Proceso de hilado de fibras

Utilización de Las ecuaciones constitutivas.

Aplicaciones de las fibras

Factores que influyen en la aplicabilidad de las fibras

APLICABILIDAD DE UNA FIBRA

Propiedades mecánicas y propiedades ópticas

RadioOrientación molecularCristalinidad

Polímero

Estado de tensiones

Perfil de velocidades

Perfil de temperaturas

Condiciones de procesado

Velocidad de extrusiónVelocidad de bobinadoTensión de bobinado

Distancia entre boquilla y bobinaTemperatura de extrusiónSistema de enfriamiento

Factores que influyen en la aplicabilidad de las fibras

Estado de tensiones

Perfil de velocidades

Perfil de temperaturas

Balances de cantidadde movimiento Balances de materia

Balances de energía

Factores que influyen en la aplicabilidad de las fibras

Estado de tensiones

Perfil de velocidades

Perfil de temperaturas

Balances de cantidadde movimiento Balances de materia

Balances de energía

Utilización de las ecuaciones constitutivas Factores que influyen en la aplicabilidad de las fibras

Estado de tensiones

Perfil de velocidades

Perfil de temperaturas

Balances de cantidadde movimiento Balances de materia

Balances de energía

Utilización de las ecuaciones constitutivas Factores que influyen en la aplicabilidad de las fibras

Estado de tensiones

Perfil de velocidades

Perfil de temperaturas

Balances de cantidadde movimiento Balances de materia

Balances de energía

Empleo de las ecuaciones constitutivas

Enfriamiento lento Enfriamiento rápido

Cristalización durante el hilado de fibras

Utilización de las ecuaciones constitutivas Esquema de los cálculos

Ecuación reológica de estado

Ecuación continuidad

Condiciones de contornoDescripción geométrica

Ecuación de movimiento

Balances de energía

Utilización de las ecuaciones constitutivas Esquema de los cálculos

Estado de tensiones

Perfil de velocidades

Balances de cantidadde movimiento

(Ecs. movimiento)

Balances de materia(Ec. continuidad)

Utilización de las ecuaciones constitutivas Esquema de los cálculos

Estado de tensiones

Perfil de velocidades

Balances de cantidadde movimiento

(Ecs. movimiento)

Balances de materia(Ec. continuidad)

Ec. reológica de estado

Utilización de las ecuaciones constitutivas Esquema de los cálculos

Estado de tensiones

Perfil de velocidades

Balances de cantidadde movimiento

(Ecs. movimiento)

Balances de materia(Ec. continuidad)

Ec. reológica de estado

Condiciones de contorno

Ecuación reológica de estado

Ecuación continuidad

Condiciones de contornoDescripción geométrica

Ecuación de movimiento

SOLUCIÓN

Utilización de las ecuaciones constitutivas Esquema de los cálculos

Tensor de tensiones:

Vector velocidad:

) v0 v(v zr=r

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

πππππππππ

=π

θ

θθθθ

θ

zzzrz

zr

zrrrrrr

z)(r,rr vv =

z)(r,zz vv =

dzdRR =´ 0

z)(r,rr vv =

(z)zz vv ≅

Utilización de las ecuaciones constitutivas

nr

R1

R2

z

rθ

vr

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

zzrz

zrrr

ππ

πππ

0000

0rr

zv

dzdr

rv

dzdv zzz

∂∂

+∂∂

=dzzvdr

rvdv zz

z ∂∂

+∂∂

= dzzvdr

rvdv zz

z ∂∂

+∂∂

=zv

dzdv zz

∂∂

≅

Descripción

Ecuación reológica de estado

Ecuación continuidad

Condiciones de contorno

Descripción geométrica

Ecuación de movimiento

SOLUCIÓN

Utilización de las ecuaciones constitutivas Esquema de los cálculos

0=• nv rr

C.C. 2. Velocidad dada en z=L

C.C. 1. Velocidad y tensiones dadas en z=0:

0vvz = ( ) FRpR zzzz −=+= 22 πτππ

RLz Dvvv 0==

C.C. 3. No hay flujo de fluido a través de la superficie r =R

Utilización de las ecuaciones constitutivas

z=0

z=L

0dz) 0 dr(n =⋅rdzdrab0bdzadr ±=⇒=+b) 0 a(nr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

