ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ

Ενότητα 8: Η τεχνική των ψευδομεταβλητών -

Έλεγχοι σταθερότητας των συντελεστών

Παπάνα Αγγελική

Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘE-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr

Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

1

2

Περιεχόμενο ενότητας

1. Διαχρονικές επιδράσεις

2. Εποχικές επιδράσεις

3. Αλληλεπίδραση ψευδομεταβλητών

4. Κατά τμήματα γραμμική παλινδρόμηση

5. Συνδυασμός διαστρωματικών στοιχείων με στοιχεία χρονολογικών σειρών

6. Έλεγχοι σταθερότητας συντελεστών

3

Εισαγωγή

Η συμπεριφορά των οικονομικών μεταβλητών πολλές φορές επηρεάζεται από ποιοτικούς παράγοντες, π.χ. το φύλο, την οικογενειακή κατάσταση, το επάγγελμα κτλ.

Οι ποιοτικοί παράγοντες δεν είναι ποσοτικά μετρήσιμοι, αλλά μπορούν να απαριθμηθούν.

Το πρόβλημα της εισαγωγής ποιοτικών μεταβλητών σε ένα υπόδειγμα παλινδρόμησης λύνεται με την τεχνική των ψευδομεταβλητών (dummy variables) ή δυαδικών μεταβλητών (binary) ή διχοτομικών μεταβλητών (dichotomous).

4

Οι ψευδομεταβλητές είναι τεχνητές μεταβλητές που παίρνουν συνήθως τιμές 0 και 1.

Π.χ. ο παράγοντας ‘φύλο’, μπορεί να παρασταθεί με μια ψευδομεταβλητή που παίρνει αυθαίρετα την τιμή 1 αν το άτομο είναι άνδρας και την τιμή 0 αν είναι γυναίκα.

Οι ψευδομεταβλητές μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για ποσοτικές μεταβλητές, π.χ. για την μεταβλητή ‘ηλικία’, όταν μας ενδιαφέρει να χωρίσουμε τα δεδομένα σε ένα συγκεκριμένο πλήθος ηλικιακών ομάδων.

Σε ένα υπόδειγμα παλινδρόμησης, και η εξαρτημένη μεταβλητή μπορεί να παριστάνεται με ψευδομεταβλητή.

5

1. Διαχρονικές επιδράσεις

Μια από τις πιο συνηθισμένες εφαρμογές των ψευδομεταβλητώναναφέρεται στην ανάλυση των διαχρονικών επιδράσεων (temporal effects), που έχουν ως συνέπεια την μετατόπιση των διάφορων οικονομικών συναρτήσεων.

π.χ. Η εκτίμηση της καταναλώσεως για ένα διάστημα που περιλαμβάνει περιόδους ειρήνης και πολέμου. Οι ειδικές συνθήκες που χαρακτηρίζουν την οικονομία σε περίοδο πολέμου οπωσδήποτε έχουν επιπτώσεις στη συμπεριφορά των δαπανών κατανάλωσης. Κατά συνέπεια, για την εκτίμηση της συνάρτησης κατανάλωσης, πρέπει να ληφθεί υπόψιν αν η περίοδος είναι ειρηνική ή πολεμική.

6

Μια λύση στο παραπάνω πρόβλημα είναι να εκτιμήσουμε δύο συναρτήσεις καταναλώσεως, δηλαδή μια κάθε περίοδο:

𝐂𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝐮𝒕 περίοδος ειρήνης

𝐂𝒕 = 𝛃𝟎∗ + 𝛃𝟏

∗𝚾𝒕 + 𝐮𝒕 περίοδος πολέμου

Η μεταβολή της συνάρτησης κατανάλωσης από την μια περίοδο στην άλλη μπορεί να αναφέρεται μόνο στον σταθερό όρο ή μόνο στην κλίση ή και στους δύο συντελεστές.

Θα εξετάσουμε ξεχωριστά την κάθε περίπτωση.

7

Περίπτωση Α. Έστω ότι η οριακή ροπή για κατανάλωση είναι ίδια στις δύο περιόδους, δηλαδή 𝛃𝟏 = 𝛃𝟏

∗ , αλλά 𝛃𝟎 ≠ 𝛃𝟎∗ .

Οπότε οι δύο συναρτήσεις διαφέρουν μόνο κατά τον σταθερό όρο:

𝐂𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝐮𝒕 περίοδος ειρήνης

𝐂𝒕 = 𝛃𝟎∗ + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝐮𝒕 περίοδος πολέμου

Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να εκτιμήσουμε μόνο μια συνάρτηση, εισάγοντας την ψευδομεταβλητή 𝐃𝒕 ως εξής:

𝐂𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛄𝐃𝒕 + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝐮𝒕

όπου 𝐃𝒕 = 𝟎 για τα έτη ειρήνης και

𝐃𝒕 = 𝟏 για τα έτη πολέμου

8

𝐂𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛄𝐃𝒕 + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝐮𝒕

Για τα έτη ειρήνης 𝐃𝒕 = 𝟎 άρα 𝐂𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝐮𝒕Για τα έτη πολέμου 𝐃𝒕 = 𝟏 άρα 𝐂𝒕 = (𝛃𝟎 + 𝛄) + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝐮𝒕Επομένως 𝛃𝟎 + 𝛄 = 𝛃𝟎

∗ 𝛄 = 𝛃𝟎∗ − 𝛃𝟎

Ο συντελεστής 𝛄 της μεταβλητής 𝐃𝒕 παριστάνει τη διαφορά ανάμεσα στον σταθερό όρο των δύο περιόδων.

𝛄 {

𝚬(𝐂𝒕) = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝒕 περίοδος ειρήνης

𝚬(𝐂𝒕) = (𝛃𝟎+𝜸) + 𝛃𝟏𝚾𝒕 περίοδος πολέμου

𝚾𝒕

𝐂𝒕

9

Μπορούμε να εκτιμήσουμε το υπόδειγμα αυτό με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Για να ελέγξουμε την υπόθεση ότι η συνάρτηση καταναλώσεως μετατοπίζεται τη περίοδο του πολέμου, ελέγχουμε την μηδενική υπόθεση Η0: 𝛄 = 𝟎, με εναλλακτική υπόθεση Η1: 𝛄 ≠ 𝟎

Δηλαδή ελέγχουμε αν ο συντελεστής 𝛄 είναι στατιστικά σημαντικός στο υπόδειγμα που εκτιμούμε.

Αν απορρίψουμε την Η0, τότε δεχόμαστε ότι ο σταθερός όρος έχει επηρεαστεί από τις συνθήκες που επικρατούν κατά την διάρκεια του πολέμου, πράγμα που σημαίνει παράλληλη μετατόπιση της συνάρτησης κατανάλωσης.

