Calculus Michael Spivak.pdf
-
Upload
jamesbond-guitarplayer -
Category
Documents
-
view
63 -
download
14
Transcript of Calculus Michael Spivak.pdf
-
Michael Spivak
2
:
:
: ,
, 2010
-
&
: 5, 106 81, , . . 210 3849020-22, Fax 210 3301583
: . 100, 700 13, . . 2810 391097 Fax 2810 391085
[email protected], www.cup.gr
: /
:
: Calculus, Fourth Edition, Publish or Rerish, Inc.
c: 1967, 1980, 1994, 2008 by Michael Spivakc : 1991, 2008
:
4 :
: ,
:
- :
: 1991
: 2010
Times New Roman Monotype Garamond Premier Pro Adobe.
MathTime Pro 2 (MathTime is a trademark of Publish or Perish, Inc.
Personal TeX, Inc. www.pctex.com, November 2009). LATEX
David J. McClurkin.
ISBN 978-960-524-302-9
-
Y. P.
-
,
.
FRANCIS BACON
-
, , -
,
.
, -
, ,
.
,
,
.
, ,
, .
,
. , -
-
. , ,
,
.
, -
. 29 , 2 ( ) , 3
5
. -
, 3 11 .
,
.
3 , 1 2 -
,
,
. -
2 3 ,
2 -
, .
,
, -
.
.
, -
, , ,
. 625 . -
,
,
-
.
, ,
. ,
vii
-
viii
,
.
.
,
.
.
, -
, .
. Jane Bjorkgren
, .
Richard Serkey -
, Richard Weiss
. Michael
Freeman, Jay Goldman, Anthony Phillips Robert Wells
,
.
, -
.
W.A. Benjamin,
Inc., , -
.
Brandeis,
1965-1966, .
, -
.
. , -
,
, -
.
.
Waltman, Massachusetts
1967
MICHAEL SPIVAK
-
,
-
. 13 ,
-
. ,
: , , -
, Riemann,
, . , -
,
, , New-
ton, Simpson, -
. 160 ,
,
.
Ted Shifrin. Frederick Gordon -
1 ,
, 12-2,
. Joseph Lip-
man ,
11,
. Roy O. Davies
11-66 20-8
[21-8 ] Marina Ratner -
, .
, -
.
[1980] MICHAEL SPIVAK
ix
-
(
) 17 , -
.
, 4
: ,
, -
. ,
12
.
.
,
13, -
( 18 19). , -
-
.
.
13 ,
14 . -
. -
,
, .
[1994] MICHAEL SPIVAK
x
-
! 13
, 14
, . ,
14 , , .
, -
5 20,
, , -
.
, Nils
von Barth, Philip Loewen, Fernndo Mejias, Lance Miller
, , Michael
Maltenfort ,
.
Ted Shifrin
University
of Georgia,
.
,
, , ,
8-20 ,
Reisz, [38]
, ,
Ted.
[2008] MICHAEL SPIVAK
xi
-
vi
I
1 3
2 19
II
3 35
. 49
4 51
1. 68
2. 73
3. 76
5 81
6 103
7 110
8 120
. 130
III
9 135
10 152
11 170
. 198
12 208
. 220
13 228
. Riemann 255
14 257
15 274
*16 293
*17 298
18 306
19 327
. 364
xii
-
xiii
IV
20 373
*21 e 401
22 410
23 427
24 452
25 475
26 488
27 501
V
28 525
29 531
30 543
550
560
604
608
-
1
-
.
BENJAMINDISRAELI
-
1
-
. , -
, ,
,
. , .
,
,
-
. ,
.
,
.
, :
a C b a b ( ).
, a1 C C an n a1; : : : ; an.
,
. a, b c,
. b c,
bCc a , aC .bCc/ a b, aC b c, .aC b/C c. , :
(1) a, b c ,
aC .b C c/ D .aC b/C c:
-
: a C b C c aC .bC c/ D .aC b/C c. - , , .
aC b C c C d
(1) ..aC b/C c/C d; (2) .aC .b C c//C d; (3) aC ..b C c/C d/; (4) aC .b C .c C d//; (5) .aC b/C .c C d/:
. ,
,
3
-
4
1 . , 1
.aC b/C c D aC .b C c/;
(1) (2) . (2) (3)
1, (
b C c b 1, d c). .3/ D .4/ D .5/ .
1 -
14 ,
14 . ,
, ,
a1; : : : ; an. -
,
( ), -
24. , ,
,
a1 C C an .
0 :
(2) a ,
aC 0 D 0C a D a:
0 :
(3) a, , a,
aC .a/ D .a/C a D 0:
2 0,
, : -
, x
aC x D a
a, x D 0 ( a).
a , -
a . , 13 :
aC x D a; .a/C .aC x/ D .a/C a D 0 ..a/C a/C x D 0 0C x D 0 x D 0:
,
: a b a C .b/. (
1, 2 3),
-
1. 5
aC x D a. :
x C 3 D 5; .x C 3/C .3/ D 5C .3/ x C .3C .3// D 5 3 D 2 x C 0 D 2 x D 2:
. ,
1, 2 3 ( ).
.
a, b c, : .aCb/Cc aC .bCc/. a, b c. ,
(4) a b ,
aC b D b C a:
4 , -
, ,
, .
. ,
: a b b a. , a b b a, 14
.
ab D ba a D b. , 14 -
14. , ,
.
, .
,
. ( , a b
a b, ab.)(5) a, b c ,
a .b c/ D .a b/ c:
(6) a ,
a 1 D 1 a D a:
1 0.( 1 0, ,
, 0.)
(7) a 0, a1
a a1 D a1 a D 1:
-
6
(8) a b ,
a b D b a:
a 0 7. : 0 b D 0 b, 01 0 01 D 1. .
, -
: a=b a b1. 01 , a=0 0 .
7 . a b D a c, b D c, a D 0, a b a c 0, b c. , a 0, b D c. 7 :
a b D a c a 0; a1 .a b/ D a1 .a c/ .a1 a/ b D .a1 a/ c 1 b D 1 c b D c:
7 , a b D 0, a D 0 b D 0. ,
a b D 0 a 0; a1 .a b/ D 0 .a1 a/ b D 0 1 b D 0 b D 0:
( a D 0 b D 0. - a D 0 b D 0 , ).
7 .
, , x
.x 1/.x 2/ D 0:
x 1 D 0 x 2 D 0. x D 1 x D 2. ,
. ,
, .
(9) a, b c ,
a .b C c/ D a b C a c:( 8 .b C c/ a D b aC c a.)
9, ab Db a:
a b D b a; .a b/C b D .b a/C b D b C .b a/ a D b C b a aC a D .b C b a/C a D b C b: a .1C 1/ D b .1C 1/; a D b:
-
1. 7
9 a 0 D 0, ,
6 ( ;).
,
. 18 , 0
2 3, ,
. 9 ,
.
a 0C a 0 D a .0C 0/D a 0:
, ( .a 0/ ) a 0 D 0.
9
. , .a/ b D.a b/. ,
.a/ b C a b D .a/C a bD 0 bD 0:
( .a b/ ) .a/ b D .a b/.
.a/ .b/C .a b/ D .a/ .b/C .a/ bD .a/ .b/C bD .a/ 0D 0:
, .a b/ ,
.a/ .b/ D a b:
,
19. , 1 9,
.
9 ,
, -
. , 9 -
. ,
.x 1/.x 2/ D 0;
.
x2 3x C 2 D 0:
x2 3xC 2 D .x 1/.x 2/ 9:
.x 1/ .x 2/ D x .x 2/C .1/ .x 2/D x x C x .2/C .1/ x C .1/ .2/D x2 C x.2/C .1/C 2D x2 3x C 2:
-
8
9
.
,
13
2452
26
312
:
13 24 D 13 .2 10C 4/D 13 2 10C 13 4D 26 10C 52:
( , 26 -
, 26 10). 13 4 D 52 9:
13 4 D .1 10C 3/ 4D 1 10 4C 3 4D 4 10C 12D 4 10C 1 10C 2D .4C 1/ 10C 2D 5 10C 2D 52:
19
, . -
19
.
(1) ( aC .b C c/ D .aC b/C c.)
(2) ( aC 0 D 0C a D a.)
(3) ( aC .a/ D .a/C a D 0:)
(4) ( aC b D b C a.)
(5) ( a .b c/ D .a b/ c.)
(6) ( a 1 D 1 a D a 1 0. )
(7) ( a a1 D a1 a D 1; a 0.)
(8) ( a b D b a.)
(9) ( ) a .b C c/ D a b C a c. .
,
. , a < b ( a b)
a > b ( a b), : a < b
b > a (, 1 < 3 3 > 1
). a a > 0
-
1. 9
, a a < 0 .
b a b P a < b b > a
a b a > b a D ba b a < b a D b:*
, , a > 0 a P .
, ,
1012. , a b ,
:
i. a b D 0,ii. a b P ,iii. .a b/ D b a P .
,
:
i. a D b,ii. a > b,
iii. b > a.
: a < b,
b a P , .b C c/ .a C c/ P , a < b, aC c < b C c. , a < b b < c.
b a P; c b P; c a D .c b/C .b a/ P:
, a < b b < c, a < c. ( a < b b < c
a < b < c,
a < c.)
* . 1C 1 31C 1 2
, < , D . 1
a b, .
-
10
. a < 0 b < 0, ab > 0.
. a < 0 , , 0 > a,
0 a D a P . b P , , 12, .a/.b/ D ab P . ab > 0.
ab > 0 a > 0, b > 0 a < 0, b < 0,
: a2 > 0 a 0. , ,
, : 1 > 0 (
1 D 12). a > 0 a < 0
. a, jaj a :
jaj D
a; a 0a; a 0:
jaj , a D 0. , j 3j D 3, j7j D 7, j1 C
p2
p3j D 1 C
p2
p3 j1 C
p2
p10j D
p10 p
2 1. , ,
.
.
1 a b,
jaC bj jaj C jbj:
4 :
.1/ a 0; b 0
.2/ a 0; b 0
.3/ a 0; b 0
.4/ a 0; b 0:
(1) a C b 0, .
jaC bj D aC b D jaj C jbj; .
(4) aC b 0, :
jaC bj D .aC b/ D aC .b/ D jaj C jbj:
(2), a 0 b 0,
jaC bj a b:
. a Cb 0,
aC b a b;, b b;
, b 0 b 0. , aC b 0,
a b a b;, a a;
-
1. 11
, a 0 a 0., , (3) ,
a b (2).
