ANA BALLESTER JIMÉNEZ DIBUJO TÉCNICO 1º BACH

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TEMA 14 y 15

SISTEMA DIÉDRICO II

Intersecciones. Paralelismo y

perpendicularidad.

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SISTEMA DIÉDRICO: INTERSECCIONES.

r ∩ s: Dos rectas se cortan cuando tienen un punto en común.

α ∩ β: Dos planos que no son paralelos, se cortan en una recta común.

α ∩ β ∩ ω: Tres planos siempre se cortan en un punto.

A2 r2 y s2

A1 r1 y s1

α2 ∩ β2 = V2

α1 ∩ β1 = H1

α ∩ β = r

α ∩ ω = s

s ∩ r = P

α2

α1

β2

β1

ω2

ω1

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r ∩ α: La intersección entre una recta y un plano es un punto.

Para resolver este tipo de problemas necesitaremos introducir planos de apoyo o auxiliares. Para ello

utilizaremos siempre que se pueda planos proyectantes verticales u horizontales.

r β proyectante

α ∩ β = i

r ∩ i = I

α2

α1

r2

r1

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INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON LOS PLANOS BISECTORES.

CON EL PRIMER BISECTOR. La solución será un punto que pertenece a la recta, y que

pasa por el primer o por el tercer cuadrante, y tiene misma cota y alejamiento.

CON EL SEGUNDO BISECTOR. La solución será un punto que pertenece a la recta, y que

pasa por el segundo o cuarto cuadrante, y tiene misma cota y alejamiento.

r2

r1

r2

r1

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INTERSECCIÓN DE UN PLANO CON LOS PLANOS BISECTORES.

CON EL PRIMER BISECTOR. La solución será una recta que pasa por el vértice del plano,

por la L.T. y todos sus puntos pertenecen al primer bisector (cota = alejamiento) y al primer

y tercer cuadrante.

CON EL SEGUNDO BISECTOR. La solución será una recta que pasa por el vértice del

plano, por la L.T. y todos sus puntos pertenecen al segundo bisector (cota = alejamiento) y

al segundo y cuarto cuadrante. En este caso r1 y r2 coinciden.

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EJERCICIOS INTERSECCIONES:

Hallar las proyecciones de un punto de la recta de

intersección de los planos α y β, cuya cota mide 18 mm.

Calcular las proyecciones de la recta de intersección de los

planos α, oblicuo y β, proyectante vertical.

Determinar la recta de intersección del plano α con el plano

paralelo al horizontal de cota 22 mm.

Representar la recta de intersección de los planos oblicuos

dados.

Calcular las proyecciones de la recta intersección de los

planos α, perpendicular al P.P., y β que contiene a L.T.

Calcular las proyecciones de la recta intersección de los

planos α y β.

α2

α1

β2

α2

α1

α2

α1

β1

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Trazar la frontal del plano α que pasa por el punto de intersección de éste con la

recta r.

Representar la recta de máxima pendiente r.m.p. del plano β que pasa por el punto

de intersección de éste con la recta a.

Determinar las proyecciones del punto que pertenece a los tres planos dados. Indicar en qué diedro se encuentra el punto.

Hallar las proyecciones de los puntos donde la recta s corta a la circunferencia de

centro O y radio 14 mm. Ambas, recta y circunferencia se encuentran en el plano

de perfil dado.

α2

α1

a2

a1

S2=α2

S1=α1

H2=V1

V2

O2

O1

H1

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Dados los planos α y β, determinar: 1º, la recta i intersección de ambos. 2º, el punto

P perteneciente a esta recta y que tenga 1 cm de alejamiento.

Calcular las proyecciones de la recta de intersección de los planos Ω y β.

Hallar las proyecciones del punto I de intersección de la recta r con el plano α.

Determinar las proyecciones de la recta de máxima inclinación r.m.i. del plano α

que pasa por el punto I.

Determinar las proyecciones del punto I, que pertenece a los tres planos dados.

Indicar en qué diedro se encuentra dicho punto.

α1

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SISTEMA DIÉDRICO: PARALELISMO r // s: Dos rectas son paralelas cuando las proyecciones del mismo nombre son paralelas.

α // β: Dos planos son paralelos cuando sus trazas del mismo nombre son paralelas

r // α: Recta y plano son paralelos

a) Cuando el plano contiene una recta

paralela a la primera.

b) Cuando la recta está contenida en un plano

paralelo al primero.

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Determinar la visibilidad de la recta que pasa por el punto Q y es paralela a la

intersección de los planos α y β

Dibujar las trazas del plano que, conteniendo a la recta r, es paralelo a la recta a.

Calcular las proyecciones de la recta que pasa por el punto P y es paralela a la

recta de máxima pendiente r.m.p. del plano dado.

Representar el plano que pasa por la L.T. y es paralelo al plano dado.

Q2

Q1 r2

r1

a2

a1

P2

P1

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Representar el plano que contiene al punto M y es

paralelo a la recta r.

Determinar el plano que pasa por el punto A y es paralelo al plano dado.

Calcular las trazas del plano que contiene al punto N y

es paralelo al definido por la recta de máxima

inclinación r.m.i.

Calcular las trazas del plano que pasa por el punto Q y es paralelo al plano α.

M2

M1

V2

H1

V1=H2

r2

r1

A2

A1

N1

N2

r2

r1

A2

A1

Q2

Q1

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SISTEMA DIÉDRICO: PERPENDICULARIDAD

r _I_ α: Recta y plano son perpendiculares cuando las proyecciones de la recta son perpendiculares a las trazas del mismo nombre del plano.

α _I_ β: Dos planos son perpendiculares cuando uno de ellos contiene una recta perpendicular al otro plano.

r _I_ s: Dos rectas son perpendiculares cuando una de ellas pertenece a un plano que es perpendicular a la otra recta.

r1 _I_ α1

r2 _I_ α2

r _I_ α

r β

r _I_ α

s α

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EJERCICIOS PERPENDICULARIDAD

Trazar por el punto N del plano β la recta perpendicular a dicho plano.

Calcular las proyecciones del punto perteneciente al plano dado más próximo al

punto P.

Determinar las trazas de la recta perpendicular al plano definido por las rectas a y

b que pasa por el punto de intersección de las dos rectas dadas.

Representar mediante la recta de máxima pendiente que pasa por el punto M, el

plano perpendicular a la recta r.

N2

N1

P2

P1

b2

b1

a2

a1

r2

r1

M1

M2

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Hallar las trazas del plano que pasa por el punto B y es perpendicular a la recta t.

Calcular el punto de intersección de la recta t y el plano hallado.

El punto M, que pertenece a un plano α, es el punto de éste más próximo al punto

P. Determinar las trazas de α.

Calcular las proyecciones de la recta que pasa por el punto A y corta

perpendicularmente a la recta t.

Determinar el plano perpendicular a la recta s, y que contenga al punto Q. Después

hallar la intersección de dicho plano con la recta s.

t2

t1

B2

B1

M2

M1

P1

P2

A2

A1

t1

t2

Q2

Q1

S2

S1

14

Representar el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano ω.

Calcular las trazas del plano que pasa por el punto P y es perpendicular a la recta

de perfil r.

Representar el plano que contiene a la L.T. y es perpendicular al plano dado β. Hallar las trazas del plano que conteniendo al punto A sea perpendicular al plano α,

y al definido por la recta de máxima inclinación r

r1

r2

ω2

ω1

r1

A2

A1

r2

r1

V2

H1

H2=V1 P2

P1

r2

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