10

Παράδειγμα. Κατάταξη των παρατηρήσεων για το υπόδειγμα κατανάλωσης.

𝐂𝒕 𝚾𝒕 𝐃𝒕

𝐂𝟏 𝚾𝟏 𝟎

𝐂𝟐 𝚾𝟐 𝟎

𝐂𝟑 𝚾𝟑 𝟎

𝐂𝟒 𝚾𝟒 𝟏

𝐂𝟓 𝚾𝟓 𝟏

𝐂𝟔 𝚾𝟔 𝟎

𝐂𝟕 𝚾𝟕 𝟏

11

Περίπτωση Β. Έστω ότι η οριακή ροπή για κατανάλωση διαφέρει στις δύο περιόδους 𝛃𝟏 ≠ 𝛃𝟏

∗ , αλλά είναι ίδιος ο σταθερός όρος 𝛃𝟎 = 𝛃𝟎∗ .

Οπότε οι δύο συναρτήσεις θα είναι:

𝐂𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝐮𝒕 περίοδος ειρήνης

𝐂𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏∗𝚾𝒕 + 𝐮𝒕 περίοδος πολέμου

Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να εκτιμήσουμε μόνο μια συνάρτηση, εισάγοντας την ψευδομεταβλητή 𝐃𝒕𝚾𝒕 ως εξής:

𝐂𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛅𝐃𝒕𝚾𝒕 + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝐮𝒕

Η μεταβλητή 𝐃𝚾 είναι το γινόμενο της ψευδομεταβλητής 𝐃 επί την ερμηνευτική μεταβλητή 𝚾 και ονομάζεται πολλαπλασιαστική ψευδομεταβλητή.

12

𝐂𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛅𝐃𝒕𝚾𝒕 + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝐮𝒕

όπου 𝐃𝒕 = 𝟎 άρα 𝐃𝒕𝚾𝒕 = 𝟎 Περίοδος ειρήνης

𝐃𝒕 = 𝟏 άρα 𝐃𝒕𝚾𝒕 = 𝟏 Περίοδος πολέμου

οπότε 𝐂𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝐮𝒕 Περίοδος ειρήνης

𝐂𝒕 = 𝛃𝟎 + (𝛃𝟏 + 𝜹)𝚾𝒕 + 𝐮𝒕 Περίοδος πολέμου

Επομένως 𝛃𝟏 + 𝜹 = 𝛃𝟏∗ 𝜹 = 𝛃𝟏

∗ − 𝛃𝟏

Ο συντελεστής 𝛅 της μεταβλητής 𝐃𝒕𝚾𝒕 παριστάνει τη διαφορά στην οριακή ροπή για κατανάλωση ανάμεσα στις δύο περιόδους.

Μπορούμε να εκτιμήσουμε το υπόδειγμα αυτό με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

13

𝛃𝟎

𝚬(𝐂𝒕) = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝒕 περίοδος ειρήνης

𝚬(𝐂𝒕) = 𝛃𝟎 + (𝛃𝟏 + 𝜹)𝚾𝒕 περίοδος πολέμου

𝚾𝒕

𝐂𝒕

14

Για να ελέγξουμε την υπόθεση ότι η οριακή ροπή για κατανάλωση δεν επηρεάζεται από τις συνθήκες που επικρατούν στην περίοδο πολέμου, ελέγχουμε την υπόθεση:

Η0: 𝜹 = 𝟎

Η1: 𝜹 ≠ 𝟎

Δηλαδή ελέγχουμε αν ο συντελεστής του 𝛅 είναι στατιστικά σημαντικός στο υπόδειγμα που εκτιμούμε.

Αν ο συντελεστής του 𝛅 είναι στατιστικά σημαντικός, τότε απορρίπτουμε την Η0 και δεχόμαστε ότι η οριακή ροπή για κατανάλωση έχει μεταβληθεί.

15

Περίπτωση Γ. Έστω ότι ο σταθερός όρος και η κλίση του υποδείγματος διαφέρουν κατά τις δύο περιόδους.

Στην περίπτωση αυτή το υπόδειγμα κατανάλωσης ορίζεται ως εξής:

𝐂𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝛄𝐃𝒕 + 𝛅𝐃𝒕𝚾𝒕 + 𝐮𝒕

όπου 𝐃𝒕 = 𝟎 για την περίοδο ειρήνης

𝐃𝒕 = 𝟏 για την περίοδο πολέμου

Οπότε 𝐂𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝐮𝒕 περίοδος ειρήνης

𝐂𝒕 = (𝛃𝟎 + 𝛄) + (𝛃𝟏 + 𝜹)𝚾𝒕 + 𝐮𝒕 περίοδος πολέμου

Είναι 𝛃𝟎 + 𝛄 = 𝛃𝟎∗ και 𝛃𝟏 + 𝛅 = 𝛃𝟏

∗

16

𝚬(𝐂𝒕) = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝒕 περίοδος ειρήνης

𝚬(𝐂𝒕) = (𝛃𝟎+𝛄) + (𝛃𝟏 + 𝜹)𝚾𝒕 περίοδος πολέμου

𝚾𝒕

𝐂𝒕

𝛄 {

17

Άσκηση 1. Θέλουμε να εξετάσουμε την συμπεριφορά της ιδιωτικής καταναλώσεως ως συνάρτηση του ακαθάριστου διαθέσιμου εισοδήματος για την Ελληνική οικονομία κατά την περίοδο 1960-1994.

(Τα δεδομένα περιλαμβάνονται στο αρχείο Lecture8_exercise1.xlsx)

α) Το υπόδειγμα καταναλώσεως χωρίς την χρήση ψευδομεταβλητώνκαι χωρίς την θεώρηση ότι υπάρχουν διαφορετικές περίοδοι όπου διαφοροποιείται η καταναλωτική συμπεριφορά:

𝚼𝒕 = 𝟏𝟕𝟐𝟔𝟎, 𝟒 + 𝟎, 𝟕𝟔𝟒𝑿𝒕 (𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟓)

Για να εξετάσουμε αν διαφοροποιείται η καταναλωτική συμπεριφορά μετά το 1974, θα χρησιμοποιήσουμε την τεχνική των ψευδομεταβλητών.

18

β) Ελέγχουμε αν ο σταθερός όρος μεταβλήθηκε.

Υποθέτουμε ότι η κλίση 𝛃𝟏 παραμένει σταθερή αλλά ο σταθερός όρος

𝛃𝟎 μεταβλήθηκε.