(
) , -
. , -
, 1
jaj Dpa2:
(, , px
x. x 0.)
.jaC bj/2 D .aC b/2 D a2 C 2ab C b2
a2 C 2jaj jbj C b2
D jaj2 C 2jaj jbj C jbj2
D .jaj C jbj/2:
ja C bj jaj C jbj x2 < y2 x 0 1C 1 > 0, 1C 1 0. -
-
.
, 112 -
, . -
. -
, .
,
-
12
. , , -
.
, , ,
, 112.
-
112
.
( 1
12) .
112 .
. 112
,
.
, 112.
2
. 1 -
. ,
.
1. :
(i) ax D a a 0, x D 1.(ii) x2 y2 D .x y/.x C y/.(iii) x2 D y2, x D y x D y.(iv) x3 y3 D .x y/.x2 C xy C y2/.(v) xn yn D .x y/.xn1 C xn2y C C xyn2 C yn1/.(vi) x3 C y3 D .x C y/.x2 xy C y2/. (
, (iv),
xn C yn n .)
2. ; x D y.
x2 D xy;x2 y2 D xy y2;
.x C y/.x y/ D y.x y/;x C y D y;2y D y;2 D 1:
3. :
(i)a
bD acbc
, b; c 0.
(ii)a
bC cd
D ad C bcbd
, b; d 0.
(iii) .ab/1 D a1b1, a; b 0. ( , .ab/1.)
(iv)a
b cd
D acdb
, b; d 0.
-
1. 13
(v)a
b
c
dD adbc
, b; c; d 0.
(vi) b; d 0, ab
D cd
ad D bc. a
bD ba.
4. x
(i) 4 x < 3 2x.(ii) 5 x2 < 8.(iii) 5 x2 < 2.(iv) .x 1/.x 3/ > 0. ( ;)(v) x2 2x C 2 > 0.(vi) x2 C x C 1 > 2.(vii) x2 x C 10 > 16.(viii) x2 C x C 1 > 0.(ix) .x /.x C 5/.x 3/ > 0.
(x) .x 3p2 /.x
p2 / > 0.
(xi) 2x < 8.
(xii) x C 3x < 4.
(xiii)1
xC 11 x > 0.
(xiv)x 1x C 1 > 0.
5. :
(i) a < b c < d , aC c < b C d .(ii) a < b, b < a.(iii) a < b c > d , a c < b d .(iv) a < b c > 0, ac < bc.
(v) a < b c < 0, ac > bc.
(vi) a > 1, a2 > a.
(vii) 0 < a < 1, a2 < a.
(viii) 0 a < b 0 c < d , ac < bd .(ix) 0 a < b, a2 < b2. ( (viii).)(x) a; b 0 a2 < b2, a < b. ( (ix), -
.)
6. () 0 x < y, xn < yn, n D 1; 2; 3; : : : :() x < y n , xn < yn.
() xn D yn n , x D y.() xn D yn n , x D y x D y.
7. , 0 < a < b,
a 0;x4 C x3y C x2y2 C xy3 C y4 > 0:
: 1.
16. ()
.x C y/2 D x2 C y2 x D 0 y D 0,
.x C y/3 D x3 C y3 x D 0 y D 0 x D y.
()
x2 C 2xy C y2 D .x C y/2 0;
4x2 C 6xy C 4y2 > 0 x y 0.
() () .x C y/4 D x4 C y4.() .x C y/5 D x5 C y5. : .x C y/5 D
x5 C y5 x3 C 2x2y C2xy2 C y3 D 0, xy 0. .x C y/3 D x2y C xy2 Dxy.x C y/.
.xCy/n Dxn C yn 11-63.
17. () 2x23xC4. : , 2x2 3x C 4 D 2.x 3=4/2CI
-
16
() x2 3x C 2y2 C 4y C 2.() x2 C 4xy C 5y2 4x 6y C 7.
18. () b2 4c 0.
b Cpb2 4c2
;b
pb2 4c2
x2 C bx C c D 0.() b24c < 0. x
x2 C bx C c D 0 x2 C bx C c > 0 x.: .
() ,
x y 0, x2 C xy C y2 > 0.() a x2 C axy C y2 > 0 x
y 0;
() x2 C bxC c ax2 C bxC c, a > 0.
19. a2 0 a, , .
Schwarz:
x1y1 C x2y2 p
x12 C x22p
y12 C y22:
( 2-21.)
Schwarz
a2 0 a.
() , x1 D y1 x2 D y2 0, Schwarz.
y1 D y2 D 0. y1 y2 0, x1 D y1 x2 D y2.
0 < .y1 x1/2 C .y2 x2/2
D 2.y12 C y22/ 2.x1y1 C x2y2/C .x12 C x22/:
18, -
Schwarz.
() Schwarz 2xy x2 Cy2( ;)
x D xipx12 C x22
; y D yipy12 C y22
;
i D 1 i D 2.() Schwarz
.x12 C x22/.y12 C y22/ D .x1y1 C x2y2/2 C .x1y2 x2y1/2:
() , ,
y1 D y2 D 0 0 x1 D y1 x2 D y2.
-
1. 17
, -
. ,
.
, : x
x0, y y0, x C y x0 C y0, xy x0y0, 1=y 1=y0. "
. , "
( )
.
20. ,
jx x0j n 0.
()
nC 1k
!
D
n
k 1
!
C
n
k
!
:
( .)
, Pascal
-
n
k
!
.k C 1/- .nC 1/- .1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
. . .
-
2. 25
() Pascal -
. ()
n
k
!
. ( ,
, Pascal.)
()
n
k
!
,
n
k
!
k ,
1, . . . , n.
() : a b n
,
.aC b/n D an C
n
1
!
an1b C
n
2
!
an2b2 C C
n
n 1
!
abn1 C bn
DnX
jD0
n
j
!
anj bj :
()
(i)
nX
jD0
n
j
!
D
n
0
!
C C
n
n
!
D 2n.
(ii)
nX
jD0.1/j
n
j
!
D
n
0
!
n
1
!
C
n
n
!
D 0.
(iii)X
l
n
l
!
D
n
1
!
C
n
3
!
C D 2n1.
(iv)X
l
n
l
!
D
n
0
!
C
n
2
!
C D 2n1.
4. () lX
kD0
n
k
!
m
l k
!
D
nCml
!
:
: .1C x/n.1C x/m.()
nX
kD0
n
k
!2
D
2n
n
!
:
5. () n
1C r C r2 C C rn D 1 rnC1
1 r
r 1 ( r D 1, - ).
() S D 1C r C C rn, - r ,
S .
-
26
6. 12 C C n2 .
.k C 1/3 k3 D 3k2 C 3k C 1:
k D 1, . . . , n ,
23 13 D 3 12 C 3 1C 133 23 D 3 22 C 3 2C 1
:::
.nC 1/3 n3 D 3 n2 C 3 nC 1
.nC 1/3 1 D 312 C C n2C 31C C nC n:
nX
kD1k2
nX
kD1k (
).
(i) 13 C C n3:(ii) 14 C C n4:
(iii)1
1 2 C1
2 3 C C1
n.nC 1/ :
(iv)3
12 22 C5
22 32 C C2nC 1
n2.nC 1/2 :
7. 6 nX
iD1kp -
npC1
p C 1 C Anp C Bnp1 C Cnp2 C :
(
nX
kD1k D 1
2n2 C 1
2n
nX
kD1k2 D 1
3n3 C 1
2n2 C 1
6n
nX
kD1k3 D 1
4n4 C 1
2n3 C 1
4n2
nX
kD1k4 D 1
5n5 C 1
2n4 C 1
3n3 1
30n
nX
kD1k5 D 1
6n6 C 1
2n5 C 5
12n4 1
12n2
nX
kD1k6 D 1
7n7 C 1
2n6 C 1
2n5 1
6n3 C 1
42n
nX
kD1k7 D 1
8n8 C 1
2n7 C 7
12n6 7
24n4 C 1
12n2
-
2. 27
nX
kD1k8 D 1
9n9 C 1
2n8 C 2
3n7 7
15n5 C 2
9n3 1
30n
nX
kD1k9 D 1
10n10 C 1
2n9 C 3
4n8 7
10n6 C 1
2n4 3
20n2
nX
kD1k10 D 1
11n11 C 1
2n10 C 5
6n9 1n7 C 1n5 1
2n3 C 5
66n:
12,
n
2 n2 n. ,
, -
. . 27-17 .)
8. .
9. , A n0
k C 1 k, A n0.
10. .
11. .
: A 1 A n C 1 1; : : : ; n, B k 1; : : : ; k
A.
12. () a b , a C b ; a b ;
() a b , ab ;
(!)
() a a2 , a4
;
()
;
13. () p3,p5
p6 . :
p3, ,
3n 3nC 1 3nC 2.
p4;
() 3p2
3p3 .
14.
() p2C
p6 .
() p2C
p3 .
15. () , x D p C pq p q , m , xm D aC bpq a b.
() .p pq /m D a bpq.
-
28
16. () , m n m2=n2 < 2, .mC2n/2=.mC n/2 > 2 , ,
.mC 2n/2.mC n/2 2 < 2
m2
n2:
() .
() , m=n 1,
.1C h/n 1C nh
n. h > 0;
20. Fibonacci a1; a2; a3; : : : :
a1 D 1;a2 D 1;an D an1 C an2 n 3:
, 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . ,
Fibonacci ( 1175 - 1250), .
Fibonacci
,
. an n-
an1 C an2, ,
.
Fibonacci , The Fibonacci
Quarterly.
an D
1Cp5
2
!n
1 p5
2
!n
p5
:
-
24-16.
21. Schwarz ( 1-19) -
:
nX
iD1xiyi
vuut
nX
iD1xi 2
vuut
nX
iD1yi 2:
, -
1-19.
22. 1-7 :
a1; : : : ; an 0
An Da1 C C an
n
Gn D npa1 : : : an
Gn An:
() a1 < An. ai ai > An
a2 > An. Na1 D An Na2 D a1Ca2 Na1.
Na1 Na2 a1a2:
-
30
-
Gn An; ( , , .)
Gn An;
-
.
() Gn An n D 2, , k, Gn An n D 2k .
() n, 2m > n. () 2m
a1; : : : ; an; An; : : : ; An
2m n
Gn An.
