Post on 20-Apr-2015
Anvendt matematikk formelsamling versjon 21Algebra a, b, c, x ∈ R1. Kvadratsetning: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. Kvadratsetning: (a− b)2 = a2 − 2ab + b2
Konjugatsetningen: (a + b)(a− b) = a2 − b2
Andregradslikningen: ax2 + bx + c = 0 ⇒ x = −b±√b2−4ac2a
Trigonometriske identiteter θ ∈ R n ∈ Ztan θ = sin θ
cos θ
sin2 θ + cos2 θ = 1
sin(−θ) = − sin θcos(−θ) = cos θtan(−θ) = − tan θ
sin(π − θ) = sin θcos(π − θ) = − cos θtan(π − θ) = − tan θ
sin θ = sin(θ + 2πn)cos θ = cos(θ + 2πn)tan θ = tan(θ + πn)
sin(θ ± π2 ) = ± cos θ
cos(θ ± π2 ) = ∓ sin θ
tan(θ ± π2 ) = ± tan θ
sin(nπ) = 0cos(nπ) = (−1)n
tan(nπ) = 0sin(a± b) = sin a cos b± cos a sin b
cos(a± b) = cos a cos b∓ sin a sin b
sin a± sin b = 2 sin a±b2 · cos a∓b
2
cos a + cos b = 2 cos a+b2 · cos a−b
2
cos a− cos b = −2 sin a+b2 · sin a−b
2
Potenser og røtter a, b, n, m ∈ R+ k ∈ N
ak =k ganger︷ ︸︸ ︷
a · a · · · aan = en·ln a
a0 = 1
a−n =1an
am+n = am · an
am−n =am
an
am·n = (am)n
(a · b)n = an · bn
(a
b
)n
=an
bn
0n = 0
0−n =10n
=10
= ∅(−1)k = 1 (k partall)
(−1)k = −1 (k oddetall)
(−a)k = (−1)k · ak
(−a)−k =(−1)k
ak
(−a)0 = 100 = 1 eller ∅
a1/n = x slik at xn = an√
a = a1/n
√a = 2
√a = a1/2
n√
am = am/n = (am)1/n
n√
a · b = n√
a · n√
b
n
√a
b=
n√
an√
bn√−a = − n
√a (n oddetall)
n√−a 6∈ R (n ikke oddetall)√a2 · b = a ·
√b
Logaritmefunksjonen loga x
Funksjonen loga x er definert som inversfunksjonen til ax.Dloga x = R+, Vloga x = R og har følgende egenskaper:
loga(x · y) = loga x + loga y
loga
(x
y
)= loga x− loga y
loga (xr) = r · loga x
loga x =logb x
logb a
loga 1 = 0loga a = 1
loga ax = x
loga x med a = 2, a = e oga = 10 er definert slik:
lg x = log2 x
ln x = loge x
log x = log10 x
Et par rekker∞∑
n=0
a · kn =a
1− kder − 1 < k < 1
∞∑n=1
n · kn−1 =1
(1− k)2der − 1 < k < 1
θ grader sin θ cos θ tan θ0 0◦ 0 1 0π6 30◦ 1
2
√3
2
√3
3
π4 45◦
√2
2
√2
2 1π3 60◦
√3
212
√3
π2 90◦ 1 0 ±∞2π3 120◦
√3
2 − 12 −√3
3π4 135◦
√2
2 −√
22 −1
5π6 150◦ 1
2 −√
32 −
√3
3
π 180◦ 0 −1 07π6 210◦ − 1
2 −√
32
√3
3
5π4 225◦ −
√2
2 −√
22 1
4π3 240◦ −
√3
2 − 12
√3 θ − 2π grader
3π2 270◦ −1 0 ±∞ −π
2 −90◦
5π3 300◦ −
√3
212 −√3 −π
3 −60◦
7π4 315◦ −
√2
2
√2
2 −1 −π4 −45◦
11π6 330◦ − 1
2
√3
2 −√
33 −π
6 −30◦
2π 360◦ 0 1 0 0 0◦
sin θ
θ
1
−1− 3π
2−π −π
2π2
π 3π2
cos θ
θ
1
−1− 3π
2−π −π
2π2
π 3π2
tan θ
θ
1
−1
2
−2
− 3π2−π −π
2π2
π 3π2
1 r
b
θ
b = rθ
Derivasjon mhp x
Der a, b og c er konstante, u og v er funksjoner av x.
(c)′ = 0 (sin x)′ = cos x
(cu)′ = cu′ (cos x)′ = − sinx
(u + v)′= u′ + v′ (tan x)′ = 1cos2 x
(uv)′ = u′v + uv′ sin(ax + b)′ = a cos(ax + b)(uv
)′ = u′v−uv′v2 cos(ax + b)′= −a sin(ax + b)
u(v)′ = u′(v) · v′ tan(ax + b)′= acos2(ax+b)
(xn)′ = nxn−1 (sin−1 x)′ = 1√1−x2
(√
x)′ = 12√
x(cos−1 x)′ = − 1√
1−x2(1x
)′ = − 1x2 (tan−1 x)′ = 1
1+x2
(ax)′ = ax ln a (ln x)′ = 1x
(ex)′ = ex (loga x)′ = 1x ln a
(ecx)′ = cecx |x|′ = |x|x
Integrasjon
∫xn dx = 1
n+1xn+1 + c∫
dxa2+x2 = 1
a tan−1(
xa
)+ c
∫1x dx = ln |x|+ c
∫dx√
a2−x2 = sin−1(
xa
)+ c
∫1
ax+b dx = 1a ln |ax + b|+ c
∫1
cos2 x dx = tan x + c∫
sin ax dx = − 1a cos ax + c
∫1
sin2 xdx = − 1
tan x + c∫
cos ax dx = 1a sin ax + c
∫eax dx = 1
aeax + c∫
ax dx = 1ln aax + c
∫uv′ = uv − ∫
u′v∫ b
af(x)g′(x) dx = f(x)g(x)]ba −
∫ b
af ′(x)g(x) dx
∫ b
af(g(x)) · g′(x) dx =
∫ g(b)
g(a)f(u) du
Brøkregning
2 = 2 · 11
=2 · 1
1=
2 · 11
=1 · 21
=11· 2
=11· 2 = 2
Omregning av lengder
µm mm cm dm m km mil1 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.000000001 0.0000000001
1000 1 0.1 0.01 0.001 0.000001 0.000000110000 10 1 0.1 0.01 0.00001 0.000001
100000 100 10 1 0.1 0.0001 0.000011000000 1000 100 10 1 0.001 0.0001
1000000000 1000000 100000 10000 1000 1 0.110000000000 10000000 1000000 100000 10000 10 1
Omregning av kvadrat
µm2 mm2 cm2 dm2 m2 km2 mil2
1 0.000001 0.00000001 1·10−10 1·10−12 1·10−18 1·10−20
1000000 1 0.01 0.0001 0.000001 1·10−12 1·10−14
100000000 100 1 0.01 0.0001 1·10−10 1·10−12
10000000000 10000 100 1 0.01 0.00000001 1·10−10
1·1012 1000000 10000 100 1 0.000001 0.000000011·1018 1·1012 10000000000 100000000 1000000 1 0.011·1020 1·1014 1·1012 10000000000 100000000 100 1
Omregning av kubikk
µm3 mm3 cm3 dm3 m3 km3 mil3
1 0.000000001 1·10−12 1·10−15 1·10−18 1·10−27 1·10−30
1000000000 1 0.001 0.000001 0.000000001 1·10−18 1·10−21
1·1012 1000 1 0.001 0.000001 1·10−15 1·10−18
1·1015 1000000 1000 1 0.001 1·10−12 1·10−15
1·1018 1000000000 1000000 1000 1 0.000000001 1·10−12
1·1027 1·1018 1·1015 1·1012 1000000000 1 0.0011·1030 1·1021 1·1018 1·1015 1·1012 1000 1
Geometriske figurer i planet
Figur Areal Omkrets
Rektangel gh 2(g + h)
Trekant gh2
Parallellogram gh
Trapes (a+b)h2
Sirkel πr2 2πr
Sektor br2 = πr2θ b = rθ
Geometriske figurer i rommet
Figur Volum Overflate
Kube s3 6s2
Prisme Gh
Pyramide Gh3
Sylinder πr2h 2πr(r + h)
Kjegle πr2h3 πr(r + s)
Kule 4πr3
3 4πr2
2
Prosent, promille
1 prosent = 1 hundredel = 1% =1
100= 0.01
1 promille = 1 tusendel = 1h =1
1000= 0.001
Mengder
En mengde er en samling av elementer. Følgende notasjonkan brukes, der S og T er mengder:
a ∈ S a er element i Sa 6∈ S a er ikke element i SS ∪ T Unionen av S og T (inneholder alle
elementer i S og T til sammen)S ∩ T Snittet av S og T (inneholder alle ele-
menter felles for S og T )∅ Den tomme mengden (inneholder in-
gen elementer)S ⊆ T S er en delmengde av T (T innehold-
er minst alle elementene til S)
Grader og radianer
En vinkel n◦ i grader kan regnes om til en vinkel θ i radian-er med formelen
θ =π
180◦n◦
Motsatt har vin◦ =
180◦
πθ
De trigonometriske funksjonene relateres til sidelengdene ien rettvinklet trekant på følgende måte:
sin θ = bc
cos θ = ac
sin θcos θ = tan θ = b
a
Tilnærmet beskrivelse av et periodisk fenomen ved hjelpav en cosinuskurve
Et periodisk fenomen kan ofte tilpasses med funksjonen
y = C0 + C cos(
2π
T(t− t0)
)
Sirkelfrekvens/vinkelfrekvens/vinkelhastighet
Hvis T er perioden til en harmonisk svingning, så kaller vistørrelsen 2π/T svingningens sirkelfrekvens ω
ω =2π
T⇔ T =
2π
ω
La ω være et positivt tall. Funksjonene cos ωt og sinωt girharmoniske svingninger med sirkelfrekvens ω og periodeT = 2π/ω.
For vilkårlige trekanter i planet gjelder
Areal = 12bc sin A
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
sin Aa = sin B
b = sin Cc
Tall
Tall kan beskrives geometrisk som punkter på en tallinje:
Tall kan også defineres som mengdene N,Z,Q,R slik:
Naturlige tall N = {1, 2, 3, . . .}Hele tall Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}
Rasjonale tall Q =a
bder a, b ∈ Z og b 6= 0
Reelle tall R = Alle tall på tallinjenIrrasjonale tall = Reelle tall som ikke er rasjonale
N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R
Ulikheter
Hvis a, b, c ∈ R så har vi:
a < b ⇒ a + c < b + c
a < b ⇒ a− c < b− c
a < b og c > 0 ⇒ ac < bc
a < b og c < 0 ⇒ ac > bc
a < b ⇒ −a > −b
a > 0 ⇒ 1a
> 0
a, b > 0 eller a, b < 0 ⇒ a < b ⇒ 1a
>1b
Andregradslikningen
Hvis x = x0 og x = x1 er løsninger av ax2 + bx + c = 0, såhar vi følgende:
ax2 + bx + c = a(x− x0)(x− x1)
x0 + x1 = − b
a
x0 · x1 =c
a
Symmetrilinjen til funksjonen f(x) = ax2 + bx + c ligger på
x = − b
2a
Pytagoras’ setning
I en rettvinklet trekant med katetlengder a og b og hy-potenuslengde c så har vi
a2 + b2 = c2
3
Intervaller
En delmengde av tallinja kalles et intervall om den in-neholder minst to tall og inneholder alle reelle tall mellomto vilkårlige elementer i delmengden. Et linjesegment avtallinja er et endelig intervall. Et ubegrenset område avtallinja er et uendelig intervall. Et intervall er lukket omdet inneholder begge endepunktene, åpent om det ikke in-neholder noen endepunkter og halvåpent om det innehold-er ett av endepunktene men ikke det andre. Punkter i inter-vallet som ikke er endepunkter kalles indre punkter. Vi harfølgende typer intervaller:
Notasjon Mengde Type〈a, b〉 {x|a < x < b} Åpent, endelig[a, b] {x|a ≤ x ≤ b} Lukket, endelig[a, b〉 {x|a ≤ x < b} Halvåpent, endelig〈a, b] {x|a < x ≤ b} Halvåpent, endelig〈a,∞〉 {x|x > a} Åpent, uendelig[a,∞〉 {x|x ≥ a} Lukket, uendelig〈−∞, b〉 {x|x < b} Åpent, uendelig〈−∞, b] {x|x ≤ b} Lukket, uendelig〈−∞,∞〉 R Åpent, lukket, uendelig
Gjeldende siffer
Antall gjeldende siffer er det totale antallet siffer unntatteventuelle nuller til venstre.
Standard form
a · 10n
Gjeldende siffer i a · 10n er lik gjeldende siffer i a.
Sifferregel 1
Når et tall y kommer frem ved multiplikasjon og/eller di-visjon fra tall y1, y2, . . . , yr, så kan y angis med like mangegjeldende siffer som det av tallene y1, y2, . . . , yr som har fær-rest gjeldende siffer.
Sifferregel 2
Når et tall y kommer frem ved addisjon og/eller subtrak-sjon fra tall y1, y2, . . . , yr, så kan y angis med like mangedesimaler som det av tallene y1, y2, . . . , yr som har færrestdesimaler.
Repeterende desimaler
2.333333333 . . . = 2.3
5.124242424 . . . = 2.124
Absolutt økning
Absolutt økning = ny verdi − gammel verdi = x1 − x0
Relativ økning
Relativ økning = absolutt økninggammel verdi = x1−x0
x0
Vekstfaktor
Vekstfaktor =ny verdi
gammel verdi=
x1
x0
Hvis den relative økningen er p % så har vi
Vekstfaktor = 1 +p
100
p = (Vekstfaktor− 1) · 100
Å øke med p % er det samme som å gange med 1 + p100 .
Geometrisk følge
Den geometriske følgen er gitt ved
a, ak, ak2, ak3, ak4, . . .
I en geometrisk følge med kvotienten k er ledd nr. i gitt vedai = ki−1 · a1 der a1 er det første leddet. Summen av et visstantall av leddene i denne følgen kan skrives på forskjelligemåter:
a + ak + ak2 + · · ·+ akn−1 = a1− kn
1− k= a
kn − 1k − 1
a + ak + ak2 + · · ·+ akn = a1− kn+1
1− k= a
kn+1 − 1k − 1
Summetegnet∑
hjelper oss til å skrive en sum med mangeledd på en kompakt måte:
n∑
k=1
ak = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an−1 + an
Den greske bokstaven Σ står for “sum”. Summasjonsindek-sen k sier hvor summen starter (tallet under Σ-symbolet) oghvor den slutter (ved tallet over Σ-symbolet).
