7.6 Distribuzione Esponenziale. 111

7.6. Distribuzione Esponenziale.

Un n.a. continuo X con densita di probabilita

(76) f(x) =

{λe−λx se x ≥ 0,

0 se x < 0,λ ∈ R+

si dice che ha distribuzione esponenziale di parametro λ e si indica conX ∼ Exp(λ).La distribuzione esponenziale viene utilizzata ad esempio quando X rap-presenta

• il tempo di durata di un dispositivo (non soggetto ad usura);• il tempo di attesa del verificarsi di un certo evento (arrivo di un

cliente in una coda, arrivo di una telefonata).

FIGURA 7.3. Densita Esponenziale

L’area sotto la curva y = f(x) al crescere del parametro λ si concentrasempre piu verso l’origine.Ricordiamo che l’area totale sotto la curva e uguale a 1. Infatti∫ +∞

−∞ f(x) =∫ +∞

0 λe−λxdx = [−e−λx]+∞0 = 1 .

La distribuzione esponenziale e l’analogo nel continuo della distribuzionegeometrica. Infatti nel discreto il tempo di attesa puo esser visto come ilnumero di prove necessarie per il verificarsi di un evento (numero di lancidi una moneta fino a quando per la prima volta esce testa).La funzione di ripartizione e data da

F (x) =

{∫ x0λe−λtdt , se x > 0,

0 , se x ≤ 0.

G.Sanfilippo

7.6 Distribuzione Esponenziale. 112

Osservando che∫ x

0λe−λtdt = [−e−λt]x0 = 1− e−λx, si ottiene

F (x) =

{1− e−λx , se x > 0,

0 , se x ≤ 0.

FIGURA 7.4. Funzione di Ripartizione della distribuzione Esponenziale

La funzione S(x) = 1 − F (x) = P (X > x), detta funzione di sopravvi-venza, e data da

S(x) =

{e−λx , se x > 0,

1 , se x ≤ 0,

La previsione e

P(X) =∫ +∞

0xλe−λxdx = · · · = 1

λ,

mentreP(X2) =

∫ +∞0

x2λe−λxdx = · · · = 2λ2 .

Quindi la varianza e lo scarto sono rispettivamente

V ar(X) = P(X2)− [P(X)]2 = 1λ2 ,

σX = 1λ.

Lo scarto quadratico medio coincide con la previsione.

Nota: il calcolo diretto della previsione e della varianza di X si puo evi-tare utilizzando la funzione Gamma (vedi distribuzione beta).

Proprieta di Assenza di memoria. Un numero aleatorio continuo e nonnegativo X ha distribuzione esponenziale se e solo se vale la seguenteproprieta (detta di assenza di memoria)

(77) P (X > x0 + x|X > x0) = P (X > x), ∀x0, x ∈ R+0 .

Se X rappresenta il tempo (aleatorio) fino al guasto di un dispositivo, laproprieta di assenza di memoria ha il seguente significato: supposto che il

G.Sanfilippo

7.6 Distribuzione Esponenziale. 113

dispositivo non si guasti sino al tempo x0, la probabilita che non si guasti perun ulteriore tempo x e la stessa che il dispositivo non si guasti nell’intervallo[0, x].Tale proprieta e valida per le apparecchiature che, durante il loro funziona-mento, non sono soggette ad usura (o, piu realisticamente, quando l’usura etrascurabile).dim.(⇒) Hp) X ∼ Exp(λ); Th) vale la (77).

P (X > x0 + x|X > x0) = P (X>x0+x,X>x0)P (X>x0)

=

= P (X>x0+x)P (X>x0)

= S(x0+x)S(x0)

= e−λ(x0+x)

e−λx0= e−λx =

= S(x) = P (X > x) .

(⇐)Hp) vale la (77); Th) X ∼ Exp(λ).Da quanto visto nella precedente dimostrazione la proprieta di assenza dimemoria si puo scrivere anche come:

S(x0 + x)

S(x0)= S(x) ,

cioeS(x+ x0) = S(x)S(x0) .

Essendo la funzione di sopravvivenza definita come 1 − F (x), con F (x)crescente, allora S(x) e positiva e decrescente e quindi

S(x) > 0, S ′(x) < 0, ∀x ∈ R.Osserviamo che

S′(x+x0)S(x+x0)

= S(x0)S′(x)S(x0)S(x)

= S′(x)S(x)

= −λ, λ > 0,

quindiD[ln(S(x))] = S′(x)

S(x)= −λ⇒

ln(S(x)) = −λx+ k ,

alloraS(x) = e−λxek .

