Calculus Michael Spivak.pdf

630
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ϗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Transcript of Calculus Michael Spivak.pdf

  • Michael Spivak

    2

    :

    :

    : ,

    , 2010

  • &

    : 5, 106 81, , . . 210 3849020-22, Fax 210 3301583

    : . 100, 700 13, . . 2810 391097 Fax 2810 391085

    [email protected], www.cup.gr

    : /

    :

    : Calculus, Fourth Edition, Publish or Rerish, Inc.

    c: 1967, 1980, 1994, 2008 by Michael Spivakc : 1991, 2008

    :

    4 :

    : ,

    :

    - :

    : 1991

    : 2010

    Times New Roman Monotype Garamond Premier Pro Adobe.

    MathTime Pro 2 (MathTime is a trademark of Publish or Perish, Inc.

    Personal TeX, Inc. www.pctex.com, November 2009). LATEX

    David J. McClurkin.

    ISBN 978-960-524-302-9

  • Y. P.

  • ,

    .

    FRANCIS BACON

  • , , -

    ,

    .

    , -

    , ,

    .

    ,

    ,

    .

    , ,

    , .

    ,

    . , -

    -

    . , ,

    ,

    .

    , -

    . 29 , 2 ( ) , 3

    5

    . -

    , 3 11 .

    ,

    .

    3 , 1 2 -

    ,

    ,

    . -

    2 3 ,

    2 -

    , .

    ,

    , -

    .

    .

    , -

    , , ,

    . 625 . -

    ,

    ,

    -

    .

    , ,

    . ,

    vii

  • viii

    ,

    .

    .

    ,

    .

    .

    , -

    , .

    . Jane Bjorkgren

    , .

    Richard Serkey -

    , Richard Weiss

    . Michael

    Freeman, Jay Goldman, Anthony Phillips Robert Wells

    ,

    .

    , -

    .

    W.A. Benjamin,

    Inc., , -

    .

    Brandeis,

    1965-1966, .

    , -

    .

    . , -

    ,

    , -

    .

    .

    Waltman, Massachusetts

    1967

    MICHAEL SPIVAK

  • ,

    -

    . 13 ,

    -

    . ,

    : , , -

    , Riemann,

    , . , -

    ,

    , , New-

    ton, Simpson, -

    . 160 ,

    ,

    .

    Ted Shifrin. Frederick Gordon -

    1 ,

    , 12-2,

    . Joseph Lip-

    man ,

    11,

    . Roy O. Davies

    11-66 20-8

    [21-8 ] Marina Ratner -

    , .

    , -

    .

    [1980] MICHAEL SPIVAK

    ix

  • (

    ) 17 , -

    .

    , 4

    : ,

    , -

    . ,

    12

    .

    .

    ,

    13, -

    ( 18 19). , -

    -

    .

    .

    13 ,

    14 . -

    . -

    ,

    , .

    [1994] MICHAEL SPIVAK

    x

  • ! 13

    , 14

    , . ,

    14 , , .

    , -

    5 20,

    , , -

    .

    , Nils

    von Barth, Philip Loewen, Fernndo Mejias, Lance Miller

    , , Michael

    Maltenfort ,

    .

    Ted Shifrin

    University

    of Georgia,

    .

    ,

    , , ,

    8-20 ,

    Reisz, [38]

    , ,

    Ted.

    [2008] MICHAEL SPIVAK

    xi

  • vi

    I

    1 3

    2 19

    II

    3 35

    . 49

    4 51

    1. 68

    2. 73

    3. 76

    5 81

    6 103

    7 110

    8 120

    . 130

    III

    9 135

    10 152

    11 170

    . 198

    12 208

    . 220

    13 228

    . Riemann 255

    14 257

    15 274

    *16 293

    *17 298

    18 306

    19 327

    . 364

    xii

  • xiii

    IV

    20 373

    *21 e 401

    22 410

    23 427

    24 452

    25 475

    26 488

    27 501

    V

    28 525

    29 531

    30 543

    550

    560

    604

    608

  • 1

  • .

    BENJAMINDISRAELI

  • 1

    -

    . , -

    , ,

    ,

    . , .

    ,

    ,

    -

    . ,

    .

    ,

    .

    , :

    a C b a b ( ).

    , a1 C C an n a1; : : : ; an.

    ,

    . a, b c,

    . b c,

    bCc a , aC .bCc/ a b, aC b c, .aC b/C c. , :

    (1) a, b c ,

    aC .b C c/ D .aC b/C c:

    -

    : a C b C c aC .bC c/ D .aC b/C c. - , , .

    aC b C c C d

    (1) ..aC b/C c/C d; (2) .aC .b C c//C d; (3) aC ..b C c/C d/; (4) aC .b C .c C d//; (5) .aC b/C .c C d/:

    . ,

    ,

    3

  • 4

    1 . , 1

    .aC b/C c D aC .b C c/;

    (1) (2) . (2) (3)

    1, (

    b C c b 1, d c). .3/ D .4/ D .5/ .

    1 -

    14 ,

    14 . ,

    , ,

    a1; : : : ; an. -

    ,

    ( ), -

    24. , ,

    ,

    a1 C C an .

    0 :

    (2) a ,

    aC 0 D 0C a D a:

    0 :

    (3) a, , a,

    aC .a/ D .a/C a D 0:

    2 0,

    , : -

    , x

    aC x D a

    a, x D 0 ( a).

    a , -

    a . , 13 :

    aC x D a; .a/C .aC x/ D .a/C a D 0 ..a/C a/C x D 0 0C x D 0 x D 0:

    ,

    : a b a C .b/. (

    1, 2 3),

  • 1. 5

    aC x D a. :

    x C 3 D 5; .x C 3/C .3/ D 5C .3/ x C .3C .3// D 5 3 D 2 x C 0 D 2 x D 2:

    . ,

    1, 2 3 ( ).

    .

    a, b c, : .aCb/Cc aC .bCc/. a, b c. ,

    (4) a b ,

    aC b D b C a:

    4 , -

    , ,

    , .

    . ,

    : a b b a. , a b b a, 14

    .

    ab D ba a D b. , 14 -

    14. , ,

    .

    , .

    ,

    . ( , a b

    a b, ab.)(5) a, b c ,

    a .b c/ D .a b/ c:

    (6) a ,

    a 1 D 1 a D a:

    1 0.( 1 0, ,

    , 0.)

    (7) a 0, a1

    a a1 D a1 a D 1:

  • 6

    (8) a b ,

    a b D b a:

    a 0 7. : 0 b D 0 b, 01 0 01 D 1. .

    , -

    : a=b a b1. 01 , a=0 0 .

    7 . a b D a c, b D c, a D 0, a b a c 0, b c. , a 0, b D c. 7 :

    a b D a c a 0; a1 .a b/ D a1 .a c/ .a1 a/ b D .a1 a/ c 1 b D 1 c b D c:

    7 , a b D 0, a D 0 b D 0. ,

    a b D 0 a 0; a1 .a b/ D 0 .a1 a/ b D 0 1 b D 0 b D 0:

    ( a D 0 b D 0. - a D 0 b D 0 , ).

    7 .

    , , x

    .x 1/.x 2/ D 0:

    x 1 D 0 x 2 D 0. x D 1 x D 2. ,

    . ,

    , .

    (9) a, b c ,

    a .b C c/ D a b C a c:( 8 .b C c/ a D b aC c a.)

    9, ab Db a:

    a b D b a; .a b/C b D .b a/C b D b C .b a/ a D b C b a aC a D .b C b a/C a D b C b: a .1C 1/ D b .1C 1/; a D b:

  • 1. 7

    9 a 0 D 0, ,

    6 ( ;).

    ,

    . 18 , 0

    2 3, ,

    . 9 ,

    .

    a 0C a 0 D a .0C 0/D a 0:

    , ( .a 0/ ) a 0 D 0.

    9

    . , .a/ b D.a b/. ,

    .a/ b C a b D .a/C a bD 0 bD 0:

    ( .a b/ ) .a/ b D .a b/.

    .a/ .b/C .a b/ D .a/ .b/C .a/ bD .a/ .b/C bD .a/ 0D 0:

    , .a b/ ,

    .a/ .b/ D a b:

    ,

    19. , 1 9,

    .

    9 ,

    , -

    . , 9 -

    . ,

    .x 1/.x 2/ D 0;

    .

    x2 3x C 2 D 0:

    x2 3xC 2 D .x 1/.x 2/ 9:

    .x 1/ .x 2/ D x .x 2/C .1/ .x 2/D x x C x .2/C .1/ x C .1/ .2/D x2 C x.2/C .1/C 2D x2 3x C 2:

  • 8

    9

    .

    ,

    13

    2452

    26

    312

    :

    13 24 D 13 .2 10C 4/D 13 2 10C 13 4D 26 10C 52:

    ( , 26 -

    , 26 10). 13 4 D 52 9:

    13 4 D .1 10C 3/ 4D 1 10 4C 3 4D 4 10C 12D 4 10C 1 10C 2D .4C 1/ 10C 2D 5 10C 2D 52:

    19

    , . -

    19

    .

    (1) ( aC .b C c/ D .aC b/C c.)

    (2) ( aC 0 D 0C a D a.)

    (3) ( aC .a/ D .a/C a D 0:)

    (4) ( aC b D b C a.)

    (5) ( a .b c/ D .a b/ c.)

    (6) ( a 1 D 1 a D a 1 0. )

    (7) ( a a1 D a1 a D 1; a 0.)

    (8) ( a b D b a.)

    (9) ( ) a .b C c/ D a b C a c. .

    ,

    . , a < b ( a b)

    a > b ( a b), : a < b

    b > a (, 1 < 3 3 > 1

    ). a a > 0

  • 1. 9

    , a a < 0 .

    b a b P a < b b > a

    a b a > b a D ba b a < b a D b:*

    , , a > 0 a P .

    , ,

    1012. , a b ,

    :

    i. a b D 0,ii. a b P ,iii. .a b/ D b a P .

    ,

    :

    i. a D b,ii. a > b,

    iii. b > a.

    : a < b,

    b a P , .b C c/ .a C c/ P , a < b, aC c < b C c. , a < b b < c.

    b a P; c b P; c a D .c b/C .b a/ P:

    , a < b b < c, a < c. ( a < b b < c

    a < b < c,

    a < c.)

    * . 1C 1 31C 1 2

    , < , D . 1

    a b, .

  • 10

    . a < 0 b < 0, ab > 0.

    . a < 0 , , 0 > a,

    0 a D a P . b P , , 12, .a/.b/ D ab P . ab > 0.

    ab > 0 a > 0, b > 0 a < 0, b < 0,

    : a2 > 0 a 0. , ,

    , : 1 > 0 (

    1 D 12). a > 0 a < 0

    . a, jaj a :

    jaj D

    a; a 0a; a 0:

    jaj , a D 0. , j 3j D 3, j7j D 7, j1 C

    p2

    p3j D 1 C

    p2

    p3 j1 C

    p2

    p10j D

    p10 p

    2 1. , ,

    .

    .

    1 a b,

    jaC bj jaj C jbj:

    4 :

    .1/ a 0; b 0

    .2/ a 0; b 0

    .3/ a 0; b 0

    .4/ a 0; b 0:

    (1) a C b 0, .

    jaC bj D aC b D jaj C jbj; .

