Post on 31-Jan-2021
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ
ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
Μάθημα: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 3ο Εξάμηνο Σπουδών
Διάλεξη 04α
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 1
Περιγραφή του Μαθήματος
Επιμέρους ενότητες που εξετάζονται:
Πίνακες
Αντίστροφος πίνακας και δυνάμεις πινάκων
Μερικοί ειδικοί τύποι πινάκων
Ορίζουσες και αντίστροφοι πίνακες - Ασκήσεις
Ορίζουσες και συστήματα γραμμικών εξισώσεων
Απαλοιφή του Gauss και Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων
Διανυσματικοί χώροι
Διανυσματικοί χώροι και συστήματα γραμμικών εξισώσεων
Ορθογωνιότητα Διανυσμάτων
Ορθογωνιότητα Διανυσματικών χώρων
Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
Διαγωνοποίηση και συναρτήσεις πινάκων
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 2
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 3
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 4
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 5
Ιδιότητες Οριζουσών Μία ορίζουσα δεν μεταβάλλεται, αν οι γραμμές της γίνουν στήλες με την ίδια
διάταξη.
Μία ορίζουσα αλλάζει πρόσημο, αν αλλάξουμε την θέση δύο γραμμών ή δύο
στηλών.
Μία ορίζουσα είναι ίση με 0, αν τα αντίστοιχα στοιχεία δύο γραμμών ή δύο
στηλών της είναι ίσα ή ανάλογα.
Μία ορίζουσα πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό λ ≠ 0, αν
πολλαπλασιάσουμε όλα τα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης με τον
αριθμό λ.
Μία ορίζουσα ανάγεται σε άθροισμα δύο οριζουσών αν κάθε στοιχείο μιας
γραμμής ή μιας στήλης είναι άθροισμα δύο προσθεταίων.
Μία ορίζουσα δεν μεταβάλλεται, αν στα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης
προσθέσουμε τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης γραμμής ή στήλης,
πολλαπλασιασμένα με έναν αριθμό λ ≠ 0.
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 6
Ιδιότητες Οριζουσών (1/2)
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 7
Ιδιότητες Οριζουσών (2/2)
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 8
Άσκηση 1η
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 9
Άσκηση 1η (Λύση)
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 10
Άσκηση 2η
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 11
Άσκηση 2η (Λύση)
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 12
Άσκηση 3η
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 13
Άσκηση 3η (Λύση)
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 14
Άσκηση 4η
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 15
Άσκηση 4η (Λύση)
Αναπτύσσουμε την ορίζουσα ως προς τα στοιχεία της 3η γραμμή γιατί περιέχει 3 μηδενικά
στοιχεία και αυτό θα μας γλιτώσει πράξεις….
Αντί να αναπτύξουμε την ορίζουσα του 3x3 πίνακα ως προς την 1 στήλη μπορούμε να
εφαρμόσουμε τον κανόνα του Sarrus:
= 2 ∙ (1 ∙ 3 ∙ 3 + 4 ∙ 2 ∙ 1 + 1 ∙ 2 ∙ 1 − 1 ∙ 3 ∙ 1 − 1 ∙ 2 ∙ 1 − 3 ∙ 2 ∙ 4)
=2∙ (9 + 8 + 2 − 3 − 2 − 24)=2∙ (−10) = −20
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 16
Άσκηση 5η Να αποδείξετε ότι:
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 17
Άσκηση 5η (Λύση) Από την δεύτερη στήλη αφαιρούμε την τρίτη στήλη, κατόπιν στην πρώτη στήλη προσθέτουμε
την δεύτερη στήλη.
Κανόνας του Sarrus:
= −𝑏3 − 𝑎3 − 𝑐3 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 = 3𝑎𝑏𝑐 − 𝑎3 − 𝑏3 − 𝑐3
Άρα
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 18
Άσκηση 6η Να αποδείξετε ότι:
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 19
Άσκηση 6η (Λύση)
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 20
Άσκηση 7η
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 21
Άσκηση 7η (Λύση)
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 22
Άσκηση 7η (Λύση)…
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 23
Άσκηση 8η
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 24
Άσκηση 8η (Λύση)
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 25
Άσκηση 9η
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 26
Άσκηση 9η (Λύση)
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 27
Άσκηση 9η (Λύση)….
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 28
Άσκηση 10η
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 29
Άσκηση 10η (Λύση)
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 30
Άσκηση 10η (Λύση)….
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 31
Άσκηση 11η
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 32
Άσκηση 11η (Λύση)
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 33
Άσκηση 12η
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 34
Άσκηση 12η (Λύση)
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 35
Άσκηση 12η (Λύση)…
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 36
Άσκηση 13η
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 37
Άσκηση 13η (Λύση)
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 38
Άσκηση 14η
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 39
Άσκηση 14η (Λύση)
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 40
Άσκηση 15η
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 41
Άσκηση 15η (Λύση)
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 42
Άσκηση 15η (Λύση)…
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 43
Άσκηση 16η
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 44
Άσκηση 16η (Λύση)
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 45
Άσκηση 16η (Λύση)…
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 46
Άσκηση 17η
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 47
Άσκηση 17η (Λύση)
Δρ. Γεώργιος Χρ. Μακρής 2020-2021 48
Άσκηση 17η (Λύση)…