Regneregler for summetegnet
n∑
k=1
(ak + bk) =n∑
k=1
ak +n∑
k=1
bk sum
n∑
k=1
(ak − bk) =n∑
k=1
ak −n∑
k=1
bk differanse
n∑
k=1
c · ak = c ·n∑
k=1
ak konstant multippel
n∑
k=1
c = n · c konstant verdi
Noen vanlige endelige summer
n∑
k=1
k =n(n + 1)
2De n første heltallene
n∑
k=1
k2 =n(n + 1)(2n + 1)
6De n første kvadratene
n∑
k=1
k3 =(
n(n + 1)2
)2
De n første kubene
4
Gjennomsnittet av tallene x1, x2, . . . , xn er gitt ved
x =1n
n∑
i=1
xi
Logikk
For utsagn P og Q betyr følgende utsagn det samme:
− P ⇒ Q (leses “P impliserer Q”)− P bare hvis Q
−Q hvis P
−Hvis P så Q
− P er en tilstrekkelig betingelse for Q
−Q er en nødvendig betingelse for P
For utsagn P og Q betyr følgende utsagn det samme:
− P ⇔ Q (leses “P er ekvivalent med Q”)−Q ⇒ P og P ⇒ Q
− P hvis og bare hvis Q
−Q hvis og bare hvis P
− P er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for Q
−Q er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for P
Absoluttverdi
Hvis a, b, x ∈ R så har vi:
|x| ={
x hvis x ≥ 0−x hvis x < 0
| − a| = |a|| − a| 6= −|a||ab| = |a||b|∣∣∣ab
∣∣∣ =|a||b|
|a + b| ≤ |a|+ |b| (trekantulikheten)
Hvis a > 0 har vi:
|x| = a hvis og bare hvis x = ±a
|x| < a hvis og bare hvis − a < x < a
|x| > a hvis og bare hvis x > a eller x < −a
|x| ≤ a hvis og bare hvis − a ≤ x ≤ a
|x| ≥ a hvis og bare hvis x ≥ a eller x ≤ −a
Kvadratroten til x2
Er relatert til absoluttverdien av x på følgende måte:√
x2 = |x|
Funksjoner
En funksjon fra en mengde D til en mengde V er en regelsom tilordner ett (unikt) element f(x) ∈ V til hvert elementx ∈ D. Mengden D med alle mulige inputverdier kallesdefinisjonsmengden til funksjonen. Mengden av alle ver-diene til f(x) når x varierer gjennom hele D kalles verdi-mengden til funksjonen. En funksjon kalles empirisk omden er laget på grunnlag av et obervasjonsmateriale.
Voksende, avtagende og monotone funksjoner
La f være en funksjon definert på et intervall I ogla x1 og x2 være to vilkårlige punkter i I . Da har vi:
1. Hvis f(x1) < f(x2) når x1 < x2, så er f voksende på I .2. Hvis f(x1) > f(x2) når x1 < x2, så er f avtagende på I .
En funksjon som enten er voksende eller avtagende på Ikalles monoton på I .
Linjer i planet
Stigningstallet a til en ikkevertikal linje gjennom punktene(x0, y0) og (x1, y1) er definert som
a =∆y
∆x=
y1 − y0
x1 − x0
En linje med stigningstall a som går gjennom punktet(x1, y1) kan beskrives med likningen
y = y1 + a(x− x1)
En horisontal linje gjennom punktet (x1, y1) kan derforbeskrives med likningen y = y1. En vertikal linje gjennompunktet (x1, y1) kan beskrives med likningen x = x1.
En linje med stigningstall a og konstantledd b kan beskrivesmed likningen
y = ax + b
Alle linjer kan skrives på normalformen
Ax + By = C
der A og B ikke begge er lik null.
Polynom
En funksjon p(x) er et polynom hvis
p(x) = a0 + a1x + · · ·+ an−1xn−1 + anxn
hvor n ∈ N og a0, a1, a2, . . . , an ∈ R (og kalles koeffisien-tene) til polynomet. Alle polynomer har definisjonemengde〈−∞,∞〉. n kalles graden av polynomet.
Rasjonale funksjoner
En rasjonal funksjon er et forhold mellom to polynomer:
f(x) =p(x)q(x)
der p og q er polynomer. Definisjonsmengden til en rasjonalfunksjon er mengden av alle x ∈ R der q(x) 6= 0.
Proporsjonalitet
To variable x og y er proporsjonale til hverandre hvis denene alltid er en konstant multippel av den andre, dvs:
y = kx ⇒ y ∝ x
for en eller annen konstant k 6= 0.
5
Sammensatte funksjoner
Hvis f og g er funksjoner, så er den sammensatte funksjo-nen
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
Definisjonsmengden til f ◦ g består av tallene x i definisjons-mengden til g der g(x) ligger i definisjonsmengden til f .
Flytting/modifisering av grafer
En graf kan flyttes vertikalt ved å legge til en konstant k:Hvis k > 0 så har vi:
f(x) + k Flytter grafen til f opp lengden kf(x)− k Flytter grafen til f ned lengden kf(x + k) Flytter grafen til f lengden k mot venstref(x− k) Flytter grafen til f lengden k mot høyre
Hvis k > 1 så har vi:
kf(x) Strekker grafen til f vertikalt med faktoren k1kf(x) Krymper grafen til f vertikalt med faktoren kf(kx) Krymper grafen til f horisontalt med faktoren kf(x/k) Strekker grafen til f horisontalt med faktoren k
Hvis k = −1 så har vi:
kf(x) = −f(x) Speiler grafen til f gjennom x-aksenf(kx) = f(−x) Speiler grafen til f gjennom y-aksen
Enentydig funksjon
En funksjon f(x) er enentydig (eller injektiv) på en defin-isjonsmengde D hvis f(x1) 6= f(x2) når x1 6= x2 i D.
Horisontallinjetesten for enentydige funksjoner
En funksjon y = f(x) er enentydig hvis og bare hvis grafenskjærer enhvær horisontal linje høyest ett sted.
Invers funksjon
Anta at f er en enentydig funksjon på en definisjonsmengdeD med verdimengde V . Den inverse funksjonen f−1 er de-finert ved
f−1(a) = b hvis f(b) = a
Definisjonsmengden til f−1 er V og verdimengden til f−1 erD.
Polarkoordinatene til et punkt i planet
Et punkt P i xy-planet kan beskrives på kartesisk måte som(a, b) eller på polar form (C, v) der C er avstanden fra origotil punktet og v er vinkelene mellom x-aksen og linja mel-lom origo og punktet:
Vi har her følgende sammenhenger:
a = C cos v b = C sin v
cos v =a
Csin v =
b
C
C =a
cos v=
b
sin v=
√a2 + b2
tan v =b
a
Omforming av uttrykket a cosωt + b sin ωt
La a, b og ω være gitte tall 6= 0 med ω > 0. Funksjonen
f(t) = a cos ωt + b sin ωt
kan skrives på formen
f(t) = C cosω(t− t0)
der (C, ωt0) er polarkoordinatene til punktet (a, b).Spesielt har vi
C =√
a2 + b2 og tan ωt0 =b
a
Vinkelen ωt0 ligger i intervallet [0, 2π〉 og hører til sammekvadrant som punktet (a, b).
Interferens
Gitt C1, C2 ≥ 0 og
f(t) = C1 cos(ωt− φ1) og g(t) = C2 cos(ωt− φ2)
Amplituden C til funksjonen f(t) + g(t) er da gitt ved
C =√
C21 + C2
2 + 2C1C2 cos(φ1 − φ2)
og middelverdien er 0.
Grenseverdier
Hvis L,M, c, k ∈ R og
limx→c
f(x) = L og limx→c
g(x) = M, så
limx→c
(f(x) + g(x)) = L + M
limx→c
(f(x)− g(x)) = L−M
limx→c
(f(x) · g(x)) = L ·Mlimx→c
(k · f(x)) = k · L
limx→c
f(x)g(x)
=L
M, M 6= 0
Merk at disse reglene også er gyldige når c = ±∞.
Grenseverdien til polynomer
Hvis p(x) er et polynom, så er
limx→c
p(x) = p(c)
Grenseverdien til rasjonale funksjoner
Hvis p(x) og q(x) er polynomer og q(c) 6= 0, så er
limx→c
p(x)q(x)
=p(c)q(c)
6
Venstre og høyre grenseverdier
En funksjon f(x) har en grenseverdi når x går mot c hvisog bare hvis den har venstre og høyre grenseverdier der ogdisse grenseverdiene er like:
limx→c
f(x) = L ⇔ limx→c−
f(x) = L og limx→c+
f(x) = L
Vertikal asymptote
En linje x = a er en vertikal asymptote av grafen til enfunksjon y = f(x) hvis enten
limx→a+
f(x) = ±∞ eller limx→a−
f(x) = ±∞
Kontinuitet
En funksjon f(x) er kontinuerlig ved x = c hvis og barehvis følgende tre krav er oppfyllt:
1. f(c) finnes (c er i definisjonsmengden til f )2. limx→c f(x) finnes (f har en grense når x → c)3. limx→c f(x) = f(c) (grenseverdien er lik f(c))
Kontinuerlig funksjon
En funksjon er kontinuerlig på et intervall hvis og bare hvisden er kontinuerlig på alle punktene i intervallet. En kon-tinuerlig funksjon er en funksjon som er kontinuerlig påalle punktene i funksjonens definisjonsmengde. En funksjontrenger ikke være kontinuerlig på alle intervaller. F.eks.y = 1/x er ikke kontinuerlig i intervallet [−1, 1], men erkontinuerlig i definisjonsmengden 〈−∞, 0〉 ∪ 〈0,∞〉.
Noen grenseverdier
limx→0
sin x
x= 1
limn→∞
kn = 0 når − 1 < k < 1
limn→∞
kn = 1 når k = 1
limn→∞
kn 6∈ R når k ≤ −1
limn→∞
kn = ∞ når k > 1
Skjæringssetningen
En funksjon y = f(x) som er kontinuerlig på et lukket inter-vall [a, b] antar alle verdier mellom f(a) og f(b). Dvs at hvisy0 er en hvilken som helst verdi mellom f(a) og f(b), så ery0 = f(c) for en eller annen c ∈ [a, b].
Egenskaper til kontinuerlige funksjoner
Hvis funksjonene f og g er kontinuerlige ved x = c, da erfølgende kombinasjoner også kontinuerlige ved x = c:
Summer f + gDifferanser f − gProdukter f · gKonstante multipler k · f , for alle tall kKvotienter f/g, gitt at g(c) 6= 0Sammensatte funksjoner f(g(x))
Horisontal asymptote
En linje y = b er en horisontal asymptote av grafen til enfunksjon y = f(x) hvis enten
limx→∞
f(x) = b eller limx→−∞
f(x) = b
En setning om eksistens av grenseverdi
Hvis det fins et tall x0 og C slik at f(x) ≥ C for alle x idefinisjonsmengden til f som er størren enn x0 og f er av-takende i denne delen av definisjonsmengden, da eksistererlimx→∞ f(x).
En tilsvarende setning får vi om vi bytter om ordet “avtak-ende” med “voksende” samtidig som “f(x) ≥ C” byttes utmed “f(x) ≤ C”.
Tallfølger
En tallfølge er en funksjon med definisjonsmengde N. Hvisa er en funksjon av n og a er en tallfølge, kan vi velge åskrive a(n) eller an.
Konvergens av tallfølger
Hvis an er en tallfølge og
lima→∞
an = C ∈ R
så sier vi at an konvergerer mot C.
Rekker
Hvis an er en tallfølge så kaller vi
Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an
for en endelig rekke med n ledd. Merk at Sn her også er entallfølge der ledd n er summen av de n første tallene i an.Vi kaller
S = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + an+1 + · · ·
for en uendelig rekke, eller bare en rekke. En annenskrivemåte for disse er
Sn =n∑
i=1
ai og S =∞∑
n=1
an
Vi har følgende sammenheng mellom S og Sn:
S = limn→∞
Sn
7
Eksponentialfunksjon med a som grunntall
Funksjoner på formen
f(t) = at
der t ∈ R og a ∈ R+ kalles eksponentialfunksjoner. a kallesgrunntallet.
En funksjon på formen f(t) = c · at kan tilpasses til å gågjennom punktene (t1, y1) og (t2, y2) hvis t1 6= t2 og ingenav punktene ligger i origo. Formlene for dette ser slik ut:
a =(
y2
y1
) 1t2−t1
c =y1
at1=
y2
at2
Hvis t1 < t2 så har vi at
f(t2)f(t1)
=c · at2
c · at1= at2−t1
Dvs at eksponentialfunksjoner har samme vekstfaktor overalle intervaller av samme lengde.
Vekst eller minking med p % per år
En størrelse y som vokser/avtar eksponentiellt med p % perår og er lik y0 ved tiden t0 kan beskrives med funksjonen
y(t) = c · at der a = 1± p
100og c =
y0
at0
Eksponentialfunksjon med e som grunntall
Funksjonen f(x) = ax kan skrives:
f(x) = eλx der λ = ln a ≥ 0, hvis 0 < a < 1
f(x) = e−λx der λ = − ln a ≥ 0, hvis a > 1
Hvis f er voksende, er doblingstiden T2 = ln 2λ .
Hvis f er avtakende, er halveringstiden T1/2 = ln 2λ .
Funksjonen pH
pH er en funksjon som gir et mål på hvor mange H3O+-molekyler det finnes per liter i en væskeløsning. Denne kon-sentrasjonen skrives som
[H3O+
]og har benevning mol/L.
Denne funksjonen er definert slik:
pH([
H3O+])
= − log([
H3O+])
pH > 7 betyr en basisk løsning. pH < 7 betyr en sur løs-ning.