Essendo X un n.a. non negativo, si ha S(0) = 1, per cui ek = 1. Allora

S(x) = e−λx ,

ovvero X ∼ Exp(λ).

G.Sanfilippo

7.7 Distribuzione normale standard 114

7.7. Distribuzione normale standard

Un n.a. continuo X , con densita di probabilita

(78) f(x) = 1√2πe−

x2

2 , x ∈ R ,si dice che ha distribuzione normale standard (di parametri 0,1) e si indicacon X ∼ N0,1 = N . La densita f(x) si indica con N(x), mentre la funzio-ne di ripartizione F (x) si indica con Φ(x). Di tale funzione non e possibiledare un’espressione, ma si possono cercare soltanto alcuni valori riportatisu apposite tavole.

Alcune proprieta:

1. il diagramma della densita ha un andamento a forma di campana (conil massimo nell’origine e due flessi in x = −1, x = 1) ed e simmetricorispetto all’asse y, cioe N(x) e una funzione pari (N(−x) = N(x));

2. dalla simmetria di N(x), per ogni x ∈ R si ha Φ(−x) = 1 − Φ(x),e quindi

P (|X| ≤ x) = P (−x ≤ X ≤ x) =∫ x−xN(t)dt =

= Φ(x)− Φ(−x) = 2Φ(x)− 1 ;

P (|X| > x) = 1− P (|X| ≤ x) = 2[1− Φ(x)] ;

3. in particolare

Φ(1) ' 0.8413 , Φ(2) ' 0.9772 , Φ(3) ' 0.9987 ,

e quindiP (|X| ≤ 1) = 2Φ(1)− 1 ' 0.6826 ;

P (|X| ≤ 2) = 2Φ(2)− 1 ' 0.9544 ;

P (|X| ≤ 3) = 2Φ(3)− 1 ' 0.9974 .

Calcoliamo la previsione di X . Osservando che xN(x) e una funzionedispari si ha

P(X) =∫ +∞−∞ x 1√

2πe−

x2

2 dx =∫ 0

−∞ x1√2πe−

x2

2 dx+∫ +∞

0x 1√

2πe−

x2

2 dx =

(posto y = −x) = −∫ 0

+∞ y1√2πe−

y2

2 (−dy) +∫ +∞

0x 1√

2πe−

x2

2 dx =

= −∫ +∞

0y 1√

2πe−

y2

2 dy +∫ +∞

0x 1√

2πe−

x2

2 dx = 0 .

Oppure, poiche∫ +∞0

x 1√2πe−

x2

2 dx =∫ +∞

01√2πe−tdt = 1√

2π,

si haP(X) = − 1√

2π+ 1√

2π= 0.

G.Sanfilippo

7.8 Distribuzione Normale 115

Si puo verificare che

P(X2) =

∫ +∞

−∞x2N(x)dx = · · · = 1 ,

e quindi:V ar(X) = P(X2) = 1 .

7.8. Distribuzione Normale

In generale, si dice che X ha una distribuzione normale di parametri m,σ,con m ∈ R, σ > 0, se la densita di X ha la seguente forma:

(79) f(x) = Nm,σ(x) = 1√2π σ

e−(x−m)2

2σ2 , x ∈ R .

In simboli, si scrive: X ∼ Nm,σ. La funzione di ripartizione si indica conΦm,σ(x).

Il diagramma della densita ha un andamento a forma di campana (con ilmassimo in x = m e due flessi in x = m− σ, x = m+ σ) ed e simmetricorispetto alla retta x = m.

Dato un numero aleatorio X ∼ Nm,σ consideriamo il numero aleatorioY = aX + b, con a > 0, b ∈ R. Si ha Y ∼ Nam+b,aσ. Infatti, indicando conG la funzione di ripartizione di Y e g la sua densita, si ha:

G(y) = P (Y ≤ y) = P (X ≤ y − ba

) = Φm,σ(y − ba

) ,

e quindi

g(y) = G′(y) = Φ′m,σ(y − ba

) · 1

a= Nm,σ(

y − ba

) · 1

a=

=1

a

1√2π σ

e−( y−ba −m)

2

2σ2 =1√

2π aσe− (y−(am+b))2

2(aσ)2 =1√

2π σye− (y−my)2

2σ2y =

= NmY ,σY (y) ,

dove

(80) mY = am+ b , σY = aσ .

