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Curso para el examen de ingreso a la universidad

212

212 )x(x)y(yd

Algebra.- Signos (+) (+) = + (-) (-) = + (+) (-) = - (-) (+) = - (+) / (+) = + (-) / (-) = + (+) / (-) = - (-) / (+) = - Fracciones

bdcbad

dc

ba

bdcbad

dc

ba

bdac

dc

ba

bcad

dc

ba

Productos notables y factorización

222 b2abab)(a 32233 b3bab3aab)(a

b)a(aaba2

b)m)(a(xb)m(ab)x(a

a)b)(b(aba 22

)babb)(a(aba 2233

)babb)(a(aba 2233 Leyes de los exponentes y radicales

1a0

pn

a1

a

n1

n aa

nm

n m aa mnmn aaa

nmm

n

aa

a

n

nn

b

aba

mnmn a)(a nnn ba(ab)

Leyes de los logaritmos. Logaritmo vulgar o de base 10 (Lg) de Briggs Logaritmo natural o de base e (2.71828…) o de Neper (Ln)

logblogalogab

b loga logba

log

nlogalogan

1blogb

01logb Números imaginarios y complejos

Unidad imaginaria = 1 = i

1i

1i2

1i3

1i4

1i5

bia1ba Solución general de las ecuaciones cuadráticas

2a4acbb

x2

Determinantes 2 X 2

bcaddcba

3 X 3

ibdfhaceggbfdhcaei

fedcbaihgfedcba

Trigonometría y geometría Teorema de Pitágoras

222 bac 22 bac

22 bca c = Hipotenusa a y b = catetos Radianes

57.32π

360rad1

Áreas y perímetros Figura Perímetro área Rectángulo 2L+ 2l L x l Rombo

2D + 2 d 2

Dd

Romboide 2b + 2h bh Trapecio

B + b + 2l 2

b)h(B

Triángulo L + i + l

2bh

Circunferencia

2πr = πd Πr2

Ángulo interior de un polígono regular

n2)(n180

β

n = número de lados Número de diagonales de un polígono regular

23)n(n

N

n = número de lados Tabla de funciones de ángulos

30° 45° 60° Sen

21

2

1 23

Cos

23

2

1 21

Tg

3

1 1 3

Ctg 3 1

3

1

Sec

3

2 2 2

Csc 2 2

3

2

Ángulos en la circunferencia.

Ángulo central = α Ángulo inscrito = 0.5α Ángulo semi inscrito = 0.5α Ángulo Exterior = 0.5 (α - β) Ángulo interno = 0.5 (α + β) Ley de senos

Csenc

Bsenb

Asena

Ley de cosenos a2 = b2 + c2 -2bc sen

Funciones trigonométricas

HCA

cosθHC0

senθ

COCA

cotθCAC0

tanθ

COh

cscCAH

secθ

Identidades recíprocas

θsec1

θcosθcsc

1θsen

θ tan1

ctnθθ cot

1tanθ

θsen1

θcscθ cos

1θ sec

Identidades Pitagóricas

1cosθsen 22

1tanθsen 22

1cotθcsc 22 Identidades de cocientes

θcosθsen

θtan θsenθcos

θcot

Identidades de ángulo doble

a cos a sen 22a sen

a2sen11a2cosasena cos2a cos

2

222

atan1

a2tan2atan

2 |

Identidades de ángulo mitad

2cos θ1

2θ

sen

2cos θ1

2θ

cos

Otras identidades Sen Cos = 1 Cos Cosec = 1 Tan Cot = 1

Cos2θ21

21

θSen2

Cos2θ21

21

θCos2

Geometría analítica Coordenadas rectangulares Distancia entre dos puntos.

45°

1

1

2

2

1

60°

30°

3

Hipotenusa(H)

Cateto Opuesto

(CO)

Cateto Adyacente

(CA)

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r12ry1y

y

12

12

xxyy

m

2m1m11m2m

θtg

11

33

22

11

yxyxyxyx

21

A

bmxy

112

121 xx

xxyy

yy

1by

ax

22

00

BA

CByAxd

222222 bayaxb

0ea

y

h)4p(xky 2

k)4p(yhx 2

aeca

baac

e22

1

bky

ahx

2

2

2

2

1

aky

bhx

2

2

2

2

0FEyDxCyAx 22

222222 baybxa

0ea

x

Pendiente de la línea recta. = tan-1 m Paralelismo Perpendicularidad m1 = m2 m2 = - 1/m1

Angulo entre dos rectas.

Coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada.

r12rx1x

x

Punto Medio.

22x1x

x

22y1y

y

Punto medio r =1 Trisección r= 2 y r= ½ Área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices

La línea recta.

Ecuación de la recta conocido punto y pendiente.

11 xxmyy Ecuación de la recta conocidos dos puntos.

Ecuación de la recta bajo la forma pendiente ordenada al origen. m = pendiente b = ordenada al origen Ecuación de la recta Reducida o abscisa y ordenada en el origen.

Forma general de la recta.

0CByAx

BC

bAC

aBA

m

Distancia de un punto a una recta. Forma Normal x cos w + y sen w – p = 0

kqp

Bwsen

Awcos

22 BA

1k

22 BA

Awcos

22 BA

Bwsen

22 BA

Cp

0BA

Cy

BA

Bx

BA

A

222222

La circunferencia.

Ecuación de la circunferencias con centro en el origen y radio r. x2 + y2 = r2

Ecuación de la circunferencias con centro en C(h,k) y radio r. (x – h)2 + (y – k)2 = r2

Forma general de la ecuación de la circunferencia.

0FEyDx2y2x

2

E,

2

DC

D = - 2h E = - 2k F = h2 + k2 – r2

F2k2h4F2E2D2

1r

La parábola.

Ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje de simetría en el eje x´s

4pxy2 Directriz x = - P Foco F(p,0) LR = |4P| Ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje de simetría en el eje y´s.

4pxx2 Directriz Y = - P Foco F(0,P)

LR = |4P| Ecuación de la parábola con vértice en V(h,k) y eje de simetría paralelo al eje x.

Directriz x = h - P Focos F(h + p, K) F(h - p,k) LR = |4P| Ecuación de la parábola con vértice en V(h,k) y eje de simetría paralelo al eje y. Directriz Y = K - P Foco F(K + P , h) F(K – P, h) LR = |4P| Forma general.

Vertical0FEyDxXHorizontal0FEyDxy

2

2

D = -4p E = -2k F = k2 + 4ph La Elipse.

Ecuación de la elipse concentro en el origen y eje mayor paralelo al eje de las x´s.

1by

ax

2

2

2

2

Ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor paralelo al eje de las y´s.

1ay

bx

2

2

2

2

Excentricidad.

Directrices (Eje mayor paralelo al eje de las x´s.)

0ea

x

(Eje mayor paralelo al eje de las y´s).

0ea

y

Lado recto. a

2bLR

2

Elipse con centro en (h,k) y eje mayor paralelo al eje de las x´s.

Elipse con centro en (h,k) y eje mayor paralelo al eje de las y´s.

Forma general de la ecuación de la elipse.

A = b2 C = a2 D = -2b2h E = -2a2k La Hipérbola

Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje de las x´s

Y

X

(0,b)

(a,0)

Y = mx + b

X

X

C(h,k)

rp(x,y)

X

X

p

p

v(h,k)

f(x,y)2p

Y’Y’

C(h,k)a

bc

f1 f2

v1v2

LR

X

Y

Y

X

a

b c

C(h,k)

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au

22 ua

a

u

22 ua

udx

du cscu ctgu csc

dx

d

udxd

1u u

1u csec

dxd

2

-1

2v

udvvduvu

dxd

udx

dulnuu

dx

dvuu

dx

d v1vv

1by

ax

2

2

2

2

V(a,0) V (́-a,0) F (c,0) F(-c,0) LET = 2a LEC = 2b LR = 2b2 /a e = c / a Excentricidad

aba

ac

e22

Asíntotas

abx

y

Restricciones c a c2 = a2 + b2 Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje de las y´s

1bx

ay

2

2

2

2

V(0,a) V(0,-a) F(0,c) F(0,-c) LET = 2a LEC = 2b LR = 2b2 /a e = c / a Asíntotas

bax

y

Hipérbola con centro fuera del origen y focos paralelos al eje de las x´s

1

bk-y

ah-x

2

2

2

2

V(h + a, k) V(h - a, k) F(h + c, k) V(h - c, k) Asíntotas

ah)b(x

ky

Hipérbola con centro fuera del origen y focos paralelos al eje de las y´s.

