CONCEPTOS PRELIMINARES DE CÁLCULO INTEGRAL

RECORDEMOS EL CONCEPTO DE DERIVADA:

La derivada de una función con respecto a una variable, es el límite del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando el incremento de dicha variable tiende a cero::

Otra forma de llamarle a la derivada es “la diferencial”

𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 = lim∆𝑥→𝑜Δ𝑦Δ𝑥

Las funciones a las que nos referimos relacionan generalmente variables en una razón de cambio, dicho de otra manera, la derivada es simplemente la rapidez de cambio de una función. EJEMPLOS: tiempo y costo de mercancías, distancia y tiempo, peso corporal y edad, etc.

RECORDEMOS TAMBIÉN LAS DIFERENTES NOTACIONES PARA DERIVADA:

Df(x) - Cauchy

f´(x) - Lagrange

Y´ - Lagrange 𝑑𝑦𝑑𝑥 - Leibnitz

En el presente curso utilizaremos la notación de Lagrange (f´) o F´(x) para referirnos a la derivada.

UN NUEVO CONCEPTO:

LA ANTIDERIVADA

Supongamos que tenemos la derivada de una función: F´(X) = 3x2 ó f´(x) = 3x2

Si ésta es la derivada, con cierta facilidad se puede inferir la función original posible: f(x) = x3 A ésta función original se le denomina función primitiva, antiderivada ó integral indefinida.

Subrayamos la posible respuesta, en virtud de que la función primitiva puede presentar una constante cualquiera, ejemplo: f(x)= x3+4 ; F(x)= x3+ 2/3 La antiderivada seguirá siendo la misma. Esto, debido a que como ya sabes, “la derivada de una constante es cero”

Por lo anterior, podemos deducir entonces, que para una derivada existe

infinidad de antiderivadas, tantas como constantes se le asignen, y todas difieren entre si por dicha constante.

A la serie de posibilidades de funciones primitivas o antiderivadas se le denomina familia de antiderivadas.

Para abarcar todas las posibilidades, en la notación de una familia de antiderivadas, se generaliza escribiendo la letra “c” en el lugar de la constante, ejemplo: F(x)= x4+c

Considerando la nueva notación; si la derivada se representa como F´(X) ó f´(x), entonces la antiderivada la representaremos como F(x), sin el apostrofe (´).

A la serie de posibilidades de funciones primitivas o antiderivadas se le denomina familia de antiderivadas. Para abarcar todas las posibilidades en la notación de una familia de antiderivadas, se generaliza escribiendo la letra “c” en el lugar de la constante, ejemplo: F(x)= x4+c Donde “c” puede ser cualquier constante

Sin embargo, puesto que la operación de calcular la antiderivada ó función primitiva, también se le denomina INTEGRACIÓN, y para representarla utilizaremos la notación ∫.

Entonces, dicho símbolo se antepone a la derivada, esto para denotar que se requiere obtener la integral indefinida

A toda la familia de antiderivadas de una función se le llama INTEGRAL INDEFINIDA.

EJEMPLOS:

1).- f´(x)=2x-5x4

Entonces:

∫f(X)=x2- x5+c

2).-

f´(x)=5/2x3/2

Entonces: ∫f(x)=√x5 + c

3.- f´(x)=15x4

Entonces:

∫f(x)=3x5 + c

4.-

f´(x) = 154 𝑥2+ 4 𝑥3

∫f(x)= 54 𝑥3 + 𝑥4+ c

5.-

f´(x)= 43 ξ𝑥3 + 6x2

Entonces:

∫f(x)= ξ𝑥43 + 2x3+c

6._

f´(x) = 3x4

Entonces:

∫f(x)= 35 x5