23. an:
a1 D a;anC1 D an a:
, ,
anCm D an am;.an/m D anm:
( : n
m, .)
24. 1 4 ,
.
:
1 b D b;.aC 1/ b D a b C b:
( !):
a .b C c/ D a b C a c ( a),a 1 D a;a b D b a ( b D 1).
25. -
. -
( 5 ).
, -
,
1, 1C1, 1C1C1, .
..
() A
(1) 1 A,
(2) k C 1 A, k A.
-
2. 31
(i) R .
(ii) .
(iii) 12
.
(iv) 5
.
(v) A B , C
A B .
() n n
.
(i) 1
(ii) , k , kC1 - .
26. n -
,
( 1).
. ,
2 3, -
3, .
n 3 2n 1 .
1 27. 17 -. ,
17,
. -
, .
. ,
.
, .
,
, . ,
. ,
. -
, .
.
, .
. ;
28. , , 27, : . . , ,
;
-
2
-
,
, ,
,
,
.
, ,
,
, ,
.
. 24
1858,
Durege
.
RICHARDDEDEKIND
-
3
,
-
.
.
, ,
,
.
. , -
,
, . ,
. -
:
,
, .
, , , .
1 .
2 y
y3 C 3y C 5y2 C 1 :
3 c 1;1
c3 C 3c C 5c2 1 :
4 x 17 x =3 x2.
5 a 0 a
, 1 a .
6
2 5,
17 36
,
2
17 28,
36
28,
y 2, 17, 2=17 36= , 16 y aC bp2
a, b Q.
35
-
36
7 t t3Cx. ( x -
, x.)
8
7 , , 7 .
:
-
, ,
, , -
(, , 8
). , ,
(, -
, 6 ).
.
,
. (
),
, .
.
, f (function = ) , -
g, h , (
) , x, y,
. f
, f x,
f .x/ f x f
x. , x,
( , , -
f , x.f //.
f .x/ x f x,
f .x/ .
18 f , g, h, r , s, , x y, :
(1) f .x/ D x2 x.
(2) g.y/ D y3 C 3y C 5y2 C 1 y.
(3) h.c/ D c3 C 3c C 5c2 1 c 1;1.
(4) r.x/ D x2 x 17 x =3.
(5) s.x/ D
0; x
1; x .
(6) .x/ D
8
-
3. 37
(7) x.t/ D t3 C x t .
(8) y.x/ D
n; n 7 x
; 7 x.
f f .x/ x
f . (
f .a/ a, f .b/ b, .) ,
. (1)
.1/ f .x/ D x2
x . , (4)
.4/ r.x/ D x2; 17 x =3:
k.x/ D 1xC 1x 1 ; x 0; 1
k.x/ D 1xC 1x 1:
, ,
.
-
:
f .x C 1/ D f .x/C 2x C 1g.x/ D h.x/ x3 C 3x C 5 D 0
r.x C 1/ D r.x/C 2x C 1 17 x 3 1
s.x C y/ D s.x/ y
2
17
D 36
x.x/ D x f .x/C 1
y
1
3
D 0; y7
9
D :
f .s.a// , s.a/
, f .s.a// . , f .s.a// Ds.a/ a. ; , ,
, f .s.a//.
f .r.s..3.y. 13//////;
, :
f .r.s..3.y. 13 //////
D f .r.s..3.0/////D f .r.s..3////D f .r.s.16///D f .r.1//D f .1/D 1:
-
38
-
.
(1)
, . f
a0, . . . , an
f .x/ D anxn C an1xn1 C C a2x2 C a1x C a0; x
( f .x/ , an 0). x f
, f f .x/ D 5x6 C 137x4 6. (2) (3)
,
p=q p q ( q
0). , ,
,
. ,
:
(9) f .x/ D x C x2 C x sin2 x
x sin x C x sin2 x(10) f .x/ D sin.x2/.(11) f .x/ D sin.sin.x2//.(12) f .x/ D sin2.sin.sin2.x sin2 x2/// sin
x C sin.x sin x/x C sin x
.
, , -
, (12);
. (9)(12) -
I , I.x/ D x, - sin, sin.x/ x sin x. -
:
f g , -
f C g, f g,
.f C g/.x/ D f .x/C g.x/:
,
f C g x f .x/ C g.x/ , , x f g.
A B , A\ B ( A B A B) x A B
.f C g/ D f \ g.
, f g fg
( f=g) f g
.f g/.x/ D f .x/ g.x/
f
g
.x/ D f .x/g.x/
:
, g c , -
c g .c g/.x/ D c g.x/:
-
3. 39
f g, - c f f .x/ D c , x, .
f g f \ g, c g g. , f=g f \ g \ fx W g.x/ 0g, fx W g.x/ 0g - x g.x/ 0. , fx W : : : g x . . .. fx W x3 C 3 < 11g - x x3 < 8, fx W x3C3 < 11g D fx W x < 2g. y
x. ,
. fx > 0 W x3 < 8g 8
, , fx W x > 0 x3 < 8g. -, fx W 0 < x < 2g. , . f1; 3; 2; 4g, -, 1, 2, 3 4
fx W x D 1 x D 3 x D 2 x D 4g. , ,
,
. ,
.f C g/C h D f C .gC h/:
,
. ,
.f C g/C h D f C .gC h/, , ,
.f C g/C h.x/ D .f C g/.x/C h.x/D f .x/C g.x/C h.x/
f C .g C h/.x/ D f .x/C .g C h/.x/D f .x/C g.x/C h.x/;
f .x/ C g.x/ C h.x/ f .x/ C g.x/ C h.x/ . -
,
.f C g/C h f C .g C h/ - f \ g\ h. , ,f C g C h .f C g/ C h D f C .g C h/, .
.f g/ h D f .g h/, f g h. f C g D g C f f g D g f , , .
+, , / f (9)
f D I C I I C I sin sinI sinCI sin sin :
(10)
. .
, , .
-
40
f g , f Bg, f g,
.f B g/.x/ D f .g.x//
f B g
fx W x g g.x/ f g:
f B g f g.. f g , ,
:
f Bg gBf , , , f g ,
(, , f D I I g D sin). ,
:
.f B g/ B h D f B .g B h/
( ) f B g B h. - (10), (11), (12)
(10) f D sin B .I I /,(11) f D sin B sin B .I I /,(12) f D .sin sin/ B sin B .sin sin/ B .I .sin sin/ B .I I //
sin BI C sin B .I sin/
I C sin
.
.
,
. f f .x/ D sin.x2/ x, f f .x/ D sin.x2/ x. ,
. , -
x ! sin.x2/
( x sin.x2/ x sin.x2/),
.
,
f .x/ D sin.x2/. sin.x2/. , ,
, ,
. ,
,
. ,
, . ,
x C t3
x ! x C t3, , f f .x/ D x C t3 x
t ! x C t3, , f f .t/ D x C t3 t .
, ,
x!.
.
-
3. 41
, .
;
.
f .x/ D x2
f .x/ D x2 C 3x C 3 3.x C 1/
, -
f .x/ ,
f .x/ D x2
f .x/ D x2 C 3x C 3 3.x C 1/
. ,
-
, .
,
.
.
.
; ;
;.
x
f .x/
f .x/ D x2:
x f .x/
1 1
1 12 4
2 4p2 2
p2 2
2
2
(
).
.1; 1/; .1; 1/; .2; 4/; .2; 4/; .; 2/; .p2; 2/; : : :
.* f .1/
1 f ./
* , , ,
.2; 4/ .4; 2/. , .
, .
-
42
.
.
, ( 5 ):
f D f .1; 7/; .3; 7/; .5; 3/; .4; 8/; .8; 4/g;
f .1/ D 7, f .3/ D 7, f .5/ D 3, f .4/ D 8, f .8/ D 4 1, 3, 4, 5, 8 f .
f D f .1; 7/; .3; 7/; .2; 5/; .1; 8/; .8; 4/ g;
f .3/ D 7, f .2/ D 5, f .8/ D 4 f .1/ D 7 f .1/ D 8. ,
. .
:
.a; b/ .a; c/ , b D c .
, -
.
( )
,
. -
, ,
.
( )
.
f , f
a b .a; b/ f .
a f ,
, , b .a; b/
f . b f.a/.
: -
f x f .x/.
-
.
. , ,
. ,
.
.
1. f .x/ D 1=.1C x/. :
(i) f .f .x// ( x ;).
(ii) f
1
x
.
-
3. 43
(iii) f .cx/.
(iv) f .x C y/.(v) f .x/C f .y/.(vi) c x f .cx/ D f .x/;
:
.
(vii) c f .cx/ D f .x/ x;
2. g.x/ D x2,
h.x/ D0; x
1; x .
(i) y h.y/ y;(ii) y h.y/ g.y/;(iii) g.h.// h./;(iv) w g.w/ w;(v) " g.g."// D g."/;
3. :
(i) f .x/ Dp1 x2.
(ii) f .x/ Dq
1 p1 x2:
(iii) f .x/ D 1x 1 C
1
x 2 :
(iv) f .x/ Dp1 x2 C
px2 1:
(v) f .x/ Dp1 x C
px 2:
4. S.x/ D x2, P.x/ D 2x, s.x/ D sin x. . .
(i) .S B P/.y/.(ii) .S B s/.y/.(iii) .S B P B s/.t/C .s B P/.t/.(iv) s.t3/.
5. S , P , s, -
C, B ( , (i) P B s). .
(i) f .x/ D 2sinx .(ii) f .x/ D sin 2x.(iii) f .x/ D sin x2.(iv) f .x/ D sin2 x ( sin2 x .sin x/2/.(v) f .t/ D 22t . (: abc a.bc/ -
.ab/c abc .)
(vi) f .u/ D sin.2u C 2u2/.
(vii) f .y/ D sin
sin
sin
222siny
.
-
44
(viii) f .a/ D 2sin2 a C sin.a2/C 2sin.a2Csina/:
, , ,
.
,
.
6. () x1, . . . , xn ,
fi n 1 1 xi 0 xj j i . : .x xj / j i , 0 xj j i . (
nY
jD1ji
.x xj /;
.)
() f n 1 f .xi / D ai a1, . . . , an . ( - fi ().
Lagrange.)
7. () f , a, -
g, b, f .x/ D.x a/g.x/C b x. ( f .x/ .x a/, . ,
x3 3x C1 x 1
x3 x2 x2 Cx 2
x2 3xx2 x
2x C12x C2
1
x3 3x C 1 D .x 1/.x2 C x 2/ 1. f .)
