NEPARAMETARSKI TESTOVI - Naslovnica

Neparametarski testovi

NEPARAMETARSKITESTOVI

1 / 80

Neparametarski testovi

Mnogi testovi pretpostavljaju normalnu razdiobu populacije/a.

Ukoliko je ta pretpostavka narušena, koristimo testove koji nemajupretpostavke o distribuciji populacije (neparametarske testove)

Primjer neparametarskog testa jePearsonov χ2-test

Kolmogorov-Smirnov test

Neparametarski testovi su manje osjetljivi na ekstremnevrijednosti (outliere) od parametarskih.

Neparametarski testovi uglavnom imaju manju snagu odparametarskih kada su ispunjene pretpostavke parametarskihtestova.

2 / 80

Neparametarski testovi Medijan test

Medijan test

Nul-hipotezu koja se testira je da dvije populacije imaju isti medijan.

Dvije populacije: A i B.

Testiramo hipotezu o jednakosti medijana tih dviju populacija:

H0 : MA = MB

Iz svake se populacije izabere po jedan uzorak (ne nužno iste velicine).

Na osnovu kombiniranog uzorka (nastalog spajanjem ova dva uzorka)odredi se kombinirani (zajednicki) medijan.

Ukoliko je pretpostavka o jednakim medijanima tocna, tada je udiojedinki ispod, odnosno iznad kombiniranog medijana otprilikepodjednak u oba uzorka (grupe).

3 / 80

Daljnja analiza se svodi na proucavanje 2× 2 tablice:

GrupaUzorak 1 Uzorak 2 Kombinirano

Iznad komb. medijana A B A + BIspod komb. medijana C D C + DUkupno m (= A + C) n (= B + D)

Za testiranje jednakosti distribucija koristi se Fisherov egzaktni test.

Metodu cemo ilustrirati na primjeru korištenom za uspoedbu srednjihvrijednosti.

4 / 80

Primjer. U studiji o razlici u apsolutnoj pogrešci kod pozicioniranjaaktivne i pasivne ruke istraživaci su testirali 20 studenata. Kod 10studenata su mjerili apsolutnu pogrešku kod pozicioniranja aktivneruke a kod preostalih 10 pogrešku kod pozicioniranja pasivne ruke.Rezultati mjerenja (u cm) prikazani su u tablici:

Ispitanik Aktivna ruka Ispitanik Pasivna ruka1 2.65 11 3.302 2.42 12 2.003 3.30 13 0.094 0.19 14 0.045 1.25 15 4.566 2.00 16 3.337 3.34 17 1.028 4.08 18 0.899 0.70 19 2.78

10 2.89 20 1.65

5 / 80

Tražimo kombinirani medijan.

Sve podatke poredamo po velicini

0.04 0.09 0.19 0.7 0.89 1.02 1.25 1.65 2 2

2.42 2.65 2.78 2.89 3.3 3.3 3.33 3.34 4.08 4.56

kombinirani medijan = 2.21

Sada prebrojimo podatke iznad i ispod kombiniranog medijana.

6 / 80

kombinirani medijan = 2.21

Aktivna ruka Pasivna ruka2.65 3.302.42 2.003.30 0.090.19 0.041.25 4.562.00 3.333.34 1.024.08 0.890.70 2.782.89 1.65

Iznad 6 4Ispod 4 6

7 / 80

8 / 80

Fisherov egzaktni dvostrani test: p = 0.65639 / 80

Neparametarski testovi Wilcoxon-Mann-Whitneyev test

Wilcoxon-Mann-Whitneyev test

Neparametarski analogon Studentovom t-testu za nezavisnepopulacije.

U literaturi je poznat i pod nazivima

Wilcoxonov test sume rangova

Mann-Whitneyev U-test

Nul hipoteza.

X - slucajno izabrana jedinka iz prve populacije

Y - slucajno izabrana jedinka iz druge populacije

H0 : P(X < Y ) = P(X > Y )

Alternativna hipoteza.

H1 : P(X < Y ) < P(X > Y ) ili P(X < Y ) > P(X > Y )

Test može biti jednostrani i dvostrani.10 / 80

Cesto se kao nul hipoteza koristi jaca tvrdnja:

Distribucija obilježja je jednaka u obje populacije.

