RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS - WordPress.com€¦ · Observando el esquema, vemos que el dinero que...

INTENTAMOS SACARLE MÁS PARTIDO AL PROBLEMA

Alternativa 1. ¿Y si la cuerda tuviera 12 m de largo?

Área = π · 122 + π · 72 + π · 22 =

= 380,92 m2

El caballo podría comer 380,92 kg dehierba.

Alternativa 2. La cuerda tiene 15 m de largo.

Área = π · 152 + π · 102 + π · 52 =

= 628,32 m2

Alternativa 3. La cuerda tiene 15 m y está sujeta en el centro del lado largo.

Área = π · 152 + π · 102 + π · 52 =

= 549,78 m2

Pág. 1

1 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Resolución de problemas

12 m2 m10 m

15 m5 m

10 m10 m

5 m 5 m

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RESUELVE

1 Un constructor ha comprado tres parcelas cuadradas e iguales de 22 metros delado. Las parcelas son colindantes y están alineadas.

¿Cuánto le costará cercar el terreno con una alambrada que viene en rollos de20 metros a 85 € el rollo?

Perímetro = 22 · 8 = 176 m

176 : 20 = 8,8 rollos necesitaría para cercar el terreno

Tendrá que comprar 9 rollos. Por tanto, le costará:

85 · 9 = 765 €

2 Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal coincide con el lado de otro cua-drado de 10 m2 de superficie.

• El área del cuadrado de lado d es:

A1 = d 2 = 10 m2

• El área del cuadrado de lado l es lamitad del área del cuadrado de ladod. Por tanto:

A2 = l 2 = 10 : 2 = 5 m2

El área del cuadrado de lado l es de5 m2.

3 Cortando las esquinas de un triángulo equiláterose puede obtener un hexágono regular.

¿Cuál será el área de ese hexágono si la del triángu-lo original era de 90 m2?

El hexágono ocupa = del área del triángulo.

Por tanto, su área es:

A = · 90 = 60 m223

Pág. 2

4 Tres de los vértices de un hexágono regular coinciden con los vértices de untriángulo equilátero de 20 cm2 de superficie. ¿Cuál es la superficie del hexágono?

El área del triángulo es la mitad del área delhexágono. Por tanto:

Área del hexágono = 20 · 2 = 40 cm2

RESUELVE

1 Una liebre lleva 12 de sus saltos de ventaja al galgo que la persigue.

Dos saltos de galgo equivalen, en longitud, a tres saltos de liebre.

El galgo tarda en dar tres saltos lo mismo que la liebre en dar cuatro. ¿Cuántossaltos dará la liebre antes de ser alcanzada?

2 saltos de galgo equivalen a 3 de liebre → 1 salto de galgo equivale a 1,5saltos de liebre.

Sobre el esquema vemos que el galgo, en cada 3 saltos, reduce la distancia en salto de liebre.

Por tanto, el galgo alcanzará a la liebre en 12 : = 24 grupos de 3 saltos; es de-cir, en 24 · 3 = 72 saltos.

La liebre da 24 grupos de 4 saltos; es decir, 24 · 4 = 96 saltos.

2 He gastado en un CD las trescuartas partes del dinero que lle-vaba.

Después he ido al cine y me hegastado dos tercios de lo que mequedaba.

Si aún tengo 2 €, ¿cuánto lleva-ba al principio?

Pág. 3

VENTAJA INICIAL → 12 SALTOS DE LIEBRE

VENTAJA DESPUÉSDE TRES SALTOS DE GALGO

Observando el esquema, vemos que eldinero que llevaba era:

12 · 2 = 24 €

3 Un labrador ara por la mañana dos quintas partes de un campo.

Por la tarde vuelve al trabajo y ara un tercio de lo que quedaba.

Sabiendo que aún falta por arar media hectárea, ¿cuál es la superficie del campo?

del campo es ha →

→ del campo es ha →

→ del campo es ha

Superficie del campo = ha = 1,25 ha

4 Un hacendado contrata a un sirviente por un sueldo anual de once monedas deoro y un caballo.

A los cuatro meses, el sir-viente se despide, recibien-do el caballo y una moneda.

¿Cuál era el valor del ca-ballo?

Si por un cuatrimestre (4 meses) recibe 1 caballo y 1 moneda; por los otros doscuatrimestres del año, recibirá 10 monedas de oro.

