ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #13: Εξαγωγή Γνώσης από Δεδομένα

Αναστάσιος Ντούνης

Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση • Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια

του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

Σκοποί ενότητας

• Χρονοσειρές

• Πρόβλεψη χρονοσειρών

• Σχεδιασμός συστήματος σαφούς λογικής με τη μέθοδο Wang-Mendel

• Εφαρμογές

4

Περιεχόμενα ενότητας

• Χρονοσειρές

• Πρόβλεψη χρονοσειρών

• Σχεδιασμός συστήματος σαφούς λογικής με τη μέθοδο Wang-Mendel

• Εφαρμογές

A. Ασαφής πρόβλεψη χρονοσειράς θερμοκρασίας

B. Μοντελοποίηση Χαοτικών συστημάτων Lorenz και Chen

C. Μοντελοποίηση του ενεργοποιητή MR-Damper

5

Χρονοσειρές

Χρονοσειρές (1)

• Η εξαγωγή κανόνων από δεδομένα και ο σχεδιασμός ενός συστήματος ασαφούς λογικής προϋποθέτει ότι ο σχεδιαστής του ασαφούς συστήματος πρέπει να είναι εξοικειωμένος με τις λεπτομέρειες της εφαρμογής στο συγκεκριμένο επιστημονικό πεδίο. Για εκπαιδευτικούς λοιπόν σκοπούς επιλέγουμε την εφαρμογή της πρόβλεψης των χρονοσειρών (Forecasting time-series ή prediction), η οποία είναι αρκετά εύκολη και κατανοητή σε όλους.

7

Χρονοσειρές (2)

Ορισμός χρονοσειράς (time- series): Χρονοσειρά είναι μια ακολουθία μετρούμενων ποσοτήτων ενός φυσικού συστήματος που έχουν ληφθεί ανά συγκεκριμένα χρονικά διαστήματα. Τα διαστήματα αυτά μπορεί να είναι ωριαία, ημερήσια, μηνιαία ή ετήσια. Παραδείγματα χρονοσειρών είναι:

a) Η ημερήσια θερμοκρασία τη

b) Οι ωριαίες μετρήσεις του δείκτη του χρηματιστηρίου Αθηνών

c) Οι τιμές μιας μεταβλητής ενός χαοτικού συστήματος (Mackey-Glass, Lorenz, Chen)

8

𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛

Ποιοτικά χαρακτηριστικά των χρονοσειρών

1. Στασιμότητα (Stationary),

2. Τάση (Trend),

3. Περιοδικότητα ή Εποχικότητα (Seasonal),

4. Κυκλικότητα (Cyclical),

5. Ασυνέχειες (Discontinuity): Ασυνήθιστες τιμές (Outliers)

6. Tυχαιότητα (Randomization)

9

Ανάλυση χρονοσειράς (1)

Η ανάλυση των χρονοσειράς περιλαμβάνει τρία σημαντικά ειδικά προβλήματα:

1. Πρόβλεψη (Prediction)

2. Μοντελοποίηση (Modeling)

3. Xαρακτηρισμός (Characterization)

Στόχος της πρόβλεψης είναι να υπολογίσει με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια την εξέλιξη του συστήματος για μικρή χρονική διάρκεια, δηλαδή ουσιαστικά να υπολογίσει τις μελλοντικές τιμές της μεταβλητής της χρονοσειράς.

10

Ανάλυση χρονοσειράς (2)

Στόχος της μοντελοποίησης είναι να ‘κατανοήσει’ τη συμπεριφορά και τις χαρακτηριστικές ιδιότητες του συστήματος για μεγάλη χρονική διάρκεια, μέσω της διαδοχής των μετρήσεων.

Στόχος του χαρακτηρισμού του συστήματος είναι ο καθορισμός κάποιων θεμελιωδών ιδιοτήτων του συστήματος.

