagonalisiert?
Man setzt an:
=⋅⋅=
3
2
1
00
00
00
'λ
λλ
TDHDHrrrrrrrr
, λi Eigenwerte, Zeilen von Drr
Eigenvektoren (neue Basis)
Drr
finden: n Gleichungen, aber n+1 Unbekannte, daher Nebenbedingung suchen:
↓↓↓⋅⋅⋅↑↑↑
⋅
→←→←→←
=
↓↓↓
↑↑↑⋅⋅
→←→←→←
321
3
2
1
321
3
2
1
fHfHfH
f
f
f
fffH
f
f
frrrrrrrrr
r
r
r
rrrrr
r
r
r
Wann gilt
=
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
3
2
1
13
12
2111
00
00
00
λλ
λ
fHf
uswfHf
uswfHffHf
rrrr
rrrr
rrrrrrrr
????
Wenn ffHrrrr
⋅=⋅ λ , also 011 =⋅
⋅−=⋅⋅−⋅=⋅−⋅ fHffHffH
rrrrrrrrrrrrrrrλλλ
Alle Zeilenvektoren ⊥ f, koplanar, also λ
λλ
−−
−
332313
232212
131211
HHH
HHH
HHH
= −λ3 + aλ2 + bλ + c = 0
Lösungen λi sind für symmetrische Matrizen reell, zu jedem λi sucht man Eigenfunktion fi,normiert, beachtet Richtungssinn
Analog behandeln: Eigenwertproblem für Matrizen.
Hooke´sches Gesetz
Spannngstensor
εσ ~C~~~ =
Verzerrungstensor
νµµν CC = .....elastische Konstanten
2mN
allgemein 36, wegen Symmetrie 21 unabhängige KonstantenKubische Kristalle: 3 unabhängige elastische Konstanten C11, C12, C44:
⋅
=
xy
xz
yz
zz
yy
xx
xy
xz
yz
zz
yy
xx
C
C
C
CCC
CCC
CCC
γγγεεε
τττσσσ
44
44
44
111212
121112
121211
00000
00000
00000
000
000
000
Fourierzerlegung
Periodische Funktion lässt sich eindeutig in Fourierreihe entwickelnzeitlich periodisch: f(t), Periode T, Frequenz ν, Kreisfrequenz ω = 2πν =2π/T;räumlich periodisch: f(x) Periode λ, Raumfrequenz 1/λ, Wellenzahl k0 = 2π/λ
∑∞
=++=
1
0 sincos2
)(n
nn tnbtnaa
tf ωω ; dttntfT
bdttntfT
aT
Tn
T
Tn ∫∫
−−==
2/
2/
2/
2/
sin)(1
,cos)(1 ωω , setze:
cos nω t = ½ (einω t + e−inω t); sin nω t = − ½ i (einω t − e−inω t) (Umk. e−in ω t = cos nω t − i sin nω t) gibt:
)(2
)(22
)(1
0 tintin
n
ntintinn eebi
eeaa
tf ωωωω −∞
=
− −−++= ∑ = tik
k
kktin
n
nn eiba
eibaa ωω −
∞
=
∞
=∑∑ ++−+
11
0
222; k = −n
tin
n
nntik
k
kk eiba
eiba ωω ∑∑
−
−∞=
−∞
=
+=+ 1
1 22; ∫∫
−
−
−=−=−
2/
2/
2/
2/
)(1
]sin)[cos(1 T
T
tinT
Tnn dtetf
Tdttnitntf
Tbia ωωω
F.-reihe ∑∞
−∞==
n
tinneCtf ω)( Spektraldarst. Cn = ∫
−
−2/
2/
)(/1T
T
tin dttfeT ω C0=½ a0, Cn = ½(an−i bn), C−n = Cn
skalares Produkt ∫−
⋅=2/
2/
)()(*/1))(),((T
T
dtttTtt ψϕψϕ ; ein ω t Basis (Wechsel v. tnT
ωcos2
, tnT
ωsin2
)
( ) ( )1)(2
1|
)(
1./1./1 )(2
0)(
2/
2/
−−
=−
= −−
−
−∫ nmiTnmtiT
T
timtin enmi
enmi
TdteeT πωωω
πω = 0; Basis orthonorma
weil e2πig = cos 2πi + i sin 2πi = 1 + 0; ∫−
− =2/
2/
1./1T
T
tnitni dteeT ωω , also (einωt, eimωt) = δik
Fouriertransformation
nicht-periodische Funktion: definiere ωn, ∆ωn und Φ(ω): n.ω = ωn und ∆n.ω = ∆ωn, sowie C(n) = Φ(ωn)/T = Φ(ωn).ω/2π, setze ein:
f(t) = ∑∑∞
−∞=
∞
−∞=∆⋅Φ=∆⋅Φ
nn
tin
n
tinn
nn ene ωωππ
ωω ωω )(
2
1
2).( 0
Φ(ωn) = ∫∫−
−
−
− ⋅=⋅=2/
2/
2/
2/
)()().(T
T
tiT
T
ti dtetfdtetfT
TTnC nn ωω
Periode gegen ∞ gehen lassen, ∫∑∞
∞−
∞
∞−→ ergibt f(t) = ∫
∞
∞−⋅Φ ωω
πω de ti)(
2
1
Fouriertransformierte: Φ(ω) = ∫∞
∞−
−⋅ dtetf tiω)(
Konjugierte Variable (allg. x und p) haben dimensionsloses Produkt
Fouriertransformation: Zuordnung von Paaren von Funktionen: F(x) ⇔ Φ(p)
Fourieroperator: )()(ˆ pxfA Φ= , )()(ˆ xfpA −=Φ ; ASA xˆˆˆ 1 =−
ist F(t) gerade und reell, ist es Φ(ω) ebenso, dann AA ˆˆ 1 =− ,
ist F(t) ungerade und reell, ist Φ(ω) imaginär und AA ˆˆ 1 −=−
Klang und Frequenzspektrum
Knall und Frequenzspektrum
Fraunhofer’sche Beugung
Ausdehnung normal zur Zeichenebene sei überall die Einheitslänge
Ebene Apertur in einer Phasenfläche der einlaufenden ebenen Welle mit Durchlässigkeitsfunktion A(x) ergibt die Sekundärquelle.
Sei in Q der Sekundärquelle die Amplitude tiexACtxy ω)(),( = , dann verursacht ein infinitesimaler Streifen der Höhe 1 am Ort Q eine Amplitude auf dem Schirm in P rkiti
s eexACdy ′−′= ω)( ,mit -2πr´/λ = - k r´ Phasendifferenz der Welle zwischen Q und P
Wählt man den Zeitpunkt t = 0 so, dass die Phase der Welle in S verschwindet, ergibt sich für den Punkt P:
∫ ′−′=Apertur
rkis edxxACPy )()( mit r´ = r0 – x sinθ ergibt die Aufsummierung
aller Streifen der Sekundärquelle:
∫−′=Apertur
xkirkis edxxAeCPy ϑsin)()( 0 und mit p = k. sinθ
∫+∞
∞−
= dxexACPy ips
π
π2´´ )(
2
1.)( ,
die Lage auf dem Schirm hängt dann noch vom Abstand selbst ab.Das Beugungsmuster ergibt sich als Fouriertransformierte der Durchlässigkeitsfunktion mit p = k. sinθ.Die Größe des Musters hängt von der Geometrie ab.
Kastenfunktion F(x)
F(x)
pa
pasina)p(
ππ=Φ
)p(Φ
Diracsche Deltafunktion
<<−=
sonst0
x21
)x(dεεε
)x(dlim)x(0→
=ε
δ
Alternativ: ∫∞
∞−
−⋅=+
⋅= dkee2
1
x
2
2
1)x(d kikx
22ε
πεε
π
Limes ergibt ∫∞
∞−= dke
2
1)x( ikx
πδ
Fouriertransformierte von δ - Funktionen
OperatorenGaußfunktion
22 axe)x(G −=
)x(G
222 paea)p(g ππ −=
)p(g
Vektorraum der quadratintegrablen komplexwertigen Funktionen(z.B. Wellenfunktionen, Orbitale)
betrachtet werden Funktionen Ψ (x), x ∈ R1, eindeutig und stetig mit
Cdxxdxxx =Ψ=ΨΨ ∫∫∞
∞−
∞
∞−
2|)(|)().(* reell, endlich
Betrag |a+ib| = r kpl. Größen aus a +ib = r.eiϕ, r = (a+ib).(a−ib)= a2+b2
)(xΨ (auf 1) normierbar, Ψ(x) = )(1
xC
Ψ , ∫∞
∞−=ΨΨ 1)().(* dxxx ,
also muss Funktion integrierbar sein und hinreichend rasch im
Unendlichen verschwinden.
