Post on 21-Jan-2020
∆u e Consolidazione
1
Condizioni non drenate nei terreni a grana fine
In un terreno a grana fine saturo soggetto a variazioni di stato tensionale,sono possibili variazioni di volume (εv) solo per effetto di variazioni di massa (contenuto) d’acqua presente nei pori: ∆∆∆∆w ≠≠≠≠ 0 ⇒⇒⇒⇒ εεεεv ≠≠≠≠ 0
All’istante iniziale (t = 0) del processo di variazione delle tensioni totali (∆σ),il drenaggio (che implica variazioni di contenuto d’acqua) è impedito: ∆∆∆∆w = 0 ⇒⇒⇒⇒ εεεεv ≅≅≅≅ 0
0t =
u σ′∆ σ∆
Per il calcolo degli incrementi di tensione totale ∆σ = f(P,ν), e anche dei cedimenti w = f(∆σ, E,ν)il terreno saturo bifase è trattabile come mezzo elastico monofase (equivalente)incompressibile (εv ≅ 0) ma capace di deformarsi per distorsione (εs ≠ 0).
0v =ε
uuE ν,
∞≠=ν+
=
∞=ν−
=
3
E
12
EG
213
EK
u
u
u
u
u
)(
)(
aledistorsion rigidezza
avolumetric rigidezza
Ciò equivale ad assumere νννν=ννννu=0.5 e pertanto:
z
∆u e Consolidazione
2Approcci per le analisi delle condizioni non drenate
Le variazioni di pressioni interstiziali sono accoppiate a quelle di tensioni efficaci (∆σ = ∆σ’ + ∆u)e la ripartizione di ∆σ tra le fasi è ottenibile imponendo la congruenza.
Sono possibili quindi due diversi approcci per l’analisi degli stati tensionali e deformativi indotti da un processo di carico in condizioni non drenate (o ”di breve termine” o ”a t=0”):
Approccio alle… tensioni totali tensioni efficaci
incrementi tensioni totali ∆σ = f(P, νu)incrementi tensioni totali ∆σ = f(P, νu)
incrementi pressioni interstizialiIgnoti
∆u = f(∆σ)
incrementi tensioni efficaci ∆σ’ = ∆σ - ∆u
caratterizzazione terreno monofase equivalente (Eu ; νu = 0.5) scheletro solido (E’ ; ν’)
calcolo deformazioni ε = f(∆σ, Eu, νu) ε = f(∆σ’, E’, ν’)
L’approccio alle tensioni totali è più pratico, quello alle tensioni efficaci più rigoroso.In linea di principio, dovrebbero fornire risultati congruenti nell’ipotesi di validità della teoria elastica.
)'1(2
'E'G
3
E
)1(2
EG u
u
uu
ν+=≡=
ν+=In particolare se:
∆u e Consolidazione
3Parametri di pressione interstiziale
La definizione dei ‘coefficienti di ripartizione’ esprime in genere ∆u = f(∆σ) separando i contributi di componente sferica e deviatorica della sollecitazione
Skempton (1954) definì i c.d. ‘parametri di pressione interstiziale’ A e Briferendosi a condizioni di compressione cilindrica (p. es. prove triassiali)
[ ])(AB),(fu 31331 σ∆−σ∆+σ∆=σ∆σ∆=∆
1σ1σ
31 ∆σ∆ −σ
3Bu σ∆=∆ )(BAu 31 σ∆−σ∆=∆incremento (sferico) di σσσσ3 ⇒⇒⇒⇒ incremento di σσσσ1 ⇒⇒⇒⇒
3σ∆
3σ 3σ
3B σ∆
q
upp ,, ′
q
upp ,, ′
3B σ∆)∆σBA(∆ 31 −σ
∆u e Consolidazione
4Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - I
Applicazione di compressione isotropa 321p σ∆=σ∆=σ∆=∆ ad un terreno bifase
Variazioni di volume (infinitesime) per scheletro solido e fluido:
∆=
∆=∆
∆=
∆=∆
VK
'pV
K
'pV
nVK
uV
K
uV
ss
ss
ss
ss
f