() f .a/ D 0, f .x/ D .x a/g.x/ - g. ( .)
() f n, f
n , n a f .a/ D 0.() n n n .
n n
, n .
8. a, b, c d
f .x/ D ax C bcx C d
f .f .x// D x x ( );
-
3. 45
9. () A , CA :
CA.x/ D
1; x A
0; x A:
CA\B ,CA[B CRA, CA CB .( A\B , . :
A [ B D fx W x A x Bg;R A D fx W x R Ag:/
() f f .x/ D 0 1 x. A f D CA.
() f D f 2 f D CA A.
10. () f g f D g2 ; -: -
.
() f g f D 1=g;() b c x
.x.t//2 C b.t/x.t/C c.t/ D 0
t ;
() a b - x
a.t/x.t/C b.t/ D 0
t ; x ;
11. () H y H.H.y// Dy.
H.H.H. .H.y/ /
80
:
() 80 81.
() H.H.y// D H.y/.() H H.H.x// D H.x/ x,
H.1/ D 36, H.2/ D =3, H.13/ D 47, H.36/ D 36, H.=3/ D =3,H.47/ D 47. ( H.x/ H H.H.x// D H.x/. H
H .)
() H H.H.x// D H.x/ x, H.1/ D 7,H.17/ D 18.
12. f f .x/ D f .x/, f .x/ Df .x/. , f f .x/ D x2 f .x/ D jxj f .x/ Dcosx, f f .x/ D x f .x/ D sinx.
() f C g , , -, f
, g . (
2 2 .)
-
46
() f g.() f B g.() f f .x/ D g.jxj/,
g.
13. () f R f D ECO , E O .
() f . ( -
() , E O ,
().)
14. f , jf j jf j.x/ D jf .x/j. f g , -, max.f; g/ min.f; g/,
max.f; g/.x/ D max.f .x/; g.x//;min.f; g/.x/ D min.f .x/; g.x//:
max.f; g/ min.f; g/ j j.
15. () f D max.f; 0/Cmin.f; 0/. f max.f; 0/ min.f; 0/
f .
() f f .x/ 0 x. f f D g h, g h -, . ( g D max.f; 0/ h D min.f; 0/.) : - .
16. f f .x C y/ D f .x/C f .y/ x y.
() f .x1 C C xn/ D f .x1/C C f .xn/.() c f .x/ D cx
x (
f .x/ x ). :
c. f .x/ D cx, x , x , x
, , , x.
17. f .x/ D 0 x, f f .x C y/ D f .x/ C f .y/ x y, f .x y/ D f .x/ f .y/ x y. f , f .x/ 0.
f .x/ D x x, :
() f .1/ D 1.() f .x/ D x x .() f .x/ > 0 x > 0. ( ,
, .)
() f .x/ > f .y/ x > y.
() f .x/ D x x. : .
18. f, g, h k f .x/g.y/ D h.x/k.y/ x y;
-
3. 47
19. () f g -:
(i) f .x/C g.y/ D xy x y.(ii) f .x/ g.y/ D x C y x y.: f g
x y.
() f g f .x C y/ D g.xy/ x y.
20. () f , , jf .y/f .x/j jyxj.() f .y/f .x/ .yx/2 x y. (
jf .y/ f .x/j .y x/2 ;). f .: x y n .
21. :
() f B .g C h/ D f B g C f B h.() .g C h/ B f D g B f C h B f .
()1
f B g D1
fB g.
()1
f B g D f B1
g
.
22. () g D h B f . f .x/ D f .y/, g.x/ D g.y/.() , f g
g.x/ D g.y/ f .x/ D f .y/. g D hBf - h. : h./
D f .x/ ( )
.
23. f B g D I , I.x/ D x.
() x y, g.x/ g.y/() b b D f .a/ a.
24. () g g.x/ g.y/ x y. f f B g D I .
() f b b Df .a/ a. g
f B g D I .
25. f g B f D I g, h f B h D I .
26. f B g D I h B f D I . g D h. : .
27. () f .x/ D xC1. g f Bg D gBf ;() f . g f B
g D g B f ;() f B g D g B f g. f
, f .x/ D x.
-
48
28. () F R.
, C , 19 7 F , 0 1
.
() 7 .
() 1012 . , P F , 1012
P . (, ,
0 , x0 x1.)
() f < g f .x/ < g.x/ x.
010013 ( 1-8) ;
() f < g, h B f < h B g ; f B h < g B h ;
-
3. . 49
.
, ,
.
,
. -
.a; b/
a b, :
.a; b/ D .c; d /, a D c b D d .
,
.a; b/
,
.
.
-
. -
, ,
-
.
.
, (
)
.
fa; bg, a b, , .a; b/, -
fa; bg a, b . :
f fag; fa; bg g:
,
fag, a, fa; bg. , .a; b/ .
, .
.a; b/ D f fag; fa; bg g:
1 .a; b/ D .c; d /, a D c b D d .
f fag; fa; bg g D f fcg; fc; d g g:
f fag; fa; bg g , fag fa; bg a f fag; fa; bg g. , c f fcg; fc; d g g. a D c.
f fag; fa; bg g D f fag; fa; d g g; b D d . 2 .
-
50
1. b D a. , fa; bg D fag, f fag; fa; bg g , fag. f fag; fa; d g g, fa; d g D fag, d D a D b.
2. b a. , b f fag; fa; bg g . b f fag; fa; d g g . b fa; d g, fag b D a b D d , b a b D d .
-
4
,
, , .
.
,
.
1
, 2 .
, , , -
. (
1) , , 0, ,
1.
2, 1 0,
0, 1, . , a < b, a b.
1 , 12 .
,
. ,
, -
,
(
). -
, ,
, R .
jabj : a b, a
b .
x jx aj < " a ".
a " a C ", x a " < x < aC " ( 2).
2
. fx W a < x < bg .a; b/ a b. -
, .a; b/
, (
) . , a b, .a; b/ D ;, ( - ) , .a; b/, a
b.
51
-
52
fx W a x bg a; b a b. a < b,
a D b.
3
.a; b/ a; b 3
-
, . 3
. fx W x > ag .a;1/, fx W x ag a;1/ .1; a/ .1; a . : 1 1, , -
1 1 a a. 1 1, ,
. R
, .1;1/.
4
,
. ,
, ,
. , , -
. ( , -
, ,
, , ,
.) -
,
.a; 0/, -
.0; b/, ,
, .0; 0/. .a; b/
4,
.0; 0/, .a; 0/ .0; b/. a b
, , .
5 , ,
.
,
.
. ,
f .x; f .x//.
,
, , ,
.
,
f .x/ D c, . f .x/ D c , c ( 5).
6 f .x/ D cx
.0; 0/, 6.
7: x 0, L
O , .0; 0/, A,
.x; cx/. A0, y, L A0B 0O ABO
A0B 0
OB 0D ABOB
D c
A0 .y; cy/, A0 f . c > 0, .
7
-
4. 53
c,
, ,
c.
8
,
. ,
-
.
(
)
. ,
.
, -
.
( )
-
, , ,
, f.x; cx/ W x g.
, . .a; b/ .c; d /
, , .a; b/
.c; d / p
.a c/2 C .b d/2:
, 8 -
.*
9 , -
( 9) f .x/ D cxCd - c, .0; d/. -
f .x/ D cxCd . , , .
.
.a; b/ .c; d /,
f .a; b/ .c; d /.
f .a/ D b f .c/ D d . f f .x/ D px C q,
paC q D b;pc C q D d
p D .d b/=.c a/ q D b .d b/=.c a/a,
f .x/ D d bc a x C b
d bc a a D
d bc a .x a/C b;
-
- (. 6).
, a c -
.
,
* ,
. ,
,
.
-
54
. -
-
.a; b/ .a; c/ , ,
.a; b/ .a; c/ b c. ,
, .
10 ,
-
R,
.
()
()
() ()
1 0
, , f .x/ D x2. f ,
.x; x2/, 11.
1 1
.x; x2/
12 .
,
( ) ,
;
. ,
. , :
,
13; , ,
() 0 < x < y x2 < y2,
y , x,
(). , ,
.x; x2/,
() ().
, ,
. ,
1 2 ,
, . ,
. , !
-
4. 55
f .x/ D xn, n, - .
, , 14.
()
()
()
1 3
1 4
()
()
1 5
-
, . 15
, 16
f .x/ D anxn C an1xn1 C C a0;
an > 0.
() ()
1 6
, f n 1 ( .x; f .x// 16,
.y; f .y//. -
( , ,
). ,
3
-
56
( 3 ,
).
17 .
-
, -
, 3 .
() ()
()()
1 7
1 8
-
4. 57
-
.
18 . f
f
1
n
D .1/nC1;
f
1n
D .1/nC1;
f .x/ D 1; jxj 1;
1=.nC1/; 1=n 1=n;1=.nC1/. ( 0 f .) ,
f .x/, x 1=.nC1/; 1=n ,
.
, ,
,
0, ,
15. ,
2 , -
( 180 ), =2 , .
19.
1 9
2 0
f .x/ D sin 1=x. f 20.
-
58
f .x/ D 0 x D 1;1
2;1
3; : : : ;
f .x/ D 1 x D 112;
112 C 2
;1
12 C 4
; : : : ;
f .x/ D 1 x D 132;
132 C 2
;1
32 C 4
; : : : :
2 1
2 2
, x , 1=x , f .x/
x , , jxj
-
4. 59
x, f .x/ 0, f .x/ < 0.
f .x/ D x sin 1=x. 21.
sin 1=x 0, 1 1, - f .x/ D x sin 1=x x x. - x
. sin 1=x 0, x
, .
,
3 . 22 f .x/ D x2 sin 1=x. -
.
0 ( ). ,
. -
f .x/ D
x2; x < 1
2; x 1 g.x/ D
x2; x 12; x > 1
( 23).
()
()
2 3
, :
f .x/ D
0; x
1; x .
2 4
f
,
. 24
. -
, -
x. (
, ,
21-5 21-6.)
,
, ,
, . -
. .a; b/ r > 0 ,
, .x; y/ .a; b/ r .
( 25) .x; y/
2 5 p.x a/2 C .y b/2 D r
-
60
.x a/2 C .y b/2 D r2: .0; 0/ 1, -
, .