Por tanto, por 1 cuatrimestre le corresponden 10 : 2 = 5 monedas de oro.

Así, el caballo vale 4 monedas de oro.

5 Un hacendado contrata a un sirviente por un sueldo anual de 1 capa y 25 mo-nedas de oro.

A los cinco meses se despide. Recibe como pago la capa y cuatro monedas. ¿Encuántas monedas de oro se está valorando la capa?

Si por 5 meses recibe 1 capa y 4 monedas, por los otros 7 meses le corresponde-rían 21 monedas de oro. Así:

21 : 7 = 3 monedas de oro le corresponden por un mes.

3 · 5 = 15 monedas de oro le corresponden por 5 meses.

Por tanto, la capa está valorada en 11 monedas de oro.

Pág. 4

CD CIN

MAÑANA TARDE

1/2 ha

1 año4 meses

De los 30 alumnos y alumnas de una clase, 15 declaran ser aficionados al rock, y13, al bacalao.

Hay 6 de ellos que son aficionados a ambos ritmos musicales. ¿Cuántos no sonaficionados ni a lo uno ni a lo otro?

Resolución

• ¿A cuántos les gusta sola-mente el rock?

• ¿A cuántos les gusta sola-mente el bacalao?

15 – 6 = 9 son aficionados solamente al rock

13 – 6 = 7 son aficionados solamente al bacalao

9 + 6 + 7 = 22 son aficionados al rock o al bacalao(o a ambos)

30 – 22 = 8 no son aficionados ni al uno ni alotro

RESUELVE

1 Tres amigos apellidados Ruiz, Roig y Arranz tienen cada uno una hermana. Conel tiempo, cada uno termina saliendo con la hermana de uno de sus amigos.

En cierta ocasión, Ana Ruiz se encuentra con Pablo Roig y le comenta:

—Ayer estuve de compras con tu novia.

¿Podrías decir cómo se hanformado las parejas?

☛ Pon todo lo que sabes enuna tabla:

• Tachando las casillas impo-sibles y razonando un poco,se alcanza con facilidad lasolución.

Parejas:

• Chico RUIZ con chica ROIG.

• Pablo ROIG con chica ARRANZ.

• Chico ARRANZ con Ana RUIZ.

Pág. 5

��Bacalao�

��

Ni rock ni bacalao

��

Rock Bacalao

ARRANZ

PABLO ROIG

CHICAS

ANA RUIZ ROIG ARRANZ

ARRANZ

PABLO ROIG

CHICAS

ANA RUIZ ROIG ARRANZ

2 Se ha hecho una encuesta a todos los integrantes de un club deportivo y ha re-sultado que:

— Treinta y siete son aficionados al baloncesto, 25 al fútbol y 17 al ajedrez.

— Hay 8 aficionados al fútbol y al baloncesto simultáneamente, 5 al balonces-to y al ajedrez, y 3 al fútbol y al ajedrez.

— Solo hay un miembro que practica los tres deportes, y, sin embargo, hay 37que no practican ninguno de ellos.

¿Cuántos miembros tiene el club?

Organizamos la información en un diagrama:

El número total de miembros es:

25 + 7 + 1 + 4 + 15 + 2 + 10 + 37 = 101

3 Un matrimonio viaja en su coche con su hija de 12 años y su hijo de 2 años.

Cada uno se entretiene en el viaje con una actividad diferente: conducir, dor-mir, leer y comer.

El padre ni duerme ni lee. La madre, si lee, se marea, y jamás come en los via-jes. Si el niño está despierto, no deja leer a su hermana.

¿Qué actividad realiza cada uno?

Pongamos todo lo que sabemos en una tabla:

El padre come, la madre conduce, la hija lee y el hijo duerme.

Para embellecer un paseo recto, se coloca, a lo largo de su línea central, una filade jardineras hexagonales, rodeadas de baldosas de la misma forma.

Se desea saber el número de baldosas necesarias para colocar una hilera de 20 jar-dineras.

Pág. 6

��

Baloncesto Fútbol

Ajedrez

��

CONDUCE

PADRE MADRE HIJA HIJO

DUERME

Resolución• Empezaremos experimentando con casos sencillos:

¿Cuántas baldosas se necesitan para una jardinera? ¿Y para dos jardineras? ¿Y pa-ra tres?…

• Y recogeremos los resultados en una tabla:

• Completa las primeras casillas y trata de encontrar la relación entre el númerode jardineras y el de baldosas.