Pertanto Y ∼ Nmy ,σy . Se invece consideriamo il numero aleatorio Y =aX+b, con a < 0, b ∈ R si puo dimostrare, procedendo in maniera analogaa quanto fatto nel caso a > 0, che risulta Y ∼ NmY ,σY , con

(81) mY = am+ b , σY = −aσ .

In altri termini, se dal n.a. X , con distribuzione normale, si passa al n.a.

G.Sanfilippo

7.8 Distribuzione Normale 116

Y = aX + b, con a 6= 0, la distribuzione rimane di tipo normale, con i pa-rametri che cambiano come indicato nella (80), oppure (81). In particolare,se Z = aX + b, con a = 1

σ, b = −m

σ, ovvero Z = X−m

σ, si ha

(82) mZ =1

σm+ (−m

σ) = 0 , σZ =

1

σσ = 1 ,

cioe la distribuzione di Z e una normale standard, ovvero Z ∼ N0,1. Allora,tenendo conto che, se Z = X−m

σ, si ha P(Z) = 0, σZ = 1, e che X =

σZ +m, si ottiene

P(X) = P(σZ +m) = m, σ2X = V ar(σZ +m) = σ2 .

Pertanto i parametri m,σ di un numero aleatorio X ∼ Nm,σ sono rispetti-vamente la previsione e lo scarto quadratico medio. Lo stesso risultato sipuo ottenere con calcoli diretti, verificando che

P(X) =

∫ +∞

−∞xNm,σ(x)dx = · · · = m,

V ar(X) =

∫ +∞

−∞(x−m)2Nm,σ(x)dx = · · · = σ2 .

Sia X ∼ Nm,σ, e per ogni x ∈ R consideriamo l’evento (X ≤ x). Si ha

(X ≤ x)⇐⇒(X −mσ

≤ x−mσ

).

Inoltre, poiche

Z =X −mσ

∼ N0,1 ,

si ha

Φm,σ(x) = P (X ≤ x) = P(X−mσ≤ x−m

σ

)= P

(Z ≤ x−m

σ

)= Φ(x−m

σ) .

Inoltre, per ogni k > 0, si ha

P (|X −m| ≤ kσ) = P (m− kσ ≤ X ≤ m+ kσ) =

= Φm,σ(m+ kσ)− Φm,σ(m− kσ) = Φ(m+kσ−mσ

)− Φ(m−kσ−mσ

) =Φ(k)− Φ(−k) =

= 2Φ(k)− 1 .

In particolare• P (m− σ ≤ X ≤ m+ σ) = 2Φ(1)− 1 = 0.6826• P (m− 2σ ≤ X ≤ m+ 2σ) = 2Φ(2)− 1 = 0.9544• P (m− 3σ ≤ X ≤ m+ 3σ) = 2Φ(3)− 1 = 0.9974• P (m− 1.96σ ≤ X ≤ m+ 1.96σ) = 2Φ(1.96)− 1 = 0.95

Come mostrano le formule precedenti, utilizzando le tavole della distribu-zione normale standard e possibile calcolare i valori di una distribuzionenormale con parametri m,σ arbitrari.

G.Sanfilippo

7.10 Distribuzione Beta. 117

7.9. Funzione Gamma

La funzione Γ(·) e cosı definita

(83) Γ(α) =

∫ +∞

0

xα−1e−xdx, ∀α ∈ R+.

Applicando l’integrazione per parti a Γ(α + 1) si ottiene

Γ(α + 1) = αΓ(α)

infatti postoh(x) = xα h′(x) = αxα−1

g(x) = −e−x g′(x) = e−x

si haΓ(α+ 1) =

∫ +∞0 xαe−xdx =

∫ +∞0 h(x)g′(x)dx =

= [h(x)g(x)]+∞0 −∫ +∞

0 h′(x)g(x)dx =

= [−xαe−x]+∞0︸ ︷︷ ︸=0

+α∫ +∞

0 xα−1e−xdx = αΓ(α).

In particolare

Γ(1) =∫ +∞

0 x1−1e−xdx =∫ +∞

0 e−xdx = 1

e quindi se considero solo i valori interi di α si ha

Γ(n+ 1) = nΓ(n) = . . . = n!Γ(1) = n! n ∈ N

La funzione Γ applicata al numero intero n restituisce il fattoriale di n− 1.

