Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία

Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: Γεωχωρικές τεχνολογίες

Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος

Αναπληρωτής Καθηγητής

Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας

Παρουσίαση 6η: Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier

Σειρές Fourier

Περιεχόμενα του μαθήματος (1)

• ΕΝΟΤΗΤΑ 2η Σήματα και ανάλυση Fourier (ΕΡΓΑΣΙΑ 2η)

• Εισαγωγή στα σήματα (Ορισμοί, κατηγορίες σημάτων, βασικά σήματα

συνεχή και διακριτά, κατηγορίες συστημάτων)

• Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier (Ολοκληρώματα, σειρές, μιγαδικές

εκφράσεις, παραδείγματα, ανάλυση σε συνιστώσες συχνοτήτων, σειρές στο

τετράγωνο, στον κύκλο και στη σφαίρα, παραδείγματα υπολογισμού)

• Μετασχηματισμοί Fourier (Από τα ολοκληρώματα – σειρές στους

μετασχηματισμούς, παραδείγματα, χαρακτηριστικοί μετασχηματισμοί,

ιδιότητες και αποδείξεις)

Περιεχόμενα του μαθήματος (2)

• Διακριτός μετασχηματισμός Fourier (Διαφορές από το συνεχή

μετασχηματισμό, θεώρημα δειγματοληψίας, συχνότητα Nyquist, ιδιότητες,

υπολογισμοί, προβλήματα, φασματική διαρροή, παραποίηση, ταχύς

μετασχηματισμός Fourier – FFT, παραδείγματα)

Βιβλιογραφία

• ΕΝΟΤΗΤΑ 2η

• Hsu, H. P. (1995): Signals and Systems, Schaum’s Outlines eds.

• Proakis, J.G. and D.G. Manolakis (2006): Digital Signal Processing, Fourth ed.,

Pearson, Prentice Hall eds.

• Spiegel, M.R. (1974): Ανάλυση Fourier. Schaum’s Outline Series. McGraw-Hill,

ΕΣΠΙ Αθήνα.

• Brigham, E.O. (1988): The Fast Fourier Transform and its Applications. Prentice

Hall eds.

• Bracewell, R.N. (1978): The Fourier Transform and its applications. McGraw-Hill

eds.

Περιεχόμενα παρουσίασης

• Φασματικές μέθοδοι

• Πλεονεκτήματα – μειονεκτήματα φασματικών μεθόδων

• Ιστορικά στοιχεία φασματικής ανάλυσης

• Σειρές Fourier – Ερμηνεία

• Παραδείγματα ανάπτυξης σειρών

• Μιγαδικές εκφράσεις σειρών – Συμπαγής μορφή σειράς

• Αναπτύγματα στο επίπεδο, στον κύκλο και στη σφαίρα

Φασματικές Μέθοδοι

• Διαδικασίες ανάλυσης του σήματος σε επιμέρους συνιστώσες

απλοποίηση διαδικασιών και υπολογισμών

• Φασματική ανάλυση (ανάλυση Fourier) ανάλυση πολύπλοκων

σημάτων σε απλούστερα για ευκολότερη επεξεργασία

Σήματα

Signals

Φασματικές μέθοδοι

Spectral methods

Γεωπληροφορική

Geomatics

Πλεονέκτημα φασματικών μεθόδων

• Μεταφορά πληροφορίας από το χώρο των αριθμών στο χώρο των

συχνοτήτων απλοποίηση βασικών υπολογισμών

Time / Space Domain Spectral analysis

(Fourier transforms) Frequency Domain

Πλεονέκτημα φασματικών μεθόδων

• Αναπαράσταση ανάλυσης συνάρτησης από το χώρο των πραγματικών

αριθμών στο χώρο των συχνοτήτων (ανάλυση σε κυρίαρχες συχνότητες)

Στόχοι φασματικής ανάλυσης

• Κυματοειδής μορφή σήματος δυνατότητα ανάλυσης σε συχνότητες

• Ο χώρος των συχνοτήτων επιτρέπει ευκολότερους υπολογισμούς

πολύπλοκες συναρτήσεις αναλύονται σε απλής μορφής διαγράμματα

συχνοτήτων

Σημαντικό να γνωρίζουμε για

κάθε μέτρηση – κύμα τις

κυρίαρχες συχνότητές της

φάσμα (spectrum) της

μέτρησης

Πλεονεκτήματα φασματικής ανάλυσης

• Πληθώρα ετερογενών δεδομένων στη Γεωπληροφορική ανάγκη

ταυτόχρονης αξιοποίησης πολλών δεδομένων

• Μαθηματικό μοντέλο γεωδαιτικών προβλημάτων συνελικτική μορφή

κατάλληλη για φασματική ανάλυση

• Απλοποίηση υπολογισμών και ταχύτητα επεξεργασίας δεδομένων

δυνατότητα ανάλυσης σε σχεδόν – πραγματικό χρόνο (near-real-time

products)

• Δυνατότητες εύκολης διαχρονικής παρακολούθησης περίπλοκων φυσικών

φαινομένων

Πλεονεκτήματα φασματικής ανάλυσης

• Υψηλή υπολογιστική ταχύτητα, αποτελεσματικότητα σε δεδομένα σε

πλέγμα (ψηφιακά δεδομένα) και ταυτόχρονες εκτιμήσεις σε όλα τα σημεία

• Ταχείς υπολογισμοί σε μεγάλες περιοχές μελέτης (τμήματα της επιφάνειας

της Γης ή ολόκληρη την επιφάνεια)

