Geometrie

Gymnázium, SOŠ a VOŠ

Ledeč nad Sázavou

Mgr. Jarmila Zelená

Gymnázium, SOŠ a VOŠ

Ledeč nad Sázavou

Výpočty v pravoúhlém trojúhelníku

VY_32_INOVACE_05_3_12_M2

1

PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK

2

Pojmy a označení:

a, b…….odvěsny

c ………přepona

α, β…….vnitřní úhly α + β = 90°

= 90°

Pravoúhlý trojúhelník je trojúhelník, jehož jeden vnitřní úhel je pravý. Zbývající

úhly musí být ostré, protože součet velikostí vnitřních úhlů v každém

trojúhelníku je 180°.

Přeponou nazýváme stranu ležící proti pravému úhlu, odvěsnami pak strany

ležící proti zbývajícím úhlům.

3

PYTHAGOROVA VĚTA

Geometrická definice: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou

(nejdelší stranou) pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů

čtverců nad jeho odvěsnami (dvěma kratšími stranami).

Formálně Pythagorovu větu vyjadřuje rovnice , 2 2 2c a b , kde c označuje

délku přepony pravoúhlého trojúhelníka a délky odvěsen jsou označeny a a b.

4

5

Pythagorova věta umožňuje dopočítat délku třetí strany trojúhelníka, jestliže

jsou známé délky dvou zbývajících stran:

- Výpočet délky přepony c: 2 2 2 2 2c a b c a b

- Výpočet délky odvěsny a: 2 2 2 2 2a c b a c b

- Výpočet délky odvěsny b: 2 2 2 2 2b c a b c a

6

Řešené příklady:

1. Je dán pravoúhlý trojúhelník KLM se stranami délek k = 4 cm, l = 5 cm, m =

3 cm. Ověřte platnost Pythagorovy věty.

Řešení: Přepona je nejdelší strana, proto musí platit: 2 2 2l m k . Dosadíme

číselné hodnoty:

2 2 25 3 4

25 9 16

25 25

Pythagorova věta platí.

7

Pythagorovu větu lze použít i obráceně ke zjištění, zda je daný trojúhelník

pravoúhlý.

Obrácená Pythagorova věta zní:

Jestliže v trojúhelníku platí, že součet obsahů čtverců sestrojených

nad kratšími stranami je roven obsahu čtverce sestrojeného nad

nejdelší stranou, potom je tento trojúhelník pravoúhlý.

8

2. Rozhodni, zda dané úsečky jsou stranami pravoúhlého trojúhelníku:

a) 4,5 cm, 6 cm, 7,5 cma b c

b) 0,6 cm, 9 mm, 0,11 dmm n p

Řešení:

a) 2 2 2 24,5 6 20,25 36 56,25a b

2 27,5 56,25c

Platí Pythagorova věta: 2 2 2c a b , úsečky jsou stranami pravoúhlého

trojúhelníku.

b) 2 2 2 26 9 36 81 117m n

1211122 p

Neplatí Pythagorova věta: p2 ≠ m2 + n2 ,úsečky nejsou stranami pravoúhlého

trojúhelníku.

9

3. Vypočítejte délku přepony pravoúhlého trojúhelníku, jestliže délky odvěsen

jsou: 6 cm, 8 cm

Řešení:

2 2 2

2 2

2 26 8

36 64

100

10 cm

c a b

c a b

c

c

c

c

Délka přepony je 10 cm.

10

4. Vypočítejte délku odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku, jestliže:

a = 2 dm, c = 5,2 dm

Řešení:

2 2 2

2 2

2 25,2 2

23,04

4,8 dm

b c a

b c a

b

b

b

Délka odvěsny je 4,8 dm.

11

5. Vypočítejte délku strany čtverce, jehož úhlopříčka má délku 18 cm.

Řešení: u = 18 cm, a = ?

Délka strany čtverce je 12,7 cm.

2 2 2

2 2

22

2

2

2

2

2

18

2

162

12,7 cm

u a a

u a

ua

ua

a

a

a

12

6. Vypočítejte výšku rovnoramenného trojúhelníku, jestliže má základna délku

24 cm a ramena mají délku 15 cm.