1

bh-x

ak-y

2

2

2

2

V(h , k + a) V(h , k - a) F(h , k + c) V(h , k - c) Asíntotas

bh)a(x

ky

Forma general ax2 - cy2 + cx + dy + e = 0

A = b2 C = -a2 D = -2b2h E = 2a2k F = b2h2 – a2k2 – a2b2 Grafica de funciones. Ceros de una función gado par Máximo = igual al grado Mínimo = cero Ceros de una función gado impar Máximo = igual al grado Mínimo = uno Primer grado Y = mx + b Lugar geométrico = línea recta m = pendiente b = ordenada al origen si m > 0 si m < 0 Segundo grado Lugar geométrico = Parábola ax2 + bx + c = 0 Vertical a > 0 a < 0 ay2 + by + c = 0 Horizontal a > 0 a < 0 Solución general

2a4acbb

x2

Vértice

4ab

-c,2ab 2

Tercer grado ax3 + bx2 + cx + c = 0 Lugar geométrico = Parábola cubica a > 0 a < 0 Funciones racionales

Asíntotas, Si Q(x)P(x)

p(x) de grado

“n” y Q(x) de grado “m” n = m asíntota horizontal en

n

n

b

ay

n < m eje x es la asíntota horizontal

n > m asíntota oblicua en Q(x)

P(x)

Derivadas inmediatas

0cdxd

1xdxd

1nn nxxdxd

dunuudxd 1nn

vduudvuvdxd

Derivadas de funciones trigonométricas

udxd

ucosduu sendxd

udxd

usenduucosdxd

udxd

usecu tgdxd 2

udxd

ucscu ctgdxd 2

udxd

u sec u tgu secdxd

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

udxd

eedxd uu

udxd

a ln aadxd uu

udxd

u1

u lndxd

udxd

uelog

ulogdxd a

a

Derivadas de funciones inversas

udxd

u1

1u sen

dxd

2

-1

udxd

u1

1u cos

dxd

2

-1

udxd

u1

1u tg

dxd

2-1

udxd

u1

1u ctg

dxd

2-1

udxd

1u u

1u sec

dxd

2

-1

Reglas generales de integración

caxadx

1nc1n

xdxx

1nn

c1n

xcdxcx

1nn

cxlndxx1

ca ln

aa

xx

cea1

dxe axax

cea1

dxb axax

cucosduusen

cusenduu cos

cucoslnduutg

cusenlnduuctg

cutguseclnduusec

ccotuu csclnduucsc

cutgduusec 2

cucotduucsc 2

cusecduutgusec

cucscduucotucsc

cbaxlna1

baxdx

cb)1)(ax-a(n

1

bax

dx1-nn

cax

tgacta1

ax

dx22

c)aln(x21

ax

xdx 2222

cax

tanArc2a

1

ax2a

x

ax

dx3222222

caxax

ln2a1

ax

dx22

ax

senarcxa

dx

22

caxxlnax

dx 22

22

ca

xsecarc

a

1

axx

dx

22

Métodos de integración Por sustitución

F(u)udu

Por partes

vduuvdvu

Sustitución trigonométrica Para integrales que contienen

22 ua θsenau

θcosaua 22

Para integrales que contienen

22 ua θtanau

θsecaua 22

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a

u22 au

Para integrales que contienen 22 au

θsecau

θtanaau 22 Fracciones parciales Factores lineales

..xC

bxB

axA

..)b)(xa)(x(xN(x)

.....

Factores cuadráticos

...

32n c)(x

C

b)(x

Bax

A

a)(x

N(x)

cbxax

bAx

cbxax

N(x)22

..

222n2 c)bx(ax

bAx

cbxax

bAx

c)bx(ax

N(x)

Probabilidad y estadística Datos no agrupados Medidas de centro o tendencia central. Media de la muestra:

n

xx

i_

Media de la población

N

xμ

i

Moda: Xi qué más se repite. Mediana: Si el número de datos es impar: Es el dato que se encuentra en el centro de los datos cuando estos son acomodados en orden de mayor a menor. Si el número de datos es par: Es el promedio de los datos que se encuentra en el centro de los datos cuando estos son acomodados en orden de mayor a menor. Cuartiles:

n10075

Q

n10050

Q

n10025

Q

3

2

1

Deciles:

n10090

Q

.