• Αποτελέσματα υψηλής διακριτικής ικανότητας με την αξιοποίηση πυκνών

βάσεων δεδομένων

• Αποτελεσματική απεικόνιση των φασματικών ιδιοτήτων των μετρήσεων

συναρτήσεις συμμεταβλητότητας, συντελεστές συμμεταβλητότητας

σήματος και θορύβου και συναρτήσεις πυκνότητας φασματικής ισχύος

Μειονεκτήματα φασματικής ανάλυσης

• Παραποίηση του σήματος (aliasing effects) από τη χρήση χαμηλής

πυκνότητας δεδομένων αδυναμία ανακατασκευής του σήματος

• Παραδοχές περιοδικότητας δημιουργούν το φαινόμενο της φασματικής

διαρροής (spectral leakage error)

• Ανάγκη αναφοράς σε πλέγμα (ψηφιακή μορφή δεδομένων)

• Θέματα που επιλύθηκαν στην πορεία των εφαρμογών συνδυασμός

ετερογενών δεδομένων, μετάδοση των σφαλμάτων από τις παρατηρήσεις

στα αποτελέσματα

Εφαρμογές φασματικής ανάλυσης

• Παρεμβολή και πρόγνωση τιμών η ανάλυση διακριτών μετρήσεων σε

όρους ημιτόνου ή/και συνημιτόνου ελαχιστοτετραγωνική προσαρμογή

συνάρτησης παρεμβολή σε άλλες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής

• Εκτίμηση συνιστωσών κύματος απομάκρυνση ανεπιθύμητων

συχνοτήτων από τις εκτιμήσεις φιλτράρισμα έλεγχος σήματος και

θορύβου

• Η ανάγκη της περιοδικότητας αντιμετωπίζεται θεώρηση περιόδου

ίσης με το συνολικό χρονικό (χωρικό) διάστημα της μελέτης

Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος

• Από το πεδίο του χρόνου/χώρου στο πεδίο των συχνοτήτων

t

Σήμα f(t) μιας μοναδικής συχνότητας (μονοχρωματικό):

Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος

• Από το πεδίο του χρόνου/χώρου στο πεδίο των συχνοτήτων

t

Σήμα f(t) μιας μοναδικής συχνότητας (μονοχρωματικό):

sin cos

Επανάληψη ημιτόνων ή συνημιτόνων

Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος

• Από το πεδίο του χρόνου/χώρου στο πεδίο των συχνοτήτων

t

Σήμα f(t) μιας μοναδικής συχνότητας (μονοχρωματικό):

sin cos

Επανάληψη ημιτόνων ή συνημιτόνων

κύκλος (= 1 επανάληψη) ημιτόνου κύκλος (= 1 επανάληψη) συνημιτόνου

Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος

• Από το πεδίο του χρόνου/χώρου στο πεδίο των συχνοτήτων

t

Σήμα f(t) μιας μοναδικής συχνότητας (μονοχρωματικό):

Συχνότητα (Frequency) f:

αριθμός κύκλων στη

μονάδα χρόνου (κύκλοι

ανά δευτερόλεπτο)

Τ

Τ

Περίοδος (Period) Τ:

χρόνος που χρειάζεται

για να επαναληφθεί ένας

κύκλος

Μήκος κύματος (wavelength) λ = cT: διάστημα που διανύει το σήμα σε μία περίοδο

c : ταχύτητα φωτός (ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας) στο κενό

1 sec

(f = 2.5 κύκλοι ανά δευτερόλεπτο)

Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος

χαμηλή

συχνότητα

υψηλή

συχνότητα

Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος

μεγάλη

περίοδος

μικρή

περίοδος

Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος

μεγάλο

μήκος κύματος

μικρό

μήκος κύματος

Ιστορικά στοιχεία φασματικής ανάλυσης

• Ο όρος φάσμα (spectrum) οφείλεται στον Sir Isaac Newton ανάλυση

του ηλιακού φωτός σε χρώματα μήκη κύματος ακτινοβολίας

• Principia μαθηματικές εξισώσεις στις παρατηρήσεις του Πυθαγόρα (6ος

αιώνας π.Χ.) για περιοδικά φαινόμενα

Ιστορικά στοιχεία φασματικής ανάλυσης

• Jean Baptist Fourier Analytic Theory of Heat (1822) οποιαδήποτε

συνάρτηση μπορεί να αναλυθεί σε σειρές απείρων όρων με συναρτήσεις

βάσης ημιτονοειδείς ή συνημιτονοειδείς

• Ανάλυση Fourier ανάπτυξη μίας συνάρτησης σε όρους ημιτόνου ή/και

συνημιτόνου

• Ιδιαίτερη ανάπτυξη με τη χρήση της ηλεκτρονικής επιστήμης εισαγωγή

στα ψηφιακά γεωδαιτικά δεδομένα παρατηρήσεις – σήματα

1

sincosk

kkkaxBkaxAxu

Παράδειγμα φασματικής ανάλυσης

• Ανάλυση σε συχνότητες

Παράδειγμα φασματικής ανάλυσης

• Ανάλυση συνάρτησης βηματισμού – unit step function

Σειρές και μετασχηματισμοί Fourier

• Όταν μεταβαίνουμε από τα απλά ημιτονοειδή ή συνημιτονοειδή σήματα

στα πραγματικά σύνθετα

• Σειρές Fourier ανάλυση περιοδικών συναρτήσεων αρμονική

ανάλυση (harmonic analysis)