±=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

±=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⇒=+

22

22222

dzdr1

dzdr

b,

dzdr1

1a1dzdraa1ba

I. Normal a cualquier trayectoria (dr 0 dz).

II. Vector unitario.

( )( )( )

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−

+=

22 R'1R' ,0 ,

R'11nrr=R

Condiciones de contorno

( )( )( )

( )( ) 0R'1 vR'

R'1v

2z

2r =

+−

+

C.C. 3. No hay flujo de fluido a través de la superficie r =R

Utilización de las ecuaciones constitutivas

C.C. 2. Velocidad dada en z=L

C.C. 1. Velocidad y tensiones dadas en z=0: z=0

z=L

0vvz = ( ) FRpR zzzz −=+= 22 πτππ

RLz Dvvv 0==

Condiciones de contorno

0=• nv rr

C.C. 3. No hay flujo de fluido a través de la superficie r =R

0=• nv rr R)(r ´ == zr vRv

C.C. 2. Velocidad dada en z=L

C.C. 1. Velocidad y tensiones dadas en z=0: z=0

z=L

0vvz = ( ) FRpR zzzz −=+= 22 πτππ

RLz Dvvv 0==

Condiciones de contorno Utilización de las ecuaciones constitutivas

C.C. 3. No hay flujo de fluido a través de la superficie r =R

C.C.4. La resultante de todas las fuerzas que actúan sobre dicha superficie es nula:

0=• nv rr R)(r ´ == zr vRv

0=• nrrrπ

Utilización de las ecuaciones constitutivas

C.C. 2. Velocidad dada en z=L

C.C. 1. Velocidad y tensiones dadas en z=0: z=0

z=L

0vvz = ( ) FRpR zzzz −=+= 22 πτππ

RLz Dvvv 0==

( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

0

R'1R'

R'1

0

R'1R'

R'1

R'1R'0

R'11

0

0000

2zz

2rz

2rz

2rr

2

2

zzrz

zrrr

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

π−

+

π

+

π−

+

π

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ππ

ππ

Condiciones de contorno

C.C. 3. No hay flujo de fluido a través de la superficie r =R

C.C.4. La resultante de todas las fuerzas que actúan sobre dicha superficie es nula:

0=• nv rr R)(r ´ == zr vRv

0=• nrrrπ

Utilización de las ecuaciones constitutivas

C.C. 2. Velocidad dada en z=L

C.C. 1. Velocidad y tensiones dadas en z=0: z=0

z=L

0vvz = ( ) FRpR zzzz −=+= 22 πτππ

RLz Dvvv 0==

R)(r ´R)(r ´

====

zzzr

rzrr

RR

ππππ

Condiciones de contorno

Esquema de los cálculos

Ecuación reológica de estado

Ecuación continuidad

Condiciones de contorno

Descripción geométrica

Ecuación de movimiento

SOLUCIÓN

Utilización de las ecuaciones constitutivas

Ecuación de continuidad

( ) 0)v(z

)v(r1rv

rr1

t zr =ρ∂∂

+ρ∂θ∂

+ρ∂∂

+∂∂ρ

θ

Utilización de las ecuaciones constitutivas

( ) 0)v(dzdrv

rr1

zr =ρ+ρ∂∂

)z(g)r(fvr =

dzdvrv z

r 2−=

z)(r,rr vv =

(z)zz vv ≅

Utilización de las ecuaciones constitutivas

( ) 0)v(dzdg(z) f(r) r

rr1

z =+∂∂ ( ) )v(

dzd

g(z)r f(r) r

drd

z−=

)v(dzd

g(z) 2rf(r) z

2

−=

zzvvRR2 ′=

′−r=R

+C.C.3

Ecuación de continuidad

zr v´Rv =

Ecuación reológica de estado

Ecuación continuidad

Condiciones de contorno

Descripción geométrica

Ecuación de movimiento

SOLUCIÓN

Utilización de las ecuaciones constitutivas Esquema de los cálculos

zzzzrzz

zzz

rz g

zrr

rrzvvv

rv

rvv

tv ρπ

∂∂π

∂θ∂π

∂∂

∂∂

∂θ∂

∂∂

∂∂ρ θ

θ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

1)(1 -

Utilización de las ecuaciones constitutivas

2π r dr

0

R

Ecuación de movimiento

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

∂∂

+π∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

ρ zzrzz

z z)r(

rr1 -

zvv

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ρ∫ rdr

dzdvv

R

0z

z2

21 Rvv zz ′′

Utilización de las ecuaciones constitutivas

zzzzrzz

zzz

rz g

zrr

rrzvvv

rv

rvv

tv ρπ

∂∂π

∂θ∂π

∂∂

∂∂

∂θ∂

∂∂

∂∂ρ θ

θ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

1)(1 -

2π r dr

0

R

Ecuación de movimiento

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

∂∂

∫R

0 rz rdr)r(rr

1 )R(R rzπ )R(´R R zzπ= =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

∂∂

∫R

0 zz rdr z

2

)(2RRzzπ

R)(r ´R zzzr =π=πC.C.4

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

∂∂

+π∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

ρ zzrzz

z z)r(

rr1 -

zvv

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ρ∫ rdr

dzdvv

R

0z

z2

21 Rvv zz ′′

Ecuación generaldel hilado de fibraszzzzzz R

´R2vv π′−π−=′ρ

zzzzR´R20 π′−π−=

( )pvv

dzpd

zzz

zzz +′

=+ ττ )(

Utilización de las ecuaciones constitutivas

( )prrrr +== τπ 0

Transformación de la ecuación del hilado de fibras

Ecuación generaldel hilado de fibraszzzzzz R

´R2vv π′−π−=′ρ

0vv zz ≅′ρ

( )rrzzz

zrrzz

vv

dzd ττττ

−′

=− )(

Ecuación del hilado de fibras poliméricas

Ec. Continuidad

Ecuación reológica de estado

Ecuación continuidad

Condiciones de contorno

Descripción geométrica

Ecuación de movimiento

SOLUCIÓN

Utilización de las ecuaciones constitutivas Esquema de los cálculos

)1()1( )( G

)(γγη−=τ

γη+τ

rr&

rr&rr

Utilización de las ecuaciones constitutivas Ecuación constitutiva: Ec. White-Metzner

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ττ

ττ=τ

zzrz

zrrr

0000

0rr

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅τ+τ⋅−τ∇⋅+

∂τ∂

=τ ∇∇ )v()v(vt

T)1(

rrrrrrrrrrrrrr rr

( )( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−

== ∇∇

z

z

z

T

v00

0v0

00v

vv21

21

rr rr

( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′−

′−=+=γ ∇∇

z

z

zT

1

v 2000v000v

)v()v( rrrr rr

( ) ( )( )( ) z)1()1(

222

v3:21

tr tr21I

21

′=γγ=

=γ−γ==γ

rrrr

rr&

rr&&

Utilización de las ecuaciones constitutivas Ecuación constitutiva: Ec. White-Metzner

( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′′−

′−γη−=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡τ′+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂τ∂

+∂τ∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡τ′−τ′+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂τ∂

+∂τ∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡τ′−τ′+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂τ∂+

∂τ∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡τ′−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂τ∂+

∂τ∂

γη+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ττ

ττ

z

z

z

zzzzz

zzz

rrzzrzzrz

zrz

r

rzzrzzrz

zrz

rrrzrr

zrr

r

zzrz

rzrr

v 2000v000v

v2z

vr

v0v21v

zv

rv

000

v21v

zv

rv0v

zv

rv

G0

0000

&&

zrrzzz

zrr v)(vdz

dvG

)( ′γη=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ τ′+τγη+τ &

&

zzzzzz

zzz v)(2v2dz

dvG

)( ′γη−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ τ′−

τγη+τ &

&

( )nm)( γ=γη &&

Ecuación reológica de estado

Ecuación continuidad

Condiciones de contorno

Descripción geométrica

Ecuación de movimiento

SOLUCIÓN

Utilización de las ecuaciones constitutivas Esquema de los cálculos

Utilización de las ecuaciones constitutivas

[ ][ ] n

zzzz)1n(

zz

nrrrr

)1n(rr

N2T2TDeT

NTTDeT

φ′−=φ′−′φφ′+

φ′=φ′+′φφ′+−

−

Lz

=ς0V

vz=φFRT ijij

20πτ=

0

0

00

01n

0

tG1

t1

G1

LV

LVm3De λ

=η≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

−

20

01

03

RF

LV

LVm

N

n

π 20

0

20

01

0

RF

RF

m n

π

τ

π

γγ=

−

Resolución del problema

zn

rrzzz

z

n

rr v)(mvdz

dvG

)(m ′γ=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ τ′+

τγ+τ &

&

zn

zzzzz

z

n

zz v)(m2v2dz

dvG

)(m ′γ−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ τ′−

τγ+τ &

&

0vvz =0=z

( ) 2RF

rrzz πττ −=−0=z

Lz = 0vDv Rz =

[ ][ ] n

zzzzn

zz

nrrrr

nrr

NTTDeT

NTTDeT

φφφφ

φφφφ′−=′−′′+

′=′+′′+−

−

22)1(

)1(

Utilización de las ecuaciones constitutivas

( )rrzzz

zrrzz TTTT −

φφ′

=′−′

0=ς 1=φ

1−=− rrzz TT

1=ς0v

vD LR ==φ

0=ς

Resolución del problema

( )rrzzz

zrrzz

vv

dzd ττττ −

′=− )(

Lz

=ς0V

vz=φFRT ijij

20πτ=

Utilización de las ecuaciones constitutivas

0"nDeDe2)N3De( 2n2n22n =φ′φφ−φ′φ−φ′−φ+φ −

φ−=− )( rrzz TT

Resolución del problema

[ ][ ] n

zzzzn

zz

nrrrr

nrr

NTTDeT

NTTDeT

φφφφ

φφφφ′−=′−′′+

′=′+′′+−

−

22)1(

)1(

( )rrzzz

zrrzz TTTT −

φφ′

=′−′

DeNT nzz +−

′−= φ

φφ

32

De 3

Fluido Inelástico(De=0)

Utilización de las ecuaciones constitutivas

( ) ( ) ( )[ ] ( )⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−− −+= 111 31 n

nn sN ςφ

( )

n

nnR

nn

DN

−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

11

31 1

φ32

−=zzT

03 =′− nNφφ

Material elástico(N/De=0)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += sDe

ςφ 1

( )nzz

DeT 11 ζ

−−=

( )s

RDDe

1

11

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

≤

Caso clásicos extremos

0"21 222 =′−′−′+ −nnn nDeDeDe φφφφφ

Utilización de las ecuaciones constitutivas

0"nDeDe2)N3De( 2n2n22n =φ′φφ−φ′φ−φ′−φ+φ −

32T1 0

zz −<<− 10 −≅zzT

DeNT nzz +−

′−= φ

φφ

32

De 3

( )n

NDe

1

0 3 1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=′φ

De3

185.5

=

=

n

DR

Caso general: Material viscoelástico

10 =φC.C.1

R1 D=φC.C.3φ

32−=zzT ( )n

zzDe

T 11 ζ−−=

Utilización de las ecuaciones constitutivas

ζφφφζζ Δ′+≅→Δ+= 0011 0

ζφφφ Δ′′+′≅′ 001

21

21

211

2111

12)3(" −′

′−′−+= n

nn

nDeDeNDe

φφφφφφφφ

ζφφφζ Δ′+≅→= −− 11 1 kkkk

ζφφφ Δ′′+′≅′ −− 11 kkk

22

222)3(" −′′−′−+

= nkk

nkk

nkkk

k nDeDeNDe

φφφφφφφφ

10 0 =→= φζ

( )n

NDe

1

0 3 1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=′φ

20

20

200

2000

02)3(" −′

′−′−+= n

nn

nDeDeNDe

φφφφφφφφ

ζφφφζζ Δ′+≅→Δ+= −− 11 0 jjjj

ζφφφ Δ′′+′≅′ −− 11 jjj

22

222)3(" −′

′−′−+= n

jj

njj

njjj

j nDeDeNDe

φφφφφφφ

φ

?¿ Rk D=φ

No

SiFIN

Caso general: Solución numérica

supuesto N

Utilización de las ecuaciones constitutivas

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0.5 1ζ

0.050.10.20.40.50.59Experimental

De

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.2 0.4 0.6De

N

Caso general: Resultados

Utilización de las ecuaciones constitutivas

0"nDeDe2)N3De( 2n2n22n =φ′φφ−φ′φ−φ′−φ+φ −

Caso general: Material viscoelástico

00 =ς

1k =ς

10 =φ

Rk D=φ

( )n

NDe

1

0 3 1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=′φ

(k+1) intervalos

ζΔφ′+φ≅φ⇒ζφ′=φ −−∫ 1k1kk d

ζΔφ ′′+φ≅φ′⇒ζφ′′=φ′ −−∫ 1k1kk d

0→ζΔ