Physik II für Chemiker (4-st., SS 2006)

I) Vektorraum, Fourierzerlegung, Operatoren I, Matrizen

II) Tensoren, Eigenwertproblem, quadratintegrable FunktionenTrägheitstensor, anisotr. harm. Schwingung, Elastizitätstensor, hermitesche Operatoren

III) Fouriertransformation I (zeitabhängige und raumabh. Fkt.)Frequenzspektren, Beugung, Spalt, Gaußfunktion, δ-Funktion

IV) Ursprünge der modernen PhysikWo die Alltagserfahrung versagt

V) Gedankengebäude QuantenmechanikMessungen, Operatoren, Kastenpotential, Tunneleffekt, Quantensprünge,

Erwartungswerte

VI) Wasserstoffatom: Lösung der SchrödingergleichungAbleitung der Quantenzahlen, Erfolg des Atommodells

VII) Diskussion der Wasserstoffatomorbitale Kpl. und reelle Darstellung, Kugelflächenfunktionen, Legendrepolynome, Radialanteil

VIII) Fouriertransformation IIFourierpaare, reziprokes Gitter, Fourieroptik

VIII)Physik des LasersErzeugung kohärenter elektromagnetischer Wellen

IX) Grundzüge der magnetischen KernresonanzAtome signalisieren ihre chemische Umgebung

X) Streiflichter aus der FestkörperphysikGitterstruktur, Phononen

Prüfungsanmeldung: im kommentierten Vorlesungsverzeichnis der Unihomepage http://univie.ac.atbei Vorlesung Physik II den Link Prüfungsanmeldung und Information anklickenabmelden, neuen Termin anfordern: e-mail viktor.groeger@univie.ac.at, 06991 3325267 (Sprachbox)Prüfungsort: 1090 Wien, Boltzmanngase 5, Parterre Zimmer 32 nebem dem Aufzug

Lernbehelfe:

math Formalismus:

C.B.Lang und N.Pucker, Mathematische Methoden der Physik, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1998

H.G.Zachmann; Mathematik für Chemiker, korr.Nachdruck der 5.Aufl., Wiley VCH, Weinheim 2004

H.Schulz, Physik mit Bleistift, 4. Aufl. Springer, Be rlin 2001

Tensorrechnung:

E.Klingsbeil, Tensorrechnung für Ingenieure, BI, Mannheim 1966

Fouriertransformation:

T.Butz, Fouriertransformation für Fußgänger, Teubner, Leipzig 1998

J.F.James, A Student’s Guide to Fourier Transformations, 2. Aufl., Cambridge University Press, Cambridge 2002

Relativitätstheorie:

K.R.Atkins, Physik, 2. Aufl., Walter de Gruyter, Berlin 1986

P.A.Tipler, R.A.Llewellyn, Moderne Physik, Oldenbourg, München 2003

Quantenmechanik:

H.Pietschmann, Quantenmechanik verstehen, korr. Nachdruch der 1. Auflage, Springer, Berlin 2003

P.A.Tipler, R.A.Llewellyn, Moderne Physik, Oldenbourg, München 2003

T.Fließbach, Quantenmechanik, 3.Aufl., Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2000

G.Lindström, R.Langkau, W.Scobel, Physik kompakt 3, 2.Aufl. Springer, Berlin 2002

P.W.Atkins, Quanten, Wiley VCH, Weinheim 1993

P.W.Atkins, Physikalische Chemie 3.Aufl., Wiley VCH, Weinheim 2001

Laser:

A.Donges, Physikalische Grundlagen der Lasertechnik, 2.Aufl., Hüthig, Heidelberg 2000

Magnetische Kernresonanz, NMR:

Friebolin, Ein- und zweidimensionale NMR-Spektroskopie, 3.Aufl. H Wiley VCH, Weinheim 1999

Vektorraum Skalarprodukt

Matrizen

Beispiel:

Matrixoperationen und spezielle Matrizen

Drehung in der EbeneHauptträgheitsmomente

Tensoren

Definition eines Tensors

Rechenregel für Tensoren

Trägheitstensor: Aufgabenstellung des Eigenwertproblems

Trägheitstensor in Hauptachsenlage des Koordinatensystems:

Quaderförmige Schachtel: feste Achsen: I = mr2 gibt Trägheitsellipsoid; 3 orthogonale

Hauptträgheitsachsen als Koordinatenachsen ergibt II

II

L

zz

yy

xx

000000

Die Antwort ( L ) ist nur bei Drehungen um Hauptachsen // zur Ursache ( ):

3211 00

,0

0

0

0,

00

00 zz

zz

yyyyxx

xx

II

IIIIII

IIL

orthogonale Eigenvektoren i von I bilden vollständiges System, Eigenwerte Ixx, Iyy, Izz.

Trägheitstensor in allgemeiner Lage des Koordinatensystems :

L = r x p = r x mv = m.r x ( x r) = m.[(r.r). (r. ).r] = (m.r2. 1 m. A ). = I

Explizit: (r. ).r = (x. 1 + y. 2 + z. 3).

3

2

1

2

2

2

32

21

322

1

3212

zyzxzyzyxyxzxyx

zyzxzyzyxyxzxyx

zyx

also

22

22

22

2

2

2

222

222

222

000000

yxyzxzyzzxxyxzxyzy

mI

zyzxzyzyxyxzxyx

zyxzyx

zyxmI

Aufgabenstellung Diagonalisierung:Gegeben: allg. Lage des Koordinatensystems, symmetrischer Tensor, reelle Komponenten Gesucht: Hauptachsenlage, daraus Eigenwerte, Eigenvektoren.

Wie findet man zum symmetrischen Tensor die Drehmatrix D , die ihn diagonalisiert?

Diagonalisierung:

Wie findet man zum symmetrischen Tensor die Drehmatrix Drr

, die ihn diagonalisiert?

Man setzt an:

=⋅⋅=

3

2

1

00

00

00

'λ

λλ

TDHDHrrrrrrrr

, λi Eigenwerte, Zeilen von Drr

Eigenvektoren (neue Basis)

Drr

finden: n Gleichungen, aber n+1 Unbekannte, daher Nebenbedingung suchen:

↓↓↓⋅⋅⋅↑↑↑

⋅

→←→←→←

=

↓↓↓

↑↑↑⋅⋅

→←→←→←

321

3

2

1

321

3

2

1

fHfHfH

f

f

f

fffH

f

f

frrrrrrrrr

r

r

r

rrrrr

r

r

r

Wann gilt

=

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

3

2

1

13

12

2111

00

00

00

λλ

λ

fHf

uswfHf

uswfHffHf

rrrr

rrrr

rrrrrrrr

????

Wenn ffHrrrr

⋅=⋅ λ , also 011 =⋅

⋅−=⋅⋅−⋅=⋅−⋅ fHffHffH

rrrrrrrrrrrrrrrλλλ

Alle Zeilenvektoren ⊥ f, koplanar, also λ

λλ

−−

−

332313

232212

131211

HHH

HHH

HHH

= −λ3 + aλ2 + bλ + c = 0

Lösungen λi sind für symmetrische Matrizen reell, zu jedem λi sucht man Eigenfunktion fi,normiert, beachtet Richtungssinn

Analog behandeln: Eigenwertproblem für Matrizen.

Hooke´sches Gesetz

Spannngstensor

εσ ~C~~~ =

Verzerrungstensor

νµµν CC = .....elastische Konstanten

2mN

allgemein 36, wegen Symmetrie 21 unabhängige KonstantenKubische Kristalle: 3 unabhängige elastische Konstanten C11, C12, C44:

⋅

=

xy

xz

yz

zz

yy

xx

xy

xz

yz

zz

yy

xx

C

C

C

CCC

CCC

CCC

γγγεεε

τττσσσ

44

44

44

111212

121112

121211

00000

00000

00000

000

000

000

Fourierzerlegung

Periodische Funktion lässt sich eindeutig in Fourierreihe entwickelnzeitlich periodisch: f(t), Periode T, Frequenz ν, Kreisfrequenz ω = 2πν =2π/T;räumlich periodisch: f(x) Periode λ, Raumfrequenz 1/λ, Wellenzahl k0 = 2π/λ

