Post on 27-Jan-2021
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
ONE WAY ANOVA
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨
Πάτρα, 11 Ιανουαρίου 2011
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Πίνακας Περιεχοµένων
1 completely random design with fixed effects
2 completely random design with random effects
3 Randomized complete block design with fixed effects
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Πίνακας Περιεχοµένων
1 completely random design with fixed effects
2 completely random design with random effects
3 Randomized complete block design with fixed effects
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Γενικά
΄Εχουµε N πειραµατικά δεδοµένα και επιθυµούµε να
µελετήσουµε τις επιδράσεις των k διαφορετικών ϑεραπειών. Οπότε
τα δεδοµένα διαιρούνται σε k υποοµάδες µεγέθους, αντίστοιχα,
n1, n2, ..., nk
∆ηλαδή οι k υποοµάδες µπορούµε να τις δούµε ότι αποτελούνται
από ανεξάρτητα τυχαία δείγµατα µεγέθους n1,n2, ...,nkαντίστοιχα, τα οποία έχουν προέλθει από πληθυσµούς µε µέσες
τιµές, µ1, µ2, ..., µk, αντίστοιχα.
Βασικός έλεγχος
H0 : µ1 = µ2 = ... = µk vs H1 : µi 6= µj για κάποιοi 6= j.
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Επεξήγηση
One Way Classification
Μελετάµε ΜΟΝΟ έναν παράγοντα
Παράδειγµα 1 Ο τύπος της ϑεραπείας, ο οποίος λαµβάνεται.
Παράδειγµα 2 Εµπλέκεται µόνο η λίµνη.
Completely Random Design
Τα k δείγµατα είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο.
fixed effects
Τα επίπεδα του κάθε παράγοντα που επιλέγονται είναι
συγκεκριµένα και καθορισµένα από τον πειραµατιστή.
Παράδειγµα 1 3 διαφορετικές ϑεραπείες
Παράδειγµα 2 4 λίµνες εµπλέκονται
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Στατιστικές Συναρτήσεις
Τα δεδοµένα, συνήθως, δίνονται στην παρακάτω µορφή,
Επίπεδα Παράγοντα
1 2 . . . i . . . k
x11 x21 . . . xi1 . . . xk1x12 x22 . . . xi2 . . . xk2...
.... . .
.... . .
...
x1j x2j . . . xij . . . xkj...
.... . .
.... . .
...
x1n1 x2n2 . . . xini . . . xknk
Xij: µία τ.µ. η οποία ορίζει την µέτρηση της j πειραµατικής
µονάδας στο i επίπεδο του παράγοντα.
N =
k∑
i=1
ni είναι το συνολικό πλήθος των µετρήσεων.
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Στατιστικές Συναρτήσεις
Τα δεδοµένα, συνήθως, δίνονται στην παρακάτω µορφή,
Επίπεδα Παράγοντα
1 2 . . . i . . . k
x11 x21 . . . xi1 . . . xk1x12 x22 . . . xi2 . . . xk2...
.... . .
.... . .
...
x1j x2j . . . xij . . . xkj...
.... . .
.... . .
...
x1n1 x2n2 . . . xini . . . xknk
Ti· =
ni∑
j=1
Xij: το σύνολο των µετρήσεων στο επίπεδο i.
X̄i· =1
niTi·: ο δειγµατικός µέσος στο επίπεδο i.
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Στατιστικές Συναρτήσεις
Τα δεδοµένα, συνήθως, δίνονται στην παρακάτω µορφή,
Επίπεδα Παράγοντα
1 2 . . . i . . . k
x11 x21 . . . xi1 . . . xk1x12 x22 . . . xi2 . . . xk2...
.... . .
.... . .
...
x1j x2j . . . xij . . . xkj...
.... . .
.... . .
...
x1n1 x2n2 . . . xini . . . xknk
T·· =
k∑
i=1
ni∑
j=1
Xij =
k∑
i=1
Ti·: το σύνολο όλων των µετρήσεων.
X̄·· =1
NT··: ο ολικός δειγµατικός µέσος.
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Βασικός ΄Ελεγχος
H0 : µ1 = µ2 = ... = µk = µ.