• Μετασχηματισμοί Fourier ανάλυση μη περιοδικών συναρτήσεων

φασματική ανάλυση (spectral analysis)

• Μαθηματικά εργαλεία για την ανάλυση σύνθετων συναρτήσεων σε

αθροίσματα ή ολοκληρώματα απλών ημιτονοειδών ή

συνημιτονοειδών συναρτήσεων

Βασικά συνεχή σήματα Ημιτονοειδές σήμα – Sinusoidal signal

• Ένα συνεχές ημιτονοειδές σήμα (sinusoid) έχει τη μορφή

• A εύρος σήματος (amplitude)

• ω0 γωνιακή συχνότητα (angular frequency, σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο)

• θ γωνία φάσης (phase angle, σε ακτίνια)

tAtx0

cos

Σήμα ημιτόνου

Βασικά συνεχή σήματα Ημιτονοειδές σήμα – Sinusoidal signal

• Το συνεχές ημιτονοειδές σήμα είναι περιοδική συνάρτηση με θεμελιώδη

περίοδο

• Το αντίστροφο της θεμελιώδους περιόδου ονομάζεται θεμελιώδης

(γραμμική) συχνότητα

• Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Euler

• Ισχύει αντιστοίχως

0

0

2

T

)(1

0

0Hzhertz

Tf

tjerealAtA 0

0cos

tAeimaginaryAtj

0sin0

(κύκλοι/sec)

Βασικά συνεχή σήματα Ημιτονοειδές σήμα – Sinusoidal signal

• Αναπτύσσοντας το σήμα ισχύει

• Το εύρος Α και η γωνία φάσης θ υπολογίζονται σύμφωνα με

• Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα του Euler

• Το ημιτονοειδές σήμα μπορεί να γραφεί ως συνάρτηση εκθετικών σημάτων

tbtatA

tAtAtA

000

000

sincoscos

sinsincoscoscos

22 baA

cosAa

sinAb

a

b arctan

tjtetxtj

00sincos0

jtjjtj

tjtj

eeA

eeAee

AtAtx 00

00

222cos)(

0

Σειρές Fourier

• Η ανάπτυξη μίας περιοδικής συνάρτησης σειρά Fourier

• Περιγραφή περιοδικών φαινομένων των γεωεπιστημών, π.χ.

παλίρροιες, ιονοσφαιρική επίδραση στη μετάδοση των σημάτων

• Χρησιμοποιούνται στην ανάλυση και μελέτη συνεχών ή διακριτών

συναρτήσεων αρμονική ανάλυση (harmonic analysis)

• Αναλυτική έκφραση σειράς δεδομένων ενός φυσικού φαινομένου του

οποίου δεν είναι γνωστή η ακριβής μαθηματική συνάρτηση

Σειρές Fourier

• Μία περιοδική συνάρτηση στο διάστημα [–Τ0/2, Τ0/2] με περίοδο Τ0 μπορεί

να αναπτυχθεί σε σειρά ημιτόνων και συνημιτόνων απείρων όρων

• Οι συντελεστές υπολογίζονται ως

0

00sincos

n

nntnbtnatx

0

0

2

T

00

0

0

)()()()(0

0

Tt

t

T

dttxdttxTtxtx

0 00

2sin

2cos)(

n

nnt

T

nbt

T

natx

2/

2/ 00

0

0

2cos)(

2T

T

ndtt

T

ntx

Ta

2/

2/ 00

0

0

2sin)(

2T

T

ndtt

T

ntx

Tb

,...2,1n

2/

2/0

0

0

0

)(1

T

T

dttxT

a

Σειρές Fourier

• Η σειρά Fourier μπορεί να εκφραστεί με παρόμοια μορφή στην περίπτωση

που θεωρηθεί περιοδική σε διάστημα [–L, L] με περίοδο Τ0 = 2L (άλλη

έκφραση ανάπτυξης που παρουσιάζεται στη βιβλιογραφία)

• Οι συντελεστές υπολογίζονται σε αυτή τη μορφή ως

,...2,1n

L

L

dttxL

a )(1

0

L

L

Lt

Lt

dttxdttxLtxtx0

0

2

1

0 sincos2 n

nnt

L

nbt

L

na

atx

L

L

ndtt

L

ntx

La cos)(

1

L

L

ndtt

L

ntx

Lb sin)(

1

Παραδοχές για την ισχύ των σειρών Fourier

• Η συνάρτηση x(t) έχει περιορισμένο αριθμό ακροτάτων σε μία περίοδο

• Η συνάρτηση x(t) έχει περιορισμένο αριθμό ασυνεχειών σε μία περίοδο

• Η συνάρτηση x(t) είναι απολύτως ολοκληρώσιμη μέσα στην περίοδο

• Η τρεις παραπάνω παραδοχές για τη σύγκλιση των σειρών ονομάζονται

συνθήκες του Dirichlet (Dirichlet’s conditions)

