Der unendlich hohe Potentialtopf

x

V∞∞

L <10 nm

e-

ψ(0)=ψ(L)=0Es muss aber auch erfüllt werden:

(0) exp( 0) exp( 0) 0A jk A jk A Aψ + − + −= + − = + =

( ) exp( ) exp( ) 0L A jkL A jkLψ + −= + − =

→ Lineares Gleichungssystem für A+ und A- d

1 10

exp( ) exp( )A

jkL jkL A

+

−

⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠

In Matrixform:

Nichtriviale Lösung, falls Determinante verschwindet:

( )det exp( ) exp( ) 2 sin( ) 0jkL jkL j kL= − − = − = ; n ganze Zahlnk nLπ

⇒ =

A A− +⇒ = −

Wiederholung !

Ende 28.4.2005

Eigenschaften der Lösungen:

-es gibt nur bestimmte diskrete Energien(„Quantelung“)

-es gibt eine Minimalenergie W≠0 !!(„Nullpunktsenergie“)

22

( ) sin ; W2n n n

n x nx BL m Lπ πψ

⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Lösungen haben die Form: wobei n=1,2,...

Der unendlich hohe Potentialtopf: Eigenschaften der Lösungen

L0

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

W1

W2

W3

W

Wiederholung !

L0

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3-das Elektron ist über den ganzenTopf „verschmiert“ (aber nicht gleichmässig)

-die niedrigste Lösung hat keinen Nulldurchgang(Knoten)

- je höher die Energie, desto mehr Knoten

22

( ) sin ; W2n n n

n x nx BL m Lπ πψ

⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Lösungen haben die Form: wobei n=1,2,...

Der unendlich hohe Potentialtopf: Eigenschaften der Lösungen

Eigenschaften der Lösungen:

-abwechselnd symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen W1

W2

W3

W

Wiederholung !

-ebene Wellen, die irgendwie durch den Topf in ihrer Ausbreitung gestört werden(ähnlich dem freien Elektron)

- lokalisierte, gebundene Zustände, die so ähnlich aussehen wie beim Potentialtopfmit unendlich hohen Wänden

Der endliche Potentialtopf: Struktur der Lösungen

0

0 : 2( )

:2

LxV x

LV x

⎧ >⎪⎪= ⎨⎪− ≤⎪⎩

V(x)

- V0-L/2 L/2

Wir vermuten zwei qualitativ unterschiedliche Lösungsarten:

Wiederholung !

Der endliche Potentialtopf: Gebundene Lösungen

-Stetigkeitsbedingungen werden nur für -diskrete k erfüllt:

→endliche Anzahl von Eigenfunktionen mit diskreten Energieeigenwerten

cos( )2( )

cos( )exp ( )2 2 2

g

LA kx für xu x L LA k x Lfür x

κ

⎧ ≤⎪= ⎨ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎪ >⎝ ⎠⎩

Symmetrische (gerade) Lösungen:

Antisymmetrische (ungerade) Lösungen:

sin( ) für 2

( ) sin( )exp ( ) für 2 2 2

sin( )exp ( ) für 2 2 2

u

LB kx x

L L Lu x B k x x

L L LB k x x

κ

κ

⎧≤⎪

⎪⎪⎪ ⎡ ⎤= − >⎨ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎪ ⎡ ⎤− − < −⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

-im Gegensatz zur klassischen Lösungendliche Aufenthaltswahrscheinlichkeitausserhalb des Topfes !!

„Teilchen tunnelt aus dem Topf heraus “

„Quantenmechanischer Tunneleffekt“

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

WineV

x in nm

|ΨW2 |2

|ΨW1 |2

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

WineV

x in nm

|ΨW2 |2

|ΨW1 |2

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

WineV

x in nm

|ΨW2 |2

|ΨW1 |2

-L/2 L/2

Wiederholung !

Eigentliche und Uneigentliche Lösungen

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

WineV

x in nm

|ΨW2 |2

|ΨW1 |2

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

WineV

x in nm

|ΨW2 |2

|ΨW1 |2

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

WineV

x in nm

|ΨW2 |2

|ΨW1 |2

Seit Anfang der Vorlesung verfolgen uns schon die uneigentlichen Lösungen, z.B. freien Elektron.