    (4) aC b 0, :

    jaC bj D .aC b/ D aC .b/ D jaj C jbj:

    (2), a 0 b 0,

    jaC bj a b:

    . a Cb 0,

    aC b a b;, b b;

    , b 0 b 0. , aC b 0,

    a b a b;, a a;

  • 1. 11

    , a 0 a 0., , (3) ,

    a b (2).

    (

    ) , -

    . , -

    , 1

    jaj Dpa2:

    (, , px

    x. x 0.)

    .jaC bj/2 D .aC b/2 D a2 C 2ab C b2

    a2 C 2jaj jbj C b2

    D jaj2 C 2jaj jbj C jbj2

    D .jaj C jbj/2:

    ja C bj jaj C jbj x2 < y2 x 0 1C 1 > 0, 1C 1 0. -

    -

    .

    , 112 -

    , . -

    . -

    , .

    ,

  • 12

    . , , -

    .

    , , ,

    , 112.

    -

    112

    .

    ( 1

    12) .

    112 .

    . 112

    ,

    .

    , 112.

    2

    . 1 -

    . ,

    .

    1. :

    (i) ax D a a 0, x D 1.(ii) x2 y2 D .x y/.x C y/.(iii) x2 D y2, x D y x D y.(iv) x3 y3 D .x y/.x2 C xy C y2/.(v) xn yn D .x y/.xn1 C xn2y C C xyn2 C yn1/.(vi) x3 C y3 D .x C y/.x2 xy C y2/. (

    , (iv),

    xn C yn n .)

    2. ; x D y.

    x2 D xy;x2 y2 D xy y2;

    .x C y/.x y/ D y.x y/;x C y D y;2y D y;2 D 1:

    3. :

    (i)a

    bD acbc

    , b; c 0.

    (ii)a

    bC cd

    D ad C bcbd

    , b; d 0.

    (iii) .ab/1 D a1b1, a; b 0. ( , .ab/1.)

    (iv)a

    b cd

    D acdb

    , b; d 0.

  • 1. 13

    (v)a

    b

    c

    dD adbc

    , b; c; d 0.

    (vi) b; d 0, ab

    D cd

    ad D bc. a

    bD ba.

    4. x

    (i) 4 x < 3 2x.(ii) 5 x2 < 8.(iii) 5 x2 < 2.(iv) .x 1/.x 3/ > 0. ( ;)(v) x2 2x C 2 > 0.(vi) x2 C x C 1 > 2.(vii) x2 x C 10 > 16.(viii) x2 C x C 1 > 0.(ix) .x /.x C 5/.x 3/ > 0.

    (x) .x 3p2 /.x

    p2 / > 0.

    (xi) 2x < 8.

    (xii) x C 3x < 4.

    (xiii)1

    xC 11 x > 0.

    (xiv)x 1x C 1 > 0.

    5. :

    (i) a < b c < d , aC c < b C d .(ii) a < b, b < a.(iii) a < b c > d , a c < b d .(iv) a < b c > 0, ac < bc.

    (v) a < b c < 0, ac > bc.

    (vi) a > 1, a2 > a.

    (vii) 0 < a < 1, a2 < a.

    (viii) 0 a < b 0 c < d , ac < bd .(ix) 0 a < b, a2 < b2. ( (viii).)(x) a; b 0 a2 < b2, a < b. ( (ix), -

    .)

    6. () 0 x < y, xn < yn, n D 1; 2; 3; : : : :() x < y n , xn < yn.

    () xn D yn n , x D y.() xn D yn n , x D y x D y.

    7. , 0 < a < b,

    a 0;x4 C x3y C x2y2 C xy3 C y4 > 0:

    : 1.

    16. ()

    .x C y/2 D x2 C y2 x D 0 y D 0,

    .x C y/3 D x3 C y3 x D 0 y D 0 x D y.

    ()

    x2 C 2xy C y2 D .x C y/2 0;

    4x2 C 6xy C 4y2 > 0 x y 0.

    () () .x C y/4 D x4 C y4.() .x C y/5 D x5 C y5. : .x C y/5 D

    x5 C y5 x3 C 2x2y C2xy2 C y3 D 0, xy 0. .x C y/3 D x2y C xy2 Dxy.x C y/.

    .xCy/n Dxn C yn 11-63.

    17. () 2x23xC4. : , 2x2 3x C 4 D 2.x 3=4/2CI

  • 16

    () x2 3x C 2y2 C 4y C 2.() x2 C 4xy C 5y2 4x 6y C 7.

    18. () b2 4c 0.

    b Cpb2 4c2

    ;b

    pb2 4c2

    x2 C bx C c D 0.() b24c < 0. x

    x2 C bx C c D 0 x2 C bx C c > 0 x.: .

    () ,

    x y 0, x2 C xy C y2 > 0.() a x2 C axy C y2 > 0 x

    y 0;

    () x2 C bxC c ax2 C bxC c, a > 0.

    19. a2 0 a, , .

    Schwarz:

    x1y1 C x2y2 p

    x12 C x22p

    y12 C y22:

    ( 2-21.)

    Schwarz

    a2 0 a.

    () , x1 D y1 x2 D y2 0, Schwarz.

    y1 D y2 D 0. y1 y2 0, x1 D y1 x2 D y2.

    0 < .y1 x1/2 C .y2 x2/2

    D 2.y12 C y22/ 2.x1y1 C x2y2/C .x12 C x22/:

    18, -

    Schwarz.

    () Schwarz 2xy x2 Cy2( ;)

    x D xipx12 C x22

    ; y D yipy12 C y22

    ;

    i D 1 i D 2.() Schwarz

    .x12 C x22/.y12 C y22/ D .x1y1 C x2y2/2 C .x1y2 x2y1/2:

    () , ,

    y1 D y2 D 0 0 x1 D y1 x2 D y2.

  • 1. 17

    , -

    . ,

    .

    , : x

    x0, y y0, x C y x0 C y0, xy x0y0, 1=y 1=y0. "

    . , "

    ( )

    .

    20. ,

    jx x0j n 0.

    ()

    nC 1k

    !

    D

    n

    k 1

    !

    C

    n

    k

    !

    :

    ( .)

    , Pascal

    -

    n

    k

    !

    .k C 1/- .nC 1/- .1

    1 1

    1 2 1

    1 3 3 1

    1 4 6 4 1

    1 5 10 10 5 1

    . . .

  • 2. 25

    () Pascal -

    . ()

    n

    k

    !

    . ( ,

    , Pascal.)

    ()

    n

    k

    !

    ,

    n

    k

    !

    k ,

    1, . . . , n.

    () : a b n

    ,

    .aC b/n D an C

    n

    1

    !

    an1b C

    n

    2

    !

    an2b2 C C

    n

    n 1

    !

    abn1 C bn

    DnX

    jD0

    n

    j

    !

    anj bj :

    ()

    (i)

    nX

    jD0

    n

    j

    !

    D

    n

    0

    !

    C C

    n

    n

    !

    D 2n.

    (ii)

    nX

    jD0.1/j

    n

    j

    !

    D

    n

    0

    !

    n

    1

    !

    C

    n

    n

    !

    D 0.

    (iii)X

    l

    n

    l

    !

    D

    n

    1

    !

    C

    n

    3

    !

    C D 2n1.

    (iv)X

    l

    n

    l

    !

    D

    n

    0

    !

    C

    n

    2

    !

    C D 2n1.

    4. () lX

    kD0

    n

    k

    !

    m

    l k

    !

    D

    nCml

    !

    :

    : .1C x/n.1C x/m.()

    nX

    kD0

    n

    k

    !2

    D

    2n

    n

    !

    :

    5. () n

    1C r C r2 C C rn D 1 rnC1

    1 r

    r 1 ( r D 1, - ).

    () S D 1C r C C rn, - r ,

    S .

  • 26

    6. 12 C C n2 .

    .k C 1/3 k3 D 3k2 C 3k C 1:

    k D 1, . . . , n ,

    23 13 D 3 12 C 3 1C 133 23 D 3 22 C 3 2C 1

    :::

    .nC 1/3 n3 D 3 n2 C 3 nC 1

    .nC 1/3 1 D 312 C C n2C 31C C nC n:

    nX

    kD1k2

    nX

    kD1k (

    ).

    (i) 13 C C n3:(ii) 14 C C n4:

    (iii)1

    1 2 C1

    2 3 C C1

    n.nC 1/ :

    (iv)3

    12 22 C5

    22 32 C C2nC 1

    n2.nC 1/2 :

    7. 6 nX

    iD1kp -

    npC1

    p C 1 C Anp C Bnp1 C Cnp2 C :

    (

    nX

    kD1k D 1

    2n2 C 1

    2n

    nX

    kD1k2 D 1

    3n3 C 1

    2n2 C 1

    6n

    nX

    kD1k3 D 1

    4n4 C 1

    2n3 C 1

    4n2

    nX

    kD1k4 D 1

    5n5 C 1

    2n4 C 1

    3n3 1

    30n

    nX

    kD1k5 D 1

    6n6 C 1

    2n5 C 5

    12n4 1

    12n2

    nX

    kD1k6 D 1

    7n7 C 1

    2n6 C 1

    2n5 1

    6n3 C 1

    42n

    nX

    kD1k7 D 1

    8n8 C 1

    2n7 C 7

    12n6 7

    24n4 C 1

    12n2

  • 2. 27

    nX

    kD1k8 D 1

    9n9 C 1

    2n8 C 2

    3n7 7

    15n5 C 2

    9n3 1

    30n

    nX

    kD1k9 D 1

    10n10 C 1

    2n9 C 3

    4n8 7

    10n6 C 1

    2n4 3

    20n2

    nX

    kD1k10 D 1

    11n11 C 1

    2n10 C 5

    6n9 1n7 C 1n5 1

    2n3 C 5

    66n:

    12,

    n

    2 n2 n. ,

    , -

    . . 27-17 .)

    8. .

    9. , A n0

    k C 1 k, A n0.

    10. .

    11. .

    : A 1 A n C 1 1; : : : ; n, B k 1; : : : ; k

    A.

    12. () a b , a C b ; a b ;

    () a b , ab ;

    (!)

    () a a2 , a4

    ;

    ()

    ;

    13. () p3,p5

    p6 . :

    p3, ,

    3n 3nC 1 3nC 2.

    p4;

    () 3p2

    3p3 .

    14.

    () p2C

    p6 .

    () p2C

    p3 .

    15. () , x D p C pq p q , m , xm D aC bpq a b.

    () .p pq /m D a bpq.

  • 28

    16. () , m n m2=n2 < 2, .mC2n/2=.mC n/2 > 2 , ,

    .mC 2n/2.mC n/2 2 < 2

    m2

    n2:

    () .

    () , m=n 1,

    .1C h/n 1C nh

    n. h > 0;

    20. Fibonacci a1; a2; a3; : : : :

    a1 D 1;a2 D 1;an D an1 C an2 n 3:

    , 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . ,

    Fibonacci ( 1175 - 1250), .

    Fibonacci

    ,

    . an n-

    an1 C an2, ,

    .

    Fibonacci , The Fibonacci

    Quarterly.

    an D

    1Cp5

    2

    !n

    1 p5

    2

    !n

    p5

    :

    -

    24-16.

    21. Schwarz ( 1-19) -

    :

    nX

    iD1xiyi

    vuut

    nX

    iD1xi 2

    vuut

    nX

    iD1yi 2:

    , -

    1-19.

    22. 1-7 :

    a1; : : : ; an 0

    An Da1 C C an

    n

    Gn D npa1 : : : an

    Gn An:

    () a1 < An. ai ai > An

    a2 > An. Na1 D An Na2 D a1Ca2 Na1.