f
f
f
)up(K
'pK
uVV ff ∆−∆=∆=∆⇒∆=∆ )up(nK
K'p
nK
KuVV
ss
f
ss
fssf ∆−∆=∆=∆⇒∆=∆
⇒σ∆
+
≡∆
+
=∆ 3
f
ss
f
ss
K
Kn1
1p
K
Kn1
1u
Imponendo la congruenza:
Riordinando:
f
ss3
K
Kn1
1B
u
p
u
+
==σ∆
∆=
∆
∆
∆u e Consolidazione
e5
Considerando che Kw (≅ 2000 MPa) >> Kss (1 ÷ 100 MPa) >> Kg (≈ 0), sarà:
• terreno saturo 1
K
Kn1
1B
w
ss
≅
+
= (∆σ è tutto ‘a carico dell’acqua’)
• terreno asciutto 0
K
Kn1
1B
g
ss
≅
+
= (∆σ è tutto ‘a carico dello scheletro solido’)
Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - II
• terreno non saturo ] [1,0
K
K)S1(n
K
KnS1
1B
g
ss
w
ss
∈
−++
= (∆σ ripartito tra le fasi)
Nei terreni non saturi, il coefficiente B dipende quindi dalla combinazione di:
• porosità n • grado di saturazione S• rigidezza Kss dello scheletro solido
q
u,p,p ′
0u0S =∆⇒=
pu1S ∆=∆⇒=
∆u e Consolidazione
6
Applicazione di un incremento di deviatore 31 σ∆−σ∆ ad un terreno bifase
Dalla condizione3
K
Kn1
1p
K
Kn1
1u 31
f
ss
f
ss
σ∆−σ∆
+
≡∆
+
=∆ risulta:3
1
K
Kn1
1uAB
f
ss31 +
=σ∆−σ∆
∆=&
Se il terreno è saturo, risulta e poiché B=1,
Per ‘percorsi di estensione’ (∆q<0)
3
1AB ≅
3
1A =
2A =
q3
qu
∆=∆
q∆
Parametri di pressione interstiziale in mezzo bifase elastico - III
si dimostra invece che3
2A =
In realtà, i coefficienti A sono tutt’altro che conformi a questi valori teorici!
Argilla sensitiva 0.7 – 1.5
Argilla molle 0.5 – 1.0
Argilla di media consistenza 0.0 – 0.5
Argilla molto consistente -0.5 – 0.0
Valori sperimentali tipici di A:
u,p,p ′
q∆si dimostra invece che
q∆In ogni caso, in ipotesi di elasticità,il percorso di tensioni efficaci è verticale q
3
2u ∆=∆
∆u e Consolidazione
7Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi
Condizione di continuità di terreno saturo, caso monodimensionale (vx=vy=0):
dtdzdAt
ndAdtdz
z
vz ⋅∂
∂=⋅
∂
∂−
Indicando con
γ+ζ
∂
∂−=
∂
∂−=
w
z
u
zk
z
hkv
Ipotizzando costante la variazione temporale della tensione totale dx
dy
zv
t
n
z
vz
∂
∂=
∂
∂−⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒
2
2
z
w
v k u
z zγ
∂ ∂− =
∂ ∂
�
�
u l’incremento di pressione interstiziale (sovrappressione),
Ipotizzando costante la variazione temporale della tensione totale
'
1
z
v z
ed ed
ue t tne E E
σ
ε ε
∂ ∂∆ ∂ ∂−∆ = − = = = = −+
uguagliando la � alla � e introducendo la �,la condizione di continuità è esprimibile in funzione della sola
2
2
1
w ed
k u u
z E tγ
∂ ∂=
∂ ∂
dz
dx
dzz
vv z
z∂
∂+
1
ed
n u
t E t
∂ ∂=
∂ ∂⇒⇒⇒⇒ �
0z zu
t t t
σ σ ′∂ ∂ ∂= − =
∂ ∂ ∂
( , )u z t
si ha:
∆u e Consolidazione
8Consolidazione monodimensionale - Teoria di Terzaghi
2
2v
u uc
t z
∂ ∂
∂ ∂=
[ ]12
w
edv TL
kEc −
γ=
L’equazione reggente la consolidazione monodimensionale è in definitiva :
avendo definito il coefficiente di consolidazione verticale
ed è integrabile purchè siano assegnate:
• condizioni al contorno
• distribuzione iniziale delle sovrappressioni
(dall’analisi in condizioni non drenate)