11

Κανονικοποίηση των χρονοσειρών (1)

Μια από τις συχνά χρησιμοποιούμενες μεθόδους προεπεξεργασίας δεδομένων αποτελεί η κανονικοποίηση τους. Κανονικοποιώντας τα δεδομένα επιτυγχάνεται ουσιαστικά εξομάλυνση της χρονοσειράς, καθώς οι τιμές που έχουν πλέον τα δεδομένα περικλείονται σε ένα συγκεκριμένο εύρος τιμών προκαθορισμένο και μικρότερο από το πραγματικό. Είναι επίσης χαρακτηριστικό να σημειωθεί ότι η εκπαίδευση των νευρωνικών δικτύων, που ουσιαστικά αποτελούν τα συστήματα στα οποία οι χρονοσειρές θα χρησιμοποιηθούν στη συνέχεια σαν πρότυπα εκπαίδευσης, μπορεί να γίνει πιο αποτελεσματική με χρήση κανονικοποιημένων δεδομένων.

12

Κανονικοποίηση των χρονοσειρών (2)

Οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κανονικοποιήσεις είναι ο μετασχηματισμός των δεδομένων ώστε να έχουν μέση τιμή μηδενική και τυπική απόκλιση μοναδιαία, καθώς και η αντιστοίχηση των δεδομένων σε ένα μικρό εύρος τιμών, π.χ. κανονικοποίηση 0.1 έως 0.9 όπου η ελάχιστη τιμή των πραγματικών δεδομένων αντιστοιχεί στο 0.1 και η μέγιστη στο 0.9.

13

Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης (Autocorrelation Function) (1)

Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι ένα μαθηματικό εργαλείο που χρησιμοποιείται στην ανάλυση των χρονοσειρών, και δείχνει τη συσχέτιση μιας συνάρτησης με τον εαυτό της, για διαδοχικά χρονικά διαστήματα. Αποτελεί έναν τρόπο ανίχνευσης της περιοδικότητας ενός σήματος. Ο τύπος υπολογισμού της είναι ο παρακάτω:

Όπου η αυτοσυσχέτιση με καθυστέρηση k (lag), η τιμή της συνάρτησης τη χρονική στιγμή t, η μέση τιμή της συνάρτησης και η τιμή της συνάρτησης Υ τη χρονική στιγμή t-κ .

14

𝑟𝑟𝑘𝑘 =∑ (𝑌𝑌𝑡𝑡 − 𝑌𝑌�)(𝑌𝑌𝑡𝑡−𝑘𝑘 − 𝑌𝑌�)𝑛𝑛𝑡𝑡=𝑘𝑘+1

∑ (𝑌𝑌𝑡𝑡 − 𝑌𝑌�)2𝑛𝑛𝑖𝑖=1

𝑟𝑟𝑘𝑘 𝑌𝑌𝑡𝑡

𝑌𝑌�

𝑌𝑌𝑡𝑡−𝑘𝑘

Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης (Autocorrelation Function) (2)

Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ουσιαστικά δείχνει τη σχέση εξάρτησης των επόμενων τιμών μιας συνάρτησης από τις προηγούμενες. Όσο μεγαλύτερες τιμές παίρνει η αυτοσυσχέτιση τόσο πιο μεγάλη εξάρτηση υπάρχει μεταξύ διαδοχικών τιμών της συνάρτησης.

15

Πρόβλεψη χρονοσειρών

Πρόβλεψη χρονοσειρών (1)

Γενικά η προβλεπόμενη τιμή μιας μεταβλητής σε μια μελλοντική χρονική στιγμή, στηρίζεται σε m προηγούμενες τιμές. Το m καλείται καθυστέρηση της πρόβλεψης (lag of prediction). Εάν έχουμε τις τιμές της μεταβλητής x για τις χρονικές στιγμές k-m έως k-1 1, δηλαδή,

μπορούμε να προβλέψουμε το x(k), καθώς και τις επόμενες τιμές x(k+1),…,x(k+p).

Η μεθοδολογία που χρησιμοποιείται για να δημιουργηθεί ένας predictor είναι η εξής:

17

𝑥𝑥(𝑘𝑘 − 1), 𝑥𝑥(𝑘𝑘 − 2), … , 𝑥𝑥(𝑘𝑘 −𝑚𝑚)

Πρόβλεψη χρονοσειρών (2)

1. Προεπεξεργασία των δεδομένων.

2. Απόφαση των m τιμών lag

3. Διαχωρισμός των δεδομένων παρατήρησης σε δεδομένα εκπαίδευσης και δεδομένα δοκιμής (ελέγχου)

4. Χρήση των δεδομένων για εκπαίδευση του predictor ανάλογα με τον αλγόριθμο εκπαίδευσης που χρησιμοποιείται (learning algorithm) (π.χ. Back Propagation).