• Με την ισχύ των ανωτέρω είναι δυνατή η ανάπτυξη οποιασδήποτε

συνάρτησης σε σειρές απείρων τριγωνομετρικών όρων

Παράδειγμα ανάπτυξης σειράς αn = bn = 1, T = 1

• Η σειρά αναπτύσσεται ως εξής

• Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση αναπτύσσεται σε τριγωνομετρικά

σήματα συχνοτήτων ω0, 2ω0, 3ω0, … ακέραια πολλαπλάσια της

βασικής συχνότητας

tbta

tbtatbtatx

1

22sin

1

22cos

1

12sin

1

12cos

1

02sin

1

02cos)(

22

1100

tttttx 4sin4cos2sin2cos1)(

1 0

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (1)

428

208)(

t

ttf

1

00

0 )sincos(2

)(n

nn tnbtnaa

tf

4T

4

2

2

0

4

0

2cos)8(

22cos8

22cos)(

2dt

T

nt

Tdt

T

nt

Tdt

T

nttf

Tan

4

2

2

0

4

2

2

0

2sin

82sin

82sin

2

162sin

2

16

T

nt

nT

nt

nT

nt

n

T

TT

nt

n

T

T

4

2

2

0

22sin

42sin

802sin

22sin

8

T

n

T

n

nT

n

T

n

n

000008

sin2sin0sinsin8

n

nnnn

,2,1,0n

Λύση

4

2

2

0

4

0

2sin)8(

22sin8

22sin)(

2dt

T

nt

Tdt

T

nt

Tdt

T

nttf

Tbn

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (1)

4

2

2

0

4

2

2

0

2cos

82cos

82cos

2

162cos

2

16

T

nt

nT

nt

nT

nt

n

T

TT

nt

n

T

T

4

2

2

0

22cos

42cos

802cos

22cos

8

T

n

T

n

nT

n

T

n

n

nn

nnn

nnnn

cos116

cos11cos8

cos2cos0coscos8

,2,1n

11 2sin

cos1162sin)cos1(

16)(

nn

nt

n

n

T

ntn

ntf

όn

άnn

1

1cos

περιττός2

άρτιος0cos1

n

nn

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (2)

3t0t2

0t30)t(f

1

00

0 )sincos(2

)(n

nn tnbtnaa

tf

Λύση

6T 36

2

T

20

1ncosn

61ncos

n4

6

3

21ncos

n4

T

3

21

6

3n2cos

n4

T

3

2

n2

T

T

nt2cos

n2

T

3

20

6

3n2sin3

n2

T

3

2dt

n2

T

T

nt2sin)t(

3

2

n2

T

T

nt2sint

3

2

dt)t(n2

T

T

nt2sin

3

2dt

T

nt2cost

6

4dt

T

nt2cost2

T

2

2222

2

22

2

22

2

3

0

3

0

3

0

3

0

3

0

3

0

n

312

36

2

9

6

4

2

t

6

4dtt

T

4dt0cost2

T

23

0

23

0

3

0

0

vduuvudvΟλοκλήρωση κατά μέρη

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (2)

1n22 3

tnsin

n

ncos6

3

tncos

n

)1n(cos6

2

3)t(f

ncosn

6

n2

T

T

nt2sin

n

2ncos0

n

6dt

T

nt2cos

n2

T

3

2ncos3

n2

T

3

2

dtn2

T

T

nt2cos)t(

3

2

n2

T

T

nt2cost

3

2

dt)t(n2

T

T

nt2cos

6

4dt

T

nt2sint2

T

2b

3

0

3

0

3

0

3

0

3

0

3

0

n

1ncos 1ncos Για n άρτιο: Για n περιττό:

3t 4 t 0f(t)

0 0 t 5

1

00

0 )sincos(2

)(n

nn tnbtnaa

tf

Λύση

T 8 0

2π 2π πω

T 4 4 vduuvudvΟλοκλήρωση κατά μέρη

0

2a T

a

a f t dtT

0

2cos( )

a T

n

a

a f t n t dtT

0

2sin( )

a T

n

a

b f t n t dtT

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5)

0 0 0

n

4 4 4

0 0

4 4

0

4

2 2πnt 6 πnt 6 πnt 4α 3tcos dt t cos dt sin (t)dt

T T 8 4 8 4 πn

6 4 πnt 6 πnt 4t sin (t) sin dt

8 πn 4 8 4 πn

πn 43 3 πnt 40 4 sin cos

πn 4 πn 4 πn

12sin πn

πn

0 0

2 2

4

n2 2 2 2

12 πntcos

π n 4

12 121 cos nπ α 1 cosnπ

π n π n

0 0

02

0 ο44 4

2 6 6 1 3α 3tdt tdt t 0 16 α 6

T 8 8 2 8

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5)

0 0

n

4 4

0 0

4 4

0

4

0

4

2 2πnt 6 4 πntb 3t sin dt cos (t)dt

T T 8 πn 4

6 4 πnt 6 4 πntt cos (t) cos dt

8 πn 4 8 πn 4

3 6 4 2πnt0 4 cos nπ cos dt

πn 8 πn T

12 3 4 πntcosnπ sin

πn πn πn 4

2 2

12 12cosnπ sin nπ

πn π n

0

n

12b cosnπ

πn

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5)

