TALLER SOBRE TRIANGULOS Y CONGRUENCIA

EJERCICIOS PROPUESTO SOBRE TRIÁNGULOS

1. Resuelva utilizando los teoremas y justificando todos los pasos:

1. Si b =20 cm.; c =10 cm.; d = ?

2.

3. Si f =13cm.; d =20 cm. a = ?

4.

5. Si d =2c; b = ?

6.

7.

2. Encuentra la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de los otros dos son:

a) 67° y 47° b) 22° y 135° c) a° y 2a°

3. Determina el valor de x si los ángulos interiores de un triángulo son x, 2x y 3x.

4. En un triángulo isósceles, el ángulo exterior del vértice mide 70º. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de la base?

5. El ángulo CAB de un triángulo ABC cualquiera mide 52º; si el ángulo ABC es tres veces mayor que el ángulo ACB. ¿Cuánto mide el ángulo ACB?

6. En un triángulo rectángulo los ángulos agudos están en la razón de 5:4. ¿Cuánto miden estos ángulos?

7. En un triángulo isósceles, un ángulo basal tiene 18,5º más que el ángulo del vértice. Calcula los ángulos interiores del triángulo.

8. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 3:4:5. ¿Cuánto miden estos ángulos?

9. En un triángulo ABC cualquiera, el ángulo CAB tiene 15º más que el ángulo CBA y éste 12º más que el ángulo ACB. Determina el valor de los ángulos exteriores de este triángulo.

10.En un triángulo isósceles, la suma de uno de los ángulos exteriores de la base con el ángulo exterior del vértice es 243ª. Calcula la medida del ángulo interior del vértice.

11.En un triángulo un ángulo mide 47º y el segundo tiene 17º más que el tercero. Calcula la medida de los ángulos interiores del triángulo.

12.El ángulo ABC de un triángulo ABC cualquiera mide 56º. Si los ángulos CAB y ACB están en la razón 3:2, ¿cuál es el valor del ángulo ACB?

13.En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos tiene 20º más que el otro. ¿Cuánto miden los ángulos agudos?

14.En un triángulo cualquiera, un ángulo interior tiene 20º más que otro, pero 35º menos que el tercero. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de este triángulo?

15.En un triángulo cualquiera los ángulos exteriores están en razón de 2:3:4. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de este triángulo?

16.En un triángulo uno de los ángulos es el 50% de uno de los otros dos y el 33 1/3 % del tercero. Determina la medida del ángulo menor de este triángulo.

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

EJEMPLO 1Si , 1=2; demostremos que ABD CBD

Demostración: ABD=DBC=90º (definición de perpendicularidad).

= (lado común); 1=2 (dado) ABDCBD (A-L-A)

EJEMPLO 2 Sea DA AB; CB AB; y 1=2. Demostremos que ABD ABC

Demostración: DAB=CBA=90º (definición de ); = (lado común)1=2 (dado) ABD ABC (A-L-A)

EJEMPLO 3Si AC = AD y = 2. Demostremos que C = D

Solución: = (dado)

1 = 2 (dado)AB = AB (Lado común)

ABC ABD (L-A-L) C = D (e.c s. s)

EJEMPLO 4: Digamos qué triángulos son congruentes, indicando el criterio.

Solución: (Suma de ángulos interiores en un triángulo) es el otro ángulo

(Ley transitiva)

Si

Si

(Suma de ángulos interiores en un triángulo)

(L-A-L)

(Ley transitiva)

EJEMPLO 5Hipótesis: Tesis: es isósceles

Solución: (Hipótesis)

isósceles

(Suplementos de

ángulos iguales)

(Hipótesis); (L-A-L) (Elementos correspondientes

en triángulos congruentes (e.c. . )); isósceles.

EJEMPLO 6Hipótesis: ; es trisecadoTesis:

Solución: (por trisecación)

(Hipótesis)

Isósceles

(suplementos de ángulos

iguales).

(A-L-A)

(Elementos correspondientes en triángulos congruentes).

EJEMPLO 7 De acuerdo con la figura, donde y son alturas del triángulo , y . Demostremos que

Solución:

(Definición de altura).

(dado)

(opuestos por vértice)

(A-A-L)

(Elementos correspondientes

en triángulos congruentes

EJEMPLO 8 En la figura y . Demostremos que

Solución: (dado)

(ángulo común)

(dado) (L-A-L)

(Elementos correspondientes en triángulos congruentes).

EJEMPLO 9 En la figura, y

. Demostremos

que

Solución: (dado) isósceles

(ángulo común)

(dado)

(L-A-L)

(Elementos

correspondientes en triángulos congruentes).

EJEMPLO 10

Hipótesis: biseca a ; ;

Tesis:

Solución: (definición de perpendicularidad)

( biseca a ) (opuestos por el vértice)

(A-L-A) (Elementos correspondientes en

triángulos congruentes).

EJEMPLO 11

Hipótesis: bisectriz;

Tesis:

Solución: ( bisectriz) (perpendicularidad)

(lado común) (A-L-A)

(Elementos correspondientes en triángulos congruentes).

EJEMPLO 12 Hipótesis: 1 = 2; biseca Tesis: C = E

Solución: (Hipótesis)

(suplementos de

ángulos iguales) (opuestos por el vértice)

( biseca a ) (A-L-A)

(Elementos correspondientes en triángulos congruentes).