Pretpostavke testa.Distribucija obilježja je neprekidno ili ordinalno.

Uzorci su izabrani nezavisno.

11 / 80

Iz svake populacije nezavisno izaberemo po jedan uzorak(ne nužno iste velicine)

- n1 - velicina uzorka iz prve populacije

- n2 - velicina uzorka iz druge populacije

Svakom podatku se pridijeli rang iz kombiniranog uzorka.

Tako pridijeljeni rangovi poprimaju vrijednosti od 1 do n1 + n2.

Ukoliko je obilježje jednako distribuirano unutar obje populacijetada se ocekuje da ce prosjecan rang biti podjednak za obauzorka.

Statistika:

W = zbroj rangova iz jednog od uzorka.

12 / 80

Koji ce se uzorak izabrati nije važno jer je ukupan zbroj rangovaza N = n1 + n2 opservacija jednak

1 + 2 + 3 + . . .+ N =N(N + 1)

Zbroj rangova za drugi uzorak je

N(N + 1)

2−W .

Vrijedi:

E(W ) =n1(N + 1)

Var(W ) =n1n2(N + 1)

Za veliki uzorak je W približno distribuiran prema normalnojdistribuciji (n1 ≥ 10 ili n2 ≥ 10; N ≥ 20).

13 / 80

U literaturi se cesto koristi Mann-Whitneyev U-test.

Test je ekvivalentan ovom testu jer statistika U u MW testu je

U = n1n2 −n1(n1 + 1)

Ovdje je korištena statistika korištena u varijanti poznatoj podimenom Wilcoxonov test sume rangova.

14 / 80

Izjednaceni rangovi

Wilcoxonov test pretpostavlja da je obilježje neprekidnodistribuirano.

S jako preciznim mjerenjem neprekidne varijable, vjerojatnost istihvrijednosti (time i rangova) u dva (ili više) mjerenja je 0.

Relativno grubo mjerenje može uzrokovati izjednacene vrijednosti.

U slucaju jednakih vrijednosti, svakoj opservaciji pridružujemosrednju vrijednost rangova koje bi imale da izjednacenja nema.

Ukoliko se izjednacenje dogodi izmedu dvije ili više vrijednostiunutar samo jedne grupe to nema utjecaja na statistiku W .

Ukoliko se to dogodi na dvije ili više opservacija iz obje grupepojavljuje se utjecaj na W

Medutim, svaka pojava izjednacenja utjece na varijabilnostrangova, a time i na varijancu statistike W .

15 / 80

Varijanca

Var(W ) =n1n2(N + 1)

12izracunata je uz pretpostavku da nema izjednacenih rangova.

U slucaju izjednacenja potrebno je koristiti korekcije.

g - broj razlicitih vrijednosti za koje su rangovi izjednaceni

tj - broj opservacija s istom j-tom vrijednošcu (j = 1, . . . ,g)

Korigirana varijanca:

Var(W ) =n1n2(N + 1)

12− n1n2

12N(N − 1)

(t3j − tj

16 / 80

Primjer. U studiji o razlici u apsolutnoj pogrešci kod pozicioniranjaaktivne i pasivne ruke istraživaci su testirali 20 studenata. Kod 10studenata su mjerili apsolutnu pogrešku kod pozicioniranja aktivneruke a kod preostalih 10 pogrešku kod pozicioniranja pasivne ruke.Rezultati mjerenja (u cm) prikazani su u tablici:

Ispitanik Aktivna ruka Ispitanik Pasivna ruka1 2.65 11 3.302 2.42 12 2.003 3.30 13 0.094 0.19 14 0.045 1.25 15 4.566 2.00 16 3.337 3.34 17 1.028 4.08 18 0.899 0.70 19 2.78

10 2.89 20 1.65

17 / 80

Odredimo rangove kombiniranog uzorka.