Řešení:

13

AB = z = 24 cm, AC = BC = r = 15 cm, v = ?

Výška půlí základnu a rozdělí rovnoramenný trojúhelník na dva shodné

pravoúhlé trojúhelníky. V trojúhelníku ASC platí: AS = 24 : 2 = 12 cm,

AC = 15 cm

2 2 2

2 22

2 2

2 215 12

81

9 cm

AC AS v

v AC AS

v AC AS

v

v

v

Výška rovnoramenného trojúhelníku má délku 9 cm.

14

7. Devět metrů vysoký strom se v bouři přelomil tak, že jeho vrcholek se

dotýká země 3 m od paty stromu. V jaké výšce se zlomil?

Řešení:

15

výška stromu……………………… 9 m

vzdálenost od paty stromu…… 3 m

výška zlomu……………………….. x

vzniklý trojúhelník v nákresu je pravoúhlý, proto platí Pythagorova věta:

2 2 2

2 2

9 3

81 18 9

18 72

4 m

x x

x x x

x

x

Strom se zlomil ve výšce 4 m.

16

8. Žebřík dlouhý 9 m je spodním koncem opřen 1,75 m od zdi. Do jaké výšky

dosahuje na zdi horní konec žebříku?

Řešení:

17

délka žebříku…………….. 9 m

vzdálenost od zdi………. 1,75 m

výška na zdi……………… x

2 2 2

2

1,75 9

81 3,0625

77,9375

8,8 m

x

x

x

x

Horní konec žebříku dosahuje na zdi do výšky 8,8 m.

18

Příklady k procvičení:

1. Vypočítejte délku úhlopříčky čtverce:

a) jehož obvod je 8 m [2,83 cm]

b) jehož obsah je 25 dm2 [7,1 dm]

2. Vypočítejte délku strany čtverce, jehož úhlopříčka má délku 18 cm.

[12,7 cm]

3. Vypočítejte výšku rovnostranného trojúhelníku, jehož obvod je 15 cm.

[4,3 cm]

19

4. Okolo obdélníkového lesa 120 m dlouhého a 50 m širokého je vozová cesta.

O kolik metrů si zkrátí chodec chůzi pěšinou po úhlopříčce tohoto lesa?

[40 m]

5. Pan Dvořák vlastní pozemek ve tvaru rovnoramenného trojúhelníku se

stranami 50 m, 50 m, 60 m. Pan Novák vlastní pozemek, který má tvar

rovnostranného trojúhelníku se stranami délky 55 m. Kdo z nich má

pozemek o větší rozloze? [Novák]

6. Do jaké výšky sahá dvojitý žebřík 6 m dlouhý, jsou-li jeho dolní konce od

sebe vzdáleny 5 m? [5,5 m]

20

7. Na těleso působí v témže bodě dvě síly F1= 160 N a F2= 40 N, které svírají

úhel velikosti 900. Určete velikost výslednice těchto sil. [164,9 N]

8. Vodorovná vzdálenost dvou míst je podle plánu 300 m, výškový rozdíl činí

22 m. Jaká je skutečná vzdálenost těchto míst? [300,7 m]

9. Kosočtverec má úhlopříčky délky u1 = 12 cm, u2 = 16 cm. Vypočítejte délku

strany kosočtverce. [10 cm]

10. Rozhodněte, zda dosáhne žebřík dlouhý 3 metry na zeď vysokou 2,8 m,

musí-li být kvůli stabilitě jeho spodní konec 70 cm od zdi ? [ano]

21

EUKLEIDOVY VĚTY

22

1. Euklidova věta o výšce

Pro výšku v v pravoúhlém trojúhelníku s pravým úhlem u vrcholu C platí?:

bac ccv 2

2. Euklidova věta o odvěsně

Pro odvěsny pravoúhlého trojúhelníku platí:

b

a

ccb

cca

2

2

23

Řešené příklady:

1. Vypočítej zbývající prvky ,,,,, vcba a v pravoúhlém trojúhelníku ABC

90 , je-li dáno: 6,10 bcc .