Logaritmer i likningsløsing
Hvis a, b > 0 så har vi
ax = b ⇔ x =ln b
ln a
Aldersbestemmelse etter 14C-metoden
Hvis I0 er forholdet mellom 14C og 12C i en levende organ-isme når den dør, så vil følgende funksjon I(t) beskriveforholdet mellom mengden 14C som er igjen i liket i forholdtil I0 etter tiden t:
I(t) = I0
(12
)t/5730
Potensfunksjonen f(x) = c · xr
Hvis punktene (x1, y1) og (x2, y2) ligger i første kvadrant ogx1 6= x2, så vil parameterene r og c til potensfunksjonen somgår gjennom begge punktene være gitt ved
r =ln(y2/y1)ln(x2/x1)
c =y1
xr1
=y2
xr2
Allometrisk vekst
La y = y(t) er størrelsen av et gitt organ ved tiden t ogx = x(t) være størrelsen av organismen som helhet vedtiden t. Ofte så har vi følgende sammenheng mellom x og y:
y = cxr
Der c og r er konstanter. c avhenger av hvilke måleenheteren bruker for x og y. Denne sammenhengen kalles “al-lometriloven”.
Logaritmisk skala
Brukes for å sammenlikne størrelser av ulik størrelsesor-den, der størrelsesordenen til et tall er gitt ved logaritmen(med grunntall 10) til tallet. Å plassere et (positivt) tall rpå en logaritmisk skala svarer til å plassere log r på dentilsvarende lineære skalaen.
Et enkeltlogaritmisk koordinatsystem med to akser harlogaritmisk skala på den ene aksen og lineær skala på denandre aksen. Et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem medto akser har logaritmisk skala på begge aksene.
Enhver eksponentialfunksjon y = cax gir en rett linje nården plottes i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem med log-aritmisk skala på y-aksen og lineær skala på x-aksen.
Enhver potensfunksjon y = cxr gir en rett linje når denplottes i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.
Derivasjon
Gjennomsnittlig vekstrate er gitt ved
endring i løpet av en tidsperiodelengden på tidsperioden
Hvis en kurve er kontinuerlig ved et gitt tidspunkt, så erkurvens øyeblikkelige vekstrate ved tidspunktet definertsom stigningstallet til tangenten til kurven ved tidspunktet.Hvis kurven ikke er kontinuerlig ved det gitte tidspunktet,har ikke kurven heller noen øyeblikkelig vekstrate der.
8
Den deriverte
Den deriverte f ′(x) til en funksjon f(x) er definert slik:
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)h
f ′(a) er stigningstallet til funksjonen f(x) i punktet x = a.Hvis f(x) er deriverbar for x = a så er også f(x) kontin-uerlig for x = a.
Derivasjon og bevegelse
Posisjon som funksjon av tid beskrives ofte som funksjonenx(t). Hastighet som funksjon av tid beskrives ofte som v(t).Akselerasjon beskrives ofte som a(t). Det viser seg at
x′(t) = v(t) og v′(t) = a(t)
Skrivemåter for den deriverte
Det er mange måter å skrive den deriverte på. Her er noenvanlige alternativer:
f ′(x) = y′ =dy
dx=
df
dx=
d
dxf(x)
Kjerneregelen i Leibniz’ notasjon
dy
dx=
dy
du· du
dx
Førstederivert testen for monotone funksjoner
Anta at f er kontinuerlig på [a, b] og deriverbar på (a, b).Hvis f ′(x) > 0 for alle x ∈ (a, b), da er f voksende på [a, b]Hvis f ′(x) < 0 for alle x ∈ (a, b), da er f avtagende på [a, b]
Positiv krumning, negativ krumning
Grafen til en deriverbar funksjon y = f(x) har på et åpentintervall I
1. positiv krumning hvis f ′ er voksende på I2. negativ krumning hvis f ′ er avtagende på I .
Andrederivert testen for konkavitet
La y = f(x) være to ganger deriverbar på et intervall IHvis f ′′ > 0 på I , da har grafen til f over I positiv krumn-ing.Hvis f ′′ < 0 på I , da har grafen til f over I negativ krumn-ing.
Vendepunkt
Et punkt der grafen til en funksjon kan ha en tangent og derkrumningen endres, kalles et vendepunkt.
Max og min
Hvis f er kontinuerlig i et begrenset intervall I , så harf minst ett maksimumspunkt og minst ett minimum-spunkt. Disse punktene er hhv den største og den minsteav funksjonsverdien til følgende punkter:
• Endepunktene
• Alle punkter der f ′(x) = 0
• Alle punkter der f ′(x) = ∅
Linearisering
Funksjonen f kan tilnærmes med en linje ved x = a med
F (x) = f(a) + f ′(a) · (x− a)
Taylorpolynom
Funksjonen f kan tilnærmes med et polynom ved x = amed
Fn(x) = f(a)+f ′(a)(x−a)+f ′′(a)
2(x−a)2+· · ·+f (n)(a)
n!(x−a)n
L’Hôpitals regel
Hvis limx→a f(x) = 0 og limx→a g(x) = 0 så har vi
limx→a
f(x)g(x)
= limx→a
f ′(x)g′(x)
Integrasjon
Bestemt integral
La f være en kontinuerlig funksjon over [a, b]. Hvis F ′(x) =f(x) for alle x ∈ [a, b] så kalles F (b) − F (a) det bestemteintegralet av f over [a, b] og skrives slik:
∫ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a)
Regneregler for bestemt integral
Hvis f(x) og g(x) er kontinuerlige over I og a, b, c, k ∈ I , såhar vi følgende regneregler:
Regneregler for bestemte integraler
∫ a
a
f(x) dx = 0
∫ b
a
f(x) dx = −∫ a
b
f(x) dx
∫ b
a
f(x) +∫ c
b
f(x) =∫ c
a
f(x) dx
∫ b
a
kf(x) dx = k
∫ b
a
f(x) dx
∫ b
a
(f(x)± g(x)) dx =∫ b
a
f(x) dx±∫ b
a
g(x) dx
9
Anvendelser av bestemt integral
s(t) = tilbakelagt veilengdes′(t) = v(t) = banehastighet
S =∫ t1
t0
v(t) dt = s(t1)− s(t0)
= tilbakelagt veilengde i løpet av [t0, t1]
V (t) = vannvolum i et kar ved tiden t
V ′(t) = v(t) = tilstrømningshastighet∫ t1
t0
v(t) dt = V (t1)− V (t0)
= økning i vannvolum i løpet av [t0, t1]
F (t) = Effekten i kW ved tiden t∫ t1
t0
F (t) dt = Energien i kWh i løpet av [t0, t1]
Bestemt integral som areal∫ b
af(x) dx kan tolkes som arealet mellom grafen til f , x-
aksen, x = a og x = b der alt av areal over x-aksen er posi-tivt og alt av areal under x-aksen er negativt.
Det ubestemte integralet
La f være en kontinuerlig funksjon i et intervall over [a, b].Hvis F ′(x) = f(x) for alle x ∈ [a, b] så kalles F (x) + C detbestemte integralet av f (som er gyldig for alle x ∈ [a, b]) ogskrives slik:
∫f(x) dx = F (x) + C der C er en vilkårlig konstant
Derivasjon av bestemt intergal
d
dt
∫ t
a
f(x) dx = f(t)
Differensiallikninger
Hvis y(t) er kontinuerlig på et intervall I , så har vi følgendeløsninger av forskjellige differensiallikninger på intervallet:
y′ = ay ⇒ y = Ceat
y′ = ay + b ⇒ y = Ceat − b
a
y′ = ay2 + by + c
= a(y −A)(y −B) ⇒ y = A +B −A
1 + ke(B−A)at
og y ≡ A
Malthus’ modell. La spesifikk vekstrate være definert som1N
dNdt , som kan tolkes som antall avkom et individ i en be-
folkning produserer per tidsenhet. Antar vi at denne stør-relsen er konstant får vi
1N
dN
dt= a ⇒ dN
dt= aN ⇒ N = Ceat
Radioaktiv nedbrytning. Om vi antar at endringen i antallradioaktive atomkjerner er proporsjonal med antallet kjern-er får vi
dN
dt= −λN ⇒ N = Ce−λt med halveringstid t1/2 =
ln 2λ
Newtons avkjølingslov. Anta at et legeme avkjøles i om-givelser med konstant temperatur T∗. La T1 = T (t1)være legemets temperatur ved tiden t1 og T2 = T (t2)være legemets temperatur ved tiden t2 og t1 < t2. Vi de-finerer avkjølingsraten til å være −dT
dt . Hvis vi antar atavkjølingsraten er proporsjonal med temperaturdifferansenT − T∗ får vi
−dT
dt= k(T − T∗) ⇒ dT
dt= −k(T − T∗)
⇒ T = T∗ + Ce−kt
der
k =ln((T1 − T∗)/(T2 − T∗))
t2 − t1og
C = (T1 − T∗)ekt1 = (T2 − T∗)ekt2
Verhulsts’ modell. La bæreevnen B til befolkningen væreså mange individer omgivelsene kan livnære. Om vi an-tar at spesifikk vekstrate er proporsjonal med forskjellen ibæreevne og antall individer, får vi
1N
dN
dt= a(B −N) ⇒ dN
dt= −aN(N −B)
⇒ N =B
1 + ke−aBt
Separable differensiallikninger
dy
dt= f(t) · g(y) ⇒
∫1
g(y)dy =
∫f(t) dt
Allometrisk vekst. Om vi lar kroppens vekstrate være dxdt
og en kroppsdels vekstrate være dydt og antar at kroppdelens
spesifikke vekstrate er proporsjonal med kroppens spesi-fikke vekstrate får vi
1y
dy
dt= r
1x
dx
dt⇒ y = Cxr
Lineær algebra
En lineær likning med variabler x1, . . . , xn kan skrives
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b
der b og koeffisientene a1, . . . , an er reelle tall. Et systemmed lineære likninger (eller et lineært system) er en sam-ling med en eller flere lineære likninger. F.eks.
2x1 − x2 + 1.5x3 = 8x1 − 4x3 = −7
10
En sekvens av n tall (x1, . . . , xn) kalles et n-tuppel. Et n-tuppel kan oppfattes som koordinatene til et punkt i n di-mensjoner. (Den euklidske) avstanden mellom to punkterA = (a1, . . . , an) og B = (b1, . . . , bn) i n dimensjoner de-fineres som tallet
d =√
(a1 − b1)2 + · · ·+ (an − bn)2
Vi har følgende regneregler for n-tupler:
A + B = (a1 + b1, . . . , an + bn)A−B = (a1 − b1, . . . , an − bn)
tA = (ta1, . . . , tan)A ·B = a1b1 + · · ·+ anbn (prikkprodukt)
En løsning av systemet er et n-tuppel (s1, . . . sn) som gjørat hver likning stemmer når man bytter ut x1, . . . , xn meds1, . . . , sn. Samlingen av alle mulige løsninger kalles løs-ningsmengden. To lineære systemer kalles ekvivalente hvisde har samme løsningsmengde. Å finne løsningsmengdentil et system med to lineære likninger med to variable medreelle koeffisienter er ekvivalent med å finne ut hvor to lin-jer krysser hverandre. F.eks:
x1 − 2x2 = −1−x1 + 2x2 = 3
3
2
x1
x2
Ingen løsning
x1 − 2x2 = −1−x1 + 3x2 = 3
3
2
x1
x2
Nøyaktig én løsning
x1 − 2x2 = −1−x1 + 2x2 = 1
3
2
x1
x2
Uendelig mangeløsninger
Et lineært system er konsistent hvis det har minst en løs-ning og er ukonsistent hvis det ikke har noen løsning. Etlineært system kan representeres med en matrise. F.eks. gittdet lineære systemet
x1 − 2x2 + x3 = 0−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9
2x2 − 8x3 = 8
så kan man representere koeffisientene i systemet med føl-gende koeffisientmatrise:
[1 -2 1-4 5 90 2 -8
]
Hele det lineære systemet kan representeres med følgendeaugmenterte matrise:
[1 -2 1 0-4 5 9 -90 2 -8 8
]
Størrelsen til en matrise sier hvor mange rader og kolon-ner den har. Den augmenterte matrisa ovenfor har 3 raderog 4 kolonner. En m×n matrise (“m ganger n matrise”)er en matrise med m rader og n kolonner. m og n trengerikke å være forskjellige tall. Hvis to matriser er ekvivalentebruker man tegnet ∼ mellom dem. Tre grunnleggende rad-operasjoner kan benyttes på lineære systemer uten at detpåvirker løsningsmengden:
1. (erstatning) Erstatte en rad med summen av seg selvog en multippel av en annen rad.
2. (ombytting) Bytte om to rader.
3. (skalering) Gange alle tall i en rad med et tall ulik 0.
Eksempel 1: Erstatter rad 2 med (rad 2) + (4 ganger rad 1):[
1 -2 1 0-4 5 9 -90 2 -8 8
]∼
[1 -2 1 0
-4+4·1 5+4·(-2) 9+4·1 -9+4·00 2 -8 8
]∼
[1 -2 1 00 -3 13 -90 2 -8 8
]
Eksempel 2: Bytter rad 2 med rad 3:[1 -2 1 00 -3 13 -90 2 -8 8
]∼
[1 -2 1 00 2 -8 80 -3 13 -9
]
Eksempel 3: Ganger alle tall i rad 2 med 12 :
[1 -2 1 00 2 -8 80 -3 13 -9
]∼
[1 -2 1 0
0· 12 2· 12 -8· 12 8· 120 -3 13 -9
]∼
[1 -2 1 00 1 -4 40 -3 13 -9
]
En enhetsmatrise av størrelse n×n er en kvadratisk matrisemed 1 langs diagonalen fra øverste venstre hjørne til neder-ste høyre hjørne og 0 ellers. Eksempel på en 3×3 enhetsma-trise: [
1 0 00 1 00 0 1
]
Ved å bruke radoperasjonene for å få koeffisientmatrisenmest mulig lik en enhetsmatrise kalles radredusering. Gjørman det med eksempelmatrisen ovenfor får man følgende:
[1 -2 1 00 1 -4 40 -3 13 -9
]∼
[1 0 0 290 1 0 160 0 1 3
]
Og man har funnet en unik løsning på det opprinnelige sys-temet med s1 =29, s2 =16, s3 =3. To matriser er radekvi-valente hvis det finnes en rekkefølge av elementære radop-erasjoner som transformerer den ene matrisen til den andre.Hvis de augmenterte matrisene til to lineære systemer erradekvivalente så har systemene samme løsningsmengde.En nullrad er en rad der alle tall er 0. Hvis en augmentertmatrise på redusert trappeform har minst en nullrad, harsystemet minst en fri variabel, og systemet har uendeligmange løsninger. F.eks.