2 2n 1

6 12(1 cosnπ) πnt 12cosπn πntf(t) cos sin

2 π n 4 πn 4

1ncos 1ncos

n 2 2

12α 1 cosnπ

π n

n

12b cosnπ

πn

οα 6

Για n άρτιο Για n περιττό

Παράδειγμα υπολογισμού σειράς Fourier (5)

Αντιστοιχία χρόνου – χώρου

• Όταν η ανάπτυξη αφορά σε ανεξάρτητη μεταβλητή χώρου εκφράσεις

συναρτήσει του μήκους κύματος

cTμήκος κύματος - wavelength

ταχύτητα φωτός – speed of light

περίοδος - period

Χρόνος Χώρος

2

2k

Γωνιακή συχνότητα

Angular frequency

Γωνιακή χωρική συχνότητα

Angular spatial frequency

Tf

1

(Γραμμική) συχνότητα

(Linear) frequency

1

Κυματαριθμός

wavenumber

t sΑνεξάρτητη μεταβλητή

χρόνου

Ανεξάρτητη μεταβλητή

χώρου

sec/rad mrad /

sec/cycles mcycles /

sec m

Αντιστοιχία χρόνου – χώρου

• Σχέσεις ανάμεσα στις μεταβλητές χρόνου και χώρου

1

]sincos[)(k

kkkko tbtaatf

Βάση Fourier (συναρτήσεις βάσης):

απλούστερη μορφή:

22k T Tk k k s

T

0 0

2 0( ) 1 cos cos

tt t

T

0 0

2( ) cos cosa

k k

ktt t

T

2( ) sin sinb

k k

ktt t

T

0 0

1 1

( ) ( ) ( ) ( )a b

k k k k

k k

f t a t a t b t

Ανάπτυγμα πραγματικής συνάρτησης f(t) ορισμένης στο διάστημα [0,T ] σε σειρά Fourier

2T

T

1Ts

T

Συναρτήσεις βάσης Fourier

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

0

+1

–1

f (x)

Παράδειγμα αναπτύγματος συνάρτησης

σε σειρά Fourier

ανάλυση κάθε όρου χωριστά για k = 0, 1, 2, 3, 4, …

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1 T0

συνάρτηση βάσης k = 0

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1 T0

0a

όρος σειράς k = 0

0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1

0

+1

–1 T T0 0

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

συναρτήσεις βάσης k = 1

0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1

0

+1

–1

1b

1a

T T0 0

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

όροι σειράς k = 1

1

2sin

tb

T

1

2cos

ta

T

0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1

0

+1

–1 2

T

2

T

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

συναρτήσεις βάσης k = 2

0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1

0

+1

–1

2b 2a

2

T

2

T

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

όροι σειράς k = 2

2

2sin

/ 2

tb

T

2

2cos

/ 2

ta

T

0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1

0

+1

–1 3

T

3

T

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

συναρτήσεις βάσης k = 3

0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1

0

+1

–1

3b

3a

3

T

3

T

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

όροι σειράς k = 3

3

2sin

/ 3

tb

T

3

2cos

/ 3

ta

T

0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1

0

+1

–1 4

T

4

T

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

συναρτήσεις βάσης k = 4

0

+1

–1

f (x)

0

+1

–1

0

+1

–1

4b4a

4

T

4

T

0 1 1

2 2

3 3

4 4

2 2( ) 1 cos sin

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin

/ 4 / 4

t tf t a a b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

όροι σειράς k = 4

4

2sin

/ 4

tb

T

4

2cos

/ 4

ta

T

T

0

+1

–1

f (t)

0

1 1

2 2

3 3

4 4

1

2 2cos cos

2 2cos sin

/ 2 / 2

2 2cos sin

/ 3 / 3

2 2cos sin ( )

/ 4 / 4

a

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b

T T

t ta b f t

T T

Σχέσεις ορθογωνικότητας

• Ο υπολογισμός των συντελεστών των σειρών Fourier πραγματοποιείται

χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των σχέσεων μεταξύ συναρτήσεων

• Ξεκινώντας από τη διανυσματική ανάλυση, η επέκταση στις συναρτήσεις

μπορεί να πραγματοποιηθεί θεωρώντας τη συνάρτηση ως διάνυσμα με

άπειρο πλήθος συνιστωσών (διάνυσμα απείρων διαστάσεων)

• Η τιμή κάθε συνιστώσας του διανύσματος ορίζεται σε συγκεκριμένο

διάστημα πεδίο ορισμού της συνάρτησης [α, b]

• Οι έννοιες των διανυσματικών γινομένων οδηγούν στις σχέσεις

ορθογωνικότητας μεταξύ των συναρτήσεων

Διανύσματα

• Συμβολίζεται με βέλος

• Κάθε διάνυσμα εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός μίας τοπικής

διανυσματικής βάσης (μοναδιαία διανύσματα) και των συνιστωσών ως

προς κάθε βάση

• Τα διανύσματα βάσης δε βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (γραμμικά ανεξάρτητα)

αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία διανυσμάτων και συνιστωσών

v

ve

3

2

1

3213

3

2

2

1

1

v

v

v

eeeevevevv

Διάνυσμα βάσης

Συνιστώσες βάσης

Διανύσματα

• Άθροιση διανυσμάτων παράλληλη μετάθεση

• Η παράλληλη μετάθεση είναι ιδιότητα του 5ου αξιώματος του Ευκλείδη

«από δοσμένο σημείο διέρχεται μόνο μία ευθεία παράλληλη προς δοσμένη

ευθεία»