Το υπόδειγμα καταναλώσεως που εκτιμάμε είναι:

𝚼𝒕 = 𝟏𝟕𝟐𝟎𝟒, 𝟖 + 𝟎, 𝟕𝟔𝟓𝑿𝒕 − 𝟗𝟕, 𝟔𝐃𝒕

όπου 𝐃𝒕 = 𝟎 για 𝒕 = 𝟏𝟗𝟔𝟎,… , 𝟏𝟗𝟕𝟒

και 𝐃𝒕 = 𝟏 για 𝒕 = 𝟏𝟗𝟕𝟓,… , 𝟏𝟗𝟗𝟒

Ο συντελεστής 𝛄 της ψευδομεταβλητής 𝐃𝒕 δεν είναι στατιστικά σημαντικός, άρα η συνάρτηση καταναλώσεως δεν μετατοπίστηκε από την μια περίοδο στην άλλη.

19

γ) Ελέγχουμε αν η οριακή ροπή για κατανάλωση μεταβλήθηκε.

Υποθέτουμε ότι η κλίση 𝛃𝟏 μεταβλήθηκε ενώ παραμένει σταθερός ο

σταθερός όρος 𝛃𝟎.

Το υπόδειγμα καταναλώσεως που εκτιμάμε είναι:

𝚼𝒕 = 𝟐𝟏𝟔𝟖𝟐, 𝟓 + 𝟎, 𝟕𝟒𝟎𝑿𝒕 − 𝟎, 𝟎𝟏𝟔𝐃𝒕𝚾𝒕

όπου 𝐃𝒕 = 𝟎 για 𝒕 = 𝟏𝟗𝟔𝟎,… , 𝟏𝟗𝟕𝟒

και 𝐃𝒕 = 𝟏 για 𝒕 = 𝟏𝟗𝟕𝟓,… , 𝟏𝟗𝟗𝟒

Ο συντελεστής 𝛅 της ψευδομεταβλητής 𝐃𝒕𝚾𝒕 δεν είναι στατιστικά σημαντικός, άρα η οριακή ροπή για κατανάλωση παρέμεινε σταθερή από την μία περίοδο στην άλλη.

20

2. Εποχικές επιδράσεις

Όταν έχουμε παρατηρήσεις για χρονικές περιόδους μικρότερες του έτους, π.χ. τρίμηνο, τετράμηνο, εξάμηνο κ.τ.λ., τότε μπορεί στα δεδομένα μας να περιέχονται εποχικές επιδράσεις.

Η επίδραση των εποχικών παραγόντων στη διαμόρφωση των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής μπορεί να ληφθεί υπόψιν με ψευδομεταβλητές.

Περίπτωση Α. Έστω 𝚼 η εξαρτημένη μεταβλητή, 𝚾 η ερμηνευτική μεταβλητή και οι παρατηρήσεις αναφέρονται σε τρίμηνα. Αν υποθέσουμε ότι οι εποχικοί παράγοντες επηρεάζουν μόνο τον σταθερό όρο, το υπόδειγμα μπορεί να γραφεί:

𝚼𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛄𝟐𝐃𝒕𝟐 + 𝛄𝟑𝐃𝒕𝟑 + 𝛄𝟒𝐃𝒕𝟒 + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝐮𝒕όπου

21

𝐃𝒕𝟐 = 𝟏 αν το 𝒕 αναφέρεται στο 2ο τρίμηνο, αλλιώς 𝐃𝒕𝟐 = 𝟎

𝐃𝒕𝟑 = 𝟏 αν το 𝒕 αναφέρεται στο 3ο τρίμηνο, αλλιώς 𝐃𝒕𝟑 = 𝟎

𝐃𝒕𝟒 = 𝟏 αν το 𝒕 αναφέρεται στο 4ο τρίμηνο, αλλιώς 𝐃𝒕𝟒 = 𝟎

Δηλαδή ορίζουμε τρείς ψευδομεταβλητές, μια για κάθε τρίμηνο.

Οπότε

𝚼𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝐮𝒕 για το 1ο τρίμηνο

𝚼𝒕 = (𝛃𝟎+𝛄𝟐) + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝐮𝒕 για το 2ο τρίμηνο

𝚼𝒕 = (𝛃𝟎+𝛄𝟑) + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝐮𝒕 για το 3ο τρίμηνο

𝚼𝒕 = (𝛃𝟎+𝛄𝟒) + 𝛃𝟏𝚾𝒕 + 𝐮𝒕 για το 4ο τρίμηνο

Παρατήρηση: Δεν ορίζουμε τέσσερις ψευδομεταβλητές, γιατί μετά το υπόδειγμά μας δεν θα μπορούσε να εκτιμηθεί, επειδή θα υπήρχε μια τέλεια γραμμική σχέση μεταξύ των μεταβλητών (παγίδα των ψευδομεταβλητών).

22

Γενικά, όταν ο παράγοντας ή το χαρακτηριστικό αναφέρεται σε 𝒎 εποχές, ομάδες ή δυνατότητες, για να είναι δυνατή η εκτίμηση του υποδείγματος στο οποίο υπάρχει σταθερός όρος, ορίζουμε 𝒎− 𝟏 ψευδομεταβλητές. Μόνο αν δεν υπάρχει σταθερός όρος στο υπόδειγμα, τότε ορίζουμε 𝒎ψευδομεταβλητές.

Ο σταθερός όρος του 1ο τριμήνου είναι 𝛃𝟎, ενώ οι συντελεστές 𝛄𝟐, 𝛄𝟑, 𝛄𝟒των ψευδομεταβλητών αντιστοιχούν στη διαφορά ανάμεσα στο σταθερό όρο του 1ου τριμήνου και στο σταθερό όρο των υπολοίπων τριμήνων, αντίστοιχα.

Δηλαδή, οι συντελεστές 𝛄𝟐, 𝛄𝟑,𝛄𝟒 των ψευδομεταβλητών εκφράζουν την παράλληλη μετατόπιση της συνάρτησης σχετικά με το 1ο τρίμηνο, το οποίο θεωρούμε ως βάση σύγκρισης.

23

Για τον έλεγχο του εποχικού παράγοντα ελέγχουμε την υπόθεση

Η0: 𝛄𝟐 = 𝛄𝟑 = 𝛄𝟒 = 𝟎

με το κριτήριο 𝐅, δηλαδή ελέγχουμε αν είναι στατιστικά σημαντικοί οι συντελεστές 𝛄𝟐, 𝛄𝟑, 𝛄𝟒 στο υπόδειγμα.

Αν θέλουμε

Περίπτωση Β. Έστω ότι η κλίση διαφέρει στις περιόδους, αλλά είναι ίδιος ο σταθερός όρος.

Στην περίπτωση αυτή ορίζουμε το υπόδειγμα όπως στην περίπτωση των διαχρονικών επιδράσεων, δηλαδή εισάγοντας την ψευδομεταβλητή 𝐃𝒕𝚾𝒕.