[1 0 -5 10 1 1 40 0 0 0
]Tilsvarer systemet
x1 − 5x3 = 1x2 + x3 = 4
0 = 0
Variablene x1 og x2 kalles ledende variable, mens x3 her eren fri variabel. Slike konsistente systemer kan skrives somen generell løsning ved å løse det reduserte likningssys-temet mhp de ledende variablene:
{x1 = 1 + 5x3x2 = 4− x3x3 er fri
Her står løsningen på parameterform der x3 er en parame-ter, men kan også skrives på følgende måte:
{x1 = 1 + 5tx2 = 4− tx3 = t
Her er t parameteren i løsningen som kan skrives som en3-tuppel på følgende generelle form:
(1 + 5t, 4− t, t), t ∈ RI dette tilfellet har systemet én fri variabel som gir én pa-rameter i den generelle løsningen. Løsningsmengden erdermed endimensjonal (alle løsningene ligger på en linje).Løsningsmengdens dimensjon er altså systemets antall frievariable.
11
Determinanter
Det generelle likningssystemet
ax1 + bx2 = p
cx1 + dx2 = q
Kan løses slik:
[a b pc d q
]∼
[1 0 dp−bq
ad−bc
0 1 aq−cpad−bc
]
Som gir
x1 =dp− bq
ad− bc, x2 =
aq − cp
ad− bc
Dette betyr at det generelle 2×2-systemet har en entydigbestemt løsning når den såkalte determinanten ad− bc 6= 0.Hvis vi har følgende generelle system av n likninger med nukjente:
a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + · · ·+ a2nxn = b2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·an1x1 + · · ·+ annxn = bn
så kalles systemet homogent hvis b1 = b2 = · · · = bn = 0og inhomogent hvis minst en bi 6= 0. Generelt kan vi da si athvis D er determinanten til et lineært likningssystem med nlikninger med n ukjente så har vi følgende fire muligheter:
D 6= 0 D = 0inhomogent entydig bestemt
løsningenten uendeligmange løsninger,eller ingen løs-ninger
homogent kun triviell løsningx1 =x2 = · · ·xn =0
uendelig mangeikke-trivielle løs-ninger
Determinanten til en 2×2-matrise er:
det[
a bc d
]=
∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣ = ad− bc
Determinanten til en 3×3-matrise er:∣∣∣∣∣∣
a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣= a
∣∣∣∣e fh i
∣∣∣∣− b
∣∣∣∣d fg i
∣∣∣∣ + c
∣∣∣∣d eg h
∣∣∣∣
For n ≥ 3 kan determinanten til en n×n-matrise defineresrekursivt på følgende måte:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
. . ....
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= a11 det(M1)− a12 det(M2) + · · ·+ (−1)n+1a1n det(Mn)
der det(Mi) er determinanten til den (n−1)×(n−1)-matrisensom kommer frem når vi stryker rad 1 og kolonne i.
Cramers regel
La D 6= 0 være determinanten til likningssystemet
a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + · · ·+ a2nxn = b2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·an1x1 + · · ·+ annxn = bn
Da har likningssystemet løsningen
x1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b1 a12 · · · a1n
b2 a22 · · · a2n
......
. . ....
bn an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣D
,
x2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 b1 · · · a1n
a21 b2 · · · a2n
......
. . ....
an1 bn · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣D
,
. . . , xn =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · b1
a21 a22 · · · b2
......
. . ....
an1 an2 · · · bn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣D
Summen/differansen av to matriser
Dette er definert for to matriser som er like store:
a11 · · · a1n
......
am1 · · · amn
±
b11 · · · b1n
......
bm1 · · · bmn
=
a11 ± b11 · · · a1n ± b1n
......
am1 ± bm1 · · · amn ± bmn
Skalering av en matrise
En matrise kan ganges med et tall; Man ganger da alle tal-lene i matrisa med tallet:
c
a11 · · · a1n
......
am1 · · · amn
=
c · a11 · · · c · a1n
......
c · am1 · · · c · amn
Produktet av to matriser
Hvis antall kolonner i en matrise likt antall rader i en annenmatrise, så kan de ganges sammen som i eksempelet her:
BA A·B =
[2 17 3 4
15 7 −8 4−3 27 11 −4
]
[1 4 −20 13 72 3 4
] [68 −9 −51 28
174 280 −27 2437 163 26 4
]
F.eks. så har −27 her kommet frem ved å plusse sammenproduktet av tall fra 2. rad i A og 3. kolonne i B slik:
0 · 3 + 13 · (−8) + 7 · 11 = −27
12
Regneregler for matriser
La A, B,C være vilkårlige matriser, I enhetsmatrisen og 0være matrisen der alle tallene er lik null. Vi har da følgenderegler for matriseregning (der størrelsene på matrisene erslik at den aktuelle formelen gir mening):
A + B = B + A
A + (B + C) = (A + B) + C
A + 0 = 0 + A = A
A−A = 0A(BC) = (AB)C
AI = IA = A
A(B + C) = AB + AC
I tillegg er operasjonen Ak der k∈N definert som å gange Amed seg selv k ganger. M0 er definert til å være lik I .
Den inverse til en matrise
Hvis A er en kvadratisk matrise, så er A−1 definert slik at
A−1 ·A = A ·A−1 = I
En matrise A er inverterbar ⇔ det A 6= 0
Inversen til en 2×2-matrise er
[a bc d
]−1
=1
ad− bc
[d −b−c a
]
Inverser i likningsløsing
Hvis Y = AX og |A| 6= 0 så er X = A−1Y
Negative eksponenter
Vi definererA−k = (A−1)k k ∈ N
Dette fører til at
ApAq = Ap+q og (Ap)q = Aqp
Inversen til et produkt
(AB)−1 = B−1A−1
Om dette heftet
Dette heftet er laget som en skreddersydd formelsamlingtil et forkurs i anvendt matematikk ved UiA i Grimstad. Endel av stoffet er oversettelser av definisjoner og teoremer fraGulliksen (1998). Noe stoff er også inspirert av formelsam-lingen til Utdanningsdirektoratet (2001). Kommentarer ogrettelser er meget velkomne, og medfører finnerlønn vedalvorlige feil.
Dette er versjon 21. Siste versjon bør ligge her:
trondal.com/anvendt.pdf
CC© BY:© $\© Jostein Trondal, 7. mai 2009jostein@trondal.no
Referanser
Gulliksen, T. (1998). Matematikk i praksis. Universitetsfor-laget.
Utdanningsdirektoratet. (2001). Formelsamling i matematikk.Gyldendal.
13
MA-128 Kalkulus formelsamling versjon 8
1. Kvadratsetning: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. Kvadratsetning: (a− b)2 = a2 − 2ab + b2
Konjugatsetningen: (a + b)(a− b) = a2 − b2
Andregradslikningen: ax2 + bx + c = 0 ⇒ x = −b±√b2−4ac2a
Fullstendig kvadrat: ax2 + bx + c = a(x + b
2a
)2+ c− b2
4a
Trigonometriske identitetersin2 x + cos2 x = 1 cscx = 1/ sinx
tanx = sin xcos x sec x = 1/ cosx
sin2 x = 12 (1− cos 2x) cot x = 1/ tan x
= 1− cos2 x sin x = sin(x + 2πn)
cos2 x = 12 (1 + cos 2x) cos x = cos(x + 2πn)
= 1− sin2 x tan x = tan(x + 2πn)
sin 2x = 2 sin x cosx sin(−x) = − sin x (odde)
cos 2x = cos2 x− sin2 x cos(−x) = cos x (jevn)
= 2 cos2 x− 1 tan(−x) = − tan x (odde)
= 1− 2 sin2 x sin x = cos(x− π2 )
tan 2x = 2 tan x1−tan2 x cos x = sin(x + π
2 )
sin(a± b) = sin a cos b± cos a sin b
cos(a± b) = cos a cos b∓ sin a sin b
tan(a± b) = tan a±tan b1∓tan a tan b
Potenser og røtter
an =n ganger︷ ︸︸ ︷
a · a · · · aa0 = 11a = 1
a−b =1ab
1ab
=(
1a
)b
ab · ac = ab+c
ab
ac= ab−c
(ab
)c= ab·c
(a
b
)c
=ac
bc
(a · b)c = ac · bc
√a = 2
√a = a
12
b√
a = a1b
abc = c
√ab
√a · b =
√a ·√
bn√
a · b = n√
a · n√
b√a
b=√
a√b
n
√a
b=
n√
an√
b√a2 · b = |a|
√b
Skivemetoden med hull
V = π
∫ b
a
[(R(x))2 − (r(x))2
]dx
Sylinderskallmetoden
V = 2π
∫ b
a
(skall
radius
) (skall
høyde
)dx
Kurvelengden til y = f(x) a ≤ x ≤ b
L =∫ b
a
√1 +
(dy
dx
)2
dx =∫ b
a
√1 + (f ′(x))2 dx
Newtons metodexn+1 = xn − f(xn)
f ′(xn)
Logaritmer ln xy = ln x + ln y ln 1 = 0
ln xy = ln x− ln y ln 1
x = − ln x
ln xy = y ln x loga x= ln xln a
Funksjonsverdier av spesielle vinkler
θ grader sin θ cos θ tan θ0 0◦ 0 1 0π6 30◦ 1
2
√3
2
√3
3
π4 45◦
√2
2
√2
2 1π3 60◦
√3
212
√3
π2 90◦ 1 0 ±∞2π3 120◦
√3
2 − 12 −√3
3π4 135◦
√2
2 −√
22 −1
5π6 150◦ 1
2 −√
32 −
√3
3
π 180◦ 0 −1 07π6 210◦ − 1
2 −√
32
√3
3
5π4 225◦ −
√2
2 −√
22 1
4π3 240◦ −
√3
2 − 12
√3 θ − 2π grader
3π2 270◦ −1 0 ±∞ −π
2 −90◦
5π3 300◦ −
√3
212 −√3 −π
3 −60◦
7π4 315◦ −
√2
2
√2
2 −1 −π4 −45◦
11π6 330◦ − 1
2
√3
2 −√
33 −π
6 −30◦
2π 360◦ 0 1 0 0 0◦
Derivasjon(xn)′ = nxn−1 (sin x)′ = cos x
(cu)′ = cu′ (cos x)′ = − sinx
(u + v)′= u′ + v′ (tan x)′ = 1cos2 x = 1 + tan2 x
(uv)′ = u′v + uv′ (sin−1 x)′ = 1√1−x2(
uv
)= u′v−uv′
v2 (cos−1 x)′= − 1√1−x2
(ex)′ = ex (tan−1 x)′= 11+x2
(ax)′ = ax ln a (ln x)′ = 1x , x > 0
(g(u))′ = g′(u)u′Integrasjon∫
xn dx = 1n+1xn+1 + c
∫du
a2+u2 = 1a tan−1
(ua
)+ c
∫1x dx = ln |x|+ c
∫du√
a2−u2 = sin−1(
ua
)+ c
∫sin ax dx = − 1
a cos ax + c∫
1cos2 x dx = tan x + c
∫cos ax dx = 1
a sin ax + c∫
eax dx = 1aeax + c
∫ax dx = 1
ln aax + c∫
u dv = uv − ∫v du
∫ b
af(x)g′(x) dx = f(x)g(x)]ba −
∫ b
af ′(x)g(x) dx
ddx
∫ v(x)
u(x)f(t) dt = f(v(x)) dv
dx − f(u(x))dudx
Momenter, masse og massesenter til en tynn plateMassesenter til en “stripe” (x, y)
Massetettetsfunksjon δ
Massen til en stripe dm = δ·lengde·breddeMoment om x-aksen Mx =
∫y dm
Moment om y-aksen My =∫
x dm
Massen til plata M =∫
dm
Massesenter til plata x = My
M y = Mx
M
stripe || x-aksen ⇔ y = y, bredde = dy
stripe || y-aksen ⇔ x = x, bredde = dx
sin θ
θ
1
−1− 3π
2−π −π
2π2
π 3π2
cos θ
θ
1
−1− 3π
2−π −π
2π2
π 3π2
tan θ
θ
1
−1
2
−2
− 3π2−π −π
2π2
π 3π2
Mengder
En mengde er en samling av elementer. Følgende notasjonkan brukes, der S og T er mengder:
a ∈ S a er element i Sa 6∈ S a er ikke element i SS ∪ T Unionen av S og T (inneholder alle
elementer i S og T til sammen)S ∩ T Snittet av S og T (inneholder alle ele-
menter felles for S og T )∅ Den tomme mengden (inneholder in-
gen elementer)S ⊆ T S er en delmengde av T (T innehold-
er minst alle elementene til S)
Tall
Tall kan defineres som mengdene N,Z,N+,Z−,Q,R slik:
Naturlige tall N = {0, 1, 2, . . .}Hele tall Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}
Positive heltall N+ = {1, 2, 3, . . .}Negative heltall Z− = {−1,−2,−3, . . .}
Rasjonale tall Q =a
bder a, b ∈ Z og b 6= 0
Irrasjonale tall = Tall uten periodiskdesimalutvikling
Reelle tall R = Rasjonale og irrasjonale tall
N+ ⊆ N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ RTall kan beskrives geometrisk som punkter på en tallinje:
Intervaller
En delmengde av tallinja kalles et intervall om den in-neholder minst to tall og inneholder alle reelle tall mellomto vilkårlige elementer i delmengden. Et linjesegment avtallinja er et endelig intervall. Et ubegrenset område avtallinja er et uendelig intervall. Et intervall er lukket omdet inneholder begge endepunktene, åpent om det ikkeinneholder noen endepunkter og halvåpent om det in-neholder ett av endepunktene men ikke det andre. Punkteri intervallet som ikke er endepunkter kalles indre punkter.Vi har følgende typer intervaller:
Notasjon Mengde Type〈a, b〉 {x|a < x < b} Åpent, endelig[a, b] {x|a ≤ x ≤ b} Lukket, endelig[a, b〉 {x|a ≤ x < b} Halvåpent, endelig〈a, b] {x|a < x ≤ b} Halvåpent, endelig〈a,∞〉 {x|x > a} Åpent, uendelig[a,∞〉 {x|x ≥ a} Lukket, uendelig〈−∞, b〉 {x|x < b} Åpent, uendelig〈−∞, b] {x|x ≤ b} Lukket, uendelig〈−∞,∞〉 R Åpent, lukket, uendelig
Ulikheter
Hvis a, b, c ∈ R så har vi:
a < b ⇒ a + c < b + c
a < b ⇒ a− c < b− c
a < b og c > 0 ⇒ ac < bc
a < b og c < 0 ⇒ ac > bc
a < b ⇒ −a > −b
a > 0 ⇒ 1a
> 0
a > 0 og b > 0 ⇒ a < b ⇒ 1a
>1b
a < 0 og b < 0 ⇒ a < b ⇒ 1a
>1b
Absoluttverdi
Hvis a, b, x ∈ R så har vi:
|x| ={
x hvis x ≥ 0−x hvis x < 0
| − a| = |a|| − a| 6= −|a||ab| = |a||b|∣∣∣ab
∣∣∣ =|a||b|
|a + b| ≤ |a|+ |b| (trekantulikheten)
Hvis a > 0 har vi:
|x| = a hvis og bare hvis x = ±a
|x| < a hvis og bare hvis − a < x < a
|x| > a hvis og bare hvis x > a eller x < −a
|x| ≤ a hvis og bare hvis − a ≤ x ≤ a
|x| ≥ a hvis og bare hvis x ≥ a eller x ≤ −a
Geometriske figurer i planet
Figur Areal Omkrets
Rektangel gh 2(g + h)
Trekant gh2
Parallellogram gh
Trapes (a+b)h2
Sirkel πr2 2πr
Sektor br2 = πr2θ b = 2πrθ
2
Geometriske figurer i rommet
Figur Volum Overflate
Kube s3 6s2
Prisme Gh
Pyramide Gh3
Sylinder πr2h 2πr(r + h)
Kjegle πr2h3 πr(r + s)
Kule 4πr3
3 4πr2
For vilkårlige trekanter i planet gjelder
Areal = 12bc sin A
a2 = b2 + c2 − 2bc cosA
sin Aa = sin B
b = sin Cc
Linjer i planet
Stigningstallet m til en ikkevertikal linje gjennom punktene(x0, y0) og (x1, y1) er definert som
m =∆y
∆x=
y1 − y0
x1 − x0
En linje med stigningstall m som går gjennom punktet(x1, y1) kan beskrives med likningen
y = y1 + m(x− x1)
En horisontal linje gjennom punktet (x1, y1) kan derforbeskrives med likningen y = y1. En vertikal linje gjennompunktet (x1, y1) kan beskrives med likningen x = x1.