Para 20 jardineras serán necesarias 82 baldosas.

En general, para n jardineras son necesarias 2 + 4n baldosas.

RESUELVE

1 En el palacio de las habitaciones mágicas, cada vez que pasas por una puerta,esta se cierra, se bloquea y ya no puede volver a abrirse.Por eso tienes que tener cuidado, ya que en algunas habitaciones te puedes que-dar dentro. ¿Cómo son las habitaciones en las que te puedes quedar encerrado?☛ Estudia distintas habitaciones:

Sigue probando y saca conclusiones.

Estudiamos las habitaciones según el número de puertas que tenga cada una:

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1 2 3 4 5 … 20 … n

6 10 ? ? ? … ? … ?

JARDINERAS

BALDOSAS

1 2 3 4 5 … 20 … n

6 10 14 18 22 … 82 … 2 + 4n

JARDINERAS

BALDOSAS

UNA PUERTA DOS PUERTAS TRES PUERTAS

1 PUERTA 2 PUERTAS 3 PUERTAS 4 PUERTAS 5 PUERTAS

DENTRO FUERA DENTRO FUERA DENTRO

Por cada vez que entras, necesitas otra puerta para poder salir.

Por tanto, si las habitaciones tienen un número impar de puertas, te puedes que-dar encerrado. Si el número de puertas es par, quedas libre.

2 ¿Cuántos palillos se necesitan para construiruna estructura como la de la ilustración, peroque tenga, en vez de tres, veinte celdillas deancho? ¿Y si tuviera n celdillas de ancho?

Hagamos una tabla:

Si queremos formar 20 celdillas, necesitaremos 4 + 8 · 20 = 164 palillos.

En general, para n celdillas serían necesarios 4 + 8n palillos.

3 ¿Cómo medirías 3 litros deagua si estuvieras junto a unafuente y dispusieras exclusiva-mente de un cántaro de 9 li-tros y de otro de 5 litros?

• Llenamos el cántaro de 9 l y con él llenamos el de 5 l →

• Vaciamos el de 5 l y en él ponemos los 4 l del grande →

• Llenamos el grande y con él, lo que faltaba al pequeño →

• Vaciamos el pequeño y lo llenamos con lo que hay en el grande →

Ya tenemos los 3 litros en el cántaro grande.

RESUELVE

1 De un montón de 20 cerillas, dos jugado-res van retirando, alternativamente, 1, 2 ó3 cerillas. Pierde el último que se lleve ce-rillas. ¿Cuál es la estrategia ganadora?

Pág. 8

1 2 3 4 … 20 … n

12 20 28 36 … 164 … 4 + 8n

N-º DE CELDILLAS

N-º DE PALILLOS

9 litros

5litros

¿Qué número de cerillas ha de recibir el jugador A en el último turno para po-der dejar sobre la mesa una única cerilla?

A gana si sobre la mesa tiene 2, 3 ó 4 cerillas, porque en estos casos retira 1, 2 ó3, respectivamente, y deja una única cerilla, que habrá de coger su contricante.

Para que le dejen 2, 3 ó 4 cerillas, él debió dejar antes 5.

Y él dejará 5 si anteriormente le habían dejado 6, 7 u 8. Y así sucesivamente.

Veámoslo en un gráfico:

La estrategia ganadora consiste en dejar en la primera ocasión 17 cerillas y cuan-do el compañero coge x cerillas, coger, en la baza siguiente, 4 – x.

Por ejemplo:

RESUELVE

2 ¿Cuántos ayudantes necesita-rá el aventurero del problemaanterior para poder cruzar eldesierto en solo 6 jornadas?(Los ayudantes no han de lle-gar al destino. Solo transpor-tan agua y regresan, pero¡atención!, también necesitanbeber a la vuelta).

El aventurero puede hacer el camino de 6 días teniendo en cuenta que en el día2 tiene que partir, como mínimo, con 4 cantimploras. Necesita, para ello, 4 ayu-dantes (más él mismo).

Pág. 9

A A LE DEJAN A DEJA

2 ó 3 ó 4

6 ó 7 u 8

10 ó 11 ó 12

14 ó 15 ó 16

20 – 3 = 17 15 – 2 = 13 10 – 1 = 9 6 – 1 = 5 3 – 2 = 1

17 – 2 = 15 13 – 3 = 10 9 – 3 = 6 5 – 2 = 3

Las jornadas transcurrirán así:

Inicio: Parten con 20 cantimploras.