0.04 0.09 0.19 0.7 0.89 1.02 1.25 1.65 2 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9.5 9.5

2.42 2.65 2.78 2.89 3.3 3.3 3.33 3.34 4.08 4.56

11 12 13 14 15.5 15.5 17 18 19 20

18 / 80

Aktivna ruka Pasivna rukaPogreška Rang Pogreška Rang

2.65 12 3.30 15.52.42 11 2.00 9.53.30 15.5 0.09 20.19 3 0.04 11.25 7 4.56 202.00 9.5 3.33 173.34 18 1.02 64.08 19 0.89 50.70 4 2.78 132.89 14 1.65 8

W 113 (97)

n1 = 10n2 = 10N = n1 + n2 = 20

19 / 80

Statistica

20 / 80

21 / 80

22 / 80

23 / 80

Z, p-value - normalna aproksimacija bez korekcije za izjednacenerangove

Z adjusted, p-value - normalna aproksimacija s korekcijom zaizjednacene rangove

2*1sided ecact p - p-vrijednost za egzaktnu distribuciju

24 / 80

Neparametarski testovi Kruskal-Wallisov test

Kruskal-Wallisov test

Neparametarski analogon ANOVA testu s jednostrukomklasifikacijom.

U literaturi je poznat i pod nazivima

Kruskal-Wallis ANOVA

neparametarska ANOVA

Kao i Wilcoxon-Mann-Witneyev test, Kruskal-Wallisov test koristirangove, te su nazivi koji sadrže ANOVA loši.

Kruskal-Wallisov test usporeduje srednje rangove koristeciusporedbu varijanci rangova na isti nacin kao što je to napravljenou ANOVA testu.

KW test je proširenje Wilcoxon-Mann-Witneyevog testa nausporedbu više nezavisnih populacija.

25 / 80

Xi - slucajno izabrana jedinka iz i-te populacije

Nul hipoteza. H0 : P(Xi < Xj) = P(Xi > Xj)

za sve i 6= j , i , j = 1, . . . , k .

Alternativna hipoteza.

H1 : P(Xi < Xj) 6= P(Xi > Xj)

za neki i i j .

Kao i kod WMW testa, cesto se kao nul hipoteza koristi

Ocekivanja srednjeg ranga u uzorcima su jednaka.

ili jaca tvrdnja:

Distribucija obilježja je jednaka u svim populacijama.

Pretpostavke testa.Distribucija obilježja je neprekidno ili ordinalno.

Uzorci su izabrani nezavisno.26 / 80

Iz svake od k populacija nezavisno izaberemo po jedan uzorak(ne nužno iste velicine):ni - velicina uzorka iz i-te populacije (i = 1, . . . , k )

Svakom podatku se pridijeli rang iz kombiniranog uzorka.

Tako pridijeljeni rangovi poprimaju vrijednosti od 1 doN = n1 + n2 + . . .+ nk .

Ukoliko je obilježje jednako distribuirano unutar obje populacijetada se ocekuje da ce prosjecan rang biti podjednak za sveuzorka.

27 / 80

Podaci. Izracunamo rangove na kombiniranom uzorku.

1 2 . . . k

X11 X21 . . . Xk1

X12 X22 . . . Xk2...

......

... X2nk

1 2 . . . k

R11 R21 . . . Rk1

R12 R22 . . . Rk2...

......

... R2nk

R1 R2 . . . Rk

Ri srednja vrijednost rangova u i-tom uzorku28 / 80

Statistika.

KW =12

N(N + 1)

ni(Ri − R

ni - velicina i-tog uzorka

N - velicina kombiniranog uzorka (N = n1 + n2 + . . .+ nk )

Ri - srednja vrijednost rangova u i-tom uzorku

R - srednja vrijednost rangova u kombiniranom uzorku.

Ukoliko je broj grupa veci od 3 (k ≥ 3) i velicina svakog uzorka veca od5 (ni ≥ 5), tada je razdioba statistike KW dobro aproksimirana χ2

razdiobom s k − 1 stupnjem slobode.

29 / 80

Izjednaceni rangovi

Kao i kod Wilcoxonovog testa, pretpostavlja se da je obilježjeneprekidno distribuirano te je vjerojatnost istih vrijednosti u dva (iliviše) mjerenja 0.

Ukoliko postoje izjednaceni rangovi, mjenja se varijanca rangovate treba korigirati KW statistiku.