.
-
. ( , .) , , -
.c; 0/ .c; 0/, 2a ( 2 ), .x; y/
p
.x .c//2 C y2 Cp
.x c/2 C y2 D 2a
p
.x C c/2 C y2 D 2a p
.x c/2 C y2
x2 C 2cx C c2 C y2 D 4a2 4ap
.x c/2 C y2 C x2 2cx C c2 C y2
4.cx a2/ D 4ap
.x c/2 C y2
c2x2 2cxa2 C a4 D a2.x2 2cx C c2 C y2/
.c2 a2/x2 a2y2 D a2.c2 a2/
x2
a2C y
2
a2 c2 D 1:
x2
a2C y
2
b2D 1;
b Dpa2 c2 ( a > c, a2 c2 >
0). 26.
y D 0,
x2
a2D 1; x D a;
2 6
x D 0,
y2
b2D 1; y D b:
-
4. 61
,
. .c; 0/ .c; 0/, 2a, , .x; y/ ,
p
.x C c/2 C y2 p
.x c/2 C y2 D 2a;
x2
a2C y
2
a2 c2 D 1:
, c > a, a2c2 < 0. b D
pc2 a2, .x; y/
x2
a2 y
2
b2D 1:
27. ,
2 7 .x; y/ .c; 0/ .c; 0/ . y D 0, x D a, .
( 28) a D b Dp2 f .x/ D 1=x.
, ,
=4 ( 23).
() ()
2 8
, -
. ,
-
. , ,
,
f .x/ D bp
1 .x2=a2/; a x a
g.x/ D bp
1 .x2=a2/; a x a:
, , .
,
f .x/ D
8
1). -
r D 1C " cos
.
-
80
6. .x; y/ .x; y/
O .x; y/ y D a ( 7). a r cos ,
a D r.1C cos /:
(4).
7. , ", -
7 (4), (3).
.1 "2/x2 C y2 D 2 2"x:
4-16, " < 1,
" D 1, " > 1.
8. () r D 1 sin .() r D 1
sin .
()
x2 C y2 Dp
x2 C y2 y;
.x2 C y2 C y/2 D x2 C y2:
9. :
(i) r D 1 12
sin .
(ii) r D 1 2 sin .(iii) r D 2C cos .
10. ()
r2 D 2a2 cos 2:
() .
() P 8 -
d1d2 D a2. 8 ()
P d1d2 D b, b > a2 b < a2.
-
5
, -
.
,
.
f l a, f .x/
l x , , a.
1,
l a. , g.a/ h.a/ -
, g h l a.
, ,
a f .x/ l x a,
a. , f .a/,
f .a/ .
1
f l -
a
4. , ,
R, x , f .x/ . 2
.
81
-
82
()()
2
f
3. f .x/ l ,
B 3.
x A 3. (
a.)
B 0 ( 4) , , A0 B , A .
3 4
f ,
B
, A . f .x/ B
x A
A
B 5()
A, 5(), A .
() ()
5
,
f .x/ D 3x a D 5 ( 6). f 15 5 f .x/ 15 ,
x 5. ,
3x 110
15.
6
-
5. 83
15 110< 3x < 15C 1
10;
110< 3x 15 < 1
10:
130< x 5 < 1
30;
jx 5j < 130. 1
10.
j3x 15j < 1100
jx 5j < 1300
. ",
j3x 15j < " jx 5j < "=3. a D 5. -
f 3a a a:
j3x 3aj < "
jx aj < "3:
, f .x/ D3:000:000x. 1:000:000 ,
jx aj < "=3:000:000 jf .x/ aj < ". f .x/ D x2 .
f .x/ 9 3.
jx2 9j < "
" jx 3j .
jx2 9j D jx 3j jx C 3j;
jx 3j. , jx C 3j, 3 3:000:000. , ,
jx C 3j. , jx 3j < 1. jx 3j < 1, 2 < x < 4, 5 < x C 3 < 7 jx C 3j < 7. ,
jx2 9j D jx 3j jx C 3j < 7jx 3j;
jx29j < " jx3j < "=7, - jx 3j < 1. , : jx 3j < min."=7; 1/.
jx3j < 1 . - jx 3j < 1
10 jx 3j < 10
. -
,
jx 3j < 10. f 9 3
f a2 a a,
-
84
jx C aj. jx aj < 1, jxC aj . 1-12
jxj jaj jx aj < 1;
jxj < 1C jaj;
jx C aj jxj C jaj < 2jaj C 1;
jx2 a2j D jx aj jx C aj< jx aj .2jaj C 1/;
jx2a2j < " jxaj < "=.2jajC1/, jx aj < 1. : jx aj < min."=.2jaj C 1/; 1/.
, f .x/ D 1=x( x 0), f 1=3 3.
1
x 13
< "
" jx 3j .
1
x 13
D
3 x3x
D 13 1jxj jx 3j;
jx 3j, 13
, 1=jxj. , jxj , 1=jxj .
jx 3j < 1, 2 < x < 4,
1
4 0,
jf .x/ 0j Dx sin
1
x
< "
jxj D jx 0j ( 0). .
sin
1
x
1; x 0,
x sin
1
x
jxj; x 0,
jx sin 1=xj < " jxj < " 0.
f .x/ D x2 sin 1=x ( 9) f 0 0. , ,
x2 sin
1
x
0, jf .x/ 0j < " - x 0. , " > 0 jf .x/0j < " , jxj. " D 1
2 :
jf .x/j < 12 jxj. , A
0, x D 1=.12C 2n/
x f .x/ D 1.
1 1
( 12) f
0. ,
l , " > 0 jf .x/ l j < " , x. " D 1
2
l , jxj, jf .x/ l j < 1
2. , A
0, x1 x2,
1 2f .x1/ D 1 f .x2/ D 1;
x1 D1
12 C 2n
x2 D1
32 C 2m
n m. l 12 lC 1
2
1 1, 1
j1 l j < 12
j1 l j < 12;
l .
-
5. 87
f .x/ D sin 1=x 0 .
f .x/ D
0; x
1; x ,
, a, f l a. ,
jf .x/ l j < 14 x a,
a x f .x/ D 0, x f .x/ D 1, j0 l j < 1
4 j1 l j < 1
4.
13:
f .x/ D
x; x
0; x .
g.x/ Dsin 1=x. 0 0, a, a 0. , , .
1 3 ( 14):
f .x/ D
1; x < 01; x > 0:
a > 0, f 1 a: ,
jf .x/ 1j < " jx aj < a,
a < x a 0 < x
f .x/ D 1. , b < 0, f 1 b:
1 4 jf .x/ .1/j < " jx bj < b., , f
0.
, .
, .
, -
. , ,
.
f .x/ l ( )
x a ( -
). , ()
.
, .
, -
. , ,
:
f l a, f .x/
l x , ,
a.
- ,
f .x/ l jf .x/ l j , x a:
f l a, jf .x/ l j jx aj , x a.
-
88
, , jf .x/l j jf .x/ l j < " " > 0 :
f l a, " > 0
jf .x/ l j < " jx aj , x a.
.
" > 0 , , x a jx aj < , jf .x/ l j < ". f .x/ D x sin 1=x ( a D 0,l D 0), " f .x/ D
p
jxj sin 1=x, "2 f .x/ D x2 1 "=.2jaj C 1/. , , ",
jx aj < :
f l a, " > 0 > 0
, x, jx aj < x a, jf .x/ l j < ".
.
, jx aj < x a 0 < jx aj < .
f l a : " > 0
> 0 , x, 0 < jx aj < , jf .x/ l j < ".
( -
) .
, ! , ,
, -
. -
,
. ,
, -
. f l a,
:
" > 0 > 0 , x, 0 < jx aj < , jf .x/ l j < ",
" > 0 > 0 x
0 < jx aj < jf .x/ l j < ".
, f .x/ D sin 1=x 0 0, " D 1
2 > 0 x 0 < jx 0j <
j sin 1=x 0 j < 12, x 1=.=2C 2n/,
n 1=.=2C 2n/ < . ,
15
:
f .x/ D0; x , 0 < x < 1
1=q; x D p=q , 0 < x < 1.
( p=q p q
q > 0.)
-
5. 89
1 5
a, 0 < a < 1, f 0 a. -
, " > 0. n
1=n ". x jf .x/ 0j < ", :
1
21
3;2
31
4;3
41
5;2
5;3
5;4
5 : : :
1
n; : : : ;
n 1n
:
( a , a .)
, .
, , a. -
, jp=qaj p=q . ( a ,
jp=q aj p=q a.) . , 0 < jx aj < , x
1
2; : : : ;
n 1n
jf .x/ 0j < " . . "
".
,
. ,
.
: ,
.
1 a.
, f l a, f m a, l D m.
,
.
f l a, " > 0
1 > 0 , x,
0 < jx aj < 1, jf .x/ l j < ".
, f m a, 2 > 0
, x,
0 < jx aj < 2, jf .x/ mj < ".
-
90
, 1 2,
. ,
" > 0 > 0
, x,
0 < jx aj < , jf .x/ l j < " jf .x/ mj < "
D min.1; 2/. " > 0
jf .x/ l j < " jf .x/ mj < "
, l m. 16. l m, jl mj > 0, " jl mj=2. > 0 , x,
0 < jx aj < ; jf .x/ l j < jl mj2
jf .x/ mj < jl mj2
:
0 < jx aj <
1 6jl mj D jl f .x/C f .x/ mj jl f .x/j C jf .x/ mj
0
, x,
0 < jx aj < 1, jf .x/ l j 0, 1; 2 > 0 , x,
0 < jx aj < 1, jf .x/ l j < min
1;"
2.jmj C 1/
,
0 < jx aj < 2, jg.x/ mj 0 , x,
0 < jx aj < , jx2 a2j < min jaj22;"jaj42
.
,
D min
0
BB@1;
min
jaj22;"jaj42
2jaj C 1
1
CCA:
, ,
.
2 .
limx!a
f .x/ , , f a,
f x a. , > 0 f .x/ x 0 < jxaj <
0 < jx aj < , jf .x/ l j < "
-
5. 95
, f .x/ x. f
g ,
f C g f g. 1=g, 1=g x g.x/ D 0. , 2(3).
f a,
> 0 f .x/ x
0 < jx aj < . , - 17,
a. 17()
limx!aC
f .x/ D l limx#a
f .x/ D l:
( : f .x/ x a
). ,
: limx!aC
f .x/ D l " > 0 > 0 , x,
0 < x a < , jf .x/ l j < ".