Día 1: Les quedan 15 cantimploras. Se da la vuelta un ayudante y se lleva 1cantimplora para el camino. Quedan 4 personas y 14 cantimploras.

Día 2: Les quedan 10 cantimploras. Se dan la vuelta tres ayudantes y se llevan 2cantimploras cada uno. El aventurero se queda solo y tiene 4 cantimplo-ras para hacer el resto del camino en 4 días más.

PROBLEMAS

1 ¿Cuánto debe pagar Laura por un refresco y dos hamburguesas?

• Veamos cuánto cuesta 1 refresco. (Representaremos H = hamburguesas,R = refresco):

• Veamos cuánto cuesta 1 hamburguesa:

→ H = 3,50 – 1,25 = 2,25 € cuesta 1 hamburguesa

• Por tanto, por un refresco y dos hamburguesas, Laura tendrá que pagar:

1,25 + 2 · 2,25 = 5,75 €

H + R = 3,50

R = 1,25

Restando → 2R = 6 – 3,50 = 2,50

R = 2,50 : 2 = 1,25 € cuesta 1 refresco

H + R = 3,50

H + 3R = 6

Pág. 10

¿Qué le debo?

Yo he pagado3,5 €.

Lo mío hansido 6 €.

2 Varios clientes hacen la compra en la charcutería. Antonio paga 9,50 € por200 gramos de jamón y 300 gramos de mortadela. Doña Rosa pide un cuar-to de kilo de jamón, y abona 2,50 €.

¿A cuánto ascenderá la cuenta de María, que ha pedido 150 gramos de jamóny un cuarto de kilo de mortadela?

• 250 g de jamón = 2,50 € → 50 g de jamón = 0,50 €

• 200 g de jamón + 300 g de mortadela = 2 € + 300 g de mortadela = 9,50 €

→ 300 g de mortadela = 9,50 – 2 = 7,50 €

→ 100 g de mortadela = 7,50 : 3 = 2,50 €

• 150 g de jamón = 0,50 · 3 = 1,50 €

250 g de mortadela = 2,50 · 2,5 = 6,25 €

• Total compra de María → 1,50 + 6,25 = 7,75 €

3 Observa y resuelve:

4 Un joyero consigue una rebaja de 140 € en la compra de 16 broches iguales,cuyo precio, según el catálogo, es de 87,5 € cada unidad.

¿A cuánto debe vender cada uno si desea obtener una ganancia total de500 €?

87,5 · 16 = 1 400 € cuestan los 16 broches según el catálogo

1 400 – 140 = 1 260 € paga por los 16 broches

1 260 + 500 = 1 760 € debe recaudar en total por la venta

1 760 : 16 = 110 € debe vender cada broche

A = 75 g

B = 50 g

Restando → A = 200 – 125 = 75 g

B = 125 – A = 125 – 75 = 50 g

2A + B = 200 g

A + B = 125 g

Sumando todo → 3A + 3B = 375 g

Dividiendo entre 3 → A + B = 125 g

2A + B = 200 g

A + 2B = 175 g

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A A 200 g 175 gAB B B

A A A A B

5 Dos hermanos rancheros se reparten una herencia a partes iguales.El primero invierte su parte en la compra de una manada de 80 caballos.El segundo compra, con la suya, un rebaño de 100 vacas.Sabiendo que un caballo cuesta 50 € más que una vaca, ¿a cuánto ascendía laherencia?

• Como 1 CABALLO = 50 € + 1 VACA, la diferencia de precio entre 80 caballos y80 vacas es:

80 · 50 = 4000 € → 20 vacas cuestan 4000 € → 1 vaca cuesta 4000 : 20 = 200 €

• 1 caballo cuesta 200 + 50 = 250 €

• 80 caballos cuestan 80 · 250 = 20 000 €

• 100 vacas cuestan 100 · 200 = 20 000 €

• Por tanto, la herencia ascendía a 20 000 + 20 000 = 40 000 €

6 Un automóvil y un camión parten simultáneamente de una población, por lamisma carretera, pero en sentidos opuestos.La velocidad del coche es de 120 km/h, y la del camión es de 90 km/h.¿Qué distancia los separará al cabo de 10 minutos?