Ορισμός συστήματος αναφοράς

• Επιλογή σημείου αρχής Ο και ορισμός διανυσματικής βάσης

• Διάνυσμα θέσης οποιουδήποτε σημείου P

3

2

1

x

x

x

xΔιάνυσμα καρτεσιανών συντεταγμένων

ως προς τη διανυσματική βάση

321eee

e

xe

x

Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

• Η μαθηματική έκφραση της γωνίας και της απόστασης στη γεωμετρία

καλύπτεται από την έννοια του εσωτερικού γινομένου

• Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων Α και Β προκύπτει από τη διανυσματική

διαφορά των διανυσμάτων θέσης

• Το μήκος ενός διανύσματος προκύπτει από τον ορισμό του εσωτερικού

γινομένου

vu

vuvuvu

arccoscos

ABABAB

xxxxxxAB

uuu

Ορθοκανονικές βάσεις

• Στη Γεωδαισία τα συστήματα αναφοράς που χρησιμοποιούνται είναι

ορθοκανονικά άξονες σχηματίζουν ορθές γωνίες

• Το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ορθοκανονικής βάσης είναι μηδενικό

• Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων σε ορθοκανονικές βάσεις τριών

διαστάσεων

090cos2121

eeee

3

3

2

2

1

1 eueueuu

3

3

2

2

1

1 evevevv

vuT

3

2

1

321332211

v

v

v

uuuvuvuvuvu

Εξωτερικό γινόμενο - Εμβαδόν

• Το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων συνδέεται με το εμβαδόν του

παραλληλογράμμου που σχηματίζουν τα διανύσματα u και v

• Το εξωτερικό γινόμενο είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των u και v

με μέγεθος ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου

sinvuvuA

Μικτό γινόμενο - Όγκος

• Το μικτό γινόμενο διανυσμάτων συνδέεται με τον όγκο του

παραλληλεπιπέδου που σχηματίζουν τα διανύσματα u, v και w

cossin,, wvuwvuwvu

Εσωτερικό γινόμενο συναρτήσεων

• Γενικεύοντας στην περίπτωση των συναρτήσεων (διανύσματα απείρων

διαστάσεων) ορίζονται ως ορθογώνιες συναρτήσεις που το εσωτερικό

τους γινόμενο είναι μηδενικό

• Σε αντιστοιχία με το μοναδιαίο διάνυσμα μία συνάρτηση ονομάζεται

κανονική ή κανονικοποιημένη στο διάστημα [α, b], όταν

• Γενικεύοντας με τη χρήση του τελεστή δ του Kronecker (θυμηθείτε το σήμα

delta) για οποιεσδήποτε συναρτήσεις φ ισχύει

b

a

dxxBxA 0

12

b

a

dxxA

mn

b

a

nmdxxx

nm

nmmn

1

0

Ανάπτυγμα σε ορθοκανονική σειρά

• Αντίστοιχα με την ανάπτυξη διανυσμάτων σε συνιστώσες ως προς μία

ορθοκανονική βάση μοναδιαίων διανυσμάτων:

• Μία συνάρτηση μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά ορθοκανονικών

συναρτήσεων ορθοκανονική σειρά στο πεδίο ορισμού [α, b]

3

2

1

x

x

x

x 321

eee

e xe

x

0n

nnxcxf

Γενικευμένοι

συντελεστές Fourier

Ορθοκανονικές

συναρτήσεις βάσης Fourier

Πολλαπλασιάζοντας με φm b

a

mmdxxxfc

Προσεγγίσεις ελαχίστων τετραγώνων

• Για να προσεγγιστεί μία συνάρτηση με σειρά σε συνδυασμό με τις ιδιότητες

της ορθογωνικότητας πρέπει

• Αποδεικνύεται ότι το μέσο τετραγωνικό σφάλμα γίνεται ελάχιστο όταν:

xf

xf xm

Τμηματικά συνεχείς στο πεδίο [α, b] Ορθοκανονικό σύστημα

συναρτήσεων στο πεδίο [α, b]

0

ˆ

n

nnMxaxf Προσέγγιση της xf

Πεπερασμένος αριθμός συναρτήσεων βάσης και άγνωστων συντελεστών

b

a

Mdxxfxf

abRMS

2ˆ1

Μέσο τετραγωνικό σφάλμα προσέγγισης

b

a

nnndxxxfca

Ταυτότητα του Parseval

• Όταν το Μ ∞ τότε και ισχύει:

• Στην περίπτωση αυτή (ταυτότητα Parseval) το RMS 0

• Όταν το Μ ∞ (άπειροι όροι στη σειρά) τότε η σειρά συγκλίνει και το

RMS της σύγκλισης γίνεται το ελάχιστο

• Ειδικά για τις σειρές Fourier ισχύει η ταυτότητα του Parseval στη μορφή:

xfxf ˆ

0

22

n

n

b

a

cdxxf

1

22

2

02

02

10

0n

nn

T

T

baa

dxxfT

Μιγαδικές εκφράσεις σειρών

• Το ανάπτυγμα των σειρών Fourier γράφεται σε πιο συμπαγή μορφή

χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των μιγαδικών αριθμών ( )

