SISTEMA DIÉDRICO

Abatimientos

Ejercicio Nº 1.- Hallar las proyecciones del triángulo ABC dado en verdadera magnitud y que esta situado en el plano α

1º Hallamos las proyecciones A’ y A’’ del punto abatido (A). Por (A) trazamos una paralela y una perpendicular a la LT, con centros en O y radio O-1 trazamos un arco de circunferencia que nos determina el

punto A’’ sobre la traza α2. Por A’’ trazamos la línea de referencia que corta a la paralela por (A) y determina A’.

2º Se repite el mismo procedimiento con el punto (B). Por (B) trazamos una paralela y una perpendicular a la LT, con centros en O y radio O-2 trazamos un arco de circunferencia que nos determina el punto B’’ sobre la

traza α2. Por B’’ trazamos la línea de referencia que corta a la paralela por (B) y determina B’.

3º Se repite el mismo procedimiento con el punto (C). Por (C) trazamos una paralela y una perpendicular a la LT, con centros en O y radio O-3 trazamos un arco de circunferencia que nos determina el punto C’’

sobre la traza α2. Por C’’ trazamos la línea de referencia que corta a la paralela por (C) y determina C’.

4º Unimos los puntos A’, B’ y C’ y obtenemos la proyección vertical, si unimos las proyecciones A’’, B’’ y C’’ obtenemos la proyección horizontal.

Ejercicio Nº 2.- Hallar las proyecciones del triángulo ABC dado en verdadera magnitud y que esta situado en el plano α, que pasa por la LT.

1º Hallamos la 3ª proyección del plano, por medio del punto P’-P’’ hallamos la 3ª proyección P’’’

y seguidamente la traza α3 del plano.

L Ta1

(A)(B)

(C)

P''

P'

a2

P'''

3

2º Si abatimos el plano α sobre el PH obtendríamos los puntos (A), (B) y (C), por lo tanto la distancia de la LT al punto (A) será igual a la que existe entre O y A’’’. Por (A) trazamos una paralela a la LT que determina el punto 1, llevamos la distancia O-1 sobre la LT y obtenemos el punto 2, con centro en O trazamos un arco y obtenemos el punto A’’’. O-1=O-2=OA’’’

3º A partir de la 3ª proyección A’’’obtenemos las proyecciones A’ y A’’. Por A’’’ trazamos una paralela y obtenemos la proyección vertical A’’, si trazamos una perpendicular a la LT y después un arco de circunferencia hasta la perpendicular y seguidamente una paralela se obtiene la proyección horizontal A’.

4º Realizamos la misma operación con el punto (C), que realizamos con (A) y obtenemos C’’’.

5º De la misma forma que determinamos A’- A’’, se obtiene C’’ y C’.

6º Realizamos la misma operación con el punto (B) y obtenemos B’’’. Vemos que también podíamos trazar un arco de centro O.

7º De la misma forma que determinamos A’- A’’ y C’- C’’, se obtiene B’ y B’’. Unimos las proyecciones A’-B’-C’ y A’’-B’’-C’’ y obtenemos las proyecciones del triangulo.

Ejercicio Nº 3.- Conociendo la proyección horizontal de un cuadrilátero ABCD situado en un plano α perpendicular al 1º bisector, hallar su proyección vertical y su verdadera magnitud.

1º Como el plano α es perpendicular al 1º bisector sus trazas serán simétricas respecto a la LT, vemos que la traza α1 pasa por el lado A’-D’.

2º Como los vértices A’ y D’ se encuentran sobre la traza α1 las proyecciones verticales A’’ y D’’ de encontraran sobre la LT.

3º Como la proyección horizontal C’ se encuentra sobre la LT la proyección vertical estará sobre α2, se prolonga la traza vertical y determinamos la proyección vertical C’’.

4º Para hallar la proyección vertical B’’ utilizamos una frontal del plano α, por B’ trazamos una

paralela a LT que corta en D’ a la traza vertical α2 por D’ una perpendicular a LT y por D’’ una

paralela a la traza vertical α2 que corta a la perpendicular a LT trazada desde B’ en el punto B’’.

5º Unimos las proyecciones verticales A’’-B’’-C’’-D’’ y obtenemos la proyección vertical del cuadrilátero.

