Post on 16-Feb-2015
operatori differenziali
campi scalari e campi vettorialigradiente di un campo scalaredivergenza di un campo vettorialerotore di un campo vettorialel’operatore “nabla” in coordinate cartesianeidentità vettoriali
operatori differenziali
campo scalare
sia U una funzione scalare definita in una regione Ω dello spazio; l’insieme dei valoriassunti da U in ogni punto P di Ω costituisce un campo scalare (es. distribuzione ditemperatura in una regione Ω)
superfici/curve di livello: superfici/curve ad U costanterappresentazione grafica: in termini di superfici o curve di livello se per ogni punto del campo passa una e una sola superficie/curva di livello
campo vettoriale
sia A una funzione vettoriale definita in una regione Ω dello spazio; l’insieme dei valori assunti da A in ogni punto P di Ω costituisce un campo vettoriale (es. distrib. di velocità)
linee di flusso: curve tangenti in ogni loro punto al vettore Arappresentazione grafica: in termini di linee di flusso se per ogni punto del campo passa una e una sola linea di flusso
operatori differenziali
derivata direzionale di una funzione
sia U=U(P) una funzione scalare definita in una regione Ω dello spazio; lungo unagenerica direzione individuata dal versore r, nel passare dal punto Po al punto Po+ΔP lafunzione passa dal valore U(Po) al valore U(Po+ΔP)>U(Po)
derivata direzionale della funzione U nel punto Po lungo la direzione r
(se il limite esiste ed è finito)
operatori differenziali
r)P(U)PP(Ulim
rU oo
0r Po
∆∆
∆
−+=
∂∂
→
U(Po)
r
U(Po+ΔP)
gradiente di una funzione
consideriamo la superficie So sulla quale la funzione U è costante e sia n il versore normalea So in Po orientato nel verso dei valori crescenti di U; si scelga il punto U(Po+ΔP) lungo ladirezione di n
il gradiente di U in Po è il vettore diretto lungo n che ha per modulo la derivata direzionale di U lungo n
effettuando l’operazione di gradiente in tutti i punti di Ω si definisce il campo vettoriale
operatori differenziali
oo
o PP
PU
nU)U(grad ∇=∂∂
= n
U=cost
So
n
Po
lnl=1Po+ΔP
U∇
proprietà del gradiente
il gradiente è un operatore differenziale che trasforma un campo scalare U(P) in un campo vettoriale
(α costante)
(linearità)
operatori differenziali
U∇
[ ] FFU )F(U );g(FF ∇∂∂
=∇=
)V()U()VU( ∇+∇=+∇
)U( )U ( ∇=∇ αα
proprietà del gradiente
noto il gradiente è possibile determinare la derivata direzionale lungo una qualsiasi direzione
il gradiente è un vettore diretto nella direzione di massima variazione della funzione U, ovvero la direzione lungo la quale è massima la derivata direzionale della funzione
operatori differenziali
α∆∆
∆∆ cos
n )P(U)PP(U
r )P(U)PP(U oooo −+=
−+
α∆∆ cosr n =
0n 0r lim ,lim→→ ∆∆
r⋅∇=∇=∂∂
=∂∂
→ UcosUcosnU
rU αα
α∆∆ cos/n r =→
0=α UnU
rU
rU
max
∇=∂∂
=∂∂
=∂∂
→
So
n
PoPo+ΔP
α r
lrl=1, lnl=1
n · r = cosα
funzioni potenziali
se il campo scalare U è il potenziale del campo vettoriale A
se il campo scalare U è un potenziale del campo vettoriale A ogni altro campo scalare G=U+Uo con Uo costante è un potenziale per A
se i campi scalari U e G sono potenziali del campo vettoriale A essi differiscono per una costante
operatori differenziali
U∇=A
A=∇=∇ UG
tcosUG 0)UG(UG =−→=−∇=∇−∇
flusso di un vettore attraverso una superficie aperta
A: campo vettoriale definito in Ω; S superficie aperta contenuta in Ω : assegnato un versosu C la normale (in ogni punto di S) n è orientata secondo la regola del cavatappi o dellavite destrogira (ruota nel verso di c ed avanza lungo n)
per un assegnato campo vettoriale A il segno di Φs dipende dall’orientamento di n
operatori differenziali
sd A sd S nS s ∫∫∫∫ =⋅= nAφ
S
nlnl=1
CC
c
flusso di un vettore attraverso una superficie chiusa
S superficie chiusa contenuta in Ω: la normale n è uscente dal volume V
(flusso uscente dal volume V)
operatori differenziali
S
nlnl=1
V
∫∫∫∫ =⋅= S n Sv dsAds nAφ
campi conservativi per il flusso
Se un campo vettoriale A è conservativo, il flusso attraverso tutte le superfici aperte delimitate da una stessa curva chiusa C ha lo stesso valore
operatori differenziali
flusso il per voconservati è 0ds seS
AnA =⋅∫∫
∫∫∫∫ ⋅=⋅21 S 2S 1 ds ds nAnA
C
S1
S2
n2
n1
S
∫∫∫∫ =⋅+⋅S S 1 0ds ds
1
nAnA
∫∫∫∫ =⋅+⋅S S 2 0ds ds
2
nAnA
divergenza di un vettore
sia Po un punto di V
V →0 (collassando nel punto Po)
(flusso uscente dall’unità di volume)
considerando tutti i punti di Ω si ottiene il campo scalare
operatori differenziali