La soluzione è rappresentabile mediante curvedette isocrone (distribuzioni, per un fissato t, di
tu
( )t
u z
∆u e Consolidazione
9Consolidazione monodimensionale – Soluzione analitica
Nel caso più elementare (riprodotto ad es. nell’edometro), si ha:
• sovraccarico uniforme ∆σ (⇒ isocrona iniziale rettangolare, u0 = ∆σ) • drenaggio da entrambe le superfici (⇒ ut(0) = ut(2H) = 0)
σσσσ
∆σ∆σ∆σ∆σ
u0
u
2H
wu
u(z,t)
t
La soluzione analitica è:
20
0
2( , ) sin( ) n (2 1)
2
n T
i
uu z t nZ e i
n
π∞−
=
= ⋅ = + ∑
H
zZ =
2v
H
tcT =dove si è posto e (fattore tempo)
(H = massimo percorso della particella d’acqua ≡ ½ altezza strato)
z z
u(z,t)
∆u e Consolidazione
10Consolidazione monodimensionale – Soluzione adimensionale
Rappresentazione grafica in termini di isocrone adimensionali u(Z,T)/σσσσ
zZ =
HZ =
σσ′
∆u e Consolidazione
11Consolidazione monodimensionale – grado di consolidazione
In generale, conviene esprimere l’andamento del fenomeno mediante:
• grado di consolidazione
• grado di consolidazione medio
0
( , )( , ) 1
( )
u z tU z t
u z= −
0
0
0
0
0
( , )
( ) 1
( )
z H
z
z H
z
u z t dz
U t
u z dz
+
+= −
∫
∫
cw
w
)t(wU =
significato geometricoa b
BA C
ABU
AC= area abdca
Uarea abeca
=
z/H=1
a b
c de
20
20
2( ) 1 n (2 1)
2
n T
i
uU t e i
n
π∞−
=
= − ⋅ = +
∑
∆u e Consolidazione
12Consolidazione monodimensionale – Soluzione sintetica
20
20
2( ) 1 n (2 1)
2
n T
i
uU t e i
n
π∞−
=
= − ⋅ = +
∑
2
0
1( ) ( , )
H
ed
w t t z dzE
σ ′= ∫ [ ]0w0)z,0( 0 =⇒=σ′
Inoltre, stante l’ipotesi di linearità del legame costitutivo:
2 2
0
0 0
1 1( ) ( , ) ( )
H H
c
ed ed
w w z dz u z dzE E
σ ′= ∞ = ∞ =∫ ∫
( ) ( )( )
( )c
w t w tU t
w w= =
∞Si ha:
∆u e Consolidazione
13Consolidazione monodimensionale – Soluzione sintetica
Calcolato il cedimento di consolidazione wc per uno strato con H e cv noti,la curva di consolidazione (relazione cedimenti-tempi w:t) si ottiene:
1. fissando t → determinando il corrispondente T
2. calcolando il valore U(T) → w(t) = U(T)⋅wc
2v
H
tcT =
∆u e Consolidazione
14
0.0
0.2
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20
Fattore tempo, T
Gra
do
di
co
nso
lid
azio
ne
, U
kE
c z
uc
t
u
w
edv2
2
v
γ=
∂
∂=
∂
∂
Equazione della consolidazione monodimensionale
0.0
0.2
0.001 0.01 0.1 1 10
Fattore tempo, T
Gra
do
di
co
ns
oli
da
zio
ne
, U
197.05.0 ==UT
Curva di consolidazione teorica
H
tcT
)T(U1/u
)T(Uww(t)
2vc
=
−=σ∆∆
⋅=⇒
0.4
0.6
0.8
1.0
Gra
do
di
co
nso
lid
azio
ne
, U
0.4
0.6
0.8
1.0
Gra
do
di
co
ns
oli
da
zio
ne
, U
La funzione U(T) è approssimabile con la formula di Sivaram & Swamee (1977)
179.08.2
5.0
T4
1
T4
U
π+
π=
357.06.5
2
v]U1[
U)4/(T
−
π=⇔
197.05.0 ==UT
848.09.0 ==UT
∆u e Consolidazione
e15
Consolidazione monodimensionale – Casi non elementari
Il caso dell’isocrona iniziale rettangolare è valido per la condizione di carico indefinito su strati con uno o doppio contorno drenante.
