Sistema de

Referência y

z

x Equador α

δ

γ

Precessão e Nutação

R. Boczko IAG-USP

Adaptado por R. Teixeira

Bojo Bojo

Terra esférica

Terra achatada

Interação gravitacional Terra bojuda x corpos do SS

Plano do equador ε

PN

PS

O

Terra

torques Lua ~ 2.2Sol ~ 105planetas

Interação Lua/Sol x Terra bojuda

F = interação Lua/Sol com a componente esférica

Terra 3 componentes: esfera isolada e 2 bojos

F1 = interação Lua/Sol com o bojo B1

F2 = interação Lua/Sol com o bojo B2

Plano do equador ε

F F1 F2

PN

PS

B1 B2 O

Terra

Plano do equador ε

PN

PS

B1 B2

O

Torque tende a girar o plano do equador em direção ao plano da eclíptica

Deslocamento do eixo de rotação (direção momento angular)

ω Rotação // PN

ω Precessão ∈ Plano do equadorω Rotação ⊥ ω Precessão

K não muda o módulo

de ω Rotação mas apenas sua direção, ou seja a posição do

PN Plano do equador

δ

PN

K

Sol ω Rotação

ω Precessão

ω' Rotação

ω' Rotação = ω Rotação + ω Precessão

Nova velocidade de rotação da Terra

torque perpendicular ao momento angular

alteração apenas em sua direção

deslocamento do eixo de rotação e portanto dos polos celestes,

equador e equinócios

Precessão luni-solar

longo período T ~ 26 mil anos

movimento resultante dividido em movimentos mais simples

Nutação

curtos períodos T < 19 anos

Precessão luni-solar

PN

γEquador

γ'

PN'

Precessão luni-solar

Precessão luni-solar

Período da precessão ≅ 26.000 anos

Hoje

PN

PN

PN

PN

Daqui a 13 mil anos

Retrogradação dos equnócios

Eixo de rotação

Equador γ

Ω

PN

PS

i ^

_

`

a b c d

e f

g h

Eixo de rotação

Equador γ

Ω

PN

PS

i ^

_

` a b c

d

e

f g h

Ponto vernal hoje

Ponto vernal no início da Astronomia

Hipóteses Timocharis errou.

Spica se deslocou de 2º em 144 anos.

O ponto Vernal retrocedeu 2 º em 144 anos.

γ ’

174º

Retrogradação do Equinócio segundo Hiparcos (129 a .C.)

γ

Terra

Spica

172º

Timocharis: 172º (273 a .C.) Hiparcos : 174º (129 a .C.)

Sol Eclíptica

Estrelas Polares

2000

0

- 2000

- 4000

Dragão

Ursa Menor

4000

6000

8000

Cefeidas

γβ

10000

12000

14000

Cisne

Lira

δ

16000

18000

20000

Hércules

ι

τ

PNE

Trajetória do PN ao longo do tempo visto por um observador no HN

PN

Equador

PN

γ

γ'

PN'

Movimento anual

aparente do Sol

Período de Translação (γ→γ) = 365d 06h 09m 09s

Ano Trópico (γ→γ') = 365d 05h 48m 46s

Ano Solar e Ano Sideral

Nutação

PN

PNE

Nutação (Bradley, 1748)

Equador

PN

γ

γ'

PN'

Movimento anual

aparente do Sol

Precessão e nutação

00

3600

Long

itude

ecl

íptic

a de

um

a es

trel

a

Tempo 0 26.000

anos

Efeito da precessão (variação de longo período)

Efeito da nutação (variações de curto período)

3600

00

Precessão planetária

Precessão planetária

F

F

Planeta

Terra

Plano da eclíptica i Novo plano da eclíptica

Deslocamento do plano da eclíptica devido às forças gravitacionais dos demais planetas

sobre o plano orbital da Terra

Sol

Precessão luni-solar e planetária

Equador

PN

γ

γ'

PN'

Movimento anual

aparente do Sol

Eclíptica

Variação (aproximada) das coordenadas de

uma estrela devido às precessões

combinadas

Precessão aproximada

Equador

PN

γ0

γ

PN'

Movimento anual

aparente do Sol

Eclíptica

Equadoro

Equador1

γo

γ1 γ

ε0

ε1 ε

Q

Qo

λ'

p

m

n ψ to

t1 = to + 1

Aproximação plana

m = 3,07234 s/ano

n = 20,0468 "/ano

Fim

Equadoro

Equador1

to

t1

Precessão aproximada

Equador

PN

γ0

γ

PN'

Movimento anual

aparente do Sol

Eclíptica

γo

γγ1

ε0

ε1 ε

Q

Qo

λ'

p

m

n n ψ'

