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Scuola Estiva di Fisica Tecnica 2008Benevento, 7-11 luglio 2008

Termofisica dell’involucro edilizio

Comportamento termico dell’elemento di involucro edilizio opaco in regime termico stazionario: parametri

caratterizzanti, modelli di modellazione numerica, riferimenti normativi nazionali ed internazionali

prof. ing. Anna Magrini, Università di Pavia

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Conduzione bi-tri-dimensionale in regime permanente

Quando il contorno di un sistema non è regolareQuando la temperatura lungo il contorno non è

uniforme

Es: flusso termico in prossimità di uno spigoloConduzione attraverso un cilindro cavo cortoDispersione del calore da una tubazione

interrata

Risoluzione del problema:Metodi

AnaliticiGraficiAnalogiciNumerici

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Riferimenti bibliografici

F. Kreith – Principi di trasmissione del calore, Liguori Ed.C.Bonacina, A.Cavallini, L.Mattarolo – Trasmissione del

calore, Cleup Ed

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L’equazione della conduzione termicaCorpo solido: al suo interno un piccolo elemento di materiale a forma di parallelepipedo rettangolo di dimensioni dx, dy, dz

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L’equazione della conduzione termicaPotenza termica entrante +

+ potenza termica generata da sorgenti interne == potenza termica uscente + + variazione dell’energia interna nell’unità di tempo

k = conducibilità termica

sostituita da

λ = conduttività termica

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L’equazione della conduzione termica

Equazione di Fourier:

Poisson

Laplace

0 q =•

0 q =•

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Coordinate cilindriche

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Coordinate sferiche

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Soluzione analitica

Finalità: determinazione del flusso termicodeterminazione della distribuzione di temperatura

Ipotesi: sistema bidimensionale senza generazione di calore, conduttività termica uniforme

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Soluzione analitica

La soluzione di questa equazione fornirà la funzione t(x,y), ossia la temperatura in funzione delle coordinate spaziali x ed y.

Noto l’andamento della temperatura, la potenza termica q che fluisce, per unità di area, nelle direzioni x ed y si può poi ottenere usando il postulato di Fourier applicato alle due direzioni coordinate

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Soluzione analitica

Mentre t(x,y) è una funzione scalare, il flusso termico dipende dal gradiente di t(x,y) ed è perciò un vettore (di tante componenti quante sono le coordinate spaziali utilizzate).

Il “flusso termico totale”, in un dato punto x,y, è la risultante di qX e qY in quel punto ed è diretto perpendicolarmente alla curva isoterma t(x,y)

Nota la distribuzione di temperatura pertanto risulta semplice calcolare il flusso termico

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Soluzione analitica

La soluzione analitica di un problema di trasmissione del calore per conduzione deve soddisfare sia l’equazione della conduzione sia le “condizioni al contorno”determinate dalle condizioni fisiche del problema particolare

La separazione delle variabili rappresenta l’approccio classico alla soluzione esatta dell’equazione di Fourier.

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Esempio: Piastra rettangolare sottile

Piastra rettangolare sottile, senza sorgenti di calore all’interno, con le superfici inferiore e superiore isolate

Essendo quindi trascurabile la variazione della temperatura con la coordinata z ortogonale al piano del disegno, la temperatura risulta funzione soltanto di x ed y

Nell’ipotesi che la conduttivitàtermica sia uniforme, la distribuzione di temperatura t(x,y) dovrà soddisfare l’equazione di Laplace in due coordinate

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Esempio: Piastra rettangolare sottile

equazione differenziale del 2° ordine, lineare, omogenea, alle derivate parziali

È possibile risolverla ipotizzando che la soluzione sia del tipo

t(x, y) = X(x) Y(y)

dove: X(x) funzione solo della coordinata x Y(y) funzione solo di y.

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Esempio: Piastra rettangolare sottile

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Esempio: Piastra rettangolare sottile

dato che il primo termine non può variare al variare di y e il secondo non può variare al variare di x, entrambi devono avere un valore costante, indicato con λ2

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Esempio: Piastra rettangolare sottile

integrale generale delle due equazioni:

A,B,C e D sono delle costanti da determinare imponendo le opportune condizioni al contorno

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Condizioni al contorno

t(x, y) = X(x) Y(y)

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Condizioni al contorno

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Condizioni al contorno

La prima condizione può essere soddisfatta solo se C=-D, mentre la seconda solo se A=0

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Condizioni al contorno

Le altre due condizioni impongono:

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Condizioni al contorno

verificata quando sin (λL)=0, ossia quando λ = n π / L con n=1,2,3,....