• Αντί για βάσεις ημιτόνων και συνημιτόνων η συμπαγής μορφή της

ανάπτυξης Fourier περιέχει μόνο εκθετική βάση ως προς τις κυκλικές

συχνότητες ωn

1j

sincossincos jeje jj

n

tj

n

n

tjn

n

necectx0)(

0

0

2

T

nn

n

2/

2/0

0

0

1T

T

tj

ndtetx

Tc n

Εκθετική βάση

Μιγαδικές εκφράσεις σειρών

• Η γεωμετρική ερμηνεία των μιγαδικών συντελεστών βασίζεται στη διαδικασία

μετασχηματισμού της αρχικής μορφής της σειράς Fourier

• Αντικαθιστώντας τις ταυτότητες σύμφωνα με τα παραπάνω και το σχήμα

tnba

btn

ba

aba

tnbtna

nn

n

nn

n

nn

nn

022022

22

00

sincos

sincos

nc

ncos

nsin

nnnnn

tnctntnc 000

cossinsincoscos

22

nnnbac

n

n

na

barctan

Μιγαδικές εκφράσεις σειρών

• Η γραφική αναπαράσταση των μιγαδικών συντελεστών cn ως προς τη

συχνότητα ονομάζεται φάσμα εύρους (amplitude spectrum)

• Η γραφική αναπαράσταση της γωνίας φάσης φn των cn ως προς τη

συχνότητα ονομάζεται φάσμα φάσης (phase spectrum)

• Δείκτης n ακέραιος εύρος και φάση φάσματος διακριτές τιμές στις

συχνότητες nω0

• Αναφέρονται και ως διακριτά φάσματα συχνότητας (discrete frequency

spectra) ή γραμμικά φάσματα (linear spectra)

Σύνδεση πραγματικών και μιγαδικών εκφράσεων

• Συνδυαστικά:

1j

n

tj

n

n

tjn

n

necectx0)(

0

0

2

T

nn

n

2/

2/0

0

0

1T

T

tj

ndtetx

Tc n

0

00sincos

n

nntnbtnatx

0

0

2

T

0 00

2sin

2cos)(

n

nnt

T

nbt

T

natx

2/

2/ 00

0

0

2cos)(

2T

T

ndtt

T

ntx

Ta

2/

2/ 00

0

0

2sin)(

2T

T

ndtt

T

ntx

Tb

,...2,1,0n

00

/2 2sin

2cos0

T

ntj

T

ntee

Tntjtj n

*

_2

1

2

1

nnnn

nnn

cjbac

jbac

2/

2/0

0

0

0

)(1

T

T

dttxT

a

Ανάπτυγμα σειράς στο επίπεδο (2D)

• Η αρμονική ανάλυση στο επίπεδο αντιστοιχεί στην εύρεση των συντελεστών

μίας συνάρτησης δύο μεταβλητών στο πεδίο ορισμού

• Ισοδύναμο με διπλή σειρά Fourier πρώτα κατά x και στη συνέχεια κατά

y ή και το αντίστροφο

yxTyTx 00

0

Ty

Tx 0

y

my

x

nxT

mv

T

nu

mn

22

Γωνιακές συχνότητες κατά x και y

Ανάπτυγμα σειράς στο επίπεδο (2D)

• Η αρμονική ανάπτυξη στο επίπεδο της συνάρτησης 2 μεταβλητών

0

Ty

Tx 0

0 0

,,,,,n m

d

nmnm

c

nmnm

b

nmnm

a

nmnmyxdyxcyxbyxayxf

0 0

sinsincossinsincoscoscos

,

n m

mnnmmnnmmnnmmnnmyvxudyvxucyvxubyvxua

yxf

Συναρτήσεις βάσης Fourier

yvxuyx

yvxuyx

yvxuyx

yvxuyx

mn

d

nm

mn

c

nm

mn

b

nm

mn

a

nm

sinsin,

cossin,

sincos,

coscos,

Ανάπτυγμα σειράς στο επίπεδο (2D)

• Για τον υπολογισμό των συντελεστών της σειράς χρησιμοποιείται ο ορισμός

του εσωτερικού γινομένου συναρτήσεων

0 0

, ( , ) ( , )

yxTT

f g f x y g x y dx dy

x y

x y

x y

x y

T T

mm

yx

d

nm

yx

nm

T T

mm

yx

c

nm

yx

nm

T T

mm

yx

b

nm

yx

nm

T T

mm

yx

a

nm

yx

nm

dxdyyvxuyxfTT

fTT

d

dxdyyvxuyxfTT

fTT

c

dxdyyvxuyxfTT

fTT

b

dxdyyvxuyxfTT

fTT

a

0 0

0 0

0 0

0 0

sinsin,4

,22

cossin,4

,22

sincos,4

,22

coscos,4

,22

Ανάπτυγμα σειράς στο επίπεδο (2D)

• Για τη μιγαδική μορφή του αναπτύγματος στο επίπεδο (2Δ)