6º Vamos abatir sobre el PH por lo que α1 será el eje de abatimiento o charnela, los puntos A’ y D’ serán puntos dobles al estar sobre el eje por lo que (A) y (D) también estarán sobre el eje.

7º Para hallar el punto (C ) por C’ trazamos una perpendicular y una paralela al eje de abatimiento sobre la paralela llevamos la cota de C en este caso la distancia C’-C’’ punto 1 y con centro donde la perpendicular corta el eje trazamos una arco con radio D’-1 que determina el punto (C).

8º El punto B’-B’’ como tiene la misma cota que el punto C’-C’’ tiene que estar sobre una paralela al eje trazada por (C ) que corta a la perpendicular en (B). Se unen (A)-(B)-(C)-(D) y se obtiene el cuadrilátero en verdadera magnitud.

Ejercicio Nº 4.- Un trapecio rectángulo ABCD está contenido en el plano α y en el primer diedro. Sabemos que C'-D' es la proyección horizontal de la base mayor, que la altura BC=20 mm y que la base menor AB=22 mm. Determina las proyecciones diédricas de dicho trapecio.

1º Abatimos el plano α sobre el PH. Para ello determinamos un punto sobre la traza α2, en este caso como D’

esta sobre la LT la proyección vertical D’’ se encuentra sobre la traza α2, por D’ trazamos una perpendicular

a la LT que nos determina D’’, otra perpendicular a la traza α1 con centro en el punto O y radio O-D’’

trazamos un arco de circunferencia que corta a la perpendicular a la traza α1 en el punto (D), que es el punto

abatido y por lo tanto si unimos con O nos determina la traza (α2) abatida.

2º Hallamos la proyección vertical C’’ del punto C por medio de la horizontal de plano h’-h’’.

3º Abatimos el punto C sobre el PH tomando como eje la traza α1, por C’ trazamos una paralela y una perpendicular al eje, sobre la paralela llevamos la cota c de C’’, con centro en 1 trazamos un arco que corta a la perpendicular en el punto (C) que resulta el punto abatido de C.

4º En el plano abatido construimos el trapecio rectángulo en C con los datos dados BC=20mm y BA=22mm.

5º Aplicamos una afinidad ortogonal sobre el eje α1 hallamos los puntos A’ y B’. Prolongamos el lado (A)-(D) hasta que corte al eje, este punto del eje se une con D’, por (A) trazamos una perpendicular al eje que corta a la recta anterior en el punto A’, se repite el proceso con el punto (B) y obtenemos B’.

6º Trazamos por A’ y B’ unas horizontales de plano y determinamos las proyecciones A’’ y B’’ , se unen las proyecciones verticales A’’-B’’-C’’-D’’ y obtenemos la proyección del trapecio .

Ejercicio Nº 5.- Hallar las proyecciones de la figura dada.

1º Hallamos la traza vertical α2 del plano, por el punto (1) trazamos una perpendicular a la traza α1 que corta a la LT en el punto 1’ por este trazamos una perpendicular a la LT, con centro en el punto O y radio O-(1) trazamos un arco de circunf. que corta a la perpendicular en el punto 1’’ que es un punto de la traza se une

este con O y obtenemos la traza vertical α2 .

2º Hallamos las proyecciones de los puntos B’ y C’ mediante la paralela al eje de abatimiento α1 que corta a

la traza abatida (α2 ), por el punto de corte se traza una perpendicular a α1 que corta a la LT, por este punto

de corte otra paralela al eje de abatimiento α1. Por los puntos (B) y (C) trazamos perpendiculares al eje de

abatimiento α1 que cortan a la paralela en los punto B’ y C’.

3º Se repite el mismo procedimiento para el punto (A) y hallamos A’.También podíamos aplicar la afinidad que existe entre la fig. abatida y la proyección horizontal.

4º Procedemos igual para los puntos (D) y (E), que nos determinan las proyecciones D’ y E’. También podíamos aplicar la afinidad que existe entre la fig. abatida y la proyección horizontal.

5º Hallamos las proyecciones verticales A’’, B’’, C’’, D’’ y E’’ de los vértices del pentágono. Por medio de las horizontales de plano que pasan por las proyecciones horizontales de los mismos.

6º Unimos las proyecciones verticales A’’, B’’, C’’, D’’ y E’’ de los vértices del pentágono y obtenemos las proyecciones solicitadas.