En linje med stigningstall m og konstantledd b kanbeskrives med likningen
y = mx + b
Alle linjer kan skrives på normalformen
Ax + By = C
der A og B ikke begge er lik null.
Hvis to ikke-vertikale linjer L1 og L2 står vinkelrett påhverandre, så vil deres stigningstall m1 og m2 tilfredsstillelikningen m1m2 = −1, dvs:
m1 =1
m2og m2 =
1m1
Avstanden mellom punktene (x0, y0) og (x1, y1) er
d =√
(x1 − x0)2 + (y1 − y0)2
Parabler
Grafen til likningen y = ax2 + bx+ c der a 6= 0 er en parabelsom er åpen i toppen når a > 0 og åpen i bunnen når a < 0.Parabelens akse er linjen
x = − b
2a
Sirkel
En sirkel med radius r er mengden av alle punktenehvis avstanden fra et sentrum (x0, y0) er lik a. Dette kanbeskrives med likningen
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2
Andregradslikningen
ax2 + bx + c = 0 ⇒ x =−b±√b2 − 4ac
2a
Hvis x = x0 og x = x1 er løsninger av ax2 + bx + c = 0, såhar vi følgende:
ax2 + bx + c = a(x− x0)(x− x1)
x0 + x1 = − b
a
x0 · x1 =c
a
Pytagoras’ setning
I en rettvinklet trekant med katetlengder a og b og hy-potenuslengde c så har vi
a2 + b2 = c2
Funksjoner
En funksjon fra en mengde D til en mengde Y er en regelsom tilordner ett (unikt) element f(x) ∈ Y til hvert ele-ment x ∈ D. Mengden D med alle mulige inputverdierkalles definisjonsmengden til funksjonen. Mengden avalle verdiene til f(x) når x varierer gjennom hele D kallesverdimengden til funksjonen.
Polynomer
En funksjon p(x) er et polynom hvis
p(x) = a0 + a1x + · · ·+ an−1xn−1 + anxn
hvor n ∈ N og a0, a1, a2, . . . , an ∈ R (og kalles koeff-isientene) til polynomet. Alle polynomer har definisjone-mengde 〈−∞,∞〉. n kalles graden av polynomet.
3
Rasjonale funksjoner
En rasjonal funksjon er et forhold mellom to polynomer:
f(x) =p(x)q(x)
der p og q er polynomer. Definisjonsmengden til en rasjon-al funksjon er mengden av alle x ∈ R der q(x) 6= 0.
Proporsjonalitet
To variable x og y er proporsjonale til hverandre hvis denene alltid er en konstant multippel av den andre, dvs:
y = kx
for en eller annen konstant k 6= 0.
Sammensatte funksjoner
Hvis f og g er funksjoner, så er den sammensatte funksjo-nen
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
Definisjonsmengden til f ◦ g består av tallene x i definisjon-smengden til g der g(x) ligger i definisjonsmengden til f .
Flytting/modifisering av grafer
En graf kan flyttes vertikalt ved å legge til en konstant k:Hvis k > 0 så har vi:
f(x) + k Flytter grafen til f opp lengden kf(x)− k Flytter grafen til f ned lengden kf(x + k) Flytter grafen til f lengden k mot venstref(x− k) Flytter grafen til f lengden k mot høyre
Hvis k > 1 så har vi:
kf(x) Strekker grafen til f vertikalt med faktoren k1kf(x) Trykker grafen til f vertikalt med faktoren kf(kx) Trykker grafen til f horisontalt med faktoren kf(x/k) Strekker grafen til f horisontalt med faktoren k
Hvis k = −1 så har vi:
kf(x) = −f(x) Speiler grafen til f gjennom x-aksenf(kx) = f(−x) Speiler grafen til f gjennom y-aksen
Jevne og odde funksjoner
En funksjon y = f(x) er en
jevn funksjon av x hvis f(−x) = f(x),odde funksjon av x hvis f(−x) = −f(x),
for hver x i funksjonens definisjonsmengde. Jevnefunksjoner er symmetriske om y-aksen. Odde funksjonerer symmetriske om origo.
Trigonometri
En vinkel n◦ i grader kan regnes om til en vinkel θ i radian-er med formelen
θ =n◦
180◦π
De triginometriske funksjonene relateres til sidelengdene ien rettvinklet trekant på følgende måte:
sin θ = bc csc θ = 1
sin θ = cb
cos θ = ac sec θ = 1
cos θ = ca
sin θcos θ = tan θ = b
a cot θ = 1tan θ = a
b
Harmoniske svingninger
kan modelleres med funksjonen
f(x) = a sin cx + b cos cx + d
= A sin(cx + ϕ) + d
Periode: 2πc Likevektslinje: y = d
Amplitude: A =√
a2 + b2 tan ϕ = ba
Grenseverdier
Hvis L, M, c, k ∈ R og
limx→c
f(x) = L og limx→c
g(x) = M, så
limx→c
(f(x) + g(x)) = L + M
limx→c
(f(x)− g(x)) = L−M
limx→c
(f(x) · g(x)) = L ·Mlimx→c
(k · f(x)) = k · L
limx→c
f(x)g(x)
=L
M, M 6= 0
Hvis r, s ∈ N, ikke har noen felles faktor og s 6= 0, så
limx→c
(f(x))r/s = Lr/s
gitt at Lr/s ∈ R. (Hvis s er et partall, antar vi L > 0).
Hvis limx→c ln f(x) = L, da er
limx→c
f(x) = limx→c
eln f(x) = eL
Merk at disse reglene også er gyldige når c = ±∞.
Grenseverdien til polynomer
Hvis p(x) er et polynom, så er
limx→c
p(x) = p(c)
Grenseverdien til rasjonale funksjoner
Hvis p(x) og q(x) er polynomer og q(c) 6= 0, så er
limx→c
p(x)q(x)
=p(c)q(c)
Sandwichteoremet
Anta at g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) for alle x i et åpent intervallsom inneholder c, utenom muligens ved x = c. Anta i til-legg at
limx→c
g(x) = limx→c
h(x) = L.
Da vil ogsålimx→c
f(x) = L.
4
Venstre og høyre grenseverdier
En funksjon f(x) har en grenseverdi når x går mot c hvisog bare hvis den har venstre og høyre grenseverdier der ogdisse grenseverdiene er like:
limx→c
f(x) = L ⇔ limx→c−
f(x) = L og limx→c+
f(x) = L
Horisontal asymptote
En linje y = b er en horisontal asymptote av grafen til enfunksjon y = f(x) hvis enten
limx→∞
f(x) = b eller limx→−∞
f(x) = b
Skråasymptote
Hvis graden til telleren i en rasjonal funksjon f(x) er enhøyere enn graden til nevneren så har grafen til funksjo-nen en skråasymptote. Ved å dele telleren på nevnerenved polynomdivisjon får vi uttrykt den rasjonale funksjo-nen som en lineær funksjon av x pluss et restledd med x inevneren. Den lineære delen er funksjonen for skråasymp-toten.
Vertikal asymptote
En linje x = a er en vertikal asymptote av grafen til enfunksjon y = f(x) hvis enten
limx→a+
f(x) = ±∞ eller limx→a−
f(x) = ±∞
Noen vanlige grenseverdier
limθ→0
sin θ
θ= 1 (θ i radianer)
limn→∞
(1 +
x
n
)n
= ex (for alle x)
Kontinuitet
En funksjon f(x) er kontinuerlig ved x = c hvis og barehvis følgende tre krav er oppfyllt:
1. f(c) finnes (c er i definisjonsmengden til f )2. limx→c f(x) finnes (f har en grense når x → c)3. limx→c f(x) = f(c) (grenseverdien er lik f(c))
Kontinuerlig funksjon
En funksjon er kontinuerlig på et intervall hvis og barehvis den er kontinuerlig på alle punktene i intervallet. Enkontinuerlig funksjon er en funksjon som er kontinuerligpå alle punktene i funksjonens definisjonsmengde. Enfunksjon trenger ikke være kontinuerlig på alle intervaller.F.eks. y = 1/x er ikke kontinuerlig i intervallet [−1, 1], mener kontinuerlig i definisjonsmengden (−∞, 0) ∪ (0,∞).
Egenskaper til kontinuerlige funksjoner
Hvis funksjonene f og g er kontinuerlige ved x = c, da erfølgende kombinasjoner også kontinuerlige ved x = c:
Summer f + gDifferanser f − gProdukter f · gKonstante multipler k · f , for alle tall kKvotienter f/g, gitt at g(c) 6= 0Potenser fr/s, gitt at fr/s er definert på
et åpent intervall som innehold-er c og r, s ∈ N
Sammensatte funksjoner f ◦ g = f(g(x))
Mellomverdisetningen (Intermediate value theorem)
En funksjon y = f(x) som er kontinuerlig på et lukket in-tervall [a, b] antar alle verdier mellom f(a) og f(b). Dvs athvis y0 er en hvilken som helst verdi mellom f(a) og f(b),så er y0 = f(c) for en eller annen c ∈ [a, b].
Stigningstallet til en kurve på et punkt
Stigningstallet til en kurve y = f(x) på punktetP (x0, f(x0)) er tallet
m = limh→0
f(x0 + h)− f(x0)h
(gitt at denne finnes)
Tangenten til kurven ved P er linjen gjennom P med dettestigningstallet.
Derivasjon
Den deriverte til funksjonen f(x) med hensyn på variabe-len x er funksjonen f ′ hvis verdi ved x er
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)h
gitt at denne grenseverdien finnes. Det er mange måter åskrive den deriverte på. Her er noen vanlige alternativer:
f ′(x) = y′ =dy
dx=
df
dx=
d
dxf(x)
Deriverbarhet impliserer kontinuitet
Hvis f er deriverbar ved x = c så betyr det at f også erkontiunerlig ved x = c (men ikke nødvendigvis motsatt).
Darboux’ teorem
Hvis a og b er to vilkårlige punkter i et intervall der f erderiverbar, så vil f ′ anta alle verdier mellom f ′(a) og f ′(b).
5
Derivert som endringshastighet
Øyeblikkelig endringshastighet til f med hensyn påx ved x0 er den deriverte til f ved x0, f ′(x0). Hvis das = f(t) er funksjonen for posisjonen s med hensyn påtiden t, så har vi følgende:
s(t) = f(t) posisjonv(t) = s′(t) farta(t) = v′(t) = s′′(t) akselerasjon
j(t) = a′(t) = v′′(t) = s(3)(t) rykk
Analyse av funksjoner med derivasjon
Ekstremverdier
La f være en funksjon med definisjonsmengde D. Da har fen global maksimumsverdi på D ved et punkt c hvis
f(x) ≤ f(c) for alle x i D
og en global minimumsverdi på D ved c hvis
f(x) ≥ f(c) for alle x i D.
Hvis f er kontinuerlig på et lukket intervall [a, b], da vilf ha både en absolutt maksimumsverdi M og en absoluttminimumsverdi m i [a, b]. Dvs, det finnes to tall x1 og x2 i[a, b] der f(x1) = m, f(x2) = M og m ≤ f(x) ≤ M for alleandre x-verdier i [a, b].
Lokale maks og min
En funksjon f har en lokal maksimumsverdi ved et indrepunkt c i definisjonsmengden hvis
f(x) ≤ f(c) for alle x i et åpent intervall som inneholder c.
En funksjon f har en lokal minimumsverdi ved et indrepunkt c i definisjonsmengden hvis
f(x) ≥ f(c) for alle x i et åpent intervall som inneholder c.
Globale ekstremverdier er også lokale ekstremverdier, menikke nødvendigvis motsatt.
Førstederivert testen for lokale ekstremverdier
Hvis f har en lokal maksimums- eller minimumsverdi vedet indre punkt c i definisjonsmengden, og f ′ er definert vedc, så er
f ′(c) = 0
Kritisk punkt
Et indre punkt i definisjonsmengden til en funksjon f derf ′ er null eller udefinert kalles et kritisk punkt på f .
Globale ekstrempunkt på et endelig lukket intervall
til en kontinuerlig funksjon f finner man ved å1. Regne ut f ved alle kritiske punkter og endepunkter.2. Ta den største og den minste verdien av disse.