KW statistika se dijeli s

1− 1N3 − N

g∑j=1

(t3j − tj

30 / 80

’Post-hoc’ testKao i ANOVA, Kruskal-Wallisov test u slucaju odbacivanja hipotezepokazuje da se populacije razlikuju ali ne daje odgovor na pitanje kojese populacije razlikuju.

’Post-hoc’ test: Dunnov test

31 / 80

Primjer. Trener želi usporediti tri razlicite metode treninga. Svaku odmetoda primijenio je na po n = 4 studenta. Nakon 30 dana ocijenjenaje uspješnost i ocjene su prikazane u tablici

Metoda Opservacije

Metoda 1 3 6 4 7

Metoda 2 11 8 10 7

Metoda 3 6 9 5 8

Jesu li sve tri metode jednako uspješne? Hipotezu testirajte uz razinuznacajnosti α = 0.05.

32 / 80

Rangiranje podataka.

3 4 5 6 6 7 7 8 8 9 10 11

1 2 3 4.5 4.5 6.5 6.5 8.5 8.5 10 11 12

1. uzorak 2. uzorak 3. uzorak

Ocjena Rang Ocjena Rang Ocjena Rang

3 1 11 12 6 4.5

6 4.5 8 8.5 9 10

4 2 10 11 5 3

7 6.5 7 6.5 8 8.5

Ri 3.5 9.5 6.5

33 / 80

Statistica

34 / 80

Definiranje varijabli.

35 / 80

36 / 80

Rezultat medijan testa.

37 / 80

Rezultat Kruskal-Wallisovog testa.

38 / 80

’Post-hoc’ test.

39 / 80

Neparametarski testovi Test predznaka

Test predznaka

Dizajn prije i poslije

Dva sparena uzorka.

X - obilježje prije tretmana

Y - obilježje poslije tretmana

Uzorci:

X1,X2, . . . ,Xn

Y1,Y2, . . . ,Yn

Promatra se razlika: Di = Yi − Xi

Ako tretman pozitivno utjece−→ ocekuje se veci broj pozitivnih vrijednosti Di .

Ako tretman negativno utjece−→ ocekuje se veci broj negativnih vrijednosti Di .

40 / 80

S+ - broj pozitivnih razlika

S− - broj negativnih razlika

Ukoliko nema utjecaja tretmana S+ i S− bi trebala biti podjednaki.

Ako je distribucija obilježja prije i poslije tretmana ista, statistikaS+ distribuirana je prema binomnoj B(n,0.5) razdiobi.

Za veliki uzorak može se koristiti normalna aproksimacija:

z =S+ − n

2√n4

∼ N(0,1)

Ukoliko se pojedine vrijednosti prije i poslije tretmana poklapaju(Xi = Yi , tj. Di = 0), te opservacije treba iskljuciti iz uzorka.

41 / 80

Primjer. U istraživanju utjecaja stimulansa na krvni tlak, istraživaci sudvanaestorici pacijenata dali stimulans. Svakom pacijentu je krvnitplak izmjeren prije i poslije davanja stimulansa.

Postoji li opravdanje za tvrdnju da stimulans povecava krvni tlak?

Krvni tlakPacijent Prije Poslije

(X ) (Y )1 120 1282 124 1313 130 1314 118 1275 140 1326 128 125

Krvni tlakPacijent Prije Poslije

(X ) (Y )7 140 1418 135 1379 126 11810 130 13211 126 12912 127 135

42 / 80

Krvni tlakPrije Poslije Razlika(X ) (Y ) (D)120 128 8124 131 7130 131 1118 127 9140 132 -8128 125 -3

Krvni tlakPrije Poslije Razlika(X ) (Y ) (D)140 141 1135 137 2126 118 -8130 132 2126 129 3127 135 8

S+ = 9 S− = 3

43 / 80

Statistica.

Izbor testa.

44 / 80

Izbor varijabli.

45 / 80

Test predznaka (Sign test).

46 / 80

47 / 80

Neparametarski testovi Wilcoxonov test rangova s predznakom

Wilcoxonov test rangova s predznakom

Dizajn prije i poslije

Slicno kao i test predznaka jedino se u obzir uzimaju rangovirazlika Di = Yi − Xi .