• Ήδη στις 2 διαστάσεις γίνεται κατανοητή η απλοποίηση των εξισώσεων με

τη χρησιμοποίηση της μιγαδικής έκφρασης του αναπτύγματος

• Το γεγονός αυτό θα φανεί εντονότερα στη διαδικασία των μετασχηματισμών

και ειδικότερα στην περίπτωση του ταχύ μετασχηματισμού Fourier (FFT)

n m

yvxuj

nm

mnecyxf ,y

m

x

nT

mv

T

nu

22

x y

mn

T T

yvxuj

yx

nmdxdyeyxf

TTc

0 0

,11

Ανάπτυγμα σειράς σε n διαστάσεις

1 2

1 21 1 2 2

1 2

( )( , , , )

n

n

k k k

n n

n

i x x x

k k kf x x x c e

1 2

1 2 1 2

1 2 0 0 0

1 1 2 2

1 2

( )1( , , , )

nTT T

n n

n

n n

n

i x x x

k k kc f x x x e dx dx dx

TT T

2k

k

k

T

Mε συμβολισμό πινάκων:

1 2[ ]T

nx x xx1 2[ ]T

n ω1 2 nd dx dx dxx

[ ]

( )[ ]

( )k

Tik

f c eω x

x( )

[ ]

1( )

n

T

n

ik

c f e dV

ω x

x x

[ ]1 2

k nk k kc c

1 2[ ] nk k k k

1 1 2 2{ | 0 ,0 , ,0 }n n nx T x T x T x

1 2| |n n nV TT T

(ορθογώνιο υπερ-παραλληλεπίπεδο)

πεδίο ορισμού:

(όγκος υπερ-παραλληλεπιπέδου)

Ανάπτυγμα σειράς στον κύκλο

• Η αρμονική ανάλυση στον κύκλο επιτυγχάνεται από τους γενικούς τύπους

εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή t αντικατασταθεί με τη γωνία θ

• Το πεδίο ορισμό στον κύκλο (0 < θ ≤ 2π) είναι εξ’ ορισμού περιοδικό και

ισχύουν:

nn

T

n

T

n

2

22

2

0

0θ

00

sincossincosn

nn

n

nnnnnbnabaf

2

0

cos1

dnfan

2

0

sin1

dnfbn

Αρμονική ανάλυση στη σφαίρα – Σφαιρικές αρμονικές

• Η σημαντικότερη οικογένεια αρμονικών συναρτήσεων που αφορούν στο πεδίο

βαρύτητας είναι οι σφαιρικές αρμονικές (spherical harmonics)

• Απαραίτητος ο μετασχηματισμός σε σφαιρικές συντεταγμένες

cos

sinsin

cossin

rz

ry

rx

x

yz

yx

zyxr

arctan

arctan22

222

Σφαιρικές αρμονικές Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές

• Για την εύρεση των τιμών των επιφανειακών σφαιρικών αρμονικών

απαιτείται ένας νέος διαχωρισμός της συνάρτησης σε συναρτήσεις

ανεξάρτητων μεταβλητών

• Οι λύσεις αυτών των συναρτήσεων αποδεικνύεται ότι είναι της μορφής

• Οι συναρτήσεις ονομάζονται προσαρτημένες συναρτήσεις

Legendre πρώτου είδους βαθμού n και τάξης m (associated Legendre

functions of the first kind of degree n and order m)

,n

Y

hgYn

,

mPSY

mPRY

nmnmn

nmnmn

sincos,,

coscos,,

cosnm

P

Σφαιρικές αρμονικές Ανάπτυξη σε σφαιρικές αρμονικές

• Κάθε γραμμικός συνδυασμός των παραπάνω εξισώσεων θα αποτελεί επίσης

λύση της εξίσωσης του Laplace (anm και bnm συντελεστές ο υπολογισμός

τους περιγράφεται αργότερα)

• Χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα ισχύει για τη συνάρτηση V

0 0

,,,n

n

m

nmnmnmnmnSbRaY

0 0

sincoscoscos,,n

n

m

nmnmnmnm

n

imPbmParrV

0 0

1sincoscoscos

1,,

n

n

m

nmnmnmnmnemPbmPa

rrV

Εσωτερικά της συνοριακής επιφάνειας

Εξωτερικά της συνοριακής επιφάνειας

Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές

n = 6, m = 0 n = 6, m = 6

n = 6, m = 4

Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές

• Παραδείγματα σφαιρικών αρμονικών

n=0

n=4

m=0 m=n

Κανονικοποιημένες σφαιρικές αρμονικές

• Παραδείγματα σφαιρικών αρμονικών

Ανάπτυξη αποχών γεωειδούς

n = 30 n = 720

Επέκταση συνάρτησης στο διάστημα εκτός του [0, Τ]

0

1( ) ( )

T

k

k k

k k ki t i i tf t c e f e d e

T

( ) ( )f t f t

( ) ( )f t f t

[0, ]t T

[0, ]t T

( ) ( )f t nT f t [0, ]t T για κάθε ακέραιο n

H επέκταση είναι συνάρτηση περιοδική, με περίοδο Τ ( )f t

ΑΙΤΙΑ ΣΥΝΗΘΟΥΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΗΣ: «Η ανάλυση σε σειρές Fourier

ασχολείται με περιοδικές συναρτήσεις»

T 0 2T 3T –T –2T

( )f t

( )f t

Ανακεφαλαίωση

• Φασματική ανάλυση

• Σειρές Fourier

• Ανάπτυξη σε πραγματική και μιγαδική μορφή

• Αναπτύγματα στο επίπεδο, στον κύκλο και στη σφαίρα

• Παραδείγματα ανάπτυξης συναρτήσεων