Dann kann skalares Produkt definiert werden:
(Ψ(x), Φ(x)) = ∫∞
∞−ΦΨ dxxx )().(* , auch )(|)( xx ΦΨ
(bracket) bra- und ket- Vektor
mit der Norm ( ))(),( xx ΨΨ = 1 (siehe oben)
Operatoren A vermitteln Abbildungen des Vektorraums auf sich selbst
A Φ = ψ(x) und sind linear, wenn für bel. komplexe Zahlen a und b
sowie Fkt. f(x) und g(x) gilt: A(a.f(x)+b.g(x)) = a.A(f(x) +b.A(f(x))
Einfache hermitesche Operatoren quadratint. Fkt.
Definition des adjungierten (= hermitesch konjugierten) Operators:A† ist adjungiert zu A, wenn für f und g bel.: <f|A g> = <A†f|g>A ist hermitesch (= selbstadjung.), wenn A† = A, also <f|A g> = <A f|g>
oder explizit mit <f(r)|g(r)> = ∫f(x)g(x)dx:
A hermitesch: ∫f*(x) A g(x) dx= ∫A*(f*(x)) g(x) dx= ∫ (A.f(x))* g(x) dx
Einfachste hermitesche Operatoren: Ortskoordinate x; weil reelle Zahl,
kein Einfluss von Reihenfolge und komplex konjugieren
∫∞
∞−*f (x).x.g(x)dx = ** fx∫
∞
∞−
(x) g(x)dx = *fx∫∞
∞−
(x) g(x)dx
Einfacher Differentialoperator: c.d/dx = c.∂x hermitesch, mit c= const.
wenn: *f∫∞
∞−
(x).c ∂x g(x)dx = ∫∫∫3
*R
c ∂x f*(x) g(x)dx
verwende partielle Integration: ∫f(x).g‘(x)dx = f(x).g(x) – ∫f‘(x).g(x)dx
linke Seite: c. ∫∞
∞−*f (x) ∂x g(x)dx = c f*(x)g(x) ∞
∞−| − ∫∞
∞−∂ *fx (x)g(x)dx=
−c ∫∞
∞−∂ *fx (x)g(x)dx, c* ∫
∞
∞−∂ *fx (x)g(x)d3r (r.S.)
weil c f(x) g(x) ∞∞−| = 0, weil mit |f(x)| auch f(x) in x = ±∞ verschwindet.
Operator hermitesch, wenn −c = c*, also c = ib rein imaginär.
Eigenfkt.: ib∂xfn(x) = λn fn(x), Ansatz fn(x) = eiknx, n ganz
ib∂x eiknx = ib(ikn) eiknx = −nbk eiknx, äquidistante Eigenw., Abstand bk.
b ist noch frei wählbar (physikalisch sinnvoll − : Impulsoperator).
Hermitesche Operatore haben reelle Eigenwerte: setze in Definition für
hermiteschen Operator gleiche Eigenfunktion ein:
λ*.∫fn*(x).fn(x) dx = λ.∫fn*(x).fn(x)dx ⇒ λ* = λ
Michelson - Morley – Experiment Lichtuhr
Messung der Relativgeschwindigkeit Uhrenvergleich - die bewegte Uhr erscheint langsamer
Lorentztransformation
Transformation soll c invariant lassen, Übergang für v << c inGalileitransformation x‘ = x + v.t; x = x‘ − v.t; t bleibt untransformiert.
Ansatz: Faktor γ: x‘ = γ.(x + v.t); x = γ.(x‘ − v.t‘) mit γ → 1 für v/c→0
Für t =0 sei Ursprung in S und S‘ gemeinsam, Lichtsignal werde ausgesandt,Ort zum Zeitpunkt t in beiden Systemen betrachtet zur Berechnung von γ: in S: x =c.t, in S‘: x‘ = c.t‘, setze Ansatz für x und x‘ ein:
c.t = γ.(x‘ − v.t‘) = γ.(0 + c.t‘ − v.t‘) = γ.t‘ (c-v) ⇒ t/t‘ = γ.(1 − v/c)
c.t‘ = γ.(x + v.t) = γ.(0 + c.t + v.t) = γ.t.(c+v) ⇒ t/t‘ = 1/[γ.(1 + v/c)]
gibt γ2 = 1/[(1-v/c).(1+v/c)], γ =
( )21
1
cv−
;
zur Berechnung der neuen Transformationsgleichung der Zeit setzt man in x‘ = γ.(x + v.t) für x = γ.(x‘ − v.t‘) ein: x‘ = γ.(γ.(x‘ − v.t‘) + v.t) und ordnet neu: γ.v.t = (1−γ2).x‘ + γ2vt‘ ⇒ t = x‘.(1−γ2)/γv + γ .t‘ = γ .[t‘ + (1/γ 2 – 1).x‘/v] = γ.(t‘ – v.x‘/c2), alsozusammen