    Na1 Na2 a1a2:

  • 30

    -

    Gn An; ( , , .)

    Gn An;

    -

    .

    () Gn An n D 2, , k, Gn An n D 2k .

    () n, 2m > n. () 2m

    a1; : : : ; an; An; : : : ; An

    2m n

    Gn An.

    23. an:

    a1 D a;anC1 D an a:

    , ,

    anCm D an am;.an/m D anm:

    ( : n

    m, .)

    24. 1 4 ,

    .

    :

    1 b D b;.aC 1/ b D a b C b:

    ( !):

    a .b C c/ D a b C a c ( a),a 1 D a;a b D b a ( b D 1).

    25. -

    . -

    ( 5 ).

    , -

    ,

    1, 1C1, 1C1C1, .

    ..

    () A

    (1) 1 A,

    (2) k C 1 A, k A.

  • 2. 31

    (i) R .

    (ii) .

    (iii) 12

    .

    (iv) 5

    .

    (v) A B , C

    A B .

    () n n

    .

    (i) 1

    (ii) , k , kC1 - .

    26. n -

    ,

    ( 1).

    . ,

    2 3, -

    3, .

    n 3 2n 1 .

    1 27. 17 -. ,

    17,

    . -

    , .

    . ,

    .

    , .

    ,

    , . ,

    . ,

    . -

    , .

    .

    , .

    . ;

    28. , , 27, : . . , ,

    ;

  • 2

  • ,

    , ,

    ,

    ,

    .

    , ,

    ,

    , ,

    .

    . 24

    1858,

    Durege

    .

    RICHARDDEDEKIND

  • 3

    ,

    -

    .

    .

    , ,

    ,

    .

    . , -

    ,

    , . ,

    . -

    :

    ,

    , .

    , , , .

    1 .

    2 y

    y3 C 3y C 5y2 C 1 :

    3 c 1;1

    c3 C 3c C 5c2 1 :

    4 x 17 x =3 x2.

    5 a 0 a

    , 1 a .

    6

    2 5,

    17 36

    ,

    2

    17 28,

    36

    28,

    y 2, 17, 2=17 36= , 16 y aC bp2

    a, b Q.

    35

  • 36

    7 t t3Cx. ( x -

    , x.)

    8

    7 , , 7 .

    :

    -

    , ,

    , , -

    (, , 8

    ). , ,

    (, -

    , 6 ).

    .

    ,

    . (

    ),

    , .

    .

    , f (function = ) , -

    g, h , (

    ) , x, y,

    . f

    , f x,

    f .x/ f x f

    x. , x,

    ( , , -

    f , x.f //.

    f .x/ x f x,

    f .x/ .

    18 f , g, h, r , s, , x y, :

    (1) f .x/ D x2 x.

    (2) g.y/ D y3 C 3y C 5y2 C 1 y.

    (3) h.c/ D c3 C 3c C 5c2 1 c 1;1.

    (4) r.x/ D x2 x 17 x =3.

    (5) s.x/ D

    0; x

    1; x .

    (6) .x/ D

    8

  • 3. 37

    (7) x.t/ D t3 C x t .

    (8) y.x/ D

    n; n 7 x

    ; 7 x.

    f f .x/ x

    f . (

    f .a/ a, f .b/ b, .) ,

    . (1)

    .1/ f .x/ D x2

    x . , (4)

    .4/ r.x/ D x2; 17 x =3:

    k.x/ D 1xC 1x 1 ; x 0; 1

    k.x/ D 1xC 1x 1:

    , ,

    .

    -

    :

    f .x C 1/ D f .x/C 2x C 1g.x/ D h.x/ x3 C 3x C 5 D 0

    r.x C 1/ D r.x/C 2x C 1 17 x 3 1

    s.x C y/ D s.x/ y

    2

    17

    D 36

    x.x/ D x f .x/C 1

    y

    1

    3

    D 0; y7

    9

    D :

    f .s.a// , s.a/

    , f .s.a// . , f .s.a// Ds.a/ a. ; , ,

    , f .s.a//.

    f .r.s..3.y. 13//////;

    , :

    f .r.s..3.y. 13 //////

    D f .r.s..3.0/////D f .r.s..3////D f .r.s.16///D f .r.1//D f .1/D 1:

  • 38

    -

    .

    (1)

    , . f

    a0, . . . , an

    f .x/ D anxn C an1xn1 C C a2x2 C a1x C a0; x

    ( f .x/ , an 0). x f

    , f f .x/ D 5x6 C 137x4 6. (2) (3)

    ,

    p=q p q ( q

    0). , ,

    ,

    . ,

    :

    (9) f .x/ D x C x2 C x sin2 x

    x sin x C x sin2 x(10) f .x/ D sin.x2/.(11) f .x/ D sin.sin.x2//.(12) f .x/ D sin2.sin.sin2.x sin2 x2/// sin

    x C sin.x sin x/x C sin x

    .

    , , -

    , (12);

    . (9)(12) -

    I , I.x/ D x, - sin, sin.x/ x sin x. -

    :

    f g , -

    f C g, f g,

    .f C g/.x/ D f .x/C g.x/:

    ,

    f C g x f .x/ C g.x/ , , x f g.

    A B , A\ B ( A B A B) x A B

    .f C g/ D f \ g.

    , f g fg

    ( f=g) f g

    .f g/.x/ D f .x/ g.x/

    f

    g

    .x/ D f .x/g.x/

    :

    , g c , -

    c g .c g/.x/ D c g.x/:

  • 3. 39

    f g, - c f f .x/ D c , x, .

    f g f \ g, c g g. , f=g f \ g \ fx W g.x/ 0g, fx W g.x/ 0g - x g.x/ 0. , fx W : : : g x . . .. fx W x3 C 3 < 11g - x x3 < 8, fx W x3C3 < 11g D fx W x < 2g. y

    x. ,

    . fx > 0 W x3 < 8g 8

    , , fx W x > 0 x3 < 8g. -, fx W 0 < x < 2g. , . f1; 3; 2; 4g, -, 1, 2, 3 4

    fx W x D 1 x D 3 x D 2 x D 4g. , ,

    ,

    . ,

    .f C g/C h D f C .gC h/:

    ,

    . ,

    .f C g/C h D f C .gC h/, , ,

    .f C g/C h.x/ D .f C g/.x/C h.x/D f .x/C g.x/C h.x/

    f C .g C h/.x/ D f .x/C .g C h/.x/D f .x/C g.x/C h.x/;

    f .x/ C g.x/ C h.x/ f .x/ C g.x/ C h.x/ . -

    ,

    .f C g/C h f C .g C h/ - f \ g\ h. , ,f C g C h .f C g/ C h D f C .g C h/, .

    .f g/ h D f .g h/, f g h. f C g D g C f f g D g f , , .

    +, , / f (9)

    f D I C I I C I sin sinI sinCI sin sin :

    (10)

    . .

    , , .

  • 40

    f g , f Bg, f g,

    .f B g/.x/ D f .g.x//

    f B g

    fx W x g g.x/ f g:

    f B g f g.. f g , ,

    :

    f Bg gBf , , , f g ,

    (, , f D I I g D sin). ,

    :

    .f B g/ B h D f B .g B h/

    ( ) f B g B h. - (10), (11), (12)

    (10) f D sin B .I I /,(11) f D sin B sin B .I I /,(12) f D .sin sin/ B sin B .sin sin/ B .I .sin sin/ B .I I //

    sin BI C sin B .I sin/

    I C sin

    .

    .

    ,

    . f f .x/ D sin.x2/ x, f f .x/ D sin.x2/ x. ,

    . , -

    x ! sin.x2/

    ( x sin.x2/ x sin.x2/),

    .

    ,

    f .x/ D sin.x2/. sin.x2/. , ,

    , ,

    . ,

    ,

    . ,

    , . ,

    x C t3

    x ! x C t3, , f f .x/ D x C t3 x

    t ! x C t3, , f f .t/ D x C t3 t .

    , ,

    x!.

    .

  • 3. 41

    , .

    ;

    .

    f .x/ D x2

    f .x/ D x2 C 3x C 3 3.x C 1/

    , -

    f .x/ ,

    f .x/ D x2

    f .x/ D x2 C 3x C 3 3.x C 1/

    . ,

    -

    , .

    ,

    .

    .

    .

    ; ;

    ;.

    x

    f .x/

    f .x/ D x2:

    x f .x/

    1 1

    1 12 4

    2 4p2 2

    p2 2

    2

    2

    (

    ).

    .1; 1/; .1; 1/; .2; 4/; .2; 4/; .; 2/; .p2; 2/; : : :

    .* f .1/

    1 f ./

    * , , ,

    .2; 4/ .4; 2/. , .

    , .

  • 42

    .

    .

    , ( 5 ):

    f D f .1; 7/; .3; 7/; .5; 3/; .4; 8/; .8; 4/g;

    f .1/ D 7, f .3/ D 7, f .5/ D 3, f .4/ D 8, f .8/ D 4 1, 3, 4, 5, 8 f .

    f D f .1; 7/; .3; 7/; .2; 5/; .1; 8/; .8; 4/ g;

    f .3/ D 7, f .2/ D 5, f .8/ D 4 f .1/ D 7 f .1/ D 8. ,

    . .

    :

    .a; b/ .a; c/ , b D c .

    , -

    .

    ( )

    ,

    . -

    , ,

    .

    ( )

    .

    f , f

    a b .a; b/ f .

    a f ,

    , , b .a; b/

    f . b f.a/.

    : -

    f x f .x/.

    -

    .

    . , ,

    . ,

    .

    .

    1. f .x/ D 1=.1C x/. :

    (i) f .f .x// ( x ;).

    (ii) f

    1

    x

    .

  • 3. 43

    (iii) f .cx/.

    (iv) f .x C y/.(v) f .x/C f .y/.(vi) c x f .cx/ D f .x/;

    :

    .

    (vii) c f .cx/ D f .x/ x;

    2. g.x/ D x2,

    h.x/ D0; x

    1; x .

    (i) y h.y/ y;(ii) y h.y/ g.y/;(iii) g.h.// h./;(iv) w g.w/ w;(v) " g.g."// D g."/;

    3. :

    (i) f .x/ Dp1 x2.

    (ii) f .x/ Dq

    1 p1 x2:

    (iii) f .x/ D 1x 1 C

    1

    x 2 :

    (iv) f .x/ Dp1 x2 C

    px2 1:

    (v) f .x/ Dp1 x C

    px 2:

    4. S.x/ D x2, P.x/ D 2x, s.x/ D sin x. . .

    (i) .S B P/.y/.(ii) .S B s/.y/.(iii) .S B P B s/.t/C .s B P/.t/.(iv) s.t3/.

    5. S , P , s, -

    C, B ( , (i) P B s). .

    (i) f .x/ D 2sinx .(ii) f .x/ D sin 2x.(iii) f .x/ D sin x2.(iv) f .x/ D sin2 x ( sin2 x .sin x/2/.(v) f .t/ D 22t . (: abc a.bc/ -

    .ab/c abc .)

    (vi) f .u/ D sin.2u C 2u2/.

    (vii) f .y/ D sin

    sin

    sin

    222siny

    .

  • 44

    (viii) f .a/ D 2sin2 a C sin.a2/C 2sin.a2Csina/:

    , , ,

    .

    ,

    .

    6. () x1, . . . , xn ,

    fi n 1 1 xi 0 xj j i . : .x xj / j i , 0 xj j i . (

    nY

    jD1ji

    .x xj /;

    .)