( 0 < x a < 0 < jx aj < x > a).
()
()
1 7 ( 18) : limx!a
f .x/ D l ( limx"a
f .x/ D l) " > 0 > 0 , x,
0 < a x < , jf .x/ l j < ".
1 8
,
f a. ,
f 14,
limx!0C
f .x/ D 1 limx!0
f .x/ D 1:
( 29) limx!a
f .x/
limx!aC
f .x/ limx!a
f .x/ , .
,
,
. 4 x ,
sin 1=x 0.
limx!1
sin 1=x D 0:
limx!1
f .x/ f .x/ x 1, x , lim
x!1f .x/ .
1 9
19 limx!1
f .x/ D l . ,limx!1
f .x/ D l " > 0 N , x,
x > N , jf .x/ l j < ".
-
96
: -
0 < jx aj < x a, x > N x .
, ,
( ).
,
.
1. . ( ,
, 2
, .)
(i) limx!1
x2 1x C 1 :
(ii) limx!2
x3 8x 2 :
(iii) limx!3
x3 8x 2 :
(iv) limx!y
xn ynx y :
(v) limy!x
xn ynx y :
(vi) limh!0
paC h
pa
h:
2. .
(i) limx!1
1 px
1 x :
(ii) limx!0
1 p1 x2x
:
(iii) limx!0
1 p1 x2x2
:
3. , l a,
jf .x/ l j < " x 0 < jx aj < .
(i) f .x/ D x
3 cos.x2/
, a D 0.
(ii) f .x/ D x2 C 5x 2, a D 2.
(iii) f .x/ D 100x
, a D 1.
(iv) f .x/ D x4, a.
(v) f .x/ D x4 C 1x, a D 1.
(vi) f .x/ D x2 sin2 x
, a D 0.
(vii) f .x/ Dp
jxj, a D 0.
-
5. 97
(viii) f .x/ Dpx, a D 1.
4. 4-17, -
a limx!a
f .x/.
5. () 4-19.() , -
0
9.
6. f g : " > 0
x,
0 < jx 2j < sin2"2
9
C ", jf .x/ 2j < ",
0 < jx 2j < "2, jg.x/ 4j < ".
" > 0 > 0 , x,
(i) 0 < jx 2j < , jf .x/C g.x/ 6j < ".
(ii) 0 < jx 2j < , jf .x/g.x/ 8j < ".
(iii) 0 < jx 2j < ,
1
g.x/ 14
< ".
(iv) 0 < jx 2j < ,
f .x/
g.x/ 12
< ".
7. f
: jf .x/ l j < " 0 < jx aj < , jf .x/ l j < "=2 0 < jx aj < =2.
8. () limx!a
f .x/ limx!a
g.x/ ,
limx!a
f .x/C g.x/ limx!a
f .x/g.x/;
() limx!a
f .x/ limx!a
f .x/Cg.x/ , lim
x!ag.x/;
() limx!a
f .x/ limx!a
g.x/ ,
limx!a
f .x/C g.x/;
() limx!a
f .x/ limx!a
f .x/g.x/ ,
limx!a
g.x/;
9. limx!a
f .x/ D limh!0
f .a C h/. ( .)
10. () limx!a
f .x/ D l limx!a
f .x/l D 0. ( .
,
.)
() limx!0
f .x/ D limx!a
f .x a/.
() limx!0
f .x/ D limx!0
f .x3/.
() limx!0
f .x2/ , limx!0
f .x/ .
-
98
11. > 0 f .x/ D g.x/ 0 < jx aj < . lim
x!af .x/ D lim
x!ag.x/. , lim
x!af .x/
f .x/ x a
. (
0, , , .)
12. () f .x/ g.x/ x. limx!a
f .x/ limx!a
g.x/,
.
() ;
() f .x/ < g.x/ x, limx!a
f .x/ < limx!a
g.x/;
13. f .x/ g.x/ h.x/ limx!a
f .x/ D limx!a
h.x/.
limx!a
g.x/ , limx!a
g.x/ D limx!a
f .x/ D limx!a
h.x/. (
!)
14. () limx!0
f .x/=x D l b 0, limx!0
f .bx/=x D bl .: f .bx/=x D bf .bx/=bx.
() b D 0;() () lim
x!0.sin 2x/=x
limx!0
.sin x/=x. .
15. D limx!0
.sin x/=x.
(i) limx!0
sin 3x
x.
(ii) limx!0
sin ax
sin bx.
(iii) limx!0
sin2 2x
x.
(iv) limx!0
sin2 2x
x2.
(v) limx!0
1 cosxx2
.
(vi) limx!0
tan2 x C 2xx C x2 .
(vii) limx!0
x sin x
1 cosx .
(viii) limh!0
sin.x C h/ sin xh
.
(ix) limx!1
sin.x2 1/x 1 .
(x) limx!0
x2.3C sin x/.x C sin x/2 .
(xi) limx!1
.x2 1/3 sin
1
x 1
3
.
16. () , limx!a
f .x/ D l , limx!a
jf j.x/ D jl j.
-
5. 99
() , limx!a
f .x/ D l limx!a
g.x/ D m, limx!a
max.f; g/.x/ D max.l;m/ min.
17. () limx!0
1=x , , l
limx!0
1=x D l .
() limx!1
1=.x 1/ .
18. , limx!a
f .x/ D l , > 0 M jf .x/j < M 0 < jx aj < . ( ;) : l 1 < f .x/ < l C 1 0 < jx aj < ;
19. , f .x/ D 0 x , f .x/ D 1 x , limx!a
f .x/ a.
20. , f .x/ D x x , f .x/ D x x , limx!a
f .x/ a 0.
21. () , limx!0
g.x/ D 0, limx!0
g.x/ sin 1=x D 0.
() : limx!0
g.x/ D 0 jh.x/j M x, lim
x!0g.x/h.x/ D 0. (
() ()
() ()
.)
22. f : g
limx!0
g.x/ , limx!0
f .x/ C g.x/ . lim
x!0f .x/ . :
: limx!0
f .x/
g.
23. 22 f Cg f g. , ( -
, ).
() limx!0
f .x/ 0. limx!0
g.x/
, limx!0
f .x/g.x/ .
() limx!0
jf .x/j D 1. ( 37.)
() , , -
g limx!0
g.x/ ,
limx!0
f .x/g.x/ .
: : (1) " > 0
jf .x/j > " x. (2) " > 0, - x jf .x/j < ". , xn jxnj < 1=n jf .xn/j < 1=n.
24. , n, An 0; 1, An Am m n.
-
100
f :
f .x/ D
1=n; x An0; x An n:
limx!a
f .x/ D 0 a 0; 1.
25. limx!a
f .x/ D l : > 0 " > 0 , x,
(i) 0 < jx aj < ", jf .x/ l j < .(ii) 0 < jx aj < ", jf .x/ l j .(iii) 0 < jx aj < ", jf .x/ l j < 5.(iv) 0 < jx aj < "=10, jf .x/ l j < .
26. limx!a
f .x/ D l .
() > 0 " > 0 0 < jx aj < , jf .x/ l j < ".
() " > 0 > 0 jf .x/ l j < ", 0 0 f .x/ < f .y/
x < a < y jx aj < jy aj < . ;
32. limx!1
.anxnC Ca0/=.bmxmC Cb0/ ( an 0 bm 0)
m n. m D n; m > n; : lim
x!11=xk D 0
.
-
5. 101
33. .
(i) limx!1
x C sin3 x5x C 6 .
(ii) limx!1
x sin x
x2 C 5 .
(iii) limx!1
p
x2 C x x.
(iv) limx!1
x2.1C sin2 x/.x C sin x/2 .
34. limx!0C
f .1=x/ D limx!1
f .x/.
35. D limx!0
.sinx/=x.
(i) limx!1
sinx
x.
(ii) limx!1
x sin1
x.
36. () limx!1
f .x/ D l.
() limx!1
.anxn C C a0/=.bmxm C C b0/.
() limx!1
f .x/ D limx!1
f .x/.
() limx!0
f .1=x/ D limx!1
f .x/.
37. limx!a
f .x/ D 1 N > 0 , x, 0 < jx aj < , f .x/ > N . ( !) (, lim
x!af .x/
.)
() limx!3
1=.x 3/2 D 1.
() f .x/ > " > 0 x, limx!a
g.x/ D 0,
limx!a
f .x/=jg.x/j D 1:
38. () limx!aC
f .x/ D 1 limx!a
f .x/ D 1. ( .
;)
() limx!0C
1=x D 1.
() limx!0C
f .x/ D 1, limx!1
f .1=x/ D 1.
39. , .
(i) limx!1
x3 C 4x 77x2 x C 1 .
(ii) limx!1
x.1C sin2 x/.
(iii) limx!1
x sin2 x.
(iv) limx!1
x2 sin1
x.
-
102
(v) limx!1
p
x2 C 2x x.
(vi) limx!1
x.px C 2
px /.
(vii) limx!1
p
jxjx
.
40. () n- -
r . [: 2rn sin.=n/.]
() n ;
() ;
41. () c > 1, c1=n D npc 1 n
. : " > 0
c1=n > 1C " n.() , c > 0, c1=n 1 n
.
42. , lim
x!ax2 D a2 lim
x!ax3 D a3
83.
, limx!a
x2 D a2,
a > 0. " > 0, p
a2 C " a a
pa2 " (. 20): jx aj <
pa2 " 0. > 0 x,
jx aj < , j.f B g/.x/ .f B g/.a/j < ", jf .g.x// f .g.a//j < ".
f
g.x/ g.a/ . f
g.a/, 0 > 0 y,
.1/ jy g.a/j < 0, jf .y/ f .g.a//j < ".
,
.2/ jg.x/ g.a/j < 0, jf .g.x// f .g.a//j < ".
g -
x a jg.x/ g.a/j < 0. 0
-
106
0 " (!) g a. > 0 , x,
.3/ jx aj < , jg.x/ g.a/j < 0.
(2) (3) x,
jx aj < , jf .g.x// f .g.a//j < ".
f .x/ D
x sin 1=x; x 00; x D 0:
f 0. -
1 2, sin, f
a, a 0. f .x/ D sin.x2 C sin.x C sin2.x3///.