Aproximação plana

Componentes da precessão

Equadoro

Equador1 γ1

ε0

ε1 ε

γo

Qo

λ'

p

m

γ

Q

n n ψ' to

t1 = to + 1

Aproximação plana

m = precessão geral anual em ascensão reta n = precessão geral anual em declinação p = precessão geral anual em longitude ψ' = precessão luni-solar anual λ' = precessão planetária anual no equador

ε0 = obliqüidade da eclíptica na época to ε1 = obliqüidade da eclíptica na data t1 = to + 1 ano

Correlações entre os Componentes da precessão

Equadoro

Equador1

γo

γ1 γ

ε0

ε1 ε

Q

Qo

λ'

p

m

n n ψ' to

t1 = to + 1

Aproximação plana

p = ψ' - λ' . cos ε1

m = ψ' . cos ε1 - λ'

n = ψ' . sen ε1

m = precessão geral anual em ascensão reta n = precessão geral anual em declinação p = precessão geral anual em longitude ψ' = precessão luni-solar anual λ' = precessão planetária anual no equador

Sistema Heliocêntrico

Lua

Mer Vên

Mar

Júp

Sat Ura

Net

Ter

Sol

Órbitas projetadas no

plano da eclíptica

Rotação vista do PNE

Variação nas coordenadas

devido à precessão

Equador

Eclíptica1

PN

γ0

γEclíptica

α0

δ0

Δα = α - α0

Δδ = δ - δ0

v  Coordenadas na época = α0 , δ0 v  Coordenadas na data = α , δ

PN'

α

δ

Rotação dos

eixos (Método 1)

Equador1

Eclíptica1

PN

γEclíptica γ1

Equador0

z0

γ0

z

x0 y0 z0

Rz(-m) . Ry(n) = x y z

Equadoro

Equador1

γo

γ1

γ

ε0

ε

Q m

n to

t1 = to + 1

x0

x1 x

PN' z1

y1

x1

y x x0

y0

y0

Mudança da obliquidade da eclíptica

Equador

PN1

γ

Movimento anual

aparente do Sol

εmín= 21,50

t1 = 0

Equador

PN2

γ

Movimento anual

aparente do Sol

εmáx= 24,50

t2 = 20.500 anos Período ≅ 41.000 anos

εAtual ≅ 23,50

Variação da obliquidade da eclíptica com o tempo

k anos

o

o

o Passado Presente

Obl

iqui

dade

da

eclíp

tica

Atual

Nutação

Nutação (Bradley, 1748)

Ascensão Reta

Dec

linaç

ão

1900 1918

1937 1955

1974

1991

PN PNE

γ

Ω

Equador α

δ

α

δ γ Dragão

Tprincipal= 18,6 anos

Nutação

PN

PNE

Nutação É a flutuação dos planos de referência em torno de um

plano médio. Costuma-se dizer que a

nutação é a parte oscilatória de pequeno período.

Componentes da nutação

Equador médio da data t

Equador verdadeiro da data t

γVerdadeiro

γMédio Δψ

εMe´dio

εVerdadeiro Δε

Δψ = nutação em longitude

Δε = nutação em obliqüidadade Δε = εVerdadeiro - εMédio

Rotação dos eixos no caso da

nutação

Equador verdadeiro

γM

γV Eclíptica

Equador médio εM

εV Δψ x0

y0

x1

y1

z1

x2

y2

z2 PN'

PN

z0

y

x

z

x0 y0 z0

Rx(- εV) . Rz(-Δψ) . Rx(εM) = x y z

Elementos Orbitais da Lua

Eclíptica NA

PNE

ND

Eixo da eclíptica

5,20

Perigeu Lunar

Tp

Ωγ

T 5,20 Eclíptica

Plano

orbital da Lua

Sol Perigeu Solar

ϖSol

Sol

λSol

Época 1900 jan

12h UT Data t0 t1

Séculos julianos t = (t1-t0) / 36525

Lua

T

Δε ≅ (9,2100"+0,00091" t) cos Ω - (0,0904"-0,0004" t) cos 2Ω

+ 0,0024" cos (2 ωLua+ Ω) + 0,0002" cos (2 ϖ Sol- Ω) + 0,0002" cos (2 ωLua+ Ω) - 0,00004" cos (2 ωLua- Ω)

+ (0,5522" - 0,00029" t) cos (2 λSol) + ...