    () f n 1 f .xi / D ai a1, . . . , an . ( - fi ().

    Lagrange.)

    7. () f , a, -

    g, b, f .x/ D.x a/g.x/C b x. ( f .x/ .x a/, . ,

    x3 3x C1 x 1

    x3 x2 x2 Cx 2

    x2 3xx2 x

    2x C12x C2

    1

    x3 3x C 1 D .x 1/.x2 C x 2/ 1. f .)

    () f .a/ D 0, f .x/ D .x a/g.x/ - g. ( .)

    () f n, f

    n , n a f .a/ D 0.() n n n .

    n n

    , n .

    8. a, b, c d

    f .x/ D ax C bcx C d

    f .f .x// D x x ( );

  • 3. 45

    9. () A , CA :

    CA.x/ D

    1; x A

    0; x A:

    CA\B ,CA[B CRA, CA CB .( A\B , . :

    A [ B D fx W x A x Bg;R A D fx W x R Ag:/

    () f f .x/ D 0 1 x. A f D CA.

    () f D f 2 f D CA A.

    10. () f g f D g2 ; -: -

    .

    () f g f D 1=g;() b c x

    .x.t//2 C b.t/x.t/C c.t/ D 0

    t ;

    () a b - x

    a.t/x.t/C b.t/ D 0

    t ; x ;

    11. () H y H.H.y// Dy.

    H.H.H. .H.y/ /

    80

    :

    () 80 81.

    () H.H.y// D H.y/.() H H.H.x// D H.x/ x,

    H.1/ D 36, H.2/ D =3, H.13/ D 47, H.36/ D 36, H.=3/ D =3,H.47/ D 47. ( H.x/ H H.H.x// D H.x/. H

    H .)

    () H H.H.x// D H.x/ x, H.1/ D 7,H.17/ D 18.

    12. f f .x/ D f .x/, f .x/ Df .x/. , f f .x/ D x2 f .x/ D jxj f .x/ Dcosx, f f .x/ D x f .x/ D sinx.

    () f C g , , -, f

    , g . (

    2 2 .)

  • 46

    () f g.() f B g.() f f .x/ D g.jxj/,

    g.

    13. () f R f D ECO , E O .

    () f . ( -

    () , E O ,

    ().)

    14. f , jf j jf j.x/ D jf .x/j. f g , -, max.f; g/ min.f; g/,

    max.f; g/.x/ D max.f .x/; g.x//;min.f; g/.x/ D min.f .x/; g.x//:

    max.f; g/ min.f; g/ j j.

    15. () f D max.f; 0/Cmin.f; 0/. f max.f; 0/ min.f; 0/

    f .

    () f f .x/ 0 x. f f D g h, g h -, . ( g D max.f; 0/ h D min.f; 0/.) : - .

    16. f f .x C y/ D f .x/C f .y/ x y.

    () f .x1 C C xn/ D f .x1/C C f .xn/.() c f .x/ D cx

    x (

    f .x/ x ). :

    c. f .x/ D cx, x , x , x

    , , , x.

    17. f .x/ D 0 x, f f .x C y/ D f .x/ C f .y/ x y, f .x y/ D f .x/ f .y/ x y. f , f .x/ 0.

    f .x/ D x x, :

    () f .1/ D 1.() f .x/ D x x .() f .x/ > 0 x > 0. ( ,

    , .)

    () f .x/ > f .y/ x > y.

    () f .x/ D x x. : .

    18. f, g, h k f .x/g.y/ D h.x/k.y/ x y;

  • 3. 47

    19. () f g -:

    (i) f .x/C g.y/ D xy x y.(ii) f .x/ g.y/ D x C y x y.: f g

    x y.

    () f g f .x C y/ D g.xy/ x y.

    20. () f , , jf .y/f .x/j jyxj.() f .y/f .x/ .yx/2 x y. (

    jf .y/ f .x/j .y x/2 ;). f .: x y n .

    21. :

    () f B .g C h/ D f B g C f B h.() .g C h/ B f D g B f C h B f .

    ()1

    f B g D1

    fB g.

    ()1

    f B g D f B1

    g

    .

    22. () g D h B f . f .x/ D f .y/, g.x/ D g.y/.() , f g

    g.x/ D g.y/ f .x/ D f .y/. g D hBf - h. : h./

    D f .x/ ( )

    .

    23. f B g D I , I.x/ D x.

    () x y, g.x/ g.y/() b b D f .a/ a.

    24. () g g.x/ g.y/ x y. f f B g D I .

    () f b b Df .a/ a. g

    f B g D I .

    25. f g B f D I g, h f B h D I .

    26. f B g D I h B f D I . g D h. : .

    27. () f .x/ D xC1. g f Bg D gBf ;() f . g f B

    g D g B f ;() f B g D g B f g. f

    , f .x/ D x.

  • 48

    28. () F R.

    , C , 19 7 F , 0 1

    .

    () 7 .

    () 1012 . , P F , 1012

    P . (, ,

    0 , x0 x1.)

    () f < g f .x/ < g.x/ x.

    010013 ( 1-8) ;

    () f < g, h B f < h B g ; f B h < g B h ;

  • 3. . 49

    .

    , ,

    .

    ,

    . -

    .a; b/

    a b, :

    .a; b/ D .c; d /, a D c b D d .

    ,

    .a; b/

    ,

    .

    .

    -

    . -

    , ,

    -

    .

    .

    , (

    )

    .

    fa; bg, a b, , .a; b/, -

    fa; bg a, b . :

    f fag; fa; bg g:

    ,

    fag, a, fa; bg. , .a; b/ .

    , .

    .a; b/ D f fag; fa; bg g:

    1 .a; b/ D .c; d /, a D c b D d .

    f fag; fa; bg g D f fcg; fc; d g g:

    f fag; fa; bg g , fag fa; bg a f fag; fa; bg g. , c f fcg; fc; d g g. a D c.

    f fag; fa; bg g D f fag; fa; d g g; b D d . 2 .

  • 50

    1. b D a. , fa; bg D fag, f fag; fa; bg g , fag. f fag; fa; d g g, fa; d g D fag, d D a D b.

    2. b a. , b f fag; fa; bg g . b f fag; fa; d g g . b fa; d g, fag b D a b D d , b a b D d .

  • 4

    ,

    , , .

    .

    ,

    .

    1

    , 2 .

    , , , -

    . (

    1) , , 0, ,

    1.

    2, 1 0,

    0, 1, . , a < b, a b.

    1 , 12 .

    ,

    . ,

    , -

    ,

    (

    ). -

    , ,

    , R .

    jabj : a b, a

    b .

    x jx aj < " a ".

    a " a C ", x a " < x < aC " ( 2).

    2

    . fx W a < x < bg .a; b/ a b. -

    , .a; b/

    , (

    ) . , a b, .a; b/ D ;, ( - ) , .a; b/, a

    b.

    51

  • 52

    fx W a x bg a; b a b. a < b,

    a D b.

    3

    .a; b/ a; b 3

    -

    , . 3

    . fx W x > ag .a;1/, fx W x ag a;1/ .1; a/ .1; a . : 1 1, , -

    1 1 a a. 1 1, ,

    . R

    , .1;1/.

    4

    ,

    . ,

    , ,

    . , , -

    . ( , -

    , ,

    , , ,

    .) -

    ,

    .a; 0/, -

    .0; b/, ,

    , .0; 0/. .a; b/

    4,

    .0; 0/, .a; 0/ .0; b/. a b

    , , .

    5 , ,

    .

    ,

    .

    . ,

    f .x; f .x//.

    ,

    , , ,

    .

    ,

    f .x/ D c, . f .x/ D c , c ( 5).

    6 f .x/ D cx

    .0; 0/, 6.

    7: x 0, L

    O , .0; 0/, A,

    .x; cx/. A0, y, L A0B 0O ABO

    A0B 0

    OB 0D ABOB

    D c

    A0 .y; cy/, A0 f . c > 0, .

    7

  • 4. 53

    c,

    , ,

    c.

    8

    ,

    . ,

    -

    .

    (

    )

    . ,

    .

    , -

    .

    ( )

    -

    , , ,

    , f.x; cx/ W x g.

    , . .a; b/ .c; d /

    , , .a; b/

    .c; d / p

    .a c/2 C .b d/2:

    , 8 -

    .*

    9 , -

    ( 9) f .x/ D cxCd - c, .0; d/. -

    f .x/ D cxCd . , , .

    .

    .a; b/ .c; d /,

    f .a; b/ .c; d /.

    f .a/ D b f .c/ D d . f f .x/ D px C q,

    paC q D b;pc C q D d

    p D .d b/=.c a/ q D b .d b/=.c a/a,

    f .x/ D d bc a x C b

    d bc a a D

    d bc a .x a/C b;

    -

    - (. 6).

    , a c -

    .

    ,

    * ,

    . ,

    ,

    .

  • 54

    . -

    -

    .a; b/ .a; c/ , ,

    .a; b/ .a; c/ b c. ,

    , .

    10 ,

    -

    R,

    .

    ()

    ()

    () ()

    1 0

    , , f .x/ D x2. f ,

    .x; x2/, 11.

    1 1

    .x; x2/

    12 .

    ,

    ( ) ,

    ;

    . ,

    . , :

    ,

    13; , ,

    () 0 < x < y x2 < y2,

    y , x,

    (). , ,

    .x; x2/,

    () ().

    , ,

    . ,

    1 2 ,

    , . ,

    . , !

  • 4. 55

    f .x/ D xn, n, - .

    , , 14.

    ()

    ()

    ()

    1 3

    1 4

    ()

    ()

    1 5

    -

    , . 15

    , 16

    f .x/ D anxn C an1xn1 C C a0;

    an > 0.

    () ()

    1 6

    , f n 1 ( .x; f .x// 16,

    .y; f .y//. -

    ( , ,

    ). ,

    3

  • 56

    ( 3 ,

    ).

    17 .

    -

    , -

    , 3 .

    () ()

    ()()

    1 7

    1 8

  • 4. 57

    -

    .

    18 . f

    f

    1

    n

    D .1/nC1;

    f

    1n

    D .1/nC1;

    f .x/ D 1; jxj 1;

    1=.nC1/; 1=n 1=n;1=.nC1/. ( 0 f .) ,

    f .x/, x 1=.nC1/; 1=n ,

    .

    , ,

    ,

    0, ,

    15. ,

    2 , -

    ( 180 ), =2 , .

    19.

    1 9

    2 0

    f .x/ D sin 1=x. f 20.

  • 58

    f .x/ D 0 x D 1;1

    2;1

    3; : : : ;

    f .x/ D 1 x D 112;

    112 C 2

    ;1

    12 C 4

    ; : : : ;

    f .x/ D 1 x D 132;

    132 C 2

    ;1

    32 C 4

    ; : : : :

    2 1

    2 2

    , x , 1=x , f .x/

    x , , jxj

  • 4. 59

    x, f .x/ 0, f .x/ < 0.

    f .x/ D x sin 1=x. 21.

    sin 1=x 0, 1 1, - f .x/ D x sin 1=x x x. - x

    . sin 1=x 0, x

    , .

    ,

    3 . 22 f .x/ D x2 sin 1=x. -

    .

    0 ( ). ,

    . -

    f .x/ D

    x2; x < 1

    2; x 1 g.x/ D

    x2; x 12; x > 1

    ( 23).

    ()

    ()

    2 3

    , :

    f .x/ D

    0; x

    1; x .