In den meisten Fällen gibt es eigentliche und uneigentliche Eigenzustände.

Uneigentliche Zustände sind nicht normierbar:

*'

für k'=k( ) ( ) ( ' )

0 sonstk kx x dx k kψ ψ δ∞

−∞

∞⎧= = −⎨⎩

∫

Eigentliche Zustände sind normierbar:

* 1 für m=n( ) ( )

0 sonstm n mnx x dxψ ψ δ∞

−∞

⎧= =⎨⎩

∫

Wiederholung !

V(x)

-C

-L/2 L/2

V(x)

-C

-L/2 L/2

Kontinuumslösungen beim Potentialtopf

Klassisch für W>0:

Teilchen rauscht über den Topf hinweg (wird beschleunigt und dann wieder abgebremst)

Quantenmechanik für W>0:

( ) exp( ) exp( )x A jkx A jkxψ + += − −Wieder der Ansatz, der (fast) immer funktioniert:

Periodische Lösungen auch ausserhalb des Topfes.

Qualitatives Bild der Lösungen:

-grössere kinetische Energien entsprechend kleineren Wellenlängen im Bereich desTopfes

-V0

Wiederholung !

V(x)

- L/2

V(x)

-L/2

Potentialtopf: W>0, Kontinuumslösungen

Klassisch für W>0:

Teilchen rauscht über den Topf hinweg (wird beschleunigt und dann wieder abgebremst)

Quantenmechanisch für W>0:

Aus ( ) sin( )exp ( )2 2

wird

( ) sin( )sin( '( )) 2 2

gedämpft

Kontinuum

L Lx B k x

L Lx B k x

ψ κ

ψ κ

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

= −

Qualitatives Bild der Lösungen:

wobei 20

2

2= mV kκ −

Periodische Lösungen auch ausserhalb des Topfes.

-C-V0

Wiederholung !

Potentialtopf: W>0, Kontinuumslösungen

Ähnliches Verhalten wie beim Durchgang von Licht (=elektromagnetische Welle)durch ein Fabry-Perot-Interferometer:

Wiederholung !

Potentialbarriere

V0

W<V0:

Klassisch würde das Elektron an der Barriere mit 100%iger Wahrscheinlichkeitreflektiert werden.

Quantenmechanisch „durchtunnelt“ es mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit die Barriere

12 2

00

0 0

sinh ( 2 ( ) / )( ) 1

4( / )(1 / )m V W a

T W VW V W V

−⎛ ⎞−⎜ ⎟< = +⎜ ⎟−⎝ ⎠

Tunneleffekt in Reinkultur

denn:

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T

E [eV] (V0=3eV)

Wiederholung !

Quantenmechanische Eigenwertgleichung:

Meßwerte in der Quantenmechanik: Normierung

2 2

2ˆ ( ) ( ) . . ( ) ( )

2n nF x f x z B x W xm x

ψ ψ ψ ψ⎧ ⎫∂

= − =⎨ ⎬∂⎩ ⎭

*

*

( ) ( )<F>=

( ) ( )

dx x F x

dx x x

ψ ψ

ψ ψ∫∫

Erwartungswert:

Normierung einer Wellenfunktion:

*

( )( )=( ) ( )

normxx

dx x x

ψψψ ψ∫

(geht nur bei eigentlichen Zuständen)

*<F>= ( ) ( )norm normdx x F xψ ψ∫Dann gilt:

* ( ) ( ) 1norm normdx x xψ ψ =∫L0

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

W1

W2

W3

W

L0

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

L0

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

W1

W2

W3

W

Meßwerte in der Quantenmechanik: Normierung

1 21 ( )2

1 () )2

( x xxψ ψψ +=Bsp.:

Ist normiert,

*1 1

* *1 1 1

L

0

L

0

*2 2

* *2 1

1 0 02

2 2 2

12

1 1( ) ( )2 2

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

1 1( ) ( )2 2

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2

12 2 2 2 2 2

xx x

x x x x

x

x x dx xx

dxψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψψ ψψ ψ

→ →→ →

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

+ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

++

∫

∫

L0

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

W1

W2

W3

W

L0

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

L0

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

W1

W2

W3

W

1 2wenn ( ) und ( ), dax xψ ψ

Was ergibt sich, wenn das Elektron nicht in einem Eigenzustand ist ??