5. Υπολογισμός της απόδοσης του εκπαιδευμένου predictor με τα δεδομένα ελέγχου.

18

Βασική αρχιτεκτονική του συστήματος πρόβλεψης

19

Σύστημα πρόβλεψης

Κριτήρια αξιολόγησης της πρόβλεψης (1)

20

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 =1𝑛𝑛�(𝑥𝑥(𝑘𝑘) − 𝑥𝑥�(𝑘𝑘))2𝑛𝑛

𝑘𝑘=1

𝑅𝑅𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = �1𝑛𝑛�(𝑥𝑥(𝑘𝑘) − 𝑥𝑥�(𝑘𝑘))2𝑛𝑛

𝑘𝑘=1

𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀 =1𝑛𝑛�|𝑥𝑥(𝑘𝑘) − 𝑥𝑥�(𝑘𝑘)|𝑛𝑛

𝑘𝑘=1

𝑁𝑁𝑁𝑁𝑀𝑀𝑁𝑁 =𝑅𝑅𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝜎𝜎

�∑ (𝑥𝑥(𝑘𝑘) − 𝑥𝑥�(𝑘𝑘))2𝑛𝑛𝑘𝑘=1∑ 𝑥𝑥2(𝑘𝑘)𝑛𝑛𝑘𝑘=1

𝐴𝐴𝑅𝑅𝐴𝐴 = (𝑁𝑁𝑁𝑁𝑀𝑀𝑁𝑁)2

𝑀𝑀𝑅𝑅𝑀𝑀(%) =100𝑛𝑛

�|𝑥𝑥(𝑘𝑘) − 𝑥𝑥�(𝑘𝑘)|

𝑥𝑥(𝑘𝑘)

𝑛𝑛

𝑘𝑘=1

Κριτήρια αξιολόγησης της πρόβλεψης (2)

21

𝑅𝑅𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 (%) = 100 ⋅ max(|𝑥𝑥(𝑘𝑘) − 𝑥𝑥�(𝑘𝑘)|

𝑥𝑥(𝑘𝑘))

𝜌𝜌 =∑ (𝑥𝑥(𝑘𝑘) − �̅�𝑥) ⋅ (𝑥𝑥�(𝑘𝑘) − 𝑥𝑥� �)𝑛𝑛𝑘𝑘=1

�∑ (𝑥𝑥(𝑘𝑘) − �̅�𝑥)2𝑛𝑛𝑘𝑘=1 ⋅ ∑ (𝑥𝑥�(𝑘𝑘) − 𝑥𝑥� �)2𝑛𝑛

𝑘𝑘=1

𝑁𝑁𝑀𝑀 =100𝑛𝑛

�𝑑𝑑𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑑𝑑𝑖𝑖 = �1 (𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥𝑖𝑖−1)(𝑥𝑥�𝑖𝑖 − 𝑥𝑥�𝑖𝑖−1) ≥ 00 𝑜𝑜𝑡𝑡ℎ𝑒𝑒𝑟𝑟𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑒𝑒

Τρόποι εξαγωγής κανόνων από αριθμητικά δεδομένα εκπαίδευσης

Υπάρχουν τρεις τρόποι εξαγωγής κανόνων από αριθμητικά δεδομένα εκπαίδευσης:

• Τα δεδομένα αποτελούν τα κέντρα των ασαφών συνόλων που εμφανίζονται στο υποθετικό και συμπερασματικό μέρος των κανόνων.

• Προκαθορίζουμε τις θέσεις των ασαφών συνόλων για το υποθετικό και συμπερασματικό μέρος των κανόνων και τότε συσχετίζουμε τα δεδομένα με τα ασαφή σύνολα.

• Σχεδιάζουμε την επιθυμητή αρχιτεκτονική του ασαφούς συστήματος και χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά δεδομένα για να βελτιστοποιήσουμε τις παραμέτρους του ασαφούς συστήματος.