    2 4

    f

    ,

    . 24

    . -

    , -

    x. (

    , ,

    21-5 21-6.)

    ,

    , ,

    , . -

    . .a; b/ r > 0 ,

    , .x; y/ .a; b/ r .

    ( 25) .x; y/

    2 5 p.x a/2 C .y b/2 D r

  • 60

    .x a/2 C .y b/2 D r2: .0; 0/ 1, -

    , .

    .

    -

    . ( , .) , , -

    .c; 0/ .c; 0/, 2a ( 2 ), .x; y/

    p

    .x .c//2 C y2 Cp

    .x c/2 C y2 D 2a

    p

    .x C c/2 C y2 D 2a p

    .x c/2 C y2

    x2 C 2cx C c2 C y2 D 4a2 4ap

    .x c/2 C y2 C x2 2cx C c2 C y2

    4.cx a2/ D 4ap

    .x c/2 C y2

    c2x2 2cxa2 C a4 D a2.x2 2cx C c2 C y2/

    .c2 a2/x2 a2y2 D a2.c2 a2/

    x2

    a2C y

    2

    a2 c2 D 1:

    x2

    a2C y

    2

    b2D 1;

    b Dpa2 c2 ( a > c, a2 c2 >

    0). 26.

    y D 0,

    x2

    a2D 1; x D a;

    2 6

    x D 0,

    y2

    b2D 1; y D b:

  • 4. 61

    ,

    . .c; 0/ .c; 0/, 2a, , .x; y/ ,

    p

    .x C c/2 C y2 p

    .x c/2 C y2 D 2a;

    x2

    a2C y

    2

    a2 c2 D 1:

    , c > a, a2c2 < 0. b D

    pc2 a2, .x; y/

    x2

    a2 y

    2

    b2D 1:

    27. ,

    2 7 .x; y/ .c; 0/ .c; 0/ . y D 0, x D a, .

    ( 28) a D b Dp2 f .x/ D 1=x.

    , ,

    =4 ( 23).

    () ()

    2 8

    , -

    . ,

    -

    . , ,

    ,

    f .x/ D bp

    1 .x2=a2/; a x a

    g.x/ D bp

    1 .x2=a2/; a x a:

    , , .

    ,

    f .x/ D

    8

    1). -

    r D 1C " cos

    .

  • 80

    6. .x; y/ .x; y/

    O .x; y/ y D a ( 7). a r cos ,

    a D r.1C cos /:

    (4).

    7. , ", -

    7 (4), (3).

    .1 "2/x2 C y2 D 2 2"x:

    4-16, " < 1,

    " D 1, " > 1.

    8. () r D 1 sin .() r D 1

    sin .

    ()

    x2 C y2 Dp

    x2 C y2 y;

    .x2 C y2 C y/2 D x2 C y2:

    9. :

    (i) r D 1 12

    sin .

    (ii) r D 1 2 sin .(iii) r D 2C cos .

    10. ()

    r2 D 2a2 cos 2:

    () .

    () P 8 -

    d1d2 D a2. 8 ()

    P d1d2 D b, b > a2 b < a2.

  • 5

    , -

    .

    ,

    .

    f l a, f .x/

    l x , , a.

    1,

    l a. , g.a/ h.a/ -

    , g h l a.

    , ,

    a f .x/ l x a,

    a. , f .a/,

    f .a/ .

    1

    f l -

    a

    4. , ,

    R, x , f .x/ . 2

    .

    81

  • 82

    ()()

    2

    f

    3. f .x/ l ,

    B 3.

    x A 3. (

    a.)

    B 0 ( 4) , , A0 B , A .

    3 4

    f ,

    B

    , A . f .x/ B

    x A

    A

    B 5()

    A, 5(), A .

    () ()

    5

    ,

    f .x/ D 3x a D 5 ( 6). f 15 5 f .x/ 15 ,

    x 5. ,

    3x 110

    15.

    6

  • 5. 83

    15 110< 3x < 15C 1

    10;

    110< 3x 15 < 1

    10:

    130< x 5 < 1

    30;

    jx 5j < 130. 1

    10.

    j3x 15j < 1100

    jx 5j < 1300

    . ",

    j3x 15j < " jx 5j < "=3. a D 5. -

    f 3a a a:

    j3x 3aj < "

    jx aj < "3:

    , f .x/ D3:000:000x. 1:000:000 ,

    jx aj < "=3:000:000 jf .x/ aj < ". f .x/ D x2 .

    f .x/ 9 3.

    jx2 9j < "

    " jx 3j .

    jx2 9j D jx 3j jx C 3j;

    jx 3j. , jx C 3j, 3 3:000:000. , ,

    jx C 3j. , jx 3j < 1. jx 3j < 1, 2 < x < 4, 5 < x C 3 < 7 jx C 3j < 7. ,

    jx2 9j D jx 3j jx C 3j < 7jx 3j;

    jx29j < " jx3j < "=7, - jx 3j < 1. , : jx 3j < min."=7; 1/.

    jx3j < 1 . - jx 3j < 1

    10 jx 3j < 10

    . -

    ,

    jx 3j < 10. f 9 3

    f a2 a a,

  • 84

    jx C aj. jx aj < 1, jxC aj . 1-12

    jxj jaj jx aj < 1;

    jxj < 1C jaj;

    jx C aj jxj C jaj < 2jaj C 1;

    jx2 a2j D jx aj jx C aj< jx aj .2jaj C 1/;

    jx2a2j < " jxaj < "=.2jajC1/, jx aj < 1. : jx aj < min."=.2jaj C 1/; 1/.

    , f .x/ D 1=x( x 0), f 1=3 3.

    1

    x 13

    < "

    " jx 3j .

    1

    x 13

    D

    3 x3x

    D 13 1jxj jx 3j;

    jx 3j, 13

    , 1=jxj. , jxj , 1=jxj .

    jx 3j < 1, 2 < x < 4,

    1

    4 0,

    jf .x/ 0j Dx sin

    1

    x

    < "

    jxj D jx 0j ( 0). .

    sin

    1

    x

    1; x 0,

    x sin

    1

    x

    jxj; x 0,

    jx sin 1=xj < " jxj < " 0.

    f .x/ D x2 sin 1=x ( 9) f 0 0. , ,

    x2 sin

    1

    x

    0, jf .x/ 0j < " - x 0. , " > 0 jf .x/0j < " , jxj. " D 1

    2 :

    jf .x/j < 12 jxj. , A

    0, x D 1=.12C 2n/

    x f .x/ D 1.

    1 1

    ( 12) f

    0. ,

    l , " > 0 jf .x/ l j < " , x. " D 1

    2

    l , jxj, jf .x/ l j < 1

    2. , A

    0, x1 x2,

    1 2f .x1/ D 1 f .x2/ D 1;

    x1 D1

    12 C 2n

    x2 D1

    32 C 2m

    n m. l 12 lC 1

    2

    1 1, 1

    j1 l j < 12

    j1 l j < 12;

    l .

  • 5. 87

    f .x/ D sin 1=x 0 .

    f .x/ D

    0; x

    1; x ,

    , a, f l a. ,

    jf .x/ l j < 14 x a,

    a x f .x/ D 0, x f .x/ D 1, j0 l j < 1

    4 j1 l j < 1

    4.

    13:

    f .x/ D

    x; x

    0; x .

    g.x/ Dsin 1=x. 0 0, a, a 0. , , .

    1 3 ( 14):

    f .x/ D

    1; x < 01; x > 0:

    a > 0, f 1 a: ,

    jf .x/ 1j < " jx aj < a,

    a < x a 0 < x

    f .x/ D 1. , b < 0, f 1 b:

    1 4 jf .x/ .1/j < " jx bj < b., , f

    0.

    , .

    , .

    , -

    . , ,

    .

    f .x/ l ( )

    x a ( -

    ). , ()

    .

    , .

    , -

    . , ,

    :

    f l a, f .x/

    l x , ,

    a.

    - ,

    f .x/ l jf .x/ l j , x a:

    f l a, jf .x/ l j jx aj , x a.

  • 88

    , , jf .x/l j jf .x/ l j < " " > 0 :

    f l a, " > 0

    jf .x/ l j < " jx aj , x a.

    .

    " > 0 , , x a jx aj < , jf .x/ l j < ". f .x/ D x sin 1=x ( a D 0,l D 0), " f .x/ D

    p

    jxj sin 1=x, "2 f .x/ D x2 1 "=.2jaj C 1/. , , ",

    jx aj < :

    f l a, " > 0 > 0

    , x, jx aj < x a, jf .x/ l j < ".

    .

    , jx aj < x a 0 < jx aj < .

    f l a : " > 0

    > 0 , x, 0 < jx aj < , jf .x/ l j < ".

    ( -

    ) .

    , ! , ,

    , -

    . -

    ,

    . ,

    , -

    . f l a,

    :

    " > 0 > 0 , x, 0 < jx aj < , jf .x/ l j < ",

    " > 0 > 0 x

    0 < jx aj < jf .x/ l j < ".

    , f .x/ D sin 1=x 0 0, " D 1

    2 > 0 x 0 < jx 0j <

    j sin 1=x 0 j < 12, x 1=.=2C 2n/,

    n 1=.=2C 2n/ < . ,

    15

    :

    f .x/ D0; x , 0 < x < 1

    1=q; x D p=q , 0 < x < 1.

    ( p=q p q

    q > 0.)

  • 5. 89

    1 5

    a, 0 < a < 1, f 0 a. -

    , " > 0. n

    1=n ". x jf .x/ 0j < ", :

    1

    21

    3;2

    31

    4;3

    41

    5;2

    5;3

    5;4

    5 : : :

    1

    n; : : : ;

    n 1n

    :

    ( a , a .)

    , .

    , , a. -

    , jp=qaj p=q . ( a ,

    jp=q aj p=q a.) . , 0 < jx aj < , x

    1

    2; : : : ;

    n 1n

    jf .x/ 0j < " . . "

    ".

    ,

    . ,

    .

    : ,

    .

    1 a.

    , f l a, f m a, l D m.

    ,

    .

    f l a, " > 0

    1 > 0 , x,

    0 < jx aj < 1, jf .x/ l j < ".

    , f m a, 2 > 0

    , x,

    0 < jx aj < 2, jf .x/ mj < ".

  • 90

    , 1 2,

    . ,

    " > 0 > 0

    , x,

    0 < jx aj < , jf .x/ l j < " jf .x/ mj < "

    D min.1; 2/. " > 0

    jf .x/ l j < " jf .x/ mj < "

    , l m. 16. l m, jl mj > 0, " jl mj=2. > 0 , x,

    0 < jx aj < ; jf .x/ l j < jl mj2

    jf .x/ mj < jl mj2

    :

    0 < jx aj <

    1 6jl mj D jl f .x/C f .x/ mj jl f .x/j C jf .x/ mj

    0

    , x,

    0 < jx aj < 1, jf .x/ l j 0, 1; 2 > 0 , x,

    0 < jx aj < 1, jf .x/ l j < min

    1;"

    2.jmj C 1/

    ,

    0 < jx aj < 2, jg.x/ mj 0 , x,

    0 < jx aj < , jx2 a2j < min jaj22;"jaj42

    .

    ,

    D min

    0

    BB@1;

    min

    jaj22;"jaj42

    2jaj C 1

    1

    CCA:

    , ,

    .