µi = η αναµενόµενη (µέση) τιµή στο i επίπεδο, i = 1,2, ..., k(µέση τιµή του i πληθυσµού)
µ = η µέση τιµή του πληθυσµού, ο οποίος δηµιουργείται ανκάνουµε τους k, έναν.
Παρατήρηση
∆ηλαδή, αν µi − µ 6= 0, για κάποιο i, τότε δεν ισχύει η H0.
Παρατήρηση
Αν και κάθε µέλος του ίδιου πληθυσµού λαµβάνει την ίδια
ϑεραπεία, οι µετρήσεις που παίρνουµε ϑα διαφέρουν λόγω τυχαίων
επιδράσεων. ∆ηλαδή, µέσα (within) σε κάθε πληθυσµό, υπάρχει
κάποια ϕυσική µεταβλητότητα γύρω από τον µέσο του πληθυσµού.
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Μαθηµατικό µοντέλο
Xij = µ+ (µi − µ) + (Xij − µi) , i = 1,2, ..., k , j = 1,2, ...,ni
µ 99K η συνολική µέση τιµή
µi − µ 99K µετράει την απόσταση από την συνολική µέση
τιµή, η οποία οφείλεται στο γεγονός ότι η µονάδα έλαβε την i
ϑεραπεία.
Xij − µi 99K τυχαία απόκλιση από τον µέσο του i πληθυσµού,
η οποία οφείλεται στις τυχαίες επιδράσεις.
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Υποθέσεις
Τα k δείγµατα είναι ανεξάρτητα τυχαία δείγµατα από k
πληθυσµούς
Κάθε ένας από τους πληθυσµούς ακολουθεί κανονική
κατανοµή,
Κάθε ένας από τους πληθυσµούς έχει διασπορά σ2,
Xi1,Xi2, . . . ,Xik ανεξάρτητες τ.µ. ∼ N(µi , σ2).
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Ανάλυση ∆ιασποράς
k∑
i=1
ni∑
j=1
(Xij − X ..)2 =
k∑
i=1
ni(X i. − X ..)2 +
k∑
i=1
b∑
j=1
(Xij − X i.)2
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Ανάλυση ∆ιασποράς
k∑
i=1
ni∑
j=1
(Xij − X ..)2 =
k∑
i=1
ni(X i. − X ..)2 +
k∑
i=1
b∑
j=1
(Xij − X i.)2
SSTotal : Μετράει την συνολική µεταβλητότητα των δεδοµένων
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Ανάλυση ∆ιασποράς
k∑
i=1
ni∑
j=1
(Xij − X ..)2 =
k∑
i=1
ni(X i. − X ..)2 +
k∑
i=1
b∑
j=1
(Xij − X i.)2
SSTreatment : Μετράει την µεταβλητότητα που οφείλεται στις διαφορετικές ϑεραπείες
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Ανάλυση ∆ιασποράς
k∑
i=1
ni∑
j=1
(Xij − X ..)2 =
k∑
i=1
ni(X i. − X ..)2 +
k∑
i=1
b∑
j=1
(Xij − X i.)2
SSError : Μετράει την µεταβλητότητα που οφείλεται στους τυχαίους παράγοντες
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Ανάλυση ∆ιασποράς
k∑
i=1
ni∑
j=1
(Xij − X ..)2 =
k∑
i=1
ni(X i. − X ..)2 +
k∑
i=1
b∑
j=1
(Xij − X i.)2
Στατιστικές Συναρτήσεις
MSTr =SSTr
k − 1E(MSTr) = σ
2 +
k∑
i=1
ni(µi − µ)2
k − 1
MSE =SSE
N − kE(MSE) = σ
2
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Πίνακας ANOVA
Πηγή της ϐαθµοί
Μεταβλητότητας ελευθερίας SS MS F
Επίπεδο k − 1
k∑
i=1
T2i.
ni−
T2..
N
SSTr
k − 1
MSTr
MSE
Υπόλοιπο N − k SSTotal − SSTrSSE
N − k
Συνολικά N − 1
k∑
i=1
ni∑
j=1
X2ij −T2..