*1

*2 21

L 2 2

20

<W>=2

1 1( ) ( )2 2

1 1( ) ( )2 2

dxm x

x xx xψ ψψ ψ⎧ ⎫∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

∫

* *2

L

021 1 21

1 1( ) ( )2

1 1( ) ( )22 2

= x W W dxx xxψ ψψ ψ⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫

*2 2 2

0

*1 1 1

L 1 1 ( ) ( )2

1 1 ( )2 2

=2

( ) W x xx x dW xψ ψ ψ ψ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠∫

1 21 22 2

1 12

= W WW W++ =

Erwartungswert bei Messung der Energie:

Meßwerte in der Quantenmechanik: Erwartungswert

L0

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

W1

W2

W3

W

L0

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

L0

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

W1

W2

W3

W

Meßwerte in der Quantenmechanik: Die Einzelmessung

4. Postulat der Quantenmechanik: (1. Teil)

n

Wenn eine Eigenfunktion zum Operator ist, dann führt die Messung von F stets zum gleichen Ergebni

Wenn keine Eigenfunktion von F ist, dann

s, nämlich

ergibtein

dem Eigenw

e einzelne

er

Me

t f .

ssung

Fψ

ψ

n2

n n

von F ein Ergebnis, das irgendeinem

der Eigenwerte von F entspricht. Die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Eigenwert f zu messen, ist proportional

zu a , wobei a der zugehörige Entwicklungskoeffizient ist .

Wahrscheinlichkeit für die Messung von W1:

21

12

a =

Wahrscheinlichkeit für die Messung von W2:

22

12

a =

Meßwerte in der Quantenmechanik

aber: es kommt bei der Messung immer

W1 oder W2 heraus, niemals ein Zwischenwert !!

4. Postulat der Quantenmechanik: (2. Teil)

n

n

Misst man bei Messung der Observablen den Eigenwert F , dann wird das quantenmechanische System so präpariert, dass es unmittelbar nach der Messung im zugehörigen Eigenzustand is t.

F

ψ

1 21 ( )2

1 () )2

( x xxψ ψψ +=

L0

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

W1

W2

W3

W

L0

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

L0

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

W1

W2

W3

W

Meßwerte in der Quantenmechanik: Kryptografie

Quelle: G. Bastian

Meßwerte in der Quantenmechanik: Kryptografie

Quelle: G. Bastian

Gliederung der Vorlesung Festkörperelektronik

1. Grundlagen der Quantenphysik2. Aufbau der Materie3. Elektronen in Kristallen4. Halbleiter5. Quantenstatistik6. Dotierte Halbleiter7. Der pn-Übergang

Quantenmechanische Probleme in 3D

2 2

2 ( ) ( ) ( ) ( )2

x V x x W xm x

ψ ψ ψ∂− + =

∂

zu lösen ist dann die dreidimensionale S.-Glg:

2

2 2 2 2

2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )2

r V r r W rm x y z

ψ ψ ψ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

− + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∇

x

y

z

Nehmen wir den dreidimensionalen harm. Oszi.:3

2

1( )

2 i ii

mV r xω=

= ∑

Das Potential ist somit additiv

1 2 3( ) ( ) ( ) ( )V r f x f y f z= + +

Quantenmechanische Probleme in 3D

Bei einem additiven Potential kann die S-Glg. durch einen Produktansatz separiert werden:

31 2( , , ) ) )( (( )xx z zyy ψψψ ψ=Produktansatz:

2

3

2

1 1 12

2

22 23

2

2 32 (( ) ( ) () (( ) ( ) ( )) ) )2

(f yf x x xx

Wm

f z z zyz

yy

ψ ψψ ψ ψψ⎡ ⎤⎛ ⎞− + + + + + =⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