Rolles teorem
Anta at y = f(x) er kontinuerlig på alle punkter i detlukkede intervallet [a, b] og deriverbar på alle punkter i detåpne intervallet (a, b). Hvis
f(a) = f(b),
da finnes det minst ett tall c i (a, b) hvor
f ′(c) = 0
Middelverditeoremet (Mean Value Theorem)
Anta at y = f(x) er kontinuerlig på et lukket intervall [a, b]og deriverbar på alle punkter i det åpne intervallet (a, b).Da finnes det minst et punkt c i (a, b) hvor
f(b)− f(a)b− a
= f ′(c)
Funksjoner med null som derivert er konstante
Hvis f ′(x) = 0 ved alle punkter x i et åpent intervall (a, b),da er f(x) = C for alle x ∈ (a, b), der C er en konstant.
Funksjoner med samme derivert avviker med en konst.
Hvis f ′(x) = g′(x) for alle punkter x i et åpent intervall(a, b), da finnes det en konstant C slik at f(x) = g(x) + Cfor alle x ∈ (a, b). Dvs, f − g er en konstant på (a, b).
Økende, minkende og monotone funksjoner
La f være en funksjon definert på et intervall I ogla x1 og x2 være to vilkårlige punkter i I . Da har vi:
1. Hvis f(x1) < f(x2) når x1 < x2, så er f økende på I .2. Hvis f(x1) > f(x2) når x1 < x2, så er f minkende på I .
En funksjon som enten er økende eller minkende på Ikalles monoton på I .
Førstederivert testen for monotone funksjoner
Anta at f er kontinuerlig på [a, b] og deriverbar på (a, b).Hvis f ′(x) > 0 for alle x ∈ (a, b), da er f økende på [a, b]Hvis f ′(x) < 0 for alle x ∈ (a, b), da er f minkende på [a, b]
Førstederivert testen for lokale ekstremverdier
Anta at c er et kritisk punkt på en kontinuerligfunksjon f , og at f er deriverbar på alle punk-ter i et intervall som inneholder c, men ikke nød-vendigvis ved c. Hvis det viser seg at, når man beveg-er seg forbi c fra venstre mot høyre på tallinjen, og
1. hvis f ′ går fra negativ til positiv ved c, da har flokalt minimum ved c;
2. hvis f ′ går fra positiv til negativ ved c, da har flokalt maksimum ved c;
3. hvis f ′ ikke forandrer fortegn ved c, da har ikke flokal ekstremverdi ved c.
Konkav opp, konkav ned
Grafen til en deriverbar funksjon y = f(x) er på et åpentintervall I
1. konkav opp hvis f ′ er økende på I2. konkav ned hvis f ′ er minkende på I .
6
Andrederivert testen for konkavitet
La y = f(x) være to ganger deriverbar på et intervall IHvis f ′′ > 0 på I , da er grafen til f over I konkav opp.Hvis f ′′ < 0 på I , da er grafen til f over I konkav ned.
Vendepunkt
Et punkt der grafen til en funksjon kan ha en tangent ogder konkaviteten endres, kalles et vendepunkt.
Andrederivert testen for lokale ekstemverdier
Anta at f ′′ er kontinuerlig på et åpent intervall som in-neholder x = c.
1. Hvis f ′(c) = 0 og f ′′(c) < 0, da har f lokalt maksi-mum ved x = c
2. Hvis f ′(c) = 0 og f ′′(c) > 0, da har f lokalt mini-mum ved x = c
3. Hvis f ′(c) = 0 og f ′′(c) = 0, da feiler testen.Funksjonen f kan da enten ha lokalt maks, lokaltmin, eller ingen av delene.
L’Hôpitals regel
Anta at f(a) = g(a) = 0, og at f og g er deriverbare pået åpent intervall I som inneholder a, og at g′(x) 6= 0 på Ihvis x 6= a. Da har vi
limx→a
f(x)g(x)
= limx→a
f ′(x)g′(x)
hvis grenseverdien til høyre finnes. Det samme gjelder omf(x) → ±∞ og g(x) → ±∞ når x → a. Vi kan også haa = ±∞ eller x → a+ eller x → a−.
Integrasjon
Antideriverte
En funksjon F er en antiderivert av f på et intervall I hvisF ′(x) = f(x) for alle x ∈ I . Hvis F er en antiderivert av fpå et intervall I , da er den mest generelle antideriverte avf på I
F (x) + C
hvor C er en vilkårlig konstant.
Ubestemt integral, integrand
Mengden av alle antideriverte av f er det ubestemte inte-gralet av f med hensyn på x, og blir skrevet slik:
∫f(x) dx
Symbolet∫
er et integraltegn. Funksjonen f er inte-granden til integralet, og x er integrasjonsvariabelen.
Bestemt integral
Hvis en funksjon y = f(x) er ikkenegativ og integrerbarover et lukket intervall [a, b], da er arealet mellom kurveny = f(x) og x-aksen over [a, b] integralet av f fra a til b,
A =∫ b
a
f(x) dx
Regneregler for bestemte integraler
∫ b
a
f(x) dx = −∫ a
b
f(x) dx
∫ a
a
f(x) dx = 0
∫ b
a
kf(x) dx = k
∫ b
a
f(x) dx
∫ b
a
(f(x)± g(x)) dx =∫ b
a
f(x) dx±∫ b
a
g(x) dx
∫ b
a
f(x) +∫ c
b
f(x) =∫ c
a
f(x) dx
Gjennomsnittsverdien til en funksjon
Hvis f er integrerbar på [a, b], da er gjennomsnittsverdientil f på [a, b] lik
gj(f) =1
b− a
∫ b
a
f(x) dx
Middelverditeoremet for bestemte integraler
Hvis f er kontinuerlig på [a, b], da finnes det et punkt c i[a, b] hvor
f(c) =1
b− a
∫ b
a
f(x) dx
Kalkulusens fundamentalteorem
Hvis f er kontinuerlig på [a, b], da er F (x) =∫ x
af(t) dt kon-
tinuerlig på [a, b] og deriverbar på 〈a, b〉, og dens deriverteer f(x):
F ′(x) =d
dx
∫ x
a
f(t) dt = f(x)
Hvis f er kontinuerlig på alle punkter i [a, b], og F er envilkårlig antiderivert av f på [a, b], da har vi
∫ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a)
Subtitusjonsregelen for ubestemte integral
Hvis u = g(x) er en deriverbar funksjon hvis verdimengdeer et intervall I og f er kontinuerlig på I , da har vi
∫f(g(x)) · g′(x) dx =
∫f(u) du
Subtitusjonsregelen for bestemte integral
Hvis g′ er kontinuerlig på intervallet [a, b] og f er kontin-uerlig på verdimengen til g, da har vi
∫ b
a
f(g(x)) · g′(x) dx =∫ g(b)
g(a)
f(u) du
7
Spesialtilfeller når f er jevn eller odde
La f være kontinuerlig på intervallet [−a, a], da har vi
Hvis f er jevn, da er∫ a
−a
f(x) dx = 2∫ a
0
f(x) dx
Hvis f er odde, da er∫ a
−a
f(x) dx = 0
Arealet mellom kurver
Hvis f og g er kontinuerlige og f(x) ≥ g(x) i [a, b], da erarealet av området mellom kurvene y = f(x) og y = g(x)fra a til b integralet av (f − g) fra a til b:
A =∫ b
a
[f(x)− g(x)] dx
Bruksområder til bestemte integraler
Volum
Volumet av et legeme med et kjent integrerbart tver-snittareal A(x) fra x = a til x = b er integralet av A fra atil b:
V =∫ b
a
A(x) dx
Omdreiningslegeme; skivemetoden uten hull
V = π
∫ b
a
(R(x))2 dx
Kurvelengde til x = g(y) c ≤ y ≤ d
Hvis g er kontinuerlig og deriverbar på [c, d], da er lengdenav kurven (grafen) x = g(y) fra y = c til y = d lik
L =∫ d
c
√1 +
(dx
dy
)2
dy =∫ d
c
√1 + (g′(y))2 dy
Moment, masse og massesenter til en tynn stang langsx-aksen med tetthetsfunksjon δ(x)
Moment om origo M0 =∫ b
axδ(x) dx
Masse M =∫ b
aδ(x) dx
Massesenter x = M0M
Transcendente funksjoner
Enentydig funksjon
En funksjon f(x) er enentydig (eller injektiv) på en defin-isjonsmengde D hvis f(x1) 6= f(x2) når x1 6= x2 i D.
Horisontallinjetesten for enentydige funksjoner
En funksjon y = f(x) er enentydig hvis og bare hvis grafenskjærer enhvær horisontal linje høyest ett sted.
Invers funksjon
Anta at f er en enentydig funksjon på en definisjons-mengde D med verdimengde R. Den inverse funksjonenf−1 er definert ved
f−1(a) = b hvisf(b) = a
Definisjonsmengden til f−1 er R og verdimengden til f−1
er D.
Resiprok
Om et tall a ∈ R ikke er lik null, kan vi finne en delt påtallet, nemlig 1
a . Dette tallet kalles da a’s resiprok.
Den deriverte av en invers funksjon
Hvis f har et intervall I som definisjonsmengde og f ′(x)finnes og aldri er null på I , da er f−1 deriverbar på allepunkter i dens definisjonsmengde. Verdien til (f−1)′ vedet punkt b i definisjonsmengden til f−1, er resiproken tilverdien til f ′ ved punktet a = f−1(b):
(f−1)′(b) =1
f ′(f−1(b))
ellerd f−1
dx
∣∣∣∣x=b
=1
d fdx
∣∣∣x=f−1(b)
Den naturlige logaritmen ln x
ln x =∫ x
1
1t
dt, x > 0
Det naturlige tallet e
Tallet e er det tallet i definisjonsmengden til den naturligelogaritmen som tilfredsstiller likningen
ln(e) = 1
Egenskaper til logaritmer
For vilkårlige tall a > 0 og x > 0, så gjelder følgende regler:
ln ax = ln a + ln x produktregelen
lna
x= ln a− ln x kvotientregelen
ln1x
= − ln x resiprokregelen
ln xr = r ln x potensregelen
Den naturlige eksponentialfunksjonen ex
For alle x ∈ R, så er den inverse funksjonen til ln x lik ex:
ex = ln−1 x = expx
Dette fører til at
eln x = x for alle x > 0ln(ex) = x for alle x
8
Generelle eksponentialfunksjoner
For alle tall a > 0 og x, så har vi
ax = ex ln a
Generelle logaritmefunksjoner
For alle positive tall a 6= 1, så er
loga x =ln x
ln aden inverse funksjonen av ax
Dette fører til at
aloga x = x for alle x > 0loga(ax) = x for alle x
Malthus’ lov for eksponentiell vekst
Om man antar at øyeblikkelig endringshastighet til en stør-relse er proporsjonal med størrelsen får man differensial-likningen
d
dty(t) = ky
Hvis y = y0 når t = 0 så er løsningen på denne likningen
y(t) = y0ekt
der k > 0 gir “vekst” og k < 0 gir “nedgang”. k kallesvekstfaktoren. Funksjonen kan brukes til å modellere f.eks.ubegrenset vekst eller radioaktiv nedbrytning.
Vekstrater når x →∞La f(x) og g(x) være positive for tilstrekkelig store x. Hvis
limx→∞
f(x)g(x)
= ∞
eller, tilsvarende, om
limx→∞
g(x)f(x)
= 0
så sier vi at f vokser raskere enn g, evt at g vokser seinereenn f . Hvis
limx→∞
f(x)g(x)
= L (et endelig tall)
så sier vi at f og g har samme vekstrate når x →∞.
Inverse trigonometriske funksjoner
y = sin−1 x er tallet i [−π/2, π/2] der sin y = xy = cos−1 x er tallet i [0, π] der cos y = xy = tan−1 x er tallet i 〈−π/2, π/2〉 der tan y = x
Inverse trigonometriske identiteter
cos−1 x = π/2− sin−1 x
cot−1 x = π/2− tan−1 x
csc−1 x = π/2− sec−1 x
Numerisk integrasjon
Trapesmetoden
Et bestemt integral av f fra a til b kan approksimeres ved åstykke opp intervallet i n like store lengder, og summerearealet av trapesene fra x-aksen til f . Bredden på hverttrapes blir ∆x = b−a
n . Summen av trapesarealene blir da
T =∆x
2
(f(a) + 2
n−1∑
k=1
f(a + k∆x) + f(b)
)
Simpsons metode
S =∆x
3(y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + · · ·+ 2yn−2 + 4yn−1 + yn)
Der y’ene er verdier av f ved partisjonspunktene
x0 = a, x1 = a + ∆x, . . . , xn−1 = a + (n− 1)∆x, xn = b.
Tallet n er et partall, og ∆x = (b− a)/n.
Om dette heftet
Dette heftet er laget som en skreddersydd formel-samling til MA-128 kalkulus ved UiA i Grimstad.Mesteparten av stoffet er oversettelser av definisjonerog teoremer fra George B. Thomas (2005). Noe stoff erogså inspirert av formelsamlingene fra Haugan (2007),Utdanningsdirektoratet (2001) og Wikipedia. Kommentar-er og rettelser er meget velkomne, og medfører finnerlønnved alvorlige feil.
Dette er versjon 8. Siste versjon bør ligge her:
trondal.com/kalkulus.pdf
CC© BY:© $\© Jostein Trondal, 13. november 2008jostein@trondal.no
Referanser
George B. Thomas, J. (2005). Thomas’ Calculus (M. Weir,J. Hass, & F. R. Giordano, Eds.). Pearson AddisonWesley.
Haugan, J. (2007). Formler og tabeller. NKI Forlaget.Utdanningsdirektoratet. (2001). Formelsamling i matematikk.
Gyldendal.