Razlike Di se rangiraju po apsolutnim vrijednostima (bez obzira napredznak)

Ukoliko nema razlike izmedu obilježja (populacija) X i Y , tada bisuma rangova za negativne razlike trebala biti podjednaka kao isuma rangova za negativne razlike.

Statistika

T+ = zbroj rangova pozitivnih razlika

48 / 80

Za veliki uzorak distribucija od T+ je približno normalna s

E(T+) =n(n + 1)

Var(T+) =n(n + 1)(2n + 1)

Statistika:

z =T+ − n(n+1)

4√n(n+1)(2n+1)

49 / 80

Korekcija za izjednacene rangove:

g∑j=1

(t3j − tj

Korigirana statistika:

z =T+ − n(n+1)

4√n(n+1)(2n+1)

24 − C48

50 / 80

Primjer s krvnim tlakom.

Krvni tlakPrije Poslije Razlika(X ) (Y ) (D)120 128 8124 131 7130 131 1118 127 9140 132 -8128 125 -3

Krvni tlakPrije Poslije Razlika(X ) (Y ) (D)140 141 1135 137 2126 118 -8130 132 2126 129 3127 135 8

Odredujemo rangove:

1 1 2 2 3 3 7 8 8 8 8 9

1.5 1.5 3.5 3.5 5.5 5.5 7 9.5 9.5 9.5 9.5 12

51 / 80

Krvni tlakPrije Poslije Razlika Rang(X ) (Y ) (D)120 128 8 9.5124 131 7 7130 131 1 1.5118 127 9 12140 132 -8 9.5128 125 -3 5.5

Krvni tlakPrije Poslije Razlika Rang(X ) (Y ) (D)140 141 1 1.5135 137 2 3.5126 118 -8 9.5130 132 2 3.5126 129 3 5.5127 135 8 9.5

T+ = 9.5 + 7 + 1.5 + 12 + 1.5 + 3.5 + 3.5 + 5.5 + 9.5 = 53.5

52 / 80

Statistica. Isto kao i za test predznaka.

53 / 80

54 / 80

55 / 80

Napomena. T je razlicit jer prikazuje zbroj rangova negativnih razlika(24.5 = 12 · 13/2− 53.5 )

56 / 80

Neparametarski testovi Friedmanov test rangova

Friedmanov test rangova

Usporedba tri ili više zavisnih populacija

Najcešce, ponovljena mjerenja.

Analogon ANOVA testu za ponovljena mjerenja

Generalizacija testa predznaka na veci broj populacija

Nul hipoteza. Distribucija obilježja je u svim populacijamajednaka.

Uzorak: n jedinki i k tretmana (ponovljenih mjerenja) Za svakujedinku.

57 / 80

Uzorak.

Tretman

Jedinka T. 1 T. 2. . . . T. k

1 X11 X21 . . . Xk1

2 X12 X22 . . . Xk2...

......

n X1n X2n . . . Xkn

58 / 80

Za svaku se jedinku izracunaju rangovi.

Tretman

Jedinka T. 1 T. 2. . . . T. k

1 R11 R21 . . . Rk1

2 R12 R22 . . . Rk2...

......

n R1n R2n . . . Rkn

R1 R2 . . . Rk

Za svaki tretman se izracuna prosjecni rang (Ri ).

Ukoliko je nul hipoteza tocna (distribucij su jednake), rangovi bi seunutar svakog tretmana trebali pojavljivati slucajno.

59 / 80

Statistika.

Fr =12

n · k · (k + 1)

R2i − 3 · n · (k + 1)

Za veliki uzorak i velik broj tretmana statistika je distribuirana približnoprema χ2 razdiobi s k − 1 stupnjem slobode:

Fr ∼ χ2(k − 1).

U slucaju izjednacenih rangova statistika Fr se korigira.

60 / 80

Primjer. (Iz ANOVA testa za ponovljena mjerenja)

Istraživac želi ispitati smanjenje osjecaja ravnoteže koji biciklisti osjetepovecanjem umora tijekom utrke.

Da bi izmjerio gubitak ravnoteže, istraživac je postavio trkaci bicikl naergometar s valjcima.