7.10. Distribuzione Beta.

Dati due parametri r, s entrambi positivi, un n.a. continuo X con densita diprobabilita data da

(84) Br,s(x) =

{Γ(r+s)

Γ(r)Γ(s)xr−1(1− x)s−1, se x ∈ (0, 1),

0, altrimenti

si dice che ha distribuzione beta, di parametri r ed s, e si indica nel seguentemodo: X ∼ Br,s(x).La distribuzioneBr,s(x) con r, s = 1 diviene la distribuzione U(0, 1), infattiper x ∈ (0, 1)

Γ(r+s)Γ(r)Γ(s)

xr−1(1− x)s−1 =

= Γ(2)Γ(1)Γ(1)

x0(1− x)0 = 1!0!0!

= 1 .

Alcuni grafici della funzione densita al variare dei parametri r, s sono illu-strati nelle Figure 7.6, 7.8, 7.10.Si puo dimostrare che∫ 1

0xr−1(1− x)s−1dx = Γ(r)Γ(s)

Γ(r+s),

G.Sanfilippo

7.10 Distribuzione Beta. 118

FIGURA 7.5. Beta r=1, s=1

FIGURA 7.6. Beta r=1.5, s=0.5

FIGURA 7.7. Densita Beta, r=0.5, s=0.5

pertanto ∫ +∞−∞ Br,s(x)dx =

∫ 1

0Γ(r+s)

Γ(r)Γ(s)xr−1(1− x)s−1dx =

= Γ(r)Γ(s)Γ(r+s)

Γ(r+s)Γ(r)Γ(s)

= 1.

La previsione di X e data da

P(X) =∫ +∞−∞ xBr,s(x)dx =

∫ 1

0Γ(r+s)

Γ(r)Γ(s)xr(1− x)s−1dx =

= Γ(r+s)Γ(r)Γ(s)

Γ(r+1)Γ(s)Γ(r+s+1)

= Γ(r+s)Γ(r)Γ(s)

(r)Γ(r)Γ(s)(r+s)Γ(r+s)

= rr+s

.

G.Sanfilippo

7.11 Distribuzione Gamma. 119

FIGURA 7.8. Densita Beta, s=1

FIGURA 7.9. Densita Beta, r=3, s=1.5

FIGURA 7.10. Densita Beta, r=3.5, s=3.5

In modo analogo si prova che

P(X2) =∫ +∞−∞ x2Br,s(x)dx = Γ(r+s)

Γ(r)Γ(s)

∫ 1

0xr+1(1− x)s−1dx =

= r(r+1)(r+s)(r+s+1)

,

e quindi

V ar(X) = P(X2)− [P(X)]2 = rs(r+s)2(r+s+1)

.

G.Sanfilippo

7.11 Distribuzione Gamma. 120

7.11. Distribuzione Gamma.

Data la funzione Γ(·)

(85) Γ(α) =

∫ +∞

0

xα−1e−xdx, ∀α ∈ R+

e posto x = λy, con λ > 0, si ha

(86) Γ(α) =

∫ +∞

0

λαyα−1e−λydy, ∀α ∈ R+

Un numero aleatorio X ha distribuzione gamma di parametri α > 0, λ > 0e si indica con X ∼ Gα,λ se la sua densita e

Gα,λ(x) =λα

Γ(α)xα−1e−λx, x > 0.

A volte al posto di λ come parametro si utilizza Θ = 1λ

. In tal caso si ha

Gα,θ(x) =xα−1e−

xθ

λαΓ(α), x > 0.

Il parametro Θ dicesi parametro di scala e il parametro α dicesi parametrodi forma. E’ facile verificare che∫ +∞

0

λα

Γ(α)xα−1e−λxdx =

Γ(α)

Γ(α)= 1.

Se X ∼ Gk,λ, con k ∈ N, la distribuzione Gamma dicesi anche distribuzio-ne di Erlang.

ESERCIZIO 7.2. Verificare che la funzione di ripartizione di un numeroaleatorio X ∼ Gk,λ, con k ∈ N, e data da

F (x) = P (X ≤ x) = 1−P (X > x) = 1−k−1∑i=0

(λx)i

i!e−λx = 1−P (Y ≤ k−1),

con Y numero aleatorio con distribuzione di Poisson di parametro λx, cioeY ∼ P(λx).