120 + 90 = 210 km les separarían al cabo de 1 hora.

10 min = h = h

Al cabo de 10 minutos, les separará una distancia de:

· 210 = = 35 km

7 Dos ciclistas parten del mismo lugar, a la misma hora y en el mismo sentido.Sus velocidades respectivas son de 30 km/h y 24 km/h.¿Qué ventaja le sacará el primero al segundo cuando haya transcurrido unahora y cuarenta minutos?

En una hora → 30 – 24 = 6 km

→ Ventaja = 6 + 4 = 10 km

8 Entre Ramiro y Roger tienen 1 255 €.

Entre Ramiro y Rita tienen 1 305 €.

Entre Rita y Roger tienen 1 390 €.

¿Cuánto dinero tiene cada uno?

☛ 1 255 + 1 305 + 1 390 = 3 950 €. ¿Qué significado tiene cada cantidad?

40 240 min = ––– = — h

60 32— · 6 = 4 km3

Pág. 12

Ramiro → RRoger → GRita → A

(R + G ) + (R + A) + (A + G ) = 1 255 + 1 305 + 1 390 = 3 95014444244443

2R + 2G + 2A = 2(R + G + A)

Rita tiene 720 €

Roger tiene 670 €

Ramiro tiene 1 975 – 720 – 670 = 585 €

9 Amelia regala a Julio un tercio de su colección de sellos, y da la mitad de losrestantes a su hermana Almudena.De los sellos regalados, la cuarta parte era de Europa, y 210, del resto delmundo.¿Cuántos sellos ha regalado a Almudena?

para Julio

: 2 = para Almudena

Europa → resto mundo = 210

son 210 → son 70

Ha regalado , y son 70 → Ha regalado 280 sellos en total.

280 : 2 = 140 sellos ha regalado a Almudena.

10 Marta compra tres tortas,y Beatriz, dos.

Cuando van a merendar,se les une su amiga Veró-nica, que no trae tortas.

A la hora de compartir gastos, a Verónica le toca poner 5 €.

¿Cómo se repartirán esos 5 € Marta y Beatriz?

☛ Imagina cada torta partida en tres.

R + G + A = 1 975 €

R + A = 1 305 €

Entre los tres tienen 3 950 : 2 = 1 975 €

R + G = 1 255 €

Pág. 13

ALMUDENA

Pág. 14

A cada una le corresponden 15 : 3 = 5 trozos.

Marta tiene 9 trozos. Le da 4 trozos a Verónica.

Beatriz tiene 6 trozos. Le da 1 trozo a Verónica.

Verónica da 1 € por cada trozo que le corresponde.

A Marta le tocan 4 € y a Beatriz, 1 €.

11 La media de las edades de Rosa, Carol y Pilar es de 12 años.

¿Cuál será la media si incluimos, además, a Pepa, la hermana de Carol, quetiene 16 años?

Entre Rosa, Carol y Pilar tienen 12 · 3 = 36 años.

Entre Rosa, Carol, Pilar y Pepa tienen 36 + 16 = 52 años.

La media será 52 : 4 = 13 años.

12 Las edades que tienen un padre y suhijo suman 100 años.

Cuando el padre tenía la edad quehoy tiene el hijo, sus edades sumaban56 años.

¿Cuál es la edad de cada uno?

Desde que el padre tenía la edad quehoy tiene el hijo, han transcurrido:

(100 – 56) : 2 = 22 años

En el esquema vemos que 100 – 22 es el doble de la edad actual del hijo. Por tanto:

• El hijo tiene ahora (100 – 22) : 2 = 39 años.

• El padre tiene 100 – 39 = 61 años.

56años

100años

PADRE HIJO

Hace 22 años,el padre teníala edad que tienehoy el hijo.

100 años

MARTA BEATRIZ

13 En una fiesta se reúnen 25 personas.

Marta baila con 6 chicos, Rosa, con 7, Amanda, con 8, y así todas las chicas,hasta Lola, que baila con todos.

¿Cuántos chicos y cuántas chicas había en la fiesta?

1-ª chica baila con 6 chicos → 1 + 6 = 7 personas

2-ª chica baila con 7 chicos → (1 + 1) + 7 = 2 + 7 = 9 personas

En la fiesta había 10 chicas y 15 chicos.