Lorentztransformation:
x = γ.(x‘ – v.t‘), y = y‘, z = z‘, 2v.x't .(t'- )c
γ=
x‘ = γ.(x + v.t), y‘ = y, z‘ = z, 2
v xt tc
γ= + .' .( )
Geschwindigkeitsaddition: bewegt sich ein Teilchen in einem System mit v‘ und dieses bewegt sich mit vr gegen ein weiteres System, so misst man
dort als Teilchengeschwindigkeit rr
2
v vvv' v1c
+′=+
Neuformulierung der Mechanik:
Masse m = m0.γ , mit m0 Ruhemasse; Impuls p = m.v = m0.v.γ;Gesamtenergie eines Körpers der Ruhemasse m0 bei v: E = m0c
2.γ , nähertman γ ≈ 1 + ½.(v/c)2 ⇒ E = m0.c
2 + ½.m0.v2
Energiedichte der Hohlraumstrahlung
Der photoelektrische Effekt
Unschärferelation
hxpc
hsinp
sinx
x
x
≈⋅
=
≈
∆∆
∆
∆
νθ
θλ
Operatoren des Elektronenspins: Spinmatrizen
Gibt man Richtung vor (z-Richtung): 2 Einstellungen des Elektronenspins. Faktor h/2 zuerst herausheben und weglassen; am Ende wieder einfügen. Basis zur Messung in z-Richtung η+, η−, Spinoperator in z-Richtung σz mit σz η+ = 1.η+, σz η− = (−1).η−.
Struktur der Zusammenhänge lässt sich mit Matrizen und ihrenEigenvektoren (keine Vektoren im Ortsraum!!) am besten darstellen:
−=
=
= −+ 10
01
1
0
0
1zσηη ; η±, keine EV von
=
01
10xσ
da gilt: σx η+ = η−, σx η− = η+, aber σx ist ebenfalls hermitesch,Eigenvektoren η± sind orthonormale Basis, Eigenwerte ±1, Spinwerte: ± h/2; σx hat andere Eigenvektoren, Messung des Spins in x-Richtung:
σx ξ+ = 1.ξ+, σx ξ− = (−1).ξ−, mit
−=
= −+ 1
1
2
11
1
2
1 ξξ ;
σz, σx haben verschiedene Eigenvektoren, Reihenfolge wichtig:Kommutator
[ ] =
−
−
−=−=
10
01
01
10
01
10
10
01, zxxzxz σσσσσσ
−
=
−
−
−=
02
20
01
10
01
10≠
00
00.
Haben A, B gleiche Eigenvektoren: A ν = a.ν; B ν = b.ν ⇒⇒AB ν = a.b.ν BA ν = b.a.ν und AB = BA das bedeutet:
Reihenfolge der Messungen umkehren gibt dieselben Meßwerte, Operatoren vertauschbar, Kommutator [A, B] = (A B − B A) = 0.
Spinoperator für Messung in x-Richtung
−
=0
0
i
iyσ , ebenfalls
hermitesch mit EV
±
=± i
0
2
1µ , allgemein gilt für die Kommutatoren
[σx, σy] = 2iσz und zyklisch vertauschen, siehe Bsp. oben [σz, σx] = 2iσy
Paulische Spinmatrizen ... σx, σy, σz ... Spinoperator … s = h/2.(σx.ex + σy.ey + σz.ez);
Anzahl der Zustände
2z
2y
2x22 nnn
)mL2h(E ++=
Harmonischer Oszillator und Leiteroperatoren
Klassisches Pendel: m x&& +k.x=0 mit k=m.ω2 erhält man: x(t)=A cos(ωt+α), p(t)= −m ω A sin(ωt+α),
es gilt somit:
−
+=
+=
ωωω m
ipx
m
ipx
m
pxA .
222
2-atomiges Molekül: Standardverfahren Schrödingergleichung:
2.
2
22 xk
m
pH += ⇒ ∫
∞
∞−
=ΨΨ=Ψ
+− 1)(),()(
2222
2
2
22dxxxExx
m
dx
d
m nnnnωh
Struktur besser erkannt, wenn p ⇒ dxdi /h− in A2 im Ausdruck ganz obenund zwei neue Operatoren definiert, die verschiedene Zustände verbinden:
adx
d
mx
m
m
Pix
ma ,
2
ˆ
2
+=
+= hω
ωω
ω†
−=
−=
dx
d
mx
m
m
Pix
m hωω
ωω 2
ˆ
2
nicht hermitesch, daher entspricht ihnen keine Messung.