-
,
. f x
x .a; b/, f .a; b/ , f
R D .1;1/ [. 52] x x R.
f a; b
.1/ f x x .a; b/,
.2/ limx!aC
f .x/ D f .a/ limx!b
f .x/ D f .b/.
( x
x .)
-
,
.
, , -
.
f .x/ D
x sin 1=x; x 00; x D 0
. , -
. -
, -
.
,
.
,
.
3 f a, f .a/ > 0. f .x/ > 0 x
a > 0
f .x/ > 0 x jxaj < . , f .a/ < 0, > 0 f .x/ < 0 x jx aj < .
-
6. 107
f .a/ > 0. f a, " > 0
> 0 , x,
jx aj < , jf .x/ f .a/j < ", " < f .x/ f .a/ < ".
, " D 12f .a/,
1
2f .a/ > 0 ( 5).
> 0 x,
jx aj < , 12f .a/ < f .x/ f .a/ < 1
2f .a/,
f .x/ >1
2f .a/ > 0. ( "
f .a/,
, .)
f .a/ < 0
" D 12f .a/.
5 f .
1. f F
R F.x/ D f .x/ x f ;
(i) f .x/ D x2 4x 2 .
(ii) f .x/ D jxjx.
(iii) f .x/ D 0, x .(iv) f .x/ D 1=q, x D p=q p=q .
2. 4-17 4-19;
3. () f jf .x/j jxj x. f 0. ( f .0/ 0.)
() f
a 0.() g 0 g.0/ D 0, jf .x/j jg.x/j. -
f 0.
4. f , jf j .
5. a, a,
.
6. () f 1,1
2,1
3,1
4, . . .
.
() f 1,1
2,1
3,1
4, . . . 0,
.
7. f f .xC y/ D f .x/C f .y/, f 0. f a a.
-
108
8. f a f .a/ D 0. 0, f C a.
9. () f a a.
" > 0 x a
jf .x/ f .a/j > ". .() " > 0, x -
a f .x/ < f .a/ " x a f .x/ > f .a/C ".
10. () , f a, jf j.() f R f D ECO ,
E O .
() , f g ,
max.f; g/ min.f; g/.
() f f D g h, g h .
11. 1(3) 2
f .x/ D 1=x.
12. () , f l limx!a
g.x/ D l , limx!a
f .g.x// D f .l/. ( , - G G.x/ D g.x/ x a, G.a/ D l .)
() , f l ,
limx!a
f .g.x// D f . limx!a
g.x//. : f .x/ D 0 x l , f .l/ D 1.
13. () f a; b,
g R, g.x/ D f .x/ x a; b. : , g
.1; a b;1/.()
a; b .a; b/.
14. () g h a, g.a/ D h.a/. f .x/ g.x/ x a h.x/ x a. f a.
() g a; b h b; c g.b/ Dh.b/. f .x/ g.x/ x a; b h.x/ x b; c.
f a; c. (,
.)
15. f a, " > 0
> 0 jx aj < jy aj < , jf .x/ f .y/j < ".
16. () 3
: limx!aC
f .x/ D f .a/, f .a/ > 0. > 0 f .x/ > 0 x
0 x a < . , f .a/ < 0, > 0 f .x/ < 0 x 0 x a < .
() 3 limx!b
f .x/ Df .b/.
-
6. 109
17. limx!a
f .x/ , f .a/, f a.
() f .x/ D sin 1=x x 0 f .0/ D 1, f 0; f .x/ D x sin 1=x x 0, f .0/ D 1.
() f a. g.x/ D f .x/ x a, g.a/ D lim
x!af .x/. g a. (
.)
() f .x/ D 0 x , f .p=q/ D 1=q p=q . g g.x/ D lim
y!xf .y/;
() f . lim
y!xf .y/
x, f ( )
x. g.x/ D limy!x
f .y/. g .
( ().)
() f , ; ( -
,
,
. . 22-33.)
-
7
-
.
, ,
.
1 f a; b f .a/ < 0 < f .b/, x a; b
f .x/ D 0.
(,
,
, 1.)
2 f a; b, f a; b, ,
N f .x/ N x a; b.
(, f
, 2.)
3 f a; b, y a; b
f .y/ f .x/ x a; b ( 3).
1 2 3
6.
,
-
a; b , , , -
. , f
110
-
7. 111
4,
f .x/ D(
1; 0 x 0, f .1=2N/ D 2N > N . a; b 2
.a; b/, f
.0; 1/, .
, 6,
f .x/ D
x2; x < 1
0; x 1:
0; 1 f , f
5
2, f 0; 1. f
3 y 0; 1,
f .y/ f .x/ x 0; 1 , f .1/ f .x/ x 0; 1, y D 1, 0 y < 1 f .y/ < f .x/ x y < x < 1.
3
2. 3
.
6
, -
.
,
,
. 1, 2 3, -
,
.
4 f a; b f .a/ < c < f .b/ x a; b
f .x/ D c.
g D f c. g , g.a/ < 0 < g.b/. 1 x a; b, g.x/ D 0. f .x/ D c.
5 f a; b f .a/ > c > f .b/, x a; b
f .x/ D c.
f a; b f .a/ < c < f .b/. - 4 x a; b f .x/ D c, f .x/ D c.
4 5 f f .a/
f .b/. : c d
-
112
a; b, f f .c/ f .d/. -
, , c < d , 4
5 c; d . , -
,
1 .
6 f a; b, f a; b, ,
N f .x/ N x a; b.
f a; b, 2 M f .x/ M x a; b. f .x/ M x a; b, N D M .
2 6 f a; b
a; b, , N jf .x/j N x a; b. , 2
N1, f .x/ N1 x a; b, 6 N2 f .x/ N2 x a; b, N D max.jN1j; jN2j/.
7 f a; b, y a; b f .y/ f .x/ x a; b.
(
.)
f a; b 3 y a; b f .y/ f .x/ x a; b, f .y/ f .x/ x a; b.
1, 2
3, .
8 . , > 0,
x x2 D .
f .x/ D x2, . f :
f .
f 4.
b > 0 f .b/ > (
7) , > 1 b D , < 1 b D 1. f .0/ < < f .b/, 4 0; b x ( 0; b), f .x/ D , x2 D .
n- , n. n
, : n-
. , ,
n- x, , xn D , .x/n D ( n ), n- x. , n n- ,
xn D 0
n .
7 .
-
7. 113
9 n ,
xn C an1xn1 C C a0 D 0
.
f .x/ D xn C an1xn1 C C a0:
f -
. jxj, g.x/ D xn , n , - x x.
.
f
f .x/ D xn C an1xn1 C C a0 D xn
1C an1x
C C a0xn
:
an1x
C an2x2
C C a0xn
jan1jjxj C C
ja0jjxnj :
, x
() jxj > 1; 2njan1j; : : : ; 2nja0j;
jxk j > jxj jank jjxk j
0. , x2 < 0 (), .x2/n < 0
.x2/n
2 .x2/n
1C an1x2
C C a0.x2/n
D f .x2/;
f .x2/ < 0.
, 1 x2; x1, -
x x2; x1 f .x/ D 0.
9
,
. , ,
-
114
. , x2 1 D 0, , , x2 C 1 D 0, ; ,
.
xn C an1xn1 C C a0 D 0;
xn C an1xn1 C C a0 D c
c. a0 8 .
8.
f .x/ D xn C an1xn1 C C a0, n, , , , .
, y f .y/ f .x/ x f , ,
. ( n .)
7, .
7 a; b,
y0 f .y0/ f a; b
a; b 8, ,
y0 f .
, a; b
.
10 n f .x/ D xn C an1xn1 C C a0, y f .y/ f .x/ x.
9,
M D max.1; 2njan1j; : : : ; 2nja0j/;
x jxj M ,
1
2 1C an1
xC C a0
xn:
n , xn 0 x,
xn
2 xn
1C an1x
C C a0xn
D f .x/;
jxj M . f .0/. b > 0 bn 2f .0/ b > M , x b, ( 9)
f .x/ xn
2 b
n
2 f .0/:
, x b, 9
f .x/ xn
2 .b/
n
2D b
n
2 f .0/:
:
x b x b, f .x/ f .0/.
7 f b; b. - y
(1) b x b, f .y/ f .x/.
-
7. 115
, f .y/ f .0/. ,
(2) x b x b, f .x/ f .0/ f .y/.
(1) (2) f .y/ f .x/ x.
10 .
11
() xn C an1xn1 C C a0 D c;
n . m () c m c < m.
f .x/ D xn C an1xn1 C C a0 ( 10). 10 y f .y/ f .x/
x. m D f .y/. c < m, () , m. c D m, () y ., c > m. b b > y f .b/ > c.
f .y/ D m < c < f .b/. , 4, x y; b f .x/ D c, x ().
1, 2 3
(
). -
1, 2 3. ,
( 112)
.
. ,
8 1 1 0 1, 8 ,
. 1
, 112. ,
f .x/ D 1x2 2 :
x x2 D 2, f , - D 0. f 0; 2. - 2 ,
112.
1, 2 3,
. -
,
, , ,
1, 2 3 .
R
,
: 1,
, .
1 1
f .x/ D 0, , x a; b f .x/ D 0. , A x
a; b f a; x. 11, x
, x0 . A . f a b, A
-
116
a, b A.
( f a; b, 6-16.)
A a < < b. f ./ D 0, f ./ < 0 f ./ > 0.
f ./ < 0. , 6-3, f .x/ -
0 x ,
( 12)
A,
A. , f ./ < 0.
x
1 2 , f ./ > 0. 6-3,
f .x/ x
, ( 13).
A. ,
A. f ./ > 0. f ./ D 0 ...
,
R, -
.
A ( ,
D b), ., A x 0 x2 < 2.
p2 ,
A y >p2 , -
.
1 3
. ,
.
.
1. ,
,
. ( f
,
.)
(i) f .x/ D x2 .1; 1/.(ii) f .x/ D x3 .1; 1/.(iii) f .x/ D x2 R.(iv) f .x/ D x2 0;1/.
(v) f .x/ D
x2; x aaC 2; x > a .a 1; a C 1/. ( a > 1,
a 1 < aC 1 a.)
(vi) f .x/ Dx2; x < a
aC 2; x a a 1; a C 1. (
a > 1.)
(vii) f .x/ D
0; x
1=q; x D p=q p=q 0; 1.
-
7. 117
(viii) f .x/ D
1; x
1=q; x D p=q p=q 0; 1.