22

Σχεδιασμός συστήματος σαφούς λογικής με τη μέθοδο Wang-Mendel

Μέθοδος Wang-Mendel

Έστω ότι έχουμε Ν δείγματα εισόδων-εξόδου μιας άγνωστης διεργασίας:

Όπου οι είσοδοι, m ο αριθμός των εισόδων και y η έξοδος. Ο στόχος μας είναι να σχεδιάσουμε ένα ασαφές σύστημα όπου η καρδιά του θα είναι ένα σύνολο κανόνων ΕΑΝ – ΤΟΤΕ, το οποίο θα προκύπτει από τα Ν ζεύγη εισόδων- εξόδων. Εάν η είσοδος στο ασαφές σύστημα είναι το διάνυσμα

και η έξοδος το τότε το σφάλμα θα θέλαμε να τείνει στο μηδέν.

24

(𝑥𝑥1𝑝𝑝 , 𝑥𝑥2

𝑝𝑝 , … , 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑝𝑝 ),𝑝𝑝 = 1,2, … ,𝑁𝑁

𝑥𝑥𝑖𝑖

𝑥𝑥1𝑝𝑝 , 𝑥𝑥2

𝑝𝑝 , … , 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑝𝑝 ,

𝑦𝑦𝑝𝑝΄

Ανάλυση αλγορίθμου Wang-Mendel (1)

Η ανάλυση του αλγορίθμου ας επιχειρηθεί με ένα παράδειγμα στο οποίο θεωρούμε τα δεδομένα μίας διεργασίας με δύο εισόδους και μία έξοδο:

25

(𝑥𝑥1𝑝𝑝 , 𝑥𝑥2

𝑝𝑝 ;𝑦𝑦𝑝𝑝)

Ανάλυση αλγορίθμου Wang-Mendel (2)

Θεωρούμε ότι οι είσοδοι και η έξοδος y κυμαίνονται στο διάστημα αντίστοιχα. Διαιρούμε την κάθε περιοχή σε 2Ν+1 τμήματα (το N μπορεί να είναι διαφορετικό για κάθε διάστημα). Το κάθε τμήμα αποτελεί το σύνολο στήριξης ενός ασαφούς συνόλου, με το κέντρο του να ανήκει στον πυρήνα του. Οι συναρτήσεις συμμετοχής μπορεί να έχουν διάφορα σχήματα (για κάθε είσοδο και έξοδο χρησιμοποιούμε το ίδιο είδος συνάρτησης συμμετοχής). Στο Σχήμα 2 βλέπουμε ένα παράδειγμα, όπου έχουμε χωρίσει τις εισόδους σε τρία και πέντε ασαφή σύνολα αντίστοιχα με τριγωνικές συναρτήσεις συμμετοχής και την έξοδο σε επίσης πέντε. Τους έχουμε αποδώσει ονομασίες NE (Negative), VNE (Very Negative), ZE (Zero), PO (Positive), VPO (Very Positive).

26

[𝑥𝑥1−, 𝑥𝑥1

+], [𝑥𝑥2−, 𝑥𝑥2

+] 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 [𝑦𝑦1−,𝑦𝑦1

+]

𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2

𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2

Σχήμα2: Διαίρεση εισόδων – εξόδου του ασαφούς συστήματος

27

Ανάλυση αλγορίθμου Wang-Mendel (3)

Ανάλυση αλγορίθμου Wang-Mendel (4)

Βήμα 2: Δημιουργία ασαφούς κανόνα από ένα ζευγάρι δεδομένων

Για κάθε ζευγάρι δεδομένων εισόδων-εξόδων , βρίσκουμε το βαθμό συμμετοχής του κάθε δεδομένου στα ασαφή σύνολα που δημιουργήσαμε στο προηγούμενο βήμα. Στη συνέχεια, αντιστοιχίζουμε κάθε τιμή στο ασαφές σύνολο στο οποίο έχει το μεγαλύτερο βαθμό συμμετοχής.

Δημιουργούμε έναν κανόνα που έχει την παρακάτω μορφή

Όπου τα ασαφή σύνολα στα οποία έχουμε αντιστοιχίσει τις τιμές από το ζευγάρι

28

(𝑥𝑥1(𝑝𝑝), 𝑥𝑥2

(𝑝𝑝);𝑦𝑦(1))

𝑅𝑅(𝑝𝑝): 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑥𝑥1 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝐴𝐴(𝑝𝑝) 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑥𝑥2 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝐵𝐵(𝑝𝑝) 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑨𝑨 𝑦𝑦 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝐶𝐶(𝑝𝑝)