man kann x und P)
damit darstellen: aam
x += (2
1
ω†), aa
miP −−= (
2ˆ ω † );
für die Quadratbildung braucht man die Kommutatoren: es gilt
[a,a†] = [ ] [ ] ( ) hhh =−−=
−=
−+ ii
iPx
m
ixP
m
im
m
Pix
m
Pix
m
2ˆ,,ˆ
2
ˆ,
ˆ
2ωω
ωωω
ω daher
x2=ωm2
1(a2+a†2+a†a+aa†),
2ˆ 2 ωm
iP −= .(a2+a†2−a†a−aa†), einsetzen für H gibt:
H = ω/2.(a†a+aa†)= ω.(a†a+ h /2); wegen [AB,C] = A[B,C] + [A, C]B: [H, a]= ω[ a†a, a] = ω[ a†, a]a = −h ω a, ebenso [H, a†] = h ω a†; a†, a Leiteroperatoren, denn wenn un(x) Energieeigenfunktion mit EW ωn:a† un(x) = wn
+ (x): (H a†−a† H) un(x) = h ω a†un(x) ⇒ H wn+−ωn wn = h ω wn
+, also H wn
+ = h (ωn+ ω) wn+, analog: a un(x) = wn
−(x) ⇒ H wn− = (ωn− ω) wn
−,
Eigenwertspektrum wird En = h ω(n + ½), Grundzustandsenergie hω/2
Grundzustand a u0(x) = 0, also 0)(0 =
+⋅ xu
dx
d
mx
hω gibt
u0(x) = C.exp(−mωx2/(2h) = h
h24
2xm
em
ω
πω
−
(Normierung); höhere aufbauen mit a† und
Normierung: un(x) = cn a†.un-1 = hn
1 a un-1 = )()(
2 1 xudx
d
mx
n
mn−−
ωω h
h.
Lösungen sind Produkte der Hermitepolynome Hn(x) mit Exponentialfunktion:
H0 (x) = 1, H1(x) =2x, H2(x) = 4x2−2, H3(x)=8x3-12x.
Energieniveaus und Eigenfunktionenbeim harmonischen Oszillator
Doppelspaltexperiment
Beugung von Fullerenmolekülen am Gitter Stern - Gerlach - Experiment
Harmonischer Oszillator, um d ausgelenkter Zustand
d(x) = 2).(
4
2dxm
em , nichtstation. ausgelenkter Zustand gleicher
Breite, da nicht hermitesch: d keine Meßgröße;
für Energiemessung nach Energieeigenzuständen entwickeln:
n ndn 0
x c x( ) mit cn = n*(x) d(x) dx einsetzen
cn2 = 2
22
!1
2
dmn
en
dm . Mittelwert vieler Energiemessungen, der
Erwartungswertn
nn c2 = d*(x) d(x)dx = < | | >, da
d*(x) d(x)dx=
= mnnnm
nmnm
nnnmmm n
nnmm ccdxucucdxucuc,,
= n|cn|2,
Messung gibt Eigenwert (Eigenzustand) oder Erwartungswert (sonst):beides bedeutet *(x) (x)dx
H = t
i zeitabhängige Schrödingergleichung; wird zeitabhängig,
z.B. (x,t) = (x,0) e i Et komplexe Phase fällt beim Quadrieren weg, aber nicht alle Zustände separierbar. Ergebnis Kohärenter Zustand (Breite
bleibt als Funktion der Zeit gleich)2)cos(
2),(tdxm
d emtx
Erwartungswert wird:
)cos(...),(.).,(* /)]cos(.[ 2tdexdxmtxxtxdxx tdxm
dd
mit Variablentransformation x‘ = x – d.cos( t), weil Integral über ungeraden
Teil verschwindet und dxe x2 , also x = d cos t (wie klassisch)
Ehrenfest’sches Theorem und Wellenpakete
Für Erwartungswerte von Wellenpaketen gelten klassische Gesetze: Ehrenfest’sches Theorem. Wellenpakete Lösung freie Schrödingergleichung:
ttxi
xtx
m),(),(
2 2
22 allg. Lsg. tkxkiekatx )()(
21),( ,
in 1 Dimension wähle 2
0 )()( kkeCka ,
aber2k
2m (anders als elektromagnetische Wellen), entwickle
(k)= (k0)+(d /dk)k0 (k-k0) + ½(d2 /dk2)k0 (k-k0)2 +....= 0 + vg(k-k0) + (k-k0)2 + ....
Einsetzen gibt )(4)(
)(
2),( ti
tvxtxki g
eti
eCtx Wellenpaket zerfließt
k und x hängen mit Fouriertransformation zusammen, x k ½, Unschärferelation!