N
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Παρατηρήσεις
Γιατί να χρησιµοποιήσουµε ANOVA και όχι διαδοχικά t-test;
1 Χρονοβόρο, π.χ. 5 επίπεδα 10 t-test
2 Υπάρχει πιθανότητα σε κάθε t-test 5% να µην είναι σωστό,οπότε αν κάνουµε 3 t-test, αυτή η πιθανότητα γίνεται
(1 − 0.953)× 100% = 14.26%.
Αν απορρίψουµε την H0, σηµαίνει ότι υπάρχει διαφορά µεταξύ
των µέσων των k πληθυσµών. Που υπάρχουν αυτές οι διαφορές ;
PostHoc - tests
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Παρατηρήσεις
PostHoc - tests
1 Duncan’s multiple range test
2 Least Squared Distributed (LSD)
3 Bonferroni
4 Sceffé
΄Ελεγχος Οµοσκεδαστικότητας
H0 : σ21 = σ
22 = ... = σ
2k = σ
2
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Πίνακας Περιεχοµένων
1 completely random design with fixed effects
2 completely random design with random effects
3 Randomized complete block design with fixed effects
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
completely random design with random effects
Προηγουµένως τα επίπεδα των παραγόντων (οι ϑεραπείες)
ήταν καθορισµένες από τον πειραµατιστή. Η λογική του
πειράµατος ήταν ότι επιθυµούσαµε να συγκρίνουµε τους
µέσους k συγκεκριµένων πληθυσµών.
Αν ϑέλουµε να κάνουµε σύγκριση περισσοτέρων πληθυσµών,
τότε οι k πληθυσµοί µπορεί να ϑεωρηθούν σαν ένα δείγµα
από αυτούς και λέµε ότι έχουµε τυχαίους παράγοντες (και
όχι δοσµένους k).
Αυτό που µας ενδιαφέρει, πλέον, είναι να δούµε αν υπάρχει
κάποιου είδους µεταβλητότητα (variability) ανάµεσα σε
όλους τους πληθυσµούς.
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Επεξήγηση
One Way Classification
Μελετάµε ΜΟΝΟ έναν παράγοντα
Παράδειγµα 3 Κατασκευαστές ενός συγκεκριµένου µέσου
Completely Random Design
Τα k (k = 3) δείγµατα είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο.
with random effects
Τα επίπεδα του κάθε παράγοντα που επιλέγονται ∆ΕΝ είναι
συγκεκριµένα και καθορισµένα από τον πειραµατιστή.
Παράδειγµα 3 συγκρίνουµε την ποιότητα των µέσων ΟΛΩΝ των
κατασκευαστών
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Μαθηµατικό µοντέλο
Xij = µ+ Ti + Eij , i = 1,2, ..., k , j = 1,2, ...,ni
µ 99K η συνολική µέση τιµή
Ti = µi − µ 99K µετράει την απόσταση από την συνολικήµέση τιµή, η οποία οφείλεται στο γεγονός ότι η µονάδα έλαβε
την i ϑεραπεία.
Eij = Xij − µi 99K τυχαία απόκλιση από τον µέσο του iπληθυσµού, η οποία οφείλεται στις τυχαίες επιδράσεις.
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Υποθέσεις
Τα k δείγµατα είναι ανεξάρτητα τυχαία δείγµατα από k
πληθυσµούς, οι οποίοι επιλέχθηκαν τυχαία από ένα
µεγαλύτερο σύνολο πληθυσµών
Κάθε ένας από τους πληθυσµούς του µεγαλύτερου συνόλου
ακολουθεί κανονική κατανοµή, οπότε κάθε ένας από τους k
δειγµατικούς πληθυσµούς ακολουθεί κανονική κατανοµή.
Κάθε ένας από τους πληθυσµούς του µεγαλύτερου συνόλου
έχει διασπορά σ2, οπότε κάθε ένας από τους k δειγµατικούς
πληθυσµούς έχει διασπορά σ2.
T1, T2, . . . , Tk ανεξάρτητες τ.µ. ∼ N(0, σ2Tr).
∆ιαφορά µε fixed effects
Εδώ, οι Ti = µi − µ ϑεωρούνται τυχαίες µεταβλητές, ενώ στα fixedeffect models ϑεωρούνται άγνωστες σταθερές.