24

3. Αλληλεπίδραση ψευδομεταβλητών

Οι επιδράσεις που ασκούν στην εξαρτημένη μεταβλητή οι ποιοτικές μεταβλητές, οι οποίες παριστάνονται με ψευδομεταβλητές, μπορεί να μην είναι μόνο προσθετικές αλλά μπορεί να αλληλοσυνδέονται, οπότε υπεισέρχονται στο υπόδειγμα και πολλαπλασιαστικά.

Παράδειγμα Έστω 𝚼𝒊 η μηναία αμοιβή του 𝒊 εργαζόμενου, 𝐗𝒊 η επαγγελματική εμπειρία του 𝒊 εργαζόμενου (σε χρόνια) ενώ θέλουμε να εξετάσουμε την επίδραση του φύλου και της γνώσης ξένων γλωσσών στην μηνιαία αμοιβή των εργαζόμενων.

Περίπτωση Α. Η επίδραση που ασκεί το φύλο στην αμοιβή του εργαζόμενου είναι σταθερή ως προς τη γνώση ξένων γλωσσών και η επίδραση της γνώσης ξένων γλωσσών είναι σταθερή ως προς το φύλο:

𝚼𝒊 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝐗𝒊 + 𝛄𝟏𝐃𝟏𝒊 + 𝛄𝟐𝐃𝟐𝒊 + 𝐮𝒊

25

Με βάση αυτό το υπόδειγμα, αν η αμοιβή ενός άντρα είναι υψηλότερη από μιας γυναίκας, αυτό είναι ανεξάρτητο από το αν γνωρίζει ξένες γλώσσες ή όχι. Αν η αμοιβή ενός εργαζόμενου είναι ψηλότερη από για κάποιον που ξέρει ξένες γλώσσες, αυτό ισχύει είτε είναι άντρας είτε γυναίκα.

Περίπτωση Β. Στην πραγματικότητα όμως, μπορεί η αμοιβή για έναν άνδρα που γνωρίζει ξένες γλώσσες να είναι ψηλότερη από είναι για μια γυναίκα. Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν επιπτώσεις αλληλεπιδράσεως (interaction effects). Το υπόδειγμα έχει τη μορφή:

𝚼𝒊 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝐗𝒊 + 𝛄𝟏𝐃𝟏𝒊 + 𝛄𝟐𝐃𝟐𝒊 + 𝛄𝟑𝐃𝟏𝒊𝐃𝟐𝒊 + 𝐮𝒊

Ο συντελεστής 𝛄𝟑 μετράει την αλληλεπίδραση των παραγόντων φύλο και ξένες γλώσσες.

26

Με βάση το υπόδειγμα:

𝚼𝒊 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝐗𝒊 + 𝛄𝟏𝐃𝟏𝒊 + 𝛄𝟐𝐃𝟐𝒊 + 𝛄𝟑𝐃𝟏𝒊𝐃𝟐𝒊 + 𝐮𝒊Η μέση αμοιβή ενός άνδρα που ξέρει ξένες γλώσσες είναι

𝚬𝚼𝒊 = (𝛃𝟎+𝛄𝟏 + 𝛄𝟐 + 𝛄𝟑) + 𝛃𝟏𝐗𝒊

ενώ η μέση αμοιβή μιας γυναίκας που δεν ξέρει ξένες γλώσσες είναι

𝚬𝚼𝒊 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝐗𝒊

Ο έλεγχος σημαντικότητας του συντελεστή 𝛄𝟑 γίνεται όπως και για τους υπόλοιπους συντελεστές, με τη στατιστική 𝒕.

Αν είναι στατιστικά σημαντικός τότε η σωστή εξειδίκευση του υποδείγματος είναι αυτή που λαμβάνει υπόψιν επιπτώσεις αλληλεπιδράσεως.

27

Άσκηση 2. Θεωρούμε τα υποθετικά δεδομένα για τις αμοιβές (𝚼) και τα χρόνια επαγγελματικής εμπειρίας (𝚾) για 18 εργαζόμενους.𝐃𝟏 και 𝐃𝟐 είναι οι ψευδομεταβλητές που αναφέρονται στο φύλο (άνδρας= 𝟏, γυναίκα =𝟎) και την γνώση ξένων γλωσσών (γνώση= 𝟏, μη γνώση= 𝟎), αντίστοιχα.

(Τα δεδομένα περιλαμβάνονται στο αρχείο Lecture8_exercise2.xlsx)

α) Το υπόδειγμα που εκτιμάμε είναι: 𝚼𝒊 = 𝟎, 𝟖𝟑𝟑 + 𝟐, 𝟒𝟒𝟑𝐗𝒊 + 𝟒, 𝟕𝟗𝟖𝐃𝟏𝒊 + 𝟎, 𝟑𝟎𝟑𝐃𝟐𝒊 (𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟖𝟗)

Στην παραπάνω παλινδρόμηση, ο συντελεστή της 𝐃𝟐𝒊 δεν είναι στατιστικά σημαντικός, πράγμα που σημαίνει ότι η γνώση ξένης γλώσσας δεν διαφοροποιεί τις αμοιβές.

β) Θέλουμε να εξετάσουμε τώρα αν υπάρχουν επιπτώσεις αλληλεπιδράσεως.

28

Το υπόδειγμα που εκτιμάμε είναι: 𝚼𝒊 = 𝟐, 𝟕𝟒𝟕 + 𝟐, 𝟑𝟔𝟓𝐗𝒊 + 𝟏, 𝟔𝟔𝟔𝐃𝟏𝒊 − 𝟏, 𝟗𝟑𝟕𝐃𝟐𝒊 + 𝟒, 𝟖𝟏𝟕𝐃𝟏𝒊𝐃𝟐𝒊

(𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟐𝟐)

Στην παραπάνω παλινδρόμηση, ο συντελεστή της 𝐃𝟏𝒊𝐃𝟐𝒊 δεν είναι στατιστικά σημαντικός.

Επομένως, το υπόδειγμα που περιγράφει καλύτερα τα δεδομένα του παραδείγματος είναι αυτό που περιλαμβάνει μόνο της ψευδομεταβλητή𝐃𝟏𝒊:

𝚼𝒊 = 𝟎, 𝟗𝟏𝟐 + 𝟐, 𝟒𝟎𝟕𝐗𝒊 + 𝟒, 𝟕𝟕𝟒𝟔𝐃𝟏𝒊

(𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟖𝟗)

Στο υπόδειγμα αυτό, όλοι οι συντελεστές, εκτός του σταθερού όρου, είναι στατιστικά σημαντικοί.