Nutações em longitude e em obliquidade Δψ ≅ - (17,2327"+0,01737" t) sen Ω

+ (0,2088"+0,00002" t) sen 2Ω + 0,0045" sen (2 ωLua+ Ω)

- 0,0010" sen 2 ωLua - 0,00004" sen (2 ϖSol- Ω)

- 0,0003" sen (2 ωLua - Ω) + ...

Equador médio da data t

Equador verdadeiro da data t

γVerdadeiro

γMédio Δψ

εMédio

εVerdadeiro Δε

Δψ = nutação em longitude Δε = nutação em obliqüidadade Δε = εVerdadeiro - εMédio

Precessão PN

PN

Hoje PN

PN

Daqui a 13 mil anos

Período da precessão ≅ 26.000 anos

Constelações Polares

2000

0

- 2000

- 4000

Dragão

Ursa Menor

4000

6000

8000

Cefeidas

γβ

10000

12000

14000

Cisne

Lira

δ

16000

18000

20000

Hércules

ι

τ

PNE

Equinócio da primavera boreal ( γ )

Equador

PN

γ

Movimento anual

aparente do Sol

Precessão dos equinócios (luni-solar)

Equador

PN

γ

γ'

PN'

Movimento anual

aparente do Sol

ψ ≅ 50’’/ano

λ, α e δ variam

β constante

ψ  = precessão luni-solar em longitude.

Hipóteses Timocharis errou.

Spica se deslocou de 2º em 144 anos.

O ponto Vernal retrocedeu 2 º em 144 anos.

γ ’

174º

Retrogradação do Equinócio segundo Hiparcos (129 a .C.)

γ

Terra

Spica

172º

Timocharis: 172º (273 a .C.) Hiparcos : 174º (129 a .C.)

Componentes da nutação

Equador médio da data t

Equador verdadeiro da data t

γVerdadeiro

γMédio Δψ

εMe´dio

εVerdadeiro Δε

Δψ = nutação em longitude Δε = nutação em obliqüidadade

Termo Principal

Δψ ≅ 9’’ Δε ≅ 7’' Τ ≅ 18anos

λ, α e δ variam β constante

Precessão planetária

Precessão planetária

Sol

F

F

Planeta

Terra

Plano da eclíptica i Novo plano da eclíptica

Deslocamento da eclíptica devido à interação gravitacional dos

planetas com a Terra

Deslocamento do ponto vernal sobre o equador e variação

da obliquidade da eclíptica

Precessão planetária λ' ≅ 0.10’’/ano Variação da obliquidade π ≅ 0.50’’/ano

Variações nas coordenadas para pequenos intervalos de tempo

devido à precessão Δδ = [ n . cos α0 ] [ t - t0 ]

Δα = [ m + n . sec α0 . tan δ0 ] [ t - t0 ]

Valores aproximados de m e de n:

m = 3,07234 s/ano

n = 20,0468 "/ano

Precessão luni-solar e planetária

Equador

PN

γ

γ'

PN'

Movimento anual

aparente do Sol

Eclíptica

Variação (aproximada) das coordenadas de

uma estrela devido à precessão

Componentes da precessão

Equadoro

Equador1

γo

γ1 γ

ε0

ε1 ε

Q

Qo

λ'

p

m

n ψ to

t1 = to + 1

Aproximação plana

m = precessão geral anual em ascensão reta n = precessão geral anual em declinação p = precessão geral anual em longitude ψ' = precessão luni-solar anual λ' = precessão planetária anual no equador

ε0 = obliqüidade da eclíptica na época to ε1 = obliqüidade da eclíptica na data t1 = to + 1 ano

Correlações entre as Componentes da precessão

Equadoro

Equador1

γo

γ1 γ

ε0

ε1 ε

Q

Qo

λ'

p

m

n n ψ' to

t1 = to + 1

Aproximação plana

p = ψ' - λ' . cos ε1

m = ψ' . cos ε1 - λ'

n = ψ' . sen ε1

Variação nas coordenadas

devido à precessão

Equador

Eclíptica1

PN

γ0

γ

PN'