Ejercicio Nº 6.- Dibujar las proyecciones del triángulo (A) (B) (C ) contenido en el plano α.

1º Abatimos la traza α2 del plano. Por un punto 1’’ de la traza trazamos una perpendicular a la LT y con centro en O trazamos un arco de circunferencia con radio O-1’’, por el pie de la perpendicular

punto 1’ trazamos una perpendicular a α1 que corta en (1’’) al arco que es un punto de la traza abatida.

2º Hallamos las proyecciones horizontales de (A) y (B), dado que el lado es paralelo al eje de abatimiento α1 prolongamos este hasta que corte a la traza abatida en el punto 2 por este trazamos una perpendicular a la

traza α1 que corta en 3 a la LT y por este una paralela a la LT, por los puntos abatidos trazamos

perpendiculares a la traza α1 y hallamos los puntos A’ y B’.

3º Prolongamos (C)-(B) hasta que corte en 4 al eje de abatimiento α1 por el punto 4 trazamos la recta 4-B’ y la prolongamos hasta que corte a la perpendicular trazada por (C) en el punto C’. También se podía seguir con el método usado para A’ y B’.

4º Unimos A’, B’ y C’ y obtenemos la proyección horizontal del triángulo.

5º Por medio de horizontales de plano que pasan por las proyecciones A’, B’ y C’ de los vértices obtenemos las proyecciones verticales A’’, B’’ y C’’.

6º Unimos A’’, B’’ y C’’ y obtenemos la proyección vertical del triángulo.

Ejercicio Nº 7.- Hallar la proyección horizontal y la verdadera magnitud del cuadrilátero contenido en el plano dado.

1º Hallamos las proyecciones horizontales de los puntos dados por medio de las frontales de plano que pasan por los vértices A’’, B’’, C’’ y D’’.

2º Hallamos el punto (B) abatido sobre el PH. Por B’ trazamos una paralela y una perpendicular al eje de

abatimiento α1, sobre la paralela llevamos la cota de B y haciendo centro en la intersección de la

perpendicular y α1 trazamos un arco de circunferencia que corta a la perpendicular en (B) que resulta el punto abatido .

3º Para hallar el punto (A), unimos A’ con B’ hasta que corte al eje de abatimiento unimos este punto con (B), por A’ trazamos una perpendicular al eje que corta la recta anterior en el punto (A). Entre la figura abatida y su proyección en este caso la horizontal existe una relación de afinidad ortogonal.

4º Para hallar el punto (D), unimos A’ con D’ hasta que corte al eje de abatimiento unimos este punto con (A), por D’ trazamos una perpendicular al eje que corta la recta anterior en el punto (D).

5º Para hallar el punto (C), unimos B’ con C’ hasta que corte al eje de abatimiento unimos este punto con (B), por C’ trazamos una perpendicular al eje que corta la recta anterior en el punto (C).

6º Unimos los puntos (A), (B), (C), (D) y obtenemos el cuadrilátero abatido.

Ejercicio Nº 8.- Dibujar la proyección horizontal del triángulo A B C y la verdadera magnitud sabiendo que esta contenido en el plano α.

1º Por medio de las horizontales de plano que pasan por A’’, B’’ y C’’ determinamos las proyecciones horizontales de los vértices del triángulo A’, B’ y C’.

2º Unimos los puntos A’,B’ y C’ y hallamos la proyección horizontal de triángulo.

3º Abatimos el punto B’ sobre el PH, por B’ trazamos una paralela y una perpendicular al eje de abatimiento, sobre la paralela llevamos la cota de B (c) con centro donde la perpendicular corta a la charnela y radio hasta 1 trazamos un arco de circunferencia que corta a la perpendicular en el punto (B).

4º Aplicando la afinidad hallamos el punto (A) uniendo A’ y B’ y después hallamos el punto (C) uniendo A’ y C’.

5º Unimos (A) (B) (C) y obtenemos el triángulo en verdadera magnitud.

Ejercicio Nº 9.- Dibujar un triángulo equilátero contenido en el plano α. Siendo A''-B'' la proyección vertical de una de los lados.

1º Por medio de la horizontal de plano que pasa por B’’ determinamos la proyección horizontal del vértice del triángulo B’.

2º Se repetimos el procedimiento anterior. Por medio de la horizontal de plano que pasa por A’’ determinamos la proyección horizontal del vértice del triángulo A’.