29

4. Κατά τμήματα γραμμική παλινδρόμηση

Πολλές φορές η συναρτησιακή σχέση που συνδέει δύο οικονομικές μεταβλητές μπορεί να είναι γραμμική, αλλά να αλλάζει η κλίση μετά από μια συγκεκριμένη τιμή της ερμηνευτικής μεταβλητής.

Π.χ. Οι αμοιβές (𝚼) ενός καρδιοχειρούργου μπορεί να αυξάνονται με ένα ρυθμό μέχρι ενός δεδομένου αριθμού επεμβάσεων (𝚾), ενώ πέραν μπορούν να αυξάνουν με υψηλότερο ρυθμό. Σε αυτήν την περίπτωση, η γραμμική παλινδρόμηση ανάμεσα στις αμοιβές και τον αριθμό των επεμβάσεων θα αποτελείται από δύο τμήματα, για αυτό και ονομάζεται κατά τμήματα γραμμική παλινδρόμηση.

Το υπόδειγμα αυτό μπορεί να γραφεί με την βοήθεια των ψευδομεταβλητών ως εξής:

30

𝚼𝒊 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝐗𝒊 + 𝛃𝟐(𝚾𝒊 − 𝚾∗) 𝐃𝒊 + 𝐮𝒊όπου

𝚾∗: η συγκεκριμένη τιμή της 𝚾 που επέρχεται η μεταβολή

𝐃 = 𝟏: αν 𝚾𝒊 > 𝚾∗

𝐃 = 𝟎: αν 𝚾𝒊 < 𝚾∗

Επομένως:

για 𝐃 = 𝟎: 𝚼𝒊 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝐗𝒊 + 𝐮𝒊

για 𝐃 = 𝟏: 𝚼𝒊 = (𝛃𝟎−𝛃𝟐𝚾∗) + (𝛃𝟏 + 𝛃𝟐) 𝚾𝒊 + 𝐮𝒊

Ο συντελεστής 𝛃𝟏 είναι η κλίση του πρώτου τμήματος, ενώ η κλίση του

δεύτερου τμήματος είναι 𝛃𝟏 + 𝛃𝟐.

Η μεταβολή ή το “σπάσιμο” (break) της παλινδρομήσεως που επέρχεται στην τιμή 𝚾∗ θα είναι σημαντική αν ο συντελεστής 𝛃𝟐 είναι σημαντικός. Η στατιστική του σημαντικότητα κρίνεται κατά τα γνωστά με την στατιστική 𝒕.

31

𝛃𝟎

𝚼𝒊 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝐗𝒊 + 𝐮𝒊

𝚼𝒊 = (𝛃𝟎−𝛃𝟐𝚾∗) + (𝛃𝟏 + 𝛃𝟐) 𝚾𝒊 + 𝐮𝒊

𝚾𝒊

𝚼𝒊

32

Άσκηση 3. Θεωρούμε τα 10 υποθετικά δεδομένα για τον αριθμό των εβδομαδιαίων χειρουργικών επεμβάσεων (𝚾) και τις αντίστοιχες αμοιβές των συμμετεχόντων χειρούργων (𝚼).

Να εξετάσετε αν επέρχεται μεταβολή της γραμμικής παλινδρόμησης για 𝚾∗ = 𝟗.

𝚾 𝚼

5 1

6 1,3

7 1,7

8 2

9 2,7

10 3,6

11 4,9

12 6,2

13 7,6

14 8,9

33

α) Το απλό γραμμικό υπόδειγμα που εκτιμάμε είναι:

𝚼𝒊 = −𝟒, 𝟒𝟗 + 𝟎, 𝟖𝟗𝟑𝐗𝒊 (𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟑𝟖)

34

β) Θέλουμε να εξετάσουμε τώρα αν επέρχεται μεταβολή της γραμμικής παλινδρόμησης για 𝚾∗ = 𝟗.Η παλινδρόμηση που προκύπτει είναι η ακόλουθη:

𝚼𝒊 = −𝟎, 𝟗𝟏𝟏 + 𝟎, 𝟑𝟕𝟑𝐗𝒊 + 𝟎, 𝟗𝟎𝟐(𝚾𝒊 − 𝟗) 𝐃𝒊 + 𝐮𝒊 (𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟖)

όπου 𝐃𝒊 = 𝟎 για 𝚾 ≤ 𝟗

𝐃𝒊 = 𝟏 για 𝚾 > 𝟗

Ο συντελεστής 𝛃𝟐 είναι στατιστικά σημαντικός άρα υπάρχει σημαντικήμεταβολή πέραν των 9 επεμβάσεων.

35

5. Συνδυασμός διαστρωματικών στοιχείων με στοιχεία χρονολογικών σειρών (panel data)

Η τεχνική των ψευδομεταβλητών που εξετάσαμε στην περίπτωση των διαχρονικών και εποχικών επιδράσεων είναι ίδια και για την ανάλυση των μεταβολών μιας οικονομικής συνάρτησης από την μια περιοχή ή περιφέρεια της χώρας στην άλλη, ή γενικώς από την μια διαστρωματική ομάδα στην άλλη.

Μια ειδική περίπτωση των ψευδομεταβλητών αναφέρεται σε οικονομικές σχέσεις για την εκτίμηση των οποίων συνδυάζονται στοιχεία χρονολογικών σειρών με διαστρωματικές παρατηρήσεις.

Π.χ. Συνάρτηση παραγωγής ενός κλάδου που αποτελείται από 𝚴επιχειρήσεις και για κάθε επιχείρηση έχουμε παρατηρήσεις για 𝚻περιόδους.

36

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε 𝚴 διαστρωματικές μονάδες και για κάθε μονάδα 𝚻 παρατηρήσεις, οπότε έχουμε το παρακάτω υπόδειγμα παλινδρόμησης (υπόδειγμα συνδιακυμάνσεως):

𝚼𝒊𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝐗𝒊𝒕,𝟏 + 𝛃𝟐𝐗𝒊𝒕,𝟐 +⋯+ 𝛃𝑲𝐗𝒊𝒕,𝑲 + 𝐮𝒊𝒕

ή 𝚼𝒊𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝒋=𝟏𝑲 𝛃𝒋𝐗𝒊𝒕,𝒋 + 𝐮𝒊𝒕

όπου

𝚼𝒊𝒕: η 𝒕 παρατήρηση της εξαρτημένης μεταβλητής στην μονάδα 𝒊

𝚾𝒊𝒕,𝒋: η 𝒕 παρατήρηση της ερμηνευτικής μεταβλητής 𝚾𝒋 στην μονάδα 𝒊

𝐮𝒊𝒕: ο διαταρακτικός όρος της 𝒕 παρατήρησης στην μονάδα 𝒊

και 𝒊 = 𝟏,…𝚴 μονάδες

𝒕 = 𝟏,… , 𝐓 παρατηρήσεις για κάθε μονάδα

𝒋 = 𝟏,… ,𝑲 ερμηνευτικές μεταβλητές

37

Περίπτωση Α. Έστω ότι ο σταθερός όρος διαφέρει από μονάδα σε μονάδα, δηλ. έχουμε μετατόπιση της συνάρτησης. Τότε το υπόδειγμα γράφεται ως εξής:

𝚼𝒊𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛄𝟐𝐃𝟐𝒕 + 𝛄𝟑𝐃𝟑𝒕…+ 𝛄𝑵𝐃𝑵𝒕 + 𝛃𝟏𝐗𝒊𝒕,𝟏 +⋯+ 𝛃𝑲𝐗𝒊𝒕,𝑲 + 𝐮𝒊𝒕

ή 𝚼𝒊𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝒊=𝟐𝑵 𝛄𝒊𝐃𝒊𝒕 + 𝒋=𝟏

𝑲 𝛃𝒋𝐗𝒊𝒕,𝒋 + 𝐮𝒊𝒕

όπου

𝐃𝟐𝒕 = 𝟏 αν η 𝒕 παρατήρηση προέρχεται από την μονάδα 2, αλλιώς = 𝟎……………………………

𝐃𝜨𝒕 = 𝟏 αν η 𝒕 παρατήρηση προέρχεται από την μονάδα 𝜨, αλλιώς = 𝟎

Επομένως:

Μονάδα 1:𝚼𝟏𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝐗𝟏𝒕,𝟏 +⋯+ 𝛃𝑲𝐗𝟏𝒕,𝑲 + 𝐮𝟏𝒕

Μονάδα 2:𝚼𝟐𝒕 = (𝛃𝟎+𝛄𝟐) + 𝛃𝟏𝐗𝟐𝒕,𝟏 +⋯+ 𝛃𝑲𝐗𝟐𝒕,𝑲 + 𝐮𝟐𝒕 κτλ

38

Περίπτωση Β. Έστω ότι ο σταθερός όρος και η κλίση διαφέρουν από μονάδα σε μονάδα.

Το υπόδειγμα που θεωρούμε είναι:

𝚼𝒊𝒕 = 𝛃𝟎 +

𝒊=𝟐

𝑵

𝛄𝒊𝐃𝒊𝒕 +

𝒋=𝟏

𝑲

𝛃𝒋𝐗𝒊𝒕,𝒋 +

𝒊=𝟐

𝑵

𝒋=𝟏

𝑲

𝛅𝒊𝒋(𝐃𝒊𝒕𝐗𝒊𝒕,𝒋) + 𝐮𝒊𝒕

όπου

𝐃𝟐𝒕 = 𝟏 αν η 𝒕 παρατήρηση προέρχεται από την μονάδα 2, αλλιώς = 𝟎……………………………

𝐃𝜨𝒕 = 𝟏 αν η 𝒕 παρατήρηση προέρχεται από την μονάδα 𝜨, αλλιώς = 𝟎

39

Άσκηση 4. Δίνονται οι ετήσιες παρατηρήσεις για την περίοδο 1970-1974 για την ιδιωτική κατανάλωση (𝚼) και το ακαθάριστο εγχώριο προϊόν (𝚾) για την Δ. Γερμανία, τη Γαλλία και τη Μ. Βρετανία.

Έτοςιδιωτική κατανάλωση

𝚼ακαθάριστο εγχώριο προϊόν

𝚾

Δ. Γερμανία Γαλλία Μ. Βρετανία Δ. Γερμανία Γαλλία Μ. Βρετανία

1970 101,2 85,2 74,7 188,4 141,6 120,9

1971 106,8 90,2 76,9 193,9 149,3 123,9

1972 111,2 95,6 81,5 200,4 157,8 127,1

1973 114,3 100,9 85,4 210,5 166,5 134,1

1974 114,5 105,1 84,9 211,8 173,0 135,1

Γράφω τα δεδομένα στην παρακάτω μορφή, ώστε να τα καταχωρίσω στο Eviews:

40

Έτος Χώρα Υ Χ

1970 Δ. Γερμανία 101,2 188,4

1971 Δ. Γερμανία 106,8 193,9

1972 Δ. Γερμανία 111,2 200,4

1973 Δ. Γερμανία 114,3 210,5

1974 Δ. Γερμανία 114,5 211,8

1970 Γαλλία 85,2 141,6

1971 Γαλλία 90,2 149,3

1972 Γαλλία 95,6 157,8

1973 Γαλλία 100,9 166,5

1974 Γαλλία 105,1 173,0

1970 Μ. Βρετανία 74,7 120,9

1971 Μ. Βρετανία 76,9 123,9

1972 Μ. Βρετανία 81,5 127,1

1973 Μ. Βρετανία 85,4 134,1

1974 Μ. Βρετανία 84,9 135,1

41

Καταχώριση δεδομένων στο Eviews:

File New Workfile

42

Δημιουργούνται αυτόματα οι μεταβλητές

crossid και dateid

ενώ δημιουργούμε και καταχωρούμε τις μεταβλητές

𝚾 και 𝚼 κατά τον γνωστό τρόπο:

File New Workfile

43

Οι μεταβλητές

𝚾 και 𝚼εμφανίζονται ως εξής:

44

α) Το απλό γραμμικό υπόδειγμα που εκτιμάμε είναι:

𝚼𝒊𝒕 = 𝟐𝟖, 𝟔 + 𝟎, 𝟒𝟏𝐗𝒊𝒕 (𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟔𝟎, 𝑺𝑺𝑬𝑲 = 𝟏𝟎𝟐, 𝟓)

(𝑲 = 𝟏 ερμηνευτική μεταβλητή)

45

β) Οι τρεις διαφορετικές παλινδρομήσεις, δηλαδή οι παλινδρομήσεις ξεχωριστά για κάθε χώρα, είναι:

𝚼𝟏𝒕 = 𝟐, 𝟐𝟖 + 𝟎, 𝟓𝟑𝐗𝟏𝒕 (𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟑𝟒, 𝑺𝑺𝑬𝟏 = 𝟖, 𝟑𝟓)

𝚼𝟐𝒕 = −𝟒, 𝟎𝟖 + 𝟎, 𝟔𝟑𝐗𝟐𝒕 (𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟗, 𝑺𝑺𝑬𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟑)

𝚼𝟑𝒕 = −𝟏𝟓 + 𝟎, 𝟕𝟒𝐗𝟑𝒕 (𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟓𝟑, 𝑺𝑺𝑬𝟑 = 𝟒, 𝟐𝟔)