Lineær algebra og differensiallikninger formelsamling versjon 6Algebra a, b, c, x ∈ R1. Kvadratsetning: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. Kvadratsetning: (a− b)2 = a2 − 2ab + b2
Konjugatsetningen: (a + b)(a− b) = a2 − b2
Kvadratrotkonjugat: (√
a +√
b)(√
a−√
b) = a− bKomplekskonjugat: (a + bi)(a− bi) = a2 + b2
Andregradslikningen: ax2 + bx + c = 0 ⇒ x = −b±√b2−4ac2a
Fullstendig kvadrat: ax2 + bx + c = a(x + b
2a
)2+ c− b2
4a
Potenser, røtter, logaritmer a, b, n, m ∈ R+ r ∈ R k ∈ N
ak =k ganger︷ ︸︸ ︷
a · a · · · aan = en·ln a
a0 = 1
a−n =1an
am+n = am · an
am−n =am
an
am·n = (am)n
(a · b)n = an · bn
(a
b
)n
=an
bn
0n = 0
0−n =10n
=10
= ∅(−1)k = 1 (k partall)
(−1)k = −1 (k oddetall)
(−a)k = (−1)k · ak
(−a)−k =(−1)k
ak
(−a)0 = 1
a1/n = x slik at xn = a
n√
a = a1/n
√a = 2
√a = a1/2
n√
am = am/n = (am)1/n
n√
a · b = n√
a · n√
b
n
√a
b=
n√
an√
b√a2 · b = a ·
√b
00 = 1 eller ∅
k! = 1 · 2 · 3 · · · k
ln(a · b) = ln a + ln b
ln(a
b
)= ln a− ln b
ln (ar) = r · ln a
eln a = a
ln er = r
Trigonometriske identiteter
sin2 θ + cos2 θ = 1sin 2θ = 2 sin θ cos θ
sin θ cos θ =12
sin 2θ
cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ
= 2 cos2 θ − 1
= 1− 2 sin2 θ
Komplekse tall i =√
-1 z = a + ib
z=a+ib har realdel Re(z)=a og imaginærdel Im(z)=b.
z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2)z1 · z2 = (a1a2 − b1b2) + i(a1b2 + b1a2)
z1
z2=
a1 + ib1
a2 + ib2· a2 − ib2
a2 − ib2=
(a1a2 + b1b2) + i(a2b1 − a1b2)a22 + b2
2
1z
=a− ib
a2 + b2
z = a + ib lig-ger i det kom-plekse tallplanetved koordinatet(a, b). Vinkelenθ = Arg(z) tiltallet avhenger avhvor tallet ligger iforhold til kvadran-tene, jfr figuren tilhøyre.
θ=0
θ=tan-1( ba )
θ= π2
θ=π+tan-1( ba )
θ=π
θ=π+tan-1( ba )
θ= 3π2
θ=2π+tan-1( ba )
Re
Im
r = |z| = √a2 + b2 (Tallets lengde)
z = reiθ (Polarform)z = |z|(cos θ + i sin θ)zn = |z|n(cos nθ + i sin nθ)
z1/n = |z|1/n(cos( θ+2kπ
n ) + i sin( θ+2kπn )
)
θ grader sin θ cos θ tan θ0 0◦ 0 1 0π6 30◦ 1
2
√3
2
√3
3
π4 45◦
√2
2
√2
2 1π3 60◦
√3
212
√3
π2 90◦ 1 0 ±∞2π3 120◦
√3
2 − 12 −√3
3π4 135◦
√2
2 −√
22 −1
5π6 150◦ 1
2 −√
32 −
√3
3
π 180◦ 0 −1 07π6 210◦ − 1
2 −√
32
√3
3
5π4 225◦ −
√2
2 −√
22 1
4π3 240◦ −
√3
2 − 12
√3 θ − 2π grader
3π2 270◦ −1 0 ±∞ −π
2 −90◦
5π3 300◦ −
√3
212 −√3 −π
3 −60◦
7π4 315◦ −
√2
2
√2
2 −1 −π4 −45◦
11π6 330◦ − 1
2
√3
2 −√
33 −π
6 −30◦
2π 360◦ 0 1 0 0 0◦
sin θ
θ
1
−1− 3π
2−π −π
2π2
π 3π2
cos θ
θ
1
−1− 3π
2−π −π
2π2
π 3π2
tan θ
θ
1
−1
2
−2
− 3π2−π −π
2π2
π 3π2
1 r
b
θ
b = rθ
Derivasjon(tn)′ = ntn−1 (sin t)′ = cos t
(cu)′ = cu′ (cos t)′ = − sin t
(u + v)′= u′ + v′ (tan t)′ = 1cos2 t
(uv)′ = u′v + uv′ (sin−1 t)′ = 1√1−t2(
uv
)= u′v−uv′
v2 (cos−1 t)′= − 1√1−t2
(et)′ = et (tan−1 t)′= 11+t2
(at)′ = at ln a (ln t)′ = 1t , t > 0
(g(u))′ = g′(u)u′Integrasjon∫
tn dt = 1n+1 tn+1 + c
∫dt
a2+t2 = 1a tan−1
(ta
)+ c
∫1t dt = ln |t|+ c
∫dt√
a2−t2= sin−1
(ta
)+ c
∫1
at+b dt = 1a ln |at + b|+ c
∫1
cos2 t dt = tan t + c∫
sin at dt = − 1a cos at + c
∫1
sin2 tdt = − 1
tan t + c∫
cos at dt = 1a sin at + c
∫eat dt = 1
aeat + c∫
at dt = 1ln aat + c
∫u dv = uv − ∫
v du∫ b
af(t)g′(t) dt = f(t)g(t)]ba −
∫ b
af ′(t)g(t) dt
ddx
∫ v(x)
u(x)f(t) dt = f(v(x)) dv
dx − f(u(x))dudx
∫ b
af(g(x)) · g′(x) dx =
∫ g(b)
g(a)f(u) du
∫eat cos bt dt = eat
a2+b2 (a cos bt + b sin bt) + c∫
eat sin bt dt = eat
a2+b2 (a sin bt− b cos bt) + c∫
te12 t2 dt = e
12 t2 + c
1
Lineær algebra
En lineær likning med variabler x1, . . . , xn kan skrives
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b
der b og koeffisientene a1, . . . , an er reelle eller kompleksetall. Et system med lineære likninger (eller et lineært sys-tem) er en samling med en eller flere lineære likninger.F.eks.
2x1 − x2 + 1.5x3 = 8x1 − 4x3 = −7
En løsning av systemet er en liste (s1, . . . sn) med tall somgjør at hver likning stemmer når man bytter ut x1, . . . , xn
med s1, . . . , sn. Samlingen av alle mulige løsninger kallesløsningsmengden. To lineære systemer kalles ekvivalentehvis de har samme løsningsmengde. Å finne løsningsmeng-den til et system med to lineære likninger med to variablemed reelle koeffisienter er ekvivalent med å finne ut hvor tolinjer krysser hverandre. F.eks:
x1 − 2x2 = −1−x1 + 2x2 = 3
3
2
x1
x2
Ingen løsning
x1 − 2x2 = −1−x1 + 3x2 = 3
3
2
x1
x2
Nøyaktig én løsning
x1 − 2x2 = −1−x1 + 2x2 = 1
3
2
x1
x2
Uendelig mangeløsninger
Et lineært system har enten
1. Ingen løsning, eller
2. Nøyaktig én løsning, eller
3. Uendelig mange løsninger
Et lineært system er konsistent hvis det har minst en løs-ning og er inkonsistent hvis det ikke har noen løsning. Etlineært system kan representeres med en matrise. F.eks. gittdet lineære systemet
x1 − 2x2 + x3 = 0−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9
2x2 − 8x3 = 8
så kan man representere koeffisientene i systemet med føl-gende koeffisientmatrise:
[1 -2 1-4 5 90 2 -8
]
Hele det lineære systemet kan representeres med følgendeaugmenterte matrise:
[1 -2 1 0-4 5 9 -90 2 -8 8
]
Størrelsen til en matrise sier hvor mange rader og kolon-ner den har. Den augmenterte matrisa ovenfor har 3 rader
og 4 kolonner. En m×n matrise (“m ganger n matrise”)er en matrise med m rader og n kolonner. m og n trengerikke å være forskjellige tall. Hvis to matriser er ekvivalentebruker man tegnet ∼ mellom dem. Tre grunnleggende rad-operasjoner kan benyttes på lineære systemer uten at detpåvirker løsningsmengden:
1. (erstatning) Erstatte en rad med summen av seg selvog en multippel av en annen rad.
2. (ombytting) Bytte om to rader.
3. (skalering) Gange alle tall i en rad med et tall ulik 0.
Eksempel 1: Erstatter rad 2 med (rad 2) + (4 ganger rad 1):[
1 -2 1 0-4 5 9 -90 2 -8 8
]∼
[1 -2 1 0
-4+4·1 5+4·(-2) 9+4·1 -9+4·00 2 -8 8
]∼
[1 -2 1 00 -3 13 -90 2 -8 8
]
Eksempel 2: Bytter rad 2 med rad 3:[1 -2 1 00 -3 13 -90 2 -8 8
]∼
[1 -2 1 00 2 -8 80 -3 13 -9
]
Eksempel 3: Ganger alle tall i rad 2 med 12 :
[1 -2 1 00 2 -8 80 -3 13 -9
]∼
[1 -2 1 0
0· 12 2· 12 -8· 12 8· 120 -3 13 -9
]∼
[1 -2 1 00 1 -4 40 -3 13 -9
]
En enhetsmatrise av størrelse n×n er en kvadratisk matrisemed 1 langs diagonalen fra øverste venstre hjørne til neder-ste høyre hjørne og 0 ellers. Eksempel på en 3×3 enhetsma-trise: [
1 0 00 1 00 0 1
]
Ved å bruke radoperasjonene for å få koeffisientmatrisenmest mulig lik en enhetsmatrise kalles radredusering. Gjørman det med eksempelmatrisen ovenfor får man følgende:
[1 -2 1 00 1 -4 40 -3 13 -9
]∼
[1 0 0 290 1 0 160 0 1 3
]
Og man har funnet en unik løsning på det opprinnelige sys-temet med s1=1, s2=16, s3=3. To matriser er radekvivalentehvis det finnes en rekkefølge av elementære radoperasjonersom transformerer den ene matrisen til den andre. Hvis deaugmenterte matrisene til to lineære systemer er radekviva-lente så har systemene samme løsningsmengde.
Et ledende tall i en rad er det tallet lengst til venstre i en radsom ikke er lik 0. En nullrad er en rad der alle tall er 0. Enrad er ikkenull om den inneholder minst ett tall som ikke erlik 0. En matrise er på trappeform hvis den har følgende treegenskaper:
1. Alle ikkenull rader ligger over alle eventuelle nullrad-er.
2. Det ledende tallet i en rad ligger i en kolonne som ertil høyre for det ledende tallet i raden over.
3. Alle tall i en kolonne under et ledende tall er lik 0.
Hvis en matrise på trappeform i tillegg har følgende egen-skaper, så er matrisa på redusert trappeform:
4. Det ledende tallet i alle ikkenull rader er lik 1.
5. Hvert ledende 1-tall er det eneste tallet som ikke er lik0 i kolonnen.
Følgende matriser er i hhv trappeform og red. trappeform:[2 -3 2 10 1 4 80 0 0 5/2
] [1 0 0 290 1 0 160 0 1 3
]
2
TEOREM 1: Enhver matrise er radekvivalent med en ogbare en matrise på redusert trappeform.
En pivotposisjon i en matrise A er en posisjon i A som kor-responderer med et ledende 1-tall i den reduserte trappefor-men til A. En pivotkolonne er en kolonne i A som innehold-er en pivotposisjon. En pivot er et tall ulik 0 i en pivotpo-sisjon som brukes til å lage 0’er i de andre radene i kolonnenvha radoperasjoner.
Hvis en augmentert matrise på redusert trappeform harminst en nullrad, har systemet minst en fri variabel, og sys-temet har uendelig mange løsninger. F.eks.
[1 0 -5 10 1 1 40 0 0 0
]Tilsvarer systemet
x1 − 5x3 = 1x2 + x3 = 4
0 = 0
Variablene x1 og x2 kalles ledende variable, mens x3 her eren fri variabel. Slike konsistente systemer kan skrives somen generell løsning ved å løse det reduserte likningssys-temet mhp de ledende variablene:
{x1 = 1 + 5x3x2 = 4− x3x3 er fri
Her står løsningen på parameterform, men kan også om-formes til parametrisk vektorform slik:
−→x =[
x1x2x3
]=
[1 + 5x34− x3
x3
]=
[140
]+ x3
[5
−11
]
⇒ −→x = −→p + t−→v der −→p =[140
], −→v =
[5
−11
], og t ∈ R
TEOREM 2: Eksistens og entydighetsteorem. Et lineærtsystem er konsistent hvis og bare hvis kolonnen lengsttil høyre i en augmentert matrise ikke er en pivotkolonne,dvs hvis og bare hvis en trappeform av den augmentertematrisa ikke har noen rad på formen
[ 0 · · · 0 b ] der b 6= 0
Hvis systemet er konsistent, da inneholder løsningsmeng-den enten (i) en unik løsning uten fri variabler eller (ii)uendelig mange løsninger med minst en fri variabel.
En matrise med kun én kolonne kalles en kolonnevektor,eller bare en vektor. Et hvert punkt i n dimensjoner kanrepresenteres med en vektor med n rader. Det geometriskepunktet (a, b) i R2 kan identifiseres med vektoren
[ab
]. To
vanlige notasjoner for vektorer som variabler er enten fetskrift: v =
[ab
], eller pil over bokstav: −→v =
[ab
].
Addisjon og subtraksjon av vektorer gjøres rad for rad:[12
]+
[34
]=
[1 + 32 + 4
]=
[46
]
Gitt −→v og c∈R så er c·−→v en skalar multippel av −→v :
−→v =[12
]og c = 3 ⇒ c−→v = 3
[12
]=
[36
]
En nullvektor er en vektor der alle tallene er lik 0, og kanskrives som
−→0 . For alle −→u,−→v,−→w i Rn og c, d∈R har vi:
(i) −→u+−→v = −→v+−→u (v) c(−→u+−→v) = c−→u+c−→v(ii) (−→u+−→v)+−→w = −→u+(−→v+−→w) (vi) (c+d)−→u = c−→u+d−→u
Summen/differansen av to matriser
Dette er definert for to matriser som er like store:
a11 · · · a1n
......
am1 · · · amn
±
b11 · · · b1n
......
bm1 · · · bmn
=
a11 ± b11 · · · a1n ± b1n
......
am1 ± bm1 · · · amn ± bmn
Skalering av en matrise
En matrise kan ganges med et tall; Man ganger da alle tal-lene i matrisa med tallet:
c
a11 · · · a1n
......
am1 · · · amn
=
c · a11 · · · c · a1n
......
c · am1 · · · c · amn
Produktet av to matriser
Hvis antall kolonner i en matrise likt antall rader i en annenmatrise, så kan de ganges sammen som i eksempelet her:
BA A·B =
[2 17 3 4
15 7 −8 4−3 27 11 −4
]
[1 4 −20 13 72 3 4
] [68 −9 −51 28
174 280 −27 2437 163 26 4
]
F.eks. så har −27 her kommet frem ved å plusse sammenproduktet av tall fra 2. rad i A og 3. kolonne i B slik:
0 · 3 + 13 · (−8) + 7 · 11 = −27
Regneregler for matriser
La A,B, C være vilkårlige matriser, I enhetsmatrisen og 0være matrisen der alle tallene er lik null. Vi har da følgenderegler for matriseregning (der størrelsene på matrisene erslik at den aktuelle formelen gir mening):
A + B = B + A
A + (B + C) = (A + B) + C
A + 0 = 0 + A = A
A−A = 0A(BC) = (AB)C
AI = IA = A
A(B + C) = AB + AC
I tillegg er operasjonen Ak der k∈N definert som å gange Amed seg selv k ganger. M0 er definert til å være lik I .