Na sredini prednjeg cilindra obojana je bijela traka širine 10 cm. Zadnjivaljak je povezan s kocionim sustavom da osigura otpor zadnjemkotacu. Pogreške u ravnoteži su mjerene brojanjem skretanja prednjegkotaca s bijele trake širine 10 cm.

Povecanjem otpora, povecava se umor i postaje sve teže održatiprednji kotac na bijeloj traci.

Ispitanik vozi bicikl 15 minuta. Taj interval je podijeljen u 3-minutneperiode za prikupljanje podataka.

Broj pogrešaka ravnoteže je mjeren u zadnjoj minuti 3-minutnogperioda i na kraju 3-minutnog perioda je povecan otpor.

61 / 80

Ispitanik Minuta 3 Minuta 6 Minuta 9 Minuta 12 Minuta 151 7 7 23 36 702 12 22 26 26 203 11 6 9 31 304 10 18 16 40 255 6 12 9 28 376 13 21 30 55 657 5 0 2 10 118 15 18 22 37 429 0 2 0 16 11

10 6 8 27 32 54

62 / 80

Broj pogrešakaIsp. M 3 M 6 M 9 M 12 M 15

1 7 7 23 36 702 12 22 26 26 203 11 6 9 31 304 10 18 16 40 255 6 12 9 28 376 13 21 30 55 657 5 0 2 10 118 15 18 22 37 429 0 2 0 16 1110 6 8 27 32 54

RangoviM 3 M 6 M 9 M 12 M 151.5 1.5 3 4 51 3 4.5 4.5 23 1 2 5 41 3 2 5 41 3 2 4 51 2 3 4 53 1 2 4 51 2 3 4 5

1.5 3 1.5 5 41 2 3 4 5

1.5 2.15 2.6 4.35 4.4

63 / 80

Statistica.

Izbor testa.

64 / 80

Izbor varijable.

65 / 80

66 / 80

Rezultat Friedmanovog testa.

67 / 80

Neparametarski testovi Spearmanov koeficijent korelacije

Spearmanov koeficijent korelacije

Koeficijent korelacije mjeri povezanost dvije varijable.

Pearsonov koeficijent korelacije mjeri linearnu povezanost dvijevarijable.

Spearmanov koeficijent korelacije mjeri koreliranost rangova.

Alternativni naziv: Spearmanov koeficijent korelacije rangova.

68 / 80

Promatramo dva obilježja u populaciji: X i Y .

Uzorak velicine n:

X : X1,X2, . . . ,Xn

Y : Y1,Y2, . . . ,Yn

Za svaki uzorak odredimo rangove (unutar pojedinog uzorka):

R : R1,R2, . . . ,Rn

P : P1,P2, . . . ,Pn

n − 1

∑i(Ri − R

) (Pi − P

)SR · SP

69 / 80

Jer su rangovi vrijednosti od 1 do n:

R = P =1n

(1 + 2 + . . .+ n) =n + 1

S2R = S2

R =∑

(Ri − Ri)2 =

(i − n + 1

=n(n2 − 1)

n − 1

∑i(Ri − n+1

) (Pi − n+1

)n(n2−1)

Ako s Di oznacimo razliku rangova: Di = Ri − Pi , Spearmanovkoeficijent korelacije je

rS = 1−6 ·∑

n · (n2 − 1)

70 / 80

−1 ≤ rS ≤ 1

Interpretacija koeficijenta je analogna interpretaciji Pearsonovogkoeficijenta, uz iznimku da se ne radi o linearnoj zavisnosti.

Vrijednosti Spearmanovog koeficijenta rS blizu 1 znaci da su vecevrijednosti obilježja X pridružene vecim vrijednostima obilježja Y .

Za rS blizu −1, vecim vrijednostima obilježja X pridružene sumanje vrijednosti obilježja Y .

71 / 80

Testiranje hipoteze o korelaciji rangova.

ρS - Spearmanov koeficijent korelacije za populaciju.

Može se testirati hipoteza o nepostojanju korelacije izmedurangova u populaciji:

H0 : ρS = 0.

Za testiranje hipoteze kao statistika se koristi Spearmanovkoeficijent korelacije rS.