∑∞

=++=

1

0 sincos2

)(n

nn tnbtnaa

tf ωω ; dttntfT

bdttntfT

aT

Tn

T

Tn ∫∫

−−==

2/

2/

2/

2/

sin)(1

,cos)(1 ωω , setze:

cos nω t = ½ (einω t + e−inω t); sin nω t = − ½ i (einω t − e−inω t) (Umk. e−in ω t = cos nω t − i sin nω t) gibt:

)(2

)(22

)(1

0 tintin

n

ntintinn eebi

eeaa

tf ωωωω −∞

=

− −−++= ∑ = tik

k

kktin

n

nn eiba

eibaa ωω −

∞

=

∞

=∑∑ ++−+

11

0

222; k = −n

tin

n

nntik

k

kk eiba

eiba ωω ∑∑

−

−∞=

−∞

=

+=+ 1

1 22; ∫∫

−

−

−=−=−

2/

2/

2/

2/

)(1

]sin)[cos(1 T

T

tinT

Tnn dtetf

Tdttnitntf

Tbia ωωω

F.-reihe ∑∞

−∞==

n

tinneCtf ω)( Spektraldarst. Cn = ∫

−

−2/

2/

)(/1T

T

tin dttfeT ω C0=½ a0, Cn = ½(an−i bn), C−n = Cn

skalares Produkt ∫−

⋅=2/

2/

)()(*/1))(),((T

T

dtttTtt ψϕψϕ ; ein ω t Basis (Wechsel v. tnT

ωcos2

, tnT

ωsin2

)

( ) ( )1)(2

1|

)(

1./1./1 )(2

0)(

2/

2/

−−

=−

= −−

−

−∫ nmiTnmtiT

T

timtin enmi

enmi

TdteeT πωωω

πω = 0; Basis orthonorma

weil e2πig = cos 2πi + i sin 2πi = 1 + 0; ∫−

− =2/

2/

1./1T

T

tnitni dteeT ωω , also (einωt, eimωt) = δik

Fouriertransformation

nicht-periodische Funktion: definiere ωn, ∆ωn und Φ(ω): n.ω = ωn und ∆n.ω = ∆ωn, sowie C(n) = Φ(ωn)/T = Φ(ωn).ω/2π, setze ein:

f(t) = ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=∆⋅Φ=∆⋅Φ

nn

tin

n

tinn

nn ene ωωππ

ωω ωω )(

2

1

2).( 0

Φ(ωn) = ∫∫−

−

−

− ⋅=⋅=2/

2/

2/

2/

)()().(T

T

tiT

T

ti dtetfdtetfT

TTnC nn ωω

Periode gegen ∞ gehen lassen, ∫∑∞

∞−

∞

∞−→ ergibt f(t) = ∫

∞

∞−⋅Φ ωω

πω de ti)(

2

1

Fouriertransformierte: Φ(ω) = ∫∞

∞−

−⋅ dtetf tiω)(

Konjugierte Variable (allg. x und p) haben dimensionsloses Produkt

Fouriertransformation: Zuordnung von Paaren von Funktionen: F(x) ⇔ Φ(p)

Fourieroperator: )()(ˆ pxfA Φ= , )()(ˆ xfpA −=Φ ; ASA xˆˆˆ 1 =−

ist F(t) gerade und reell, ist es Φ(ω) ebenso, dann AA ˆˆ 1 =− ,

ist F(t) ungerade und reell, ist Φ(ω) imaginär und AA ˆˆ 1 −=−

Klang und Frequenzspektrum

Knall und Frequenzspektrum

Fraunhofer’sche Beugung

Ausdehnung normal zur Zeichenebene sei überall die Einheitslänge

Ebene Apertur in einer Phasenfläche der einlaufenden ebenen Welle mit Durchlässigkeitsfunktion A(x) ergibt die Sekundärquelle.