    2 .

    limx!a

    f .x/ , , f a,

    f x a. , > 0 f .x/ x 0 < jxaj <

    0 < jx aj < , jf .x/ l j < "

  • 5. 95

    , f .x/ x. f

    g ,

    f C g f g. 1=g, 1=g x g.x/ D 0. , 2(3).

    f a,

    > 0 f .x/ x

    0 < jx aj < . , - 17,

    a. 17()

    limx!aC

    f .x/ D l limx#a

    f .x/ D l:

    ( : f .x/ x a

    ). ,

    : limx!aC

    f .x/ D l " > 0 > 0 , x,

    0 < x a < , jf .x/ l j < ".

    ( 0 < x a < 0 < jx aj < x > a).

    ()

    ()

    1 7 ( 18) : limx!a

    f .x/ D l ( limx"a

    f .x/ D l) " > 0 > 0 , x,

    0 < a x < , jf .x/ l j < ".

    1 8

    ,

    f a. ,

    f 14,

    limx!0C

    f .x/ D 1 limx!0

    f .x/ D 1:

    ( 29) limx!a

    f .x/

    limx!aC

    f .x/ limx!a

    f .x/ , .

    ,

    ,

    . 4 x ,

    sin 1=x 0.

    limx!1

    sin 1=x D 0:

    limx!1

    f .x/ f .x/ x 1, x , lim

    x!1f .x/ .

    1 9

    19 limx!1

    f .x/ D l . ,limx!1

    f .x/ D l " > 0 N , x,

    x > N , jf .x/ l j < ".

  • 96

    : -

    0 < jx aj < x a, x > N x .

    , ,

    ( ).

    ,

    .

    1. . ( ,

    , 2

    , .)

    (i) limx!1

    x2 1x C 1 :

    (ii) limx!2

    x3 8x 2 :

    (iii) limx!3

    x3 8x 2 :

    (iv) limx!y

    xn ynx y :

    (v) limy!x

    xn ynx y :

    (vi) limh!0

    paC h

    pa

    h:

    2. .

    (i) limx!1

    1 px

    1 x :

    (ii) limx!0

    1 p1 x2x

    :

    (iii) limx!0

    1 p1 x2x2

    :

    3. , l a,

    jf .x/ l j < " x 0 < jx aj < .

    (i) f .x/ D x

    3 cos.x2/

    , a D 0.

    (ii) f .x/ D x2 C 5x 2, a D 2.

    (iii) f .x/ D 100x

    , a D 1.

    (iv) f .x/ D x4, a.

    (v) f .x/ D x4 C 1x, a D 1.

    (vi) f .x/ D x2 sin2 x

    , a D 0.

    (vii) f .x/ Dp

    jxj, a D 0.

  • 5. 97

    (viii) f .x/ Dpx, a D 1.

    4. 4-17, -

    a limx!a

    f .x/.

    5. () 4-19.() , -

    0

    9.

    6. f g : " > 0

    x,

    0 < jx 2j < sin2"2

    9

    C ", jf .x/ 2j < ",

    0 < jx 2j < "2, jg.x/ 4j < ".

    " > 0 > 0 , x,

    (i) 0 < jx 2j < , jf .x/C g.x/ 6j < ".

    (ii) 0 < jx 2j < , jf .x/g.x/ 8j < ".

    (iii) 0 < jx 2j < ,

    1

    g.x/ 14

    < ".

    (iv) 0 < jx 2j < ,

    f .x/

    g.x/ 12

    < ".

    7. f

    : jf .x/ l j < " 0 < jx aj < , jf .x/ l j < "=2 0 < jx aj < =2.

    8. () limx!a

    f .x/ limx!a

    g.x/ ,

    limx!a

    f .x/C g.x/ limx!a

    f .x/g.x/;

    () limx!a

    f .x/ limx!a

    f .x/Cg.x/ , lim

    x!ag.x/;

    () limx!a

    f .x/ limx!a

    g.x/ ,

    limx!a

    f .x/C g.x/;

    () limx!a

    f .x/ limx!a

    f .x/g.x/ ,

    limx!a

    g.x/;

    9. limx!a

    f .x/ D limh!0

    f .a C h/. ( .)

    10. () limx!a

    f .x/ D l limx!a

    f .x/l D 0. ( .

    ,

    .)

    () limx!0

    f .x/ D limx!a

    f .x a/.

    () limx!0

    f .x/ D limx!0

    f .x3/.

    () limx!0

    f .x2/ , limx!0

    f .x/ .

  • 98

    11. > 0 f .x/ D g.x/ 0 < jx aj < . lim

    x!af .x/ D lim

    x!ag.x/. , lim

    x!af .x/

    f .x/ x a

    . (

    0, , , .)

    12. () f .x/ g.x/ x. limx!a

    f .x/ limx!a

    g.x/,

    .

    () ;

    () f .x/ < g.x/ x, limx!a

    f .x/ < limx!a

    g.x/;

    13. f .x/ g.x/ h.x/ limx!a

    f .x/ D limx!a

    h.x/.

    limx!a

    g.x/ , limx!a

    g.x/ D limx!a

    f .x/ D limx!a

    h.x/. (

    !)

    14. () limx!0

    f .x/=x D l b 0, limx!0

    f .bx/=x D bl .: f .bx/=x D bf .bx/=bx.

    () b D 0;() () lim

    x!0.sin 2x/=x

    limx!0

    .sin x/=x. .

    15. D limx!0

    .sin x/=x.

    (i) limx!0

    sin 3x

    x.

    (ii) limx!0

    sin ax

    sin bx.

    (iii) limx!0

    sin2 2x

    x.

    (iv) limx!0

    sin2 2x

    x2.

    (v) limx!0

    1 cosxx2

    .

    (vi) limx!0

    tan2 x C 2xx C x2 .

    (vii) limx!0

    x sin x

    1 cosx .

    (viii) limh!0

    sin.x C h/ sin xh

    .

    (ix) limx!1

    sin.x2 1/x 1 .

    (x) limx!0

    x2.3C sin x/.x C sin x/2 .

    (xi) limx!1

    .x2 1/3 sin

    1

    x 1

    3

    .

    16. () , limx!a

    f .x/ D l , limx!a

    jf j.x/ D jl j.

  • 5. 99

    () , limx!a

    f .x/ D l limx!a

    g.x/ D m, limx!a

    max.f; g/.x/ D max.l;m/ min.

    17. () limx!0

    1=x , , l

    limx!0

    1=x D l .

    () limx!1

    1=.x 1/ .

    18. , limx!a

    f .x/ D l , > 0 M jf .x/j < M 0 < jx aj < . ( ;) : l 1 < f .x/ < l C 1 0 < jx aj < ;

    19. , f .x/ D 0 x , f .x/ D 1 x , limx!a

    f .x/ a.

    20. , f .x/ D x x , f .x/ D x x , limx!a

    f .x/ a 0.

    21. () , limx!0

    g.x/ D 0, limx!0

    g.x/ sin 1=x D 0.

    () : limx!0

    g.x/ D 0 jh.x/j M x, lim

    x!0g.x/h.x/ D 0. (

    () ()

    () ()

    .)

    22. f : g

    limx!0

    g.x/ , limx!0

    f .x/ C g.x/ . lim

    x!0f .x/ . :

    : limx!0

    f .x/

    g.

    23. 22 f Cg f g. , ( -

    , ).

    () limx!0

    f .x/ 0. limx!0

    g.x/

    , limx!0

    f .x/g.x/ .

    () limx!0

    jf .x/j D 1. ( 37.)

    () , , -

    g limx!0

    g.x/ ,

    limx!0

    f .x/g.x/ .

    : : (1) " > 0

    jf .x/j > " x. (2) " > 0, - x jf .x/j < ". , xn jxnj < 1=n jf .xn/j < 1=n.

    24. , n, An 0; 1, An Am m n.

  • 100

    f :

    f .x/ D

    1=n; x An0; x An n:

    limx!a

    f .x/ D 0 a 0; 1.

    25. limx!a

    f .x/ D l : > 0 " > 0 , x,

    (i) 0 < jx aj < ", jf .x/ l j < .(ii) 0 < jx aj < ", jf .x/ l j .(iii) 0 < jx aj < ", jf .x/ l j < 5.(iv) 0 < jx aj < "=10, jf .x/ l j < .

    26. limx!a

    f .x/ D l .

    () > 0 " > 0 0 < jx aj < , jf .x/ l j < ".

    () " > 0 > 0 jf .x/ l j < ", 0 0 f .x/ < f .y/

    x < a < y jx aj < jy aj < . ;

    32. limx!1

    .anxnC Ca0/=.bmxmC Cb0/ ( an 0 bm 0)

    m n. m D n; m > n; : lim

    x!11=xk D 0

    .

  • 5. 101

    33. .

    (i) limx!1

    x C sin3 x5x C 6 .

    (ii) limx!1

    x sin x

    x2 C 5 .

    (iii) limx!1

    p

    x2 C x x.

    (iv) limx!1

    x2.1C sin2 x/.x C sin x/2 .

    34. limx!0C

    f .1=x/ D limx!1

    f .x/.

    35. D limx!0

    .sinx/=x.

    (i) limx!1

    sinx

    x.

    (ii) limx!1

    x sin1

    x.

    36. () limx!1

    f .x/ D l.

    () limx!1

    .anxn C C a0/=.bmxm C C b0/.

    () limx!1

    f .x/ D limx!1

    f .x/.

    () limx!0

    f .1=x/ D limx!1

    f .x/.

    37. limx!a

    f .x/ D 1 N > 0 , x, 0 < jx aj < , f .x/ > N . ( !) (, lim

    x!af .x/

    .)

    () limx!3

    1=.x 3/2 D 1.

    () f .x/ > " > 0 x, limx!a

    g.x/ D 0,

    limx!a

    f .x/=jg.x/j D 1:

    38. () limx!aC

    f .x/ D 1 limx!a

    f .x/ D 1. ( .

    ;)

    () limx!0C

    1=x D 1.

    () limx!0C

    f .x/ D 1, limx!1

    f .1=x/ D 1.

    39. , .

    (i) limx!1

    x3 C 4x 77x2 x C 1 .

    (ii) limx!1

    x.1C sin2 x/.

    (iii) limx!1

    x sin2 x.

    (iv) limx!1

    x2 sin1

    x.

  • 102

    (v) limx!1

    p

    x2 C 2x x.

    (vi) limx!1

    x.px C 2

    px /.

    (vii) limx!1

    p

    jxjx

    .

    40. () n- -

    r . [: 2rn sin.=n/.]

    () n ;

    () ;

    41. () c > 1, c1=n D npc 1 n

    . : " > 0

    c1=n > 1C " n.() , c > 0, c1=n 1 n

    .

    42. , lim

    x!ax2 D a2 lim

    x!ax3 D a3

    83.

    , limx!a

    x2 D a2,

    a > 0. " > 0, p

    a2 C " a a

    pa2 " (. 20): jx aj <

    pa2 " 0. > 0 x,

    jx aj < , j.f B g/.x/ .f B g/.a/j < ", jf .g.x// f .g.a//j < ".

    f

    g.x/ g.a/ . f

    g.a/, 0 > 0 y,

    .1/ jy g.a/j < 0, jf .y/ f .g.a//j < ".

    ,

    .2/ jg.x/ g.a/j < 0, jf .g.x// f .g.a//j < ".

    g -

    x a jg.x/ g.a/j < 0. 0

  • 106

    0 " (!) g a. > 0 , x,

    .3/ jx aj < , jg.x/ g.a/j < 0.