Den inverse til en matrise
Hvis A er en kvadratisk matrise, så er A−1 definert slik at
A−1 ·A = A ·A−1 = I
En matrise A er inverterbar ⇔ det A 6= 0
Inversen til en 2×2-matrise er
[a bc d
]−1
=1
ad− bc
[d −b−c a
]
3
Inverser i likningsløsing
Hvis Y = AX og |A| 6= 0 så er X = A−1Y
Negative eksponenter
Vi definererA−k = (A−1)k k ∈ N
Dette fører til at
ApAq = Ap+q og (Ap)q = Aqp
Inversen til et produkt
(AB)−1 = B−1A−1
Determinanter
Det generelle likningssystemet
ax1 + bx2 = p
cx1 + dx2 = q
Kan løses slik:
[a b pc d q
]∼
[1 0 dp−bq
ad−bc
0 1 aq−cpad−bc
]
Som gir
x1 =dp− bq
ad− bc, x2 =
aq − cp
ad− bc
Dette betyr at det generelle 2×2-systemet har en entydigbestemt løsning når den såkalte determinanten ad− bc 6= 0.Hvis vi har følgende generelle system av n likninger med nukjente:
a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + · · ·+ a2nxn = b2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·an1x1 + · · ·+ annxn = bn
så kalles systemet homogent hvis b1 = b2 = · · · = bn = 0og inhomogent hvis minst en bi 6= 0. Generelt kan vi da si athvis D er determinanten til et lineært likningssystem med nlikninger med n ukjente så har vi følgende fire muligheter:
D 6= 0 D = 0inhomogent entydig bestemt
løsningenten uendeligmange løsninger,eller ingen løs-ninger
homogent kun triviell løsningx1 =x2 = · · ·xn =0
uendelig mangeikke-trivielle løs-ninger
Determinanten til en 2×2-matrise er:
det[
a bc d
]=
∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣ = ad− bc
Determinanten til en 3×3-matrise er:∣∣∣∣∣∣
a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣= a
∣∣∣∣e fh i
∣∣∣∣− b
∣∣∣∣d fg i
∣∣∣∣ + c
∣∣∣∣d eg h
∣∣∣∣
For n ≥ 3 kan determinanten til en n×n-matrise defineresrekursivt på følgende måte:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
. . ....
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= a11 det(M1)− a12 det(M2) + · · ·+ (−1)n+1a1n det(Mn)
der det(Mi) er determinanten til den (n−1)×(n−1)-matrisensom kommer frem når vi stryker rad 1 og kolonne i.
Determinant ved kofaktorekspansjon
Kofaktorekspansjon av
∣∣∣∣∣-11 2 17 47 3 9 52 8 -7 43 4 3 4
∣∣∣∣∣ langs 3. kolonne:
-11 2 17 4
7 3 9 52 8 -7 43 4 3 4
-11 2 17 4
7 3 9 5
2 8 -7 43 4 3 4
-11 2 17 47 3 9 5
2 8 -7 4
3 4 3 4
-11 2 17 47 3 9 52 8 -7 4
3 4 3 4
(-1)1+3 ·17·∣∣∣∣∣∣7 3 52 8 43 4 4
∣∣∣∣∣∣(-1)2+3 ·9·
∣∣∣∣∣∣-11 2 42 8 43 4 4
∣∣∣∣∣∣(-1)3+3 ·-7·
∣∣∣∣∣∣-11 2 47 3 53 4 4
∣∣∣∣∣∣(-1)4+3 ·3·
∣∣∣∣∣∣-11 2 47 3 52 8 4
∣∣∣∣∣∣= 17 · 44 = (−9) · (−232) = (−7) · 138 = (−3) · 472= 748 = 2088 = −966 = −1416
Det = 748 + 2088− 966− 1416 = 454
Cramers regel
La D 6= 0 være determinanten til koeffisientmatrisen til likn-ingssystemet
a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + · · ·+ a2nxn = b2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·an1x1 + · · ·+ annxn = bn
Da har likningssystemet løsningen
x1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b1 a12 · · · a1n
b2 a22 · · · a2n
......
. . ....
bn an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣D
,
x2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 b1 · · · a1n
a21 b2 · · · a2n
......
. . ....
an1 bn · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣D
,
. . . , xn =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · b1
a21 a22 · · · b2
......
. . ....
an1 an2 · · · bn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣D
4
Egenverdi og egenvektor
La A være en kvadratisk matrise. Et tall λ kalles en egenver-di for A hvis det finnes en vektor −→x 6= 0 slik at
A−→x = λ−→x−→x kalles en egenvektor for A med λ som tilhørende egen-verdi. Vi har da at
Ak−→x = λk−→xEgenverdiene til matrisen A er de tallene λ som gir
det(A− λI) = 0
Metode for å finne egenverdiene og egenvektorene
1. Regn ut determinanten det(A − λI), som blir et poly-nom i λ av grad n.
2. Løs likningen det(A − λI) = 0. Egenverdiene til Aer alle løsningene λ av denne likningen. Eventuellekomplekse løsninger regnes også som egenverdier tilA.
3. For hver reell egenverdi λ, løs likningen (A − λI)X =0. De løsningene X som ikke er lik 0, er egenvektorenetil A med λ som tilhørende egenverdi.
Lengden (eller normen) til −→v er den ikke-negative skalaren
||−→v || =√−→v • −→v =
√v21 + v2
2 + · · ·+ v2n og ||−→v ||2 = −→v • −→v
Gram-Schmidt-prosessen
Hvis {−→x1,−→x2, . . . ,
−→xp} er en basis for et underrom W i Rn,så er {−→v1,
−→v2, . . . ,−→vp} en ortogonal basis for W der
−→v1 = −→x1
−→v2 = −→x2 −−→x2 • −→v1−→v1 • −→v1
−→v1
−→v3 = −→x3 −−→x3 • −→v1−→v1 • −→v1
−→v1 −−→x3 • −→v2−→v2 • −→v2
−→v2
...
−→vp = −→xp −−→xp • −→v1−→v1 • −→v1
−→v1 −−→xp • −→v2−→v2 • −→v2
−→v2 − · · ·−→xp • −→vp−1−→vp−1 • −→vp−1
−→vp−1
I tillegg så har vi
Span{−→v1, . . . ,−→vk} = Span{−→x1, . . . ,
−→xk} for 1 ≤ k ≤ p
En ortonormal basis {−→u1,−→u2, . . . ,
−→up} får vi ved å dele hverav vektorene i den ortogonale basisen på sin egen norm:
−→uk =1
||−→vk||−→vk for 1 ≤ k ≤ p
Omforming av uttrykket a cosωt + b sinωt
La a, b og ω være gitte tall 6= 0 med ω > 0. Funksjonen
f(t) = a cosωt + b sin ωt
kan skrives på formen
f(t) = C cos (ω(t− t0))
der (C, ωt0) er polarkoordinatene til punktet (a, b).Spesielt har vi
C =√
a2 + b2 og tan(ωt0) =b
a
Vinkelen ωt0 ligger i intervallet [0, 2π〉 og hører til sammekvadrant som punktet (a, b).
Første ordens inhomogen lineær differentiallikning
y′ + p(t)y = g(t)
har løsningen
y = e−P (t)
∫eP (t)g(t) dt + Ce−P (t)
der P (t) er en vilkårlig antiderivert av p(t)
Høyere ordens differensialligninger med konstante koeff-isienter
En høyere ordens differensialligning med konstante koeff-isienter er en ligning
any(n) + · · ·+ a3y(3) + a2y
′′ + a1y′ + a0y = f(t)
Komplementær / homogen løsningDen tilhørende homogene differensialligningen får vi ved åbytte ut høyresiden f(t) med 0. Vi får da
any(n) + · · ·+ a3y(3) + a2y
′′ + a1y′ + a0y = 0
Vi løser en homogen høyere ordens differensialligningermed konstante koeffisienter ved først å løse den karakteris-tiske ligningen
anrn + · · ·+ a3r3 + a2r
2 + a1r + a0 = 0
som har røtter r1, r2, . . . , rn. Deretter finner vi løsningeney1, y2, . . . , yn til den homogene differensialligningen vedfølgende regel:Hvis rk = a + bi, og denne roten har forekommet m gangerfør, er
yk(t) ={
tmeat cos(bt) hvis b ≥ 0 «ploss rimer på cos»tmeat sin(bt) hvis b < 0 «minus rimer på sinus»
Den komplementære løsningen yC er da
yC = c1 · y1 + c2 · y2 + ·+ cn · yn
Partikulær løsningPartikulær løsning kan du finne når du kjennery1, y2, · · · , yn. Hvis differensialligningen var av 2. orden hardu kun 2 løsninger y1 og y2, og da har du en snarvei for yP
som ser slik ut (bruk ikke +C for integralene):
yP = y1 ·∫ −y2 · f(t)
|W | dt + y2 ·∫
y1 · f(t)|W | dt
der |W | er Wronski-determinanten av y1, y2:
|W | =∣∣∣∣
y1 y2
y′1 y′2
∣∣∣∣
5
Hvis differensialligningen er av orden n > 2, kan duikke bruke denne snarveien. Da må du løse følgende ma-triseligning (Vi anbefaler Cramer’s regel!):
y1 y2 · · · yn
y′1 y′2 y′n...
...y(n−1)1 y
(n−1)2 · · · y
(n−1)n
·
u′1(t)u′2(t)...u′n(t)
=
0...0f(t)
Deretter finner du u(t) =∫
u′(t)dt (bruk ikke +C for inte-gralene), og til slutt
yP = u1 · y1 + u2 · y2 + · · ·un · yn
Om dette heftet
Dette heftet er laget som en skreddersydd formelsamling tilet kurs i lineær algebra og differensiallikninger ved UiA iGrimstad. En del av stoffet er oversettelser av definisjonerog teoremer fra Lay (2006), Kohler and Johnson (2006) og
Gulliksen (1998). Noe stoff er også inspirert av formelsam-lingen til Haugan (2007). Kommentarer og rettelser er megetvelkomne, og medfører finnerlønn ved alvorlige feil.
Dette er versjon 6. Siste versjon bør ligge her:
trondal.com/lindiff.pdf
CC© BY:© $\© Jostein Trondal, 20. mai 2009jostein@trondal.no
Referanser
Gulliksen, T. (1998). Matematikk i praksis. Universitetsfor-laget.
Haugan, J. (2007). Formler og tabeller. NKI Forlaget.Kohler, W., & Johnson, L. (2006). Elementary differential equa-
tions. Pearson Addison Wesley.Lay, D. C. (2006). Linear algebra and its applications. Pearson
Addison Wesley.
6
Laplacetransformasjon
f(t) L{f(t)} =∫∞0
e−stf(t) dt
f(t) F (s)af(t) + bg(t) aF (s) + bG(s)f ′ sF (s)− f(0)f ′′ s2F (s)− sf(0)− f ′(0)
f (n) snF (s)− sn−1f(0)− · · · − fn−1(0)f(t− a)u(t− a) e−asF (s)eatf(t) F (s− a)∫ t
0f(τ) dτ 1
sF (s)tf(t) −F ′(s)f(t)
t
∫∞s
F (σ) dσ
Parallellforskyving:
f(t) F (s)
eatf(t) F (s− a)
f(t) F (s)
f(t− a)u(t− a) e−asF (s)
f(t) −→ F (s) F (s) −→ f(t)
1 1s 1 1
s 1eat 1
s−a 2 1s−a eat
2√
t/π 1s3/2 3 1
s3/2 2√
t/π
tn n!sn+1 4 1
sn1
(n−1)! tn−1
tneat n!(s−a)n+1 5 1
(s−a)n1
(n−1)! (tn−1eat)
eat − ebt a−b(s−a)(s−b) 6 1
(s−a)(s−b)1
a−b (eat − ebt)
aeat − bebt (a−b)s(s−a)(s−b) 7 s
(s−a)(s−b)1
a−b (aeat − bebt)sin ωt ω
s2+ω2 8 1s2+ω2
1ω sin ωt
cosωt ss2+ω2 9 s
s2+ω2 cos ωt
eat sin ωt ω(s−a)2+ω2 10 1
(s−a)2+ω21ω eat sin ωt
eat cos ωt s−a(s−a)2+ω2 11 s−a
(s−a)2+ω2 eat cosωt
ωt− sinωt ω3
s2(s2+ω2) 12 1s2(s2+ω2)
1ω3 (ωt− sin ωt)
1− cos ωt ω2
s(s2+ω2) 13 1s(s2+ω2)
1ω2 (1− cosωt)
sin ωt− ωt cosωt 2ω3
(s2+ω2)2 14 1(s2+ω2)2
12ω3 (sinωt− ωt cos ωt)
t sin ωt 2ωs(s2+ω2)2 15 s
(s2+ω2)2t
2ω sin ωt
sin ωt + ωt cosωt 2ωs2
(s2+ω2)2 16 s2
(s2+ω2)212ω (sinωt + ωt cos ωt)
cos at− cos bt (b2−a2)s(s2+a2)(s2+b2) 17 s
(s2+a2)(s2+b2)1
b2−a2 (cos at− cos bt)(sin kt cosh kt−cos kt sinh kt
)4k3
s4+4k4 18 1s4+4k4
14k3
(sin kt cosh kt−cos kt sinh kt
)
sin kt sinh kt 2k2ss4+4k4 19 s
s4+4k41
2k2 sin kt sinh kt
sinh kt− sin kt 2k3
s4+k4 20 1s4+k4
12k3 (sinh kt− sin kt)
cosh kt− cos kt 2k2ss4+k4 21 s
s4+k41
2k2 (cosh kt− cos kt)u(t− a) 1
se−as 22 1se−as u(t− a)
δ(t− a) e−as 23 e−as δ(t− a)
7