Esiste una soluzione differente, di questa equazione, per ogni n intero e, ovviamente, ogni soluzione ha una diversa costante di integrazione Cn

Sommando tutte le infinite soluzioni al variare di n:

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Condizioni al contorno

Per y = b:

di tutti gli infiniti termini della serie, è sufficiente il primo (per n=1)

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Espressione analitica della distribuzione di temperatura

Andamento del campo di temperatura

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Soluzione analitica

Quando le condizioni al contorno non sono così semplici, si ottiene per soluzione una serie indefinita, di difficile valutazione.

Il metodo della separazione delle variabili può essere esteso ai casi tridimensionali.

Le soluzioni analitiche sono utili, ma sono pochi i problemi pratici con geometria e condizioni al contorno tali da consentirne la soluzione analitica.

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Metodo grafico

Può condurre ad una valutazione della distribuzione di temperatura per sistemi bidimensionali, geometricamente complessi, con contorni isotermi e isolati.

Costruzione di rete di isoterme e linee a flusso termico costante (si intersecano ortogonalmente)

Disegno in scala sul quale si tracciano a mano isoterne e linee di flusso a formare una rete di quadrati curvilinei.

Indipendentemente dalla dimensione dei quadrati ogni rete curvilinea che soddisfi le condizioni al contorno rappresenta la soluzione corretta.

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Metodo grafico

Facce CD e AF isolate

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Metodo grafico

La potenza termica per il singolo quadrato è data da qi = - λ ( Δl 1) Δt / Δl = - λ Δt

Il flusso termico è lo stesso attraverso ciascun quadrato in ciascun tubo di flusso dal contorno a t1 al contorno a t2

Attraverso ciascun tubo di flusso si ha:Δt = (t2 – t1) / N

con N = numero degli incrementi di temperatura tra i due contorni a t1 e t2

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Metodo grafico

La potenza termica totale fluente dal contorno a T2 al contorno a T1 è pari alla somma della potenza termica fluente attraverso tutti i tubi.

La potenza termica è uguale in tutti i tubi poichè in una rete di quadrati curvilinei essa non dipende dalla dimensione dei quadrati

q = Σi=1,M qi = (M/N) λ (T2-T1) qi = potenza termica fluente attraversò il tubo i-esimo M = numero dei tubi di flusso.

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Metodo grafico

Per calcolare la potenza termica bisogna costruire una rete di quadrati curvilinei e contare il numero di incrementi di temperatura e dei tubi di flusso.

La precisione dipende dal disegno, ma anche uno schema approssimato può fornire una distribuzione delle temperature sufficientemente approssimata.

La potenza termica dipende dal fattore di forma S=M/N

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EsempioDeterminare il fattore di forma e la

potenza termica attraverso lo spigolo. λ = 0.74 kcal/h m °CtABC = 313°C, tDEF = 38°C CD e AF isolate

Numero di tubi di flusso M = 15Numero di quadrati curvilinei N = 5 Fattore di forma S = M/N = 15/5 = 3

Q = S λ (t1 – t2) = 3 0.74 (313-38) = 610 kcal / h m

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EsempioLungo tubo interrato De= 15 cmProfondità (asse) 75 cmλterreno = 0.3 kcal/h m °CTsup,tubo = 93°CTsup,suolo = 4°C

Determinare la potenza termica dispersa per metro

Simmetria 2 x 9 tubi di flussoCiascuno 8 quadrati curvilineiS = 18 / 8 = 2.25

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EsempioQ = S λ (t1 – t2) = 2.25 0.3 (93-4)=

= 60.07 kcal / h m

Dalla tabella:S = 2π / [cosh-1(150/15)] = 2.1

Q = S λ (t1 – t2) = 2.1 0.3 (93-4)= = 56.07 kcal / h m

Approssimazione dovuta all’accuratezza del disegno

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Applicazioni di trasmissione del calore non monodimensionale:

ponti termici

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UNI EN ISO 14683:2008Ponti termici in edilizia -Coefficiente di trasmissione termica lineica - Metodi semplificati e valori di riferimento

La norma specifica metodi semplificati per la determinazione del flusso di calore attraversoi ponti termici lineari che si manifestano alle giunzioni degli elementi dell'edificio.