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Λογική Ελέγχου
Αν στους πληθυσµούς του µεγαλύτερου συνόλου, οι µέσοι
είναι ακριβώς οι ίδιοι, σηµαίνει ότι για τους k δειγµατικούς
πληθυσµούς, οι τ.µ. Ti = µi − µ δεν ϑα διαφέρουν (δεν ϑαµεταβάλλονται)
H0 : σ2Tr = 0 , H1 : σ
2Tr 6= 0.
Η ανάλυση είναι ακριβώς η ίδια µε το προηγούµενο µοντέλο
(CRD with fixed effects) µε την µόνη διαφορά ότι,
E(MSTr) = σ2 + n0σ
2Tr , n0 =
N −
k∑
i=1
n2i
N
k − 1.
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Πίνακας ANOVA
Πηγή της ϐαθµοί
Μεταβλητότητας ελευθερίας SS MS F
Επίπεδο k − 1
k∑
i=1
T2i.
ni−
T2..
N
SSTr
k − 1
MSTr
MSE
Υπόλοιπο N − k SSTotal − SSTrSSE
N − k
Συνολικά N − 1
k∑
i=1
ni∑
j=1
X2ij −T2..
N
Παρατήρηση
∆εν χρειάζεται περαιτέρω ανάλυση, ακόµα και αν η H0απορρίπτεται.
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Πίνακας Περιεχοµένων
1 completely random design with fixed effects
2 completely random design with random effects
3 Randomized complete block design with fixed effects
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Randomized complete block design with fixed effects
block
Τα πειραµατικά δεδοµένα συγκρίνονται σε σχέση µε κάποια
µεταβλητή
randomized
Οι ϑεραπείες γίνονται τυχαία σε κάθε block
complete
Κάθε ϑεραπεία χρησιµοποιείται ακριβώς µια ϕορά µέσα σε κάθε
block
with fixed effects
Οι ϑεραπείες και τα block που επιλέγονται είναι συγκεκριµένα
και καθορισµένα από τον πειραµατιστή.
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Χρήσιµοι ΄Ελεγχοι
H0 : µ1. = µ2. = . . . = µk. (µi.είναι ο µέσος της i ϑεραπείας)
H ′0 : µ.1 = µ.2 = . . . = µ.b (µ.jείναι ο µέσος του j block)
Παρατήρηση
Αναµένουµε την H ′0 να απορριφθεί !
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Στατιστικές Συναρτήσεις
Τα δεδοµένα, συνήθως, δίνονται στην παρακάτω µορφή,
Θεραπεία
1 2 . . . i . . . k
1 x11 x21 . . . xi1 . . . xk12 x12 x22 . . . xi2 . . . xk2...
......
. . ....
. . ....
j x1j x2j . . . xij . . . xkj...
......
. . ....
. . ....
b x1b x2b . . . xib . . . xkb
Xij: µία τ.µ. η οποία ορίζει την µέτρηση της i ϑεραπείας στο j
block
N = kb είναι το συνολικό πλήθος των µετρήσεων
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Στατιστικές Συναρτήσεις
Τα δεδοµένα, συνήθως, δίνονται στην παρακάτω µορφή,
Θεραπεία
1 2 . . . i . . . k
1 x11 x21 . . . xi1 . . . xk12 x12 x22 . . . xi2 . . . xk2...
......
. . ....
. . ....
j x1j x2j . . . xij . . . xkj...
......
. . ....
. . ....
b x1b x2b . . . xib . . . xkb
Ti. =
b∑
j=1
Xij το σύνολο των µετρήσεων της i ϑεραπείας
X i. =1
bTi. ο δειγµατικός µέσος της i ϑεραπείας
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Στατιστικές Συναρτήσεις
Τα δεδοµένα, συνήθως, δίνονται στην παρακάτω µορφή,
Θεραπεία
1 2 . . . i . . . k
1 x11 x21 . . . xi1 . . . xk12 x12 x22 . . . xi2 . . . xk2...
......
. . ....
. . ....
j x1j x2j . . . xij . . . xkj...
......
. . ....
. . ....
b x1b x2b . . . xib . . . xkb
T.j =
k∑
i=1
Xij το σύνολο των µετρήσεων στο j block
X.j =
1
kT.j ο δειγµατικός µέσος στο j block
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Στατιστικές Συναρτήσεις
Τα δεδοµένα, συνήθως, δίνονται στην παρακάτω µορφή,
Θεραπεία
1 2 . . . i . . . k
1 x11 x21 . . . xi1 . . . xk12 x12 x22 . . . xi2 . . . xk2...