ooo
P
vS
0VPP dVd
V
ds lim)(div φ
=⋅
=⋅∇= ∫∫→
nAAA
S
nlnl=1
V
Po
A⋅∇
proprietà della divergenza
la divergenza è un operatore differenziale che trasforma un campo vettoriale in un campo scalare
(α costante)
(linearità)
operatori differenziali
BABA ⋅∇+⋅∇=+⋅∇ )(
AA ⋅∇=⋅∇ ) ( αα
teorema della divergenza o di Gauss
operatori differenziali
∫∫∫∫∫ ⋅=⋅∇S V
ds dv nAA
S
nlnl=1
V
campi solenoidali
un campo è solenoidale se(linee di flusso chiuse)
un campo vettoriale A conservativo per il flusso è solenoidale
(conservativo)
(teorema della divergenza)
(solenoidale)
operatori differenziali
0ds S
=⋅∫∫ nA
0ds dv S V
=⋅=⋅∇ ∫∫∫∫∫ nAA
0=⋅∇ A
0=⋅∇ A
integrale curvilineo
A: campo vettoriale definito in Ω; C curva contenuta in Ω : assegnato un verso di percorrenza su C
operatori differenziali
dl IN
Ml ∫ ⋅= lA
C
N
M
l1l =
circuitazione di un vettore
operatori differenziali
∫∫ ⋅=⋅C
N
Mdl dl lAlA
|l|=1
CM≡N
l
circuitazione di un vettore
se U è un potenziale di A l’integrale curvilineo tra due punti M e N non dipende dalla particolare curva congiungente i due punti ma solo dal valore di U nei due punti
(U funzione potenziale)
se U è un potenziale di A, la circuitazione di A lungo una qualsiasi curva chiusa è nulla
operatori differenziali
)N(U)M(UdU dl dl
dU
dl U dl
N
M
N
M
N
M
N
M
−==⋅
=⋅∇=⋅
∫∫
∫∫ll
llA
U∇=A
0dl dl :NMC
N
M=⋅→⋅≡ ∫∫ lAlA
M
N
rotore di un campo vettoriale
si faccia tendere So a zero facendola contrarre in P mantenendo fissa la normale n a So in P
si considerino tutte le direzioni orientate n (ovvero tutte le superfici orientate delimitate dacurve passanti per P): i valori di Rn al variare di n corrispondono alle componenti secondon di una vettore che prende il nome di rotore del campo vettoriale A nel punto P
Il rotore è quindi il vettore che lungo la generica direzione n ha componente
operatori differenziali
S
dl lim)(rot C
0Snn∫ ⋅
=×∇=→
lAAA
Co
So
n,1=n 1l = l
Po
C
S
dl R o
∫ ⋅=
lA
o
C
0Sn S
dl limR o
o
∫ ⋅=
→
lA
AA ×∇=)(rot
proprietà del rotore
il rotore è un operatore differenziale che trasforma un campo vettoriale in un campo vettoriale
(α costante)
(linearità)
operatori differenziali
BABA ×∇+×∇=+×∇ )(
AA ×∇=×∇ ) ( αα
teorema di Stokes
operatori differenziali
CS
n
,1=n 1l = l
∫∫∫ ⋅×∇=⋅ SC
ds )(dl nAlA
campi irrotazionali
un campo è irrotazionale se
i campi che ammettono potenziale sono irrotazionali
(se il campo ammette potenziale)
(Stokes)
deve valere quale che sia S:
operatori differenziali
0ds )( S
=⋅×∇∫∫ nA
0=×∇ A
0dl C
=⋅∫ lA
0=×∇ A
teorema di scomposizione
un campo vettoriale A può essere scomposto nella somma di un campo vettoriale solenoidale e di un campo vettoriale irrotazionale
operatori differenziali
0i =×∇ A
0s =⋅∇ A
is AAA +=
coordinate cartesiane
in coordinate cartesiane, posto
l’operatore “nabla” può essere trattato come un vettore
operatori differenziali
)z,y,x(A z)z,y,x(Ay)z,y,x(A x)z,y,x( zyx ++=A
z z
yy
x x
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
∇
zU z
yUy
xU xU)U(grad
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇=
zA z
yA
yxA )(div zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇= AA
∂∂
−∂
∂+
∂∂
−∂∂
+
∂
∂−
∂∂
=×∇=yA
xA
zxA
zAy
zA
yAx)(rot xyzxyzAA
coordinate cartesiane
in coordinate cartesiane, posto
l’operatore “nabla” può essere trattato come un vettore*
_______________________________________________________________________* diverso dai vettori ordinari
operatori differenziali
)z,y,x(A z)z,y,x(Ay)z,y,x(A x)z,y,x( zyx ++=A
z z
yy
x x
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
∇
zU z
yUy
xU xU)U(grad
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇=z
A zy
Ay
xA )(div zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇= AA
∂∂
−∂
∂+
∂∂
−∂∂
+
∂
∂−
∂∂
=×∇=yA
xA
zxA
zAy
zA
yAx)(rot xyzxyzAA
ABBAABBA
⋅=⋅×−=×
definito) (non definito) (non
∇⋅−≠⋅∇∇×−≠×∇
AAAA
identità vettoriali
operatori differenziali
LAPLACIANO z
yx 2
2
2
2
2
22
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇AAA 2)()( ∇−⋅∇∇=×∇×∇
)( 0)( ∇⊥×∇≡×∇⋅∇ AA )||U( 0)U( ∇∇≡∇×∇
)(U)U()U( AAA ⋅∇+∇⋅=⋅∇
(scalare) )U( zU
yU
xU U 2
2
2
2
2
22 ∇⋅∇≡
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
(vettore) z
yx
2
2
2
2
2
22
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇AAAA
)V(U)U(V)UV( ∇+∇=∇
)()()( BAABBA ×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇)(UU)U( AAA ×∇+×∇=×∇
zB
yB
xB
zz
yy
xx)BzByBx()( zyxzyx ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
⋅++=∇⋅AAAAAB