Eclíptica α0α

δ0δ

Δα = α - α0

Δδ = δ - δ0

•  Coordenadas na época = α0 , δ0 •  Coordenadas na data = α , δ

Variação das coordenadas devido à nutação

Δα = (cos ε + sen ε . sen α . tan δ ) . Δψ - cos α . tan δ . Δε

Δδ = sen ε . cos α . Δψ + sen α . Δε

Precessão

Sentido correto

conforme visto da

Terra

Sentido errado

Sentido errado

Exemplos errados de representação da precessão

Torque

F

Força aplicada B

raço

da a

lava

nca

Torque ≡ Força x Braço

Porca &

Parafuso

Cha

ve

Vetor Torque com F ⊥ r

r

F O

T

T ≡ r ∧ F ⊥

T = r . F

| T | = | r | . | F |

Acelerações agentes na Terra bojuda

Plano do equador ε

F

C

F1 F2

C1 C2

PN

PS

G1 G2 O

F = aceleração gravitacional entre o Sol e o centro da Terra suposta esférica

C = aceleração centrífuga devido à translação da Terra em torno do Sol

F1 < F < F2

C1 > C > C2

F = G.M / d2

C = ω2.d

Terra

Acelerações e resultantes agentes na Terra bojuda

Plano do equador ε

F

C

F1 F2

C1 C2

PN

PS

G1 G2 O F1 < F < F2

C1 > C > C2

Terra

Agentes

Plano do equador ε

R2 = F2 - C2

R1 = C1 - F1

PN

PS

G1 G2 O

Resultantes

F1 < F < F2

C1 > C > C2

Resultantes e componentes agentes na Terra bojuda

Plano do equador ε

R2 = F2 - C2

R1 = C1 - F1

PN

PS

G1 G2 O

F1 < F < F2

C1 > C > C2

Resultantes

Plano do equador

εR2

G1 G2 O H1

H2 V1 R1

V2

Componentes

H = componente equatorial V = componente polar

Alongar o equador

Efeito das componentes

equatoriais Plano do equador

ε

PN

PS

G1 G2 O

H1 H2

PN

PS

G1 G2 O

Achatar os pólos

Efeito das componentes

polares

Plano do equador

ε

PN

PS

G1 G2

O

V1 V2

Torque que tende a girar o plano do

equador em direção ao plano da eclíptica

Plano do equador ε

PN

PS

G1 G2 O

V1

V2

Torque

Precessão PN

PN

Hoje PN

Período da precessão ≅ 26.000 anos

PN

Daqui a 13 mil anos

Torques causadores da precessão

Torques agentes na Terra

Plano do equador

δ

γο

PN

αα- 90

K

Sol

K = torque exercido pelo Sol sobre a Terra suposta rígida

K ∝ Ko . sen 2δ

Vetor Torque agente na Terra em coordenadas

equatoriais

Plano do equador

δ

γο

PN

αα- 90

K

Sol

K = torque exercido pelo Sol

sobre a Terra suposta rígida

x

y

z

K ∝ Ko . sen 2δ

K = Ko . sen 2δ cos (α- 90) sen (α- 90)

0

x y z

K = Ko . sen 2δ sen α -cos α

0

x y z

Como sen 2δ = 2 sen δ . cos δ

K = Ko . 2 sen δ sen α . cos δ -cos α . cos δ

0

x y z

Relacionar coordenadas equatoriais e eclípticas do

Sol γ

Ω

PN

PNE

Equador

Eclíptica

l

α

δε

ε

sen δ = sen ε . sen l

cos l = cos δ . cos α

- cos δ . sen α = - cos ε . sen l

K = Ko . 2 sen δ sen α . cos δ -cos α . cos δ

0

x y z

Vetor Torque agente na Terra em coordenadas

eclípticas

Plano do equador

δ

γο

PN

αα- 90

K

Sol

K = torque exercido pelo Sol

sobre a Terra suposta rígida

x

y

z

K = Ko . 2 sen δ sen α . cos δ -cos α . cos δ

0

x y z

K = Ko . 2 sen ε . sen l cos ε . sen l

- cos l 0

x y z

K = Ko . 2 sen ε cos ε . sen2 l -cos l . sen l

0

x y z

Vetor Torque agente na Terra em coordenadas

eclípticas

K = torque exercido pelo Sol

sobre a Terra suposta rígida

K = Ko . 2 sen ε cos ε . sen2 l -cos l . sen l

0

x y z

Usando: sen2 l = (1- cos 2l) / 2 sen l . cos l = (sen 2l) / 2

K = 2 Ko . sen ε cos ε . (1- cos 2l) / 2

- (sen 2l) / 2 0

x y z

K = Ko . sen ε (1- cos 2l) . cos ε

- sen 2l 0

x y z

Plano do equador

δ

γο

PN

αα- 90

K

Sol

x

y

z

Efeitos dos torques Como:

ω Rotação // PN

ω Precessão ∈ Plano do equadorω Rotação ⊥ ω Precessão

K não muda o módulo

de ω Rotação mas apenas sua direção, ou seja a posição do

PN Plano do equador

δ

γο

PN

αα- 90

K

Sol ω Rotação

ω Precessão

ω' Rotação

ω' Rotação = ω Rotação + ω Precessão

Nova velocidade de rotação da Terra