La norma specifica i requisiti relativi ai cataloghi dei ponti termici e ai metodi di calcolo manuali. L'appendice A (informativa) riporta valori di riferimento della trasmittanza termica lineica.

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UNI EN ISO 14683:2008Nell’involucro edilizio si possono realizzare situazioni di

ponte termico:> Alla giunzione tra elementi esterni (angoli tra pareti,

pareti e soffitto, pareti e pavimento);> Alla giunzione tra pareti interne e muri esterni o tetti;> Alla giunzione tra solai intermedi e pareti esterne;> In corrispondenza ai pilastri nelle

murature esterne;> Sul perimetro di porte e finestre.

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UNI EN ISO 14683:2008Influenza dei ponti termici sullo scambio termico complessivo

Coefficiente globale di scambio termico Flusso termico complessivo attraverso l’involucro edilizio

ϕ = HT (θi − θe) Il coefficiente di scambio termico è espresso da tre termini:

HT = HD + Hg + HU

HD coefficiente di scambio termico diretto attraverso l’involucro edilizio Hg coefficiente di scambio termico attraverso il terreno in accordo con ISO 13370;HU coefficiente di scambio termico attraverso spazi non controllati secondo ISO 13789.

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UNI EN ISO 14683:2008

Ai = area dell’elemento di edificio i, [m2]

Ui = trasmittanza termica dell’elemento i [W/(m2K)]

lk = lunghezza di ogni giunto [m];

ΨΨKK == trasmittanza trasmittanza lineicalineica [W/m K];[W/m K];

χJ = trasmittanza termica di punto - ponte termico di punto [W/ K] (ponti termici tridimensionali);[W/ K] (ponti termici tridimensionali);

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UNI EN ISO 14683:2008

PONTI PONTI TERMICI TERMICI

bidimensionalibidimensionali

Calcolo dell'influenza del ponte Calcolo dell'influenza del ponte termico:termico:

ΨΨii trasmittanza trasmittanza lineicalineica (W/m K)(W/m K)LLii lunghezza di ogni giunto lunghezza di ogni giunto

t )Lii(t )AU(p Δ⋅ψ+Δ⋅=ϕ ∑ ∑

Pareti opache e Pareti opache e trasparentitrasparenti

PONTI TERMICI PONTI TERMICI tridimensionalitridimensionali ∑∑ ∑ +Δ⋅ψ+Δ⋅=ϕ )Xj(t )Lii(t )AU(p

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Metodi per la determinazione di ΨΨi based on internal dimensions;Ψoi based on overall internaldimensions;Ψe based on external dimensions.

dimensioni interne, misurate tra le superfici interne finite di ogni ambiente in un edificio (escluso quindi lo spessore delle partizioni interne);dimensioni interne totali, misurate tra le superfici interne finite degli elementi dell'involucro edilizio (incluso quindi lo spessore delle partizioni interne);dimensioni esterne, misurate tra le superfici esterne (finite) degli elementi dell'involucro edilizio

Metodi Incertezza prevista su Ψ

Calcolo numerico

± 5 %

Catalogo dei ponti termici

± 20 %

Calcoli manuali

± 20 %

Valori di progetto

Da 0 % a 50 %

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Questi parametri sono stati scelti per ottenere valori di Ψ di riferimento che siano prossimi ai valori massimi che è probabile si realizzino in pratica e rappresentano perciò una sovrastima cautelativa degli effettivi ponti termici, cioè non sottostimano la dispersione termica attraverso tali ponti termici.

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Trascurando i ponti termici di punto:

Ponti termici – Esempio di calcolo(dimensioni globali interne)

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Ponti termici – Esempio di calcolo(dimensioni globali interne)

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Ponti termici – Esempio di calcolo(dimensioni globali interne)

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Coefficiente di scambio termico (dimensioni globali interne)

Elemento edilizio U [W/(m2K)] Aoi

[m2]U Aoi

[W/K]Pareti 0,40 64,4 25,76Tetto 0,30 50,0 15,00Pavimento su terreno 0,35 50,0 17,50Finestra 3,50 9,0 31,50Porta 3,00 1,6 4,80

Totale 94,56

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Coefficiente di scambio termico (dimensioni globali interne)

Ponte termicoTipo ponte

termico

Ψoi

[W/(m K)]Ioi [m]

Ψoi Ioi

[W/K]

Parete/tetto R2 0,75 30,0 22,50Parete/parete C2 0,10 10,0 1,00Parete/pavimento GF6 0,60 30,0 18,00Partizione/parete IW2 0,95 5,0 4,75Partizione/tetto IW6 0,00 5,0 0,00Architrave, telaio, stipite W8 1,00 23,6 23,60

Totale 69,85

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Coefficiente di scambio termico (dimensioni globali interne)

Utilizzando le dimensioni interne totali, il coefficiente di trasmissione del calore attraverso i ponti termici è il 42% del totale.