14 Esteban, Manolo y Enrique se ponen a contar de tres en tres, diciendo cadauno un número, por turnos:

¿Quién dice 192? Explica tu respuesta.

Los números que dicen se pueden expresar como producto de 3 por otro número:

3 = 3 · 1 6 = 3 · 2 9 = 3 · 3 12 = 3 · 4 … 192 = 3 · 64

En la fila de Esteban, todos los números que multiplican a 3 (4, 7, 10,…), aldividirlos entre 3 dejan un resto 1.

En la fila de Manolo, dejan un resto 2 (5, 8, 11,…) al dividirlos entre 3.

En la fila de Enrique, dejan un resto 0 (3, 6, 9,…) al dividirlos entre 3.

Teniendo en cuenta que 192 = 3 · 64 y que 64 = 3 · 21 + 1 (el resto que deja64 al dividirlo entre 3 es 1), el número 64 estará en la fila de Esteban.

Por tanto, Esteban será el que diga 192.

3 · 103 · 73 · 83 · 9

3 · 43 · 53 · 6

Esteban → 3 · 1Manolo → 3 · 2Enrique → 3 · 3

Pág. 15

ESTEBAN

MANOLO ENRIQUE

15 Escribe un número de dos cifras.

Escribe otro número que tenga las mismas cifras, pero cambiadas de orden.Resta ambos números.

¿Puedes decir por qué esa diferencia es siempre múltiplo de 9?

Por ejemplo: 32 – 23 = 9

53 – 35 = 18

92 – 29 = 63

Podemos descomponer AB y BA así:

AB = B + 10 · A BA = A + 10 · B

Restamos:

AB – BA = B + 10 · A – A – 10 · B = 9A – 9B = 9 · (A – B)

que es, siempre, múltiplo de 9.

16 Escribe el año de tu nacimiento. Réstale la suma de sus cifras. El número re-sultante es múltiplo de 9.

¿Ocurre lo mismo con los años de otros amigos?

¿Puedes explicar por qué?

Un número de cuatro cifras se puede descomponer así:

ABCD = D + C · 10 + B · 100 + A · 1 000

ABCD – (A + B + C + D) = D + 10C + 100B + 1 000A – A – B – C – D =

= 9C + 99B + 999A = 9 · (C + 11B + 111A)

Es, siempre, múltiplo de 9.

17 Una cuadrilla de vendimiadores trabajamedia jornada en una viña.

Por la tarde, la mitad pasa a otra viña,que es la mitad de grande que la ante-rior, y todos trabajan hasta el final de lajornada.

De esta forma han terminado de vendimiar la viña grande, y queda un trozode la pequeña, que acaba un solo vendimiador en una jornada completa.

¿Cuántas personas componen la cuadrilla?

VIÑA GRANDE:

Todos media jornada → de la cuadrilla a jornada completa.

La mitad media jornada → de la cuadrilla a jornada completa.14

Pág. 16

VIÑA PEQUEÑA:

La mitad media jornada → de la cuadrilla a jornada completa.

Más 1 vendimiador a jornada completa.

+ = de la cuadrilla a jornada completa es el doble de de la cuadrilla

a jornada completa más 1 vendimiador.

→ 2 ( + 1)de la cuadrilla = 2 vendimiadores

Hay 4 · 2 = 8 vendimiadores.

18 Un padre repartió entre sus hijos un rebaño de ovejas.El mayor se llevó una oveja más 1/7 de las restantes.Al segundo le correspondieron dos ovejas más 1/7 de las restantes.Al tercero, tres ovejas más 1/7 de las que quedaban, y así, sucesivamente, has-ta el más pequeño.De esta manera, todos recibieron la misma herencia y no sobró ninguna oveja.¿Cuántos hermanos eran?¿Cuántas ovejas había en el rebaño?

Llamaremos n al número de hijos.

El último recibe n ovejas más del resto y se termina el reparto y también el

rebaño.

Así que ese resto era cero. Recibe, pues, n ovejas.

El antepenúltimo recibe n – 1 ovejas más del resto.

Como los dos reciben los mismo, del resto será una oveja y los dos tendrán n.

Por tanto, de ese resto son 6 ovejas, que es lo que recibe el último.

Así, n = 6.