Se α = 1 si ottiene Gα,λ = Exp(λ). Pertanto un numero aleatorio Xcon distribuzione esponenziale di parametro λ e un numero aleatorio condistribuzione gamma di parametro α = 1 e λ. Il grafico, per λ = 1, erappresentato in Figura 9.7. Nelle Figure 9.8, 9.9, 9.10 sono rappresentate,rispettivamente, le distribuzioni G2,1, G4,1, G8,1.

ESERCIZIO 7.3. Verificare che per un numero aleatorio X ∼ Gα,λ si ha

P(X) =α

λ, σ2

X =α

λ2.

Infatti

P(X) =

∫ +∞

0

xλα

Γ(α)xα−1e−λxdx =

1

λΓ(α)

∫ +∞

0

λα+1xαe−λxdx =

G.Sanfilippo

7.11 Distribuzione Gamma. 121

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 4 6 8 10x

FIGURA 7.11. Exp(λ), λ = 1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

2 4 6 8 10x

FIGURA 7.12. Gα,λ, α = 2, λ = 1

=Γ(α + 1)

λΓ(α)=α

λ.

Inoltre, poiche

P(X2) =

∫ +∞

0

x2 λα

Γ(α)xα−1e−λxdx =

Γ(α + 2)

λ2Γ(α)=α(α + 1)

λ2

G.Sanfilippo

7.11 Distribuzione Gamma. 122

0

0.05

0.1

0.15

0.2

2 4 6 8 10x

FIGURA 7.13. Gα,λ, α = 4, λ = 1

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20x

FIGURA 7.14. Gα,λ, α = 8, λ = 1

si ha

σ2X = P(X2)− [P(X)]2 =

α(α + 1)

λ2− α2

λ2=

α

λ2.

G.Sanfilippo

7.11 Distribuzione Gamma. 123

FIGURA 7.15. Densita di probabilita di alcune distribuzionidi Erlang. Fonte Wikipedia

G.Sanfilippo

CAPITOLO 8

Affidabilita

124

8.1 Affidabilita 125

8.1. Affidabilita

Ricordiamo che, dato un n. a. X non negativo con distribuzione esponen-ziale di parametro λ, vale la seguente proprieta di assenza di memoria

(87)P (X > x+ y |X > y) = P (X > x) = · · · =

= e−λx , ∀x > 0 , y > 0 .

Dalla (87), considerando l’evento contrario, si ottiene

(88)P (X ≤ x+ y |X > y) = P (X ≤ x) =

= 1− e−λx , ∀x > 0 , y > 0 ,

e, piu in generale,

(89)

P (x+ y < X ≤ x+ y + ∆x |X > y) =

= P (x < X ≤ x+ ∆x) = F (x+ ∆x)− F (x) =

= (1− e−λ(x+∆x))− (1− e−λx) =

= e−λx(1− e−λ∆x) , ∀x > 0 , y > 0 .

Se la distribuzione di X non e esponenziale le formule precedenti nonvalgono e, per fissati valori x, y, potra risultare

(90) P (X > x+ y |X > y) < P (X > x) ,

oppure

(91) P (X > x+ y |X > y) > P (X > x) ,

o in casi particolari

(92) P (X > x+ y |X > y) = P (X > x) .

Se X rappresenta il tempo aleatorio fino al guasto di una data apparecchia-tura, il fatto che vale la (87) corrisponde all’assenza di usura, mentre la (90)e la (91) corrispondono rispettivamente al caso di usura positiva (invecchia-mento dell’apparecchiatura) e di usura negativa (ringiovanimento dell’ap-parecchiatura).Indicando con f(x) la densita di probabilita e con S(x) la funzione disopravvivenza, se consideriamo l’evento condizionato (x < X ≤ x +∆x |X > x), con ∆x abbastanza piccolo , si ha (sotto opportune condi-zioni)

(93)P (x < X ≤ x+ ∆x |X > x) = P (x<X≤x+∆x)

P (X>x)=

=∫ x+∆xx f(x)dx

S(x)' f(x)∆x

S(x)= h(x)∆x .