∂∂

∂∂∂ ∂

Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung ergibt:

1 1 1

1

2 2 2

2 2 21 1

2

3 3 3

3 3 3

( ) ( ) '''( ) ( ) ( )

( )

( ) ''( ) ( )

( ) ( )

' (

( )

)

((

( )

( ) ( ) ) ( )2

( ) )

y y y

f y

xm

z z z

f z z z

x x

Wyf x x x y

ψ ψ ψ

ψ

ψ ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ ψ

ψψ ψ

⇒ − + + +

+ + =

1 32( ) (( ) )) (ffV r yx f z= + +

( )11

1

13

1

12

1

2 ''( )( )

(( ) (

''( )( )

''( )( )

( ) )) ()

2 zx yz

f z Wz

yf W

mW W

yx

xy

xf

ψψψ ψ ψ

ψ− + + + + + = = + +

Quantenmechanische Probleme in 3D

D.h. die Funktionen müssen die eindimensionalen S.-Glg. erfüllen. Die dreidimensionale Lösung ergibt sich dann als Produkt der 1D-Lösungen.

Gleichung muss gelten für alle x,y,z. Daher muss auch einzeln gelten:

2 21

1 1 1 1 112 2''( )

( ) ''( ) ( ) ( ) ( )( ) x x

xf x W x f x x W x

xm mψ

ψ ψ ψψ

− + = ⇔ − + =

etc. etc.

Für die Energieeigenwerte gilt in diesem Fall:

, ,nx ny n nz nznx yW WW W= + +

Zustände:

( , , ( )( )) ( ) nnx n zyxz zyx y ψψψψ =

Sprechweise: Zustand wird beschrieben durch die drei Quantenzahlen nx,ny,nz

Abb: Elektronenmikroskopische Aufnahme sogenannter Quantenpunkte (Quelle: Infineon).

Elektronische Zustände in einem Quantenpunkt (quantum dot)

x

y

z

Wachstum von Quantenpunkten

Quelle: J. Reithmaier, Uni Würzburg

In nullter Näherung handelt es sich um einen unendlich hohen dreidimensionalen Potentialtopf.

5nm

Elektronische Zustände in einem Quantenpunkt (quantum dot)

L0

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

W1

W2

W3

W

L0

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

L0

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

x

∞∞E

E1

E2

E3

Ψ1

Ψ2

Ψ3

W1

W2

W3

WZustände im unendlich hohen 1 D Potentialtopf

22

W2

xnx

nm L

π⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) sin xnx n

n xx A

Lπ

ψ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Für den unendlich hohen Potentialtopf in 3 D ergibt sich also:

( )22

2 2 2nzW=W +W +W

2

0

nx ny x y zn n nm LW

π⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

, ,( ) sin sin sinyx znx nx ny nz

n yn x n zx A

L L Lππ π

ψ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )2 2 20 0 x y z1 +1 +1 W 3 (n =n =n =1)W=

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 20 0

x y z x y z x y z

2 +1 +1 1 +2 +1 1 +1 +2 6(n =2; n =n =1);(n =1; n =2; n =1);(n =1; n =1; n =2) (dreifach entartet)

W W= = =

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

x y z x y z x y z

2 +2 +1 2 +1 +2 1 +2 +2 9 (n =n =2;n =1);(n =2; n =1; n =2);(n =1; n =2; n =2) (dreifach entartet)

W W W W= = =

( )2 2 20 0

x y z

2 +2 +2 12 (n =n =n =2) (nicht entartet)

W W=

Energieschema der Zustände in einem Quantenpunkt (quantum dot)

Zustände werden klassifiziert durch die 3 Quantenzahlen nx,ny,nzUnterschiedlicher Entartungsgrad für unterschiedliche Energieniveaus

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

x y z x y z x y z

3 +1 +1 1 +3 +1 1 +1 +3 11 (n =3; n =n =1 n =1; n =3; n =1 n =1; n =1; n =3) (dreifach entartet)

W W W W= = =

W (W0)