3º Abatimos el punto A’ sobre el PH. Por A’ trazamos una perpendicular a la charnela y se aprovecha la paralela que tenemos, sobre la paralela llevamos la cota de A (A’-2), hacemos centro en el punto 1 y radio (1-2) trazamos una arco que determina el punto (A), punto abatido del A’.

4º Abatimos el punto B’ sobre el PH. Aplicando la afinidad por B’ trazamos una perpendicular a la charnela unimos A’ y B’ y prolongamos hasta la charnela desde el punto de corte con la charnela unimos con (A) y obtenemos (B).

5º Construimos el triángulo equilátero de lado (A)-(B) que resulta el triangulo en verdadera magnitud.

6º Se desabate el punto (C) y obtenemos C’. Prolongamos (A)-(C) hasta que corte al eje unimos este punto con A’ si por (C) trazamos una perpendicular a la charnela (eje) donde se cortan se obtiene el punto C’.

7º Por medio de la frontal de plano que pasa por C’ determinamos la proyección horizontal del vértice del triángulo C’’.

8º Unimos los puntos A’-B’-C’ y A’’-B’’-C’’ y obtenemos las proyecciones horizontal y vertical.

Ejercicio Nº 10.- Hallar las proyecciones diédricas de un triángulo ABC dado en verdadera magnitud y que esta sobre el plano α..

1º Abatimos la traza vertical α2. Por un punto cualquiera 1’-1’’ situado sobre la traza vertical, por 1’ trazamos una perpendicular a la charnela α1 con centro en O y radio O-1’’ trazamos un arco que corta a la perpendicular en (1) que resulta un punto abatido de la traza.

2º Por (C) trazamos una paralela y una perpendicular a la charnela que corta en m a (α2), por m trazamos una perpendicular a la charnela que corta en n a la LT, por n trazamos una paralela a la charnela que corta a la perpendicular en C’ que resulta la proyección horizontal de C.

3º Por medio de una horizontal de plano que pase por C’ hallamos la proyección vertical C’’ del vértice C.

4º Se repite el mismo procedimiento para el punto (A) y obtenemos las proyecciones horizontal y vertical A’ y A’’.

5º Se repite el mismo procedimiento para el punto (B) y obtenemos las proyecciones horizontal y vertical B’ y B’’.

6º Unimos los puntos A’-B’-C’ y A’’-B’’-C’’ y obtenemos las proyecciones horizontal y vertical del triángulo dado.

Ejercicio Nº11.- Hallar las proyecciones del triángulo equilátero ABC contenido en el plano α. Perpendicular al 1º bisector, siendo el punto O el centro de dicho triángulo y que el vértice A se encuentra en la traza horizontal, siendo la circunferencia circunscrita al triángulo tangente a la traza α.

1º Al ser el plano α perpendicular al 1º bisector las trazas del plano son simétricas respecto a la LT. Tomamos un punto cualquiera de la traza y hallamos su simétrico con la LT, unimos este con el punto de corte de α2 con LT y se obtiene la traza horizontal del plano α1.

2º Hallamos la proyección horizontal O’ del centro, mediante la horizontal de plano que pasa por O’’.

3º Hallamos el punto (O) que es el centro abatido en este caso sobre el PH.

4º Con centro en (O) y radio (O)-(A) trazamos una circunferencia y construimos el triángulo equilátero inscrito con el vértice A el la traza horizontal α1.

5º Hallamos la proyección horizontal B’. Unimos (B) con (O) hasta que corte al eje α1 el punto de corte se une con O’ y por (B) trazamos una perpendicular a α1 donde corte a la recta anterior es el vértice B’.

6º Hallamos la proyección horizontal C’. Como (C)-(B) es paralela al eje C’-B’ será también paralela al eje α1, por lo tanto por B’ trazamos una paralela a α1 y por (C) una perpendicular que se cortan en C’ que es el punto buscado.

7º Como A’ se encuentra sobre la traza α1 A’’, estará sobre la LT.

8º Como el lado B’-C’ es paralelo a α1 el lado B’’-C’’ será paralelo a la LT, es decir es una horizontal de plano.

9º Unimos los puntos A’-B’-C’ y A’’-B’’-C’’ y obtenemos las proyecciones horizontal y vertical del triángulo.