Sei in Q der Sekundärquelle die Amplitude tiexACtxy ω)(),( = , dann verursacht ein infinitesimaler Streifen der Höhe 1 am Ort Q eine Amplitude auf dem Schirm in P rkiti

s eexACdy ′−′= ω)( ,mit -2πr´/λ = - k r´ Phasendifferenz der Welle zwischen Q und P

Wählt man den Zeitpunkt t = 0 so, dass die Phase der Welle in S verschwindet, ergibt sich für den Punkt P:

∫ ′−′=Apertur

rkis edxxACPy )()( mit r´ = r0 – x sinθ ergibt die Aufsummierung

aller Streifen der Sekundärquelle:

∫−′=Apertur

xkirkis edxxAeCPy ϑsin)()( 0 und mit p = k. sinθ

∫+∞

∞−

= dxexACPy ips

π

π2´´ )(

2

1.)( ,

die Lage auf dem Schirm hängt dann noch vom Abstand selbst ab.Das Beugungsmuster ergibt sich als Fouriertransformierte der Durchlässigkeitsfunktion mit p = k. sinθ.Die Größe des Musters hängt von der Geometrie ab.

Kastenfunktion F(x)

F(x)

pa

pasina)p(

ππ=Φ

)p(Φ

Diracsche Deltafunktion

<<−=

sonst0

x21

)x(dεεε

)x(dlim)x(0→

=ε

δ

Alternativ: ∫∞

∞−

−⋅=+

⋅= dkee2

1

x

2

2

1)x(d kikx

22ε

πεε

π

Limes ergibt ∫∞

∞−= dke

2

1)x( ikx

πδ

Fouriertransformierte von δ - Funktionen

OperatorenGaußfunktion

22 axe)x(G −=

)x(G

222 paea)p(g ππ −=

)p(g

Vektorraum der quadratintegrablen komplexwertigen Funktionen(z.B. Wellenfunktionen, Orbitale)

betrachtet werden Funktionen Ψ (x), x ∈ R1, eindeutig und stetig mit

Cdxxdxxx =Ψ=ΨΨ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

2|)(|)().(* reell, endlich

Betrag |a+ib| = r kpl. Größen aus a +ib = r.eiϕ, r = (a+ib).(a−ib)= a2+b2

)(xΨ (auf 1) normierbar, Ψ(x) = )(1

xC

Ψ , ∫∞

∞−=ΨΨ 1)().(* dxxx ,

also muss Funktion integrierbar sein und hinreichend rasch im

Unendlichen verschwinden.

Dann kann skalares Produkt definiert werden:

(Ψ(x), Φ(x)) = ∫∞

∞−ΦΨ dxxx )().(* , auch )(|)( xx ΦΨ

(bracket) bra- und ket- Vektor

mit der Norm ( ))(),( xx ΨΨ = 1 (siehe oben)

Operatoren A vermitteln Abbildungen des Vektorraums auf sich selbst

A Φ = ψ(x) und sind linear, wenn für bel. komplexe Zahlen a und b

sowie Fkt. f(x) und g(x) gilt: A(a.f(x)+b.g(x)) = a.A(f(x) +b.A(f(x))

Einfache hermitesche Operatoren quadratint. Fkt.

Definition des adjungierten (= hermitesch konjugierten) Operators:A† ist adjungiert zu A, wenn für f und g bel.: <f|A g> = <A†f|g>A ist hermitesch (= selbstadjung.), wenn A† = A, also <f|A g> = <A f|g>

oder explizit mit <f(r)|g(r)> = ∫f(x)g(x)dx:

A hermitesch: ∫f*(x) A g(x) dx= ∫A*(f*(x)) g(x) dx= ∫ (A.f(x))* g(x) dx

Einfachste hermitesche Operatoren: Ortskoordinate x; weil reelle Zahl,

kein Einfluss von Reihenfolge und komplex konjugieren

∫∞

∞−*f (x).x.g(x)dx = ** fx∫

∞

∞−

(x) g(x)dx = *fx∫∞

∞−

(x) g(x)dx

Einfacher Differentialoperator: c.d/dx = c.∂x hermitesch, mit c= const.

wenn: *f∫∞

∞−

(x).c ∂x g(x)dx = ∫∫∫3

*R

c ∂x f*(x) g(x)dx

verwende partielle Integration: ∫f(x).g‘(x)dx = f(x).g(x) – ∫f‘(x).g(x)dx

linke Seite: c. ∫∞

∞−*f (x) ∂x g(x)dx = c f*(x)g(x) ∞

∞−| − ∫∞

∞−∂ *fx (x)g(x)dx=

−c ∫∞

∞−∂ *fx (x)g(x)dx, c* ∫

∞

∞−∂ *fx (x)g(x)d3r (r.S.)

weil c f(x) g(x) ∞∞−| = 0, weil mit |f(x)| auch f(x) in x = ±∞ verschwindet.