𝐴𝐴(𝑝𝑝),𝐵𝐵(𝑝𝑝)𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝐶𝐶(𝑝𝑝) (𝑥𝑥1

(𝑝𝑝), 𝑥𝑥2(𝑝𝑝);𝑦𝑦(1))

Ανάλυση αλγορίθμου Wang-Mendel (5)

Για παράδειγμα στο Σχήμα 2, βλέπουμε ότι για το ζευγάρι

, το ανήκει σε δύο σύνολα ταυτόχρονα, το ‘ΝΕ’ και το ‘ΖΕ’, αλλά με μεγαλύτερο βαθμό στο ‘ΖΕ’, Έτσι το αντιστοιχεί στο σύνολο ‘ΖΕ’. Αντιστοίχως το βρίσκουμε ότι αντιστοιχεί στο σύνολο ‘ZE’ και το στο ‘NE’. Ο κανόνας που δημιουργείται είναι ο παρακάτω:

Αντίστοιχα, για το δεύτερο ζευγάρι από το σχήμα βλέπουμε ότι θα προκύψει ο κανόνας:

29

(𝑥𝑥1(1), 𝑥𝑥2

(1);𝑦𝑦(1)) 𝑥𝑥1(1)

𝑥𝑥1(1)

𝑥𝑥2(1)

𝑅𝑅(1): 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑥𝑥1 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑍𝑍𝑀𝑀 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑥𝑥2 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑍𝑍𝑀𝑀 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑨𝑨 𝑦𝑦 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑁𝑁𝑀𝑀

(𝑥𝑥1(2), 𝑥𝑥2

(2);𝑦𝑦(2))

𝑅𝑅(2): 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑥𝑥1 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑍𝑍𝑀𝑀 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑥𝑥2 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑨𝑨 𝑦𝑦 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑍𝑍𝑀𝑀

𝑦𝑦(1)

Ανάλυση αλγορίθμου Wang-Mendel (6)

Βήμα 3: Καθορισμός του συντελεστή αξιοπιστίας του κάθε κανόνα που δημιουργήθηκε στο βήμα 2

Σε κάθε κανόνα προσδίδουμε έναν βαθμό αξιοπιστίας CF, με βάση το βαθμό συμμετοχής των αριθμητικών δεδομένων που τον δημιούργησαν, στις γλωσσικές τιμές που αυτός χρησιμοποιεί. Έτσι ο κανόνας

Έχει βαθμό αξιοπιστίας:

30

𝑅𝑅(𝑝𝑝): 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑥𝑥1 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝐴𝐴(𝑝𝑝) 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑥𝑥2 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝐵𝐵(𝑝𝑝) 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑨𝑨 𝑦𝑦 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝐶𝐶(𝑝𝑝)

𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑝𝑝) = 𝜇𝜇𝐴𝐴(𝑝𝑝) �𝑥𝑥1(𝑝𝑝)� ⋅ 𝜇𝜇𝐵𝐵(𝑝𝑝) �𝑥𝑥2

(𝑝𝑝)� ⋅ 𝜇𝜇𝐶𝐶(𝑝𝑝)�𝑦𝑦(𝑝𝑝)�

Ανάλυση αλγορίθμου Wang-Mendel (7)

Πολλές φορές στην πράξη υπάρχει a priori γνώση πάνω στα ζευγάρια δεδομένων. Έτσι, μπορεί ένας έμπειρος, εξετάζοντάς τα, να διαπιστώσει ότι μερικά δεν είναι ακριβή, και ότι μπορεί να έχουν προέλθει από εσφαλμένες μετρήσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, αποδίδεται ένας βαθμός αξιοπιστίας πάνω σε αυτά, και ο βαθμός αξιοπιστίας του κανόνα είναι:

Από τους αντικρουόμενους κανόνες που ενδεχομένως έχουν δημιουργηθεί, επιλέγουμε αυτόν με το μεγαλύτερο βαθμό αξιοπιστίας, και σχηματίζουμε την τελική ομάδα κανόνων που προέρχεται από τα δεδομένα.