......
. . ....
. . ....
j x1j x2j . . . xij . . . xkj...
......
. . ....
. . ....
b x1b x2b . . . xib . . . xkb
T..=
k∑
i=1
b∑
j=1
Xij το σύνολο όλων των µετρήσεων
X..=
1
NT.. ο δειγµατικός µέσος όλων των µετρήσεων
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Μαθηµατικό Μοντέλο
Xij = µ+ τi + βj + Eij , i = 1,2, ..., k , j = 1,2, ..., b
µ 99K ο ολικός µέσος του πληθυσµού
τi = µi. − µ 99K απόσταση από την συνολική µέση τιµή, ηοποία οφείλεται στο γεγονός ότι η µονάδα έλαβε την i
ϑεραπεία.
µi. 99K ο µέσος της i ϑεραπείας
βj = µ.j − µ 99K απόσταση από την συνολική µέση τιµή, ηοποία οφείλεται στο j block
µ.j 99K ο µέσος του j block
Eij = Xij − µij 99K τυχαία απόκλιση από τον µέσο του iπληθυσµού, η οποία οφείλεται στις τυχαίες επιδράσεις.
µij 99K ο µέσος της i ϑεραπείας και του j block
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Υποθέσεις
Xij ∼ N(µij, σ2) , i = 1,2, ..., k j = 1,2, ..., b
∆εν υπάρχει καµµιά αλληλεπίδραση µεταξύ ϑεραπειών και
block
(Οι διαφορές στους µέσους για δύο ϑεραπείες είναι η ίδια σε
κάθε block και οι διαφορές στους µέσους για κάθε δύο block
είναι η ίδια για κάθε ϑεραπεία)
Παράδειγµα
1 2 3
1 µ11 = 4 µ21 = 5 µ31 = 72 µ12 = 3 µ22 = 4 µ32 = 6
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Ανάλυση ∆ιασποράς
k∑
i=1
b∑
j=1
(Xij−X ..)2 = b
k∑
i=1
(X i.−X ..)2+k
b∑
j=1
(X.j−X ..)
2+k∑
i=1
b∑
j=1
(Xij−X i.−X .j+X ..)2
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Ανάλυση ∆ιασποράς
k∑
i=1
b∑
j=1
(Xij − X ..)2 = b
k∑
i=1
(X i.−X ..)2+k
b∑
j=1
(X.j−X ..)
2+k∑
i=1
b∑
j=1
(Xij−X i.−X .j+X ..)2
SSTotal : Μετράει την συνολική µεταβλητότητα των δεδοµένων
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Ανάλυση ∆ιασποράς
k∑
i=1
b∑
j=1
(Xij−X ..)2 = b
k∑
i=1
(X i. − X ..)2+k
b∑
j=1
(X.j−X ..)
2+k∑
i=1
b∑
j=1
(Xij−X i.−X .j+X ..)2
SSTreatment : Μετράει την µεταβλητότητα που οφείλεται στις διαφορετικές ϑεραπείες
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Ανάλυση ∆ιασποράς
k∑
i=1
b∑
j=1
(Xij−X ..)2 = b
k∑
i=1
(X i.−X ..)2+k
b∑
j=1
(X.j − X ..)
2+k∑
i=1
b∑
j=1
(Xij−X i.−X .j+X ..)2
SSBlocks : Μετράει την µεταβλητότητα που οφείλεται στα διαφορετικά block
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Ανάλυση ∆ιασποράς
k∑
i=1
b∑
j=1
(Xij−X ..)2 = b
k∑
i=1
(X i.−X ..)2+k
b∑
j=1
(X.j−X ..)
2+k∑
i=1
b∑
j=1
(Xij − X i. − X .j + X ..)2
SSError : Μετράει την µεταβλητότητα που οφείλεται σε τυχαίους παράγοντες
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Ανάλυση ∆ιασποράς
k∑
i=1
b∑
j=1
(Xij−X ..)2 = b
k∑
i=1
(X i.−X ..)2+k
b∑
j=1
(X.j−X ..)