Operator hermitesch, wenn −c = c*, also c = ib rein imaginär.

Eigenfkt.: ib∂xfn(x) = λn fn(x), Ansatz fn(x) = eiknx, n ganz

ib∂x eiknx = ib(ikn) eiknx = −nbk eiknx, äquidistante Eigenw., Abstand bk.

b ist noch frei wählbar (physikalisch sinnvoll − : Impulsoperator).

Hermitesche Operatore haben reelle Eigenwerte: setze in Definition für

hermiteschen Operator gleiche Eigenfunktion ein:

λ*.∫fn*(x).fn(x) dx = λ.∫fn*(x).fn(x)dx ⇒ λ* = λ

Michelson - Morley – Experiment Lichtuhr

Messung der Relativgeschwindigkeit Uhrenvergleich - die bewegte Uhr erscheint langsamer

Lorentztransformation

Transformation soll c invariant lassen, Übergang für v << c inGalileitransformation x‘ = x + v.t; x = x‘ − v.t; t bleibt untransformiert.

Ansatz: Faktor γ: x‘ = γ.(x + v.t); x = γ.(x‘ − v.t‘) mit γ → 1 für v/c→0

Für t =0 sei Ursprung in S und S‘ gemeinsam, Lichtsignal werde ausgesandt,Ort zum Zeitpunkt t in beiden Systemen betrachtet zur Berechnung von γ: in S: x =c.t, in S‘: x‘ = c.t‘, setze Ansatz für x und x‘ ein:

c.t = γ.(x‘ − v.t‘) = γ.(0 + c.t‘ − v.t‘) = γ.t‘ (c-v) ⇒ t/t‘ = γ.(1 − v/c)

c.t‘ = γ.(x + v.t) = γ.(0 + c.t + v.t) = γ.t.(c+v) ⇒ t/t‘ = 1/[γ.(1 + v/c)]

gibt γ2 = 1/[(1-v/c).(1+v/c)], γ =

( )21

1

cv−

;

zur Berechnung der neuen Transformationsgleichung der Zeit setzt man in x‘ = γ.(x + v.t) für x = γ.(x‘ − v.t‘) ein: x‘ = γ.(γ.(x‘ − v.t‘) + v.t) und ordnet neu: γ.v.t = (1−γ2).x‘ + γ2vt‘ ⇒ t = x‘.(1−γ2)/γv + γ .t‘ = γ .[t‘ + (1/γ 2 – 1).x‘/v] = γ.(t‘ – v.x‘/c2), alsozusammen

Lorentztransformation:

x = γ.(x‘ – v.t‘), y = y‘, z = z‘, 2v.x't .(t'- )c

γ=

x‘ = γ.(x + v.t), y‘ = y, z‘ = z, 2

v xt tc

γ= + .' .( )

Geschwindigkeitsaddition: bewegt sich ein Teilchen in einem System mit v‘ und dieses bewegt sich mit vr gegen ein weiteres System, so misst man

dort als Teilchengeschwindigkeit rr

2

v vvv' v1c

+′=+

Neuformulierung der Mechanik:

Masse m = m0.γ , mit m0 Ruhemasse; Impuls p = m.v = m0.v.γ;Gesamtenergie eines Körpers der Ruhemasse m0 bei v: E = m0c

2.γ , nähertman γ ≈ 1 + ½.(v/c)2 ⇒ E = m0.c

2 + ½.m0.v2

Energiedichte der Hohlraumstrahlung

Der photoelektrische Effekt

Unschärferelation

hxpc

hsinp

sinx

x

x

≈⋅

=

≈

∆∆

∆

∆

νθ

θλ

Operatoren des Elektronenspins: Spinmatrizen

Gibt man Richtung vor (z-Richtung): 2 Einstellungen des Elektronenspins. Faktor h/2 zuerst herausheben und weglassen; am Ende wieder einfügen. Basis zur Messung in z-Richtung η+, η−, Spinoperator in z-Richtung σz mit σz η+ = 1.η+, σz η− = (−1).η−.

