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INTRODUCCIN

La funcin Gamma fue introducida por primera vez por el matemtico suizo Leonhard Euler (1707-1783), con el objetivo de generalizar la funcin factorial a valores no enteros. Ms tarde, por su gran importancia, esta fue estudiada por matemticos eminentes tales como Adrien-Marie Legendre (1752-1833), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Christoph Gudermann (1798-1852), Joseph Liouville (1809-1882), Karl Weierstrass (1815-1897), Charles Hermite (1822-1901), al igual que muchos otros.

Matemticamente la funcin gamma extiende el concepto del factorial a los nmeros complejos, haciendo excepcin a los enteros negativos y al cero. Por lo tanto la funcin gamma generaliza el factorial para cualquier valor complejo.

La funcin gamma es utilizada en varias funciones de distribucin de probabilidad y estadstica como en combinatoria.

NDICE INTRODUCCIN

DEFINICION

TABLA DE VALORES Y GRAFICA

PROPIEDADES

FORMA ASNTOTICA

APLICACIONES

CONCLUSIN

BIBLIOGRAFA

DEFINICINEn matemticas, la funcin Gamma: (z) es una funcin que extiende el concepto de factorial a los nmeros complejos. La notacin fue ideada por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del nmero complejo z es positiva (Re[z] > 0), entonces la integral:

converge absolutamente. Usando la integracin por partes, se obtiene la siguiente propiedad:Demostracin:Partimos de:

Usamos integracin por partes para resolver la integral:En el lmite inferior se obtiene directamente:

En el infinito, usando la regla de L'Hpital:

Por lo que se anula el primer trmino , lo que nos da el siguiente resultado:

Combinando estas dos relaciones se obtiene que el factorial es un caso especial de la funcin Gamma: para los nmeros naturales n.

La funcin Gamma es una funcin meromorfa con polos simples en:

y residuos.

Definiciones alternativas

Las siguientes definiciones de la funcin Gamma mediante productos infinitos, debidas a Euler y Weierstrass respectivamente, son vlidas para todo complejo z que no sea un entero negativo:

donde Y es la constante de Euler-Mascheroni

Es sencillo mostrar que la definicin de Euler satisface la ecuacin funcional dada arriba como sigue. Dado

TABLA DE VALORES Y GRAFICA

Excepto para los valores enteros de x=n, para el cual (n) = (n-1)*(n-1), algunos valores no enteros la integral definida de Lengendre converge absolutamente. El cambio de variable por sustitucin, a t=u^2, tenemos que

La primera ecuacin funcional vista, se establece para valores enteros positivos n; podemos ver algunos valores especiales para estos valores n:

Ninguna expresin bsica es conocida para (1/3) y (1/4), pero fue probado que aquellos nmeros son transcendentales (respectivamente por Le Lionnais en 1983 y Chudnovsky en 1984).

Los valores numricos, de algunas de estas constantes, hasta 50 dgitos, son:

(1/2)= 1.7724538509055160272981674833411451827975494561223...

(1/3)= 2.6789385347077476336556929409746776441286893779573...

(1/4)= 3.6256099082219083119306851558676720029951676828806...

(1/5)= 4.5908437119988030532047582759291520034341099982934...

Y para valores negativos

Valores de la funcin Gamma

Figura N1. Grfico 2-D de la funcin Gamma

Figura N2. Grfico 3-D de la funcin Gamma

PROPIEDADESGenerales De la representacin integral se obtiene:

Entre otras p/ n naturales Si -1 < n < 0 podemos definir

La frmula ComplementoExiste una importante identidad, que conecta la funcin gamma con los valores complementarios x y 1-x. Una forma de obtener este resultado, es a partir de la frmula de Weierstrass , la cual resulta en:

Pero la ecuacin funcional da (-x) = (1-x)/(-x), y la igualdad se escribe como

Y usando un producto infinito bien conocido:

finalmente: para 0 < X < 1

La relacin, es la frmula del complemento o reflexin, y es vlida cuando x y 1-x son no negativos o nulos; esta fue descubierta por Euler.

Si aplicamos esta frmula para los valores x=1/2, x=1/3, x=1/4, encontramos que:

La frmula de multiplicacin Esta frmula es debido a Gauss:

La frmula de duplicacin es un caso especial del teorema de multiplicacin, esta se basa en un teorema para el caso especial con m=2 del resultado ms general:

Una versin de esta multiplicacin, debido a Euler es:

Es de inters, estudiar como la funcin gamma se ha de comportar, cuando el argumento x se hace muy grande. Si restringimos el argumento x a valores enteros n, el siguiente resultado de gran importancia, es debido a James Stirling y Abraham de Moivre: Frmula de Stirling

Derivadas Las derivadas de la funcin Gamma vienen dadas por la funcin poli-Gamma. Por ejemplo:

A partir de la representacin integral de la funcin Gamma, se obtiene que su derivada n-sima es:

La funcin Gamma tiene un polo; polo de orden 1 en z = n para todo nmero natural y el cero. El residuo en cada polo es:

Digamma: La psi, o funcin digamma, denotada por (x), est definida para cualquier valor no nulo o entero negativo, por la derivada logartmica de (x); esto es:

PoliGamma:

Recursividad de Gamma

Esta identidad, nos permite definir la funcin gamma en todo el eje real x, excepto sobre los valores negativos (0, -1, -2,.). Para cualquier entero n no nulo, tenemos que

FORMA ASNTOTICA

Para estimar la funcin gamma cerca de un punto, es posible usar algunas expansiones en series en este punto. Antes de hacerlo, necesitamos introducir una nueva funcin, la cual est relacionada con la derivada de la funcin gamma. Muchas de las series que envuelven la funcin gamma y sus derivadas, pueden ser obtenidas a partir de la frmula de Weierstrass:

Tomando el logaritmo en ambos lados de la frmula de Weierstrass, encontramos la relacin bsica siguiente

Otra forma:El desarrollo en Serie de Laurent de para valores 0 < z < 1 es:

Donde es la funcin zeta de Riemann.

APLICACIONES

Como ya se mencion las aplicaciones de la funcin Gamma son varias entre ellas sabemos que es utilizada en varias funciones de distribucin de probabilidad y estadstica como en combinatoria.

Clculo fraccionario La n-sima derivada de ax^b (donde n es un nmero natural) se puede ver de la siguiente manera:

como n! = r(n + 1) entonces donde n puede ser cualquier nmero donde gamma est definido o se pueda definir mediante lmites.De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de x, de x^2 e inclusive de una constante c = cx0:

Ejercicios sobre la funcin Gamma

La funcin gamma es uno de los pilares del nuevo clculo, el cual ha de desarrollarse con unos slidos fundamentos. Vimos que existen valores gamma que han sido probados a ser transcendentales. Se comprob matemticamente que la funcin gamma extiende el concepto de factorial a los nmeros complejos, haciendo excepcin a los enteros negativos y ceros.La funcin gamma es importante pues su amplia utilizacin en gran variedad de aplicaciones entre algunas que podemos citar es que es utilizada en varias funciones de distribucin de probabilidad y estadstica como en combinatoria. Tambin sta aparece en varias reas de estudio, como en las series asintticas, integrales definidas, series hiper geomtricas, la funcin Zeta de Riemann, teora de nmeros, otras.Este es un tema que merece un estudio profundo y serio, para poder obtener resultados y aplicaciones a otras reas. CONCLUSIONES BIBLIOGRAFA Wikipedia; Funcin Gamma; en: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_gamma La Funcin Gamma; Variable Compleja; investigacin de Estudiante: Harold L. Marzan La Funcin Gamma http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

FIN