31

𝜇𝜇𝑝𝑝

𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑝𝑝) = 𝜇𝜇𝐴𝐴(𝑝𝑝) �𝑥𝑥1(𝑝𝑝)� ⋅ 𝜇𝜇𝐵𝐵(𝑝𝑝) �𝑥𝑥2

(𝑝𝑝)� ⋅ 𝜇𝜇𝐶𝐶(𝑝𝑝)�𝑦𝑦(𝑝𝑝)�

Ανάλυση αλγορίθμου Wang-Mendel (8)

Για το παράδειγμα του Σχήματος 2, έχουμε:

32

𝐶𝐶𝐶𝐶(1) = 𝜇𝜇𝑍𝑍𝑀𝑀 �𝑥𝑥1(1)� ⋅ 𝜇𝜇𝑍𝑍𝑀𝑀 �𝑥𝑥2

(1)� ⋅ 𝜇𝜇𝑁𝑁𝑀𝑀�𝑦𝑦(1)� = 0.6 ⋅ 0.7 ⋅ 0.8 = 0.336

𝐶𝐶𝐶𝐶(2) = 𝜇𝜇𝑍𝑍𝑀𝑀 �𝑥𝑥1(2)� ⋅ 𝜇𝜇𝑃𝑃𝑃𝑃 �𝑥𝑥2

(2)� ⋅ 𝜇𝜇𝑍𝑍𝑀𝑀�𝑦𝑦(2)� = 0.7 ⋅ 0.75 ⋅ 0.8 = 0.42

Ανάλυση αλγορίθμου Wang-Mendel (9)

Βήμα 4: Δημιουργία της τελικής βάσης των ασαφών κανόνων

Στο Σχήμα 3 βλέπουμε έναν πίνακα (table look-up) όπου από τις γραμμές και τις στήλες του διαμορφώνεται το Εάν μέρος των κανόνων και από τα κελιά το Τότε μέρος των κανόνων, που προέρχονται από τα δεδομένα, καθώς και εμπειρικούς κανόνες που ενδεχομένως να γνωρίζουμε. Σε κάθε κελί, σημειώνουμε την γλωσσική τιμή στην έξοδο του κάθε κανόνα. Αν περισσότεροι από ένας κανόνες αντιστοιχούν στο ίδιο κελί, τότε σημειώνουμε με βάση αυτόν που έχει το μεγαλύτερο βαθμό αξιοπιστίας.

33

𝑥𝑥1

𝑥𝑥2 VNE NE ZE PO VPO NE ZE PO

Σχήμα 3 Table Loo-up. Η τελική ομάδα κανόνων για το ασαφές μοντέλο

34

Ανάλυση αλγορίθμου Wang-Mendel (10)

Ανάλυση αλγορίθμου Wang-Mendel (11)

Βήμα 5: Σχεδιασμός του ασαφούς συστήματος με πυρήνα τη βάση ασαφών

Εδώ καθορίζουμε τις μεθόδους που χρησιμοποιεί το ασαφές μοντέλο για την πράξη ΚΑΙ στους κανόνες, την συνεπαγωγή και την αποασαφοποίηση.

Για ΚΑΙ (fuzzy AND) επιλέγουμε τον τελεστή product, για συνεπαγωγή product- sum (implication- aggregation) και αποασαφοποίηση τη μέθοδο του κέντρου βάρους (COA)

35

Ασαφής Μοντελοποίηση

Ασαφής πρόβλεψη θερμοκρασίας (1)

Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα της μέσης ημερήσιας θερμοκρασίας για την περίοδο 1990 έως 2003. Ως δεδομένα εκπαίδευσης χρησιμοποιούμε τις τιμές για την περίοδο 1990 - 1996, και στη συνέχεια, το μοντέλο που θα προκύψει θα το χρησιμοποιήσουμε για να προβλέψουμε την μέση ημερήσια θερμοκρασία της επόμενης περιόδου 1997-2003

IF T(k-3) is … AND T(k-1) is … THEN T(k) is …

Όπου T(k) είναι η θερμοκρασία που αντιστοιχεί στον k αριθμό δείγματος (k=1,2,…,5113)

37

Σχήμα4: Διακύμανση της μέσης ημερήσιας θερμοκρασίας για την περίοδο 1990-2003

38

Ασαφής πρόβλεψη θερμοκρασίας (2)

Σχήμα 5: Αποτελέσματα για τα εκπαιδευτικά δεδομένα της θερμοκρασίας (’90 –’96)

39

Ασαφής πρόβλεψη θερμοκρασίας (3)

Σχήμα 6: Αποτελέσματα για το δοκιμαστικά δεδομένα της θερμοκρασίας (’97 –’03)

40

Ασαφής πρόβλεψη θερμοκρασίας (4)