Altre soluzioni del problema 1D sono di interesse applicativo per l’analisi della consolidazione indotta da sovraccarichi o da variazioni delle condizioni idrauliche
1. Isocrone iniziali triangolari, strato drenato da entrambi i lati
Soluzione � = combinazione di � e �
∆u e Consolidazione
16
Consolidazione monodimensionale – Casi non elementari
Sia la � che la � presentano:
isocrone asimmetriche rispetto a metà strato U(T) identiche al caso �
• stavolta le U(T) sono diverse caso per caso
• per un fissato T, risulta: U� > U� > U�
2. Isocrone iniziali triangolari, strato drenato solo da un lato
NB: la velocità di consolidazione è proporzionale ai gradienti idraulici in prossimità dell’unica superficie drenante
∆u e Consolidazione
17
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0.1 1 10 100 1000 10000
log t (min)
w (
mm
)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
∆∆ ∆∆u
/ ∆σ
∆
σ
∆σ
∆
σ
∆∆∆∆u/∆σ∆σ∆σ∆σ
w1
Cedimento da consolidazione primaria
0.00
0.20
0.1 1 10 100 1000 10000
log t (min)
0
0.2
w1+w2
∆∆∆∆u 0
Consolidazione primaria: deformazioni di volume associate a dissipazioni di Consolidazione primaria: deformazioni di volume associate a dissipazioni di ∆∆∆∆∆∆∆∆uu
Comportamento sperimentale vs teoriaComportamento sperimentale vs teoria
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0.1 1 10 100 1000 10000
log t (min)
w (
mm
)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
∆∆ ∆∆u
/ ∆σ
∆σ
∆σ
∆σ
∆∆∆∆u/∆σ∆σ∆σ∆σ
w2
Cedimento da consolidazione primaria
Cedimento secondario
0.40
0.60
0.80
1.00
w (
mm
) 0.4
0.6
0.8
1
∆∆ ∆∆u
/ ∆σ
∆
σ
∆σ
∆
σ
∆∆∆∆u/∆σ∆σ∆σ∆σ
w1+w2
w w2
+ =
Curva di consolidazione sperimentaleda ’depurare’ per ottenere il
coefficiente di consolidazione verticale ccoefficiente di consolidazione verticale cvv
Consolidazione secondaria: deformazioni viscose dello scheletro solido a Consolidazione secondaria: deformazioni viscose dello scheletro solido a σσσσσσσσ’=’=costcost. (si manifestano visibilmente quando . (si manifestano visibilmente quando ∆∆∆∆∆∆∆∆uu → 0)→ 0)→ 0)→ 0)→ 0)→ 0)→ 0)→ 0)
Compressione edometrica
18Interpretazione della curva di consolidazione sperimentaleInterpretazione della curva di consolidazione sperimentale
0,00
0,10
0,20
0,1 1 10 100 1000 10000
Log(t) (min)
∆∆∆∆wU=0.0
t50
∆∆∆∆w
t 4t
Metodo di CasagrandeMetodo di Casagrande
Principio: depurare la w(t) sperimentale della ‘testa’ e della ‘coda’ per Principio: depurare la w(t) sperimentale della ‘testa’ e della ‘coda’ per estrarneestrarne
-- cedimento di consolidazione primaria, wc cedimento di consolidazione primaria, wc
-- coefficiente di consolidazione primaria, cvcoefficiente di consolidazione primaria, cv
-- coefficiente di consolidazione secondaria, ccoefficiente di consolidazione secondaria, cαααααααα
50
2
vt
H197.0c
⋅=
h0=2Hh0=2H
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
w (
mm
)U=0.5
U=1.0
tangente al punto di flesso
asintoto obliquo
cedimento di consolidazione primaria
αααα
50v
t
ohc
ααε
tan=
Compressione edometrica
19
per t ridotti, vale approssimativamenteper t ridotti, vale approssimativamente 2)t(w
)t4(wtw =⇒∝
intersezione tra la tangente nel punto di flesso e l’asintoto obliquointersezione tra la tangente nel punto di flesso e l’asintoto obliquo
Fasi del procedimento di CasagrandeFasi del procedimento di Casagrande
1. Cedimento immediato w01. Cedimento immediato w0
2. Cedimento secondario ws2. Cedimento secondario ws
(ribaltamento (ribaltamento ⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔ estrapolazione a t=0)estrapolazione a t=0)
3. Cedimento di consolidazione wc3. Cedimento di consolidazione wc s0fc w- – w w w =
50
2
v250vc
vt
H197.0c197.0
H
tcT50.0U
2
w:c =⇒==⇒=⇒
t
eC
log∆
∆−=α
o
os
ht
hw
tC
αεεα
tan
log
/
log, =
∆
∆−=
∆
∆−=
oppureoppure
4. Coefficiente di consolidazione cv4. Coefficiente di consolidazione cv
5. Coefficiente di consolidazione secondaria C5. Coefficiente di consolidazione secondaria Cαααααααα
Compressione edometrica
20
per t ridotti: tw ∝
⇓⇓⇓⇓estrapolazione a t=0 della
retta t:w
w90 = intersezione della curva con la retta
9.0
www 090
c−
=
Procedimento di TaylorProcedimento di Taylor
1. Cedimento immediato w01. Cedimento immediato w0
2. Cedimento di consolidazione wc2. Cedimento di consolidazione wc
w90 = intersezione della curva con la retta inclinata 1.15 volte la tangente iniziale
90
2
v290v
vt
H848.0c848.0
H
tcT90.0U:c =⇒==⇒=
NB: cedimento secondario NB: cedimento secondario wsws
e coefficiente di consolidazione secondaria ce coefficiente di consolidazione secondaria cαααααααα
non determinabilinon determinabili
3. Coefficiente di consolidazione cv3. Coefficiente di consolidazione cv