    (2) (3) x,

    jx aj < , jf .g.x// f .g.a//j < ".

    f .x/ D

    x sin 1=x; x 00; x D 0:

    f 0. -

    1 2, sin, f

    a, a 0. f .x/ D sin.x2 C sin.x C sin2.x3///.

    -

    ,

    . f x

    x .a; b/, f .a; b/ , f

    R D .1;1/ [. 52] x x R.

    f a; b

    .1/ f x x .a; b/,

    .2/ limx!aC

    f .x/ D f .a/ limx!b

    f .x/ D f .b/.

    ( x

    x .)

    -

    ,

    .

    , , -

    .

    f .x/ D

    x sin 1=x; x 00; x D 0

    . , -

    . -

    , -

    .

    ,

    .

    ,

    .

    3 f a, f .a/ > 0. f .x/ > 0 x

    a > 0

    f .x/ > 0 x jxaj < . , f .a/ < 0, > 0 f .x/ < 0 x jx aj < .

  • 6. 107

    f .a/ > 0. f a, " > 0

    > 0 , x,

    jx aj < , jf .x/ f .a/j < ", " < f .x/ f .a/ < ".

    , " D 12f .a/,

    1

    2f .a/ > 0 ( 5).

    > 0 x,

    jx aj < , 12f .a/ < f .x/ f .a/ < 1

    2f .a/,

    f .x/ >1

    2f .a/ > 0. ( "

    f .a/,

    , .)

    f .a/ < 0

    " D 12f .a/.

    5 f .

    1. f F

    R F.x/ D f .x/ x f ;

    (i) f .x/ D x2 4x 2 .

    (ii) f .x/ D jxjx.

    (iii) f .x/ D 0, x .(iv) f .x/ D 1=q, x D p=q p=q .

    2. 4-17 4-19;

    3. () f jf .x/j jxj x. f 0. ( f .0/ 0.)

    () f

    a 0.() g 0 g.0/ D 0, jf .x/j jg.x/j. -

    f 0.

    4. f , jf j .

    5. a, a,

    .

    6. () f 1,1

    2,1

    3,1

    4, . . .

    .

    () f 1,1

    2,1

    3,1

    4, . . . 0,

    .

    7. f f .xC y/ D f .x/C f .y/, f 0. f a a.

  • 108

    8. f a f .a/ D 0. 0, f C a.

    9. () f a a.

    " > 0 x a

    jf .x/ f .a/j > ". .() " > 0, x -

    a f .x/ < f .a/ " x a f .x/ > f .a/C ".

    10. () , f a, jf j.() f R f D ECO ,

    E O .

    () , f g ,

    max.f; g/ min.f; g/.

    () f f D g h, g h .

    11. 1(3) 2

    f .x/ D 1=x.

    12. () , f l limx!a

    g.x/ D l , limx!a

    f .g.x// D f .l/. ( , - G G.x/ D g.x/ x a, G.a/ D l .)

    () , f l ,

    limx!a

    f .g.x// D f . limx!a

    g.x//. : f .x/ D 0 x l , f .l/ D 1.

    13. () f a; b,

    g R, g.x/ D f .x/ x a; b. : , g

    .1; a b;1/.()

    a; b .a; b/.

    14. () g h a, g.a/ D h.a/. f .x/ g.x/ x a h.x/ x a. f a.

    () g a; b h b; c g.b/ Dh.b/. f .x/ g.x/ x a; b h.x/ x b; c.

    f a; c. (,

    .)

    15. f a, " > 0

    > 0 jx aj < jy aj < , jf .x/ f .y/j < ".

    16. () 3

    : limx!aC

    f .x/ D f .a/, f .a/ > 0. > 0 f .x/ > 0 x

    0 x a < . , f .a/ < 0, > 0 f .x/ < 0 x 0 x a < .

    () 3 limx!b

    f .x/ Df .b/.

  • 6. 109

    17. limx!a

    f .x/ , f .a/, f a.

    () f .x/ D sin 1=x x 0 f .0/ D 1, f 0; f .x/ D x sin 1=x x 0, f .0/ D 1.

    () f a. g.x/ D f .x/ x a, g.a/ D lim

    x!af .x/. g a. (

    .)

    () f .x/ D 0 x , f .p=q/ D 1=q p=q . g g.x/ D lim

    y!xf .y/;

    () f . lim

    y!xf .y/

    x, f ( )

    x. g.x/ D limy!x

    f .y/. g .

    ( ().)

    () f , ; ( -

    ,

    ,

    . . 22-33.)

  • 7

    -

    .

    , ,

    .

    1 f a; b f .a/ < 0 < f .b/, x a; b

    f .x/ D 0.

    (,

    ,

    , 1.)

    2 f a; b, f a; b, ,

    N f .x/ N x a; b.

    (, f

    , 2.)

    3 f a; b, y a; b

    f .y/ f .x/ x a; b ( 3).

    1 2 3

    6.

    ,

    -

    a; b , , , -

    . , f

    110

  • 7. 111

    4,

    f .x/ D(

    1; 0 x 0, f .1=2N/ D 2N > N . a; b 2

    .a; b/, f

    .0; 1/, .

    , 6,

    f .x/ D

    x2; x < 1

    0; x 1:

    0; 1 f , f

    5

    2, f 0; 1. f

    3 y 0; 1,

    f .y/ f .x/ x 0; 1 , f .1/ f .x/ x 0; 1, y D 1, 0 y < 1 f .y/ < f .x/ x y < x < 1.

    3

    2. 3

    .

    6

    , -

    .

    ,

    ,

    . 1, 2 3, -

    ,

    .

    4 f a; b f .a/ < c < f .b/ x a; b

    f .x/ D c.

    g D f c. g , g.a/ < 0 < g.b/. 1 x a; b, g.x/ D 0. f .x/ D c.

    5 f a; b f .a/ > c > f .b/, x a; b

    f .x/ D c.

    f a; b f .a/ < c < f .b/. - 4 x a; b f .x/ D c, f .x/ D c.

    4 5 f f .a/

    f .b/. : c d

  • 112

    a; b, f f .c/ f .d/. -

    , , c < d , 4

    5 c; d . , -

    ,

    1 .

    6 f a; b, f a; b, ,

    N f .x/ N x a; b.

    f a; b, 2 M f .x/ M x a; b. f .x/ M x a; b, N D M .

    2 6 f a; b

    a; b, , N jf .x/j N x a; b. , 2

    N1, f .x/ N1 x a; b, 6 N2 f .x/ N2 x a; b, N D max.jN1j; jN2j/.

    7 f a; b, y a; b f .y/ f .x/ x a; b.

    (

    .)

    f a; b 3 y a; b f .y/ f .x/ x a; b, f .y/ f .x/ x a; b.

    1, 2

    3, .

    8 . , > 0,

    x x2 D .

    f .x/ D x2, . f :

    f .

    f 4.

    b > 0 f .b/ > (

    7) , > 1 b D , < 1 b D 1. f .0/ < < f .b/, 4 0; b x ( 0; b), f .x/ D , x2 D .

    n- , n. n

    , : n-

    . , ,

    n- x, , xn D , .x/n D ( n ), n- x. , n n- ,

    xn D 0

    n .

    7 .

  • 7. 113

    9 n ,

    xn C an1xn1 C C a0 D 0

    .

    f .x/ D xn C an1xn1 C C a0:

    f -

    . jxj, g.x/ D xn , n , - x x.

    .

    f

    f .x/ D xn C an1xn1 C C a0 D xn

    1C an1x

    C C a0xn

    :

    an1x

    C an2x2

    C C a0xn

    jan1jjxj C C

    ja0jjxnj :

    , x

    () jxj > 1; 2njan1j; : : : ; 2nja0j;

    jxk j > jxj jank jjxk j

    0. , x2 < 0 (), .x2/n < 0

    .x2/n

    2 .x2/n

    1C an1x2

    C C a0.x2/n

    D f .x2/;

    f .x2/ < 0.

    , 1 x2; x1, -

    x x2; x1 f .x/ D 0.

    9

    ,

    . , ,

  • 114

    . , x2 1 D 0, , , x2 C 1 D 0, ; ,

    .

    xn C an1xn1 C C a0 D 0;

    xn C an1xn1 C C a0 D c

    c. a0 8 .

    8.

    f .x/ D xn C an1xn1 C C a0, n, , , , .

    , y f .y/ f .x/ x f , ,

    . ( n .)

    7, .

    7 a; b,

    y0 f .y0/ f a; b

    a; b 8, ,

    y0 f .

    , a; b

    .

    10 n f .x/ D xn C an1xn1 C C a0, y f .y/ f .x/ x.

    9,

    M D max.1; 2njan1j; : : : ; 2nja0j/;

    x jxj M ,

    1

    2 1C an1

    xC C a0

    xn:

    n , xn 0 x,

    xn

    2 xn

    1C an1x

    C C a0xn

    D f .x/;

    jxj M . f .0/. b > 0 bn 2f .0/ b > M , x b, ( 9)

    f .x/ xn

    2 b

    n

    2 f .0/:

    , x b, 9

    f .x/ xn

    2 .b/

    n

    2D b

    n

    2 f .0/:

    :

    x b x b, f .x/ f .0/.

    7 f b; b. - y

    (1) b x b, f .y/ f .x/.

  • 7. 115

    , f .y/ f .0/. ,

    (2) x b x b, f .x/ f .0/ f .y/.

    (1) (2) f .y/ f .x/ x.

    10 .

    11

    () xn C an1xn1 C C a0 D c;

    n . m () c m c < m.

    f .x/ D xn C an1xn1 C C a0 ( 10). 10 y f .y/ f .x/

    x. m D f .y/. c < m, () , m. c D m, () y ., c > m. b b > y f .b/ > c.

    f .y/ D m < c < f .b/. , 4, x y; b f .x/ D c, x ().

    1, 2 3

    (

    ). -

    1, 2 3. ,

    ( 112)

    .

    . ,

    8 1 1 0 1, 8 ,

    . 1

    , 112. ,

    f .x/ D 1x2 2 :

    x x2 D 2, f , - D 0. f 0; 2. - 2 ,

    112.

    1, 2 3,

    . -

    ,

    , , ,

    1, 2 3 .

    R

    ,

    : 1,

    , .

    1 1

    f .x/ D 0, , x a; b f .x/ D 0. , A x

    a; b f a; x. 11, x

    , x0 . A . f a b, A

  • 116

    a, b A.

    ( f a; b, 6-16.)

    A a < < b. f ./ D 0, f ./ < 0 f ./ > 0.

    f ./ < 0. , 6-3, f .x/ -

    0 x ,

    ( 12)

    A,

    A. , f ./ < 0.

    x

    1 2 , f ./ > 0. 6-3,

    f .x/ x

    , ( 13).

    A. ,

    A. f ./ > 0. f ./ D 0 ...

    ,

    R, -

    .

    A ( ,

    D b), ., A x 0 x2 < 2.

    p2 ,

    A y >p2 , -

    .

    1 3

    . ,

    .

    .

    1. ,

    ,

    . ( f

    ,

    .)

    (i) f .x/ D x2 .1; 1/.(ii) f .x/ D x3 .1; 1/.(iii) f .x/ D x2 R.(iv) f .x/ D x2 0;1/.

    (v) f .x/ D

    x2; x aaC 2; x > a .a 1; a C 1/. ( a > 1,

    a 1 < aC 1 a.)

    (vi) f .x/ Dx2; x < a

    aC 2; x a a 1; a C 1. (

    a > 1.)