72 / 80

Primjer. (iz Pearsonovog koeficijenta korelacije) Na osnovu uzorka od10 osoba procijenite koeficijent korelacije za visinu i težinu.

Visina Težina(cm) (kg)183 76163 52180 61168 64160 52157 48185 94155 46193 118173 57

73 / 80

Racunanje rangova.

Visina Težina Rang(cm) (kg) Visina Težina183 76 8 8163 52 4 3.5180 61 7 6168 64 5 7160 52 3 3.5157 48 2 2185 94 9 9155 46 1 1193 118 10 10173 57 6 5

Sada na rangovima izracunamo Pearsonov koeficijent korelacije.74 / 80

Statistica

Izbor testa

75 / 80

Izbor varijabli

76 / 80

77 / 80

Napomena. Pearsonov koeficijent korelacije je: r = 0.8906609.

78 / 80

NEPARAMETARSKI TESTOVI - Naslovnica

Documents

Transcript of NEPARAMETARSKI TESTOVI - Naslovnica

Teorijski opis otopina elektrolita - PMF Naslovnica · • Nije specifičnost Debye-Huckelovog modela • Inherentna jednadžba svakom problemu raspodjele naboja definirane elektrostatskim

Osnove kvantne kemije za matematicare - Naslovnica | PMFbruckler/pdf/kvantna.pdf · Osnove kvantne kemije za matemati care Nekoliko uvodnih zadataka Zadatak Odredite frekvenciju i

Oscar Wilde · 2012. 3. 7. · Oscar Wilde Nas stik naslovnica 01 26.1.04 14:45 Page 2. Univerza v Ljubljani, Laboratorij za EES v sodelovanju s SLOKO CIGRE, Slovensko sekcijo IEEE

BROJ π - Naslovnica · 2011-06-17 · (poznat kao KVADRATURA KRUGA) • mnogima je i danas neshvatljivo da jedan tako jednostavan zadatak zapravo nema rješenja • povijest računanja

ATENA - Privatna klasična gimnazija Zagreb - Naslovnica · Periklovo doba 4 projektanta: •IKTIN •KALIKRAT •MNEZIKLO •FIDIJA 5 . plan atenske akropole: 1. Partenon 2. Stari

F:Zoopsihologija01 Uvod - Naslovnica - HrStud...Title F:Zoopsihologija01 Uvod.shw Author ztadic Created Date 2/28/2016 8:54:34 PM

2. Statika - PMF Naslovnica - · PDF file2. Statika 2.1 Sila teža ... Zadaci 2.1.1. Izračunaj kut α između gravitacione sile i sile teže na Zemljinoj površini kao funkciju zemljopisne

ZBIRKA - TESTOVA 1. dio - mim-sraga. · PDF fileTestovi matematika 6 Ova dva testa su ogledni testovi iz naše zbirke: ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH TESTOVA ZA 6. RAZRED OSNOVNE ŠKOLE

Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · PDF fileAanliza sustava diferencijalnih jednadžbi Sustav diferencijalnih jednadžbi 4.1. Sustav diferencijalnih jednadžbi

Proteini i njihove trodimenzionalne strukture - PMF Naslovnica · PDF file6 11 Pauling i Corey predvidjeli su i drugu sekundarnu strukturu tzv. β-nabranu ploču koju često nazivamo

Zadatak. 2 X ;X ;:::;Xn 1 2 X4.5. Testovi o parametru o•cekivanja na osnovi velikih uzoraka Ovdje ne pretpostavljamo da X ima normalnu dis- tribuciju (u populaciji), ali pretpostavljamo

Mirza Bajić - Riješeni testovi iz fizike 1

1. Uvod - PMF Naslovnica - Prirodoslovno · Poput većine plinova i tekućina i Zemljina atmosfera je fluid. Stoga dinamiku atmosfere, kao Stoga dinamiku atmosfere, kao i dinamiku

STRATEGIJA RAZVOJA ©KOLSKOGA ©PORTA - Naslovnica · 7 Značajno je istaknuti da je tijekom 2008. godine završena i izgradnja šest višenamjenskih športskih objekata od kapitalne