(ix) f .x/ D
1; x
1=q; x D p=q p=q 0; 1.
(x) f .x/ D
x; x
0; x 0; a.
(xi) f .x/ D sin2.cosx Cp
aC a2 / 0; a3.(xii) f .x/ D x 0; a.
2. f ,
n f .x/ D 0 x n nC 1.(i) f .x/ D x3 x C 3.(ii) f .x/ D x5 C 5x4 C 2x C 1.(iii) f .x/ D x5 C x C 1.(iv) f .x/ D 4x2 4x C 1.
3. x
(i) x179 C 1631C x2 C sin2 x
D 119.
(ii) sin x D x 1.
4. 3-7.
() n k 0, n k .
() a f m
f .x/ D .x a/mg.x/, g a . f n.
f k , ,
k .
n k .
5. f a; b f .x/ .
f ;
6. f 1; 1 x2C.f .x//2 D 1 x. ( .x; f .x//
.) f .x/ Dp1 x2 x, f .x/ D
p1 x2
x.
7. f .f .x//2 D x2 x;
8. f g , f 2 D g2, f .x/ 0 x. , f .x/ D g.x/ x, f .x/ D g.x/ x.
9. () f , f .x/ D 0 x D a, f .x/ > 0 x > a x < a.
f .x/ x a;() f f .x/ D 0 x D a,
, , f .x/ > 0 x > a f .x/ < 0
x < a. f .x/ x a;() x3 Cx2yCxy2 Cy3 x y
0.
-
118
10. f g a; b f .a/ < g.a/, f .b/ >
g.b/. f .x/ D g.x/ x a; b. ( , .)
11. f 0; 1 f .x/ 0; 1
x ( ). f .x/ D x x.
12. () 11 f
14 ( ). f
( ) .
1 4 () : g 0; 1
g.0/ D 0, g.1/ D 1 g.0/ D 1, g.1/ D 0, f .x/ D g.x/ x.
13. () f .x/ D sin 1=x x 0 f .0/ D 0. f 1; 1; f - 1; 1 , f 1; 1, .
() f , f . f .
() f .
14. f 0; 1, kf k jf j 0; 1.
() c kcf k D jcj kf k.() kf C gk kf k C kgk.
kf C gk kf k C kgk.() kh f k kh gk C kg f k.
15. limx!1
.x/=xn D 0 D limx!1
.x/=xn.
() , n , x
xn C .x/ D 0.() , n , y ynC
.y/ xn C .x/ x.: -
. ;
16. () f .a; b/ limx!aC
f .x/ D limx!b
f .x/ D 1. f .a; b/.
() a D 1 / b D 1.
17. f . y jf .y/j jf .x/j x.
18. f f .x/ > 0 x, limx!1
f .x/ D0 D lim
x!1f .x/. ( .) y
f .y/ f .x/ x.19. () f a; b, x .
f
1 5 .x; 0/ , y a; b
.x; 0/ .y; f .y// .x; 0/ .; f .// a; b. (. 15.)
-
7. 119
() , a; b
.a; b/.
() a; b R.
() () (), g.x/ .x; 0/
f . g.y/ g.x/ Cjx yj, g .
() x0 x1 a; b
.x0; 0/ .x1; f .x1// .x00; 0/ .x1
0; f .x10// x0
0; x10 a; b.
20. () f 0; 1 f .0/ D f .1/. n . x
f .x/ D f .x C 1=n/, 16 n D 4. : g.x/ D f .x/f .xC1=n/ g.x/ 0 x;
1 6 () 0 < a < 1, a 1=n n. f 0; 1
f .0/ D f .1/, f .x/ D f .x C a/ x.
21. () f R . : f .a/ D f .b/ a < b, f .x/ > f .a/ x .a; b/, f .x/ < f .a/ x
.a; b/. ; , f .a/,
f .a/, .a; b/
f .x/ < f .a/ x < a x > b.
() () -
f 0 2 ,
. :
f (
).
;
() f 3 .
, n , n
.
() , n , f
n . : n D 4, -, f .x1/ D f .x2/ D f .x3/ D f .x4/. , f .x/ > 0 x .x1; x2/, .x2; x3/, .x3; x4/,
f .x/ < 0 x .
-
8
.
7
,
.
A -
x
x a a A.
x A.
, A x
A (
A) , A
A.
-
, 7, ,
. ,
. , : A
ff .x/ W a x bg, f a; b, A .
R N
.
,
A D fx W 0 x < 1g:
A
A, . , 138
A, 2, 1 12, 1 1
4 1. , 1
A
, (,
),
.
x A
.1/ x A,
.2/ y A, x y.
, -
. ,
120
-
8. 121
, x y A,
x D y. ,
x y; y x , y x, x y
x D y. A. supremum A .
supA ( A)
lubA (least upper bound)
( ).
, -
, . A -
, x
x a a A.
x A. x
A
.1/ x A,
.2/ y A, x y.
A infimum A,
inf A:
glbA (greatest lower bound):
-
, ,
. ,
( 2).
A , A ,
A .
A ,
, ,
. A D ;, A . , x ;:
x y y ;
y ;. ;, ;. , ,
. -
:
(13) ( ) A
, A ;, A , A .
-
122
13 , -
.
,
. ,
-
Q. , A x -
x2 < 2, y
A
A. 13, -
1 ,
7.
7-1 f a; b f .a/ < 0 < f .b/, x
a; b f .x/ D 0.
7 x a; b f .x/ D0.
A, 1, :
A D
x W a x b; f a; x
:
A ;, a A , > 0 A x a x < a C 6-16, f a; b f .a/ < 0.
, b A , , > 0
x b < x b A 6-16, f .b/ > 0.
A
a < < b. f ./ D 0, f ./ < 0 f ./ > 0.
x
2 f ./ < 0. 6-3, > 0
f .x/ < 0 < x < C ( 2). , x0 A < x0 < ( A). f a; x0.
, x1 C , f x0; x1. f
a; x1, x1 A.
A f ./ < 0 .
, , f ./ > 0. > 0
f .x/ > 0 < x < C ( 3). x0 A < x0 < f a; x0, , f .x0/ > 0.
f ./ > 0 , f ./ D 0.
x
3 2 3 7 -
, 6-3
.
1 f a, > 0 f
.a ; aC / (. 4).
limx!a
f .x/ D f .a/, , " > 0, > 0 , x,
jx aj < , jf .x/ f .a/j < ".
-
8. 123
-
" ( ), , " D 1. > 0 , x,
jx aj < , jf .x/ f .a/j < 1.
, , jx aj < , f .x/ f .a/ < 1. : .a ; a C / f f .a/C 1.
4
f
.a ; a C /, , , f a.
limx!aC
f .x/ D f .a/, - > 0 f fx W a x < a C g, lim
x!bf .x/ D f .b/. -
( ),
.
7-2 f a; b, f a; b.
A D
x W a x b f a; x
:
A ; ( a A), A ( b), A .
A, -
, f ,
ff .y/ W a y xg, ( 5).
D b. , , < b. 1 > 0 f
. ; C /. A x0 A < x0 < . f a; x0. , x1 < x1 < C,
-
124
f x0; x1, f a; x1,
x1 A, A.
5
D b. : a < [ f
. ; C /] a D , > 0 f fx W a x < aC g.
f
a; x x < b, f a; b.
, .
> 0 f fx W b < x bg. x0 A b < x0 < b. f a; x0 x0; b, f a; b.
, .
7-3 f a; b, y a; b
f .y/ f .x/ x a; b.
f a; b,
f .x/ W x a; b
. ;, . f .x/ x a; b D f .y/ y a; b.
f .y/ y a; b. g
g.x/ D 1 f .x/ ; x a; b
a; b, 0.
,
f .x/ W x a; b
-
" > 0 x a; b f .x/ < ".,
" > 0 x a; b g.x/ > 1=".
g a; b, -
.
, N
. N
. ,
. , R
. , ,
x n, nC 1 ( x ).
, : , -
,
. ,
, ( )
, , N ,
-
8. 125
. 112
(. [14] ),
Q. 13, .
2 N .
N . N ;, N.
n n N.
,
nC 1 n N, nC 1 N n N.
1 n n N,
1 N, .
2 ( -
) .
3 " > 0 n 1=n < ".
1=n " n N. n 1=" n N. 1=" N,
2.
6 3
. , 3 -
, ,
, .
, ,
, . , -
.
. , .
1. ( )
. -
( -
).
(i)
1
nW n N
.
(ii)
1
nW n Z n 0
.
(iii) fx W x D 0 x D 1=n n Ng.(iv) fx W 0 x
p2 x g.
(v) fx W x2 C x C 1 0g.(vi) fx W x2 C x 1 < 0g.(vii) fx W x < 0 x2 C x 1 < 0g.
-
126
(viii)
1
nC .1/n W n N
.
2. () A ; . A x x A. A ;, A , sup.A/ A.
() A ; , B - A. B ;, B , supB A.
3. f a; b f .a/ < 0 < f .b/.
() 7-1 x a; b
f .x/ D 0. x a; b f .x/ D 0, ;
x a; b f .x/ D 0. ( f .)
() 7-1 A D
x W a x b f a; x
.
7-1, B D
x W a x b f .x/ < 0
.
x a; b f .x/ D 0 ; A B .
4. () f a; b f .a/ D f .b/ D 0. f .x0/ > 0 x0 a; b. c
d a c < x0 < d b f .c/ D f .d/ D 0, f .x/ > 0 x .c; d /. :
.
() f a; b f .a/ < f .b/.
c d a c < d b f .c/ D f .a/ f .d/ D f .b/ f .a/ < f .x/ < f .d/ x .c; d /.
5. () y x > 1. k x < k < y. : l
l x, l C 1.() x < y. r
x < r < y. : 1=n < y x, ny nx > 1. (: () () ;)
() r < s .
r s. : ,
0 1.
() x < y.
x y. :
() ().
6. A A. , 5
.
() , f f .x/ D 0 x A, f .x/ D 0 x.
() , f g f .x/ D g.x/ x A, f .x/ D g.x/ x.
() f .x/ g.x/ x A, f .x/ g.x/ x. >;
-
8. 127
7. , f f .x C y/ D f .x/ C f .y/ x y, c f .x/ D cx x. ( - -
). : f
f .xCy/ D f .x/Cf .y/ x y, , -
(. [7]
).
8. f f .a/ f .b/ a < b ( 6).
() limx!a