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Coefficiente di scambio termico (dimensioni globali esterne)Spessori: Pareti perimetrali 30 cm

Tetto 25 cmPavimento 25 cm

Dimensioni esterne: 10.6 x 5.6 x 3.0 m

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Coefficiente di scambio termico (dimensioni globali esterne)

Elemento edilizio U [W/(m2K)] Aoi [m2] U Aoi [W/K]Pareti 0,40 86,6 34,64Tetto 0,30 59,36 17,81Pavimento su terreno 0,35 59,36 20,78Finestra 3,50 9,0 31,50Porta 3,00 1,6 4,80

Totale 109,52

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Coefficiente di scambio termico (dimensioni globali esterne)

Ponte termicoTipo ponte

termicoΨoi

[W/(m K)]Ioi[m]

Ψoi Ioi[W/K]

Parete/tetto R2 0,50 32,4 16,20Parete/parete C2 -0,10 12,0 -1,20Parete/pavimento GF6 0,45 32,4 14,58Partizione/parete IW2 0,95 6,0 5,70Partizione/tetto IW6 0,00 5,6 0,00Architrave, telaio, stipite W8 1,00 23,6 23,60

Totale 58,88

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Coefficiente di scambio termico (dimensioni globali esterne)

Utilizzando le dimensioni esterne totali, il coefficiente di trasmissione del calore attraverso i ponti termici èil 36% del totale.

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Valutazione accurata ponti termici

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Coefficiente di scambio termico (dimensioni globali interne con dettaglio più accurato del ponte termico)

Ponte termicoTipo ponte

termicoΨoi

[W/(m K)] Ioi [m] Ψoi Ioi[W/K]

Parete/tetto R2 0,75 30,0 22,50Parete/parete C2 0,10 10,0 1,00Parete/pavimento GF6 0,60 30,0 18,00

Partizione/parete IW5 0,00 5,0 0,00

Architrave, telaio, stipite W8 1,00 23,6 23,60Partizione/tetto IW6 0,00 5,0 0,00

Partizione/parete IW2 0,95 5,0 4,75

Architrave, telaio, stipite W11 0,00 23,6 0,00

Totale 41,50

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Coefficiente di scambio termico (dimensioni globali interne con dettaglio più accurato del ponte termico)

Utilizzando le dimensioni interne totali, definendo meglio il ponte termico, l’influenza dei ponti termici èdiminuita del 41% da 69.85 a 41.50 ed ha ridotto il coefficiente globale di trasmissione del calore del 17% da 164.41 a 136.06 W/K

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Soluzioni tecnicamente efficaci per l’eliminazione del ponte termico

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Soluzioni tecnicamente efficaci per l’eliminazione del ponte termico

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UNI EN ISO 10211-2 Ponti termici in edilizia – Flussi termici e temperature superficiali – Parte 2: Ponti termici lineariLa Parte 1 di questa norma fornisce metodi generali per il

calcolo dei flussi termici e delle temperature superficiali su ponti termici di forma qualsiasi e con un numero arbitrario di condizioni al contorno.

Questa parte tratta di ponti termici lineari limitati da due differenti ambienti termici.

Poiché il modello bidimensionale è una semplificazione della costruzione reale, i risultati di calcolo sono un’approssimazione dei risultati calcolati secondo un modello tridimensionale in accordo con EN ISO 10211-1

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Determinazione della trasmittanza termica lineicaLa trasmittanza termica lineica è fornita da:

dove:L2D è il coefficiente di accoppiamento termico lineico

ottenuto dal calcolo 2-D del componente esaminato di separazione tra i due ambienti. Ψ è la trasmittanza termica lineica del ponte termico lineare che separa i due ambienti considerati;

Uj è la trasmittanza termica del j-esimo componente monodimensionale di separazione tra i due ambienti considerati;

Ij è la lunghezza sulla quale si applica il valore Uj nel modello geometrico 2-D;

N è il numero dei componenti 1-D.

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