HABÍA

SE LLEVA

QUEDAN

1-º 2-º 3-º 4-º 5-º 6-º

36 30 24 18 12 6

1 + 35/7 = 6 2 + 28/7 = 6 3 + 21/7 = 6 4 + 14/7 = 6 5 + 7/7 = 6 6 + 0/7 = 6

30 24 18 12 6 0

Pág. 17

34— de cuadrilla

14— de cuadrilla

doble doble

19 La altura media de los jugadores que están en cierto momento en la canchade un equipo de baloncesto es de 197 cm.

El entrenador sienta a Mágico González, que mide 208 cm, y saca a la pista aMiguel Larguillo, que mide 203 cm.

¿Cuál es ahora la altura media del equipo que está en la pista?

El jugador que entra tiene 5 cm menos que el que sale.

Esa diferencia, repartida entre los cinco que hay en la pista, es de 1 cm.

La media, después del cambio, es 1 cm menos que antes del cambio.

Por tanto, después del cambio la estatura media de los jugadores que están en lacancha es de 196 cm.

20 Por término medio, 5 policías municipales tardan 5 minutos en poner 5 multas.

¿Cuánto tiempo emplearán 10 policías municipales en poner 10 multas?

Si 5 policías tardan 5 minutos en poner 5 multas, entonces 1 policía pone1 multa en 5 minutos. Así, 10 policías municipales tardarán 5 minutos en po-ner 10 multas.

21 Coloca 17 fichas en 4 filas de modo que encada fila haya 5 fichas.

22 Inserta dos cuadrados en esta figura de modo quelos nueve puntos queden aislados.

Pág. 18

1-ª fila

2-ª fila

3-ª fila3-ª fila

4-ª fila2-ª fila

4-ª fila

23 LAS MONEDAS

Tienes en tu bolsillo estas cinco monedas:

¿Cuántas cantidades de dinero distintas puedes formar?

Para formar cada una de las distintas cantidades, tenemos 2 opciones con cadamoneda (cogerla o no cogerla). Como son 5 monedas diferentes, hay2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 = 32 posibilidades. Pero una de ellas no es válida (la de nocoger ninguna de las monedas).

Por tanto, se pueden formar:

32 – 1 = 31 cantidades de dinero distintas.

24 MÁS SOBRE MONEDAS

Y si las monedas fueran estas,

¿Cuántas cantidades distintas de dinero podrías formar?

La menor cantidad de dinero que se puede formar con estas monedas es 10 cénti-mos, y la mayor, 190 céntimos (10 cent + 10 cent + 20 cent + 50 cent + 1 €).

Todos los múltiplos de 10 entre esas cantidades, se pueden formar:

10 céntimos → moneda de 10 cent

30 céntimos → 20 + 10

40 céntimos → 20 + 10 + 10

60 céntimos → 50 + 10

70 céntimos → 50 + 20

80 céntimos → 50 + 20 +10

90 céntimos → 50 + 20 + 10 + 10

100 céntimos → 1 €

Pág. 19

Para el resto de cantidades (de 110 a 190), basta con añadir la moneda de 1 €a las anteriores combinaciones.

Así, las cantidades distintas que se pueden formar son todos los múltiplos de10 comprendidos entre 10 y 190.

Se pueden formar 19 cantidades distintas.

25 LA VARILLA

Tienes una caja de baserectangular de dimensio-nes 5, 6 y 8 cm. ¿Cuál esla varilla más larga quepuedes introducir en ella?¿En qué posición?

Es obvio que la máxima distancia que existeentre dos puntos de un rectángulo se da en-tre vértices opuestos (es decir, una diagonal).

Por el mismo razonamiento, la máxima dis-tancia en una caja se consigue en cada una delas cuatro diagonales. Por tanto, ahí es dondehay que colocar la varilla.

Además, debe medir: = ≈ 11,18 cm.

26 EL TORNEO

Ana y Begoña son las finalistas de un torneo de tenis. Gana el torneo quienvenza en dos partidos consecutivos, o en tres alternos.

Averigua todas las posibilidades que pueden darse.

¿Cuántos partidos, como máximo, tendrán que disputar para acabar el torneo?

☛ Haz un diagrama en árbol donde se visualicen todas las alternativas.

El máximo número de partidos a disputar por Ana (A) y Begoña (B) es de cinco.

Las distintas posibilidades son:

√125√82 + 62 + 52

Pág. 20

1–er partido

(Las letras indican victoria)

2-º partido

3–er partido

4-º partido

5-º partido

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