G.Sanfilippo

8.1 Affidabilita 126

La funzione non negativa h(x) = f(x)S(x)

si chiama funzione di rischio (ointensita, o tasso di avaria) di X e, come abbiamo visto, permette di appros-simare P (x < X ≤ x+ ∆x |X > x) con h(x)∆x.Assegnare f(x) e equivalente ad assegnare h(x). Infatti, data la densitaf(x), si ha

S(x) =

∫ +∞

x

f(t)dt , h(x) =f(x)∫ +∞

xf(t)dt

·

Viceversa, data la funzione di rischio h(x), si ha

h(x) =f(x)

S(x)= −S

′(x)

S(x),

e quindiS ′(x)

S(x)= DlnS(x) = −h(x) .

AlloralnS(x) = −

∫ x

0

h(t)dt+ c ,

dove c e una costante arbitraria. Ricordando che per un n.a. non negativo eS(0) = 1, si ha lnS(0) = c = 0 e quindi

(94) S(x) = e−∫ x0 h(t)dt ,

da cui segue

(95) f(x) = h(x)S(x) = h(x)e−∫ x0 h(t)dt .

La funzione di rischio, oltre ad essere non negativa, soddisfa la seguenteproprieta ∫ +∞

0

h(x)dx = +∞ .

Infatti tale condizione segue dalla (94), osservando che

limx→+∞

S(x) = limx→+∞

∫ +∞

x

f(t)dt = 0 .

Osserviamo anche che, come appare dalla (93), se la funzione di rischioh(x) e crescente l’apparecchiatura subisce un’usura positiva (invecchia-mento). Infatti, si ha

P (x < X ≤ x+ ∆x |X > x) = S(x)−S(x+∆x)S(x)

=

= · · · = 1− e−∫ x+∆xx h(t)dt ,

da cui, se h(x) e crescente, per x1 < x2 si ha∫ x1+∆x

x1

h(t)dt <

∫ x2+∆x

x2

h(t)dt .

Allora1− e−

∫ x1+∆xx1

h(t)dt< 1− e−

∫ x2+∆xx2

h(t)dt,

G.Sanfilippo

8.1 Affidabilita 127

e quindiP (x1 < X ≤ x1 + ∆x |X > x1) <

< P (x2 < X ≤ x2 + ∆x |X > x2) .

Con lo stesso ragionamento, si dimostra che se h(x) e decrescente c’e usuranegativa (ringiovanimento).Infine, il caso in cui h(x) e costante (assenza di usura) e caratteristico delladistribuzione esponenziale. Infatti, se

f(x) = λe−λx , ∀x ≥ 0 ,

allora

h(x) =f(x)

S(x)=λe−λx

e−λx= λ .

Viceversa, se h(x) = cost = λ > 0, allora

f(x) = h(x)S(x) = λe−∫ x0 λdt = λe−λx , ∀x ≥ 0 .

Alcuni modelli particolari di funzioni di rischio sono:

(a) h(x) = α + βx; (b) h(x) = cxβ .

Nel caso (a) (modello lineare), essendo

h(x) ≥ 0 ,

∫ +∞

0

h(x)dx = +∞ ,

segue che le costanti α e β devono essere non negative ed almeno unapositiva, cioe devono soddisfare le condizioni

α ≥ 0 , β ≥ 0 , α + β > 0 .

Pertanto, nel caso β > 0, h(x) e crescente, mentre nel caso β = 0, h(x)e costante e la corrispondente distribuzione e esponenziale di parametro α.Con il modello lineare, quindi, non si puo rappresentare la situazione diusura negativa.Nel caso (b), dalle proprieta di h(x) segue intanto che dev’essere c > 0.Inoltre, non puo essere β ≤ −1, altrimenti, per ogni fissato x > 0, siavrebbe ∫ x

0

ctβdt = +∞ ,

e quindi risulterebbe

S(x) = e−∫ x0 ctβdt = 0 , ∀x > 0 .

Pertanto, dev’essere β > −1 e possiamo distinguere tre casi:

(i) − 1 < β < 0; (ii) β > 0; (iii) β = 0.

Nel primo caso h(x) e decrescente e quindi siamo in presenza di usura ne-gativa; nel secondo caso h(x) e crescente (usura positiva); nel terzo casoh(x) e costante (assenza di usura) e la distribuzione e esponenziale di para-metro c.

G.Sanfilippo

8.1 Affidabilita 128

La distribuzione di probabilita corrispondente alla funzione di rischio h(x) =cxβ e detta distribuzione di Weibull ed ha la seguente densita

f(x) = cxβe−∫ x0 ctβdt = cxβe−

cβ+1

xβ+1

.

G.Sanfilippo