.

n10020

.D

n10010

D

9

2

1

Percentiles:

n100

97Q

.

n10066

D

.

n100

27.D

n100

1D

97

66

27

1

Observaciones: Sí el resultado de la división no es entero, se redondea a la posición inmediata superior. Si el resultado de la división es entero, se promedia el dato correspondiente a la posición obtenida con el inmediato superior.

Rango intercuartil:

13 QQRIC

Medidas de desviación Varianza de la población:

N

xx

σ

2_

i2

Varianza de la muestra:

1-n

xx

s

2_

i2

Desviación estándar muestra:

2ss

Desviación estándar de la población:

2

Coeficiente de variación:

100Media

tándarDesviaciónCV

Valor de z:

s

xxz

_

ii

Covarianza de la muestra:

1n

)y)(yx(xs

_

i

_

i

xy

Coeficiente de correlación del producto de Pearson (datos de una muestra):

yx

xyxy ss

sr

Datos agrupados Medidas de centro Media de la muestra:

n

Mfx

ii_

Varianza de la muestra:

1n

)x(Mfs

2_

ii2

Promedio de la población:

N

Mfμ ii

Varianza de la población:

N

μ)(Mfσ

2ii2

Probabilidad Probabilidad complementaria:

)P(A1P(A) c

Ley aditiva:

B)P(AP(A)P(A)B)P(A

Probabilidad condicional:

P(B)B)P(A

P(A/B)

P(A)

B)P(AP(B/A)

Ley multiplicativa:

P(B)P(A/B)B)P(A

P(A)P(B/A)B)P(A

Ley multiplicativa para eventos independientes:

P(A)P(B)B)P(A

Teorema de Bayes:

))P(B/AP(A.....))P(B/AP(A))P(B/AP(A))P(B/AP(A

/B)P(Ann2211

iii

Regla de conteo para combinaciones:

n)!(Nn!N!

nN

CNn

Regla de conteo para combinaciones:

n)!(NN!

nN

n!P Nn

Distribuciones discretas de probabilidad Cantidad de resultados experimentales con exactamente “x” éxitos en “n” intentos:

!xnx!n!

xn

Función d probabilidad binomial:

x)(nx p)(1pxn

f(x)

Valor esperado de la distribución de probabilidad binomial:

npμE(x)

Varianza de la distribución de probabilidad binomial:

p)np(1σvar(x) 2

Función de probabilidad de Poisson:

x!μe

f(x)μ

Función de probabilidad Hipergeométrica:

nN

xnrN

xr

f(x)

Distribuciones continúas de probabilidad. Conversión a la distribución normal estándar:

σμx

z

Función de densidad de probabilidad exponencial:

x/ μeμ1

f(x)

Desviación estándar de _x:

Población finita:

n

σ1NnN

σ _x

Población infinita:

n

σσ_

x

Valor esperado de _p :

p)p(E_

Desviación estándar de _p:

Población finita:

np)p(1

1NnN

σ_x

Población infinita:

np)p(1

σ_x

Estimación por intervalos Error muestral al estimar µ

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μx

Estimación por intervalo de una media de la población, cuando se conoce algún parámetro de la población, caso de muestra grande (n≥30):

n

σzx a/2

Estimación por intervalo de una media de la población, cuando no se conoce ningún parámetro de la población, caso de muestra pequeña (n≤30):

n

σtx a/2

Tamaño de la muestra para una estimación del intervalo de una media de la población:

2

22a/2

E

σ)(zn

Estimación del intervalo de una proporción poblacional:

n)p(1p

zp

_

a/2

_

Tamaño de la muestra para una estimación del intervalo de una proporción poblacional:

2

2a/2

Ep)p(1)(z

n

Prueba de hipótesis.

μμ:Hμμ:Hμμ:H

μμ:Hμμ:Hμμ:H

000

0000

Estadístico de prueba.

n

σμx

z

_