24

152610

b

ccb b

4

a

baba

c

cccccc

102410

a

cca a

6264

v

ccv ba

25

´

´

465010

152sin

sin

143910

102sin

sin

c

b

c

a

26

2. Vypočítej zbývající prvky ,,,,, ba cccb v pravoúhlém trojúhelníku ABC

90 , je-li dáno: 5;3 va .

27

Z pravoúhlého trojúhelníku CBP spočítáme pomocí Pythagorovy věty úsek

přepony ac .

2532

22

222

aa

a

cc

vac

2

922 c

c

accca

a

a

2

5 babba ccccccc

52

3 bccb b

28

´4941

2

9

3sin

sin

c

a

´1148

2

9

52

3

sin

sin

c

b

29

Příklady k procvičení:

1. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C je velikost

úseku přilehlého ke straně a roven 2 cm a velikost úseku přilehlého ke

straně b roven 26 cm. Vypočtěte jeho obvod.

[18,93 cm]

2. Pravoúhlý trojúhelník má přeponu c = 26 cm. Jak velké úseky vytíná výška

vc = 12 cm na přeponě c? [ca = 18 cm, cb = 8 cm]

3. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C jsou délky

odvěsen a = 3,6 cm, b = 5,2 cm. Vypočtěte délky úseků přepony a výšku k

přeponě c. [ca = 2,1 cm, cb = 4,3 cm, v = 3 cm]

30

4. Úseky přepony v pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C

mají délky ca = 2 cm, cb = 8 cm. Vypočtěte výšku trojúhelníku a délky

odvěsen. [v = 4 cm; a = 4,5 cm; b = 8,9 cm]

5. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C je dán úhel

48 a úsek přepony ca = 15 cm. Vypočtěte výšku ke straně c a těžnici

vedenou vrcholem C. [v = 13,51 cm; tc = 13,58 cm]

31

GONIOMETRICKÉ FUNKCE V

PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU

32

c

b

c

a

sin

sin

c

a

c

b

cos

cos

33

a

btg

b

atg

b

ag

a

bg

cot

cot

34

Řešené příklady:

1. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s odvěsnami a = 12 cm a b = 18 cm

vypočtěte velikosti vnitřních úhlů.

B

12 cm

C 18 cm A

´4133

18

12

tg

b

atg

35

´´ 1956413390

90

36

2. Železniční trať má stoupání 18 ‰. Vypočítejte, pod jakým úhlem stoupá.

Má-li železniční trať stoupání 18 ‰, znamená to, že stoupne o 18 metrů na

vzdálenost 1000 metrů vodorovně.

18 m

1 000 m ´21

1000

18

tg

Železniční trať má stoupání ´21 .

37

3. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C je dáno: 56 ,

b = 34 cm. Vypočítejte zbývající strany a úhly.

A

C B cmc

c

bc

c

b

41

56sin

34

sin

sin

cma

a

a

bca

9,22

525

3441 22

22

345690

38

Příklady k procvičení:

1. V jakém úhlu stoupá lanová dráha, jestliže v délce 340 m překonává výšku

170 m? 30

2. Tětiva MN v kružnici, příslušná ke středovému úhlu MSN = 132 , má od

středu S kružnice vzdálenost v = 82 mm. Vypočtěte poloměr kružnice.

cm2,20

3. Jak vysoký je komín elektrárny stojící ve vodorovném terénu, jestliže jeho

vrchol vidíme ze vzdálenosti 75 metrů od paty komínu pod úhlem 34 ?

m6,50

4. Vypočtěte velikosti úhlů v pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u

vrcholu C, je-li dáno: a = 10 cm, b = 7,5 cm. ´´ 5236;853

39

5. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, je-li dáno: a = 14,5 cm, ´1048 .

cmccmb 46,19;98,12;5041 ´

6. Jaký je sklon žebříku délky 6,2 m, který je svým horním okrajem opřen ve

výšce 5,12 m? ´4055

7. Jaký je výškový rozdíl míst A a B na trati, která má stoupání ´258, je-li jejich

vzdálenost 1 275 m? m6,186

8. Z pozorovací věže ve výšce 115 m nad hladinou moře je zaměřena loď

v hloubkovém úhlu ´446. Jak daleko je loď od věže?

m974

40

9. Silnice má stoupání 15 %. Kolik je to stupňů? ´328