Οπότε το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων από τις τρεις παλινδρομήσεις είναι:

𝑺𝑺𝑬𝑵 = 𝑺𝑺𝑬𝟏 + 𝑺𝑺𝑬𝟐 + 𝑺𝑺𝑬𝟑 = 𝟏𝟐, 𝟔𝟒

(𝑵 = 𝟑 χώρες)

46

γ) Το υπόδειγμα συνδιακυμάνσεως που περιλαμβάνει ψευδομεταβλητέςείναι:

𝚼𝒊𝒕 = −𝟏𝟑, 𝟓 + 𝟏𝟐, 𝟑𝟓𝐃𝟐 + 𝟏𝟓, 𝟔𝟓𝐃𝟑 + 𝟎, 𝟔𝟏𝐗𝒊𝒕 (𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟐, 𝑺𝑺𝑬𝜥+𝐦−𝟏)

(𝒎− 𝟏 ψευδομεταβλητές,𝚻 παρατηρήσεις για κάθε μια από τις 𝑵 = 𝟑 χώρες)

47

Ανάλυση της διακύμανσης

Πηγή μεταβλητότητας Άθροισμα τετραγώνων καταλοίπων

β.ε.

𝚾 𝑺𝑺𝑬𝑲 𝚴 × 𝚻 − 𝚱− 𝟏

𝚾, 𝐃𝟐, 𝐃𝟑 𝑺𝑺𝑬𝑲−𝒎+𝟏 𝚴 × 𝚻 − 𝚱 − 𝚴

Οι τρεις διαφορετικέςπαλινδρομήσεις 𝑺𝑺𝑬𝒎 𝚴 × (𝚻 − 𝚱 − 𝟏)

Διαφορά όταν οι σταθεροί όροι είναι διαφορετικοί 𝑺𝑺𝑬𝑲 − 𝑺𝑺𝑬𝑲−𝒎+𝟏 𝚴 − 𝟏

Διαφορά όταν οι κλίσεις είναι διαφορετικές 𝑺𝑺𝑬𝑲−𝒎+𝟏 − 𝑺𝑺𝑬𝒎

𝚱 × (𝚴 − 𝟏)

Διαφορά όταν όλοι οι συντελεστές διαφέρουν 𝑺𝑺𝑬𝑲 − 𝑺𝑺𝑬𝒎 (𝚱 + 𝟏)(𝚴 − 𝟏)

48

Πηγή μεταβλητότητας Άθροισμα τετραγώνων καταλοίπων

β.ε. 𝐅

𝚾 𝟏𝟎𝟐, 𝟓 𝟏𝟑

𝚾, 𝐃𝟐, 𝐃𝟑 𝟏𝟖, 𝟐𝟐 𝟏𝟏

Οι τρεις διαφορετικέςπαλινδρομήσεις 𝟏𝟐, 𝟔𝟒 𝟗

Διαφορά όταν οι σταθεροί όροι είναι

διαφορετικοί𝟖𝟒, 𝟐𝟖 𝟐

𝟖𝟒,𝟐𝟖/𝟐

𝟏𝟖,𝟐𝟐/𝟏𝟏= 𝟐𝟓, 𝟒𝟒 > 𝟑, 𝟗𝟖 = 𝐅𝟐,𝟏𝟏,𝟎.𝟎𝟓

H H0 απορρίπτεται

Διαφορά όταν οικλίσεις είναι διαφορετικές

𝟓, 𝟓𝟖 𝟐

𝟓, 𝟓𝟖/𝟐

𝟏𝟐, 𝟔𝟒/𝟗= 𝟏, 𝟗𝟗 < 𝟒, 𝟐𝟔 = 𝐅𝟐,𝟗,𝟎.𝟎𝟓

H H0 γίνεται δεκτή

Διαφορά όταν όλοι οι συντελεστές διαφέρουν

𝟖𝟗, 𝟖𝟔 𝟒

𝟖𝟗, 𝟖𝟔/𝟒

𝟏𝟐, 𝟔𝟒/𝟗= 𝟏𝟔 > 𝟑, 𝟔𝟑 = 𝐅𝟒,𝟗,𝟎.𝟎𝟓

H H0 απορρίπτεται

Η0: όλοι οι συντελεστές είναι ίσοι

Η0: οι σταθεροί όροι είναι ίσοι

Η0: οι κλίσεις είναι ίσες

49

6. Έλεγχοι σταθερότητας συντελεστών

Η σταθερότητα των συντελεστών ενός εκτιμημένου υποδείγματος είναι μια από τις πλέον επιθυμητές ιδιότητες του. Δηλαδή, οι συντελεστές του υποδείγματος δεν μεταβάλλονται διαχρονικά και συνεπώς αναμένουμε ικανοποιητικές προβλέψεις.

Ο έλεγχος σταθερότητας των συντελεστών ενός οικονομετρικού υποδείγματος ή ο έλεγχος διαρθρωτικών μεταβολών (structural breaks) εξαρτάται από το αν είναι γνωστό εκ των προτέρων, ή όχι, το χρονικό σημείο που υποτίθεται ότι έχει επέλθει η διαρθρωτική μεταβολή. Άρα υπάρχουν δύο βασικές περιπτώσεις:

Α. Γνωστό το σημείο της διαρθρωτικής μεταβολής

Β. Το χρονικό σημείο της διαρθρωτικής μεταβολής δεν είναι γνωστό

50

Α. Γνωστό το σημείο της διαρθρωτικής μεταβολής

Έλεγχος Chow

Έστω το υπόδειγμα:

𝚼𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝛃𝟏𝚾𝒕𝟏 + 𝛃𝟐𝚾𝒕𝟐…+ 𝛃𝑲𝐗𝒕𝑲 + 𝐮𝒕 (1)

και έστω 𝚻𝚩 το χρονικό σημείο που υποθέτουμε ότι έχει επέλθει η διαρθρωτική μεταβολή, οπότε η χρονική περίοδος του δείγματος χωρίζεται σε δύο υποπεριόδους με έστω 𝚻𝟏 και 𝚻𝟐 παρατηρήσεις αντίστοιχα.

Ορίζουμε την δυαδική μεταβλητή 𝐃𝒕:

𝐃𝒕 = {𝟎 για 𝒕 ≤ 𝚻𝚩, 𝚻𝟏 παρατηρήσεις𝟏 για 𝒕 > 𝚻𝚩, 𝚻𝟐 παρατηρήσεις

51

Για τον έλεγχο της Η0 ότι δεν έχει επέλθει διαρθρωτική μεταβολή, το γραμμικό υπόδειγμα διατυπώνεται ως εξής:

𝚼𝒕 = 𝛃𝟎 + 𝒋=𝟏𝑲 𝛃𝒋𝑿𝒕𝒋 + 𝛄𝟎𝐃𝒕 + 𝒋=𝟏

𝑲 𝛅𝒋𝐃𝒕 𝐗𝒕𝒋 + 𝐮𝒕 (2)

Δηλαδή με βάση το παραπάνω υπόδειγμα ελέγχουμε την

Η0: 𝛄𝟎 = 𝛅𝟏 =. . = 𝛅𝚱 = 𝟎.