12

9

6

3

11

Die Sache mit dem Spin

Experimenteller Nachweis: Stern und Gerlach (1922)

- Elektronenstrahl spaltet auf beim Durchgang durch ein inhomogenes Magnetfeld

e - Elektronen tragen ein magnetisches Moment- “ sind komplizierter als eine punktförmige Masse- haben einen Eigendrehimpuls (Spin)

-dieser Freiheitsgrad muss bei der Beschreibung des Zustandes mit berücksichtigt werden

- der Spin kann beim Elektron zwei Werte einnehmen: s=-1/2;+1/2 (Fermion)

-Erweiterung der Quantenzahlen:z.B. für den Quantenpunkt

( , , ) ( , , , )x y z x y zn n n n n n s→

-Erweiterung der Wellenfunktion:

12

12

( , )( , )

( , )

r tr t

r t

ψψ

ψ−

⎡ ⎤⎢ ⎥

→ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

„Spinor“

- von fundamentaler Bedeutung für den Aufbau der Materie:

Pauli‘schesAusschliessungsprinzip:

Zwei Fermionen unterscheiden sich in mindestens einer Quantenzahl !

, , ,x y zn n n s d.h. maximal zwei Elektronen sind in einem Zustand mit den Quantenzahlen nx,ny,nz

.. der Spin ergibt sich als Konsequenz einer relativistischen Formulierung derQuantenmechanik.

.. das Pauli-Prinzip muss bei einer saubereren Vorgehensweise als Postulatformuliert werden.

Die Sache mit dem Spin

Mehrelektronensysteme

Konsequenzen für den Aufbau von Mehrelektronensystemen:

-minimale Energie des Mehrelektronenproblems ergibt sich, wenn alle Zustände „von unten nach oben“ mit jeweils zwei Elektronen aufgefüllt werden.

1-fach entartet (maximal 2 Elektronen)

3-fach entartet (maximal 6 Elektronen)

3-fach entartet (maximal 6 Elektronen)

1-fach entartet (maximal 2 Elektronen)W (W0)

12

9

6

3

11

W (W0)

12

9

6

3

11 3-fach entartet (maximal 6 Elektronen)

Aufbau der Materie: Das Wasserstoffatom

Warum ist schon das Wasserstoffatom ein verdammt schwieriges System ?

1. Problem: Es handelt sich um ein Zweiteilchenproblem !?

1 Elektron

1 Protoner

KR

KMem

...das führt zunächst mal auf zwei gekoppelte Schrödinger-Gleichungen für Proton und Elektron.

aber: MasseProton=1.672*10-27kg Masse (Elektron)=9.1*10-31kg>>

Born-Oppenheimer-Näherung: Gegenüber der schnellen Elektronenbewegung kann die Kernbewegung zunächst vernachlässigt werden. Kernkoordinaten gehen dann als Parameter ein.

Elektron bewegt sich also im Potential des (festgehaltenen) Protons.

Von Elektron gesehenes Potential(Proton ist bei r = 0):

( )r

erV0

2

4πε−=

( ) ( )2 2

2 2 20 0

, , , ,2 4

e x y z W x y zm x y zπε

⎡ ⎤⎢ ⎥− ∆ − Ψ = Ψ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

2. Problem: Das Coulombpotential separiert nicht in sowas wie

rr

1 Proton

erKM

em

Aufbau der Materie: Das Wasserstoffatom

( ) ( )2

0

( ) , , , ,2

V r x y z W x y zm

⎡ ⎤− ∆ + Ψ = Ψ⎢ ⎥⎣ ⎦

1 Elektron

1 32( ) (( ) )) (ffV r yx f z= + +

Aufbau der Materie: Das Wasserstoffatom

Übergang zu Kugelkoordinaten: ( ) ( ) ( )1 2 3, , bzw. , , , ,x y z x x x r θ ϕΨ Ψ →Ψ