    (vii) f .x/ D

    0; x

    1=q; x D p=q p=q 0; 1.

  • 7. 117

    (viii) f .x/ D

    1; x

    1=q; x D p=q p=q 0; 1.

    (ix) f .x/ D

    1; x

    1=q; x D p=q p=q 0; 1.

    (x) f .x/ D

    x; x

    0; x 0; a.

    (xi) f .x/ D sin2.cosx Cp

    aC a2 / 0; a3.(xii) f .x/ D x 0; a.

    2. f ,

    n f .x/ D 0 x n nC 1.(i) f .x/ D x3 x C 3.(ii) f .x/ D x5 C 5x4 C 2x C 1.(iii) f .x/ D x5 C x C 1.(iv) f .x/ D 4x2 4x C 1.

    3. x

    (i) x179 C 1631C x2 C sin2 x

    D 119.

    (ii) sin x D x 1.

    4. 3-7.

    () n k 0, n k .

    () a f m

    f .x/ D .x a/mg.x/, g a . f n.

    f k , ,

    k .

    n k .

    5. f a; b f .x/ .

    f ;

    6. f 1; 1 x2C.f .x//2 D 1 x. ( .x; f .x//

    .) f .x/ Dp1 x2 x, f .x/ D

    p1 x2

    x.

    7. f .f .x//2 D x2 x;

    8. f g , f 2 D g2, f .x/ 0 x. , f .x/ D g.x/ x, f .x/ D g.x/ x.

    9. () f , f .x/ D 0 x D a, f .x/ > 0 x > a x < a.

    f .x/ x a;() f f .x/ D 0 x D a,

    , , f .x/ > 0 x > a f .x/ < 0

    x < a. f .x/ x a;() x3 Cx2yCxy2 Cy3 x y

    0.

  • 118

    10. f g a; b f .a/ < g.a/, f .b/ >

    g.b/. f .x/ D g.x/ x a; b. ( , .)

    11. f 0; 1 f .x/ 0; 1

    x ( ). f .x/ D x x.

    12. () 11 f

    14 ( ). f

    ( ) .

    1 4 () : g 0; 1

    g.0/ D 0, g.1/ D 1 g.0/ D 1, g.1/ D 0, f .x/ D g.x/ x.

    13. () f .x/ D sin 1=x x 0 f .0/ D 0. f 1; 1; f - 1; 1 , f 1; 1, .

    () f , f . f .

    () f .

    14. f 0; 1, kf k jf j 0; 1.

    () c kcf k D jcj kf k.() kf C gk kf k C kgk.

    kf C gk kf k C kgk.() kh f k kh gk C kg f k.

    15. limx!1

    .x/=xn D 0 D limx!1

    .x/=xn.

    () , n , x

    xn C .x/ D 0.() , n , y ynC

    .y/ xn C .x/ x.: -

    . ;

    16. () f .a; b/ limx!aC

    f .x/ D limx!b

    f .x/ D 1. f .a; b/.

    () a D 1 / b D 1.

    17. f . y jf .y/j jf .x/j x.

    18. f f .x/ > 0 x, limx!1

    f .x/ D0 D lim

    x!1f .x/. ( .) y

    f .y/ f .x/ x.19. () f a; b, x .

    f

    1 5 .x; 0/ , y a; b

    .x; 0/ .y; f .y// .x; 0/ .; f .// a; b. (. 15.)

  • 7. 119

    () , a; b

    .a; b/.

    () a; b R.

    () () (), g.x/ .x; 0/

    f . g.y/ g.x/ Cjx yj, g .

    () x0 x1 a; b

    .x0; 0/ .x1; f .x1// .x00; 0/ .x1

    0; f .x10// x0

    0; x10 a; b.

    20. () f 0; 1 f .0/ D f .1/. n . x

    f .x/ D f .x C 1=n/, 16 n D 4. : g.x/ D f .x/f .xC1=n/ g.x/ 0 x;

    1 6 () 0 < a < 1, a 1=n n. f 0; 1

    f .0/ D f .1/, f .x/ D f .x C a/ x.

    21. () f R . : f .a/ D f .b/ a < b, f .x/ > f .a/ x .a; b/, f .x/ < f .a/ x

    .a; b/. ; , f .a/,

    f .a/, .a; b/

    f .x/ < f .a/ x < a x > b.

    () () -

    f 0 2 ,

    . :

    f (

    ).

    ;

    () f 3 .

    , n , n

    .

    () , n , f

    n . : n D 4, -, f .x1/ D f .x2/ D f .x3/ D f .x4/. , f .x/ > 0 x .x1; x2/, .x2; x3/, .x3; x4/,

    f .x/ < 0 x .

  • 8

    .

    7

    ,

    .

    A -

    x

    x a a A.

    x A.

    , A x

    A (

    A) , A

    A.

    -

    , 7, ,

    . ,

    . , : A

    ff .x/ W a x bg, f a; b, A .

    R N

    .

    ,

    A D fx W 0 x < 1g:

    A

    A, . , 138

    A, 2, 1 12, 1 1

    4 1. , 1

    A

    , (,

    ),

    .

    x A

    .1/ x A,

    .2/ y A, x y.

    , -

    . ,

    120

  • 8. 121

    , x y A,

    x D y. ,

    x y; y x , y x, x y

    x D y. A. supremum A .

    supA ( A)

    lubA (least upper bound)

    ( ).

    , -

    , . A -

    , x

    x a a A.

    x A. x

    A

    .1/ x A,

    .2/ y A, x y.

    A infimum A,

    inf A:

    glbA (greatest lower bound):

    -

    , ,

    . ,

    ( 2).

    A , A ,

    A .

    A ,

    , ,

    . A D ;, A . , x ;:

    x y y ;

    y ;. ;, ;. , ,

    . -

    :

    (13) ( ) A

    , A ;, A , A .

  • 122

    13 , -

    .

    ,

    . ,

    -

    Q. , A x -

    x2 < 2, y

    A

    A. 13, -

    1 ,

    7.

    7-1 f a; b f .a/ < 0 < f .b/, x

    a; b f .x/ D 0.

    7 x a; b f .x/ D0.

    A, 1, :

    A D

    x W a x b; f a; x

    :

    A ;, a A , > 0 A x a x < a C 6-16, f a; b f .a/ < 0.

    , b A , , > 0

    x b < x b A 6-16, f .b/ > 0.

    A

    a < < b. f ./ D 0, f ./ < 0 f ./ > 0.

    x

    2 f ./ < 0. 6-3, > 0

    f .x/ < 0 < x < C ( 2). , x0 A < x0 < ( A). f a; x0.

    , x1 C , f x0; x1. f

    a; x1, x1 A.

    A f ./ < 0 .

    , , f ./ > 0. > 0

    f .x/ > 0 < x < C ( 3). x0 A < x0 < f a; x0, , f .x0/ > 0.

    f ./ > 0 , f ./ D 0.

    x

    3 2 3 7 -

    , 6-3

    .

    1 f a, > 0 f

    .a ; aC / (. 4).

    limx!a

    f .x/ D f .a/, , " > 0, > 0 , x,

    jx aj < , jf .x/ f .a/j < ".

  • 8. 123

    -

    " ( ), , " D 1. > 0 , x,

    jx aj < , jf .x/ f .a/j < 1.

    , , jx aj < , f .x/ f .a/ < 1. : .a ; a C / f f .a/C 1.

    4

    f

    .a ; a C /, , , f a.

    limx!aC

    f .x/ D f .a/, - > 0 f fx W a x < a C g, lim

    x!bf .x/ D f .b/. -

    ( ),

    .

    7-2 f a; b, f a; b.

    A D

    x W a x b f a; x

    :

    A ; ( a A), A ( b), A .

    A, -

    , f ,

    ff .y/ W a y xg, ( 5).

    D b. , , < b. 1 > 0 f

    . ; C /. A x0 A < x0 < . f a; x0. , x1 < x1 < C,

  • 124

    f x0; x1, f a; x1,

    x1 A, A.

    5

    D b. : a < [ f

    . ; C /] a D , > 0 f fx W a x < aC g.

    f

    a; x x < b, f a; b.

    , .

    > 0 f fx W b < x bg. x0 A b < x0 < b. f a; x0 x0; b, f a; b.

    , .

    7-3 f a; b, y a; b

    f .y/ f .x/ x a; b.

    f a; b,

    f .x/ W x a; b

    . ;, . f .x/ x a; b D f .y/ y a; b.

    f .y/ y a; b. g

    g.x/ D 1 f .x/ ; x a; b

    a; b, 0.

    ,

    f .x/ W x a; b

    -

    " > 0 x a; b f .x/ < ".,

    " > 0 x a; b g.x/ > 1=".

    g a; b, -

    .

    , N

    . N

    . ,

    . , R

    . , ,

    x n, nC 1 ( x ).

    , : , -

    ,

    . ,

    , ( )

    , , N ,

  • 8. 125

    . 112

    (. [14] ),

    Q. 13, .

    2 N .

    N . N ;, N.

    n n N.

    ,

    nC 1 n N, nC 1 N n N.

    1 n n N,

    1 N, .

    2 ( -

    ) .

    3 " > 0 n 1=n < ".

    1=n " n N. n 1=" n N. 1=" N,

    2.

    6 3

    . , 3 -

    , ,

    , .

    , ,

    , . , -

    .

    . , .

    1. ( )

    . -

    ( -

    ).

    (i)

    1

    nW n N

    .

    (ii)

    1

    nW n Z n 0

    .

    (iii) fx W x D 0 x D 1=n n Ng.(iv) fx W 0 x

    p2 x g.

    (v) fx W x2 C x C 1 0g.(vi) fx W x2 C x 1 < 0g.(vii) fx W x < 0 x2 C x 1 < 0g.

  • 126

    (viii)

    1

    nC .1/n W n N

    .

    2. () A ; . A x x A. A ;, A , sup.A/ A.

    () A ; , B - A. B ;, B , supB A.

    3. f a; b f .a/ < 0 < f .b/.

    () 7-1 x a; b

    f .x/ D 0. x a; b f .x/ D 0, ;

    x a; b f .x/ D 0. ( f .)

    () 7-1 A D

    x W a x b f a; x

    .

    7-1, B D

    x W a x b f .x/ < 0

    .

    x a; b f .x/ D 0 ; A B .

    4. () f a; b f .a/ D f .b/ D 0. f .x0/ > 0 x0 a; b. c

    d a c < x0 < d b f .c/ D f .d/ D 0, f .x/ > 0 x .c; d /. :

    .

    () f a; b f .a/ < f .b/.

    c d a c < d b f .c/ D f .a/ f .d/ D f .b/ f .a/ < f .x/ < f .d/ x .c; d /.

    5. () y x > 1. k x < k < y. : l

    l x, l C 1.() x < y. r

    x < r < y. : 1=n < y x, ny nx > 1. (: () () ;)

    () r < s .

    r s. : ,

    0 1.

    () x < y.

    x y. :

    () ().

    6. A A. , 5

    .

    () , f f .x/ D 0 x A, f .x/ D 0 x.

    () , f g f .x/ D g.x/ x A, f .x/ D g.x/ x.

    () f .x/ g.x/ x A, f .x/ g.x/ x. >;

  • 8. 127

    7. , f f .x C y/ D f .x/ C f .y/ x y, c f .x/ D cx x. ( - -

    ). : f

    f .xCy/ D f .x/Cf .y/ x y, , -

    (. [7]

    ).

    8. f f .a/ f .b/ a < b ( 6).

    () limx!a