Ο έλεγχος γίνεται με την κατανομή 𝐅:

𝐅 =(𝑺𝑺𝑬𝚻 − 𝑺𝑺𝑬𝑼)/(𝑲 + 𝟏)

𝑺𝑺𝑬𝑼/(𝑻 − 𝟐𝑲 − 𝟐)

όπου 𝑺𝑺𝑬𝚻: άθροισμα τετραγώνων καταλοίπων του υποδείγματος (1)

και 𝑺𝑺𝑬𝑼: άθροισμα τετραγώνων καταλοίπων του υποδείγματος (2)

και 𝑺𝑺𝑬𝑼 = 𝑺𝑺𝑬𝑻𝟏 + 𝑺𝑺𝑬𝑻𝟐

52

Μεθοδολογία ελέγχου της Η0: 𝛄𝟎 = 𝛅𝟏 =. . = 𝛅𝚱 = 𝟎

Υπολογίζουμε το 𝑺𝑺𝑬𝚻 από το υπόδειγμα (1) με 𝐓 παρατηρήσεις.

Υπολογίζουμε το 𝑺𝑺𝑬𝑻𝟏 από το υπόδειγμα (2) για 𝐃𝒕 = 𝟎 με

𝚻𝟏 παρατηρήσεις.

Υπολογίζουμε το 𝑺𝑺𝑬𝑻𝟐 από το υπόδειγμα (2) για 𝐃𝒕 = 𝟏 με

𝚻𝟐 παρατηρήσεις.

Είναι: 𝑺𝑺𝑬𝑼 = 𝑺𝑺𝑬𝑻𝟏 + 𝑺𝑺𝑬𝑻𝟐

Οπότε εκτιμάμε το 𝐅 =(𝑺𝑺𝑬𝚻−𝑺𝑺𝑬𝑼)/(𝑲+𝟏)

𝑺𝑺𝑬𝑼/(𝐓−𝟐𝑲−𝟐)

Η Η0 απορρίπτεται αν 𝐅 > 𝐅𝑲+𝟏,𝑻−𝟐𝑲−𝟐,𝒂

53

Άσκηση 5.

Εφαρμόστε τον έλεγχο Chow στα δεδομένα της Άσκησης 1 (𝚻𝚩 = 𝟏𝟗𝟕𝟑).

Απλό γραμμικό υπόδειγμα με 𝐓 = 𝟑𝟓 παρατηρήσεις: 𝚼𝒕 = 𝟏𝟕𝟐𝟔𝟎, 𝟒 + 𝟎, 𝟕𝟔𝟒𝑿𝒕 (𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟓, 𝑺𝑺𝑬𝚻 = 𝟏, 𝟔𝟔 × 𝟏𝟎𝟗)

Γραμμικό υπόδειγμα με 𝑻𝟏 = 𝟏𝟒 παρατηρήσεις (1960-1973): 𝚼𝒕 = 𝟐𝟗𝟕𝟕𝟖 + 𝟎, 𝟕𝟎𝟐𝑿𝒕 (𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟗, 𝑺𝑺𝑬𝑻𝟏 = 𝟐, 𝟑𝟕 × 𝟏𝟎𝟖)

Γραμμικό υπόδειγμα με 𝑻𝟐 = 𝟏𝟏 παρατηρήσεις (1974-1994): 𝚼𝒕 = −𝟒𝟕𝟏𝟗 + 𝟎, 𝟖𝟏𝟓𝑿𝒕 (𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟖, 𝑺𝑺𝑬𝑻𝟐 = 𝟏, 𝟎𝟏 × 𝟏𝟎𝟗)

𝑺𝑺𝑬𝑼 = 𝑺𝑺𝑬𝑻𝟏 + 𝑺𝑺𝑬𝑻𝟐 = 𝟐, 𝟑𝟕 × 𝟏𝟎𝟖 + 𝟏, 𝟎𝟏 × 𝟏𝟎𝟗 = 𝟏𝟐, 𝟒𝟕 × 𝟏𝟎𝟖

Οπότε 𝐅 =(𝑺𝑺𝑬𝚻−𝑺𝑺𝑬𝑼)/(𝑲+𝟏)

𝑺𝑺𝑬𝑼/(𝐓−𝟐𝑲−𝟐)= 𝟓, 𝟐𝟓

𝐅 = 𝟓, 𝟐𝟓 > 𝟑, 𝟑𝟐 = 𝐅𝑲+𝟏,𝑻−𝟐𝑲−𝟐,𝒂 η Η0 απορρίπτεται

54

Επίλυση με το Eviews.

Απλό γραμμικό υπόδειγμα

με 𝐓 = 𝟑𝟓 παρατηρήσεις: 𝚼𝒕 = 𝟏𝟕𝟐𝟔𝟎, 𝟒 + 𝟎, 𝟕𝟔𝟒𝑿𝒕

55

Επιλέγουμε: View Stability Diagnostics Chow Breakpoint Test…

56

𝐅 = 𝟓, 𝟑𝟏

𝐏𝐫𝐨𝐛.= 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟒 < 𝟎. 𝟎𝟓

Άρα η Η0 απορρίπτεται

57

Β. Το χρονικό σημείο της διαρθρωτικής μεταβολής δεν είναι γνωστό

Αναφέρουμε τους βασικούς ελέγχους για την περίπτωση αυτή:

Τροποποιημένος έλεγχος Chow

Κριτήριο Hansen

Έλεγχοι CUSUM και CUSUMSQ

Βιβλιογραφία

Χρήστου Κ. Γεώργιος (2007) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Τόμος 1, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε.

Stock H. James, Watson W. Mark, επιμέλεια Πραγγίδης Ιωάννης -Χρυσόστομος (2017) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε.

Χρήστου Κ. Γεώργιος (2006) Εισαγωγή στην Οικονομετρία Ασκήσεις, Εκδόσεις Gutenberg.

Δριτσάκη Ν. Χάιδω, Δριτσάκη Ν. Μελίνα (2013) Εισαγωγή στην Οικονομετρία με τη Χρήση του Λογισμικού EViews, Κλειδάριθμος ΕΠΕ Εκδόσεις.

58