2+k∑
i=1
b∑
j=1
(Xij−X i.−X .j+X ..)2
Στατιστικές Συναρτήσεις
MSTr =SSTr
k − 1E(MSTr) = σ
2 +b
k − 1
k∑
i=1
(µi. − µ)2
MSBl =SSBl
b − 1E(MSBl) = σ
2 +k
b − 1
b∑
j=1
(µ.j − µ)
2
MSE =SSE
(k − 1)(b − 1)E(MSE) = σ
2
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
΄Ελεγχοι Υποθέσεων
H0 : µ1. = µ2. = . . . = µk. vs H1 : µi. 6= µj. για κάποιο(i, j)
Απορρίπτω την H0, εάν :MSTr
MSE> Fk−1,(k−1)(b−1),a
H ′0 : µ.1 = µ.2 = . . . = µ.b vs H1 : µ.i 6= µ.j για κάποιο(i, j)
Απορρίπτω την H ′0, εάν :MSTr
MSE> Fb−1,(k−1)(b−1),a
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Πίνακας ANOVA
Πηγή της ϐαθµοί
Μεταβλητότητας ελευθερίας SS MS F
Επίπεδο k − 1
k∑
i=1
T2i.
b−
T2..
N
SSTr
k − 1
MSTr
MSE
block b − 1
b∑
j=1
T2.j
k−
T2..
N
SSBl
b − 1
MSBl
MSE
Υπόλοιπο (k − 1)(b − 1) SSTotal − SSTr − SSBlSSE
(k − 1)(b − 1)
Συνολικά kb − 1
k∑
i=1
b∑
j=1
X2ij −
T2..
N
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Παρατηρήσεις :
Υπάρχει περίπτωση να υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ϑεραπειών
και block, δηλ. να υπάρχει έλλειψη συνέπειας στην συµπεριφορά
των ϑεραπειών κατά µήκος των block ή και αντίστροφα, κάτι που
πρέπει να ελεγχθεί. (΄Ελεγχος Σφαιρικότητας)
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Παρατηρήσεις :
Υπάρχει περίπτωση να υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ϑεραπειών
και block, δηλ. να υπάρχει έλλειψη συνέπειας στην συµπεριφορά
των ϑεραπειών κατά µήκος των block ή και αντίστροφα, κάτι που
πρέπει να ελεγχθεί. (΄Ελεγχος Σφαιρικότητας)
Αν απορριφτεί η H0, τότε κάνουµε τον έλεγχο του Duncan
SSRp = rp
√
MSE
b
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Παρατηρήσεις :
Υπάρχει περίπτωση να υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ϑεραπειών
και block, δηλ. να υπάρχει έλλειψη συνέπειας στην συµπεριφορά
των ϑεραπειών κατά µήκος των block ή και αντίστροφα, κάτι που
πρέπει να ελεγχθεί. (΄Ελεγχος Σφαιρικότητας)
Αν απορριφτεί η H0, τότε κάνουµε τον έλεγχο του Duncan
SSRp = rp
√
MSE
b
Υπάρχει περίπτωση οι ϑεραπείες να είναι συγκεκριµένες, αλλά τα
block να εκλέγονται τυχαία από ένα µεγαλύτερο σύνολο block, σε
αυτήν την περίπτωση έχουµε την ίδια ανάλυση για την H0, αλλά
H ′0 : σ2Bl = 0 (καµµιά µεταβλητότητα στην επίδραση των block)
Αυτό το µοντέλο ονοµάζεται µικτό
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Παρατηρήσεις :
΄Ενα άλλο µικτό µοντέλο είναι τα block να είναι δοσµένα, αλλά οι
ϑεραπείες τυχαίες.
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effects
Randomized complete block design with fixed effects
Παρατηρήσεις :
΄Ενα άλλο µικτό µοντέλο είναι τα block να είναι δοσµένα, αλλά οι
ϑεραπείες τυχαίες.
Και οι ϑεραπείες και τα block να είναι τυχαία επιλεγµένα (Τυχαίο
µοντέλο)
∆.Π.Μ.Σ. ¨Μαθηµατικά των Υπολογιστών & των αποφάσεων¨ ONE WAY ANOVA
completely random design with fixed effectscompletely random design with random effectsRandomized complete block design with fixed effects