1

2

3

sin cossin sincos

x rx rx r

θ ϕθ ϕθ

=

=

=

2 2 21 2 3r x x x= + +

23

2

22

2

21

2

xxx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆

22

2 2

2 2 2 2

1

2 1 1 1(sin )sin sin

I

r r r rθ

θ θ θ θ ϕ

−

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂∆ = + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

wobei "Drehimpulsoperator"I r xp=

H-Atom: Eigenfunktionen

- mehrere mögliche Eigenfunktionen ΨWn(r,θ,φ) für einen Eigenwert Wn. entartete Zustände

- Nomenklatur:n = 1, 2, 3, … (Hauptquantenzahl)

oder K, L, M, …

l = 0, 1, 2, 3, … n - 1 (Nebenquantenzahl,Drehimpulsquantenzahl)oder s, p, d, f, …

m = - l, - l + 1, … l (Magnetquantenzahl)

- z.B. für n = 2 vier verschiedene Eigenfunktionen und damit vierverschiedene räumliche Elektronenverteilungen

Konzeptionell genau wie beim Quantenpunkt aber diesmal mathematisch komplizierterergeben sich wieder Eigenfunktionen und Eigenwerte:

http://www.falstad.com/qmatom/

H-Atom: Eigenwerte

Wie beim Potentialtopf sind auch die Eigenwerte des H-Atoms diskret.

eV13.6Ry1,2,3nnRyW 2n −==−= …

W1=-13.6 eV

W2=- 3.4 eVW3=-1.5 eV

1 nm 2 nm

optische Übergänge beim Wasserstoff

Aufbau der Materie: Vom H-Atom zum Periodensystem- in anderen Atomen ähnliche Wellenfunktionen (Orbitale)

- das Potential für die äußeren Elektronen wird durch die inneren abgeschirmt

- Beschreibung ebenfalls durch die „Quantenzahlen“ n,l,m

- wird u. U. sehr kompliziert, da die Elektronen miteinander wechselwirken

1s2s 2p

3s 3p 3d4s 4p 4d 4f

5s 5p 5d 5f6s 6p 6d 6f

7s 7p 7d 7f

4 e 12 e

20 e38 e

56 e88 e 118 e

Besetzung erfolgt(fast) nach dem folgenden Schema:

Beschreibung der Elektronen erfolgt durchdie Elektronenkonfigurationen:

H (1e): 1s1

He (2e): 1s2

..

Si (14e): 1s22s22p63s23p2

C (6e): 1s22s22p2

1s2s 2p

3s 3p 3d4s 4p 4d 4f

5s 5p 5d 5f6s 6p 6d 6f

7s 7p 7d 7f

4 e 12 e

20 e38 e

56 e88 e 118 e

1s2s 2p

3s 3p 3d4s 4p 4d 4f

5s 5p 5d 5f6s 6p 6d 6f

7s 7p 7d 7f

4 e 12 e

20 e38 e

56 e88 e 118 e

Aufbau der Materie: Vom H-Atom zum Periodensystem

Aufbau des Periodensystems

Vom Atom zum Material

Verschiedene Arten der chemischen Bindung:

Ionenbindung kovalente Bindung metallischeBindung

van-derWaalsBindung

Vom Atom zum Material: Die Ionenbindung

Na: 1s22s22p63s1

Cl: 1s22s22p63s23p5

Energetische Betrachtung:

Ionisierungsenergie: Na+5.1eV=Na++e

Elektronenaffiniät: Cl+e=Cl-+3.6eV

Nettoaufwand: 1.5 eV

Potentielle Energie eines Ionenpaares als Funktion des Abstandes:

2

04 n

e Br r

ϕπε

= − +

Coulombanziehung Pauli-Abstossung

Vom Atom zum Material: Die Ionenbindung

Potentielle Energie eines Ionenpaares als Funktion des Abstandes:

Vom Atom zum Material: Die Ionenbindung

Netto-Energiegewinn pro NaCl-Paar

7.95 eV

Das allereinfachste Molekül: Das Wasserstoffmolekülion H2+

M M

Proton A Proton B

Elektronm

RAB

rA rB

..und wieder mal die S-Glg:

22

0

( ) ( ) ( )2

⎛ ⎞−∇ + Ψ = Ψ⎜ ⎟

⎝ ⎠V r r E r

m

... und wieder mal verdammt kompliziert, da 3 Teilchen und ein kompliziertes Potential

Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung

(…hier wird die Energie als E statt W bezeichnet)

Wieder Born-Oppenheimer Näherung: „Kerne an einer Position festhalten“

2 2 22

0 0 02 4 4a b

e eHm r rπε πε−

= ∇ − −

Gesamt-Coulombpotential

Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung

M M

proton a proton b

electronm

Rab

ra rb

M M

proton a proton b

electronm

Rab

ra rb

Allgemeines Verfahren zur Lösung der S-Glg. bei komplizierten Potentialen:

1. Schritt: Annahme einer Schätzfunktion Ψα

*0( ) ( )α α αψ ψ= ≥∫∫∫W dV r H r EFür den Energieerwartungswert

gilt dann

Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung

Bestimmung einer Näherungslösung durch das Rayleigh-Ritz-Verfahren:

E0Eα

2. Schritt: Variiere Ψα so, dass Wα minimal wird

beste Näherungslösung für Ψ

Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung

1 2

Ansatz für die Ratefunktion: ,

wobei und die Eigenzuständeeines Wasserstoffatoms bei a bzw. b sind

b

b

c cα

α

ψ ϕ ϕϕ ϕ

= +

Linearkombination von Atomorbitalenengl.: linear combination of atomic orbitals, LCAO

( ) ( )2 2 2

* * 21 2 1 2

0 0 0

2 4 4α αϕ ϕ ϕ ϕ

πε πε⎛ ⎞−

= + ∇ − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫∫∫ b ba b

e eW dV c c c cm r r

Für den Energieerwartungswert gilt dann:

E soll minimal werden 1 2

, 0E Ec c∂ ∂

=∂ ∂

Es ergeben sich zwei Lösungen:

E

E1S

anti-bindend

1S

anti-

bindend1 1

±= +

±SC DE E

S

Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung

2*

04αϕ ϕπε

= −∫∫∫ ba

eD dVr

Aufspaltung wird durch das Resonanz/Austauschintegral bestimmt

( )

αψ ϕ ϕ= +bindend bA

( )

αψ ϕ ϕ= −antibindend bB

bindender Zustand

anti-bindender Zustand

Es ergibt sich für den bindenden Zustand eine Absenkung der Energie, da das Elektron stärker delokalisiert ist.

Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung

Variation des Kernabstandes:

Gebundener Zustand beim Energieminimum

Vom Atom zum Material: Die kovalente Bindung

Energiegewinn pro Atom bei Si: 4.64 eV

http://falstad.com/qm1d/

Zwei unendlich entfernte Potentialtöpfe2 unendlich voneinander entfernte Potentialtöpfe haben dieselben

Energiezustände (ihre Energien sind entartet).

x0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

EineV

x in nm

|Ψ2 |2

|Ψ1 |2

|Ψ2 |2

|Ψ1 |2

eV

eV

E1 0.229=

E2 0.887=

Zwei 0,5 nm entfernte PotentialtöpfeWerden die Potentialtöpfe einander näher gebracht,

wechselwirken sie und die Energieentartung wird aufgehoben.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

E1 0.226=

E2 0.232=

E3 0.87=

E4 0.905=

W

x

eV

eV

eV

eV

Zwei 0,3 nm entfernte Potentialtöpfe

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

E1 0.216=

E2 0.24=

E3 0.836=

E4 0.942=

W

x

eV

eV

eV

eV

Die Eigenfunktionen verändern sich ebenfalls.

Zwei 0,15 nm entfernte PotentialtöpfeJe näher sich die Potentialtöpfe kommen, desto weiter spalten sich die

Energieniveaus.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

E1 0.19=

E2 0.257=

E3 0.774=

E4 1.007=

W

x

eV

eV

eV

eV

Aufspalten der EnergiezuständeTrägt man die Energiezustände als Funktion des Abstandes zwischen

den zwei Potentialtöpfen auf, erhält man den folgenen Graphen:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Abstandin nm

Ene

rgie

(eV

)

Quelle: Martina Gerken