Struktur der Zusammenhänge lässt sich mit Matrizen und ihrenEigenvektoren (keine Vektoren im Ortsraum!!) am besten darstellen:

−=

=

= −+ 10

01

1

0

0

1zσηη ; η±, keine EV von

=

01

10xσ

da gilt: σx η+ = η−, σx η− = η+, aber σx ist ebenfalls hermitesch,Eigenvektoren η± sind orthonormale Basis, Eigenwerte ±1, Spinwerte: ± h/2; σx hat andere Eigenvektoren, Messung des Spins in x-Richtung:

σx ξ+ = 1.ξ+, σx ξ− = (−1).ξ−, mit

−=

= −+ 1

1

2

11

1

2

1 ξξ ;

σz, σx haben verschiedene Eigenvektoren, Reihenfolge wichtig:Kommutator

[ ] =

−

−

−=−=

10

01

01

10

01

10

10

01, zxxzxz σσσσσσ

−

=

−

−

−=

02

20

01

10

01

10≠

00

00.

Haben A, B gleiche Eigenvektoren: A ν = a.ν; B ν = b.ν ⇒⇒AB ν = a.b.ν BA ν = b.a.ν und AB = BA das bedeutet:

Reihenfolge der Messungen umkehren gibt dieselben Meßwerte, Operatoren vertauschbar, Kommutator [A, B] = (A B − B A) = 0.

Spinoperator für Messung in x-Richtung

−

=0

0

i

iyσ , ebenfalls

hermitesch mit EV

±

=± i

0

2

1µ , allgemein gilt für die Kommutatoren

[σx, σy] = 2iσz und zyklisch vertauschen, siehe Bsp. oben [σz, σx] = 2iσy

Paulische Spinmatrizen ... σx, σy, σz ... Spinoperator … s = h/2.(σx.ex + σy.ey + σz.ez);

Anzahl der Zustände

2z

2y

2x22 nnn

)mL2h(E ++=

Harmonischer Oszillator und Leiteroperatoren

Klassisches Pendel: m x&& +k.x=0 mit k=m.ω2 erhält man: x(t)=A cos(ωt+α), p(t)= −m ω A sin(ωt+α),

es gilt somit:

−

+=

+=

ωωω m

ipx

m

ipx

m

pxA .

222

2-atomiges Molekül: Standardverfahren Schrödingergleichung:

2.

2

22 xk

m

pH += ⇒ ∫

∞

∞−

=ΨΨ=Ψ

+− 1)(),()(

2222

2

2

22dxxxExx

m

dx

d

m nnnnωh

Struktur besser erkannt, wenn p ⇒ dxdi /h− in A2 im Ausdruck ganz obenund zwei neue Operatoren definiert, die verschiedene Zustände verbinden:

adx

d

mx

m

m

Pix

ma ,

2

ˆ

2

+=

+= hω

ωω

ω†

−=

−=

dx

d

mx

m

m

Pix

m hωω

ωω 2

ˆ

2

nicht hermitesch, daher entspricht ihnen keine Messung.

man kann x und P)

damit darstellen: aam

x += (2

1

ω†), aa

miP −−= (

2ˆ ω † );

für die Quadratbildung braucht man die Kommutatoren: es gilt

[a,a†] = [ ] [ ] ( ) hhh =−−=

−=

−+ ii

iPx

m

ixP

m

im

m

Pix

m

Pix

m

2ˆ,,ˆ

2

ˆ,

ˆ

2ωω

ωωω

ω daher

x2=ωm2

1(a2+a†2+a†a+aa†),

2ˆ 2 ωm

iP −= .(a2+a†2−a†a−aa†), einsetzen für H gibt:

H = ω/2.(a†a+aa†)= ω.(a†a+ h /2); wegen [AB,C] = A[B,C] + [A, C]B: [H, a]= ω[ a†a, a] = ω[ a†, a]a = −h ω a, ebenso [H, a†] = h ω a†; a†, a Leiteroperatoren, denn wenn un(x) Energieeigenfunktion mit EW ωn:a† un(x) = wn

+ (x): (H a†−a† H) un(x) = h ω a†un(x) ⇒ H wn+−ωn wn = h ω wn

+, also H wn

+ = h (ωn+ ω) wn+, analog: a un(x) = wn

−(x) ⇒ H wn− = (ωn− ω) wn

−,

Eigenwertspektrum wird En = h ω(n + ½), Grundzustandsenergie hω/2

Grundzustand a u0(x) = 0, also 0)(0 =

+⋅ xu

dx

d

mx

hω gibt

u0(x) = C.exp(−mωx2/(2h) = h

h24

2xm

em

ω

πω

−

(Normierung); höhere aufbauen mit a† und

Normierung: un(x) = cn a†.un-1 = hn

1 a un-1 = )()(

2 1 xudx

d

mx

n

mn−−

ωω h

h.

Lösungen sind Produkte der Hermitepolynome Hn(x) mit Exponentialfunktion:

H0 (x) = 1, H1(x) =2x, H2(x) = 4x2−2, H3(x)=8x3-12x.

Energieniveaus und Eigenfunktionenbeim harmonischen Oszillator

Doppelspaltexperiment

Beugung von Fullerenmolekülen am Gitter Stern - Gerlach - Experiment

Harmonischer Oszillator, um d ausgelenkter Zustand

d(x) = 2).(

4

2dxm

em , nichtstation. ausgelenkter Zustand gleicher

Breite, da nicht hermitesch: d keine Meßgröße;

für Energiemessung nach Energieeigenzuständen entwickeln:

n ndn 0

x c x( ) mit cn = n*(x) d(x) dx einsetzen

cn2 = 2

22

!1

2

dmn

en

dm . Mittelwert vieler Energiemessungen, der

Erwartungswertn

nn c2 = d*(x) d(x)dx = < | | >, da

d*(x) d(x)dx=

= mnnnm

nmnm

nnnmmm n

nnmm ccdxucucdxucuc,,

= n|cn|2,

Messung gibt Eigenwert (Eigenzustand) oder Erwartungswert (sonst):beides bedeutet *(x) (x)dx

H = t

i zeitabhängige Schrödingergleichung; wird zeitabhängig,

z.B. (x,t) = (x,0) e i Et komplexe Phase fällt beim Quadrieren weg, aber nicht alle Zustände separierbar. Ergebnis Kohärenter Zustand (Breite

bleibt als Funktion der Zeit gleich)2)cos(

2),(tdxm

d emtx

Erwartungswert wird:

)cos(...),(.).,(* /)]cos(.[ 2tdexdxmtxxtxdxx tdxm

dd

mit Variablentransformation x‘ = x – d.cos( t), weil Integral über ungeraden

Teil verschwindet und dxe x2 , also x = d cos t (wie klassisch)

Ehrenfest’sches Theorem und Wellenpakete

Für Erwartungswerte von Wellenpaketen gelten klassische Gesetze: Ehrenfest’sches Theorem. Wellenpakete Lösung freie Schrödingergleichung:

ttxi

xtx

m),(),(

2 2

22 allg. Lsg. tkxkiekatx )()(

21),( ,

in 1 Dimension wähle 2

0 )()( kkeCka ,

aber2k

2m (anders als elektromagnetische Wellen), entwickle

(k)= (k0)+(d /dk)k0 (k-k0) + ½(d2 /dk2)k0 (k-k0)2 +....= 0 + vg(k-k0) + (k-k0)2 + ....

Einsetzen gibt )(4)(

)(

2),( ti

tvxtxki g

eti

eCtx Wellenpaket zerfließt

k und x hängen mit Fouriertransformation zusammen, x k ½, Unschärferelation!