Χαοτικά Συστήματα

Β. Χαοτικό σύστημα Lorenz

Χαοτικό σύστημα Lorenz (1)

Το χαοτικό σύστημα του Lorenz περιγράφεται από τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις:

όπου και αρχικές τιμές

42

𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

= −𝑐𝑐 ⋅ (𝑦𝑦(𝑡𝑡) − 𝑥𝑥(𝑡𝑡))

𝑑𝑑𝑦𝑦(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

= 𝑚𝑚 ⋅ 𝑥𝑥(𝑡𝑡) − 𝑦𝑦(𝑡𝑡) − 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ⋅ 𝑧𝑧(𝑡𝑡)

𝑑𝑑𝑧𝑧(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

= 𝑏𝑏 ⋅ (𝑥𝑥(𝑡𝑡) ⋅ 𝑦𝑦(𝑡𝑡) − 𝑧𝑧(𝑡𝑡))

𝑚𝑚 = 28, 𝑏𝑏 = 8/3, 𝑐𝑐 = 10

𝑥𝑥(0) = 2,𝑦𝑦(0) = 5 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝑧𝑧(0) = 20

Σχήμα7: Χαοτικό σύστημα Lorenz

43

Χαοτικό σύστημα Lorenz (2)

Σχήμα 8: Χρονοσειρά της μεταβλητής z ως προς τα δείγματα

44

Χαοτικό σύστημα Lorenz (3)

Σχήμα 9: Αποτελέσματα του ασαφούς μοντέλου για το σύστημα Lorenz στα εκπαιδευτικά δείγματα (1 έως 1000)

45

Χαοτικό σύστημα Lorenz (4)

Σχήμα 10: Αποτελέσματα για το σύστημα Lorenz στα δοκιμαστικά δείγματα

46

Χαοτικό σύστημα Lorenz (5)

Χαοτικά Συστήματα

Γ. Χαοτικό σύστημα του CHEN

Χαοτικό σύστημα του CHEN (1)

Το χαοτικό σύστημα του CHEN περιγράφεται από τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις:

Το σύστημα είναι χαοτικό όταν . Ως αρχικές συνθήκες επιλέγουμε

48

𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

= 𝑚𝑚(𝑦𝑦(𝑡𝑡) − 𝑥𝑥(𝑡𝑡))

𝑑𝑑𝑦𝑦(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

= (𝑐𝑐 − 𝑚𝑚) ⋅ 𝑥𝑥(𝑡𝑡) − 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ⋅ 𝑧𝑧(𝑡𝑡) + 𝑐𝑐 ⋅ 𝑦𝑦(𝑡𝑡)

𝑑𝑑𝑧𝑧(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

= 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ⋅ 𝑦𝑦(𝑡𝑡) − 𝑏𝑏 ⋅ 𝑧𝑧(𝑡𝑡)

𝑚𝑚 = 35, 𝑏𝑏 = 3, 𝑐𝑐 = 28 𝑥𝑥(0) = −5,𝑦𝑦(0) = 1 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝑧𝑧(0) = 1

Σχήμα 11: Χαοτικό σύστημα Chen

49

Χαοτικό σύστημα του CHEN (2)

Χαοτικό σύστημα του CHEN (3)

Μοντελοποιούμε την συμπεριφορά του z(k) (k=1,2,…,2001), ), ώστε με γνωστές τιμές τις z(k-2) και z(k-1), να προβλέπουμε την τιμή z(k). Την κάθε είσοδο και την έξοδο την διαιρέσαμε σε 9 συμμετρικά ασαφή σύνολα με γκαουσιανές συναρτήσεις συμμετοχής. Οι κανόνες του ασαφούς μοντέλου έχουν τη μορφή:

IF z(k-2) is … AND z(k-1) is …THEN z(k) is …

50

Σχήμα 12: Χαοτική χρονοσειρά Chen

51

Χαοτικό σύστημα του CHEN (4)

Χαοτικό σύστημα του CHEN (5)

Στο σύστημά μας επιλέγουμε ως εισόδους τις τιμές x(k-3) και x(k-1) , και ως έξοδο την x(k). Διαιρούμε τις περιοχές της κάθε εισόδου και της εξόδου όπως και στην προηγούμενη εφαρμογή σε 9 συμμετρικά ασαφή σύνολα με γκαουσιανές συναρτήσεις συμμετοχής. Οι κανόνες του ασαφούς μοντέλου έχουν τη μορφή:

IF x(k-3) is… AND x(k-1) is … THEN x(k) is…

52

Σχήμα 13: Εκπαιδευτικά δεδομένα για το σύστημα του Chen

53

Χαοτικό σύστημα του CHEN (6)

Σχήμα 14: Αποτελέσματα για τα δοκιμαστικά δείγματα από το σύστημα Chen

54

Χαοτικό σύστημα του CHEN (7)

Χαοτικά Συστήματα

Δ. Μοντελοποίηση εργαστηριακού MR- Dumper

Μοντελοποίηση εργαστηριακού MR- Dumper (1)

Ένα επιτυχημένο μαθηματικό μοντέλο που τον περιγράφει είναι το μοντέλο Bouc- Wen Αυτό το μοντέλο θα χρησιμοποιήσουμε για να αντλήσουμε τα δεδομένα που χρειαζόμαστε. Ο ενεργοποιητής περιγράφεται από τις παρακάτω επτά εξισώσεις

56

𝑓𝑓 = 𝑐𝑐1�̇�𝑦 + 𝑘𝑘1(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)

�̇�𝑦 =1

𝑐𝑐0 + 𝑐𝑐1[𝑚𝑚𝑧𝑧 + 𝑐𝑐0�̇�𝑥 + 𝑘𝑘0(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)]

�̇�𝑧 = −𝛾𝛾|�̇�𝑥 − �̇�𝑦|𝑧𝑧|𝑧𝑧|𝑛𝑛−1 − 𝛽𝛽(�̇�𝑥 − �̇�𝑦)|𝑧𝑧|𝑛𝑛 + 𝛢𝛢(�̇�𝑥 − �̇�𝑦)

𝑚𝑚 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑏𝑏𝑢𝑢 𝑐𝑐1 = 𝑐𝑐1𝑚𝑚 + 𝑐𝑐1𝑏𝑏𝑢𝑢 𝑐𝑐0 = 𝑐𝑐0𝑚𝑚 + 𝑐𝑐0𝑏𝑏𝑢𝑢 �̇�𝑢 = −𝜂𝜂(𝑢𝑢 − 𝑣𝑣)

Μοντελοποίηση εργαστηριακού MR- Dumper (2)

όπου x είναι η μετατόπιση του εμβόλου του MR-damper, f δύναμη που ασκείται από αυτόν, y είναι η μετατόπιση του ενεργοποιητή, u έξοδος ενός φίλτρου πρώτης τάξης και v η τάση που εφαρμόζεται στον ενεργοποιητή.

57

Μοντελοποίηση εργαστηριακού MR- Dumper (3)

Μοντελοποιούμε τη δύναμη που δίνει ο ενεργοποιητής σε σχέση με την δύναμη που δίνει δύο msec

Πριν την μετατόπισή του 𝑥𝑥(𝑘𝑘) και την τάση v(k) που εφαρμόζουμε σε αυτόν. Κάθε είσοδο και έξοδο του ασαφούς συστήματος την χωρίζουμε σε 9 γκαουσιανές συναρτήσεις συμμετοχής. Η μορφή των κανόνων του ασαφούς μοντέλου έχει ως:

IF x(k) is … AND v(k) is … AND f(k-2) THEN f(k) is …

58

𝑓𝑓(𝑘𝑘)(𝑘𝑘 = 1,2, … ,5000)

𝑓𝑓(𝑘𝑘 − 2)

Σχήμα 15: Η μετατόπιση, η εφαρμοσμένη τάση και η δύναμη του MR-Damper σε συνάρτηση με το χρόνο

59

Μοντελοποίηση εργαστηριακού MR- Dumper (4)

Σχήμα 17: Αποτελέσματα μοντελοποίησης του MR-Damper για τα δοκιμαστικά δεδομένα.

60

Μοντελοποίηση εργαστηριακού MR- Dumper (5)

Σχήμα 17: Αποτελέσματα μοντελοποίησης του MR-Damper για τα δοκιμαστικά δεδομένα

61

Μοντελοποίηση εργαστηριακού MR- Dumper (6)

Μοντελοποίηση εργαστηριακού MR- Dumper (7)

62

Τέλος Ενότητας